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动量守恒的十种模型精选训练
动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。
一．碰撞模型
【模型解读】碰撞的特点是：在碰撞的瞬间，相互作用力很大，作用时间很短，作用瞬间位移为零，碰撞前后系统的动量守恒。无机械能损失的弹性碰撞，碰撞后系统的动能之和等于碰撞前系统动能之和，碰撞后合为一体的完全非弹性碰撞，机械能损失最大。
例1.如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
针对训练题
1．如图，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m。两物块与地面间的动摩擦因数均相同。现使a以初速度v0向右滑动。此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞。重力加速度大小为g。求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件。
2．如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量为m＝1
kg的相同的小球A、B、C。现让A球以v0＝2
m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与C球碰撞，C球的最终速度vC＝1
m/s。问：
3．如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：
4.水平光滑轨道AB与半径为R=2m竖直面内的光滑圆弧轨道平滑相接，质量为m=0.2kg的小球从图示位置C(C点与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为60°)自静止开始滑下，与放在圆弧末端B点的质量为M=13kg的物体M相碰时，每次碰撞后反弹速率都是碰撞前速率的11/12，设AB足够长，则m与M能够发生多少次碰撞？
5.如图所示，质量均为M=lkg的A、B小车放在光滑水平地面上，A车上用轻质细线悬挂质量m=0.5kg的小球。B车处于静止状态，A车以v0=2m/s的速度向右运动，两车相撞后粘在一起向右运动。求：
6.如图所示,在光滑的水平面上静止着一个质量为4m的木板B,B的左端静止着一个质量为2m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0。飞来与A物块碰撞后立即以大小为v0的速率弹回,在整个过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求：
①相对B静止后的速度；
②木板B至少多长?
7.在足够长的光滑水平面上有一个宽度为L的矩形区域，只要物体在此区域内就会受到水平向右的恒力F的作用。两个可视为质点的小球如图所示放置，B球静止于区域的右边界，现将A球从区域的左边界由静止释放，A球向右加速运动，在右边界处与B球碰撞（碰撞时间极短）。若两球只发生一次碰撞，且最终两球的距离保持不变，求
二．爆炸模型
【模型解读】爆炸是在极短时间内完成的，爆炸时物体之间的相互作用力远远大于系统所受外力，系统动量守恒。在爆炸过程中，由于有其它形式的能量（炸药的化学能）转化为机械能，爆炸过程中系统动能一定增加。
例2．如图所示，水平面上OM正中间有质量分别为2m、m的两物块B、C（中间粘有炸药），现点燃炸药，B、C被水平弹开，物块C运动到O点时与刚好到达该点速度为v0的小物块A发生迎面正碰，碰后两者结合为一体向左滑动并刚好在M点与B相碰，不计一切摩擦，三物块均可视为质点，重力加速度为g=10m/s2，求炸药点燃后释放的能量E．
针对训练题
1.一置于桌面上质量为M的玩具炮，水平发射质量为m的炮弹．炮可在水平方向自由移动．当炮身上未放置其它重物时，炮弹可击中水平地面上的目标A；当炮身上固定一质量为M0的重物时，在原发射位置沿同一方向发射的炮弹可击中水平地面上的目标B．炮口离水平地面的高度为h．如果两次发射时
“火药”提供的机械能相等，求B、A两目标与炮弹发射点之间的水平距离之比。
2.有一炮竖直向上发射炮弹,炮弹的质量为M=6.0kg(内含炸药的质量可以忽略不计),射出时的初速度v0=60m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片,其中一片质量为m=4.0kg。现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R=600m为半径的圆周范围内,则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？(,忽略空气阻力)
3从地面竖直向上发射一枚礼花弹，当上升速度为30
m／s时，距地面高度为150
m，恰好此时礼花弹炸开，分裂成质量相等的两部分，其中一部分经5
s落回发射点，求：
（1）另一部分炸开时的速度.(2)
另一部分落点位置和落回地面的时间。
4.如图所示，在光滑水平面上，有一长L=2m的木板C，它的两端各有一块挡板，C的质量mC＝5kg，在C的正中央并排放着两个可视为质点的物块A和B，质量分别是mA＝1kg，mB＝4kg，开始时A、B、C都静止，A、B间夹有少量的塑胶炸药，由于炸药爆炸，使得A以6m／s的速度水平向左滑动，如果C的上表面光滑，物块与挡板相碰后都粘合在挡板上，求：
5如图所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O为圆心、R为半径的一小段圆弧。可视为质点的物块A和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动。B到d点时速度沿水平方向，此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的，A与ab段的动摩擦因数为μ，重力加速度g，求：
8.（10分）如图所示，AB为光滑的斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，小球乙静止于水平轨道上。一个质量大于小球乙的小球甲以水平速度v0与乙球发生弹性正碰，碰后乙球沿水平轨道滑向斜面轨道AB。求：在甲、乙发生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能达到最大高度的范围（设斜面轨道足够长，重力加速度为g）。
三．反冲模型
【模型解读】物体的不同部分在内力作用下向相反方向的运动，称为反冲。反冲的特点是物体间相互作用的内力大，在外力远远小于内力情况下，可以认为动量守恒。常见的反冲现象有：喷气式飞机的运动，火箭的运动，放射性元素的衰变等。
例3.一个连同装备总质量为M=100kg的宇航员，在距离飞船x=45m处与飞船处于相对静止状态，宇航员背着装有质量为m0=0.5
kg氧气的贮气筒。筒上装有可以使氧气以v=50
m/s的速度喷出的喷嘴，宇航员必须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船，同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用，宇航员的耗氧率为Q=2.5×10-4
kg/s，不考虑喷出氧气对设备及宇航员总质量的影响，则：
(1)瞬时喷出多少氧气，宇航员才能安全返回飞船？
(2)为了使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气？返回时间又是多少？
针对训练题
一．选择题
1．运送人造地球卫星的火箭开始工作后，火箭做加速运动的原因是()
A．燃料燃烧推动空气，空气反作用力推动火箭
B．火箭发动机将燃料燃烧产生的气体向后排出，气体的反作用力推动火箭
C．火箭吸入空气，然后向后排出，空气对火箭的反作用力推动火箭
D．火箭燃料燃烧发热，加热周围空气，空气膨胀推动火箭
2．静止的实验火箭，总质量为M，当它以对地速度为v0喷出质量为Δm的高温气体后，火箭的速度为()
A.B．－
C.D．－
3．一小型火箭在高空绕地球做匀速圆周运动，若其沿运动方向的相反方向射出一物体P，不计空气阻力，则()
A．火箭一定离开原来轨道运动
B．P一定离开原来轨道运动
C．火箭运动半径可能不变
D．P运动半径一定减小
【名师解析】：火箭射出物体P后，由反冲原理火箭速度变大，所需向心力变大，从而做离心运动离开原来轨道，半径增大A项对，C项错；P的速率可能减小，可能不变，可能增大，运动也存在多种可能性，所以B、D错。
4．一装有柴油的船静止于水平面上，船前舱进水，堵住漏洞后用一水泵把前舱的油抽往后舱，如图所示。不计水的阻力，船的运动情况是
A．向前运动
B．向后运动
C．静止
D．无法判断
二．计算题
1．一火箭喷气发动机每次喷出m＝200
g的气体，喷出的气体相对地面的速度v＝1
000
m/s。设此火箭初始质量M＝300
kg，发动机每秒喷气20次，在不考虑地球引力及空气阻力的情况下，火箭发动机1
s末的速度是多大？
2．如图所示，3.课外科技小组制作了一只水火箭，用压缩空气压出水流使火箭运动。用压缩空气压出水流使火箭运动。假如喷出的水流流量保持为2×10-4m3/s，喷出速度保持为对地10
m/s。启动前火箭总质量为1.4kg，则启动2s末火箭的速度可以达到多少？已知火箭沿水平轨道运动阻力不计，水的密度是103kg/m3。
4平板车停在水平光滑的轨道上，平板车上有一人从固定在车上的货厢边沿水平方向顺着轨道方向跳出，落在平板车上的A点，距货厢水平距离为l=4
m，如图所示。人的质量为m，车连同货厢的质量为M=4
m，货厢高度为h=1.25
m(g取10
m/s2)。求：
5.连同炮弹在内的炮车停放在水平地面上，炮车质量为M,炮膛中炮弹质量为m,炮车与地面间的动摩擦因数为μ,炮筒的仰角为α,设炮弹以相对于炮筒的速度v0射出,那么炮车在地面上后退多远?
