高考物理 重点难点例析 专题11 动量守恒定律

第一篇：高考物理 重点难点例析 专题11 动量守恒定律

专题十一 动量守恒定律

重点难点

1．动量守恒的条件：可以归纳为以下几种情况：①物体系统不受外力或所受合外力为零；②物体系统受到的外力远小于内力；③系统在某方向上不受外力、合外力为零或外力远小于外力，此时在该方向上动量守恒．

在碰撞和爆炸现象中，由于物体间相互作用持续时间很短，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理．

2．运用动量守恒定律应注意：

①矢量性：动量守恒定律的方程是一个矢量关系式

对于作用前后物体的运动方向都在 同一直线上的问题，应选取统一的正方向，按正方向确定各矢量的正负②瞬时性：动量是一个状态量，对应着一个瞬时一瞬时的动量恒定不同时刻的动量不能相加

动量守恒是指该相互作用过程中的任③相对性：动量的具体数值与参考系的选取有关，动量计算时的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以地面为参考系

3．反冲运动中移动距离问题的分析：

一个原来静止的系统，由于某一部分的运动而对另一部分有冲量，使另一部分也跟着运动，若现象中满足动量守恒，则有m1υ1-m2υ2 = 0，υ1 =

m2υ2．物体在这一方向上的速度m1经过时间的累积使物体在这一方向上运动一段距离，则距离同样满足s1 = s2，它们的相对距离s相 = s1+s2． 规律方法

【例1】如图所示，大小相同质量不一定相等的A、B、C三个小球沿一直线排列在光滑水平面上，未碰前A、B、C三个球的动量分别为8kg·m/s、-13kg·m/s、-5kg·m/s，在三个球沿一直线相互碰撞的过程中，A、B两球受到的冲量分别为-9N·s、1N·s，则C球受到的冲量及C球碰后的动量分别为（B）

A．1N·s，3kg·m/s

B．8N·s，C．-8N·s，5kg·m/s

D．10N·s，训练题A、B两船的质量均为M，它们都静止在平静的湖面上，当A船上质量为的人以水平速度υ从A船跳到B船，再从B船跳回A船．经多次跳跃后，人最终跳到B船上，设水对船的阻力不计，则（ABC）

A．A、B两船最终的速度大小之比为3∶2

B．A、B（包括人）最终的动量大小之比为1∶1 C．A、B（包括人）最终的动量之和为零

D．因跳跃次数未知，故以上答案均无法确定

【例2】假定航天飞机的喷气发动机每次喷出质量为m = 200g的气体，气体离开发动机喷气孔时，相对于喷气孔的速度υ = 1000m/s，假定发动机在1min内喷气20次，那么在第1min末，航天飞机的速度的表达式是怎样的？如果这20次喷出的气体改为一次喷出，第1min末航天飞机的速度为多大？航天飞机最初质量为M = 3000kg，初速度为零，运动中所受阻力不计．

【解析】设第一次喷气后航天飞机速度为υ1，第二次喷气后航天飞机速度为υ2，……依次类推，取航天飞机速度方向为正方向，根据动量守恒定律有：

第一次喷气后：（M-m）υ1-m（υ-υ1）= 0；得υ1 =

mM

m

Mmm第三次喷气后：（M-2m）υ2 =（M-3m）υ3-m（υ-υ3），得υ3-υ2 =

M2m第二次喷气后：（M-m）υ1 =（M-2m）υ2-m（υ-υ2），得υ2-υ1 =

mM19mmmmm综合以上可得1min末飞船的速度为 υ20 = +++……+

MMmM2mM19m第20次喷气后：（M-19m）υ19 =（M-20m）υ20-m（υ-υ20），得υ20-υ19 = 若20次喷出的气体一次喷出，则：0 =（M-20m）υ′-20m（υ-υ′）得υ′ =

20mv200.210004 = = M30003

比较可知υ20＞υ′，即当喷气质量一定时，分次喷出比一次喷出，航天飞机获得的速度大且分的次数越多，获得的速度越大，这也是火箭连续喷气的原因

训练题甲、乙两人做抛球游戏，甲站在一辆平板车上，车与水平面摩擦不计，甲与车的总质量为M = 100kg，另有一质量为m = 2kg的球乙固定站在车对面的地面上，身旁有若干质量不等的球开始车静止，甲将球以速率υ水平抛给乙，乙接球后马上将另一质量m1 = 2m的球以相同的速度υ水平抛给甲；甲接住后再以相同速率将此球抛回给乙，乙接住后马上将另一质量m2 = 2m1 = 4m的球以速率υ水平抛给甲……这样往复抛球．乙每次抛给甲的球质量都是接到甲抛给他的球的质量的2倍，而抛球速率始终为υ（相对于地面水平方向）不变．求：

（1）甲第二次抛出（质量为2m）球后，后退速率多大？

（2）从第1次算起，甲抛多少次后，将再不能接到乙抛来的球？ 答案：（1）v2=v/10（2）甲抛5次后，将再不能接到乙抛来的球

【例3】如图所示，三个质量为m的弹性小球用两根长为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上，现给中间的小球B一个水平初速度υ0，方向与绳垂直小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长，求：

（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度．（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度．（3）运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ．（4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小．

【解析】由于绳子不可伸长，且A、C两球在运动过程中具有对称性，当A、C两球第一次相碰时，三球具有相同的速度；小球发生相互作用时满足动量守恒定律和机械能守恒定律．

（1）设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为υB，此时A、C小球沿B球初速度方向的速度也为υB．

由动量守恒定律，得：mυ0 = 3mυB，由此得υB =

1υ30

（2）当三个小球再次在同一直线上时，此时B球的速度为υB1，A、C球的速度为υA，υA的方向为B球的初速度方向，由动量守恒定律、机械能守恒定律得：

mυ0 = mυB1+2mυA

11mυB+2×mυ2 A2212解得：υB1 =-υ0，υA = υ0（或υB1 = υ0，υA = 0，此为初状态，舍去）

331所以，当三球再次处在同一直线上时，小球B的速度为υB1 =-υ0，负号表示与初速

3201mυ2 = 度反向．

（3）从（2）的解可知，B球速度由最初的υ0变化（减小）为零，然后反向运动，可见当B球速度为零时，动能EKBI也为零，而机械能守恒，故此时A球动能最大

设此时A球（C球）的速度为υ，两根绳的关角为θ，如图，则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得：

mυ0 = 2mυsin22112mυ0 = 2×mυ22

可得此时A球的最大动能为EKA =

11mυ2 = mυ，两根绳间夹角为θ = 90°． 24（4）当三球处于同一直线上时，B球受力平衡，B球加速度为零，选B球为参考系时，A、C两球做圆周运动，绳子拉力为其提供向心力．

A球相对B球的速度为υAB = υA-υB1 = υ

0

2AB由牛顿第二定律，此时绳中拉力为F，则F = mL = m02L．

训练题长为2b的轻绳，两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平面上，绳处于拉直状态今给小球M以一种冲击，使它获得一水平初速度υ0，υ0的方向与绳垂直，如图所示，求在两端的小球发生相互碰撞前的瞬间，球m在垂直于绳方向的分速度多大？（绳不可伸长）

答案：v2=｛Mv/（M+2m）｝

【例4】如图所示，甲、乙两人分别站在A、B两辆冰车上，一木箱静止于水平光滑的冰面上，甲与A车的总质量为M1，乙和B车的总质量为M2，甲将质量为m的木箱以速率υ（对地）推向乙，乙接住后又以相等大小的速度将木箱推向甲，甲接住木箱后又以速率υ将木箱推向乙，然后乙接住后再次将木箱以速度υ推向甲，木箱就这样被推来推去，求最终甲、乙两人（连同冰车）的速度各为多少？（已知M1 = 2M2，M1 = 30m）

【解析】设甲第1次推出木箱后获得的速度为υ1，第2次推出木箱后甲的速度为υ2，……第n次推出木箱后速度为υn，对木箱与甲（包括车）构成的系统应用动量守恒，第1次推出过程：0 = M1υ1-mυ，得υ1 =

1/

2mυ．从接住到第2M1次推出：M1υ1+mυ = M1υ2-mυ，得υ2 = υ1+

2m3m = M1M12m5m = M1M1n-1从接住到第3次推出：M1υ2+mυ = M1υ3-mυ，得υ3 = υ2+

……从接住到第n次推出：M1υ

n-

1+mυ = M1υn-mυ，得υn = υ+

2m(2n1)m = M1M1

当甲不再接住木箱时，有：υn≥υ，即

(2n1)m≥υ 解得n≥15.M1设乙第1次、第2次、第3次、……，第k次推出木箱的速度依次为υ′

1、υ′

2、υ′3……υ′k，根据动量守恒定律得：第1次推出：mυ = M2υ′1-mυ，得υ′1 =

2mM2

第2次推出：mυ+M2υ′1 = M2υ′2-mυ，得υ′2 = υ′1+

2m4m = M2M22m6m = M2M2

第3次推出：mυ+M2υ′2 = M2υ′3-mυ，得υ′3 = υ′2+……第k次推出：mυ+M2υ′k-1 = Mυ′k-mυ，得υ′k = υ′k-1+欲使乙不再接住木箱，必满足υ′k≥υ，即≥υ，解得k≥7.2m2km = M2M2

比较n≥15．5和k≥7．5可知，当乙第8次推出木箱后，就不再接住木箱，因此甲第9次推出木箱后，速度也不再发生变化，故甲和乙的最终速度分别为：

υ甲 =

171629128mυ = υ，c乙 = mυ = υ

3015M1M2

训练题如图一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1、2、3、……、n的木板，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数都相同开始时，木板静止不动，第1、2、3、……、n号木块的初速度分别是υ0、2υ0、3υ0、……nυ0，方向都向右，木板的质量与所有木块的总质量相等，最终所有木块与木板以共同速度匀速运动．设木块之间均无相互碰撞，求：

（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度υn．（2）第1号木块与木板刚好相对静止时的速度υ1． 答案：（1）vn=（n+1）v0/4（2）v1=v0/2 能力训练

1．如图所示，光滑的水平地面上放着一个光滑的凹槽，槽两端固定有两轻质弹簧，一弹性小球在两弹簧间往复运动，把槽、小球和弹簧视为一个系统，则在运动过程中（B）

A．系统的动量守恒，机械能不守恒 B．系统的动量守恒，机械能守恒 C．系统的动量不守恒，机械能守恒 D．系统的动量守恒，机械能不守恒

2．在一定条件下，让质子获得足够大的速度，当两个质子P以相等的速率对心正碰，特发生下列反应：P+P→P+P+p+p，其中p是反质子（反质子与质子质量相等，均为mP，且带一个单位正电荷），则以下关于该反应的说法正确的是（ABC）

A．反应前后系统总动量皆为零 B．反应过程系统能量守恒

C．根据爱因斯坦质能方程可知，反应前两个质子的能量最小为2mpc

22D．根据爱因斯坦质能方程可知，反应后单个质子的能量可能小于mpc

3．一个静止的放射性原子核处于垂直纸面向里的匀强磁场中，由于发生衰变而形成了如图3-11-8所示的两个圆形轨迹，两圆半径之比为1∶16，下列说法正确的是（A）

A．该原子核发生了α衰变

B．反冲核沿大圆做逆时针方向的圆周运动 C．原来静止的原子核的序数为

D．沿大圆和沿小圆运动的柆子周期相同

4．如图所示，自行火炮连同炮弹的总质量为M，当炮管水平，火炮车在水平路面上以υ

1的速度向右匀速行驶中，发射一枚质量为m的炮弹后，自行火炮的速度变为υ2，仍向右行驶，则炮弹相对炮筒的发射速度υ0为

（B）

m(12)m2M(12)B．

mmm(12)2m2m(12)m（12)C． D．

mmA．

υ0从木板的左端向右滑上木板．滑块和木板速度随时间变化的图象如图乙所示，某同学根据图象作出如下一些判断，正确的是（ACD）

A．滑块与木板间始终存在相对运动 B．滑块始终未离开木板 C．滑块的质量大于木板的质量 D．在t1时刻滑块从木板上滑出

5．如图甲所示，质量为M的木板静止在光滑水平面上，一个质量为m的小滑块以初速度

6．质量为m的木板和质量为M的金属块用细绳系在一起，处于深水中静止，剪断细绳，木块上浮h时（还没有出水面），则铁沉下沉的深度为多大？（水的阻力不计）

答案：x=mh/M

7．人和冰车的总质量为M，另有一木球质量为m，且M∶m = 10∶1，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度υ（相对地面）将原来静止的木球沿冰面推向前方的固定挡板，球与冰面、车与冰面的摩擦可不计，空气阻力也忽略不计，设球与挡板碰撞后，球被原速率反向弹回，人接住球后再以同样的速率υ将球沿冰面向正前方推向挡板．问人推球多少次后不能再接到球？

答案：人推球六次后不能再接到球

8．如图所示，n个相同的木块（可视为质点），每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为l，第n个木块到桌边的距离也是l，木块与桌面间的动摩擦因数为µ．开始时，第1个木块以初速度v0向左滑行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动．最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下．

（1）求在整个过程中因碰撞而损失的总动能．

（2）求第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比．

（3）若n＝４，l＝0.10m，v0＝3.0m/s，重力加速度g＝10m/s，求µ的数值．

答案：（1）整个过程中系统克服摩擦力做的总功为

2Wf＝µmgl（1＋2＋3＋…＋n）＝

n(n1)mgl 2整个过程中因碰撞而损失的总动能为

Ek1212n(n1)mv0Wfmv0mgl 2221imvi2 2（2）设第i次（i≤n－1）碰撞前瞬间，前i个木块粘合在一起的速度为vi，动能为 EKi与第i＋１个（i≤n－1）木块碰撞粘合在一起后瞬间的速度为vi＇，由动量守恒定律 imvi(i1)mvi 则viivi i1111i221i2 imvi2(i1)mvim[ivi2(i1)()vi]mvi2222i12i1第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能为 EKi则第i次（i≤n－1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比为 Eki1

Ekii1（i≤n－1）

（3）n＝４时，共发生了i＝3次碰撞．

2 第1次碰前瞬间的速度为v12v02gl，碰撞中动量守恒：mv12mv11v1第1次碰后瞬间的速度为v122222v02gl2

22v02glv010gl2gl第2次碰前瞬间的速度为vv1 2gl44 碰撞中动量守恒：2mv23mv22v2第2次碰后瞬间的速度为v232322v010gl3

22v010glv028gl2gl2gl第3次碰前瞬间的速度为vv2

99 碰撞中动量守恒：3mv34mv33v3第3次碰后瞬间的速度为v342v028gl42

2gl0 最后滑行到桌边，速度恰好为零，则v32v028gl即2gl0

162整理后得v060gl0，代入数据解得0.15

第二篇：2014高考物理专题辅导讲义专题14动量守恒定律

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一。重点知识精讲和知识拓展 1.动量守恒定律

如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。

（i）动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体，它是一个实验规律。相互间有作用力的物体体系称为系统，系统内的物体可以是两个、三个或者更多，解决实际问题时要根据需要和求解问题的方便程度，合理地选择系统.（ii）动量守恒定律适用条件

（1）系统不受外力或系统所受的外力的矢量和为零。（2）系统所受外力的合力虽不为零，但比系统内力小得多。

（3）系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分力为零，则在该方向上系统的总动量保持不变——分动量守恒。

（4）在某些实际问题中，一个系统所受外力和不为零，内力也不是远大于外力，但外力在某个方向上的投影为零，那么在该方向上也满足动量守恒的条件。（iii）动量守恒定律的四性：（1）.矢量性

动量守恒方程是一个矢量方程，对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向。凡是与选取的正方向相同的为正，相反为负。若方向未知，可设为与正方向相同来列动量守恒方程，通过解的结果的正负，判定未知量的方向。（2）.瞬时性

动量是一个瞬时量，动量守恒是指系统在任一瞬时的动量守恒。m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′，等号左边是作用前的各物体动量和，等号右边是作用后的各物体动量和，不同时刻动量不能相加。（3）.相对性

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动量大小与选择的参考系有关，应注意各物体的速度是相对同一惯性系的速度，一般选取地面为参考系。（4）.普适性

它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。2.动量定理与动能定理的区别

动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化。即F△t=mv2-mv1。

反映了力对时间的累积效应，是力在时间上的积累。动量定理为矢量方程，动量和冲量都是既有大小又有方向的物理量。

22动能定理：合外力做功等于物体动能的变化。即W=△Ek。或Fx=1mv2-1mv1。

22反映了力对空间的累积效应，是力在空间上的积累。动能定理为标量，动能、功都是只有大小没有方向的物理量。

3.碰撞

（1）碰撞是指物体间相互作用时间极短，而相互作用力很大的现象。在碰撞过程中，系统内物体相互作用的内力一般远大于外力，故碰撞中的动量守恒，按碰撞前后物体的动量是否在一条直线区分，有正碰和斜碰。

按碰撞过程中动能的损失情况区分，碰撞可分为三种： ①弹性碰撞

碰撞前后系统的总动能不变，对两个物体组成的系统的正碰情况满足： m1v1+ m2v2= m1v1’+ m2v2’；(动量守恒）2

2（动能守恒）1m1v1+ 1m2v2= 1m1v1’+1m2v2’；2222两式联立可得：v1’=m1m2v12m2v2；

m1m2v2’=m2m1v22m1v1。

m1m2七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.xiexiebang.com 免费提供Word版教学资源

当v2=0时，v1’=m1m2v1；v2’=m1m22m1v1。m1m2此时：若m1= m2，这时v1’=0；v2’=v1，碰后实现了动量和动能的全部交换。

若m1>> m2，这时v1’≈ v1；v2’≈2 v1；，碰后m1的速度几乎未变，仍按照原方向运动，质量小的物体以两倍m1的速度向前运动。

若m2>> m1，这时v1’≈-v1；v2’≈0，碰后m1按原来的速度弹回，m2几乎不动。②非弹性碰撞

碰撞中动能不守恒，只满足动量守恒，两物体的碰撞一般都是非弹性碰撞。③完全非弹性碰撞

两物体碰后合为一体，具有共同速度，满足动量守恒定律，但动能损失最大：

m1v1+ m2v2=（m1+ m2）v。

（2）在物体发生相互作用时，伴随着能量的转化和转移。相互作用的系统一定满足能量守恒定律。若相互作用后有内能产生，则产生的内能等于系统损失的机械能。（3）碰撞过程的三个制约因素：

①动量制约——动量守恒。由于碰撞过程同时具备了“相互作用力大”和“作用时间短”两个特征，其它外力可忽略，取碰撞的两个物体作为系统，满足动量守恒定律。②动能制约——系统动能不增加。③运动制约——运动变化合理。

4.反冲现象和火箭

系统在内力作用下，当一部分向某一方向的动量发生变化时，剩余部分沿相反方向的动量发生同样大小变化的现象。.喷气式飞机、火箭等都是利用反冲运动的实例.若系统由两部分组成，且相互作用前总动量为零。一般为物体分离则有 ：0=mv+(M-m)v’，M是火箭箭体质量，m是燃气改变量。参考系的选择是箭体。喷气式飞机和火箭的飞行应用了反冲的原理，它们都是靠喷出气流的反冲作用而获得巨大速度的。现代的喷气式飞机，靠连续不断地向后喷出气体，飞行速度能够超过l000m/s。5.爆炸与碰撞的比较

（1）爆炸，碰撞类问题的共同特点是物体的相互作用突然发生，相互作用的力为变力，作用时间很短，作用力很大，且远大于系统所受的外力，故可用动量守恒定律处理。

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（2）在爆炸过程中，有其他形式的能转化为动能，系统的动能在爆炸后可能增加；在碰撞过程中，系统总动能不可能增加，一般有所减少转化为内能。

（3）由于爆炸，碰撞类问题作用时间很短，作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计，可以把作用过程作为一个理想化过程简化处理，即作用后还从作用前的瞬间的位置以新的动量开始运动。6.力学规律的优选策略

力学规律主要有：牛顿第二运动定律，动量定理和动量守恒定律，动能定理和机械能守恒定律，功能关系和能量守恒定律等。

（1）牛顿第二定律揭示了力的瞬时效应，其表达式是：F=ma。据此可知，在研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动的关系时，或者物体受到恒力作用，且又直接涉及物体运动过程中的加速度问题时，应选用牛顿第二定律和运动学公式。若物体受到变力作用，对应瞬时加速度，只能应用牛顿第二定律分析求解。

