第二十六章
反比例函数
２6.1
反比例函数ﻫ２6.1.1
反比例函数
【基础练习】
一、填空题：
１.A、B两地相距１20千米，一辆汽车从A地去B地，则其速度v（千米/时）与行驶时间t（小时）之间的函数关系可表示为；
２.有一面积为60的梯形,其上底长是下底长的，设下底长为x，高为y，则ｙ与x的函数关系式是；
3．已知y与x成反比例，并且当x =
２时，y
＝
-１，则当ｘ
＝-4时,ｙ =
.二、选择题:
1.下列各问题中的两个变量成反比例的是（）;
Ａ．某人的体重与年龄
ﻩ
B．时间不变时,工作量与工作效率
C.矩形的长一定时,它的周长与宽
Ｄ.被除数不变时,除数与商
2.已知ｙ与ｘ成反比例,当x
=
3时，y
=
4,那么当y
=
3时，x的值为（）；
A.4
B.-4
C．
D.-3
3.下列函数中,不是反比例函数的是（）
A.xy
= 2
Ｂ.ｙ =
(k≠0）
Ｃ.y
=
Ｄ.x
=
5y－１
三、解答题：
１.一水池内有污水６０m3,设放净全池污水所需的时间为ｔ
(小时），每小时的放水量为wm3,(1)试写出ｔ与w之间的函数关系式，t是w反比例函数吗？
(2)求当w
=
１5时，t的值.2．已知y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:
ｘ
-５
-３
１
５
y
－
1]
(1）写出这个反比例函数表达式；
(2)将表中空缺的x、ｙ值补全.【综合练习】
举出几个日常生活中反比例函数的实例．
【探究练习】
已知函数ｙ
＝
y1
+y2，y１与x成正比例，y2与ｘ成反比例，且当x
=
１时，y
= 4，当ｘ =
2时，y = 5．
求y关于ｘ的函数解析式.答案:
【基础练习】一、1.v ＝；
2． y
=;
３．
．
二、1.D；
2．A;
３． C.三、１.(1)ｔ =,(2)t
=
4.2.（１)y =
；(2)从左至右：x ＝
-４，-１，２，３；y =-，-，3，,.【综合练习】略．
【探究练习】ｙ =
2x +
．
第二十六章
反比例函数
26.1
反比例函数ﻫ２6.1．1
反比例函数
一．判断题
1.如果y是ｘ的反比例函数，那么当x增大时,y就减小
（）
2.当x与y乘积一定时，y就是x的反比例函数，x也是y的反比例函数
（）
３.如果一个函数不是正比例函数,就是反比例函数
（）
４.ｙ与ｘ2成反比例时ｙ与ｘ并不成反比例
（）
5.y与2x成反比例时，y与x也成反比例
（）
６．已知ｙ与x成反比例，又知当时，,则y与x的函数关系式是（）
二.填空题
7．叫___＿______函数,x的取值范围是_＿__＿_____；
8.已知三角形的面积是定值S,则三角形的高ｈ与底ａ的函数关系式是,这时ｈ是a的_＿____＿＿__;
9.如果ｙ与ｘ成反比例，ｚ与y成正比例，则z与ｘ成____＿＿____；
１0．如果函数y=是反比例函数，那么k
＝_____＿＿_，此函数的解析式是；
11.下列函数表达式中，均表示自变量,那么哪些是反比例函数，如果是请在括号内填上的值，如果不是请填上“不是”
①;（）
②；（）
③;（）
④；（）
⑤；（）⑥（）⑦（）
12．判断下面哪些式子表示是的反比例函数？
①;
②；
③；
④；
解：其中
是反比例函数，而
不是;
13．计划修建铁路1２00,那么铺轨天数（天）是每日铺轨量的反比例函数吗?
解：因为,所以是的反比例函数;
14．一块长方形花圃，长为米,宽为米，面积为８平方米,那么与成函数关系，列出关于的函数关系式为；
三.选择题：
１5.若是反比例函数,则、的取值是
（）
（Ａ）(Ｂ）
(C）
（Ｄ）
16．附城二中到联安镇为5公里,某同学骑车到达，那么时间与速度(平均速度）之间的函数关系式是
（）
(A）
(Ｂ）
（C)
（D）
17．已知A(,）在满足函数，则
（）
(A)
（B)
(C)
（Ｄ)
18．下列函数中,是反比例函数的是
（）
（A）
（B)
(C）
（D)
1９．下列关系式中,哪个等式表示是的反比例函数
（）
（A)
（B）
（Ｃ)
（Ｄ)
20．函数是反比例函数，则的值是
（）
(A)或（B)
（C)
（D)
四.解答题：
２１．在某一电路中，保持电压V(伏特)不变,电流Ｉ（安培）与电阻Ｒ(欧姆)成反比例，当电阻R＝５时，电流I=2安培。
(1）求I与Ｒ之间的函数关系式。
(2）当电流I＝０.５安培时,求电阻Ｒ的值。
26.1．２
反比例函数的图象和性质ﻫ第1课时
反比例函数的图象和性质
一.填空题
1．反比例函数的图象是____＿＿__,过点(,＿_＿_),其图象两支分布在_
_＿象限;
2．已知函数的图象两支分布在第二、四象限内，则的范围是_＿＿__＿__＿
3.双曲线经过点（,)，则;
４．反比例函数和正比例函数的图象都经过点Ａ(,),则这两个函数的解析式分别是_____＿___和______＿_＿;
二．选择题
:
5.已知反比例函数的图象经过点(1，2）,则它的图象也一定经过
（）
（A）
(，）
(B)
（，)
（C）
(１，）
（D)
(,)
6.反比例函数
()的图象的两个分支分别位于
（）
（A）
第一、二象限
(B)
第一、三象限
(Ｃ)
第二、四象限
（D）第一、四象限
7.如图1—84,反比例函数的图象经过点A,则ｋ的值是
（）
（A）
(B）
1.5
(Ｃ)
（Ｄ)
８．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到轴的距离为3,若点A在第二象限内.则这个反比例函数的解析式为
（）
(A)
（B）
（C）
(D)
9．反比例函数的图象两支分布在第二、四象限，则点(,)在（）
（Ａ）
第一象限
(B）
第二象限
（Ｃ）
第三象限
（D）
第四象限
１0．若函数是反比例函数,且它的图象在二、四象限内,则的值是
（）
（A)
(B)
（C）
０或1
(D)
非上述答案
三．解答题
1１.已知正比例函数与反比例函数的图象都过Ａ(，1)点.求:
（1)正比例函数的解析式；
(２)正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标.12．设a、b是关于ｘ的方程的两个不相等的实根(k是非负整数)，一次函数y＝(k－２)x+m与反比例函数的图象都经过点(ａ,ｂ）．
(1)求ｋ的值；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式．
第2课时
反比例函数的图象和性质的综合运用
１、若M(,）、N(,)、P（,)三点都在函数（k>0)的图象上，则、、的大小关系是（）
（A）
（B)
(C）
（D）
2、如图,Ａ为反比例函数图象上一点,ＡB垂直轴于B点，若＝５,则的值为（）
(A）
1０ﻩ
（B）
ﻩ
（C）
(Ｄ)
3、如图是三个反比例函数,在x轴上方的图像，由此观察得到ｋl、k2、k3的大小关系为（）
（A)
k１>k2>k3
(B)
ｋ３>ｋ１>ｋ2
（C)
k2>k３＞k1
（Ｄ)
k３>k2＞ｋ1
４、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（）
(A）、异号
(B)、同号
(Ｃ)
>0，<0
(D)
＜0,>05、如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于Ｂ点，若S△ＡOB＝3,则的值为（）
Ａ、6
Ｂ、３ﻩ
C、ﻩD、不能确定
6、已知反比例函数的图像上有两点A（，)，B(，),且，则的值是（）A、正数
B、负数
C、非正数
D、不能确定
7、如图,过反比例函数(x＞０)的图象上任意两点A、B分别作ｘ轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OＡ、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是Ｓ1、S２，比较它们的大小，可得（）
（A）S1>Ｓ2
(Ｂ)S1＝S２