四．子弹打木块模型
【模型解读】若木块不固定，子弹打木块过程中，子弹与木块的作用力远大于木块所受阻力，系统动量守恒。子弹打木块过程中，子弹和木块的位移不同，二者相互作用，导致系统机械能减小，减小的机械能转化为内能。对于子弹打木块问题，若计算相互作用前后的速度，可利用动量守恒定律列方程解答；若涉及相互作用的时间，一般需要利用动量定理列方程解答；若涉及子弹打入木块的深度，一般需要分别对子弹和木块分别运用动量定理列方程解答。
例4
.如图所示，在光滑水平地面上的木块M紧挨轻弹簧靠墙放置。子弹m以速度v0沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩劲度系数未知弹簧至弹簧最短．已知子弹质量为m，木块质量是子弹质量的9倍，即M=9m；弹簧最短时弹簧被压缩了△x；劲度系数为k、形变量为x的弹簧的弹性势能可表示为Ep=kx2。求：
针对训练题
1（8分）（2016高考海南物理）如图，物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动，碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h为纵坐标，v2为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92
×10-3s2/m。已知物块A和B的质量分别为mA=0.400kg和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.8m/s2。
2如图所示，在固定的光滑水平杆上，套有一个质量为m=0.5kg的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量为M=1.98kg的木块，现有一质量为m0=20g的子弹以v0=100m/s的水平速度射入木块并留在木块中（不计空气阻力和子弹与木块作用的时间，g取10m/s2）
求：
3.如图所示，两物块A、B并排静置于高h=0.80m的光滑水平桌面上，两物块的质量均为M=0.60kg。一颗质量m=0.10kg的子弹C以v0=100m/s的水平速度从左面射入A物块，子弹射穿A后接着射入B并留在B中，此时A、B都没有离开桌面。已知物块A的长度为0.27m，A离开桌面后，落地点到桌边的水平距离s=2.0m。设子弹在物块A、B
中穿行时受到的阻力保持不变，g取10m/s2。求：
4如图所示，质量为mB=2kg的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一块质量为mA=2kg的物体A，一颗质量为m0=0.01kg的子弹以υ0=600m/s的水平初速度瞬间射穿A后，速度变为υ2=100m/s，已知A、B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止．
5.如图，一质量为M的物快静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h。一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度v0/2射出。重力加速度为g。
6.装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击．通过对一下简化模型的计算可以粗略说明其原因．质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑桌面上．质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿．现把钢板分成厚度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图所示．若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度．设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞不计重力影响．
五．人船模型
【模型解读】人在船上静止在水面，人在船上行走，船后退，若人船系统所受的合外力为零（不考虑船运动所受水的阻力），则人船系统动量守恒。由m1v1=m2v2，解得：=.。对于相互作用的整个过程，有=.。两个原来静止的物体发生相互作用时，若系统所受的合外力为零，都可视为人船模型。解答时，可画出两个物体位移关系图，确定两个物体的位移关系。
“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用，它把速度和质量的关系推广到质量和位移的关系，这样给我们提供了一种解题思路和解决问题的方法。人船问题的适用条件是：两个物体组成的系统(当有多个物体组成系统时，可以先转化为两个物体组成的系统)动量守恒，系统的合动量为零。
这种模型中涉及两种题型，一种题型是求解某物体在相互作用过程中通过的位移，此题型中需根据动量守恒、位移关系得到两个关系求解，如在图中，人从船头走到船尾时由动量守恒可得：
再由图中几何关系有
可得人船的位移分别为
另一种题型是求某一时刻物体的速度，这种题型是先要由动量守恒求得两物体的一个速度关系，再由能量守恒得到两物体的另一个速度关系，从而求得物体的瞬时速度(或与瞬时速度相关的物理量)。
例5.如图所示，质量为m、半径为r的小球，放在内半径为R，质量为M=3m的大空心球内，大球开始静止在光滑水平面上，当小球由图中位置无初速度释放后沿内壁滚到最低点时，大球移动的距离为（）
【点评】对于人船模型问题，画出示意图可清晰两物体之间的位移关系。
针对训练题
1．气球质量为200
kg，载有质量为50
kg的人，静止在空气中距地面20
m高的地方，气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则这绳长至少应为多长？(不计人的高度)
2质量为m的人站在质量为M、长度为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边，当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？
3．质量为m的木块和质量为M的铁块用细绳系在一起处于深水中静止。剪断细绳，木块上浮，铁块下沉。当木块上浮距离h时（还没有露出水面），铁块下沉的距离是多少？
4.如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平地面上，车上装有半径为R的半圆形光滑轨道，现将质量为m的小球在轨道的边缘由静止释放，当小球滑至半圆轨道的最低位置时，小车移动的距离为多少？小球的速度大小为多少？
六．弹簧连接体模型
【模型解读】两个物体在相对运动过程中通过弹簧发生相互作用，系统动量守恒，机械能守恒。
例6..如图所示，A、B两物体的中间用一段细绳相连并有一压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态。若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上未滑离之前，A、B在C上向相反方向滑动的过程中
针对训练题
1.在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬杆上，穿着三个半径相同的刚性球A、B、C，三球的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg，初状态BC球之间连着一根轻质弹簧并处于静止，B、C连线与杆垂直并且弹簧刚好处于原长状态，A球以v0=9m/s的速度向左运动，与同一杆上的B球发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），求：
2.如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg.用轻弹簧栓接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触.另有一物块C从t=0时以一定速度向右运动，在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图象如图乙所示.求：
3.光滑水平面上放着质量mA
＝1
kg的物块A与质量为mB
＝2
kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能为Ep＝
J．在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示．放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R＝0.5
m，B恰能运动到最高点C．取g＝10
m/s2，求：
如图所示，在光滑水平地面上，有一质量为m1=4.0kg的平板小车，小车的右端有一固定的竖直挡板，挡板上固定一轻质细弹簧。位于小车上A点处质量m2＝1.0kg的木块(可视为质点)与弹簧的左端相接触但不连接，此时弹簧与木块间无相互作用力。木块与A点左侧的车面之间的动摩擦因数μ＝
0.40，木块与A点右侧的车面之间的摩擦可忽略不计。现小车与木块一起以v0＝
2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v
1＝
1.0m/s的速度反向弹回，已知重力加速度g取10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。求:
如图所示，在光滑水平地面上有一固定的挡板，挡板上固定一个轻弹簧．现有一质量M=3kg，长L=4m的小车AB(其中O为小车的中点，AO部分粗糙，OB部分光滑)，一质量为m=1kg的小物块(可视为质点)，放在车的最左端，车和小物块一起以v0=4m/s的速度在水平面上向右匀速运动，车撞到挡板后瞬间速度变为零，但未与挡板粘连．已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内，小物块与车AO部分之间的动摩擦因数为μ0.3，重力加速度g=10m/s2．求：
七．物快木板叠放体模型
【模型解读】木板放在光滑水平面上，物快在木板上运动，相互作用的是摩擦力，系统动量守恒。物快在木板上相对运动过程中，摩擦生热，产生热量Q=fs，式中s为二者相对运动路程。
例7.如图所示，平板车P的质量为M，小物快Q的质量为m，大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平地面上．一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q的正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球(大小不计)．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°角，由静止释放，小球到达最低点时与Q碰撞的时间极短，且无能量损失，已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m=4：1，重力加速度为g．求：
针对训练题
1.【黑龙江省牡丹江市第一中学2017届高三上学期开学摸底考试物理试题】如图所示，质量m=2kg的滑块（可视为质点），以v0=5m/s的水平初速度滑上静止在光滑水平面的平板小车，若平板小车质量M=3kg，长L=4.8m。滑块在平板小车上滑移1.5s后相对小车静止。求：
一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止。重力加速度为g。求：
3.如图所示，在光滑水平面上有木块A和B，mA=0.5kg，mB=0.4kg，它们的上表面是粗糙的。今有一铁块C，mC=0.1kg，以初速度v0＝10m/s沿两木块表面滑过，最后停止B上，此时B、C以共同速度v＝1.5m/s运动，求：
4.如图所示,在光滑的水平面上静止着一个质量为4m的木板B,B的左端静止着一个质量为2m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0。飞来与A物块碰撞后立即以大小为v0的速率弹回,在整个过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求：
①相对B静止后的速度；
②木板B至少多长?