（2）动量定理反映了力对时间的积累效应，其表达式是：Ft＝Δp＝mv2－mv1。据此可知，动量定理适合于不涉及物体运动过程中的加速度而涉及运动时间的问题，特别对于冲击类问题，因时间短且冲力随时间变化，应选用动量定理求解。

（3）动能定理反映了力对空间的积累效应，其表达式是：W＝ΔEk＝112。据

mvmv12222此可知，对于不涉及物体运动过程中的加速度和时间（对于机车恒定功率P运动，其牵引力的功W牵＝Pt，可以涉及时间t），而涉及力和位移、速度的问题，无论是恒力还是变力，都可选用动能定理求解。

（4）如果物体（或系统）在运动过程中只有重力和弹簧的弹力做功，而又不涉及物体运动过程中的加速度和时间，对于此类问题应优先选用机械能守恒定律求解。

（5）如果物体（或相互作用的系统）在运动过程中受到滑动摩擦力或空气阻力等的作用，应考虑应用功能关系或能量守恒定律。两物体相对滑动时，系统克服摩擦力做的总功等于摩擦力与相对位移的乘积，也等于系统机械能的减少量，转化为系统的内能。

（6）在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理过程时，必须注意到一般这些过程中均隐含着系统中有机械能与其它形式能量之间的转化。例如碰撞过程，机械能一定不会增加；爆炸过程，一定有化学能（或内能）转化为机械能（动能）；绳绷紧时动能一定有损失。对于上述问题，作用时间一般极短，动量守恒定律一般大有作为。典例精析

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典例1.（15分）一质量为M的平顶小车，以速度v沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现

0将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为。

1.若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？ 2.若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？ 参考解答

2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动能的增量，即

（6）1122W(mM)vMv0222mMv0W2(mM)由（1）、（6）式可得（7）

典例2．如图所示，质量为m的b球用长为h的细绳悬挂于水平轨道BC的出口C处。质量也为m的小球a，从距BC高为h的A处由静止释放，沿ABC光滑轨道滑下，在C处与b球正碰并与b粘在一起。已知BC轨道距水平地面ED的高度为0．5h，悬挂b球的细绳能承受的最大拉力为2．8 mg。试问：(1)a球与b球碰前瞬间的速度为多大?(2)a、b两球碰后，细绳是否会断裂?若细绳断裂，小球在DE水平面上的落点距C处的水平距离是多少?若细绳七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.xiexiebang.com 免费提供Word版教学资源

不断裂，小球最高将摆多高?(小球a、b均视为质点)

典例3.（16分）（2013天津市五区调研）在光滑的水平面上，一质量为mA=0.1kg的小球A，以8m/s的初速度向右运动，与质量为mB=0.2kg的静止小球B发生正碰。碰后小球B滑向与水平面相切、半径为R=0.5m的竖直放置的光滑半圆形轨道，且恰好能通过最高点N后水平抛出。g=10m/s2 求：（1）碰撞后小球B的速度大小。

（2）小球B从轨道最低点M运动到最高点N的过程中所受合外力的冲量。

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（3）碰撞过程中系统的机械能损失。

【解题探究】根据碰撞后B球沿竖直放置的光滑半圆形轨道，且恰好能通过最高点N后水平抛出，利用机械能守恒定律和相关知识解得碰撞后小球B的速度大小。应用动量定理解得小球B从轨道最低点M运动到最高点N的过程中所受合外力的冲量。两小球A与B发生正碰，应用动量守恒定律和能量关系列方程解答得到碰撞过程中系统的机械能损失。的机械能得满分。

典例4．（20分）（2013安徽省马鞍山市三模）如图所示，在光滑水平地面上有一固定的挡

v0AOB板，挡板上固定一个轻弹簧。现有一质量M=3kg，长L=4m的小车AB（其中O为小车的中七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.xiexiebang.com 免费提供Word版教学资源

点，AO部分粗糙，OB部分光滑），一质量为m=1kg的小物块（可视为质点），放在车的最左端，车和小物块一起以v0=4m/s，的速度在水平面上向右匀速运动，车撞到挡板后瞬间速度变为零，但未与挡板粘连。已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内，小物块与车AO部分之间的动摩擦因数为μ=0.3，重力加速度g=10m/s。求：

（1）小物块和弹簧相互作用的过程中，弹簧具有的最大弹性势能；（2）小物块和弹簧相互作用的过程中，弹簧对小物块的冲量；（3）小物块最终停在小车上的位置距A端多远。

【解题探究】对小物块，应用牛顿第二定律和运动学公式、能量关系解得弹簧具有的最大弹性势能；根据动量定理解得弹簧对小物块的冲量；根据功能关系解得小物块最终停在小车上的位置距A端的距离。

2（3）小物块滑过O点和小车相互作用，由动量守恒定律 mv(mM)v（2分）

典例5（18分）如图所示，以A、B为端点的1/4光滑圆弧轨道固定于竖直平面，一足够长滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与圆弧轨道相切于B点，离滑板右端R处有一竖直固定的挡板P．一物块从A点由静止开始沿轨道滑下，经B滑L02上滑板．已知物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，圆弧轨道半径为R，物块与滑板间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度为g．滑板与挡板的碰撞没有机械能损失，滑板返回B点时即被锁定．

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（1）求物块滑到B点的速度大小；

（2）求滑板与挡板P碰撞前瞬间物块的速度大小；

（3）站在地面的观察者看到在一段时间内物块正在做加速运动，求这段时间内滑板的速度范围．

【解题探究】由机械能守恒定律解得物块滑到B点的速度大小；由动量守恒定律和动能定理列方程联立解得滑板与挡板P碰撞前瞬间物块的速度大小；通过分析，利用动量守恒定律和动能定理联立解得物块正在做加速运动这段时间内滑板的速度范围． 【参考答案】

（1）物块由A到B的运动过程，只有重力做功，机械能守恒．设物块滑到B点的速度大小为v0，有：

1①

（2分）

mgRmv02解得：v02gR

②

（1分）

（2）假设滑板与P碰撞前，物块与滑板具有共同速度v1，取向右为正，由动量守恒定律，有：

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(没有判断滑板与P碰撞前是否有共同速度，扣2分)

(没有判断滑板与P碰撞前是否第二次有共同速度，扣1分)设当物块的速度减为零时，滑板速度为v3，取向左为正，有：

Mv1mv1Mv

3⑦

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【得分要诀】第（1）问容易得分不要失去。第（2）问通过分析正确列出方程联立解答可多得分。第（3）问要列出相关方程，力争正确解答得满分。

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第三篇：高考物理复习考题精选(106) 动量守恒定律的应用

高中物理考题精选（106）——动量守恒定律的应用

1、光滑水平地面上停放着甲、乙两辆相同的平板车，一根轻绳跨过乙车的定滑轮（不计定滑轮的质量和摩擦），绳的一端与甲车相连，另一端被甲车上的人拉在手中，已知每辆车和人的质量均为30kg，两车间的距离足够远。现在人用力拉绳，两车开始相向运动，人与甲车保持相对静止，当乙车的速度为0.5m/s时，停止拉绳。求： ①人在拉绳过程做了多少功？

②若人停止拉绳后，至少以多大速度立即从甲车跳到乙车才能使两车不发生碰撞？ 答案

解：（1）设甲、乙两车和人的质量分别为m甲、m乙和m人，停止拉绳时甲车的速度为v甲，乙车的速度为v乙，由动量守恒定律得

（m甲+m人）v甲= m乙v乙（2分）

求得： v甲= 0.25m/s(1分)由功与能的关系可知，人拉绳过程做的功等于系统动能的增加量。

W=（m甲+m人）v甲2 + m乙v乙2 =5.625J（2分）

（2）设人跳离甲车时人的速度为v人，人离开甲车前后由动量守恒定律得

人跳到乙车时： 代入得：

（1分）

（2分）

（2分）

当人跳离甲车的速度大于或等于0.5m/s时，两车才不会相撞。

（注：计算题其它解法正确均给分。）

2、如图所示，有一竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，当滑块运动时，圆筒内壁对滑块有阻力的作用，阻力的大小恒为Ff＝mg(g为重力加速度)．在初始位置滑块静止，圆筒内壁对滑块的阻力为零，弹簧的长度为l.现有一质量也为m的物体从距地面2l处自由落下，与滑块发生碰撞，碰撞时间极短．碰撞后物体与滑块粘在一起向下运动，运动到最低点后又被弹回向上运动，滑动到刚发生碰撞位置时速度恰好为零，不计空气阻力。求

(1)物体与滑块碰撞后共同运动速度的大小；

(2)下落物体与薄滑块相碰过程中损失的机械能多大。

(2)碰撞后，在滑块向下运动的最低点的过程中弹簧弹性势能的变化量。

教学课件

答案

解析（16分）

(1)设物体下落至与薄滑块碰撞前的速度为v0，在此过程中机械能守恒，依据机械能守恒定律有mgl＝mv解得v0＝/2

设碰撞后共同速度为v，依据动量守恒定律有mv0＝2mv 解得v＝.---------------------5分

(2)物体与薄滑块相碰过程中损失的机械能

---------------------4分

(3)设物体和滑块碰撞后下滑的最大距离为x，依据动能定理，对碰撞后物体与滑块一起向下运动到返回初始位置的过程，有

－2Ffx＝0－×2mv2 设在滑块向下运动的过程中，弹簧的弹力所做的功为W，依据动能定理，对碰撞后物体与滑块一起向下运动到最低点的过程，有W＋2mgx－Ffx＝0－×2mv2 解得：。所以弹簧的弹性势能增加了。

3、如图所示，AOB是光滑水平轨道，BC是半径为R的光滑的 固定圆弧轨道，两轨道恰好相切。质量为M的小木块静止在0点，一个质量为m的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内，并留在其中和小木块一起运动。且恰能到达圆弧轨道的最高点c(木块和子弹均可以看成质点)。

教学课件

①求子弹射入木块前的速度。

②若每当小木块返回到0点或停止在0点时，立即有相同的子弹射入小木块，并留在其中，则当第9颗 子弹射入小木块后，小木块沿圆弧轨道能上升的最大高度为多少? 答案

解析

（1）；（2）（）2R． 解析：：（1）第一颗子弹射入木块的过程，系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0=（m+M）v1，系统由O到C的运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：gR

(m+M）v12=（m+M）由以上两式解得：v0=；

（2）由动量守恒定律可知，第2、4、6…颗子弹射入木块后，木块的速度为0，第1、3、5…颗子弹射入后，木块运动．当第9颗子弹射入木块时，以子弹初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0=（9m+M）v9，设此后木块沿圆弧上升的最大高度为H，由机械能守恒得：gH

（9m+M）v92v=（9m+M）由以上各式可得：H=（）2R．

4、如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑轨道，MN水平且足够长，LM下端与MN相切．质量为m的小球B与一轻弹簧相连，并静止在水平轨道上，质量为2m的小球A从LM上距水平轨道高为h处由静止释放，在A球进入水平轨道之后与弹簧正碰并压缩弹簧但不粘连．设小球A通过M点时没有机械能损失，重力加速度为g．求：（1）A球与弹簧碰前瞬间的速度大小

；

（2）弹簧的最大弹性势能EP；

（3）A、B两球最终的速度vA、vB的大小． 答案

解：（1）对A球下滑的过程，由机械能守恒定律得：

教学课件 解得：

（2）当两球速度相等时弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得：

解得：

根据能的转化和守恒定律：

解得：

（3）当A、B相距最近之后，将会被弹簧弹开，该过程中，A、B两球和弹簧组成的系统动量守恒、机械能也守恒

解得：

5、如图所示，一个学生坐在小车上做推球游戏，学生和不车的总质量为M=100kg，小球的质量为m=2kg．开始时小车、学生和小球均静止不动．水平地面光滑．现该学生以v=2m/s的水平速度（相对地面）将小球推向右方的竖直固定挡板．设小球每次与挡板碰撞后均以同样大小的速度返回．学生接住小球后，再以相同的速度大小v（相对地面）将小球水平向右推向挡板，这样不断往复进行，此过程学生始终相对小车静止．求：（1）学生第一次推出小球后，小车的速度大小；

（2）从学生第一次推出小球算起，学生第几次推出小球后，再也不能接到从挡板弹回来的小球．

答案

解：（1）学生推小球过程：设学生第一次推出小球后，学生所乘坐小车的速度大小为v1，学生和他的小车及小球组成的系统动量守恒，取向右的方向为正方向，由动量守恒定律得： mv+Mv1=0…①，代入数据解得：v1=﹣0.04m/s，负号表示车的方向向左；

（2）学生每向右推一次小球，根据方程①可知，学生和小车的动量向左增加mv，同理，学生每接一次小球，学生和小车的动量向左再增加mv，设学生第n次推出小球后，小车的速度大小为vn，由动量守恒定律得：（2n﹣1）mv﹣Mvn=0，要使学生不能再接到挡板反弹回来的小球，有：vn≥2 m/s，解得：n≥25.5，教学课件 即学生推出第26次后，再也不能接到挡板反弹回来的小球． 答：（1）学生第一次推出小球后，小车的速度大小为0.04m/s；

（2）从学生第一次推出小球算起，学生第26次推出小球后，再也不能接到从挡板弹回来的小球．

6、如图所示，一个物块A（可看成质点）放在足够长的平板小车B的右端，A、B一起以v0的水平初速度沿光滑水平面向左滑行。左边有一固定的竖直墙壁，小车B与墙壁相碰，碰撞时间极短，且碰撞前、后无动能损失。已知物块A与小车B的水平上表面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。若A、B的质量均为m，求小车与墙壁碰撞后的运动过程中，物块A所受摩擦力的冲量大小和方向若A、B的质量比为k，且k＜1，求物块A在小车B上发生相对运动的过程中物块A对地的位移大小。

答案

解析

（1）设小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v，设向右为正方向，则由动量守恒定律得mv0－mv0=2mv 解得v=0

对物块A，由动量定理得摩擦力对物块A的冲量I=0－（－mv0）=mv0，冲量方向水平向右（2）设A和B的质量分别为km和m，小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v′，木块A的位移大小为s。设向右为正方向，则由动量守恒定律得：mv0－kmv0=（m+km）v′

解得v′=

对木块A由动能定理

代入数据解得

7、光滑绝缘的水平地面上方有界空间内存在匀强电场，场强为有一固定的绝缘墙壁，如图所示，质量为

和，电场宽度为，左边界的A、B两小球静置于地面的同一水平轨道

（），A、B上，电场线与轨道平行，B球处于电场的右边界处，A球距离墙壁为两球带正电，电量分别为

和；今由静止同时释放两球，问（已知所有碰撞机械能均不损失，小球电量不转移，忽略两球的库仑力作用）

教学课件

（1）A球第一次与墙壁碰时B球的速度大小；

（2）要使A球第一次向右运动过程中就能与B球相碰，求满足的条件

答案

解析】(1)(2)1＞k≥解析 ：（1）在电场内运动时两球的加速度：aA=，aB=…①

A球第一次与墙壁碰时两球速度相等为v，v2-0=2aAkx0…②

由①②式得v=

（2）A球与墙壁第一次碰后到A、B相遇用时为t，两球加速度为a 有：xB-xA=（1-k）x0…③

xA=-vt+at2…④

xB=vt+at2…⑤

t≤…⑥

由③④⑤⑥得：1＞k≥

8、（1）下列说法正确的有

（填入正确选项前的字母，选对1个给3分，选对2个给4分，选对3个给6分，每选错1个扣3分，最低得分为0分）。A．方程式B．方程式

是重核裂变反应方程 是轻核聚变反应方程

C．氢原子光谱是分立的

D．氢原子从基态跃迁至某激发态要吸收特定频率的光子

E．在光电效应实验中，某金属的截止频率相应的波长为λ0,若用波长为λ（λ>λ0）的单色光做

教学课件 该实验，会产生光电效应。

（2）如图所示，光滑水平面上静止放置质量M = 2kg的长木板C；离板右端x = 0.72m处静止放置质量mA =1kg的小物块A，A与C间的动摩擦因数μ = 0.4；在板右端静止放置质量mB = 1kg的小物块B，B与C间的摩擦忽略不计．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B均可视为质点，g = 10m/s2．现在木板上加一水平向右的力F=3N, 到A与B发生弹性碰撞时撤去力F。问： ①A与B碰撞之前运动的时间是多少？

②若A最终能停在C上，则长木板C的长度至少是多少？

答案

解析（1）BCD解析：（1）A、方程式误；B、方程式

是散射反应方程，故A错

是轻核聚变反应方程，故B错误；C．氢原子光谱是不连续是分立的，故C正确；D、氢原子从基态跃迁至某激发态要吸收特定频率的光子，根据跃迁规律D正确；E．在光电效应实验中，某金属的截止频率相应的波长为λ0,若用波长为λ（λ>λ0）的单色光做该实验，由v=λf可知，因（λ>λ0），所以其频率小于截止频率，不会产生光电效应.⑵解：①若AC相对滑动，则A受到的摩擦力为：

故AC不可能发生相对滑动，设AC一起运动的加速度为

由有：

②因AB发生弹性碰撞，由于由动量守恒定律：

故AB碰后，A的速度为0.1

由能量守恒：

故木板C的长度L至少为：

=0.84

教学课件

9、如图所示，在光滑水平面上有一块长为L的木板B，其上表面粗糙，在其左端有一个光滑的圆弧槽C与长木板接触但不连接，圆弧槽的下端与木板的上表面相平，B、C静止在水平面上。现有很小的滑块A以初速度v0从右端滑上B并以高点。A、B、C的质量均为m，试求： 的速度滑离B，恰好能到达C的最

(1)木板B上表面的动摩擦因数μ。

(2)圆弧槽C的半径R。

答案

(1)(2)

解析

(1)由于水平面光滑，A与B、C组成的系统动量守恒，有：

mv0＝m(v0)＋2mv1 又μmgL＝mv－m(v0)2－×2mv

解得：μ＝

(2)当A滑上C，B与C分离，A、C间发生相互作用。A到达最高点时两者的速度相等，A、C组成的系统水平方向动量守恒，有：

m(v0)＋mv1＝(m＋m)v2 又m(v0)2＋mv＝(2m)v＋mgR 解得：R＝

10、如图甲所示，在光滑水平面上的两小球发生正碰，小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的s－t图象。已知m＝0.1kg，由此可以判断()

教学课件

A．碰前m2静止，m1向右运动 B．碰后m2和m1都向右运动 C．m2＝0.3kg D．碰撞过程中系统损失了0.4J的机械能 答案

AC 解析

由图乙可以看出，碰前m1的位移随时间均匀增加，m2的位移不变，可知m2静止，m1向右运动，故A是正确的。碰后一个位移增大，一个位移减小，说明运动方向不一致，即B错误。由图乙可以算出碰前m1的速度v1＝4m/s，碰后的速度v1′＝－2m/s，碰前m2的速度v2＝0，碰后的速度v2′＝2m/s，由动量守恒m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，计算得m2＝0.3kg，故C是正确的。碰撞过程中系统损失的机械能ΔE＝此D是错误的。

11、如图所示，光滑水平面

左端有一弹性挡板的长度

m1v－m1v1′2－m2v2′2＝0。因，右端与处于同一高度的水平传送带之间的距离可忽略，传送带水平部分.上放置两个质量都为，传送带逆时钟匀速转动其速度、,开始时、、静止，、间，并迅速移走弹簧.取的小物块压缩一轻质弹簧，其弹性势能..现解除锁定，弹开

（1）求物块、被弹开时速度的大小.（2）要使小物块在传送带的端不掉下，则小物块与传送带间的动摩擦因数至少为多大？，当

与

发生第一次弹性碰撞后物块

返（3）若小物块与传送带间的动摩擦因数回，在水平面终的运动情况.答案

解：（1）对于、上、相碰后粘接在一起,求碰后它们的速度大小及方向，并说明它们最

物块被弹簧分开的过程，由动量守恒定律得：

教学课件 ①（2分）

由机械能守恒定律知：解得所求的速度大小：（2）要使小物块在传送带的以

②（2分）③（1分）

端不掉下，则小物块B在传送带上至多减速运动达

处。

物体为研究对象，滑到最右端时速度为（1分）

据动能定理：得所求的：（3）因为又因为 设向右为正方向，则：

④（2分）

=0.1 ⑤（2分），所以物块，故返回时，⑥（2分）

必返回（1分）

（1分）

对A、B相碰后粘接在一起过程，由动量守恒定律得： 得所求的：，方向向右.（2分）

此后A.B整体冲上传送带做减速运动，同理可得A.B将返回，返回时，因为，后又与P弹性碰撞向右折回，再次一起冲上传送带，再返回，重复上述运动，最终在P板、MN上和传送带间如此往复运动.（2分）