(C）S1 （D）大小关系不能确定 8、在反比例函数的图象上有两点和,若时，则的取值范围是 ． 1４、函数的图像，在每一个象限内,随的增大而 ; ９、正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，ＡB⊥x轴于B，ＣD⊥ｘ轴于D,如图所示，则四边形ＡBCD的面积为_____＿_． 10、已知反比例函数若函数的图象位于第一三象限，则k__________＿__; 若在每一象限内，ｙ随ｘ增大而增大,则ｋ____＿＿＿__＿_＿_． １1、考察函数的图象,当x=-2时,y= ___,当x<-2时,y的取值范围是 __＿__ ；当y﹥-1时,ｘ的取值范围是 _＿＿＿＿_＿__ ． 12、若点(-2，y１)、(-1,y２)、(2,y３)在反比例函数的图象上，则y1，y2,y３的大小关系是：______＿__＿_＿____＿． １3、在反比例函数的图象上有三点(x1,y1)、(x２，y2）、（x3,ｙ３),若x1>x2＞０>ｘ３，则y1,ｙ2，ｙ３的大小关系是：_＿___＿________＿＿＿.14、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 .15、如图所示，已知直线y1=x+ｍ与x轴、y轴分别交于点Ａ、B，与双曲线y２=（k<０)分别交于点C、D,且C点坐标为（-１，2)． (１）分别求直线AＢ与双曲线的解析式; (2)求出点D的坐标； （3）利用图象直接写出当ｘ在什么范围内取何值时,y1>y2.x y o P Q 1６、如图，已知反比例函数的图象与一次函数y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是6。 Ｄ C （１）求这个一次函数的解析式(２）求三角形POQ的面积 17、如图，Rｔ△AＢO的顶点A是双曲线y＝与直线y=-ｘ-(k+1)在第二象限的交点.AB⊥x轴于Ｂ,且S△ABO=.（1）求这两个函数的解析式; (２)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积． 26.2 实际问题与反比例函数ﻫ第１课时 实际问题中的反比例函数 1.三角形的面积为8cm2,这时底边上的高y(cｍ)与底边x(cm）之间的函数关系用图象来表示是 .2.长方形的面积为６0cm2,如果它的长是ycｍ,宽是ｘcm,那么y是x的函数关系，y写成x的关系式是。 ３．A、B两地之间的高速公路长为300kｍ,一辆小汽车从A地去B地,假设在途中是匀速直线运动,速度为ｖkm/h,到达时所用的时间是tｈ,那么t是ｖ的函数，t可以写成v的函数关系式是。 ４．如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(ｍ3/ｈ)与排完水池中的水所用的时间t(h）之间的函数关系图象。 (1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 （2)写出此函数的解析式 （3)若要６h排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少? (4）如果每小时排水量是5ｍ３，那么水池中的水将要多长时间排完？ ５.某厂要制造能装２5０mL（１ｍL=1 ｃm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.０２ ｃm，顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cｍ的易拉罐用铝量是y cm３． 用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求ｙ与ｘ间的函数关系式.6.某商场出售一批进价为２元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价ｘ(元)与日销售量y（个）之间有如下关系： 日销售单价x（元） ５ 日销售量y(个） １５ 1０ （1)根据表中数据,在直角坐标系中描出实数对(x,ｙ）的对应点; (2)猜测并确定ｙ与x之间的函数关系式，并画出图象； (3)设经营此贺卡的销售利润为W元，求出Ｗ与ｘ之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过１0元／个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润? 第2课时 其他学科中的反比例函数 1、近视眼镜的度数ｙ(度）与镜片焦距x成反比例.已知4００度近视眼镜片的焦距为０．25米，则眼镜度数ｙ与镜片焦距x之间的函数关系式是 .2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 Ａ:小明完成100ｍ赛跑时，时间t（s)与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。 B:菱形的面积为48ｃm２，它的两条对角线的长为y（ｃm)与x(ｃm）的关系。 C：一个玻璃容器的体积为3０Ｌ时，所盛液体的质量m与所盛液体的密度之间的关系。 D：压力为６00N时，压强p与受力面积S之间的关系。 3.一定质量的氧气，它的密度ρ（kｇ／m3)是它的体积(m3)的反比例函数,当=10m3时,ρ=１.４3kｇ/m3.(1）求ρ与的函数关系式；(２）求当=２m3时,氧气的密度ρ.4.一封闭电路中，当电压是6Ｖ时,回答下列问题： 1、写出电路中的电流I(A)与电阻R(Ω）之间的函数关系式。 2、画出该函数的图象。 5.如果一个用电器的电阻是５Ω，其最大允许通过的电流为1A,那么直接把这个用电器接在这个封闭电路中,会不会烧坏？试通过计算说明理由。 ６.如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点Ｏ左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点Ｏ右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点Ｏ的距离x(cm),观察弹簧秤的示数ｙ(Ｎ）的变化情况．实验数据记录如下： x(cｍ) … 1５ … y（Ｎ） … １５ 1０ … （1)把上表中（x，y)的各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图像,猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式; (2）当弹簧秤的示数为24Ｎ时,弹簧秤与O点的距离是多少厘米?随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？ 第二十七章 相似 2７．1 图形的相似 基础题 1．下列各组图形相似的是（） ２．将左图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（） 3.将一个直角三角形三边扩大3倍,得到的三角形一定是（） Ａ．直角三角形 ﻩ ﻩ Ｂ．锐角三角形 C．钝角三角形 D.以上三种情况都有可能 ４．下列各线段的长度成比例的是（） Ａ.２ cm，5 ｃm，6 cm，8 cｍ B.1 ｃm，２ cm，3 cm，4 ｃｍ C.3 cm,６ cm,7 ｃm，9 cｍ D.３ ｃm，6 cm，９ ｃm，１8 cｍ 5.两个相似多边形一组对应边分别为3 cm,4.５ ｃｍ，那么它们的相似比为（） A.Ｂ.ﻩﻩﻩ C.ﻩﻩ D.６．（莆田中考）下列四组图形中，一定相似的是（） A.正方形与矩形 ﻩ ﻩ B.正方形与菱形 C.菱形与菱形 Ｄ．正五边形与正五边形 7.在比例尺为1∶２00的地图上，测得A,B两地间的图上距离为4.５ cm,则A，B两地间的实际距离为___＿＿＿m.8.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cｍ,这次复印的放缩比例是___＿＿＿＿_.9．如图所示是两个相似四边形，求边x、ｙ的长和∠α的大小． 中档题 1０.下列说法: ①放大（或缩小)的图片与原图片是相似图形； ②比例尺不同的中国地图是相似形； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形； ④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形； ⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的.其中正确的说法有（） Ａ．２个 ﻩﻩ B．３个 Ｃ．4个 ﻩﻩ D.5个 1１.(重庆中考)如图，△ABC与△DＥF相似,相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC=1，则EF的长是() A.１ ﻩﻩ B.2 C.3 ﻩﻩ D.4 １2.某机器零件在图纸上的长度是２1 mm,它的实际长度是６30 mｍ,则图纸的比例尺是（） A．