5.质量m1=1kg的木板放在光滑水平地面上，质量m2=0.2kg的木块置于木板的右端，木板与木块之间的动摩擦因数μ=0.3.某时刻二者同时开始运动，木板的初速度v01=3m/s，水平向右；木块的初速度v02=1m/s，水平向左；如图所示。已知重力加速度g=10m/s2，小木块可视为质点。求：
6．如图所示是固定在水平地面上的横截面为“”形的光滑长直导轨槽，槽口向上（图为俯视图）．槽内放置一个木质滑块，滑块的左半部是半径为R的半圆柱形光滑凹槽，木质滑块的宽度为2R，比“”形槽的宽度略小．现有半径r（r＜＜R）的金属小球以水平初速度v0=4m/s冲向滑块，从滑块的一侧半圆形槽口边缘进入．已知金属小球的质量为m=1kg，木质滑块的质量为M=3kg，整个运动过程中无机械能损失．求：
7.如图，用两根等长的细线分别悬挂两个弹性球A、B，球A的质量为2m，球B的质量为9m，一颗质量为m的子弹以速度vo水平射入球A，并留在其中，子弹与球A作用时间极短；设A、B两球作用为对心弹性碰撞．求：
动量守恒的十种模型精选训练8
动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。
八．多次碰撞模型
【模型解读】若放在光滑水平面上的凹槽中的物体以某一速度与其碰撞，则会发生多次碰撞。对于发生多次碰撞的系统，若只需计算二者相对静止时的速度，则可根据初末状态利用动量守恒定律列方程解得。
例8.在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，L为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以v0＝5m/s初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。g取10m/s2。求：
针对训练题
1．如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量为m＝1
kg的相同的小球A、B、C。现让A球以v0＝2
m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与C球碰撞，C球的最终速度vC＝1
m/s。问：
2.水平光滑轨道AB与半径为R=2m竖直面内的光滑圆弧轨道平滑相接，质量为m=0.2kg的小球从图示位置C(C点与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为60°)自静止开始滑下，与放在圆弧末端B点的质量为M=13kg的物体M相碰时，每次碰撞后反弹速率都是碰撞前速率的11/12，设AB足够长，则m与M能够发生多少次碰撞？
3.甲乙两车总质量（包括人、车及砂袋）均为500kg，在光滑水平面上沿同一直线相向而行，两车速度大小分别为v甲=3.8m/s，v乙=1.8m/s，为了不相撞，甲车上的人将编号分别为1、2、3···n，质量分别为1kg、2kg、3kg······nkg的砂袋依次均为20m/s相对地的速度水平抛入乙车，试求：
（1）第几号砂袋投入乙车后，乙车速度为零？
（2）至少第几号砂袋投入乙车后，若两车尚未相碰，则不会相撞？
46．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
4.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；
（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；
b.求第n次碰撞后雨滴的动能
vn′2；
5如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
动量守恒的十种模型精选训练9
动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。
九．临界模型
例9．如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3
m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3
m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30
kg，冰块的质量为m2＝10
kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g＝10
m/s2。
针对训练题
1.甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车质量共为M=30kg，乙和他的冰车质量也是30
kg，游戏时，甲推着一个质量为m=15
kg的箱子，和他一起以大小为v0=2.0
m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦力，求：
(1)甲至少要以多大的速度（相对地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞？
(2)甲推出箱子时对箱子做了多少功？
2.在光滑的冰面上静止放置一截面为四分之一圆弧的半径足够大的光滑的自由曲面，一个坐在冰车上的小孩手扶一小球静止在冰面上．某时刻小孩将小球以v0=2m/s的速度向曲面推出（如图所示）．
3.如图所示，4.如图所示，甲车质量m1=20kg，车上有质量M=50kg的人，甲车（连同车上的人）从足够长的斜坡上高h=0.45m由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动。此时质量m2=50kg的乙车正以v0=1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度（相对地面）应在什么范围以内？不计地面和斜坡的摩擦，取g=10m/s2。
5.人和冰车的总质量为M，另一木球质量为m，且M∶m＝31∶2．人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v(相对地面)将原来静止的木球沿冰面推向正前方向的固定挡板，不计一切摩擦阻力，设小球与挡板的碰撞是弹性的，人接住球后，再以同样的速度v(相对地面)将球推向挡板．求人推多少次后不能再接到球？
6.如图所示，动量守恒的十种模型精选训练10
动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。
十．多体作用模型
【模型解读】所谓多体作用模型是指系统中多个物体，相互作用，满足系统动量守恒定律。
例10.列车载重时简单地直接启动有困难，司机常常先倒车再启动前进。在平直轨道上机车起动时的牵引力为F，机车后面挂接有49节车厢，设机车与每节车厢的质量都为m，机车和每节车厢所受的阻力都为自身重力的k倍，倒车后各节车厢间挂钩所留间隙为d，倒车挂钩位置和列车前进时挂钩位置如图所示。列车在平直轨道上启动，求：
针对训练题
1.在光滑水平面上有n个完全相同的小物快（可看作质点）沿一直线排列，相邻两物快间距均为s，开始物块1以初速度v0向物块2运动，碰撞后粘在一起，又向物块3运动，碰撞后粘在一起，······，如此进行碰撞。
（1）最后物块n的速度vn多大？
（2）从物块1开始运动计时，到物块n刚开始运动，经历多长时间？每次碰撞所用时间不计。
2．一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的因纽特狗站在该雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇。狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为v，则此时狗相对于地面的速度为v＋v′(其中v′为狗相对于雪橇的速度，v＋v′为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则v为正值，v′为负值)。设狗总以速度v＋v′追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5
m/s，v′的大小为4
m/s，M＝30
kg，m＝10
kg。
(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。
(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。
(供使用但不一定用到的对数值：lg2＝0.301，lg3＝0.477)
3.如图所示，4.如图所示，两端带有固定薄挡板的滑板C长为l，质量为，与地面间的动摩擦因数为μ，其光滑上表面上静置着质量分别为m、的物块，A、B，A位于C的中点，现使B以水平速度2v向右运动，与挡板碰撞并瞬间粘连，不再分开，A、B可看做质点，物块A与B、C的碰撞都可视为弹性碰撞。已知重力加速度为g，求：
5.（10分）如图，在光滑水平面上，有A、B、C三个物体，开始BC皆静止且C在B上，A物体以v0=10m/s撞向B物体，已知碰撞时间极短，撞完后A静止不动，而B、C最终的共同速度为4m/s．已知B、C两物体的质量分别为mB=4kg、mC=1kg，试求：
6．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
7.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；
（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；
b.求第n次碰撞后雨滴的动能
vn′2；
动量守恒的十种模型精选训练
动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。
一．碰撞模型
【模型解读】碰撞的特点是：在碰撞的瞬间，相互作用力很大，作用时间很短，作用瞬间位移为零，碰撞前后系统的动量守恒。无机械能损失的弹性碰撞，碰撞后系统的动能之和等于碰撞前系统动能之和，碰撞后合为一体的完全非弹性碰撞，机械能损失最大。
例1.如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
如果m＞M，第一次碰撞后A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后A停止，C以A的速度向右运动，A不可能与B发生碰撞；所以只需考虑m＜M的情况。
第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞后，A的速度vA2，B的速度vB1，同理
vA2＝
vA1=
A只与B、C各发生一次碰撞时有，vA2≤vC1
解得m2＋4mM－M2≥0……（６）
即m≥（－2）M，舍弃m≤－（－2）M）
则（－2）M≤m＜M。
【点评】解答时需要对m>M,m>M，m>M的情况进行讨论，得出可能的情况。对于弹性碰撞问题，需要运用动量守恒定律和机械能守恒定律列出相关方程联立解得。对于三体各发生一次碰撞，要通过分析得出两个物体碰撞后，两物体速度需要满足的条件。
针对训练题
1．如图，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m。两物块与地面间的动摩擦因数均相同。现使a以初速度v0向右滑动。此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞。重力加速度大小为g。求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件。
【名师解析】 设物块与地面间的动摩擦因数为μ。若要物块a、b能够发生碰撞，应有
mv>μmgl
①
即μ<。
②
设在a、b发生弹性碰撞前的瞬间，a的速度大小为v1。由能量守恒定律得
mv＝mv＋μmgl
③
设在a、b碰撞后的瞬间，a、b的速度大小分别为v1′、v2′，由动量守恒和能量守恒有
mv1＝mv1′＋mv2′
④
mv＝mv1′2＋·mv2′2
⑤
联立④⑤式解得
v2′＝v1
⑥
由题意，b没有与墙发生碰撞，由功能关系可知
·mv2′2≤μ·gl
⑦
联立③⑥⑦式，可得μ≥
⑧
联立②⑧式，a与b发生碰撞、但没有与墙发生碰撞的条件
≤μ<。
2．如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量为m＝1
kg的相同的小球A、B、C。现让A球以v0＝2
m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与C球碰撞，C球的最终速度vC＝1
m/s。问：
3．如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：
【名师解析】(1)设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得
m2gL＝m2v2
①
式中g为重力加速度的大小．设球a的质量为m1，在两球碰后的瞬间，两球的共同速度为v′，以向左为正方向，由动量守恒定律得
m2v＝(m1＋m2)v′
②
设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得
(m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cosθ)
③
联立①②③式得＝－1
④
代入题给数据得＝－1.⑤
(2)两球在碰撞过程中的机械能损失为
Q＝m2gL－(m1＋m2)gL
(1－cosθ)
⑥
联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek(Ek＝m2v2)之比为
＝1－(1－cosθ)
⑦
联立⑤⑦式，并代入题给数据得＝1－.⑧
4.水平光滑轨道AB与半径为R=2m竖直面内的光滑圆弧轨道平滑相接，质量为m=0.2kg的小球从图示位置C(C点与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为60°)自静止开始滑下，与放在圆弧末端B点的质量为M=13kg的物体M相碰时，每次碰撞后反弹速率都是碰撞前速率的11/12，设AB足够长，则m与M能够发生多少次碰撞？
5.（2016山西三模）如图所示，质量均为M=lkg的A、B小车放在光滑水平地面上，A车上用轻质细线悬挂质量m=0.5kg的小球。B车处于静止状态，A车以v0=2m/s的速度向右运动，两车相撞后粘在一起向右运动。求：
(i)两车相碰撞过程中损失的机械能；
(ii)当小球向右摆到最大髙度时,两小车的速度
及小球的最大高度值。
6.(2017长春质检)如图所示,在光滑的水平面上静止着一个质量为4m的木板B,B的左端静止着一个质量为2m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0。飞来与A物块碰撞后立即以大小为v0的速率弹回,在整个过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求：
①相对B静止后的速度；
②木板B至少多长?