12、如右图所示，用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v=6 m／s的速度在光滑水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg的物块C静止在前方，B与C碰撞后二者粘在一起运动。在以后的运动中，求：

（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度多大?（2）弹性势能的最大值是多大?（3）A的速度有可能向左吗?为什么? 答案

教学课件

13、如图所示，固定在地面上的光滑轨道AB、CD，均是半径为R的圆弧．一质量为m、上表面长也为R的小车静止在光滑水平面EF上，小车上表面与轨道AB、CD的末端B、C相切．一质量为m的物体(大小不计)从轨道AB的A点由静止下滑，由末端B滑上小车，小车在摩擦力的作用下向右运动．当小车右端与壁CF接触前的瞬间，物体m恰好滑动到小车右端相对于小车静止，同时小车与CF相碰后立即停止运动但不粘连，物体则继续滑上轨道CD.求：(1)物体滑上轨道CD前的瞬间的速率；(2)水平面EF的长度；

(3)当物体再从轨道CD滑下并滑上小车后，如果小车与壁BE相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端多远？

答案

解析：(1)设物体从A滑至B时速率为v0，根据机械能守恒定律有：mgR＝＝

mv02，v0，物体与小车相互作用过程中，系统动量守恒，设共同速度为v1，有mv0＝2mv1，解得物体滑上轨道CD前瞬间的速率：v1＝.教学课件(2)设二者之间的摩擦力为f，根据动能定理，对物体有：－fsEF＝mv12－mv02，对小车有：f(sEF－R)＝mv12(或对系统根据能量守恒定律有：fR＝mv02－×2mv12)得：f＝mg，sEF＝R.(3)设物体从CD滑下后与小车达到相对静止状态，共同速度为v2，相对小车滑行的距离为s1，小车停后物体做匀减速运动，相对小车滑行距离为s2，根据动量守恒和能量守恒有：mv1＝2mv2 fs1＝mv12－×2mv22 对物体根据动能定理有：

fs2＝mv22；

解得：s1＝R，s2＝R.则Q点距小车右端距离：

s＝s1＋s2＝R.答案：(1)(2)R(3)R

14、有尺寸可以忽略的小物块A，放在足够长的水平地面上．取一无盖的长方形木盒B将A罩住．B的左右内壁间的距离为L．B的质量与A相同．A与地面间的滑动摩擦系数μA，B与地面间的滑动摩擦系数为μB，且μB>μA．开始时，A的左端与B的左内壁相接触（如图所示），两者以相同的初速度v０向右运动．已知A与B的内壁发生的碰撞都是完全弹性的，且碰撞时间都极短．A与B的其他侧面之间均无接触，重力加速度为g．

（1）经过多长时间A、B发生第一次碰撞（设碰撞前A、B均未停下）

（2）A和B右侧第一次相碰后，若还能够和B的左端相遇，试通过定量讨论说明此次相遇时A、B两个物体的速率那个大些？还是等大？

教学课件（3）要使A、B同时停止，而且A与B间轻轻接触（即无作用力），求初速v0的所有可能的值（用含有L、μB、μA和g的代数式表示）

答案

（1）对A：（1分），（1分）

对B：（1分），（1分）

（1分）解得：（1分）

（2）设A、B第一次在右壁相碰前的速度分别为v1和v2，碰后速度分别为v3和v4

（2分）得：（1分）

设经过时间t2，A与B的左侧相遇，此时A、B的速度分别为v5、v6，则：

（2分），代入得（1分）

所以有：，显然（2分）

注：亦可做v-t图分析，同样得分

（3）分析可得，每次A与B的左侧相遇时二者的速度都相同，且比前一次相遇时的速度减小（2分）

为满足题中要求，只要某次A与B的左侧相遇时二者的速度都恰好等于0即可 即需要，其中n=1，2，3……（1分）

代入得：，n为正整数（1分）

15、如图5-9所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为,碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：（1）待定系数β;

（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。

教学课件 答案

（1）由机械能守恒定律可得：mgR＝+得

β＝3（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则

=

=

设向右为正、向左为负，解得

v1＝，方向向左 v2＝，方向向右

设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向下为负。则

N－βmg＝βm

N /＝－N＝－4.5mg，方向竖直向下

（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2，则

解得：V1＝－，V2＝0（另一组：V1＝－v1，V2＝－v2，不合题意，舍去）

由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同；当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同

16、如图所示，一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右并非放有序号是1，2，3，…，n的物体，所有物块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数都相同，开始时，木板静止不动，第1，2，3，…n号物块的初速度分别是v，2 v，3 v，…nv，方向都向右，木板的质量与所有物块的总质量相等 ,最终所有物块与木板以共同速度匀速运动。设物块之间均无相互碰撞，木板足够长。试求：

（1）所有物块与木板一起匀速运动的速度v；（2）第1号物块与木板刚好相对静止时的速度v；

（3）通过分析与计算说明第k号（k＜n＝物块的最小速度v

答案

（1）设所有物块都相对木板静止时的速度为 v，因木板与所有物块系统水平方向不受外力，动量守恒，应有：

m v+m·2 v+m·3 v+…+m·n v=（M + nm）v

教学课件 M = nm，解得: v=（n+1）v，（2）设第1号物块相对木板静止时的速度为v，取木板与物块1为系统一部分，第2 号物块到第n号物块为系统另一部分，则

木板和物块1 △p =（M + m）v-m v，2至n号物块 △p=（n-1）m·（v-v）由动量守恒定律： △p=△p，解得 v= v，（3）设第k号物块相对木板静止时的速度由v，则第k号物块速度由k v减为v的过程中，序数在第k号物块后面的所有物块动量都减小m（k v-v），取木板与序号为1至K号以前的各物块为一部分，则

△p=（M+km）v-（m v+m·2 v+…+mk v）=（n+k）m v-序号在第k以后的所有物块动量减少的总量为

△p=（n-k）m（k v-v）由动量守恒得 △p=△p，即

（k+1）m v

（n+k）m v-（k+1）m v=（n-k）m（k v-v），解得 v=

17、带有等量异种电荷的两个平行金属板A和B水平放置，相距为d（d远小于板的长和宽），一个带正电的油滴M悬浮在两板的正中央，处于平衡。油滴的质量为m，带电量为q。如图所示，在油滴的正上方距离A板d处有一质量也为m的带电油滴N，油滴N由静止释放后，可以穿过A板上的小孔，进入两金属板间与油滴M相碰，并立即结合成一个大油滴。整个装置处在真空环境中，不计油滴之间的库仑力和万有引力以及金属板本身的厚度，要使油滴N能与M相碰，并且结合成的大油滴又不至于与金属板B相碰。求：（1）两个金属板A、B间的电压是多少；哪板的电势较高；

教学课件（2）油滴N带何种电荷，电量可能是多少。

答案

（1）油滴M带正电，所以B板电势较高； 因油滴M在两金属板之间处于平衡，有 mg=qU/d，所以电势差U=mgd/q。

（2）油滴N与M相碰后，要不落到B板上，油滴N带正电。设油滴N带电量为Q，油滴N与M碰前的速度设为v0，18、如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0质量为m的子弹击中，子弹嵌在其中，已知A的质量是B的质量的，子弹的质量是B的质量的.求：

(1)A物体获得的最大速度；

(2)弹簧压缩量最大时B物体的速度；（3）弹簧的最大弹性势能。

答案

(1)对子弹进入A中的过程，由动量守恒定律得mv0＝(m＋mA)v1，解得它们的共同速度，即为A的最大速度v1＝＝.(2)以子弹、A、B以及弹簧组成的系统作为研究对象，整个作用过程中总动量守恒，弹簧具有最大压缩量时，它们的速度相等，由动量守恒定律得 mv0＝(m＋mA＋mB)v2，解得三者的共同速度即弹簧有最大压缩量时B物体的速度

v2＝＝v0(3)弹簧压缩最短时的弹性势能最大，由能量守恒

教学课件

19、如图所示，悬挂在高处O点的绳子下端是质量M=10kg的橡胶杆P，在游乐节目中，选手需要借助该装置飞越到对面的水平传送带上，传送带始终以u=3m/s的速度逆时针转动，传送带的另一端B点就是终点，且xAB=3m。一名质量m=50kg的选手脚穿轮滑鞋以水平向右大小为v0=8.4m/s的速度迅速抱住竖直静止的橡胶杆P并开始摆动，若选手可看作质点，悬点O到选手的距离L＝6m，不考虑空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin370=0.6，cos370=0.8，求：（1）当绳子摆到与竖直方向的夹角θ=370时选手速度的大小；

（2）此时刻选手立即放开橡胶杆P并且最终刚好站到了高度相同的传送带的端点A上，若选手在传送带上做无动力的自由滑行，受到的摩擦阻力为自身重量的0.2倍，求选手在传送带上滑行过程中因摩擦而产生的热量Q。

答案

v2=5m/s Wf=600J 解析(1)选手抱住P，由动量守恒定律有

得：v1=7m/s 选手抱住P后，从开始摆动到摆角为37°时，设速度为v2，由机械能守恒有得：v2=5m/s(2)选手站上A点时，设水平速度为vx，则选手在传送带上做匀减速运动，设选手对地面的位移为x，由动能定理得：因为，所以选手冲过了终点B，设选手从A到B的时间为t，教学课件 则

又得：、(舍去)

在这段时间内传送带通过的位移为：所以，摩擦力做功：得：Wf=600J。

20、如图所示，固定的光滑平台左端固定有一光滑的半圆轨道，轨道半径为R，平台上静止放着两个滑块A、B，其质量mA=m，mB=2m，两滑块间夹有少量炸药．平台右侧有一小车，静止在光滑的水平地面上，小车质量M=3m，车长L=2R，车面与平台的台面等高，车面粗糙，动摩擦因数μ=0.2，右侧地面上有一立桩，立桩与小车右端的距离为S，S在0

（1）滑块A在半圆轨道最低点C受到轨道的支持力FN。（2）炸药爆炸后滑块B的速度大小vB。

（3）请讨论滑块B从滑上小车在小车上运动的过程中，克服摩擦力做的功Wf与S的关系。

答案

⑴ ⑵

⑶当时，滑块B克服摩擦力做功为

当时，滑块会滑离小车，滑块B克服摩擦力做功为

（1）以水平向右为正方向，设爆炸后滑块A的速度大小为VA，教学课件 滑块A在半圆轨道运动，设到达最高点的速度为VAD，则，得

滑块A在半圆轨道运动过程中，据动能定理：得：

滑块A在半圆轨道最低点：，得：

（2）A、B爆炸过程动量守恒，则，得：（3）、滑块B滑上小车直到与小车共速的过程中，动量守恒：得：

滑块B从滑上小车到共速时的位移为

小车从开始运动到共速时的位移为

滑块B相对小车的位移为：，滑块B未掉下小车。

讨论：当时，滑块B从滑上小车到共速时克服摩擦力做功为

然后滑块B做匀减速运动直到停下的位移为，滑块会从小车滑离。

则滑块共速后在小车运动时克服摩擦力做功为

所以，当时，滑块B克服摩擦力做功为

教学课件 当时，滑块会滑离小车，滑块B克服摩擦力做功为

21、“爆竹声中一岁除，春风送暖人屠苏”，爆竹声响是辞旧迎新的标志，是喜庆心情的流露。有一个质量为3m的爆竹斜向上抛出，到达最高点时速度大小为v0、方向水平向东，在最高点爆炸成质量不等的两块，其中一块质量为2m，速度大小为v，方向水平向东，则另一块的速度是________。

A．3v0－v B．2v0－3v C．3v0－2v D．2v0＋v 答案

C 在最高点水平方向动量守恒，由动量守恒定律可知，3mv0＝2mv＋mv′，可得另一块的速度为v′＝3v0－2v，故C正确。

22、如图所示，一质量的平顶小车静止在光滑的水平轨道上。车顶右端放一质量的子弹以水平速度的小物体，小物体可视为质点。现有一质量射中小车左端，并留在车中，已知子弹与车相互作用时间极短，小物体与车间的动摩擦因数为，最终小物体以的速度离开小车，g取

。求：

① 子弹刚刚射入小车时，小车的速度大小② 小车的长度L。答案

；

23、如图，水平地面上静止放置着物块B和C，相距＝1.0 m．物块A以速度＝10 m/s沿水

教学课件平方向与B正碰．碰撞后A和B牢固地粘在一起向右运动，并再与C发生正碰，碰后瞬间C的速度＝2.0 m/s.已知A和B的质量均为m，C的质量为A质量的k倍，物块与地面的动摩擦因数＝0.45.(设碰撞时间很短，g取10 m/)(1)计算与C碰撞前瞬间AB的速度；

(2)根据AB与C的碰撞过程分析k的取值范围，并讨论与C碰撞后AB的可能运动方向． 答案

解析：（1）4.0 m/s(2)当取k＝4时，v3＝0，即与C碰后AB静止 当取4>k≥2时，v3>0，即与C碰后AB继续向右运动

当取6≥k>4时，v3<0，即碰后AB被反弹向左运动．

24、用轻弹簧相连的质量均为m=2㎏的A、B两物体都以v=6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量M = 4㎏的物体C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者粘在一起运动，在以后的运动中，求：

（1）B与C碰撞后二者粘在一起的共同速度v1.（2）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度v2。答案

1.A、B两物体碰撞前后动量守恒 v1=2m/s----------5分

2.A、B、C速度相同时，弹簧的弹性势能最大(M+2m)v2=2mv v2=3 m/s-----------5分

25、光滑绝缘的水平地面上方有界空间内存在匀强电场，场强为E，电场宽度为x0，左边界有一固定的绝缘墙壁，如题9图所示，质量为3m和m的A、B两小球静置于地面的同一水平轨道上，电场线与轨道平行，B球处于电场的右边界处，A球距离墙壁为kx0(0

（1）A球第一次与墙壁碰时B球的速度大小；（2）要使A球第一次向右运动过程中就能与B球相碰，求k满足的条件？

（3）若A球第一次向右运动到速度为0时恰与B球相碰，求A、B第一次碰后到第二次碰前两球的最大间距？

答案

解：（1）在电场内运动时两球的加速度：

教学课件

…①(1分)A球第一次与墙壁碰时两球速度相等为v，………②(2分)由①②式得 ………………(1分)（2）A球与墙壁第一次碰后到A、B相遇用时为t，两球加速度为a 有： ………………③(1分)

………………④(1分)…………⑤（1分）

…………⑥（2分）

由③④⑤⑥得： …………（1分）

（3）A球第一次向右运动到速度为0时恰与B球相碰，即

相碰时，B球的速度

B与A相碰：

…………⑦（1分）

…………⑧（1分）

…………⑨（1分）

由⑧⑨得 …………（1分）

当A第二次到墙壁时，两球距离最远；A从碰后到墙壁用时

有 ………… ⑩（1分）

得A相对B匀速运动： …………（1分）

…………（1分）

教学课件 得： …………（1分）

26、有一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长，一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行码头自由停泊，然后他轻轻从船尾上船，走到船头后停下，而后轻轻下船，用卷尺测出船后退的距离d，然后用卷尺测出船长L.已知他自身的质量为m，则渔船的质量为（）A.B.C.D.答案

B 解析

设人走动时船的速度大小为v，人的速度大小为v′，人从船尾走到船头所用时间为t．取船的速度为正方向。

则，根据动量守恒定律：，得：

解得渔船的质量：

27、如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg.用轻弹栓接相边放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触.另有一物块C从t=0时以一定速度向右运动，在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图象如图乙所示。.试求：

（1）物块C的质量mC；

（2）墙壁对物块B的弹力在4 s到12s的时间内对B做的功W（3）B离开墙后的过程中弹簧具有的最大弹性势能Ep。

教学课件 答案

解：（1）由图知，C与A碰前速度为分）

C与A碰撞过程动量守恒.（2）墙对物体B不做功，W=0（2分）

（3）物块B在12S末离开墙壁，此时AC速度大小

（1分）碰后速度为（（2分）解得mC=2kg（2分），之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，且当AC与B速度相等时弹簧弹性势能最大，设AC与B共速时速度大小为4。（2分）

（3分）

（3分）得

（2分）

28、一宇航员在国际空间站内做了如下实验：选取两个质量分别为mA =0.lkg、mB=0.2kg的小球A、B和一根轻质短弹簧，弹簧的一端与小球A粘连，处于锁定状态，一起以速度vo=0.1 m/s做匀速直线运动。如图所示，经过一段时间后，突然解除锁定（解除锁定时没有机械能损失），两球仍然沿直线运动，从弹簧与小球B刚刚分离开始计时，经过时间t=3.0s，两球之间的距离增加了s=2.7m，求：

①弹簧与小球B刚刚分离时两小球的速度分别为多大； ②原先弹簧锁定时的弹性势能Ep？ 答案

教学课件

29、如图所示，O为一水平轴，轴上系一长＝0.6m的细绳，细绳的下端系一质量m=1.0kg的小球（可视为质点），原来处于静止状态，球与平台的B点接触但对平台无压力，平台高＝0.80m，一质量M＝2.0kg的小球沿平台自左向右运动到B处与小球m发生正碰，碰后小球m在绳的约束下做圆周运动，经最高点A点，绳上的拉力恰好等于摆球的重力，而M落在水平地面上的C点，其水平位移为s＝1.2m，求质量为M的小球与m碰撞前的速度。（取g=10 m/s2）答案

解析 M与碰撞前后

M离开平台后 从B到A的过程中

在A点时

由①②③④⑤联立解得

30、如图所示，木板A质量mA=1 kg，足够长的木板B质量mB=4 kg，质量为mC=4 kg的木块C置于木板B上右侧，水平面光滑，B、C之间有摩擦。现使A以v0=12 m/s的初速度向右运动，与B碰撞后以4 m/s速度弹回。求：

（1）B运动过程中的最大速度大小。（2）C运动过程中的最大速度大小。

（3）整个过程中系统损失的机械能的多少。

答案

（1）A与B碰后瞬间，B速度最大。由A、B系统动量守恒（取向右为正方向）有： mAv0+0=-mAvA+mBvB（3分）

代入数据得：vB=4 m/s（1分）

（2）B与C共速后，C速度最大，由BC系统动量守恒，有mBvB+0=（mB+mC）vC（3分）代入数据得：vC=2 m/s（1分）

（3）△E损= mAv02－ mAvA2－（mB+mC）vC2 ＝48J（2分）

教学课件

31、如图所示，光滑的水平面上静止停放着质量均为m的A、B两辆小车，A车上静止站着一个质量为m的人。若此人从A车跳到B车上，并与B车保持相对静止。在此过程中，A车、B车、人各自动量变化的矢量和等于______________。此后，A车与B车的速度大小之比为______________。

答案

0，4:3

32、如图所示，在光滑水平面上有两个并排放置的木块A和B，已知mA=0.5 kg，mB=0.3 kg,有一质量为mC=0.1 kg的小物块C以20 m/s的水平速度滑上A表面，由于C和A、B间有摩擦，C滑到B表面上时最终与B以2.5 m/s的共同速度运动，求：

（1）木块A的最后速度.（2）C离开A时C的速度.答案

由于水平面是光滑的，A、B、C三个物体 组成系统在水平方向上不受外力，故系统动量守恒，1).当C滑上A至C离开A时A、B有共同的速度记为Vab,C离开A时,C物体的速度记为Vc,则

Mc×Vc0=McVc+(Ma+Mb)×Vab ①

Mc×Vc0=MaVab+(Mc+Mb)×Vbc ②

2).C离开A时C、B组成的系统动量守恒。最终的共同速度记为Vbc=2.5m/s McVc+Mb×Vab=(Mc+Mb)×Vbc ③由②得 0.1×20=0.5×Vab+(0.1+0.3)×2.5 Vab=2.0m/s 此为木块A的最后速度 由①得0.1×20=0.1×Vc+(0.5+0.3)×2 C离开A时C的速度Vc=4m/s