1∶2０ ﻩﻩ B.1∶30 C．１∶４0 D.1∶50 1３．如图,正五边形FGHＭN与正五边形AＢＣDE相似,若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是（） Ａ．2DE=3MＮ B.3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D.2∠A=３∠Ｆ １4.如图所示,两个等边三角形，两个矩形,两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行,且对应边之间的距离都相等,那么两个图形不相似的一组是（） 15．如图所示,它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知,∠α=＿_______,m=___＿__＿_． １6．如图，左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同.17．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺,为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由８块地砖组成,问： (1)每块地砖的长与宽分别为多少? (2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论． 综合题 18．如图:矩形ABCＤ的长AＢ＝30,宽BＣ=2０.(1)如图1，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由； (2)如图2，ｘ为多少时,图中的两个矩形ＡBCD与A′B′Ｃ′D′相似? 参考答案 1．B ２.A ３．A 4.D ５.A ６.D 7．9 8．1∶3 9.∵两个四边形相似,∴==，即==.∴x＝24，ｙ＝28.∵∠B＝∠B′=73°，∴∠α＝360°-∠A-∠D－∠B=８3°． 10.D １1.B 1２．B 13.Ｂ 14.B 15.1２５° 1２ 16.图略.17.(1)设矩形地砖的长为ａ cｍ，宽为b cm,由题图可知4ｂ＝６0,即b＝1５.因为ａ＋b＝6０，所以a=60－ｂ=45,所以矩形地砖的长为4５ cｍ,宽为1５ cm.(2）不相似． 理由:因为所铺成矩形地面的长为2ａ＝2×45＝９0(cm),宽为60 ｃm,所以=＝,而＝=,≠，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例． 所以它们不相似． 18.(1)不相似，AB=30，A′B′＝２8,BC=２0，B′C′=18,而≠,故矩形ABＣD与矩形Ａ′B′C′D′不相似.(2) 矩形AＢCＤ与A′B′C′D′相似,则=或=.则：＝,或=，解得ｘ＝１．５或９,故当x=1.5或9时,矩形ＡBCD与A′Ｂ′C′D′相似． 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例 一.填空题: 1.如图，梯形ABCD,AD／/BC，延长两腰交于点E，若，则 第1题图 第2题图 第3题图 第４题图 2.如图,中，EF/／BＣ，AD交EＦ于G,已知，则． ３.如图,梯形ABCD中，且ＭＮ//PＱ//AB，则MN＝__＿____＿，PＱ=____＿_＿_ 4． 如图，菱形ＡＤEF，则BE＝＿____＿__ 5．如图，则AB与CＤ的位置关系是________ 第５题图 第６题图 ６.如图,D是BＣ的中点，M是AD的中点，BM的延长线交ＡＣ于N,则ＡN:NC=______＿_。 二.选择题 1． 如图,H为平行四边形ABCD中AD边上一点，且,AC和BH交于点K，则AＫ:KＣ等于（） Ａ． 1:2 B.１：1 ﻩC.１:3 Ｄ.2:3 第1题图 第２题图 第3题图 ２.如图,中,D在ＡＢ上，E在ＡC上，下列条件中,能判定DE//ＢＣ的是（） A.B.Ｃ． ﻩ D.３.如图，中，DE//BＣ，BE与ＣD交于点O，AO与DE、ＢC交于Ｎ、Ｍ，则下列式子中错误的是（） A.ﻩ Ｂ.C.ﻩﻩﻩD． ４． 如图，与交于点P，,，,，则（） Ａ.abﻩ B． bｄ ﻩC.ae ﻩD． ce 第４题图 第5题图 5.如图,中，则（） A． B.ﻩC.ﻩﻩＤ． 三.计算题： 1.如图，已知菱形BEDＦ内接于,点E、D、F分别在AB、AC和BC上,若,求菱形边长。 2．如图，已知中，求ＢＤ的长。 3.如图,中，AD是角平分线,交AB于E，已知，求DＥ。 4.在中，BＤ是AC边上的中线,，且AE与ＢＤ相交于点Ｆ，试说明:。 5.如图F为平行四边形ABCD的ＡD延长线上一点，BF分别交ＣＤ、AC于G、E,若,求BE。 【答案】 一.填空题 1.ﻩ ﻩ2.ﻩﻩﻩ3． ２.5 ３ 4.3.5 ﻩ 5.平行 ﻩﻩ6.1：2 二.选择题 1.Ｃﻩﻩ2.Ａ ﻩ３.Dﻩ 4.D ﻩ 5.B 三.计算题 1.解:是菱形 设菱形边长为ｘ 答：菱形边长为 2.解： 且 或（舍去) 3．解: 又平分，4.解：过Ｅ作,交ＡC于Ｍ 而ＢＤ是中线，又 5.解：平行四边形ＡBCD 27．2.1 相似三角形的判定 第2课时 三边成比例的两个三角形相似 1、已知两数４和8，试写出第三个数，使这三个数中,其中一个数是其余两数的比例中项,第三个数是 (只需写出一个即可).2、在△AＢC中,AB=8,AC=6,点Ｄ在AＣ上,且AD=２，若要在AB上找一点Ｅ，使△ADE与原三角形相似，那么AE=。 3、如图,在△ＡBＣ中，点D在ＡB上，请再添一个适当的条件,使△ADC∽△ＡＣB，那么可添加的条件是 4、已知Ｄ、E分别是ΔABＣ的边AB、ＡC上的点，请你添加一个条件，使ΔAＢC与ΔAED相似.(只需添加一个你认为适当的条件即可).5、下列说法:①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似;③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上）． 6、如图，在直角坐标系中有两点A(４，０）、B（0,2),如果点C在ｘ轴 上(Ｃ与Ａ不重合),当点C的坐标为 或 时,使得由点B、O、Ｃ组成的三角形与 ΔAＯB相似（至少写出两个满足条件的点的坐标).7、下列命题中正确的是ﻩ ﻩ （） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 Ａ、①③ B、①④ Ｃ、①②④ Ｄ、①③④ ８、如图,已知DＥ∥BＣ，EF∥AB,则下列比例式中错误的是（） A B C D9、如图，Ｄ、E分别是AB、AC上两点,ＣD与BE相交于点Ｏ,下列条件中不能使ΔABE和ΔAＣD相似的是 （） A． ∠B=∠C ﻩﻩﻩ Ｂ.∠ADＣ＝∠AEＢ Ｃ.BE=CD，ＡＢ=AC D.ＡD∶ＡＣ=AE∶AB10、在矩形ABCD中,Ｅ、F分别是CD、BC上的点,若∠AEF= 90°,则一定有 ﻩ ﻩ ﻩﻩ （） A ΔＡＤE∽ΔAEF ﻩ ﻩＢ ΔEＣF∽ΔAEＦ C ΔADE∽ΔECF ﻩ Ｄ ΔAEF∽ΔABF11、如图，E是平行四边形ＡBCD的边BC的延长线上的一点,连结AE交CD于Ｆ,则图中共有相似三角形ﻩ（） A 1对 B 2对 Ｃ 3对 D 4对 12、如图,在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（） ① ② ③ ④ Ａ.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ ．13、如图，在正方形网格上有6个斜三角形:①ΔABC,②ΔＢCD,③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH,⑥ΔＥFＫ．其中②～⑥中,与三角形①相似的是（） （A)②③④ （B）③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥ １4、在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在４×４的方格纸中，画一个格点三角形Ａ1B1C1,使ΔA1B１C1与格点三角形ＡＢC相似(相似比不为1).15、如图，ΔABC中，BC＝a． （1)若ＡD１＝AB,ＡE１=AC,则D１Ｅ1＝ ; （２)若D1D2=D１Ｂ，Ｅ1E2=E1Ｃ，则D２E2= ; (3）若D２D3=D２Ｂ，Ｅ2E3=Ｅ2C,则D３E3=； …… （4)若Dn－1Dn=Ｄｎ－１B,En-1En=Ｅn-１C，则ＤｎEn= ． 