②设A在B上滑过的距离为L，由能的转化和守恒定律得
2μmgL=2mv12-
(2m+4m)
v22
解得：
L=。
7.（10分）（2016东北四市模拟）在足够长的光滑水平面上有一个宽度为L的矩形区域，只要物体在此区域内就会受到水平向右的恒力F的作用。两个可视为质点的小球如图所示放置，B球静止于区域的右边界，现将A球从区域的左边界由静止释放，A球向右加速运动，在右边界处与B球碰撞（碰撞时间极短）。若两球只发生一次碰撞，且最终两球的距离保持不变，求
二．爆炸模型
【模型解读】爆炸是在极短时间内完成的，爆炸时物体之间的相互作用力远远大于系统所受外力，系统动量守恒。在爆炸过程中，由于有其它形式的能量（炸药的化学能）转化为机械能，爆炸过程中系统动能一定增加。
例2．如图所示，水平面上OM正中间有质量分别为2m、m的两物块B、C（中间粘有炸药），现点燃炸药，B、C被水平弹开，物块C运动到O点时与刚好到达该点速度为v0的小物块A发生迎面正碰，碰后两者结合为一体向左滑动并刚好在M点与B相碰，不计一切摩擦，三物块均可视为质点，重力加速度为g=10m/s2，求炸药点燃后释放的能量E．
【点评】凡是内力瞬时做功，使系统机械能瞬时增大的都可以归纳为爆炸模型。在“爆炸”过程中，动量守恒，内力瞬时做功等于系统增大的机械能。
针对训练题
1.一置于桌面上质量为M的玩具炮，水平发射质量为m的炮弹．炮可在水平方向自由移动．当炮身上未放置其它重物时，炮弹可击中水平地面上的目标A；当炮身上固定一质量为M0的重物时，在原发射位置沿同一方向发射的炮弹可击中水平地面上的目标B．炮口离水平地面的高度为h．如果两次发射时
“火药”提供的机械能相等，求B、A两目标与炮弹发射点之间的水平距离之比。
【名师解析】：由动量守恒定律和能量守恒定律得：
解得：
炮弹射出后做平抛，有：
解得目标A距炮口的水平距离为：
同理，目标B距炮口的水平距离为：
解得：
2.有一炮竖直向上发射炮弹,炮弹的质量为M=6.0kg(内含炸药的质量可以忽略不计),射出时的初速度v0=60m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片,其中一片质量为m=4.0kg。现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R=600m为半径的圆周范围内,则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？(,忽略空气阻力)
本题考查反冲模型的动量守恒问题，炮弹射出后根据竖直上抛规律计算出初速度，再由射出过程中系统动量守恒可计算出相关速度和物理量
设炮弹止升到达最高点的高度为H,根据匀变速直线运动规律,有：
解得，=180m
设质量为M的弹片刚爆炸后，其中质量为m的一块的速度为,另一块的速度为,根据动量守恒定律,有：
设质量为的弹片运动的时间为,根据平抛运动规律,有：
解得，v=100m/s,V=200m/s
炮弹刚爆炸后,两弹片的总动能
……1分
代入数值得………1分
从地面竖直向上发射一枚礼花弹，当上升速度为30
m／s时，距地面高度为150
m，恰好此时礼花弹炸开，分裂成质量相等的两部分，其中一部分经5
s落回发射点，求：
（1）另一部分炸开时的速度.(2)
另一部分落点位置和落回地面的时间。
（2）另一部分做竖直上抛运动，落回到抛出点。
由-
h=v2t2-gt22，解得：t2=s。
舍弃负值，得t2=s。
4.如图所示，在光滑水平面上，有一长L=2m的木板C，它的两端各有一块挡板，C的质量mC＝5kg，在C的正中央并排放着两个可视为质点的物块A和B，质量分别是mA＝1kg，mB＝4kg，开始时A、B、C都静止，A、B间夹有少量的塑胶炸药，由于炸药爆炸，使得A以6m／s的速度水平向左滑动，如果C的上表面光滑，物块与挡板相碰后都粘合在挡板上，求：
（2）炸药爆炸，A、B获得的速度大小分别为vA、vB．以向左为正方向，有：
mAvA-mBvB=0，解得：vB=1.5m/s，方向向右
炸药爆炸后，炸药对A、B物体做的总功是
W=mAvA2-mBvB2=22.5J
(3)然后A向左运动，与挡板相撞并合成一体，共同速度大小为vAC，由动量守恒，有：
mAvA=（mA+mC）vAC，解得：vAC=1m/s
此过程持续的时间为：t1=
=1/6s。
此后，设经过t2时间B与挡板相撞并合成一体，则有：
L/2=vACt2+vB（t1+t2），解得：t2=0.3s
所以，板C的总位移为：xC=vACt2=0.3m，方向向左
答案：（1）板C的速度是0
（2）炸药爆炸后，炸药对A、B物体做的总功是22.5J。
（3）板C的位移大小是0.3m，方向向左．
如图所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O为圆心、R为半径的一小段圆弧。可视为质点的物块A和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动。B到d点时速度沿水平方向，此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的，A与ab段的动摩擦因数为μ，重力加速度g，求：
（ii）碰撞过程中系统机械能损失：⑥
解得：
8.（10分）如图所示，AB为光滑的斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，小球乙静止于水平轨道上。一个质量大于小球乙的小球甲以水平速度v0与乙球发生弹性正碰，碰后乙球沿水平轨道滑向斜面轨道AB。求：在甲、乙发生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能达到最大高度的范围（设斜面轨道足够长，重力加速度为g）。
当M远大于m时，当M=m时，（1分）
由乙球碰后，滑上斜面过程中机械能守恒得：
（2分）
解得：
所以有：
v0＜v2＜2v0
＜h＜
（2分）
三．反冲模型
【模型解读】物体的不同部分在内力作用下向相反方向的运动，称为反冲。反冲的特点是物体间相互作用的内力大，在外力远远小于内力情况下，可以认为动量守恒。常见的反冲现象有：喷气式飞机的运动，火箭的运动，放射性元素的衰变等。
例3.一个连同装备总质量为M=100kg的宇航员，在距离飞船x=45m处与飞船处于相对静止状态，宇航员背着装有质量为m0=0.5
kg氧气的贮气筒。筒上装有可以使氧气以v=50
m/s的速度喷出的喷嘴，宇航员必须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船，同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用，宇航员的耗氧率为Q=2.5×10-4
kg/s，不考虑喷出氧气对设备及宇航员总质量的影响，则：
(1)瞬时喷出多少氧气，宇航员才能安全返回飞船？
(2)为了使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气？返回时间又是多少？
【名师解析】
(1)由题述可知所求的喷出氧气的质量m应有一个范围，若m太小，宇航员获得的速度也小，虽贮气筒中剩余的氧气较多，但由于返回飞船所用的时间太长，将无法满足他途中呼吸所用，若m太大，宇航员获得的速度虽然大了，而筒中氧气太少，也无法满足其呼吸作用，所以m对应的最小和最大两个临界值都应是氧气恰好用完的情况，设瞬间喷气m
kg时，宇航员恰能安全返回，根据动量守恒定律可得：
mv=MV
①
宇航员匀速返回的时间为
t=x/V
②
贮气筒中氧气的总质量：m0≥m+Qt
③
代入数据可得0.05
kg≤m≤0.45
kg
(2)当总耗氧量最低时，宇航员安全返回，共消耗氧气△m，则△m=m+Qt
④
由①②④可得
△m=+m=+m
当m
=，即m=0.15
kg时，△m有极小值，故总耗氧量最低时，应一次喷出m=0.15
kg的氧气。
将m=0.15
kg代入①②两式可解得返回时间：t=600
s。
【点评】若向前瞬时喷出微量气体，根据动量定理，则受到一个向后的瞬时作用力，具有一个瞬时加速度，获得一个速度后退。若向前持续喷出气体，则速度一个向后的持续力，具有持续的加速度。
针对训练题
一．选择题
1．运送人造地球卫星的火箭开始工作后，火箭做加速运动的原因是()
A．燃料燃烧推动空气，空气反作用力推动火箭
B．火箭发动机将燃料燃烧产生的气体向后排出，气体的反作用力推动火箭
C．火箭吸入空气，然后向后排出，空气对火箭的反作用力推动火箭
D．火箭燃料燃烧发热，加热周围空气，空气膨胀推动火箭
2．静止的实验火箭，总质量为M，当它以对地速度为v0喷出质量为Δm的高温气体后，火箭的速度为()
A.B．－
C.D．－
【名师解析】：取火箭及气体为系统，则气流在向外喷气过程中满足动量守恒定律，由动量守恒定律得0＝Δmv0＋(M－Δm)v
解得v＝－v0，所以B选项正确。
3．一小型火箭在高空绕地球做匀速圆周运动，若其沿运动方向的相反方向射出一物体P，不计空气阻力，则()
A．火箭一定离开原来轨道运动
B．P一定离开原来轨道运动
C．火箭运动半径可能不变
D．P运动半径一定减小
【名师解析】：火箭射出物体P后，由反冲原理火箭速度变大，所需向心力变大，从而做离心运动离开原来轨道，半径增大A项对，C项错；P的速率可能减小，可能不变，可能增大，运动也存在多种可能性，所以B、D错。
4．一装有柴油的船静止于水平面上，船前舱进水，堵住漏洞后用一水泵把前舱的油抽往后舱，如图所示。不计水的阻力，船的运动情况是
A．向前运动
B．向后运动
C．静止
D．无法判断
二．计算题
1．一火箭喷气发动机每次喷出m＝200
g的气体，喷出的气体相对地面的速度v＝1
000
m/s。设此火箭初始质量M＝300
kg，发动机每秒喷气20次，在不考虑地球引力及空气阻力的情况下，火箭发动机1
s末的速度是多大？
【名师解析】：以火箭和它在1
s内喷出的气体为研究对象，系统动量守恒。设火箭1
s末的速度为v′，1
s内共喷出质量为20m的气体，以火箭前进的方向为正方向。
由动量守恒定律得(M－20m)v′－20mv＝0，解得v′＝＝
m/s≈13.5
m/s。
答案：13.5
m/s
2．如图5－4所示，一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A。求男演员落地点C与O点的水平距离x。已知男演员质量m1和女演员质量m2之比＝2，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C点比O点低5R。
3.课外科技小组制作了一只水火箭，用压缩空气压出水流使火箭运动。用压缩空气压出水流使火箭运动。假如喷出的水流流量保持为2×10-4m3/s，喷出速度保持为对地10
m/s。启动前火箭总质量为1.4kg，则启动2s末火箭的速度可以达到多少？已知火箭沿水平轨道运动阻力不计，水的密度是103kg/m3。
【名师解析】
“水火箭”喷出水流做反冲运动．设火箭原来总质量为M，喷出水流的流量为Q，水的密度为ρ，喷出水流的速度为v，火箭的反冲速度为v′，由动量守恒定律得
(M-ρQt)v’=ρQtv，火箭启动2
s末的速度为
v′＝＝4
m/s。
平板车停在水平光滑的轨道上，平板车上有一人从固定在车上的货厢边沿水平方向顺着轨道方向跳出，落在平板车上的A点，距货厢水平距离为l=4
m，如图所示。人的质量为m，车连同货厢的质量为M=4
m，货厢高度为h=1.25
m(g取10
m/s2)。求：
5.连同炮弹在内的炮车停放在水平地面上，炮车质量为M,炮膛中炮弹质量为m,炮车与地面间的动摩擦因数为μ,炮筒的仰角为α,设炮弹以相对于炮筒的速度v0射出,那么炮车在地面上后退多远?