33、如图所示，甲车的质量是2 kg，静止在光滑水平面上，上表面光滑，右端放一个质量为1 kg的小物体.乙车质量为4 kg，以5 m/s的速度向左运动，与甲车碰撞以后甲车获得8 m/s的速度，物体滑到乙车上.若乙车足够长，上表面与物体的动摩擦因数为0.2，则物体在乙车上表面滑行多长时间相对乙车静止?(g取10 m/s2)

答案

乙与甲碰撞动量守恒：m乙v乙=m乙v乙′+m甲v甲′，小物体m在乙上滑动至有共同速度v，对小物体与乙车运用动量守恒定律得 m乙v乙′=（m+m乙）v，对小物体应用牛顿第二定律得 a=μg

所以 t=，教学课件 代入数据得 t=0.4 s。

34、如图所示，一质量m1=0．45kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上，车顶右端放一质量m2=0．2kg的小物体，小物体可视为质点，现有一质量m0= 0．05kg的子弹以水平速度v0=l00m/s射中小车左端，并留在车中，最终小物块以5m/s的速度与小车脱离，子弹与车相互作用时间很短，g取l0m/s2．求：

①子弹刚射入小车时，小车的速度大小；

②小物块脱离小车时，小车的速度多大，答案

35、如图所示，两完全相同的小车A、B以大小相同的速度v0在光滑的水平面上相向运动，在A车上有一质量为m的小木块与A车保持相对静止，小车的质量为M，且M=2m。两小车发生碰撞后，A车立即停止，小木块滑上B车，在 B车碰墙之前与B车达到共同速度。小车B与右侧的墙壁发生完全弹性碰撞后很快与小木块一起向左运动。求它们一起向左运动的速度大小。

答案

设碰后B车与木块一起向右运动的速度大小为v1，B车与木块一起向左运动的速度大小为v2，根据动量守恒定律得

………………（3分）

………………（2分）

解得： ………………（1分）

36、用两个大小相同的小球在光滑水平上的正碰来“探究碰撞中的不变量”实验，入射小球m1 = 15g，原来静止的被碰小球m2 = 10g，由实验测得它们在碰撞前后的x – t 图象如图所示。

教学课件 ① 求碰撞前、后系统的总动量p和p′； ② 通过计算得到的实验结论是什么。答案

① p = m1v1 = 0.015 kg·m/s、p′ = m1v1′ + m2v2′ = 0.015 kg·m/s（2分）② 通过计算发现：两小球碰撞前后的动量相等，即碰撞过程中动量守恒（2分）

37、两磁铁各放在一辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动。已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg，乙车和磁铁的总质量为1.0kg。两磁铁的N极相对，推动一下，使两车相向运动。某时刻甲的速率为2m/s，乙的速率为3m/s，方向与甲相反。两车运动过程中始终未相碰。求：

（i）两车最近时，乙车的速度为多大？

（ii）甲车开始反向运动时，乙车的速度为多大？ 答案

（i）两车相距最近时，两车的速度相同，（1分）设该速度为，取乙车的速度方向为正方向。由动量守恒定律得

（3分）

可得(i i)甲车开始反向时，其速度为0，设此时乙车的速度为（3分）

（1分），由动量守恒定律得

－ 可得（1分）

38、如图所示，在光滑、平直的轨道上静止着两辆完全相同的平板车，人从a车跳上b车，又立即从b车跳回a车，并与a车保持相对静止，此后a车的速率______(选‘大于”、“小于”或“等于”)b车的速率；在这个过程中，a车对人的冲量______(选‘大于”、“小于”或“等于”)b车对人的冲量。

答案

39、如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m，两船沿同一直线

教学课件 同一方向运动，速度分别为2v0、v0.为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度．(不计水的阻力)

答案

解析：设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，抛出货物后船的速度为v1，甲船上的人接到货物后船的速度为v2，由动量守恒定律得 12m×v0＝11m×v1－m×vmin① 10m×2v0－m×vmin＝11m×v2② 为避免两船相撞应满足 v1＝v2③

联立①②③式得 vmin＝4v0.④ 答案：4v0

40、如图所示，一光滑地面上有一质量为m′的足够长的木板ab，一质量为m的人站在木板的a端，关于人由静止开始运动到木板的b端(M、N表示地面上原a、b对应的点)，下列图示正确的是()

答案

D 解析：根据动量守恒定律，木板与人组成的系统动量守恒，对于题中的“人板模型”，设各自对地的位移为xm′、xm，且有m′xm′＝mxm，xm′＋xm＝L板长，以M点为参考点，人向右运动，木板向左运动，易得D是正确的．

41、如图所示，有A、B两质量为M= 100kg的小车，在光滑水平面以相同的速率v0=2m/s在同一直线上相对运动，A车上有一质量为m = 50kg的人至少要以多大的速度（对地）从A车跳到B车上，才能避免两车相撞？

答案：v人=5.2m/s解析：人跳出后，两车速度恰相同时，既避免相撞，同时人的速度又最小，由动量守恒定律得

(2分)，(2分)解得：v人=5.2m/s(2分)

42、某小组在探究反冲运动时，将质量为m1一个小液化瓶固定在质量为m2的小球具船上，利用液化瓶向外喷射气体做为船的动力。现在整个装置静止放在平静的水面上，已知打开液化汽瓶后向外喷射气体的对地速度为v1，如果在△t的时间内向后喷射的气体的质量为△m，教学课件 忽略水的阻力，则

①喷射出质量为△m的液体后，小船的速度是多少？

②喷射出△m液体的过程中，小船所受气体的平均作用力的大小是多少？

答案

解：由动量守恒定律得：

得：v船=。(2)对喷射出的气体运用动量定理得：F△t=△mv1 解得F= 由牛顿第三定律得，小船所受气体的平均作用力大小为F=

43、如图(a)所示，在水平光滑轨道上停着甲、乙两辆实验小车，甲车系一穿过打点计时器的纸带，当甲车受到水平向右的瞬时冲量时，随即启动打点计时器，甲车运动一段距离后，与静止的乙车发生正碰并粘在一起运动，纸带记录下碰撞前甲车和碰撞后两车运动情况如图（b）所示，电源频率为50Hz，求：甲、乙两车的质量比m甲：m乙

答案

由图知：碰前甲车运动的速度大小为v甲=0.6m/s，碰后甲乙两车一起运动的速度大小为v共=0.4m/s，由动量守恒定律可得： m甲v甲=（m甲+ m乙）v共 解得：m甲：m乙=2：1

44、如图所示，水平光滑地面上依次放置着质量m=0.08kg的10块完全相同长直木板。一质量M=1.0kg大小可忽略的小铜块以初速度v0=6.0m／s从长木板左侧滑上木板，当铜块滑离第一块木板时，速度大小为v1=4.0m／s。铜块最终停在第二块木板上。(g=10m／s2，结果保留两位有效数字)求：

①第一块木板的最终速度； ②铜块的最终速度。

答案

解：①铜块和10个长木板水平方向不受外力，所以系统动量守恒，设铜块刚滑到第二个木板时，木板的速度为v2，由动量守恒得：

……①…………（2分）

得v2=2.5m/s…………②………………（1分）

②由题可知铜块最终停在第二块木板上，设最终速度为v3，由动量守恒得：

…………③…………（1分）

得v3=3.4m/s…………④………………（1分）

教学课件

45、如图(a)所示，在水平光滑轨道上停着甲、乙两辆实验小车，甲车系一穿过打点计时器的纸带，当甲车受到水平向右的瞬时冲量时，随即启动打点计时器，甲车运动一段距离后，与静止的乙车发生正碰并粘在一起运动，纸带记录下碰撞前甲车和碰撞后两车运动情况如图（b）所示，电源频率为50Hz，求：甲、乙两车的质量比m甲：m乙

答案

由图知：碰前甲车运动的速度大小为v甲=0.6m/s，(2分)碰后甲乙两车一起运动的速度大小为v共=0.4m/s，(2分)由动量守恒定律可得：m甲v甲=（m甲+ m乙）v共(2分)解得：m甲：m乙=2：1(1分)

46、如图所示，静止在光滑水平面上的小车质量为M=20kg.从水枪中喷的水柱，横截面积为S=10cm2，速度为v=10m/s，水的密度为ρ=1.0×103kg/m3.若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁淌入小车中。

⑴求当有质量为m=5kg的水进入小车时，小车的速度大小；.⑵若将小车固定在水平面上，且水冲击到小车前壁后速度立即变为零，求水对小车的冲击力大小。.答案

解：(1)淌入小车的水与小车组成的系统动量守恒，当淌入质量为m的水后，小车速度为v1，则

（3分）.解得

m/s=2m/s（2分）..（3分）.(2)在极短的时间Δt内，冲击小车的水的质量为此时，水对车的冲击力为F，据动量定理有=1.0×103×10×10-4×102=100N（2分）

47、如图（1）所示，在光滑的水平面上有甲、乙两辆小车，质量为30kg的小孩乘甲车以5m/s的速度水平向右匀速运动，甲车的质量为15kg，乙车静止于甲车滑行的前方，两车碰撞前后的位移随时间变化图象如图（2）所示。求：

教学课件

（1）甲乙两车碰撞后的速度大小；（2）乙车的质量；

（3）为了避免甲乙两车相撞，小孩至少以多大的水平速度从甲车跳到乙车上？ 答案

解：（1）由图可知，碰撞后甲车的速度大小为乙车的速度大小为v2=3m/s(2)在碰撞过程中，三者组成的系统满足动量守恒。

解得：(3)设人跳向乙车的速度为v人,由动量守恒定律得 人跳离甲车：人跳至乙车：为使二车避免相撞，应满足

取“=”时，人跳离甲车的速度最小，48、如图甲所示，一质量为M的木板静止在光滑水平地面上，现有一质量为m的小滑块以一定的速度v0从木板的左端开始向木板的右端滑行，滑块和木板的水平速度大小随时间变化的情况如图乙所示，根据图像作出如下判断

①滑块始终与木板存在相对运动

②滑块未能滑出木板

③滑块的质量m大于木板的质量M ④在t1时刻滑块从木板上滑出 这些判断正确的是（）

A．①③④ B．②③④

C．②③ D．②④ 答案

A

49、如图甲所示，光滑的水平地面上固定一长为L＝1.7m的长木板C,板的左端有两个可视为质点的物块A和B，其间夹有一根长为1.0m的轻弹簧，弹簧没有形变，且与物块不相连。已知，A与木板C、B与木板C的动摩擦因数分别为

和。假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。现用水平力F作用于A，让F从零开始逐渐增大，并使B缓慢地向右移动0.5m，使弹簧储存了弹性势能E0.问：

教学课件

（1）若弹簧的劲度系数为k＝200N/m，以作用力F为纵坐标，物块A移动的距离为横坐标，试通过定量计算在图乙的坐标系中画出推力F随物块A位移的变化图线。（2）求出弹簧储存的弹性势能E0的大小。

（3）当物块B缓慢地向右移动了0.5m后，保持A、B两物块间距不变，将其间夹有的弹簧更换，使得压缩量相同的新弹簧储存的弹性势能为12E0，之后同时释放三物体A、B和C，已被压缩的轻弹簧将A、B向两边弹开，求哪一物块先被弹出木板C？最终C的速度是多大？ 答案

（1）A与C间的摩擦力为

B与C间的摩擦力为

推力F从零逐渐增大，当增大到100N时，物块A开始向右移动压缩弹簧（此时B仍然保持静止），设压缩量为x，则力当x=0.5m时，力,此时B将缓慢地向右移动。

B移动0.5m后，B离开木板C的右端0.2m，A离开木板C端0.1m。作出力F随A位移的变化图线如图所示。

（2）在物块B移动前，力F作用于物块A，压缩弹簧使弹簧储存了弹性势能E0，物块A移动了s=0.5m,此后物块AB以相同的速度向右移动，弹簧储存的弹性势能不变。设物块A开始移动0.5m的过程中，力F做功W，由能量守恒有

（3）撤去力F之后，AB两物块给木板C的摩擦力的合力为零，故在物块AB滑离木板C之前，C仍静止不动。物块AB整体所受外力的合力也为零，其动量守恒，可得

由题可知，始终有

教学课件 当物块B在木板C上向右滑动了0.2m，物块A则向左滑动了0.4m，但A离木板C的左端还有d=0.6m.可见，物块B先滑离木板C。

并且两物体的相对位移△s=0.4m+0.2m=0.6m0.5m（弹簧的压缩量），弹簧储存的弹性势能已全部释放，由能量守恒定律有

由此求出物块B滑离木板C时A物块的速度为vA=4m/s 设此后A滑离木板C时，物体A的速度，木板C的速度，有动量守恒定律有由能量守恒有将d=0.6m及有关数据代入上两式解得：

（

50、如图所示，在光滑水平长直轨道上有线相连接，其中的质量为，、不合题意舍弃）

两个绝缘体，它们之间有一根长为的轻质软，为带有电荷量为的正电荷。开始用外力把

与

不的质量为带电，空间存在着方向水平向右的匀强电场，场强大小为并保持静止，某时刻撤去外力，将有极短时间的相互作用，而后

靠在一起

开始向右运动，直到细线绷紧，当细线被绷紧时，两物体开始运动，且细线再次松弛。已知

开始运动时的速度等于线刚绷紧前瞬间的速度的。设整个过程中，的电荷量都保持不变。问

（1）细线第一次绷紧前瞬间（2）从的速度多大？

与

是否会相碰？

间开始运动后到细线第二次被绷紧前的过程中，（3）如果能相碰，的位移和相碰前瞬间、的速度各是多少？如果不能相碰，和的位移多大？，的最短距离是多少？细线第二次被绷紧的瞬间答案

（1）设细线第一次绷紧前瞬间的速度为

教学课件 由动能定理得 的速度为，的速度为，因细线绷紧过程所用时间（2）设细线第一次绷紧后的瞬间极短，电场力的冲量

极小，可以忽略不计，根据动量守恒定律有

且有，解得

负号表示速度的方向水平向左

令第一次绷紧后的速度为A

（3）两者速度相同时，此后再运动绷紧：

解得：

教学课件

又回到第一次绷紧的位置历时

不会相碰

第四篇：高考材料作文例析

材料作文范文例析

【2006年高考】根据此文,写一篇不下于800字的文章

一只老鹰从鹫峰顶上俯冲下来,将一只小羊抓走了。

一只乌鸦看见了,非常羡慕,心想:要是我也有这样的本领该多好啊!于是乌鸦就模仿老鹰俯冲的姿势拼命练习.一天,乌鸦觉得自己练得很棒了,便哇哇地从树上猛冲下来,扑到一只山羊的背上,想抓住山羊往上飞,可是它的身子太累,爪子又被羊毛缠住,无论怎样拍打翅膀也飞不起来.结果被牧羊人抓住了.牧羊人的孩子见了,问这是一只什么鸟,牧羊人说:“这是一只忘记自己叫什么的鸟.”孩子摸着乌鸦的羽毛说:“它也很可爱啊!”

要求全面理解材料,但可以选择一个侧面,一个角度构思作文.自主确定立意,确定文体,确定标题;不要脱离材料的含意作文,不要套作,不得抄袭.

2006全国1卷优秀高考作文：《别让雨下进灵魂里》，《泛舟人生》，《正确的估量自己》，《握好人生的方向盘》，《找准位置发扬自我》，《自我认识和自我超越》，《做缜密的勇者》，《找准位置发扬自我》；《适合自己的才是最好的》（58分文）；《正确的估量自己，找到自己的位置》（56分卷）；《绕树三匝，何枝可依？》（满分卷）。

写作本题关键是要读透材料的内涵，理清材料蕴含的道理，单从材料内容来说，是由两部分组成的，主要材料是一则寓言，辅助材料是最后小孩子说的一句话：“它也很可爱啊”。这两部分材料所体现出来的道理是截然不同的。这个寓言的含义很明确，用辩证法来梳理，我们可以看到，语言材料所体现的其实是“主观与客观，表象与本质”的关系。其核心寓意是“认清自己，认清世界”。围绕这一点可以拟定出以下一些话题：“自知与拼搏”、“盲目模仿与科学定位”、“个人条件与学习经验”、“人贵有自知之明”。

同时还要看到，材料中小孩子最后说的一句话也可以提炼出一个主题来，那就是“勇气是值得赞赏的”，所以从肯定乌鸦的拼搏精神入手立意也是可取的。如果从对弱势群体的关注来写，可以这样命题：

一、给乌鸦练习本领的机会。

二、善待弱者。

三、像强者学习，应该鼓励。

四、向乌鸦致敬等。总之，既然是话题作文，写作时只要符合题意中透漏出来的信息，都可以成文的。[满分作文]



1、绕树三匝，何枝可依？

河南一考生

“月明星稀，乌鹊南飞，绕树三匝，何枝可依？”这是曹孟德的诗文《短歌行》中的诗句。

我们何不以此自问，“何枝可依？”问自己什么是适合自己的，找准自己的位臵，找到自己的归属。

老鹰凶猛、健壮，飞翔速度迅猛，从鹫峰顶俯冲而下，捕获猎物，这是它生存的本领，是它依附的枝头。而乌鹊生本弱小，却一味模仿老鹰，事倍功半，最后落入牧羊人手中，也是可以料想的。诚然它的精神是可嘉的，然而它却忘记了考虑自身的优点与弱点。

（引述材料并简析以提出中心论点）

物犹如此，人亦然。

找准自己的位臵，找到适合自己依附的枝头，生命才能达到极致。

（中心论点，要明确具体,一般以判断句式表达）

一代先师孔子，初时以建立以“仁”治国的完美社会为志，周游列国之后，终于没有成功，然而他却是很好的老师，孔子的弟子遍及天下，他也最终成为我国伟大的思想家、教育家。找到自己的枝头，生命的意义才能实现。

一代喜剧大师卓别林，年少时因相貌不佳，总是成为别人的笑柄，在他的喜剧生涯中这恰恰成为了一种优势，他演的无声喜剧电影，达到了无声胜有声的境界。这不得不说，他那逗人乐的容貌有一定的功劳。

世界首富比尔〃盖茨，本是美国著名学府哈佛大学的学生，然而当他感到大学所教的并不适合自己时，便毅然离开学校，从事电脑设计，最终积累了巨额的财富。

社会在发展，然而道理却没有变，找准自己的位臵，找到适合自己的那个枝头，生命才能闪光。

（三个事例论证，然后紧扣论点总结）

乌鸦勇于拼搏，喜爱学习的精神固然是值得学习的，然而它没有认清自己，最终是要以失败告终的。

“绕树三匝，何枝可依？”“绕树三匝”并非枝枝可依。人不只需要勇于拼搏的精神，更应认清自己，只有二者兼备，才有可能成功。

拥有自知与拼搏，光明就在你的眼前，在努力过后，你会发现“绕树三匝，何枝可依”。（结论）

[名师点评] 文章由诗引题，巧妙扣住文章论点——找准自己的位置。这篇满分作文立意准确，事例典型，富有文化意蕴。



一、本文根据题目材料准确提炼出“认清自己，勇于拼搏”的主题，围绕这一主题，展开议论。文中，为突出主旨，作者多次点题，确保了文章中心鲜明，体现了考场作文的根本要求。



二、事例典型，层次清晰。为论证主题，作者精心选择孔子、卓别林、比尔·盖茨等中外名人事例为论据，多层次多角度进行论证，使得文章内容充实丰满。



三、文章根据材料中“乌鸦”意象展开联想，引出曹操名句，并由此再次联想，反复咏诵，由开头“绕树三匝，何枝可依”的疑问引发思考，到最后的“绕树三匝，此枝可依”，做出有力的回答。诗句的巧妙引用、活用增添了文章的文化韵味。文章末尾强化主题，全文结构严谨完整。另外本文语言富有张力也是该生这篇高考作文胜人一筹的法宝。本文被评满分，当之无愧。



2、泛舟人生

任碧波万顷，沙鸥翔集。自有一舟冯虚御风，羽化登仙。

任高山流水，百舸争流。自有一人头脑清醒，稳如泰山。

乌鸦学艺，本无可厚非，身陷人手，却也理所当然。并非学艺不精，源在无自知之明。鸦的教训，人当记取。（引﹢析，要简洁）泛舟于人生之江渚，个人对自我必须有足够清醒的认识（中心论点。要明确具体，一般以判断句式表达）。此乃不覆的真理，生存的要诀。苏子泛舟，在赤壁之下兴叹水月之变。“盈虚者如彼，而卒莫消长也。”是月，终究还会是月。一只小舟，如果总把自己当作大船，最终只会遭遇被风浪吞噬的境地。所以，认清自己、坚持自己正是乘风破浪的关键所在。