16、如图，ΔＡBC与ΔADＢ中,∠AＢC=∠ADＢ=９０°,AC=５ｃm,AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.１7、已知:如图，在正方形ABCD中,P是BＣ上的点，且ＢP=3ＰC,ﻩＱ是ＣD的中点.ΔＡDQ与ΔＱCP是否相似?为什么? ２７.2.1 相似三角形的判定 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 D C A B E F １、如图，在平行四边形AＢCＤ中，AB＝8ｃm，AD=4cm,Ｅ为AD的中点，在AB上取一点Ｆ，使△CBF∽△CDE,则AF= ____＿_cｍ。 2、如图，Ｐ是RtΔABC的斜边BＣ上异于B、C的一点，过点Ｐ做直线截 ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线 共有（） Ａ、1条 B、2条 C、3条 D、4条 A E D C B O3、如图,锐角的高CD和BE相交于点O,图中 与相似的三角形有 （） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 4、如图,在中,，BＤ平分,试说明:AB·BC = AC·CＤ 5、已知:ΔＡCB为等腰直角三角形,∠ＡＣB=900 延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=１350 求证：ΔＥAC∽ΔCBF ６、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，5０cm，6０cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30ｃm和50cｍ的两根钢筋，要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,写出所有不同的截法？ 7、已知:如图,ΔAＢC中,ＡD＝ＤB, ∠１=∠2． 求证:ΔABＣ∽ΔEAD. ８、如图,点C、Ｄ在线段ＡB上，且ΔPCD是等边三角形.(１)当AC,CD，DＢ满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPＤＢ； （２)当ΔPＤＢ∽ΔAＣＰ时,试求∠APB的度数． ９、如图，四边形AＢＣD、CDEF、EFＧH都是正方形.(1)⊿ACF与⊿ＡCG相似吗?说说你的理由.（2）求∠1+∠２的度数． １0、如图,（1)∽吗？说明理由。 (2)求ＡD的长。 1１、如图，在正方形ＡBCＤ中,E为AD的中点，EF⊥ＥＣ交AＢ于F，连接FＣ△AＥF∽△EFC吗若相似，请证明；若不相似,请说明理由。若ABCＤ为矩形呢? 27.2.１ 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 １、如图ＡＢ∥ＣD∥EF,则图中相似三角形的对数为（） A、1对 B、2对 C、３对 D、4对 2、如图,DＥ与ＢC不平行，当= 时,ΔABC与ΔＡDE相似。 3、如图，四边形ABCＤ是平行四边形,AE⊥BC于E，AF⊥CＤ于F． (1)ΔＡＢＥ与ΔADF相似吗？说明理由.（2)ΔAＥF与ΔABC相似吗？说说你的理由.4、.如图，D为ΔABC内一点,E为ΔAＢC外一点，且∠1=∠２，∠3=∠4.(1)ΔAＢD与ΔＣBＥ相似吗?请说明理由.（２)ΔAＢC与ΔDBE相似吗？请说明理由． 5、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子,假设图中的所有点、线都在同一平面内,回答下列问题：(1)图中共有 个三角形.（２)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有,就把它们一一写出来.6、如图，AB⊥BＣ，DＣ⊥BC，垂足分别为Ｂ、C，且AB=8,DC＝6，BC=14,BC上是否存在点Ｐ使△ABP与△DCＰ相似？若有,有几个? 并求出此时ＢP的长，若没有,请说明理由。 7、已知:如图，CＥ是ＲtΔＡBC的斜边AB上的高，ＢG⊥AＰ.求证:ＣE2=ED·EＰ.D C P A B8、.如图，在直角梯形ABＣＤ中，AB//CD，,在AD上能否找到一点Ｐ，使三角形ＰＡＢ和三角形ＰＣD相似?若能，共有几个符合条件的点Ｐ?并求相应PD的长。若不能，说明理由。 9、如图：AB是等腰直角三角形AＢC的斜边，点M在边AＣ上,点Ｎ在边ＢC上，沿直线MN将△MCN翻折,使点C落在AB上，设其落点为P,C M N A P B ①当Ｐ是边ＡＢ中点时，求证：; ②当Ｐ不是边AB中点时,是否仍成立?请证明你的结论； 27.2.2 相似三角形的性质 1．若△ABＣ∽△A`Ｂ`C`，则相似比ｋ等于（） A．Ａ`B`：AB B．∠Ａ: ∠A｀ Ｃ．S△ＡBC:Ｓ△Ａ`Ｂ`C` Ｄ.△ABＣ周长:△A｀Ｂ`Ｃ`周长 2．把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的１０0倍，那么边长扩大到原来的（） A.100０0倍 B．10倍 C.1０0倍 Ｄ．1000倍 3．两个相似三角形，其周长之比为3：２,则其面积比为（） Ａ.Ｂ．3:2 C．９:4 D.不能确定 4．把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（） A.49倍 B.7倍 C．５0倍 D．8倍 5．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和４.５cm，如果它们的面积和为78cm2,那么较大多边形的面积为（） A.４6.8 cm２ B.４２ cm２ C.52 cm2 D.54 cm2 6．两个多边形的面积之比为５,周长之比为m,则为（） A.１ B.C． D．5 7．在一张1:1０000的地图上，一块多边形地区的面积为6cｍ2,则这块多边形地区的实际面积为（） A.6m２ B.60000m2 C.６００m2 D．60０0m2 8．已知△ＡBC∽△A｀Ｂ`C｀，且BC：B｀C`＝3：2，△AＢC的周长为24,则△A`B`C｀的周长为_＿___＿_.9． 两个相似三角形面积之比为2:7,较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为___＿＿＿_.10． 两个相似多边形最长的的边分为10cm和25cm,它们的周长之差为60ｃm，则这两个多边形的周长分别为_______． 11．四边形ABCD∽四边形Ａ`B`C`D`,他们的面积之比为36：2５，他们的相似比_＿_＿_,若四边形Ａ`B`C`D`的周长为15cｍ，则四边形AＢCD的周长为___＿___＿.12． 如图,矩形ABCD中,E,F分别在BC,AＤ上，矩形AＢCＤ∽矩形ECDF，且ＡＢ＝2,Ｓ矩形ABCD＝3Ｓ矩形ECＤF。试求S矩形ABCD。 13．如图，在△ABC中,ＤE∥BC,且S△ＡDE:S四边形BＣED，=1：２,BC=，求DＥ的长。 14．如图，在△ABC中，∠Ｃ=９0 o，D是AC上一点,DE⊥ＡＢ于E，若ＡＢ=1０,BC=6,DE=2，求四边形DＥBC的面积。 15．△ABＣ∽△A`B`C`，,边上的中线CD=4cｍ，△ＡＢＣ的周长为20cm,△Ａ`Ｂ｀C`的面积是64 cm2，求: （1)A`B`边上的中线C｀D｀的长; (2）△A`B`C｀的周长 （3）△ＡBC的面积 参考答案： 1.Ｄ 2.B 3.C 4.B 5.Ｄ 6.Ｃ 7.B 8.16 9．10．40cm和100ｃm 11.６:5 １8ｃm 1２.设DF=a,由S矩形ＡBCＤ=3S矩形ＥCDＦ知AD=3DＦ=3a，又＝,所以3a２=4,a=。故AＤ=3a＝2,所以S矩形ABCD＝2×2=4 13.由S△ADE：S四边形ＢＣEＤ＝1:2知，S△AＤＥ:S△ＡBＣ=1：3又DE‖ＢＣ,故△ＡＤE∽△ABＣ，所以（）2＝，即（）２=,所以ＤE=2 1４.由∠A=∠Ａ, ∠ＡＥD=∠ACB＝900,故△ADE∽△ABＣ.又AB=１0,ＢC＝6，∠C=900,由勾股定理可得ＡＣ＝8，从而S△ABC=BC×AＣ＝２４,又==，有=（）2==，故S△ADＥ＝。从而S四边形DEBC=2４-= 15。（1）Ｃ´D´=８cm；（2)△Ａ´B´C´的周长为８0cm；(3)△AＢＣ的面积为16ｃm2。 ２７.2.3 相似三角形的应用举例 1.如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上,则电线杆竖起过程中所用力的大小将（） A．变大 B.变小 C.不变 D．无法判断 ２.小华做小孔成像实验(如图所示）,已知蜡烛与成像板之间的距离为１5cm，则蜡烛 与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛___＿_＿____cm的地方时,蜡烛焰AB是像的一半.3.如图,铁道口的栏杆短臂长1米,长臂长16米,当短臂的端点下降0。5米时，长臂端点应升高_________.4.有点光源S在平面镜上方，若在P点初看到点光源的反射光线,并测得AＢ＝10cm，BC=２0cｍ.PＣ⊥ＡＣ,且ＰC=24cｍ，试求点光源Ｓ到平面镜的距离即SＡ的长度.5．冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光,一年四季就均能受到阳光照射。此时竖一根a米长的竹杆,其影长为b米，某单位计划想建ｍ米高的南北两幢宿舍楼(如图所示)。试问两幢楼相距多少米时,后楼的采光一年四季不受影响(用m,ａ,b表示).6．一位同学想利用树影测出树高,他在某时刻测得直立的标杆高1米,影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙ＣD上,（如图所示）他测得ＢC= 2．７米,CＤ=1.2米。你能帮他求出树高为多少米吗？ 7.我侦察员在距敌方２00米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前,闭上左眼，并将食指前后移动,使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为４0cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗?请说出你的思路。 8．如图,阳光透过窗口照到室内,在地面上留下2.7米宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=8.7米，窗口高ＡＢ=1.８ 米,试求窗口下底与地面之间的距离ＢC的大小。 答案： 1.C 2.5 3．8 4.由 ５．由。 6．由得AB－1.2=3，故ＡB=4.２米即树高为4.２米.７.过A作AG⊥BC于G交DE于Ｆ。又BC∥DＥ,故ＡF⊥ＤE,易知⊿ADE∽⊿AＢＣ，从而故 8．由 27.３ 位似 第１课时 位似图形的概念及画法 1.下列说法正确的是（） A.位似图形一定是相似图形 B.相似图形不一定是位似图形 C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 2.下列说法正确的是（） A.分别在AＢC的边AB.ＡC的反向延长线上取点D．E.使DE∥BＣ，则ADE是ＡBC放大 后的图形 B.两位似图形的面积之比等于位似比 C． 位似多边形中对应对角线之比等于位似比 Ｄ.位似图形的周长之比等于位似比的平方 3．如图,五边形ＡＢＣＤE和五边形A1B1C1D1E１是位似图形，点A和点Ａ１是一对对应点，Ｐ是位似中心,且2 PA＝3 PA１，则五边形ABＣDE和五边形A1Ｂ１Ｃ1Ｄ1E1的相似比等于（） A、.B、.C、． D、． 4.如果两个位似图形的对应线段长分别为3ｃm和5ｃm.且较小图形周长为３0cm,则较大图形周长为 5.已知ABC.以点A为位似中心.作出ADＥ．使ADE是ABC放大2倍的图形.这样的图形可以作出 个 。他们之间的关系是 6.如左下图,五边形AＢCDＥ与五边形Ａ′B′Ｃ′D′E′是位似图形，点Ｏ是位似中心，位似比为２:1.若五边形ABCDE的面积为１7 cm2，周长为20 cm,那么五边形Ａ′B′C′D′Ｅ′的面积为______,周长为____＿_.第６题图 第7题图 ７.如图,Ａ′Ｂ′∥ＡB，B′Ｃ′∥BC，且OA′∶A′A＝4∶３,则△ABC与_＿＿＿___是位似图形，位似比为＿＿___＿;△OAB与_＿_____＿是位似图形，位似比为＿＿__＿_.8.如图,OAB与ODC是位似图形。 试问: (1) AB与ＣD平行吗？请说明理由。 (2) 如果OB=3,OC＝４，OD=3.5.试 求OAB与ＯDC的相似比及ＯＡ的长。 ９.如图,出一个新图形.使新图形与原图形相似.且相似比为.10.如图,在边长为１个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A２B2C2; （１）把△AＢＣ先向右平移4个单位,再向上平移1个单位，得到△A1Ｂ1C1； （2）以图中的Ｏ为位似中心，将△Ａ1Ｂ１C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△Ａ2Ｂ2Ｃ2.第2课时 平面直角坐标系中的位似 １.如图所示，左图与右图是相似图形,如果右图上一个顶点坐标是(a,b）,那么左图上对应顶点的坐标是（） A．（-a,-2ｂ） B．(-2a,-b) C．（－２a,－2ｂ) D.(-2b,-２ａ) 2.△AＢO的顶点坐标是Ａ(－3，3)、B(３，3)、O(０，0），试将△ABＯ放大,使放大后的△EFO与△AＢO对应边的比为2：1，则E、F的坐标分别是（） A．(-6，6）（６,6） Ｂ.（6，-6）（6，6） C.（－６,６）（６,-6） D.（６,6）(-６,-６） ３.如图所示,已知△OＡB与△OA1B１是相似比为1：２的人位似图形，点O是位似中心，若△OＡB内的点P（x，y)与△OA１B1内的点P1对应，则P1的坐标是。 4.如图所示,AB∥Ａ`B｀,ＢC∥B`C｀，且OA｀：A`A＝4:3，则△ＡBC与 是位似图形,位似比是。 5.按如下方法将△ＡＢＣ的三边缩小为原来的二分之一,如图所示，任取一点O，连结OA、ＯB、ＯC并取它们的中点D、E、F，得△DＥF，则下列说法正确的个数是（） ①△ABC和△DEF是位似图形；②△ABC和△DEＦ 是相似图形；③△ABC和△DEF的周长比是４：1; ④△ABC和△DEF的面积比是4:1 A.1个 Ｂ.2个 C.3个 D.4个 6．在平面直角坐标系中有两点A(6，3)，Ｂ(6，0）,以原点Ｏ为位似中心，相似比为1：３，把线段AB缩小 方法一: 方法二： 探究:(１）在方法一中，Ａ’的坐标是，B’的坐标是,对应点坐标之比是；（２)在方法二中，A’’的坐标是，B’’的坐标是，对应点坐标之比是- 7．如图,O为原点,B，Ｃ两点坐标分别为(３，-1）（2，1） （１)以O为位似中心在y轴左侧将△OＢC放大两倍,并画出图形； (2）分别写出Ｂ，Ｃ两点的对应点Ｂ｀,C｀的坐标; (３)已知M(ｘ，y）为△ＯBＣ内部一点，写出M的对应点M`的坐标; 28．1锐角三角函数 第１课时 正弦函数 1．在Rt△ABC中,∠C=9０°,∠A＝３0°，则的值是 ﻩA.B．ﻩ C．ﻩD.2．在Ｒt△ABＣ中，∠C＝90°，AC=4,BＣ=３，则是 Ａ.Ｂ． C．ﻩD.3．在Rt△ABC中，∠C＝９0°，AC=8，BC＝6，则sinB的值等于 A.B． ﻩ C.Ｄ． 4．如图，在,，,则的值等于ﻩ Ａ.ﻩ B.ﻩ C． ﻩﻩ D． 5.在Ｒt△AＢC中，∠C=90°,若AB＝，BC=2，则sinB的值为 A．ﻩB.C.Ｄ.2 6．如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinＡ的值为 A.B.Ｃ.D.第6题图 第7题图 7．如图,角α的顶点为O,它的一边在ｘ轴的正半轴上，另一边上有一点Ｐ（3,4),则siｎα的值是 A.Ｂ.C． D.8.如图,在⊙O中,过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线,切点为D,若AC＝７，ＡB＝4，则sinＣ的值为＿＿__.9.Ｒt△ＡBC中，若∠C=90°,a=1５,b＝8，求 sｉnＡ+sｉnB.10．如图所示,△ABC中，∠Ｃ＝90°,ｓinA＝，AＣ＝2,求AB,ＢC的长． 13．如图，⊙Ｏ的半径为3，弦AB的长为4,求sｉnA的值． 2８．1锐角三角函数 第2课时 余弦函数和正切函数 1.在Rt△ＡBＣ中,∠C=90°,AB＝5，BC=3，则∠A的余弦值是（） A.B． C.D.2.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则taｎ∠ＡOＢ的值是（） A． B.C． D.3．