【名师解析】：在发炮瞬间，炮车与炮弹组成的系统在水平方向上动量守恒．，所以．
发炮后，炮车受地面阻力作用而做匀减速运动，利用运动学公式，其中，所以．
四．子弹打木块模型
【模型解读】若木块不固定，子弹打木块过程中，子弹与木块的作用力远大于木块所受阻力，系统动量守恒。子弹打木块过程中，子弹和木块的位移不同，二者相互作用，导致系统机械能减小，减小的机械能转化为内能。对于子弹打木块问题，若计算相互作用前后的速度，可利用动量守恒定律列方程解答；若涉及相互作用的时间，一般需要利用动量定理列方程解答；若涉及子弹打入木块的深度，一般需要分别对子弹和木块分别运用动量定理列方程解答。
例4
.如图所示，在光滑水平地面上的木块M紧挨轻弹簧靠墙放置。子弹m以速度v0沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩劲度系数未知弹簧至弹簧最短．已知子弹质量为m，木块质量是子弹质量的9倍，即M=9m；弹簧最短时弹簧被压缩了△x；劲度系数为k、形变量为x的弹簧的弹性势能可表示为Ep=kx2。求：
（2）设弹簧的劲度系数为k，根据题述，弹簧最短时弹簧被压缩了△x，其弹性势能可表示为Ep=k(△x)2
木块压缩轻弹簧过程，由机械能守恒定律，(m+M)v2=Ep
解得：弹簧的劲度系数k=.【点评】此题涉及两个模型，子弹打木块模型和轻弹簧模型。子弹打木块模型，一定有机械能损失，损失的机械能等于系统动能之差，也等于子弹所受阻力乘以子弹打入木块的深度（若子弹从木块穿出，则损失的机械能等于子弹所受阻力乘以木块长度）。
针对训练题
1（8分）（2016高考海南物理）如图，物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动，碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h为纵坐标，v2为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92
×10-3s2/m。已知物块A和B的质量分别为mA=0.400kg和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.8m/s2。
【名师解析】
（2）（8分）
（i）设物块A和B碰撞后共同运动的速度为,由动量守恒定律有
①
在碰撞后A和B共同上升的过程中，由机械能守恒定律有
②
联立①②式得
③
由题意得
④
代入题给数据得
⑤
评分参考：第（i）问7分，①②式各2分，③④⑤式各1分；第（ii）问1分，⑦式1分。
如图所示，在固定的光滑水平杆上，套有一个质量为m=0.5kg的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量为M=1.98kg的木块，现有一质量为m0=20g的子弹以v0=100m/s的水平速度射入木块并留在木块中（不计空气阻力和子弹与木块作用的时间，g取10m/s2）
求：
①子弹射入木块过程，系统的动量守恒，取向右方向为正方向，根据动量守恒定律得：则有：m0v0=（m0+M）v
得：v=1m/s
机械能只在该过程有损失，损失的机械能为 △E=m0v02-
(m0+M)
v2 =99J
3.如图所示，两物块A、B并排静置于高h=0.80m的光滑水平桌面上，两物块的质量均为M=0.60kg。一颗质量m=0.10kg的子弹C以v0=100m/s的水平速度从左面射入A物块，子弹射穿A后接着射入B并留在B中，此时A、B都没有离开桌面。已知物块A的长度为0.27m，A离开桌面后，落地点到桌边的水平距离s=2.0m。设子弹在物块A、B
中穿行时受到的阻力保持不变，g取10m/s2。求：
(1)子弹射穿物块A后，A以速度vA沿桌面水平向右匀速运动，离开桌面后做平抛运动
t=0.40s
A离开桌边的速度
=5.0m/s
设子弹射入物块B后，子弹与B的共同速度为vB，子弹与两物块作用过程系统动量守恒：
B离开桌边的速度=10m/s
（2）设子弹离开A时的速度为，子弹与物块A作用过程系统动量守恒：
解得：m/s
子弹在物块B中穿行的过程中，由能量守恒
①
子弹在物块A中穿行的过程中，由能量守恒
②
由①②解得m
本题考查动量守恒与能量守恒的应用，物块A被子弹射穿后做平抛运动飞出桌面，由平抛运动规律可求得平抛运动的初速度及子弹射穿后木块的速度，在子弹射穿木块过程中系统动量守恒，子弹射进木块B中，木块B向右加速，使得A、B分离，如果以子弹、木块A、B为一个系统，内力远远大于外力，系统动量始终守恒，初状态为AB静止，末状态为子弹与B共速，列式可求得B的速度，再以子弹和木块A为研究对象，动量守恒可求得子弹飞出后的速度，此时AB速度相同，再以子弹和B为一个系统，系统动能的减小量完全转化为内能，系统的内能为阻力乘以相对距离及打进物体B的深度，由此可求解。
如图所示，质量为mB=2kg的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一块质量为mA=2kg的物体A，一颗质量为m0=0.01kg的子弹以υ0=600m/s的水平初速度瞬间射穿A后，速度变为υ2=100m/s，已知A、B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止．
（1）
（2）对A、B组成的系统研究，根据动量守恒定律得：
mAvA=（mA+mB）v1
代入数据得：2×2.5=（2+2）v1
解得：v1=1.25m/s．
（3）对B，取向右方向为正，根据动量定理得：
μmBgt=mBv1
解得：μ=
=0.5。
5.如图，一质量为M的物快静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h。一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度v0/2射出。重力加速度为g。
（2）设物块下落到地面所面时间为t，落地点距桌面边缘的水平距离为s，则
⑤
s=Vt
⑥
由②⑤⑥得S=
⑦
6.装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击．通过对一下简化模型的计算可以粗略说明其原因．质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑桌面上．质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿．现把钢板分成厚度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图所示．若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度．设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞不计重力影响．
【名师解析】
质量为m的子弹以某一速度V垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿且钢板和子弹获得速度为V，则由系统动量守恒和摩擦力做功等于系统动能的减少得：
mv=（m+2m）v…①
…②
质量为m的子弹以某一速度V垂直射穿第一块钢板，获得速度V1，钢板速度V2
则由系统动量守恒和摩擦力做功等于系统动能的减少
mv=mv1+mv2…③
…④
质量为m的子弹以速度V1垂直射向第二块钢板在第二块钢板中进入深度d，公共速度V3，则由系统动量守恒和摩擦力做功等于系统动能的减少
mv1=2mv3…⑤
…⑥
联立以上六式化简得
答：子弹射入第二块钢板的深度
五．人船模型
【模型解读】人在船上静止在水面，人在船上行走，船后退，若人船系统所受的合外力为零（不考虑船运动所受水的阻力），则人船系统动量守恒。由m1v1=m2v2，解得：=.。对于相互作用的整个过程，有=.。两个原来静止的物体发生相互作用时，若系统所受的合外力为零，都可视为人船模型。解答时，可画出两个物体位移关系图，确定两个物体的位移关系。
“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用，它把速度和质量的关系推广到质量和位移的关系，这样给我们提供了一种解题思路和解决问题的方法。人船问题的适用条件是：两个物体组成的系统(当有多个物体组成系统时，可以先转化为两个物体组成的系统)动量守恒，系统的合动量为零。
这种模型中涉及两种题型，一种题型是求解某物体在相互作用过程中通过的位移，此题型中需根据动量守恒、位移关系得到两个关系求解，如在图中，人从船头走到船尾时由动量守恒可得：
再由图中几何关系有
可得人船的位移分别为
另一种题型是求某一时刻物体的速度，这种题型是先要由动量守恒求得两物体的一个速度关系，再由能量守恒得到两物体的另一个速度关系，从而求得物体的瞬时速度(或与瞬时速度相关的物理量)。
例5.如图所示，质量为m、半径为r的小球，放在内半径为R，质量为M=3m的大空心球内，大球开始静止在光滑水平面上，当小球由图中位置无初速度释放后沿内壁滚到最低点时，大球移动的距离为（）
【点评】对于人船模型问题，画出示意图可清晰两物体之间的位移关系。
针对训练题
1．气球质量为200
kg，载有质量为50
kg的人，静止在空气中距地面20
m高的地方，气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则这绳长至少应为多长？(不计人的高度)
【名师解析】(此题为竖直方向上的“人船模型”)
下滑过程人和气球组成的系统总动量为零且守恒，以向下为正方向，设m1、m2分别为人和气球的质量，v1、v2分别为人和气球的平均速度大小，则
m1v1－m2v2＝0，m1x1－m2x2＝0，x1＝20
m，x2＝＝5
m，绳长l＝x1＋x2＝25
m。
答案：25
m
2．质量为m的人站在质量为M、长度为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边，当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？
3．质量为m的木块和质量为M的铁块用细绳系在一起处于深水中静止。剪断细绳，木块上浮，铁块下沉。当木块上浮距离h时（还没有露出水面），铁块下沉的距离是多少？
把木块和铁块看作一个系统，所受浮力与重力相等，在竖直方向合外力为零，满足动量守恒定律。可视为竖直方向的人船模型，mh-MH=0，解得：H=mh/M。
4.如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平地面上，车上装有半径为R的半圆形光滑轨道，现将质量为m的小球在轨道的边缘由静止释放，当小球滑至半圆轨道的最低位置时，小车移动的距离为多少？小球的速度大小为多少？
六．弹簧连接体模型
【模型解读】两个物体在相对运动过程中通过弹簧发生相互作用，系统动量守恒，机械能守恒。
例6..如图所示，A、B两物体的中间用一段细绳相连并有一压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态。若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上未滑离之前，A、B在C上向相反方向滑动的过程中
【点评】此题涉及A、B、C三个物体，解答三体问题，正确选择研究对象，明确外力和内力是关键。弹簧弹力对A、B组成的系统和A、B、C组成的系统都是内力；A、B与C之间的摩擦力对A、B组成的系统是外力，对A、B、C组成的系统是内力。
针对训练题
1.【河北定州中学2016-2017学年第一学期高三物理周练试题（一）】在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬杆上，穿着三个半径相同的刚性球A、B、C，三球的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg，初状态BC球之间连着一根轻质弹簧并处于静止，B、C连线与杆垂直并且弹簧刚好处于原长状态，A球以v0=9m/s的速度向左运动，与同一杆上的B球发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），求：
【参考答案】（1）；（2）；（3）零。
（1）A、B发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律有：
碰后A、B的共同速度
损失的机械能
考点：动量守恒定律的应用，弹性碰撞和完全非弹性碰撞。
【名师点睛】A、B发生弹性碰撞，碰撞的过程中动量守恒、机械能守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出A球与B球碰撞中损耗的机械能．当B、C速度相等时，弹簧伸长量最大，弹性势能最大，结合B、C在水平方向上动量守恒、能量守恒求出最大的弹性势能．弹簧第一次恢复原长时，由系统的动量守恒和能量守恒结合解答
2.（2016贵阳花溪清华四模）如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg.用轻弹簧栓接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触.另有一物块C从t=0时以一定速度向右运动，在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图象如图乙所示.求：
③12s，B离开墙壁，之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，且当A.C与B速度相等时，弹簧弹性势能最大.得Ep=9J。
3.光滑水平面上放着质量mA
＝1
kg的物块A与质量为mB
＝2
kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能为Ep＝
J．在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示．放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R＝0.5
m，B恰能运动到最高点C．取g＝10
m/s2，求：
⑵设弹簧恢复到自然长度时B的速度为v1，取水平向右为正方向，有
I＝mBvB－mBv1
解得：I＝－4
N·s，其大小为4N·s
⑶设绳断后A的速度为vA，取水平向右为正方向，有
mBv1＝mBvB＋mAvA
解得：W＝8
J。
4.如图所示，在光滑水平地面上，有一质量为m1=4.0kg的平板小车，小车的右端有一固定的竖直挡板，挡板上固定一轻质细弹簧。位于小车上A点处质量m2＝1.0kg的木块(可视为质点)与弹簧的左端相接触但不连接，此时弹簧与木块间无相互作用力。木块与A点左侧的车面之间的动摩擦因数μ＝
0.40，木块与A点右侧的车面之间的摩擦可忽略不计。现小车与木块一起以v0＝
2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v
1＝
1.0m/s的速度反向弹回，已知重力加速度g取10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。求:
(1)小车撞墙后弹簧的最大弹性势能；
(2)要使木块最终不从小车上滑落，则车面A点左侧粗糙部分的长度应满足什么条件?