同样深谙认识自己的还有我所敬仰的庄周。《养生主》《逍遥游》，华美深邃的辞藻堆砌了一个圣人，“信〃达〃雅”的灵魂，就如同在月光下的昙花滑出优雅的舞步。他始终坚信自己的存在价值，从不盲目地效仿他人。的确，每个人本身都有值得骄傲的特质，又何需邯郸学步，贻笑大方呢？

古往今来，时间如丝绸般流过，历史在清河中沉浮。在历史的夹缝中挣扎的人们，一旦忘却了自我，一味地追求不合实际的理想，最终总会在白驹过隙，日月如梭中灰飞烟灭。东施效颦，力士谄馋，失去了自我，使失去了本心。谁也不能在生死的悖论中创造与自己灵魂不符的价值奇迹，所以，请慎重面对自己的心，直面自己的实际和能力所在，做自己应做的事，坚持自己应做的人。

在人生的航船上思索，泰戈尔的歌声逐渐传入心房：“在离你最近的地方，距离最远；最简单的音调，需要最艰苦的努力。”坚持自我，认清目的，这看似简单的生命基本哲学，在实践的过程中，却总是那样艰难。而当遇到瓶颈，或许最应该警醒自己的，便是自我。是溪流，就请欢快地在山间潺潺流淌；是江河，就应在波涛如雪中尽情怒吼；是长夜，就应保留住那份夜的璀璨；是人生，就必须在乱迷的江渚之上稳住行舟。（以上论证）

泛舟于人生的法则，源于对自己正确的认知，绝不盲目效仿，绝不自卑自怜。我们每一个人都是一条扬着白帆的小船，必定会在海天之间，乘风远去。（结论）





适合自己的才是最好的（58分文）

鹰击长空，鱼翔浅底，虎啸深山，驼走大漠，因为选择了适合自己的位臵才造就了生命的极致；

小桥流水，蝉吟虫唱，斗转星移，珍器古玩，因为选择了适合自己的方式才创造了美景奇观；

钓鱼台的柳影，西山的虫唱，潭柘寺的钟声，池塘边的芦花，因为选择了价值才成就了美名的享誉，同样，任何事物只有选择适合自己的方式才是最好的，才能实现自己的价值。

一只乌鸦羡慕老鹰漂亮的俯冲抓小羊的动作，自己也模仿老鹰的动作拼命练习，过了几天，乌鸦觉得自己练得很棒了，就从树上猛冲下来，扑到一只山羊背上，想完成老鹰那样完美的动作，然而，它的身子太轻，爪子也被羊毛缠住，翅膀的力量还没有足够大，以至于被牧羊人抓住，它不但没有抓住小羊，反而被别人掌握住了生命，乌鸦盲目的模仿演绎了一场悲剧。

从古至今，此类事件层出不穷。

古有邯郸学步者，看到别人走路姿势优美，便煞费苦心，细心钻研学习他人。殊不知，他根本不适合，最终落得不仅没有学会别人的步态，而且忘了自己当初的走姿，岂不可笑可悲！丑陋的东施，一心想拥有沉鱼落雁之容，闭月羞花之貌，然而却无能为力。一日偶见西施捧腹，面有难受之色，但表情甚是可爱，于是，学习西施，结果弄得自己更加丑陋，人们都厌恶她的样子。

现代社会依然如此，没有刘德华的帅气，张国荣的迷人，硬要摆个酷姿，理个酷头，弄得自己简直不堪入目。更有甚者，拿着张含韵的“酸酸甜甜就是我”修饰自己，更是让人受不了。因为他们都没有找到适合自己的方式，所以最终落得如此下场。

泰山奇，华山险，黄山绝，峨眉秀，玫瑰芬芳，百合秀丽，因为它们选择了适合自己的，你有芙蓉如面柳如眉，我腹有诗书气自华；你是大家闺秀，温文尔雅，我是小家碧玉，同样秀丽；你驰骋政坛，跃马商场，我琴棋书画，天下奇绝……

我们各自都是一道亮丽的风景，要找到适合自己的，才能把自己变成最好的。

简评：文章一开头就用排比手法提出文章的论点：“不要盲目模仿，要选择适合自己的位置”，然后根据联系所给材料分析自己的观点，文采斐然、言约意丰。该文的可贵之处在于能做到选材古今结合：邯郸学步、东施效颦、苦学刘德华、模仿张国荣，可谓材料翔实，说理充分。文章在结尾处点题——适合自己的才是最好的，使文章结构完整，束结有力。

第五篇：高考物理复习动量守恒定律10个模型最新模拟题训练

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动量守恒的十种模型精选训练

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。

一．碰撞模型

【模型解读】碰撞的特点是：在碰撞的瞬间，相互作用力很大，作用时间很短，作用瞬间位移为零，碰撞前后系统的动量守恒。无机械能损失的弹性碰撞，碰撞后系统的动能之和等于碰撞前系统动能之和，碰撞后合为一体的完全非弹性碰撞，机械能损失最大。

例1.如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

针对训练题

1．如图，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m。两物块与地面间的动摩擦因数均相同。现使a以初速度v0向右滑动。此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞。重力加速度大小为g。求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件。

2．如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量为m＝1

kg的相同的小球A、B、C。现让A球以v0＝2

m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与C球碰撞，C球的最终速度vC＝1

m/s。问：

3．如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：

4.水平光滑轨道AB与半径为R=2m竖直面内的光滑圆弧轨道平滑相接，质量为m=0.2kg的小球从图示位置C(C点与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为60°)自静止开始滑下，与放在圆弧末端B点的质量为M=13kg的物体M相碰时，每次碰撞后反弹速率都是碰撞前速率的11/12，设AB足够长，则m与M能够发生多少次碰撞？

5.如图所示，质量均为M=lkg的A、B小车放在光滑水平地面上，A车上用轻质细线悬挂质量m=0.5kg的小球。B车处于静止状态，A车以v0=2m/s的速度向右运动，两车相撞后粘在一起向右运动。求：

6.如图所示,在光滑的水平面上静止着一个质量为4m的木板B,B的左端静止着一个质量为2m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0。飞来与A物块碰撞后立即以大小为v0的速率弹回,在整个过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求：

①相对B静止后的速度；

②木板B至少多长?

7.在足够长的光滑水平面上有一个宽度为L的矩形区域，只要物体在此区域内就会受到水平向右的恒力F的作用。两个可视为质点的小球如图所示放置，B球静止于区域的右边界，现将A球从区域的左边界由静止释放，A球向右加速运动，在右边界处与B球碰撞（碰撞时间极短）。若两球只发生一次碰撞，且最终两球的距离保持不变，求

二．爆炸模型

【模型解读】爆炸是在极短时间内完成的，爆炸时物体之间的相互作用力远远大于系统所受外力，系统动量守恒。在爆炸过程中，由于有其它形式的能量（炸药的化学能）转化为机械能，爆炸过程中系统动能一定增加。

例2．如图所示，水平面上OM正中间有质量分别为2m、m的两物块B、C（中间粘有炸药），现点燃炸药，B、C被水平弹开，物块C运动到O点时与刚好到达该点速度为v0的小物块A发生迎面正碰，碰后两者结合为一体向左滑动并刚好在M点与B相碰，不计一切摩擦，三物块均可视为质点，重力加速度为g=10m/s2，求炸药点燃后释放的能量E．

针对训练题

1.一置于桌面上质量为M的玩具炮，水平发射质量为m的炮弹．炮可在水平方向自由移动．当炮身上未放置其它重物时，炮弹可击中水平地面上的目标A；当炮身上固定一质量为M0的重物时，在原发射位置沿同一方向发射的炮弹可击中水平地面上的目标B．炮口离水平地面的高度为h．如果两次发射时

“火药”提供的机械能相等，求B、A两目标与炮弹发射点之间的水平距离之比。

2.有一炮竖直向上发射炮弹,炮弹的质量为M=6.0kg(内含炸药的质量可以忽略不计),射出时的初速度v0=60m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片,其中一片质量为m=4.0kg。现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R=600m为半径的圆周范围内,则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？(,忽略空气阻力)

3从地面竖直向上发射一枚礼花弹，当上升速度为30

m／s时，距地面高度为150

m，恰好此时礼花弹炸开，分裂成质量相等的两部分，其中一部分经5

s落回发射点，求：

（1）另一部分炸开时的速度.(2)

另一部分落点位置和落回地面的时间。

4.如图所示，在光滑水平面上，有一长L=2m的木板C，它的两端各有一块挡板，C的质量mC＝5kg，在C的正中央并排放着两个可视为质点的物块A和B，质量分别是mA＝1kg，mB＝4kg，开始时A、B、C都静止，A、B间夹有少量的塑胶炸药，由于炸药爆炸，使得A以6m／s的速度水平向左滑动，如果C的上表面光滑，物块与挡板相碰后都粘合在挡板上，求：

5如图所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O为圆心、R为半径的一小段圆弧。可视为质点的物块A和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动。B到d点时速度沿水平方向，此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的，A与ab段的动摩擦因数为μ，重力加速度g，求：

8.（10分）如图所示，AB为光滑的斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，小球乙静止于水平轨道上。一个质量大于小球乙的小球甲以水平速度v0与乙球发生弹性正碰，碰后乙球沿水平轨道滑向斜面轨道AB。求：在甲、乙发生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能达到最大高度的范围（设斜面轨道足够长，重力加速度为g）。

三．反冲模型

【模型解读】物体的不同部分在内力作用下向相反方向的运动，称为反冲。反冲的特点是物体间相互作用的内力大，在外力远远小于内力情况下，可以认为动量守恒。常见的反冲现象有：喷气式飞机的运动，火箭的运动，放射性元素的衰变等。

例3.一个连同装备总质量为M=100kg的宇航员，在距离飞船x=45m处与飞船处于相对静止状态，宇航员背着装有质量为m0=0.5

kg氧气的贮气筒。筒上装有可以使氧气以v=50

m/s的速度喷出的喷嘴，宇航员必须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船，同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用，宇航员的耗氧率为Q=2.5×10-4

kg/s，不考虑喷出氧气对设备及宇航员总质量的影响，则：

(1)瞬时喷出多少氧气，宇航员才能安全返回飞船？

(2)为了使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气？返回时间又是多少？

针对训练题

一．选择题

1．运送人造地球卫星的火箭开始工作后，火箭做加速运动的原因是()

A．燃料燃烧推动空气，空气反作用力推动火箭

B．火箭发动机将燃料燃烧产生的气体向后排出，气体的反作用力推动火箭

C．火箭吸入空气，然后向后排出，空气对火箭的反作用力推动火箭

D．火箭燃料燃烧发热，加热周围空气，空气膨胀推动火箭

2．静止的实验火箭，总质量为M，当它以对地速度为v0喷出质量为Δm的高温气体后，火箭的速度为()

A.B．－

C.D．－

3．一小型火箭在高空绕地球做匀速圆周运动，若其沿运动方向的相反方向射出一物体P，不计空气阻力，则()

A．火箭一定离开原来轨道运动

B．P一定离开原来轨道运动

C．火箭运动半径可能不变

D．P运动半径一定减小

【名师解析】：火箭射出物体P后，由反冲原理火箭速度变大，所需向心力变大，从而做离心运动离开原来轨道，半径增大A项对，C项错；P的速率可能减小，可能不变，可能增大，运动也存在多种可能性，所以B、D错。

4．一装有柴油的船静止于水平面上，船前舱进水，堵住漏洞后用一水泵把前舱的油抽往后舱，如图所示。不计水的阻力，船的运动情况是

A．向前运动

B．向后运动

C．静止

D．无法判断

二．计算题

1．一火箭喷气发动机每次喷出m＝200

g的气体，喷出的气体相对地面的速度v＝1

000

m/s。设此火箭初始质量M＝300

kg，发动机每秒喷气20次，在不考虑地球引力及空气阻力的情况下，火箭发动机1

s末的速度是多大？

2．如图所示，3.课外科技小组制作了一只水火箭，用压缩空气压出水流使火箭运动。用压缩空气压出水流使火箭运动。假如喷出的水流流量保持为2×10-4m3/s，喷出速度保持为对地10

m/s。启动前火箭总质量为1.4kg，则启动2s末火箭的速度可以达到多少？已知火箭沿水平轨道运动阻力不计，水的密度是103kg/m3。

4平板车停在水平光滑的轨道上，平板车上有一人从固定在车上的货厢边沿水平方向顺着轨道方向跳出，落在平板车上的A点，距货厢水平距离为l=4

m，如图所示。人的质量为m，车连同货厢的质量为M=4

m，货厢高度为h=1.25

m(g取10

m/s2)。求：

5.连同炮弹在内的炮车停放在水平地面上，炮车质量为M,炮膛中炮弹质量为m,炮车与地面间的动摩擦因数为μ,炮筒的仰角为α,设炮弹以相对于炮筒的速度v0射出,那么炮车在地面上后退多远?

四．子弹打木块模型

【模型解读】若木块不固定，子弹打木块过程中，子弹与木块的作用力远大于木块所受阻力，系统动量守恒。子弹打木块过程中，子弹和木块的位移不同，二者相互作用，导致系统机械能减小，减小的机械能转化为内能。对于子弹打木块问题，若计算相互作用前后的速度，可利用动量守恒定律列方程解答；若涉及相互作用的时间，一般需要利用动量定理列方程解答；若涉及子弹打入木块的深度，一般需要分别对子弹和木块分别运用动量定理列方程解答。

例4

.如图所示，在光滑水平地面上的木块M紧挨轻弹簧靠墙放置。子弹m以速度v0沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩劲度系数未知弹簧至弹簧最短．已知子弹质量为m，木块质量是子弹质量的9倍，即M=9m；弹簧最短时弹簧被压缩了△x；劲度系数为k、形变量为x的弹簧的弹性势能可表示为Ep=kx2。求：

针对训练题

1（8分）（2016高考海南物理）如图，物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动，碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h为纵坐标，v2为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92

×10-3s2/m。已知物块A和B的质量分别为mA=0.400kg和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.8m/s2。

2如图所示，在固定的光滑水平杆上，套有一个质量为m=0.5kg的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量为M=1.98kg的木块，现有一质量为m0=20g的子弹以v0=100m/s的水平速度射入木块并留在木块中（不计空气阻力和子弹与木块作用的时间，g取10m/s2）

求：

3.如图所示，两物块A、B并排静置于高h=0.80m的光滑水平桌面上，两物块的质量均为M=0.60kg。一颗质量m=0.10kg的子弹C以v0=100m/s的水平速度从左面射入A物块，子弹射穿A后接着射入B并留在B中，此时A、B都没有离开桌面。已知物块A的长度为0.27m，A离开桌面后，落地点到桌边的水平距离s=2.0m。设子弹在物块A、B

中穿行时受到的阻力保持不变，g取10m/s2。求：

4如图所示，质量为mB=2kg的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一块质量为mA=2kg的物体A，一颗质量为m0=0.01kg的子弹以υ0=600m/s的水平初速度瞬间射穿A后，速度变为υ2=100m/s，已知A、B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止．

5.如图，一质量为M的物快静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h。一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度v0/2射出。重力加速度为g。

6.装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击．通过对一下简化模型的计算可以粗略说明其原因．质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑桌面上．质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿．现把钢板分成厚度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图所示．若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度．设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞不计重力影响．

五．人船模型

【模型解读】人在船上静止在水面，人在船上行走，船后退，若人船系统所受的合外力为零（不考虑船运动所受水的阻力），则人船系统动量守恒。由m1v1=m2v2，解得：=.。对于相互作用的整个过程，有=.。两个原来静止的物体发生相互作用时，若系统所受的合外力为零，都可视为人船模型。解答时，可画出两个物体位移关系图，确定两个物体的位移关系。

“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用，它把速度和质量的关系推广到质量和位移的关系，这样给我们提供了一种解题思路和解决问题的方法。人船问题的适用条件是：两个物体组成的系统(当有多个物体组成系统时，可以先转化为两个物体组成的系统)动量守恒，系统的合动量为零。

这种模型中涉及两种题型，一种题型是求解某物体在相互作用过程中通过的位移，此题型中需根据动量守恒、位移关系得到两个关系求解，如在图中，人从船头走到船尾时由动量守恒可得：

再由图中几何关系有

可得人船的位移分别为

另一种题型是求某一时刻物体的速度，这种题型是先要由动量守恒求得两物体的一个速度关系，再由能量守恒得到两物体的另一个速度关系，从而求得物体的瞬时速度(或与瞬时速度相关的物理量)。

例5.如图所示，质量为m、半径为r的小球，放在内半径为R，质量为M=3m的大空心球内，大球开始静止在光滑水平面上，当小球由图中位置无初速度释放后沿内壁滚到最低点时，大球移动的距离为（）

【点评】对于人船模型问题，画出示意图可清晰两物体之间的位移关系。

针对训练题

1．气球质量为200

kg，载有质量为50

kg的人，静止在空气中距地面20

m高的地方，气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则这绳长至少应为多长？(不计人的高度)

2质量为m的人站在质量为M、长度为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边，当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？

3．质量为m的木块和质量为M的铁块用细绳系在一起处于深水中静止。剪断细绳，木块上浮，铁块下沉。当木块上浮距离h时（还没有露出水面），铁块下沉的距离是多少？

4.如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平地面上，车上装有半径为R的半圆形光滑轨道，现将质量为m的小球在轨道的边缘由静止释放，当小球滑至半圆轨道的最低位置时，小车移动的距离为多少？小球的速度大小为多少？

六．弹簧连接体模型

【模型解读】两个物体在相对运动过程中通过弹簧发生相互作用，系统动量守恒，机械能守恒。

例6..如图所示，A、B两物体的中间用一段细绳相连并有一压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态。若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上未滑离之前，A、B在C上向相反方向滑动的过程中

针对训练题

1.在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬杆上，穿着三个半径相同的刚性球A、B、C，三球的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg，初状态BC球之间连着一根轻质弹簧并处于静止，B、C连线与杆垂直并且弹簧刚好处于原长状态，A球以v0=9m/s的速度向左运动，与同一杆上的B球发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），求：

2.如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg.用轻弹簧栓接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触.另有一物块C从t=0时以一定速度向右运动，在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图象如图乙所示.求：

3.光滑水平面上放着质量mA

＝1

kg的物块A与质量为mB

＝2

kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能为Ep＝

J．在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示．放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R＝0.5

m，B恰能运动到最高点C．取g＝10

m/s2，求：

如图所示，在光滑水平地面上，有一质量为m1=4.0kg的平板小车，小车的右端有一固定的竖直挡板，挡板上固定一轻质细弹簧。位于小车上A点处质量m2＝1.0kg的木块(可视为质点)与弹簧的左端相接触但不连接，此时弹簧与木块间无相互作用力。木块与A点左侧的车面之间的动摩擦因数μ＝

0.40，木块与A点右侧的车面之间的摩擦可忽略不计。现小车与木块一起以v0＝

2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v

1＝

1.0m/s的速度反向弹回，已知重力加速度g取10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。求:

如图所示，在光滑水平地面上有一固定的挡板，挡板上固定一个轻弹簧．现有一质量M=3kg，长L=4m的小车AB(其中O为小车的中点，AO部分粗糙，OB部分光滑)，一质量为m=1kg的小物块(可视为质点)，放在车的最左端，车和小物块一起以v0=4m/s的速度在水平面上向右匀速运动，车撞到挡板后瞬间速度变为零，但未与挡板粘连．已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内，小物块与车AO部分之间的动摩擦因数为μ0.3，重力加速度g=10m/s2．求：

七．物快木板叠放体模型

【模型解读】木板放在光滑水平面上，物快在木板上运动，相互作用的是摩擦力，系统动量守恒。物快在木板上相对运动过程中，摩擦生热，产生热量Q=fs，式中s为二者相对运动路程。

例7.如图所示，平板车P的质量为M，小物快Q的质量为m，大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平地面上．一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q的正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球(大小不计)．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°角，由静止释放，小球到达最低点时与Q碰撞的时间极短，且无能量损失，已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m=4：1，重力加速度为g．求：

针对训练题

1.【黑龙江省牡丹江市第一中学2017届高三上学期开学摸底考试物理试题】如图所示，质量m=2kg的滑块（可视为质点），以v0=5m/s的水平初速度滑上静止在光滑水平面的平板小车，若平板小车质量M=3kg，长L=4.8m。滑块在平板小车上滑移1.5s后相对小车静止。求：

一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止。重力加速度为g。求：

3.如图所示，在光滑水平面上有木块A和B，mA=0.5kg，mB=0.4kg，它们的上表面是粗糙的。今有一铁块C，mC=0.1kg，以初速度v0＝10m/s沿两木块表面滑过，最后停止B上，此时B、C以共同速度v＝1.5m/s运动，求：

4.如图所示,在光滑的水平面上静止着一个质量为4m的木板B,B的左端静止着一个质量为2m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0。飞来与A物块碰撞后立即以大小为v0的速率弹回,在整个过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求：

①相对B静止后的速度；

②木板B至少多长?