如图是教学用直角三角板,边AC=3０ cｍ,∠C=９0°,ｔan∠BAC=，则边BＣ的长为() A．3０ ｃｍ B．20 ｃm C．10 cｍ D.5 cm 4．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝９0°，ｃoｓＢ＝,则AC∶BC∶AB＝（） A.3∶４∶5 B.5∶３∶４ C．4∶3∶5 D．3∶5∶４ ５.如图，在Rt△ＡBＣ中,∠C=90°,ＡB=6，cｏｓB=，则BC的长为（） A.4 B.2 Ｃ.Ｄ． 6．如图，P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为（１2，５)，则tanα等于（） Ａ． B.C.D.７.在Rt△ＡBC中，∠Ｃ＝９0°，ＢC=8,ＡC＝6，则siｎＢ=_＿＿_，cosB=___＿,sinA=_＿_，cosＡ＝＿＿＿_，tanA=____，tanＢ=＿__＿.8.在Rt△ABＣ中,∠C=90°,AＢ＝2ＢＣ，现给出下列结论:①siｎＡ＝；②cｏｓB=;③tａnA=；④tａnＢ=，其中正确的结论是____．(只需填上正确结论的序号) 9.在Rt△ABC中，∠C=９0°，tａnA=,BC=８，则Ｒt△AＢC的面积为___.1０.(1)在△ＡBＣ中,∠C=90°,ＢC=２，AB＝5，求sinＡ,cosA,ｔanＡ.(2)在△ＡBC中,若三边BＣ，CA,ＡB满足BC∶CA∶AＢ=５∶1２∶１3,求ｓｉｎA,cosB,tanA.１1．(1)若∠Ａ为锐角,且ｓｉnA=，求ｃoｓA,tａnA.(２)已知如图，在Rt△ＡＢC中,∠C=90°，tanA=，求∠B的正弦、余弦值.28．1锐角三角函数 第3课时 特殊角的三角函数 １.3tan3０°的值等于（） A． B.3 C.D.2.计算6tan45°-２cos60°的结果是() A.4 B.4 C.５ D．５ 3.如图，在Rｔ△ＡBC中,∠C=90°,AB=2BC,则siｎＢ的值为（） A.B.Ｃ． D．１ 第3题图 第5题图 4．如果在△ABＣ中,sｉｎA=cｏｓB=，则下列最确切的结论是（） A．△ABC是直角三角形 Ｂ．△ABＣ是等腰三角形 C.△ＡBＣ是等腰直角三角形 Ｄ．△ABC是锐角三角形 5．如图,当太阳光线与水平地面成3０°角时，一棵树的影长为2４ ｍ，则该树高为（） A．8 m B．12 m C.1２ m D.１2 m 6.(1）cos30°的值是____.（2)计算：siｎ30°·ｃoｓ30°－taｎ30°＝＿_＿＿(结果保留根号)． (3)coｓ245°＋tan3０°·ｓiｎ60°＝____． 7.根据下列条件,求出锐角Ａ的度数.(1)ｓｉnＡ＝，则∠Ａ=_＿__；（2)cosA=,则∠A＝_＿__; (3)cｏsA＝，则∠A=_＿__;(４)ｃoｓA=，则∠A=_＿__.8.如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知ＣＤ⊥AB,CD＝3 m,∠ＣAD＝∠CBD=６０°，求拉线AC的长． ９．计算： (1)+２sｉn60°tan60°-+taｎ４5°； （２)-sin６0°（1－siｎ３0°).10.已知α是锐角,且sin(α+15°)＝，计算－4cｏsα－(π－3.１4)0＋taｎα＋的值.２8．1锐角三角函数 第４课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角 1.利用计算器求下列各式的值： (1) ; (2）; (3)； (4)． 2．利用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3) ; (４).３．利用计算器求下列各式的值： (1)； (2）； (3）； （4）.４.如图,甲、乙两建筑物之间的水平距离为100 m，∠α＝32°,∠β=50°，求乙建筑物的高度(结果精确到0.1 m）． 28．2.1 解直角三角形 1.如图,在△ABＣ中,∠C=9０0,AＢ＝５，BＣ=3,则siｎＡ的值是（） A.B.ﻩ Ｃ.D.第１题图 第3题图 第4题图 2.在Ｒt△ＡCB中，∠C＝900,AB=10，ｓｉnA=,cosA＝，tａnＡ＝，则BＣ的长为（） A．６ B.7．5 C.8 D.12.５ 3．如图,在△ABC中，∠C=90０,AD是BC边上的中线，BD=4，,则tan∠ＣＡD的值是（） A.2 ﻩ B.C.ﻩ D． ４.如图,在矩形AＢCD中，点Ｅ在AB边上,沿CE折叠矩形ABＣD,使点B落在AＤ边上的点Ｆ处,若AB＝４，ＢＣ＝5,则tａn∠AFＥ的值为（） A.B.Ｃ.D.5.在△ABＣ中,AＢ=AC=５,ｓｉn∠ABC=0.8,则ＢC= 6.△ABＣ中,∠C＝９０0，AB＝８,cｏｓA=,则BC的长 7.如图，在△ABC中，∠A=300,∠Ｂ=450,ＡC=,则AB的长为 .第7题图 第8题图 8.如图,在Rt△AＢＣ中,∠ＡCB＝900，D是AB的中点,过D点作ＡB的垂线交ＡＣ于点Ｅ，ＢＣ=6，sinＡ=,则ＤE= .9．如图,在△ＡBC中,AD是ＢＣ边上的高,ＡE是BC边上的中线，∠Ｃ=４50，ｓｉｎB=，AD=1.ﻫ(1)求BC的长； (2)求tan∠DAE的值． 10.如图,在Rt△ABC中，∠C=9０0，∠Ａ的平分线交ＢC于点E，EF⊥AＢ于点F,点Ｆ恰好是AB的一个三等分点（ＡF>BＦ).（1)求证:△ＡCE≌△AＦE； （２)求taｎ∠CＡE的值.２8.2.2 应用举例 第1课时 解直角三角形的简单应用 1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米ａ元，则购买这种草皮至少要（）． A.45０a元 B.２25a元 C．150a元 D.３０0a元 第1题图 第2题图 2.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形,Ｄ是AB的中点,中柱CD = １米，∠A=2７°,则跨度AB的长为 （精确到0．01米)． 3.如图，从Ａ地到B地的公路需经过C地,图中AＣ=10km，∠CＡB=250，∠CBA=370,因城市规划的需要,将在Ａ、Ｂ两地之间修建一条笔直的公路． (1）求改直的公路ＡB的长; （2)问公路改直后比原来缩短了多少千米?(sin2５0≈0.42,cｏs250≈0.91,sｉn３70≈0.6０,tan3７0≈０．7５) 4.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点Ｄ,使CＤ与ｌ垂直,测得CD的长等于２1米，在l上点D的同侧取点A、B,使∠ＣAＤ=300,∠CBD=６00.(１)求AＢ的长；ﻫ（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时２秒,这辆校车是否超速?说明理由.5．如图,在同一平面内,两条平行高速公路l１和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30０角，长为20km；ＢＣ段与AB、CＤ段都垂直,长为1０km，CD段长为３0ｋm,求两高速公路间的距离.６.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图,已知踏板CD长为１.6m,CD与地面DE的夹角∠CＤE为120，支架ＡＣ长为０．８m，∠ACＤ为800,求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1m）． (参考数据:sin12０=cos780≈0.21，sin680＝cｏs220≈0.９３,tan680≈２.48) 28．2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 １.如图,热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部Ｂ的仰角为30０，看这栋高楼底部C的俯角为6００，热气球A与高楼的水平距离为１20m，这栋高楼BC的高度为 A． ４０ m Ｂ.8０ｍ C.120m D.1６0 m 2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB)为1.６ｍ，则这棵树的高度为()(结果精确到０.1m,≈1.７3）.A． ３.5m Ｂ.3.6ｍ C.４.3m D． 5.1m 3.如图,在地面上的点Ａ处测得树顶Ｂ的仰角为α度,AC=7米，则树高BC为 米（用含α的代数式表示）． 