（2）根据题意，木块被弹簧弹出后滑到A点左侧某处与小车具有相同的速度v’
时，木块将不会从小车上滑落,此过程中，二者组成的系统动量守恒，故有v’
=v=0.40m/s，⑤
木块在A点右侧运动过程中，系统的机械能守恒，而在A点左侧相对滑动过程中将克服摩擦阻力做功，设此过程中滑行的最大相对位移为L，根据功能关系有
μm2gL=
m1v12+m2v02－（m1+m2）v’2，⑥
解得L=0.90m，⑦
即车面A点左侧粗糙部分的长度应大于0.90m。
5.如图所示，在光滑水平地面上有一固定的挡板，挡板上固定一个轻弹簧．现有一质量M=3kg，长L=4m的小车AB(其中O为小车的中点，AO部分粗糙，OB部分光滑)，一质量为m=1kg的小物块(可视为质点)，放在车的最左端，车和小物块一起以v0=4m/s的速度在水平面上向右匀速运动，车撞到挡板后瞬间速度变为零，但未与挡板粘连．已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内，小物块与车AO部分之间的动摩擦因数为μ0.3，重力加速度g=10m/s2．求：
（2）设小物块离开弹簧时的速度为v1，有Ep=mv12，⑤
对小物块，根据动量定理
I=-
mv1-
mv
⑥
由⑤⑥式并代入数据得I=-4kg·m/s，⑦
弹簧对小物块的冲量大小为4kg·m/s，方向水平向左。⑧
（3）小物块滑过O点和小车相互作用，根据动量守恒
mv1=(m+M)v2，⑨
由能量守恒定律，μmgx=mv12+
(m+M)v22，⑩
小物块最终停在小车上距A的距离
xA=L/2-x
⑾
由⑦⑧⑨式并代入数据得xA=1.5m
⑿
七．物快木板叠放体模型
【模型解读】木板放在光滑水平面上，物快在木板上运动，相互作用的是摩擦力，系统动量守恒。物快在木板上相对运动过程中，摩擦生热，产生热量Q=fs，式中s为二者相对运动路程。
例7.如图所示，平板车P的质量为M，小物快Q的质量为m，大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平地面上．一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q的正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球(大小不计)．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°角，由静止释放，小球到达最低点时与Q碰撞的时间极短，且无能量损失，已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m=4：1，重力加速度为g．求：
（2）小球与物块Q相撞时，没有能量损失，满足动量守恒，机械能守恒，则有：
mv0=mv1+mvQ
mv02=mv12+mvQ2
由以上两式解得v1=0，vQ=v0=
小物块Q在平板车上滑行的过程中，满足动量守恒，设Q离开平板车时平板车的速度为v，则有：mvQ=Mv+m·2v又知M∶m=4∶1
联立解得小物块Q离开平板车时平板车的速度为：v=vQ=。
（3）小物块Q在平板车P上滑动的过程中，部分动能转化为内能，由能的转化和守恒定律，知：μmgL=mvQ2-Mv2-m·(2v)2，解得平板车P的长度为：L=.【点评】此题涉及三个物体三个过程，分别为小球由静止摆到最低点的机械能守恒过程，小球与小物快的碰撞过程（动量守恒，动能守恒），小物块Q在平板车上滑行的过程（动量守恒，机械能不守恒）。对于多物体多过程问题，要根据题述物理过程，正确选择系统和过程，运用相关物理规律列方程解答。
针对训练题
1.如图所示，质量m=2kg的滑块（可视为质点），以v0=5m/s的水平初速度滑上静止在光滑水平面的平板小车，若平板小车质量M=3kg，长L=4.8m。滑块在平板小车上滑移1.5s后相对小车静止。求：
ⅱ.设当滑块刚滑到平板小车的右端时，两者恰有共同速度，为v2
由动量守恒定律：
解得：
考点：考查了动量守恒，动能定理
【名师点睛】以滑块与小车组成的系统为研究对象，系统所受合外力为零，由动量守恒定律可以求出它们共同运动时的速度，对滑块由动量定理可以求出动摩擦因数．根据能量守恒定律求出滑块的最大初速度．
2.一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止。重力加速度为g。求：
（2）
木块返回与物体P第二次达到共同速度与第一次相同（动量守恒）全过程能量守恒得： mv02=
(m+2m)
v2+
f(2L-s)
联立解得：s=L。
3.如图所示，在光滑水平面上有木块A和B，mA=0.5kg，mB=0.4kg，它们的上表面是粗糙的。今有一铁块C，mC=0.1kg，以初速度v0＝10m/s沿两木块表面滑过，最后停止B上，此时B、C以共同速度v＝1.5m/s运动，求：
【名师解析】
（1）由动量守恒定律，mC
v0＝mA
vA+（mB
+
mC）v
解得：vA＝0.5m/s。
（2）由动量守恒定律，mC
v0＝（mB
+mA）
vA+
mCvC
解得：vC＝5.5m/s。
4.(2017长春质检)如图所示,在光滑的水平面上静止着一个质量为4m的木板B,B的左端静止着一个质量为2m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0。飞来与A物块碰撞后立即以大小为v0的速率弹回,在整个过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求：
①相对B静止后的速度；
②木板B至少多长?