5.质量m1=1kg的木板放在光滑水平地面上，质量m2=0.2kg的木块置于木板的右端，木板与木块之间的动摩擦因数μ=0.3.某时刻二者同时开始运动，木板的初速度v01=3m/s，水平向右；木块的初速度v02=1m/s，水平向左；如图所示。已知重力加速度g=10m/s2，小木块可视为质点。求：

6．如图所示是固定在水平地面上的横截面为“”形的光滑长直导轨槽，槽口向上（图为俯视图）．槽内放置一个木质滑块，滑块的左半部是半径为R的半圆柱形光滑凹槽，木质滑块的宽度为2R，比“”形槽的宽度略小．现有半径r（r＜＜R）的金属小球以水平初速度v0=4m/s冲向滑块，从滑块的一侧半圆形槽口边缘进入．已知金属小球的质量为m=1kg，木质滑块的质量为M=3kg，整个运动过程中无机械能损失．求：

7.如图，用两根等长的细线分别悬挂两个弹性球A、B，球A的质量为2m，球B的质量为9m，一颗质量为m的子弹以速度vo水平射入球A，并留在其中，子弹与球A作用时间极短；设A、B两球作用为对心弹性碰撞．求：

动量守恒的十种模型精选训练8

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。

八．多次碰撞模型

【模型解读】若放在光滑水平面上的凹槽中的物体以某一速度与其碰撞，则会发生多次碰撞。对于发生多次碰撞的系统，若只需计算二者相对静止时的速度，则可根据初末状态利用动量守恒定律列方程解得。

例8.在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，L为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以v0＝5m/s初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。g取10m/s2。求：

针对训练题

1．如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量为m＝1

kg的相同的小球A、B、C。现让A球以v0＝2

m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与C球碰撞，C球的最终速度vC＝1

m/s。问：

2.水平光滑轨道AB与半径为R=2m竖直面内的光滑圆弧轨道平滑相接，质量为m=0.2kg的小球从图示位置C(C点与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为60°)自静止开始滑下，与放在圆弧末端B点的质量为M=13kg的物体M相碰时，每次碰撞后反弹速率都是碰撞前速率的11/12，设AB足够长，则m与M能够发生多少次碰撞？

3.甲乙两车总质量（包括人、车及砂袋）均为500kg，在光滑水平面上沿同一直线相向而行，两车速度大小分别为v甲=3.8m/s，v乙=1.8m/s，为了不相撞，甲车上的人将编号分别为1、2、3···n，质量分别为1kg、2kg、3kg······nkg的砂袋依次均为20m/s相对地的速度水平抛入乙车，试求：

（1）第几号砂袋投入乙车后，乙车速度为零？

（2）至少第几号砂袋投入乙车后，若两车尚未相碰，则不会相撞？

46．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

4.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。

（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的动能

vn′2；

5如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

动量守恒的十种模型精选训练9

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。

九．临界模型

例9．如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3

m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3

m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30

kg，冰块的质量为m2＝10

kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g＝10

m/s2。

针对训练题

1.甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车质量共为M=30kg，乙和他的冰车质量也是30

kg，游戏时，甲推着一个质量为m=15

kg的箱子，和他一起以大小为v0=2.0

m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦力，求：

(1)甲至少要以多大的速度（相对地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞？

(2)甲推出箱子时对箱子做了多少功？

2.在光滑的冰面上静止放置一截面为四分之一圆弧的半径足够大的光滑的自由曲面，一个坐在冰车上的小孩手扶一小球静止在冰面上．某时刻小孩将小球以v0=2m/s的速度向曲面推出（如图所示）．

3.如图所示，4.如图所示，甲车质量m1=20kg，车上有质量M=50kg的人，甲车（连同车上的人）从足够长的斜坡上高h=0.45m由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动。此时质量m2=50kg的乙车正以v0=1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度（相对地面）应在什么范围以内？不计地面和斜坡的摩擦，取g=10m/s2。

5.人和冰车的总质量为M，另一木球质量为m，且M∶m＝31∶2．人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v(相对地面)将原来静止的木球沿冰面推向正前方向的固定挡板，不计一切摩擦阻力，设小球与挡板的碰撞是弹性的，人接住球后，再以同样的速度v(相对地面)将球推向挡板．求人推多少次后不能再接到球？

6.如图所示，动量守恒的十种模型精选训练10

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。

十．多体作用模型

【模型解读】所谓多体作用模型是指系统中多个物体，相互作用，满足系统动量守恒定律。

例10.列车载重时简单地直接启动有困难，司机常常先倒车再启动前进。在平直轨道上机车起动时的牵引力为F，机车后面挂接有49节车厢，设机车与每节车厢的质量都为m，机车和每节车厢所受的阻力都为自身重力的k倍，倒车后各节车厢间挂钩所留间隙为d，倒车挂钩位置和列车前进时挂钩位置如图所示。列车在平直轨道上启动，求：

针对训练题

1.在光滑水平面上有n个完全相同的小物快（可看作质点）沿一直线排列，相邻两物快间距均为s，开始物块1以初速度v0向物块2运动，碰撞后粘在一起，又向物块3运动，碰撞后粘在一起，······，如此进行碰撞。

（1）最后物块n的速度vn多大？

（2）从物块1开始运动计时，到物块n刚开始运动，经历多长时间？每次碰撞所用时间不计。

2．一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的因纽特狗站在该雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇。狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为v，则此时狗相对于地面的速度为v＋v′(其中v′为狗相对于雪橇的速度，v＋v′为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则v为正值，v′为负值)。设狗总以速度v＋v′追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5

m/s，v′的大小为4

m/s，M＝30

kg，m＝10

kg。

(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。

(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。

(供使用但不一定用到的对数值：lg2＝0.301，lg3＝0.477)

3.如图所示，4.如图所示，两端带有固定薄挡板的滑板C长为l，质量为，与地面间的动摩擦因数为μ，其光滑上表面上静置着质量分别为m、的物块，A、B，A位于C的中点，现使B以水平速度2v向右运动，与挡板碰撞并瞬间粘连，不再分开，A、B可看做质点，物块A与B、C的碰撞都可视为弹性碰撞。已知重力加速度为g，求：

5.（10分）如图，在光滑水平面上，有A、B、C三个物体，开始BC皆静止且C在B上，A物体以v0=10m/s撞向B物体，已知碰撞时间极短，撞完后A静止不动，而B、C最终的共同速度为4m/s．已知B、C两物体的质量分别为mB=4kg、mC=1kg，试求：

6．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

7.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。

（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的动能

vn′2；

动量守恒的十种模型精选训练

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。

一．碰撞模型

【模型解读】碰撞的特点是：在碰撞的瞬间，相互作用力很大，作用时间很短，作用瞬间位移为零，碰撞前后系统的动量守恒。无机械能损失的弹性碰撞，碰撞后系统的动能之和等于碰撞前系统动能之和，碰撞后合为一体的完全非弹性碰撞，机械能损失最大。

例1.如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

如果m＞M，第一次碰撞后A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后A停止，C以A的速度向右运动，A不可能与B发生碰撞；所以只需考虑m＜M的情况。

第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞后，A的速度vA2，B的速度vB1，同理

vA2＝

vA1=

A只与B、C各发生一次碰撞时有，vA2≤vC1

解得m2＋4mM－M2≥0……（６）

即m≥（－2）M，舍弃m≤－（－2）M）

则（－2）M≤m＜M。

【点评】解答时需要对m>M,m>M，m>M的情况进行讨论，得出可能的情况。对于弹性碰撞问题，需要运用动量守恒定律和机械能守恒定律列出相关方程联立解得。对于三体各发生一次碰撞，要通过分析得出两个物体碰撞后，两物体速度需要满足的条件。

针对训练题

1．如图，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m。两物块与地面间的动摩擦因数均相同。现使a以初速度v0向右滑动。此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞。重力加速度大小为g。求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件。

【名师解析】　设物块与地面间的动摩擦因数为μ。若要物块a、b能够发生碰撞，应有

mv>μmgl

①

即μ<。

②

设在a、b发生弹性碰撞前的瞬间，a的速度大小为v1。由能量守恒定律得

mv＝mv＋μmgl

③

设在a、b碰撞后的瞬间，a、b的速度大小分别为v1′、v2′，由动量守恒和能量守恒有

mv1＝mv1′＋mv2′

④

mv＝mv1′2＋·mv2′2

⑤

联立④⑤式解得

v2′＝v1

⑥

由题意，b没有与墙发生碰撞，由功能关系可知

·mv2′2≤μ·gl

⑦

联立③⑥⑦式，可得μ≥

⑧

联立②⑧式，a与b发生碰撞、但没有与墙发生碰撞的条件

≤μ<。

2．如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量为m＝1

kg的相同的小球A、B、C。现让A球以v0＝2

m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与C球碰撞，C球的最终速度vC＝1

m/s。问：

3．如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：

【名师解析】(1)设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得

m2gL＝m2v2

①

式中g为重力加速度的大小．设球a的质量为m1，在两球碰后的瞬间，两球的共同速度为v′，以向左为正方向，由动量守恒定律得

m2v＝(m1＋m2)v′

②

设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得

(m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cosθ)

③

联立①②③式得＝－1

④

代入题给数据得＝－1.⑤

(2)两球在碰撞过程中的机械能损失为

Q＝m2gL－(m1＋m2)gL

(1－cosθ)

⑥

联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek(Ek＝m2v2)之比为

＝1－(1－cosθ)

⑦

联立⑤⑦式，并代入题给数据得＝1－.⑧

4.水平光滑轨道AB与半径为R=2m竖直面内的光滑圆弧轨道平滑相接，质量为m=0.2kg的小球从图示位置C(C点与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为60°)自静止开始滑下，与放在圆弧末端B点的质量为M=13kg的物体M相碰时，每次碰撞后反弹速率都是碰撞前速率的11/12，设AB足够长，则m与M能够发生多少次碰撞？

5.（2016山西三模）如图所示，质量均为M=lkg的A、B小车放在光滑水平地面上，A车上用轻质细线悬挂质量m=0.5kg的小球。B车处于静止状态，A车以v0=2m/s的速度向右运动，两车相撞后粘在一起向右运动。求：

(i)两车相碰撞过程中损失的机械能；

(ii)当小球向右摆到最大髙度时,两小车的速度

及小球的最大高度值。

6.(2017长春质检)如图所示,在光滑的水平面上静止着一个质量为4m的木板B,B的左端静止着一个质量为2m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0。飞来与A物块碰撞后立即以大小为v0的速率弹回,在整个过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求：

①相对B静止后的速度；

②木板B至少多长?

②设A在B上滑过的距离为L，由能的转化和守恒定律得

2μmgL=2mv12-

(2m+4m)

v22

解得：

L=。

7.（10分）（2016东北四市模拟）在足够长的光滑水平面上有一个宽度为L的矩形区域，只要物体在此区域内就会受到水平向右的恒力F的作用。两个可视为质点的小球如图所示放置，B球静止于区域的右边界，现将A球从区域的左边界由静止释放，A球向右加速运动，在右边界处与B球碰撞（碰撞时间极短）。若两球只发生一次碰撞，且最终两球的距离保持不变，求

二．爆炸模型

【模型解读】爆炸是在极短时间内完成的，爆炸时物体之间的相互作用力远远大于系统所受外力，系统动量守恒。在爆炸过程中，由于有其它形式的能量（炸药的化学能）转化为机械能，爆炸过程中系统动能一定增加。

例2．如图所示，水平面上OM正中间有质量分别为2m、m的两物块B、C（中间粘有炸药），现点燃炸药，B、C被水平弹开，物块C运动到O点时与刚好到达该点速度为v0的小物块A发生迎面正碰，碰后两者结合为一体向左滑动并刚好在M点与B相碰，不计一切摩擦，三物块均可视为质点，重力加速度为g=10m/s2，求炸药点燃后释放的能量E．

【点评】凡是内力瞬时做功，使系统机械能瞬时增大的都可以归纳为爆炸模型。在“爆炸”过程中，动量守恒，内力瞬时做功等于系统增大的机械能。

针对训练题

1.一置于桌面上质量为M的玩具炮，水平发射质量为m的炮弹．炮可在水平方向自由移动．当炮身上未放置其它重物时，炮弹可击中水平地面上的目标A；当炮身上固定一质量为M0的重物时，在原发射位置沿同一方向发射的炮弹可击中水平地面上的目标B．炮口离水平地面的高度为h．如果两次发射时

“火药”提供的机械能相等，求B、A两目标与炮弹发射点之间的水平距离之比。

【名师解析】：由动量守恒定律和能量守恒定律得：

解得：

炮弹射出后做平抛，有：

解得目标A距炮口的水平距离为：

同理，目标B距炮口的水平距离为：

解得：

2.有一炮竖直向上发射炮弹,炮弹的质量为M=6.0kg(内含炸药的质量可以忽略不计),射出时的初速度v0=60m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片,其中一片质量为m=4.0kg。现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R=600m为半径的圆周范围内,则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？(,忽略空气阻力)

本题考查反冲模型的动量守恒问题，炮弹射出后根据竖直上抛规律计算出初速度，再由射出过程中系统动量守恒可计算出相关速度和物理量

设炮弹止升到达最高点的高度为H,根据匀变速直线运动规律,有：

解得，=180m

设质量为M的弹片刚爆炸后，其中质量为m的一块的速度为,另一块的速度为,根据动量守恒定律,有：

设质量为的弹片运动的时间为,根据平抛运动规律,有：

解得，v=100m/s,V=200m/s

炮弹刚爆炸后,两弹片的总动能

……1分

代入数值得………1分

从地面竖直向上发射一枚礼花弹，当上升速度为30

m／s时，距地面高度为150

m，恰好此时礼花弹炸开，分裂成质量相等的两部分，其中一部分经5

s落回发射点，求：

（1）另一部分炸开时的速度.(2)

另一部分落点位置和落回地面的时间。

（2）另一部分做竖直上抛运动，落回到抛出点。

由-

h=v2t2-gt22，解得：t2=s。

舍弃负值，得t2=s。

4.如图所示，在光滑水平面上，有一长L=2m的木板C，它的两端各有一块挡板，C的质量mC＝5kg，在C的正中央并排放着两个可视为质点的物块A和B，质量分别是mA＝1kg，mB＝4kg，开始时A、B、C都静止，A、B间夹有少量的塑胶炸药，由于炸药爆炸，使得A以6m／s的速度水平向左滑动，如果C的上表面光滑，物块与挡板相碰后都粘合在挡板上，求：

（2）炸药爆炸，A、B获得的速度大小分别为vA、vB．以向左为正方向，有：

mAvA-mBvB=0，解得：vB=1.5m/s，方向向右

炸药爆炸后，炸药对A、B物体做的总功是

W=mAvA2-mBvB2=22.5J

(3)然后A向左运动，与挡板相撞并合成一体，共同速度大小为vAC，由动量守恒，有：

mAvA=（mA+mC）vAC，解得：vAC=1m/s

此过程持续的时间为：t1=

=1/6s。

此后，设经过t2时间B与挡板相撞并合成一体，则有：

L/2=vACt2+vB（t1+t2），解得：t2=0.3s

所以，板C的总位移为：xC=vACt2=0.3m，方向向左

答案：（1）板C的速度是0

（2）炸药爆炸后，炸药对A、B物体做的总功是22.5J。

（3）板C的位移大小是0.3m，方向向左．

如图所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O为圆心、R为半径的一小段圆弧。可视为质点的物块A和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动。B到d点时速度沿水平方向，此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的，A与ab段的动摩擦因数为μ，重力加速度g，求：

（ii）碰撞过程中系统机械能损失：⑥

解得：

8.（10分）如图所示，AB为光滑的斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，小球乙静止于水平轨道上。一个质量大于小球乙的小球甲以水平速度v0与乙球发生弹性正碰，碰后乙球沿水平轨道滑向斜面轨道AB。求：在甲、乙发生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能达到最大高度的范围（设斜面轨道足够长，重力加速度为g）。

当M远大于m时，当M=m时，（1分）

由乙球碰后，滑上斜面过程中机械能守恒得：

（2分）

解得：

所以有：

v0＜v2＜2v0

＜h＜

（2分）

三．反冲模型

【模型解读】物体的不同部分在内力作用下向相反方向的运动，称为反冲。反冲的特点是物体间相互作用的内力大，在外力远远小于内力情况下，可以认为动量守恒。常见的反冲现象有：喷气式飞机的运动，火箭的运动，放射性元素的衰变等。

例3.一个连同装备总质量为M=100kg的宇航员，在距离飞船x=45m处与飞船处于相对静止状态，宇航员背着装有质量为m0=0.5

kg氧气的贮气筒。筒上装有可以使氧气以v=50

m/s的速度喷出的喷嘴，宇航员必须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船，同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用，宇航员的耗氧率为Q=2.5×10-4

kg/s，不考虑喷出氧气对设备及宇航员总质量的影响，则：

(1)瞬时喷出多少氧气，宇航员才能安全返回飞船？

(2)为了使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气？返回时间又是多少？

【名师解析】

(1)由题述可知所求的喷出氧气的质量m应有一个范围，若m太小，宇航员获得的速度也小，虽贮气筒中剩余的氧气较多，但由于返回飞船所用的时间太长，将无法满足他途中呼吸所用，若m太大，宇航员获得的速度虽然大了，而筒中氧气太少，也无法满足其呼吸作用，所以m对应的最小和最大两个临界值都应是氧气恰好用完的情况，设瞬间喷气m

kg时，宇航员恰能安全返回，根据动量守恒定律可得：

mv=MV

①

宇航员匀速返回的时间为

t=x/V

②

贮气筒中氧气的总质量：m0≥m+Qt

③

代入数据可得0.05

kg≤m≤0.45

kg

(2)当总耗氧量最低时，宇航员安全返回，共消耗氧气△m，则△m=m+Qt

④

由①②④可得

△m=+m=+m

当m

=，即m=0.15

kg时，△m有极小值，故总耗氧量最低时，应一次喷出m=0.15

kg的氧气。

将m=0.15

kg代入①②两式可解得返回时间：t=600

s。

【点评】若向前瞬时喷出微量气体，根据动量定理，则受到一个向后的瞬时作用力，具有一个瞬时加速度，获得一个速度后退。若向前持续喷出气体，则速度一个向后的持续力，具有持续的加速度。

针对训练题

一．选择题

1．运送人造地球卫星的火箭开始工作后，火箭做加速运动的原因是()

A．燃料燃烧推动空气，空气反作用力推动火箭

B．火箭发动机将燃料燃烧产生的气体向后排出，气体的反作用力推动火箭

C．火箭吸入空气，然后向后排出，空气对火箭的反作用力推动火箭

D．火箭燃料燃烧发热，加热周围空气，空气膨胀推动火箭

2．静止的实验火箭，总质量为M，当它以对地速度为v0喷出质量为Δm的高温气体后，火箭的速度为()

A.B．－

C.D．－

【名师解析】：取火箭及气体为系统，则气流在向外喷气过程中满足动量守恒定律，由动量守恒定律得0＝Δmv0＋(M－Δm)v

解得v＝－v0，所以B选项正确。

3．一小型火箭在高空绕地球做匀速圆周运动，若其沿运动方向的相反方向射出一物体P，不计空气阻力，则()

A．火箭一定离开原来轨道运动

B．P一定离开原来轨道运动

C．火箭运动半径可能不变

D．P运动半径一定减小

【名师解析】：火箭射出物体P后，由反冲原理火箭速度变大，所需向心力变大，从而做离心运动离开原来轨道，半径增大A项对，C项错；P的速率可能减小，可能不变，可能增大，运动也存在多种可能性，所以B、D错。

4．一装有柴油的船静止于水平面上，船前舱进水，堵住漏洞后用一水泵把前舱的油抽往后舱，如图所示。不计水的阻力，船的运动情况是

A．向前运动

B．向后运动

C．静止

D．无法判断

二．计算题

1．一火箭喷气发动机每次喷出m＝200

g的气体，喷出的气体相对地面的速度v＝1

000

m/s。设此火箭初始质量M＝300

kg，发动机每秒喷气20次，在不考虑地球引力及空气阻力的情况下，火箭发动机1

s末的速度是多大？

【名师解析】：以火箭和它在1

s内喷出的气体为研究对象，系统动量守恒。设火箭1

s末的速度为v′，1

s内共喷出质量为20m的气体，以火箭前进的方向为正方向。

由动量守恒定律得(M－20m)v′－20mv＝0，解得v′＝＝

m/s≈13.5

m/s。

答案：13.5

m/s

2．如图5－4所示，一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A。求男演员落地点C与O点的水平距离x。已知男演员质量m1和女演员质量m2之比＝2，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C点比O点低5R。

3.课外科技小组制作了一只水火箭，用压缩空气压出水流使火箭运动。用压缩空气压出水流使火箭运动。假如喷出的水流流量保持为2×10-4m3/s，喷出速度保持为对地10

m/s。启动前火箭总质量为1.4kg，则启动2s末火箭的速度可以达到多少？已知火箭沿水平轨道运动阻力不计，水的密度是103kg/m3。

【名师解析】

“水火箭”喷出水流做反冲运动．设火箭原来总质量为M，喷出水流的流量为Q，水的密度为ρ，喷出水流的速度为v，火箭的反冲速度为v′，由动量守恒定律得

(M-ρQt)v’=ρQtv，火箭启动2

s末的速度为

v′＝＝4

m/s。

平板车停在水平光滑的轨道上，平板车上有一人从固定在车上的货厢边沿水平方向顺着轨道方向跳出，落在平板车上的A点，距货厢水平距离为l=4

m，如图所示。人的质量为m，车连同货厢的质量为M=4

m，货厢高度为h=1.25

m(g取10

m/s2)。求：

5.连同炮弹在内的炮车停放在水平地面上，炮车质量为M,炮膛中炮弹质量为m,炮车与地面间的动摩擦因数为μ,炮筒的仰角为α,设炮弹以相对于炮筒的速度v0射出,那么炮车在地面上后退多远?