第3题图 第4题图 ４.如图，在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以3０米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧Ｂ点的俯角为3０°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米． 5.如图，AC是操场上直立的一个旗杆,从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆,用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠ＢDC=４５°，到A点的仰角是∠ADC＝60°（测角仪的高度忽略不计）如果ＢC＝3米，那么旗杆的高度ＡC= 米.第5题图 第6题图 第7题图 6.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物ＣＤ顶部C处的仰角为30０,底部D处的俯角为何４50，则这个建筑物的高度CＤ= 米（结果可保留根号) 7.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼Ｃ处测得旗杆顶部的仰角为600,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为３00,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为３米，则旗杆AB的高度为 ９ 米． 7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为3０0,然后沿AD方向前行10m,到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为6０0(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树ＣD的高度． 8.为申办2０１0年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与ＡＢ等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的Ｄ处，从C点测得树的顶端A点的仰角为６0°，树的底部B点的俯角为３０°． 问：距离Ｂ点8米远的保护物是否在危险区内? 9.如图,一只猫头鹰蹲在一棵树AC的Ｂ(点Ｂ在ＡＣ上)处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DＦ=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从Ｃ点观测F点的俯角为５30,老鼠躲藏处M(点M在DE上）距Ｄ点３米.（参考数据：sｉn37°≈0.60,ｃos37°≈0.80,taｎ3７°≈０.７5) (1)猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？ﻫ（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？ 10.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下的方案（如图1所示）： （1） 在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MＣE＝α ; （2） 量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m； （3） 量出测倾器的高度AC=h。 根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MＮ。 如果测量工具不变，请参照上述过程,重新设计一个方案测量某小山高度(如图2) 1） 在图2中,画出你测量小山高度ＭＮ的示意图 (标上适当的字母) 2）写出你的设计方案。 （(图２） 28.2．2 应用举例 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 1.如图,河坝横断面迎水坡ＡB的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),坝高BＣ=3ｍ,则坡面AB的长度是（） A.9m B.6m C.ｍ D.m 2.在某次海上搜救工作中,A船发现在它的南偏西３0°方向有一漂浮物，同时在A船正东10km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西6０°方向，此时，B船到该漂浮物的距离是() A.５ｋm B．10ｋm C．１0ｋm D.2０ｋｍ ３．如图，港口Ａ在观测站O的正东方向,OA=4ｋm,某船从港口Ａ出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站Ｏ处测得该船位于北偏东６0°的方向,则该船航行的距离（即AB的长)为（） A.４ｋmﻩ Ｂ.2 kｍﻩ C.2 kmﻩ Ｄ．（+1)km ﻩ 第3题图 第４题图 4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为（） ﻩA.米ﻩ B.米 Ｃ．米 ﻩＤ.24米 ５.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进６cm(如箭头所示），则木桩上升了________＿ｃm.第5题图 第６题图 6．如图,某山坡的坡面AB=２00米，坡角∠BAＣ=300,则该山坡的高BC的长为 １00 米.７.如图,在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进6０米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离.８.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CＤ,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60０.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部Ｃ的仰角为450,已知山坡AB的坡度,AB=1０米,AE=1５米．(是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）ﻫ（1）求点B距水平面ＡE的高度ＢH;（2)求广告牌ＣD的高度． ９.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A，某人在岸边的Ｂ处测得A在B的北偏东３0°的方向上,然后沿岸边直行４公里到达C处,再次测得Ａ在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、Ｃ在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部Ａ到岸边ＢＣ的最短距离.１0.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地,BC∥AＤ,斜坡ＡB的长为2２ m,坡角∠BAD=6８0,为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过5０0时，可确保山体不滑坡.(1)求改造前坡顶与地面的距离； （2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BＦ至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.９２72,ｃos 680≈0.37４６,ｔan 6８0≈２．4７５1,ｓｉn500≈0.76６0，cos500≈０.6428,taｎ500≈1.1918) １1.一艘观光游船从港口A处以北偏东６0°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里/小时的速度前往救援,求海警船到达事故船C处所需的大约时间.（温馨提示:sin53°≈０.８,cos53°≈0．6) ２9.1 投影 第1课时 平行投影与中心投影 1.平行投影中的光线是（） A.平行的Ｂ.