5.(2017唐山第一次调研)
质量m1=1kg的木板放在光滑水平地面上，质量m2=0.2kg的木块置于木板的右端，木板与木块之间的动摩擦因数μ=0.3.某时刻二者同时开始运动，木板的初速度v01=3m/s，水平向右；木块的初速度v02=1m/s，水平向左；如图所示。已知重力加速度g=10m/s2，小木块可视为质点。求：
6．（2017天津静海一中质检）如图所示是固定在水平地面上的横截面为“”形的光滑长直导轨槽，槽口向上（图为俯视图）．槽内放置一个木质滑块，滑块的左半部是半径为R的半圆柱形光滑凹槽，木质滑块的宽度为2R，比“”形槽的宽度略小．现有半径r（r＜＜R）的金属小球以水平初速度v0=4m/s冲向滑块，从滑块的一侧半圆形槽口边缘进入．已知金属小球的质量为m=1kg，木质滑块的质量为M=3kg，整个运动过程中无机械能损失．求：
【名师解析】（1）设滑离时小球和滑块的速度分别为v1和v2，选择向右为正方向，由动量守恒：
mv0=mv1+Mv2
又
得v1=﹣2m/s，v2=2m/s
即金属小球和木质滑块的速度的大小均为2m/s
7.如图，用两根等长的细线分别悬挂两个弹性球A、B，球A的质量为2m，球B的质量为9m，一颗质量为m的子弹以速度vo水平射入球A，并留在其中，子弹与球A作用时间极短；设A、B两球作用为对心弹性碰撞．求：
（i）子弹与A球作用过程中，子弹和A球系统损失的机械能；
（ii）B球被碰撞后，从最低点运动到最高点过程中，合外力对B球冲量的大小．
根据摆动过程中动量的变化用动量定理有：I=△P=0﹣9mv2=﹣
所以合外力对B球冲量大小为，方向向左．
答：（1）子弹与A球作用过程中，子弹和A球系统损失的机械能为；
（2）B球被碰撞后，从最低点运动到最高点过程中，合外力对B球冲量的大小为．
动量守恒的十种模型精选训练8
动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。
八．多次碰撞模型
【模型解读】若放在光滑水平面上的凹槽中的物体以某一速度与其碰撞，则会发生多次碰撞。对于发生多次碰撞的系统，若只需计算二者相对静止时的速度，则可根据初末状态利用动量守恒定律列方程解得。
例8.在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，L为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以v0＝5m/s初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。g取10m/s2。求：
（3）设凹槽与物块碰撞前的速度分别为v1、v2，碰撞后的速度分别为v1’、v2’，有
mv1+mv2=
mv1’+mv2’，mv12+mv22=
mv1’
2+mv2’
2，联立解得：v1’=
v2，v2’=
v1。
即每碰撞一次凹槽与物块发生一次速度交换，在同一坐标系上两者的速度图线如图所示。根据碰撞次数可分为13段。凹槽、物块的v-t图线在两条连续的匀变速直线运动图线间转换，故可用匀变速直线运动规律求时间。则
v=v0+at，a=-μg，解得：t=5s。
凹槽的v-t图线所包围的阴影部分面积即为凹槽的位移大小s2。（等腰三角形面积共分13份，第一份面积为0.5L，其余每份面积均为L）。
s2=()t+6.5L，s2=12.75m。
【点评】对于两个物体的多次碰撞模型，一般涉及动量守恒定律、动能定理等知识点，难度较大。对于限定路径上的往返相对运动问题，若求相对静止的位置或碰撞次数，关键是利用动能定理求出相对运动的路程。
针对训练题
1．(2016·云南名校统考)如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量为m＝1
kg的相同的小球A、B、C。现让A球以v0＝2
m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与C球碰撞，C球的最终速度vC＝1
m/s。问：
(2)A、B两球与C球碰撞同样满足动量守恒定律，则有
2mv1＝mvC＋2mv2
相碰后A、B两球的速度v2＝0.5
m/s
两次碰撞损失的动能ΔEk＝mv－(2m)v－mv＝1.25
J。
2.水平光滑轨道AB与半径为R=2m竖直面内的光滑圆弧轨道平滑相接，质量为m=0.2kg的小球从图示位置C(C点与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为60°)自静止开始滑下，与放在圆弧末端B点的质量为M=13kg的物体M相碰时，每次碰撞后反弹速率都是碰撞前速率的11/12，设AB足够长，则m与M能够发生多少次碰撞？
3.甲乙两车总质量（包括人、车及砂袋）均为500kg，在光滑水平面上沿同一直线相向而行，两车速度大小分别为v甲=3.8m/s，v乙=1.8m/s，为了不相撞，甲车上的人将编号分别为1、2、3···n，质量分别为1kg、2kg、3kg······nkg的砂袋依次均为20m/s相对地的速度水平抛入乙车，试求：
（1）第几号砂袋投入乙车后，乙车速度为零？
（2）至少第几号砂袋投入乙车后，若两车尚未相碰，则不会相撞？
【名师解析】（1）以乙车和投入乙车的砂袋为系统，设乙车原来速度方向为正方向，第k号砂袋投入乙车后，乙车速度为零，则有
M
v乙-（m1+
m2+
m3+···+
mk）v0=（M+m1+
m2+
m3+···+
mk）v’乙，m1+
m2+
m3+···+
mk
=1+2+3+···+k=（1+k）k
v’乙=0
联立解得：k=9.即第9号砂袋投入乙车后，乙车速度为零。
46．【2015·全国新课标Ⅰ·35（2）】如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
【参考答案】
【名师解析】设A运动的初速度为
A向右运动与C发生碰撞，根据弹性碰撞可得
可得
要使得A与B发生碰撞，需要满足，即
A反向向左运动与B发生碰撞过程，弹性碰撞
整理可得
由于，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足
即
整理可得
解方程可得
【考点定位】
弹性碰撞
【名师点睛】对于弹性碰撞的动量守恒和能量守恒要熟知，对于和一个静止的物体发生弹性碰撞后的速度表达式要熟记，如果考场来解析，太浪费时间。
7.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；
（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；
b.求第n次碰撞后雨滴的动能
vn′2；
（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒。
a．
第1次碰撞前，v12
=
v02+2gl，解得v1=。
第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得
v1′
=
v1=。
b.第2次碰撞前
v22
=
v1’2+2gl，解得v22=()2
v02+()2gl。
第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=
v02+2gl。
同理，第3次碰撞后v3’2=
v02+2gl。
…………
第n次碰撞后，vn’2=()2
v02+2gl。
动能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。
【2015·全国新课标Ⅰ·35（2）】如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
【参考答案】
【名师解析】设A运动的初速度为
A向右运动与C发生碰撞，根据弹性碰撞可得
可得
要使得A与B发生碰撞，需要满足，即
A反向向左运动与B发生碰撞过程，弹性碰撞
整理可得
由于，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足
即
整理可得
解方程可得
【考点定位】
弹性碰撞
【名师点睛】对于弹性碰撞的动量守恒和能量守恒要熟知，对于和一个静止的物体发生弹性碰撞后的速度表达式要熟记，如果考场来解析，太浪费时间。
5.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；
（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；
b.求第n次碰撞后雨滴的动能
vn′2；
（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒。
a．
第1次碰撞前，v12
=
v02+2gl，解得v1=。
第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得
v1′
=
v1=。
b.第2次碰撞前
v22
=
v1’2+2gl，解得v22=()2
v02+()2gl。
第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=
v02+2gl。
同理，第3次碰撞后v3’2=
v02+2gl。
…………
第n次碰撞后，vn’2=()2
v02+2gl。
动能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。
动量守恒的十种模型精选训练9
动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。
九．临界模型
例9．如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3
m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3
m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30
kg，冰块的质量为m2＝10
kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g＝10
m/s2。
(ⅰ)求斜面体的质量；
(ⅱ)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
(ⅱ)设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1＋m2v0＝0
④
代入数据得v1＝－1
m/s
⑤
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有
m2v0＝m2v2＋m3v3
⑥
m2v＝m2v＋m3v
⑦
联立③⑥⑦式并代入数据得v2＝－1
m/s
⑧
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩。
针对训练题
1.甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车质量共为M=30kg，乙和他的冰车质量也是30
kg，游戏时，甲推着一个质量为m=15
kg的箱子，和他一起以大小为v0=2.0
m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦力，求：
(1)甲至少要以多大的速度（相对地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞？
(2)甲推出箱子时对箱子做了多少功？
【名师解析】：(1)设三个物体的共同速度为v，根据系统动量守恒，有(M+m)v0-Mv0=(M+m+M)v
设箱子被推出的速度为v＇，根据箱、乙二者动量守恒有：mv＇-Mv0=(M+m)v
=5.2
m/s
(2)根据动能定理，甲对箱子所做的功为：
2.在光滑的冰面上静止放置一截面为四分之一圆弧的半径足够大的光滑的自由曲面，一个坐在冰车上的小孩手扶一小球静止在冰面上．某时刻小孩将小球以v0=2m/s的速度向曲面推出（如图所示）．已知小孩和冰车的总质量为m1=40kg，小球质量为m2=2kg，曲面质量为m3=10kg．试求小孩将球推出后还能否再接到球，若能，则求出再接到球后人的速度，若不能，则求出球再滑回水平面上的速度．
【名师解析】 人推球过程，水平方向上动量守恒：0=m2v0-m1v1，代入数据得：v1=0.1m/s
球和曲面相互作用时，水平方向动量守恒：m2v0=-m2v2+m3v3，机械能守恒：m2v02=
m2v22+
m3v32，得：v2=m/s
∵v2＞v1，所以人能再接住球．
人接球过程（以向右为正），由动量守恒有：m1v1+m2v2=（m1+m2）v共，∴v共=
m/s．
3.（10分）（2016河南平顶山新乡许昌三模）如图所示，AB为光滑的斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，小球乙静止于水平轨道上。一个质量大于小球乙的小球甲以水平速度v0与乙球发生弹性正碰，碰后乙球沿水平轨道滑向斜面轨道AB。求：在甲、乙发生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能达到最大高度的范围（设斜面轨道足够长，重力加速度为g）。
当M远大于m时，当M=m时，（1分）
由乙球碰后，滑上斜面过程中机械能守恒得：
（2分）
解得：
所以有：
v0＜v2＜2v0
＜h＜
（2分）
4.如图所示，甲车质量m1=20kg，车上有质量M=50kg的人，甲车（连同车上的人）从足够长的斜坡上高h=0.45m由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动。此时质量m2=50kg的乙车正以v0=1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度（相对地面）应在什么范围以内？不计地面和斜坡的摩擦，取g=10m/s2。
【名师解析】
甲车（包括人）滑下斜坡后速度：v甲=“2gh=3“
m/s,在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各自动量守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，两车速度分别为v甲′和v乙′，则：
（M+m1)v甲=Mv+m1v甲′ ①?
Mv-m2v0=(M+m2)v乙′ ②?
恰不发生相撞的条件为：v甲′=±v乙′ ③?