【名师解析】：在发炮瞬间，炮车与炮弹组成的系统在水平方向上动量守恒．，所以．

发炮后，炮车受地面阻力作用而做匀减速运动，利用运动学公式，其中，所以．

四．子弹打木块模型

【模型解读】若木块不固定，子弹打木块过程中，子弹与木块的作用力远大于木块所受阻力，系统动量守恒。子弹打木块过程中，子弹和木块的位移不同，二者相互作用，导致系统机械能减小，减小的机械能转化为内能。对于子弹打木块问题，若计算相互作用前后的速度，可利用动量守恒定律列方程解答；若涉及相互作用的时间，一般需要利用动量定理列方程解答；若涉及子弹打入木块的深度，一般需要分别对子弹和木块分别运用动量定理列方程解答。

例4

.如图所示，在光滑水平地面上的木块M紧挨轻弹簧靠墙放置。子弹m以速度v0沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩劲度系数未知弹簧至弹簧最短．已知子弹质量为m，木块质量是子弹质量的9倍，即M=9m；弹簧最短时弹簧被压缩了△x；劲度系数为k、形变量为x的弹簧的弹性势能可表示为Ep=kx2。求：

（2）设弹簧的劲度系数为k，根据题述，弹簧最短时弹簧被压缩了△x，其弹性势能可表示为Ep=k(△x)2

木块压缩轻弹簧过程，由机械能守恒定律，(m+M)v2=Ep

解得：弹簧的劲度系数k=.【点评】此题涉及两个模型，子弹打木块模型和轻弹簧模型。子弹打木块模型，一定有机械能损失，损失的机械能等于系统动能之差，也等于子弹所受阻力乘以子弹打入木块的深度（若子弹从木块穿出，则损失的机械能等于子弹所受阻力乘以木块长度）。

针对训练题

1（8分）（2016高考海南物理）如图，物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动，碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h为纵坐标，v2为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92

×10-3s2/m。已知物块A和B的质量分别为mA=0.400kg和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.8m/s2。

【名师解析】

（2）（8分）

（i）设物块A和B碰撞后共同运动的速度为,由动量守恒定律有

①

在碰撞后A和B共同上升的过程中，由机械能守恒定律有

②

联立①②式得

③

由题意得

④

代入题给数据得

⑤

评分参考：第（i）问7分，①②式各2分，③④⑤式各1分；第（ii）问1分，⑦式1分。

如图所示，在固定的光滑水平杆上，套有一个质量为m=0.5kg的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量为M=1.98kg的木块，现有一质量为m0=20g的子弹以v0=100m/s的水平速度射入木块并留在木块中（不计空气阻力和子弹与木块作用的时间，g取10m/s2）

求：

①子弹射入木块过程，系统的动量守恒，取向右方向为正方向，根据动量守恒定律得：则有：m0v0=（m0+M）v

得：v=1m/s

机械能只在该过程有损失，损失的机械能为 △E=m0v02-

(m0+M)

v2 =99J

3.如图所示，两物块A、B并排静置于高h=0.80m的光滑水平桌面上，两物块的质量均为M=0.60kg。一颗质量m=0.10kg的子弹C以v0=100m/s的水平速度从左面射入A物块，子弹射穿A后接着射入B并留在B中，此时A、B都没有离开桌面。已知物块A的长度为0.27m，A离开桌面后，落地点到桌边的水平距离s=2.0m。设子弹在物块A、B

中穿行时受到的阻力保持不变，g取10m/s2。求：

(1)子弹射穿物块A后，A以速度vA沿桌面水平向右匀速运动，离开桌面后做平抛运动

t=0.40s

A离开桌边的速度

=5.0m/s

设子弹射入物块B后，子弹与B的共同速度为vB，子弹与两物块作用过程系统动量守恒：

B离开桌边的速度=10m/s

（2）设子弹离开A时的速度为，子弹与物块A作用过程系统动量守恒：

解得：m/s

子弹在物块B中穿行的过程中，由能量守恒

①

子弹在物块A中穿行的过程中，由能量守恒

②

由①②解得m

ƒ

本题考查动量守恒与能量守恒的应用，物块A被子弹射穿后做平抛运动飞出桌面，由平抛运动规律可求得平抛运动的初速度及子弹射穿后木块的速度，在子弹射穿木块过程中系统动量守恒，子弹射进木块B中，木块B向右加速，使得A、B分离，如果以子弹、木块A、B为一个系统，内力远远大于外力，系统动量始终守恒，初状态为AB静止，末状态为子弹与B共速，列式可求得B的速度，再以子弹和木块A为研究对象，动量守恒可求得子弹飞出后的速度，此时AB速度相同，再以子弹和B为一个系统，系统动能的减小量完全转化为内能，系统的内能为阻力乘以相对距离及打进物体B的深度，由此可求解。

如图所示，质量为mB=2kg的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一块质量为mA=2kg的物体A，一颗质量为m0=0.01kg的子弹以υ0=600m/s的水平初速度瞬间射穿A后，速度变为υ2=100m/s，已知A、B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止．

（1）

（2）对A、B组成的系统研究，根据动量守恒定律得：

mAvA=（mA+mB）v1

代入数据得：2×2.5=（2+2）v1

解得：v1=1.25m/s．

（3）对B，取向右方向为正，根据动量定理得：

μmBgt=mBv1

解得：μ=

=0.5。

5.如图，一质量为M的物快静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h。一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度v0/2射出。重力加速度为g。

（2）设物块下落到地面所面时间为t，落地点距桌面边缘的水平距离为s，则

⑤

s=Vt

⑥

由②⑤⑥得S=

⑦

6.装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击．通过对一下简化模型的计算可以粗略说明其原因．质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑桌面上．质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿．现把钢板分成厚度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图所示．若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度．设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞不计重力影响．

【名师解析】

质量为m的子弹以某一速度V垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿且钢板和子弹获得速度为V，则由系统动量守恒和摩擦力做功等于系统动能的减少得：

mv=（m+2m）v…①

…②

质量为m的子弹以某一速度V垂直射穿第一块钢板，获得速度V1，钢板速度V2

则由系统动量守恒和摩擦力做功等于系统动能的减少

mv=mv1+mv2…③

…④

质量为m的子弹以速度V1垂直射向第二块钢板在第二块钢板中进入深度d，公共速度V3，则由系统动量守恒和摩擦力做功等于系统动能的减少

mv1=2mv3…⑤

…⑥

联立以上六式化简得

答：子弹射入第二块钢板的深度

五．人船模型

【模型解读】人在船上静止在水面，人在船上行走，船后退，若人船系统所受的合外力为零（不考虑船运动所受水的阻力），则人船系统动量守恒。由m1v1=m2v2，解得：=.。对于相互作用的整个过程，有=.。两个原来静止的物体发生相互作用时，若系统所受的合外力为零，都可视为人船模型。解答时，可画出两个物体位移关系图，确定两个物体的位移关系。

“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用，它把速度和质量的关系推广到质量和位移的关系，这样给我们提供了一种解题思路和解决问题的方法。人船问题的适用条件是：两个物体组成的系统(当有多个物体组成系统时，可以先转化为两个物体组成的系统)动量守恒，系统的合动量为零。

这种模型中涉及两种题型，一种题型是求解某物体在相互作用过程中通过的位移，此题型中需根据动量守恒、位移关系得到两个关系求解，如在图中，人从船头走到船尾时由动量守恒可得：

再由图中几何关系有

可得人船的位移分别为

另一种题型是求某一时刻物体的速度，这种题型是先要由动量守恒求得两物体的一个速度关系，再由能量守恒得到两物体的另一个速度关系，从而求得物体的瞬时速度(或与瞬时速度相关的物理量)。

例5.如图所示，质量为m、半径为r的小球，放在内半径为R，质量为M=3m的大空心球内，大球开始静止在光滑水平面上，当小球由图中位置无初速度释放后沿内壁滚到最低点时，大球移动的距离为（）

【点评】对于人船模型问题，画出示意图可清晰两物体之间的位移关系。

针对训练题

1．气球质量为200

kg，载有质量为50

kg的人，静止在空气中距地面20

m高的地方，气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则这绳长至少应为多长？(不计人的高度)

【名师解析】(此题为竖直方向上的“人船模型”)

下滑过程人和气球组成的系统总动量为零且守恒，以向下为正方向，设m1、m2分别为人和气球的质量，v1、v2分别为人和气球的平均速度大小，则

m1v1－m2v2＝0，m1x1－m2x2＝0，x1＝20

m，x2＝＝5

m，绳长l＝x1＋x2＝25

m。

答案：25

m

2．质量为m的人站在质量为M、长度为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边，当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？

3．质量为m的木块和质量为M的铁块用细绳系在一起处于深水中静止。剪断细绳，木块上浮，铁块下沉。当木块上浮距离h时（还没有露出水面），铁块下沉的距离是多少？

把木块和铁块看作一个系统，所受浮力与重力相等，在竖直方向合外力为零，满足动量守恒定律。可视为竖直方向的人船模型，mh-MH=0，解得：H=mh/M。

4.如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平地面上，车上装有半径为R的半圆形光滑轨道，现将质量为m的小球在轨道的边缘由静止释放，当小球滑至半圆轨道的最低位置时，小车移动的距离为多少？小球的速度大小为多少？

六．弹簧连接体模型

【模型解读】两个物体在相对运动过程中通过弹簧发生相互作用，系统动量守恒，机械能守恒。

例6..如图所示，A、B两物体的中间用一段细绳相连并有一压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态。若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上未滑离之前，A、B在C上向相反方向滑动的过程中

【点评】此题涉及A、B、C三个物体，解答三体问题，正确选择研究对象，明确外力和内力是关键。弹簧弹力对A、B组成的系统和A、B、C组成的系统都是内力；A、B与C之间的摩擦力对A、B组成的系统是外力，对A、B、C组成的系统是内力。

针对训练题

1.【河北定州中学2016-2017学年第一学期高三物理周练试题（一）】在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬杆上，穿着三个半径相同的刚性球A、B、C，三球的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg，初状态BC球之间连着一根轻质弹簧并处于静止，B、C连线与杆垂直并且弹簧刚好处于原长状态，A球以v0=9m/s的速度向左运动，与同一杆上的B球发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），求：

【参考答案】（1）；（2）；（3）零。

（1）A、B发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律有：

碰后A、B的共同速度

损失的机械能

考点：动量守恒定律的应用，弹性碰撞和完全非弹性碰撞。

【名师点睛】A、B发生弹性碰撞，碰撞的过程中动量守恒、机械能守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出A球与B球碰撞中损耗的机械能．当B、C速度相等时，弹簧伸长量最大，弹性势能最大，结合B、C在水平方向上动量守恒、能量守恒求出最大的弹性势能．弹簧第一次恢复原长时，由系统的动量守恒和能量守恒结合解答

2.（2016贵阳花溪清华四模）如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA=4.0kg和mB=3.0kg.用轻弹簧栓接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触.另有一物块C从t=0时以一定速度向右运动，在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图象如图乙所示.求：

③12s，B离开墙壁，之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，且当A.C与B速度相等时，弹簧弹性势能最大.得Ep=9J。

3.光滑水平面上放着质量mA

＝1

kg的物块A与质量为mB

＝2

kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能为Ep＝

J．在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示．放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R＝0.5

m，B恰能运动到最高点C．取g＝10

m/s2，求：

⑵设弹簧恢复到自然长度时B的速度为v1，取水平向右为正方向，有

I＝mBvB－mBv1

解得：I＝－4

N·s，其大小为4N·s

⑶设绳断后A的速度为vA，取水平向右为正方向，有

mBv1＝mBvB＋mAvA

解得：W＝8

J。

4.如图所示，在光滑水平地面上，有一质量为m1=4.0kg的平板小车，小车的右端有一固定的竖直挡板，挡板上固定一轻质细弹簧。位于小车上A点处质量m2＝1.0kg的木块(可视为质点)与弹簧的左端相接触但不连接，此时弹簧与木块间无相互作用力。木块与A点左侧的车面之间的动摩擦因数μ＝

0.40，木块与A点右侧的车面之间的摩擦可忽略不计。现小车与木块一起以v0＝

2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v

1＝

1.0m/s的速度反向弹回，已知重力加速度g取10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。求:

(1)小车撞墙后弹簧的最大弹性势能；

(2)要使木块最终不从小车上滑落，则车面A点左侧粗糙部分的长度应满足什么条件?



‚

ƒ

（2）根据题意，木块被弹簧弹出后滑到A点左侧某处与小车具有相同的速度v’

时，木块将不会从小车上滑落,此过程中，二者组成的系统动量守恒，故有v’

=v=0.40m/s，⑤

木块在A点右侧运动过程中，系统的机械能守恒，而在A点左侧相对滑动过程中将克服摩擦阻力做功，设此过程中滑行的最大相对位移为L，根据功能关系有

μm2gL=

m1v12+m2v02－（m1+m2）v’2，⑥

解得L=0.90m，⑦

即车面A点左侧粗糙部分的长度应大于0.90m。

5.如图所示，在光滑水平地面上有一固定的挡板，挡板上固定一个轻弹簧．现有一质量M=3kg，长L=4m的小车AB(其中O为小车的中点，AO部分粗糙，OB部分光滑)，一质量为m=1kg的小物块(可视为质点)，放在车的最左端，车和小物块一起以v0=4m/s的速度在水平面上向右匀速运动，车撞到挡板后瞬间速度变为零，但未与挡板粘连．已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内，小物块与车AO部分之间的动摩擦因数为μ0.3，重力加速度g=10m/s2．求：

（2）设小物块离开弹簧时的速度为v1，有Ep=mv12，⑤

对小物块，根据动量定理

I=-

mv1-

mv

⑥

由⑤⑥式并代入数据得I=-4kg·m/s，⑦

弹簧对小物块的冲量大小为4kg·m/s，方向水平向左。⑧

（3）小物块滑过O点和小车相互作用，根据动量守恒

mv1=(m+M)v2，⑨

由能量守恒定律，μmgx=mv12+

(m+M)v22，⑩

小物块最终停在小车上距A的距离

xA=L/2-x

⑾

由⑦⑧⑨式并代入数据得xA=1.5m

⑿

七．物快木板叠放体模型

【模型解读】木板放在光滑水平面上，物快在木板上运动，相互作用的是摩擦力，系统动量守恒。物快在木板上相对运动过程中，摩擦生热，产生热量Q=fs，式中s为二者相对运动路程。

例7.如图所示，平板车P的质量为M，小物快Q的质量为m，大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平地面上．一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q的正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球(大小不计)．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°角，由静止释放，小球到达最低点时与Q碰撞的时间极短，且无能量损失，已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m=4：1，重力加速度为g．求：

（2）小球与物块Q相撞时，没有能量损失，满足动量守恒，机械能守恒，则有：

mv0=mv1+mvQ

mv02=mv12+mvQ2

由以上两式解得v1=0，vQ=v0=

小物块Q在平板车上滑行的过程中，满足动量守恒，设Q离开平板车时平板车的速度为v，则有：mvQ=Mv+m·2v又知M∶m=4∶1

联立解得小物块Q离开平板车时平板车的速度为：v=vQ=。

（3）小物块Q在平板车P上滑动的过程中，部分动能转化为内能，由能的转化和守恒定律，知：μmgL=mvQ2-Mv2-m·(2v)2，解得平板车P的长度为：L=.【点评】此题涉及三个物体三个过程，分别为小球由静止摆到最低点的机械能守恒过程，小球与小物快的碰撞过程（动量守恒，动能守恒），小物块Q在平板车上滑行的过程（动量守恒，机械能不守恒）。对于多物体多过程问题，要根据题述物理过程，正确选择系统和过程，运用相关物理规律列方程解答。

针对训练题

1.如图所示，质量m=2kg的滑块（可视为质点），以v0=5m/s的水平初速度滑上静止在光滑水平面的平板小车，若平板小车质量M=3kg，长L=4.8m。滑块在平板小车上滑移1.5s后相对小车静止。求：

ⅱ.设当滑块刚滑到平板小车的右端时，两者恰有共同速度，为v2

由动量守恒定律：

解得：

考点：考查了动量守恒，动能定理

【名师点睛】以滑块与小车组成的系统为研究对象，系统所受合外力为零，由动量守恒定律可以求出它们共同运动时的速度，对滑块由动量定理可以求出动摩擦因数．根据能量守恒定律求出滑块的最大初速度．

2.一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止。重力加速度为g。求：

（2）

木块返回与物体P第二次达到共同速度与第一次相同（动量守恒）全过程能量守恒得： mv02=

(m+2m)

v2+

f(2L-s)

联立解得：s=L。

3.如图所示，在光滑水平面上有木块A和B，mA=0.5kg，mB=0.4kg，它们的上表面是粗糙的。今有一铁块C，mC=0.1kg，以初速度v0＝10m/s沿两木块表面滑过，最后停止B上，此时B、C以共同速度v＝1.5m/s运动，求：

【名师解析】

（1）由动量守恒定律，mC

v0＝mA

vA+（mB

+

mC）v

解得：vA＝0.5m/s。

（2）由动量守恒定律，mC

v0＝（mB

+mA）

vA+

mCvC

解得：vC＝5.5m/s。

4.(2017长春质检)如图所示,在光滑的水平面上静止着一个质量为4m的木板B,B的左端静止着一个质量为2m的物块A,已知A、B之间的动摩擦因数为μ,现有质量为m的小球以水平速度v0。飞来与A物块碰撞后立即以大小为v0的速率弹回,在整个过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求：

①相对B静止后的速度；

②木板B至少多长?