聚成一点的C．不平行的D.向四面八方发散的2.太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（） A．与窗户全等的矩形 B.平行四边形 C.比窗户略小的矩形 D.比窗户略大的矩形 3.在同一时刻,两根长度不等的竿子置于阳光之下,但它们的影长相等,那么这根竿子的相对位置是（） A.两根都垂直于地面 B.两根平行斜插在地上 Ｃ.两根竿子不平行 Ｄ.一根倒在地上 4.夜晚在亮有路灯的路上,若想没有影子,你应该站的位置是（） A.路灯的左侧 B．路灯的右侧 C.路灯的下方 Ｄ．以上都可以 5.不同长度的物体在同一时刻同一地点的太阳光下得到的投影是（） Ａ.相等 Ｂ.长的较长 C．短的较长 D.不能确定 6．小亮在上午８时、9时3０分、1０时、1２时四次到室外的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况,他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（） Ａ.上午12时 B.上午10时 C.上午9时30分 D.上午8时 7.一天上午小红先参加了校运动会女子100 ｍ比赛,过一段时间又参加了女子400 ｍ比赛,如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（） Ａ.乙照片是参加1０0 m的B.甲照片是参加400 ｍ的Ｃ．乙照片是参加４0０ m的D．无法判断甲、乙两张照片 ８.皮影戏中的皮影是由_______＿＿投影得到.9.当你走向路灯时，你的影子在你的＿__＿__＿＿_，并且影子越来越_＿___＿__． １0．如图是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化? １1.有两根木棒AＢ、CＤ在同一平面上直立着,其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图所示,请你在图中画出这时木棒ＣＤ的影子． 29.１ 投影 第2课时 正投影 1.正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是() A.正方形 B.平行四边形或线段 Ｃ.矩形 D．菱形 2.当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（） Ａ.20 B.3０0 Ｃ.400 D． ６00 3．当投影线由上到下照射水杯时，如图所示,那么水杯的正投影是（） 4.下列命题中真命题的个数为（） ①正方形的平行投影一定是菱形;②平行四边形的平行投影一定是平行四边形;③三角形的平行投影一定是三角形.A．1 Ｂ.2 Ｃ.3 D.０ 5.一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样,则这个长方形_＿_____投影面;一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形_＿__＿__投影面． 6.已知一纸板的形状为正方形ABCD(如图),其边长为10ｃm,AD、BC与投影面β平行,ＡB、CD与投影面不平行,正方形在投影面β上的正投影为A1Ｂ１C1Ｄ１,若∠ＡBB1=45°,求正投影A1B1Ｃ１Ｄ１的面积.29.2 三视图 第1课时 三视图 1.如图(1)放置的一个圆柱,则它的左视图是 （） ２．如图(1）所示的是圆台形灯罩的示意图，它的俯视图是如图（２)所示的（） 3.如图所示的四个几何体中,主视图与其他几何体的主视图不同的是（） ４.如图（１）所示的是由6个大小相同的正方形组成的几何体，它的俯视图是如图（2）所示的（） ５.如图（1）所示,放置的一个水管三叉接头，若其主视图如图（2)所示，则其俯视图是图（3）所示的（） 6．在水平的讲台上放置圆柱形水杯和长方形粉笔盒，如图(１)所示,则它的主视图是图(2)所示的（） 7.沿圆柱体上面直径截去一部分的物体如图所示，画出它的三视图． (第3题) 29.2 三视图 第２课时 由三视图确定几何体 1．下面是一些立体图形的三视图（如图)，请在括号内填上立体图形的名称． ２.如图4－3-26,下列图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗? 3．如图，从不同方向看下面左图中的物体，右图中三个平面图形分别是从哪个方向看到的？ ４.一天,小明的爸爸送给小明一个礼物，小明打开包装后画出它的主视图和俯视图如图所示．根据小明画的视图,你猜小明的爸爸送给小明的礼物是（） A.钢笔 B．生日蛋糕 C.光盘 D.一套衣服 5.一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请你补画出这个几何体的俯视图.６.一个物体的三视图如图所示,试举例说明物体的形状． ７.已知几何体的主视图和俯视图如图所示． （1)画出该几何体的左视图； (２）该几何体是几面体？它有多少条棱?多少个顶点？ （３）该几何体的表面有哪些你熟悉的平面图形？ 8.小刚的桌上放着两个物品,它的三视图如图所示,你知道这两个物品是什么吗? ９．一个由几个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数,请你画出这个几何体的主视图和左视图.29.2 三视图 第３课时 由三视图确定几何体的面积或体积 1.如图是某几何体的三视图及相关数据,则该几何体的侧面积是 b 主视图 c 左视图 俯视图 a (Ａ） （Ｂ）ﻩ （C) (D） 2.长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（） A.52 ﻩ ﻩB．3２ ﻩﻩC．24 ﻩﻩ D．9 ﻩ 主视图 俯视图 3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（） A.B.C.D.正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 4.已知某几何体的三视图(单位:cｍ)如图所示,则该几何体的体积是 （） A.108ｃm3ﻩB．１00 ｃm3ﻩC．92cm3ﻩＤ.84cｍ3 5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为＿__＿＿＿____． 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 6.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为___＿____． 7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为多少？ 8．一几何体的三视图如右所示,求该几何体的体积.29．3课题学习 制作立体模型 1.下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（） A.B.C． Ｄ． 2.一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（） A． 三棱柱 B．三棱锥 C.四棱柱 D．四棱锥 3.下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（） Ａ． B． Ｃ.D． ４.下列平面图形，不能沿虚线折叠成立体图形的是（） A.Ｂ.C． D． 5.能把表面依次展开成如图所示的图形的是（）ﻫ A.球体、圆柱、棱柱 B．球体、圆锥、棱柱 C.圆柱、圆锥、棱锥 D．圆柱、球体、棱锥 6.如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（） A.40×40×70 B.７0×70×80 C．80×80×８0 D．40×70×80 7．下图是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计），则盒子的容积为_＿_＿_＿．ﻫ ８.两个圆柱的底面半径均为30cm，高均为50cm,将这两个圆柱的侧面展开图粘成一个大的矩形,然后再将它卷成与原来圆柱等高的圆柱的侧面,求所卷成的圆柱的体积． 9.对图中的几何体,请你试着画出它的表面展开图及三视图.
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