从①得：v甲′=
从②得：v乙′=
当v甲′=v乙′时，有=时，得v=3.8m/s。
当v甲′=－v乙′时，有=－时，得v=4.8m/s
所以，人跳离甲车的速度（对地）应满足3.8
m/s≤v≤4.8
m/s。
5.人和冰车的总质量为M，另一木球质量为m，且M∶m＝31∶2．人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v(相对地面)将原来静止的木球沿冰面推向正前方向的固定挡板，不计一切摩擦阻力，设小球与挡板的碰撞是弹性的，人接住球后，再以同样的速度v(相对地面)将球推向挡板．求人推多少次后不能再接到球？
【名师解析】
设第1次推球后人的速度为v1，有0＝Mv1－mv，第1次接球后人的速度为v1′，有mv1′＋mv＝(M＋m)v1′；
第2次推球(M＋m)v1′＝Mv2－mv，第2次接球Mv2＋mv＝(M＋m)v2′……
第n次推球
(M＋m)vn－1′＝Mvn－mv，可得vn＝，当vn≥v时人便接不到球，可得n≥8.25，取n＝9．
本题也可以利用动量定理求解．以人和球及冰车为研究对象，挡板改变该系统动量，球每碰一次挡板，系统动量改变量为2mv，方向同接球的反方向．设推n次(球与挡板碰n－1次)后，有(n－1)2mv＝Mvn－mv，n＝8.25，取n＝9．
6.如图所示，是一个竖直放置的内壁光滑的圆筒，从圆筒底部可以以某一初速度沿圆筒轴线OO′竖直向上发射质量为m1的小球，小球恰好不会射出圆筒。在圆筒的某一高度处有一环型卡，现将一质量为m2能沿筒向上移动的贴壁圆盖放在环型卡上，从圆筒底部发射的小球与贴壁圆盖相撞，若碰撞时间极短，且没有机械能损失。要想使得碰后贴壁圆盖不会飞出圆筒，试定量求出发射小球的质量m1与贴壁圆盖的质量m2满足的条件。
【名师解析】
设小球与贴壁圆盖碰撞前的速度为v0，碰撞后小球、贴壁圆盖速度分别v1、v2由于碰撞时间极短，小球与贴壁圆盖组成的系统相撞前后动量守恒：
m1v0=m1v1+m2v2
①
由于没有机械能损失，小球与贴壁圆盖组成的系统相撞前后动能守恒：
②
解之得：v2=v0
③
由于碰撞前的小球，碰撞后的贴壁圆盖均在做竖直上抛运动，由竖直上抛运动的规律可知：贴壁圆盖要不飞出圆筒，速度必须满足：v2≤v0
④
即：v0≤v0
⑤
m1≤m2
⑥
动量守恒的十种模型精选训练10
动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。
十．多体作用模型
【模型解读】所谓多体作用模型是指系统中多个物体，相互作用，满足系统动量守恒定律。
例10.列车载重时简单地直接启动有困难，司机常常先倒车再启动前进。在平直轨道上机车起动时的牵引力为F，机车后面挂接有49节车厢，设机车与每节车厢的质量都为m，机车和每节车厢所受的阻力都为自身重力的k倍，倒车后各节车厢间挂钩所留间隙为d，倒车挂钩位置和列车前进时挂钩位置如图所示。列车在平直轨道上启动，求：
（1）机车挂接第1节车厢时的速度；
（2）机车带动第49节车厢时列车的速度，并说明倒车起动的优点。
（2）1、2一起前进d个的过程，由动能定理，（F-2kmg）d=mv2‘2-mv22，解得v2‘2=(-3kg)d。
1、2整体挂接车厢3的过程，由动量守恒定律，2m
v2‘=3mv3，1、2、3一起前进d个的过程，由动能定理，（F-3kmg）d=mv3‘2-mv32，解得v3‘2=(-6kg)d。
同理可得：v49‘2=(-kg)d。
最后挂接过程，由动量守恒定律，49m
v49‘=50mv50，解得：v50=。
即机车带动第49节车厢时列车的速度为。
要使全部车厢都能启动，要求v50,>0，即F>kmg.若直接启动，则F>50kmg.所以倒车启动时所需牵引力明显比直接启动要小，倒车更容易是列车启动。
针对训练题
1.在光滑水平面上有n个完全相同的小物快（可看作质点）沿一直线排列，相邻两物快间距均为s，开始物块1以初速度v0向物块2运动，碰撞后粘在一起，又向物块3运动，碰撞后粘在一起，······，如此进行碰撞。
（1）最后物块n的速度vn多大？
（2）从物块1开始运动计时，到物块n刚开始运动，经历多长时间？每次碰撞所用时间不计。
（2）从物块1开始运动，到与物块碰撞，需要时间t1=。
物块1与物块2碰撞，由动量守恒定律，mv0=2mv1，解得：v1=v0/2。
物块1、2粘在一起向物块3运动，需要时间t2=
=2。
同理，物块1、2、3粘在一起向物块4运动，需要时间t3=
=3。
以此类推，n-1个物块粘在一起向物块n运动，需要时间tn=
=（n-1）。
从物块1开始运动计时，到物块n刚开始运动，共需要时间
t=
t1+
t2=+···+tn=（1+2+3+（n-1））=（n-1）。
2．一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的因纽特狗站在该雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇。狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为v，则此时狗相对于地面的速度为v＋v′(其中v′为狗相对于雪橇的速度，v＋v′为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则v为正值，v′为负值)。设狗总以速度v＋v′追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5
m/s，v′的大小为4
m/s，M＝30
kg，m＝10
kg。
(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。
(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。
(供使用但不一定用到的对数值：lg2＝0.301，lg3＝0.477)
(2)方法一：设雪橇运动的方向为正方向。狗第(n－1)次跳下雪橇后雪橇的速度为vn－1，则狗第(n－1)次跳上雪橇后的速度vn－1′满足Mvn－1＋mv＝(M＋m)vn－1′，这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为vn满足
Mvn＋m(vn＋v′)＝(M＋m)vn－1′，解得
vn＝(v－v′)－n－1。
狗追不上雪橇的条件是vn≥v，可化为n－1≤，最后可求得n≥1＋。
代入数据，得n≥3.41，狗最多能跳上雪橇3次。
雪橇最终的速度大小为v4＝5.625
m/s。
答案：(1)2
m/s(2)5.625
m/s 3次
3.【陕西省西安中学2016届高三第一次仿真考试理科综合试题】如图所示，光滑平台上有两个刚性小球A和B，质量分别为2m和3m，小球A以速度向右运动并与静止的小球B发生碰撞（碰撞过程中不损失机械能），小球B飞出平台后经时间t刚好掉入装有沙子向左运动的小车中，小车与沙子的总质量为m，速度为，小车行驶的路面近似看做是光滑的，求：
①碰撞后小球A和小球B的速度；
②小球B掉入小车后的速度。
【参考答案】①，；②
②
B球掉入沙车的过程中系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律的：，解得：。
考点：动量守恒定律
【名师点睛】本题考查了求速度问题，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题。
4.【湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试理科综合物理试题】如图所示，两端带有固定薄挡板的滑板C长为l，质量为，与地面间的动摩擦因数为μ，其光滑上表面上静置着质量分别为m、的物块，A、B，A位于C的中点，现使B以水平速度2v向右运动，与挡板碰撞并瞬间粘连，不再分开，A、B可看做质点，物块A与B、C的碰撞都可视为弹性碰撞。已知重力加速度为g，求：
（i）B与C上挡板碰撞后的速度以及B、C碰撞后C在水平面上滑动时的加速度大小；
（ii）A与C上挡板第一次碰撞后A的速度大小。
【参考答案】（i）（ii）
【名师解析】（1）B、C碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
解得：；
对BC，由牛顿第二定律得：，解得：；
考点：考查了动量守恒定律，能量守恒定律的应用
【名师点睛】本题的关键要分析清楚物体运动过程，抓住弹性碰撞的规律：遵守动量守恒定律和能量守恒定律，结合牛顿第二定律研究．
5.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考理科综合】（10分）如图，在光滑水平面上，有A、B、C三个物体，开始BC皆静止且C在B上，A物体以v0=10m/s撞向B物体，已知碰撞时间极短，撞完后A静止不动，而B、C最终的共同速度为4m/s．已知B、C两物体的质量分别为mB=4kg、mC=1kg，试求：
（i）A物体的质量为多少？
（ii）A、B间的碰撞是否造成了机械能损失？如果造成了机械能损失，则损失是多少？
【参考答案】（i）2kg
（ii）碰撞确实损失了机械能，损失量为50J
【名师解析】（i）由整个过程系统动量守恒
mAv0=
（mB+mC）v
代入数据得：mA=
2kg
（ii）设B与A碰撞后速度为u，在B与C相互作用的时间里，BC系统动量守恒
mBu=（mB+mC）v
得u
=
5m/s
A与B的碰撞过程中，碰前系统动能为：mAv02=×4×100=100J
碰后系统动能为：mBvu2=×4×25=50J
所以碰撞确实损失了机械能，损失量为50J
考点：动量守恒定律及能量守恒定律
【名师点睛】本题考查动量守恒定律以及机械能守恒定律的应用，要注意非弹性碰撞时会产生能量损失，要注意由功能关系求解。
6．【2015·全国新课标Ⅰ·35（2）】如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
【参考答案】
A反向向左运动与B发生碰撞过程，弹性碰撞
整理可得
由于，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足
即
整理可得
解方程可得
【考点定位】
弹性碰撞
【名师点睛】对于弹性碰撞的动量守恒和能量守恒要熟知，对于和一个静止的物体发生弹性碰撞后的速度表达式要熟记，如果考场来解析，太浪费时间。
7.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；
（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；
b.求第n次碰撞后雨滴的动能
vn′2；
（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒。
a．
第1次碰撞前，v12
=
v02+2gl，解得v1=。
第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得
v1′
=
v1=。
b.第2次碰撞前
v22
=
v1’2+2gl，解得v22=()2
v02+()2gl。
第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=
v02+2gl。
同理，第3次碰撞后v3’2=
v02+2gl。
…………
第n次碰撞后，vn’2=()2
v02+2gl。
动能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。
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