5.(2017唐山第一次调研)

质量m1=1kg的木板放在光滑水平地面上，质量m2=0.2kg的木块置于木板的右端，木板与木块之间的动摩擦因数μ=0.3.某时刻二者同时开始运动，木板的初速度v01=3m/s，水平向右；木块的初速度v02=1m/s，水平向左；如图所示。已知重力加速度g=10m/s2，小木块可视为质点。求：

6．（2017天津静海一中质检）如图所示是固定在水平地面上的横截面为“”形的光滑长直导轨槽，槽口向上（图为俯视图）．槽内放置一个木质滑块，滑块的左半部是半径为R的半圆柱形光滑凹槽，木质滑块的宽度为2R，比“”形槽的宽度略小．现有半径r（r＜＜R）的金属小球以水平初速度v0=4m/s冲向滑块，从滑块的一侧半圆形槽口边缘进入．已知金属小球的质量为m=1kg，木质滑块的质量为M=3kg，整个运动过程中无机械能损失．求：

【名师解析】（1）设滑离时小球和滑块的速度分别为v1和v2，选择向右为正方向，由动量守恒：

mv0=mv1+Mv2

又

得v1=﹣2m/s，v2=2m/s

即金属小球和木质滑块的速度的大小均为2m/s

7.如图，用两根等长的细线分别悬挂两个弹性球A、B，球A的质量为2m，球B的质量为9m，一颗质量为m的子弹以速度vo水平射入球A，并留在其中，子弹与球A作用时间极短；设A、B两球作用为对心弹性碰撞．求：

（i）子弹与A球作用过程中，子弹和A球系统损失的机械能；

（ii）B球被碰撞后，从最低点运动到最高点过程中，合外力对B球冲量的大小．

根据摆动过程中动量的变化用动量定理有：I=△P=0﹣9mv2=﹣

所以合外力对B球冲量大小为，方向向左．

答：（1）子弹与A球作用过程中，子弹和A球系统损失的机械能为；

（2）B球被碰撞后，从最低点运动到最高点过程中，合外力对B球冲量的大小为．

动量守恒的十种模型精选训练8

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。

八．多次碰撞模型

【模型解读】若放在光滑水平面上的凹槽中的物体以某一速度与其碰撞，则会发生多次碰撞。对于发生多次碰撞的系统，若只需计算二者相对静止时的速度，则可根据初末状态利用动量守恒定律列方程解得。

例8.在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，L为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以v0＝5m/s初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。g取10m/s2。求：

（3）设凹槽与物块碰撞前的速度分别为v1、v2，碰撞后的速度分别为v1’、v2’，有

mv1+mv2=

mv1’+mv2’，mv12+mv22=

mv1’

2+mv2’

2，联立解得：v1’=

v2，v2’=

v1。

即每碰撞一次凹槽与物块发生一次速度交换，在同一坐标系上两者的速度图线如图所示。根据碰撞次数可分为13段。凹槽、物块的v-t图线在两条连续的匀变速直线运动图线间转换，故可用匀变速直线运动规律求时间。则

v=v0+at，a=-μg，解得：t=5s。

凹槽的v-t图线所包围的阴影部分面积即为凹槽的位移大小s2。（等腰三角形面积共分13份，第一份面积为0.5L，其余每份面积均为L）。

s2=()t+6.5L，s2=12.75m。

【点评】对于两个物体的多次碰撞模型，一般涉及动量守恒定律、动能定理等知识点，难度较大。对于限定路径上的往返相对运动问题，若求相对静止的位置或碰撞次数，关键是利用动能定理求出相对运动的路程。

针对训练题

1．(2016·云南名校统考)如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量为m＝1

kg的相同的小球A、B、C。现让A球以v0＝2

m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与C球碰撞，C球的最终速度vC＝1

m/s。问：

(2)A、B两球与C球碰撞同样满足动量守恒定律，则有

2mv1＝mvC＋2mv2

相碰后A、B两球的速度v2＝0.5

m/s

两次碰撞损失的动能ΔEk＝mv－(2m)v－mv＝1.25

J。

2.水平光滑轨道AB与半径为R=2m竖直面内的光滑圆弧轨道平滑相接，质量为m=0.2kg的小球从图示位置C(C点与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为60°)自静止开始滑下，与放在圆弧末端B点的质量为M=13kg的物体M相碰时，每次碰撞后反弹速率都是碰撞前速率的11/12，设AB足够长，则m与M能够发生多少次碰撞？

3.甲乙两车总质量（包括人、车及砂袋）均为500kg，在光滑水平面上沿同一直线相向而行，两车速度大小分别为v甲=3.8m/s，v乙=1.8m/s，为了不相撞，甲车上的人将编号分别为1、2、3···n，质量分别为1kg、2kg、3kg······nkg的砂袋依次均为20m/s相对地的速度水平抛入乙车，试求：

（1）第几号砂袋投入乙车后，乙车速度为零？

（2）至少第几号砂袋投入乙车后，若两车尚未相碰，则不会相撞？

【名师解析】（1）以乙车和投入乙车的砂袋为系统，设乙车原来速度方向为正方向，第k号砂袋投入乙车后，乙车速度为零，则有

M

v乙-（m1+

m2+

m3+···+

mk）v0=（M+m1+

m2+

m3+···+

mk）v’乙，m1+

m2+

m3+···+

mk

=1+2+3+···+k=（1+k）k

v’乙=0

联立解得：k=9.即第9号砂袋投入乙车后，乙车速度为零。

46．【2015·全国新课标Ⅰ·35（2）】如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

【参考答案】

【名师解析】设A运动的初速度为

A向右运动与C发生碰撞，根据弹性碰撞可得

可得

要使得A与B发生碰撞，需要满足，即

A反向向左运动与B发生碰撞过程，弹性碰撞

整理可得

由于，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足

即

整理可得

解方程可得

【考点定位】

弹性碰撞

【名师点睛】对于弹性碰撞的动量守恒和能量守恒要熟知，对于和一个静止的物体发生弹性碰撞后的速度表达式要熟记，如果考场来解析，太浪费时间。

7.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。

（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的动能

vn′2；

（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒。

a．

第1次碰撞前，v12

=

v02+2gl，解得v1=。

第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得

v1′

=

v1=。

b.第2次碰撞前

v22

=

v1’2+2gl，解得v22=()2

v02+()2gl。

第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=

v02+2gl。

同理，第3次碰撞后v3’2=

v02+2gl。

…………

第n次碰撞后，vn’2=()2

v02+2gl。

动能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。

【2015·全国新课标Ⅰ·35（2）】如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

【参考答案】

【名师解析】设A运动的初速度为

A向右运动与C发生碰撞，根据弹性碰撞可得

可得

要使得A与B发生碰撞，需要满足，即

A反向向左运动与B发生碰撞过程，弹性碰撞

整理可得

由于，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足

即

整理可得

解方程可得

【考点定位】

弹性碰撞

【名师点睛】对于弹性碰撞的动量守恒和能量守恒要熟知，对于和一个静止的物体发生弹性碰撞后的速度表达式要熟记，如果考场来解析，太浪费时间。

5.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。

（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的动能

vn′2；

（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒。

a．

第1次碰撞前，v12

=

v02+2gl，解得v1=。

第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得

v1′

=

v1=。

b.第2次碰撞前

v22

=

v1’2+2gl，解得v22=()2

v02+()2gl。

第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=

v02+2gl。

同理，第3次碰撞后v3’2=

v02+2gl。

…………

第n次碰撞后，vn’2=()2

v02+2gl。

动能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。

动量守恒的十种模型精选训练9

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。

九．临界模型

例9．如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3

m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3

m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30

kg，冰块的质量为m2＝10

kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g＝10

m/s2。

(ⅰ)求斜面体的质量；

(ⅱ)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？

(ⅱ)设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1＋m2v0＝0

④

代入数据得v1＝－1

m/s

⑤

设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有

m2v0＝m2v2＋m3v3

⑥

m2v＝m2v＋m3v

⑦

联立③⑥⑦式并代入数据得v2＝－1

m/s

⑧

由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩。

针对训练题

1.甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车质量共为M=30kg，乙和他的冰车质量也是30

kg，游戏时，甲推着一个质量为m=15

kg的箱子，和他一起以大小为v0=2.0

m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦力，求：

(1)甲至少要以多大的速度（相对地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞？

(2)甲推出箱子时对箱子做了多少功？

【名师解析】：(1)设三个物体的共同速度为v，根据系统动量守恒，有(M+m)v0-Mv0=(M+m+M)v

设箱子被推出的速度为v＇，根据箱、乙二者动量守恒有：mv＇-Mv0=(M+m)v

=5.2

m/s

(2)根据动能定理，甲对箱子所做的功为：

2.在光滑的冰面上静止放置一截面为四分之一圆弧的半径足够大的光滑的自由曲面，一个坐在冰车上的小孩手扶一小球静止在冰面上．某时刻小孩将小球以v0=2m/s的速度向曲面推出（如图所示）．已知小孩和冰车的总质量为m1=40kg，小球质量为m2=2kg，曲面质量为m3=10kg．试求小孩将球推出后还能否再接到球，若能，则求出再接到球后人的速度，若不能，则求出球再滑回水平面上的速度．

【名师解析】　人推球过程，水平方向上动量守恒：0=m2v0-m1v1，代入数据得：v1=0.1m/s

球和曲面相互作用时，水平方向动量守恒：m2v0=-m2v2+m3v3，机械能守恒：m2v02=

m2v22+

m3v32，得：v2=m/s

∵v2＞v1，所以人能再接住球．

人接球过程（以向右为正），由动量守恒有：m1v1+m2v2=（m1+m2）v共，∴v共=

m/s．

3.（10分）（2016河南平顶山新乡许昌三模）如图所示，AB为光滑的斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，小球乙静止于水平轨道上。一个质量大于小球乙的小球甲以水平速度v0与乙球发生弹性正碰，碰后乙球沿水平轨道滑向斜面轨道AB。求：在甲、乙发生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能达到最大高度的范围（设斜面轨道足够长，重力加速度为g）。

当M远大于m时，当M=m时，（1分）

由乙球碰后，滑上斜面过程中机械能守恒得：

（2分）

解得：

所以有：

v0＜v2＜2v0

＜h＜

（2分）

4.如图所示，甲车质量m1=20kg，车上有质量M=50kg的人，甲车（连同车上的人）从足够长的斜坡上高h=0.45m由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动。此时质量m2=50kg的乙车正以v0=1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度（相对地面）应在什么范围以内？不计地面和斜坡的摩擦，取g=10m/s2。

【名师解析】

甲车（包括人）滑下斜坡后速度：v甲=“2gh=3“

m/s,在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各自动量守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，两车速度分别为v甲′和v乙′，则：

（M+m1)v甲=Mv+m1v甲′         ①?

Mv-m2v0=(M+m2)v乙′              ②?

恰不发生相撞的条件为：v甲′=±v乙′       ③?

从①得：v甲′=

从②得：v乙′=

当v甲′=v乙′时，有=时，得v=3.8m/s。

当v甲′=－v乙′时，有=－时，得v=4.8m/s

所以，人跳离甲车的速度（对地）应满足3.8

m/s≤v≤4.8

m/s。

5.人和冰车的总质量为M，另一木球质量为m，且M∶m＝31∶2．人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v(相对地面)将原来静止的木球沿冰面推向正前方向的固定挡板，不计一切摩擦阻力，设小球与挡板的碰撞是弹性的，人接住球后，再以同样的速度v(相对地面)将球推向挡板．求人推多少次后不能再接到球？

【名师解析】

设第1次推球后人的速度为v1，有0＝Mv1－mv，第1次接球后人的速度为v1′，有mv1′＋mv＝(M＋m)v1′；

第2次推球(M＋m)v1′＝Mv2－mv，第2次接球Mv2＋mv＝(M＋m)v2′……

第n次推球

(M＋m)vn－1′＝Mvn－mv，可得vn＝，当vn≥v时人便接不到球，可得n≥8.25，取n＝9．

本题也可以利用动量定理求解．以人和球及冰车为研究对象，挡板改变该系统动量，球每碰一次挡板，系统动量改变量为2mv，方向同接球的反方向．设推n次(球与挡板碰n－1次)后，有(n－1)2mv＝Mvn－mv，n＝8.25，取n＝9．

6.如图所示，是一个竖直放置的内壁光滑的圆筒，从圆筒底部可以以某一初速度沿圆筒轴线OO′竖直向上发射质量为m1的小球，小球恰好不会射出圆筒。在圆筒的某一高度处有一环型卡，现将一质量为m2能沿筒向上移动的贴壁圆盖放在环型卡上，从圆筒底部发射的小球与贴壁圆盖相撞，若碰撞时间极短，且没有机械能损失。要想使得碰后贴壁圆盖不会飞出圆筒，试定量求出发射小球的质量m1与贴壁圆盖的质量m2满足的条件。

【名师解析】

设小球与贴壁圆盖碰撞前的速度为v0，碰撞后小球、贴壁圆盖速度分别v1、v2由于碰撞时间极短，小球与贴壁圆盖组成的系统相撞前后动量守恒：

m1v0=m1v1+m2v2

①

由于没有机械能损失，小球与贴壁圆盖组成的系统相撞前后动能守恒：

②

解之得：v2=v0

③

由于碰撞前的小球，碰撞后的贴壁圆盖均在做竖直上抛运动，由竖直上抛运动的规律可知：贴壁圆盖要不飞出圆筒，速度必须满足：v2≤v0

④

即：v0≤v0

⑤

m1≤m2

⑥

动量守恒的十种模型精选训练10

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域。通过对最新高考题和模拟题研究，可归纳出命题的十种模型。

十．多体作用模型

【模型解读】所谓多体作用模型是指系统中多个物体，相互作用，满足系统动量守恒定律。

例10.列车载重时简单地直接启动有困难，司机常常先倒车再启动前进。在平直轨道上机车起动时的牵引力为F，机车后面挂接有49节车厢，设机车与每节车厢的质量都为m，机车和每节车厢所受的阻力都为自身重力的k倍，倒车后各节车厢间挂钩所留间隙为d，倒车挂钩位置和列车前进时挂钩位置如图所示。列车在平直轨道上启动，求：

（1）机车挂接第1节车厢时的速度；

（2）机车带动第49节车厢时列车的速度，并说明倒车起动的优点。

（2）1、2一起前进d个的过程，由动能定理，（F-2kmg）d=mv2‘2-mv22，解得v2‘2=(-3kg)d。

1、2整体挂接车厢3的过程，由动量守恒定律，2m

v2‘=3mv3，1、2、3一起前进d个的过程，由动能定理，（F-3kmg）d=mv3‘2-mv32，解得v3‘2=(-6kg)d。

同理可得：v49‘2=(-kg)d。

最后挂接过程，由动量守恒定律，49m

v49‘=50mv50，解得：v50=。

即机车带动第49节车厢时列车的速度为。

要使全部车厢都能启动，要求v50,>0，即F>kmg.若直接启动，则F>50kmg.所以倒车启动时所需牵引力明显比直接启动要小，倒车更容易是列车启动。

针对训练题

1.在光滑水平面上有n个完全相同的小物快（可看作质点）沿一直线排列，相邻两物快间距均为s，开始物块1以初速度v0向物块2运动，碰撞后粘在一起，又向物块3运动，碰撞后粘在一起，······，如此进行碰撞。

（1）最后物块n的速度vn多大？

（2）从物块1开始运动计时，到物块n刚开始运动，经历多长时间？每次碰撞所用时间不计。

（2）从物块1开始运动，到与物块碰撞，需要时间t1=。

物块1与物块2碰撞，由动量守恒定律，mv0=2mv1，解得：v1=v0/2。

物块1、2粘在一起向物块3运动，需要时间t2=

=2。

同理，物块1、2、3粘在一起向物块4运动，需要时间t3=

=3。

以此类推，n-1个物块粘在一起向物块n运动，需要时间tn=

=（n-1）。

从物块1开始运动计时，到物块n刚开始运动，共需要时间

t=

t1+

t2=+···+tn=（1+2+3+（n-1））=（n-1）。

2．一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的因纽特狗站在该雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇。狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为v，则此时狗相对于地面的速度为v＋v′(其中v′为狗相对于雪橇的速度，v＋v′为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则v为正值，v′为负值)。设狗总以速度v＋v′追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5

m/s，v′的大小为4

m/s，M＝30

kg，m＝10

kg。

(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。

(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。

(供使用但不一定用到的对数值：lg2＝0.301，lg3＝0.477)

(2)方法一：设雪橇运动的方向为正方向。狗第(n－1)次跳下雪橇后雪橇的速度为vn－1，则狗第(n－1)次跳上雪橇后的速度vn－1′满足Mvn－1＋mv＝(M＋m)vn－1′，这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为vn满足

Mvn＋m(vn＋v′)＝(M＋m)vn－1′，解得

vn＝(v－v′)－n－1。

狗追不上雪橇的条件是vn≥v，可化为n－1≤，最后可求得n≥1＋。

代入数据，得n≥3.41，狗最多能跳上雪橇3次。

雪橇最终的速度大小为v4＝5.625

m/s。

答案：(1)2

m/s(2)5.625

m/s　3次

3.【陕西省西安中学2016届高三第一次仿真考试理科综合试题】如图所示，光滑平台上有两个刚性小球A和B，质量分别为2m和3m，小球A以速度向右运动并与静止的小球B发生碰撞（碰撞过程中不损失机械能），小球B飞出平台后经时间t刚好掉入装有沙子向左运动的小车中，小车与沙子的总质量为m，速度为，小车行驶的路面近似看做是光滑的，求：

①碰撞后小球A和小球B的速度；

②小球B掉入小车后的速度。

【参考答案】①，；②

②

B球掉入沙车的过程中系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律的：，解得：。

考点：动量守恒定律

【名师点睛】本题考查了求速度问题，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题。

4.【湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试理科综合物理试题】如图所示，两端带有固定薄挡板的滑板C长为l，质量为，与地面间的动摩擦因数为μ，其光滑上表面上静置着质量分别为m、的物块，A、B，A位于C的中点，现使B以水平速度2v向右运动，与挡板碰撞并瞬间粘连，不再分开，A、B可看做质点，物块A与B、C的碰撞都可视为弹性碰撞。已知重力加速度为g，求：

（i）B与C上挡板碰撞后的速度以及B、C碰撞后C在水平面上滑动时的加速度大小；

（ii）A与C上挡板第一次碰撞后A的速度大小。

【参考答案】（i）（ii）

【名师解析】（1）B、C碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：

解得：；

对BC，由牛顿第二定律得：，解得：；

考点：考查了动量守恒定律，能量守恒定律的应用

【名师点睛】本题的关键要分析清楚物体运动过程，抓住弹性碰撞的规律：遵守动量守恒定律和能量守恒定律，结合牛顿第二定律研究．

5.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考理科综合】（10分）如图，在光滑水平面上，有A、B、C三个物体，开始BC皆静止且C在B上，A物体以v0=10m/s撞向B物体，已知碰撞时间极短，撞完后A静止不动，而B、C最终的共同速度为4m/s．已知B、C两物体的质量分别为mB=4kg、mC=1kg，试求：

（i）A物体的质量为多少？

（ii）A、B间的碰撞是否造成了机械能损失？如果造成了机械能损失，则损失是多少？

【参考答案】（i）2kg

（ii）碰撞确实损失了机械能，损失量为50J

【名师解析】（i）由整个过程系统动量守恒

mAv0=

（mB+mC）v

代入数据得：mA=

2kg

（ii）设B与A碰撞后速度为u，在B与C相互作用的时间里，BC系统动量守恒

mBu=（mB+mC）v

得u

=

5m/s

A与B的碰撞过程中，碰前系统动能为：mAv02=×4×100=100J

碰后系统动能为：mBvu2=×4×25=50J

所以碰撞确实损失了机械能，损失量为50J

考点：动量守恒定律及能量守恒定律

【名师点睛】本题考查动量守恒定律以及机械能守恒定律的应用，要注意非弹性碰撞时会产生能量损失，要注意由功能关系求解。

6．【2015·全国新课标Ⅰ·35（2）】如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

【参考答案】

A反向向左运动与B发生碰撞过程，弹性碰撞

整理可得

由于，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足

即

整理可得

解方程可得

【考点定位】

弹性碰撞

【名师点睛】对于弹性碰撞的动量守恒和能量守恒要熟知，对于和一个静止的物体发生弹性碰撞后的速度表达式要熟记，如果考场来解析，太浪费时间。

7.雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。

（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；

b.求第n次碰撞后雨滴的动能

vn′2；

（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒。

a．

第1次碰撞前，v12

=

v02+2gl，解得v1=。

第1次碰撞后，m0v1=m1v1′，解得

v1′

=

v1=。

b.第2次碰撞前

v22

=

v1’2+2gl，解得v22=()2

v02+()2gl。

第2次碰撞后，m1v2=m2v2′，解得v2’2=

v02+2gl。

同理，第3次碰撞后v3’2=

v02+2gl。

…………

第n次碰撞后，vn’2=()2

v02+2gl。

动能：mnvn’2=（m02v02+2gl)。