2015全国卷二数学
满分:
班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________
一、单选题（共12小题）
1．已知集合，则（）
A．
B．
C．
D．
2．若为实数，且，则（）
A．-4
B．-3
C．3
D．4
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知，则（）
A．-1
B． 0
C．1
D．2
5．设是等差数列的前项和，若，则（）
A．5
B．7
C．9
D．11
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）
A．
B．
C．
D．
7．已知三点，则外接圆的圆心到原点的距离为（）
A．
B．
C．
D．
8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的为（）
A．0
B．2
C．4
D．14
9．已知等比数列满足，则（）
A．
B．
C．
D．
10．已知是球的球面上两点，为该球面上的动点。若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
11．如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记，将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
12．设函数，则使得成立的的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4小题）
13.已知函数 的图像过点，则=________。
14.若x，y满足约束条件，则的最大值为_________。
15.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为_________。
16.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________。
三、解答题（共8小题）
17.△ABC中D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC.（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求.18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了个用户，根据用户对其产品的满意度的评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表。
B地区用户满意度评分的频数分布表
（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度，（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由。
19.如图，长方体中，，点E，F分别在 上，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。
20.已知椭圆 的离心率为，点在C上．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线不经过原点O，且不平行于坐标轴，与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线的斜率乘积为定值。
21.已知．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围.22.如图O是等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若AG等于圆O半径，且，求四边形EDCF的面积。
23.在直角坐标系中，曲线（t为参数，且），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
（Ⅰ）求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）若与
相交于点A，与相交于点B，求最大值．
24.设 均为正数，且．证明：
（Ⅰ）若，则；
（Ⅱ）是的充要条件．
答案部分
1.考点：集合的运算
试题解析：
由题意在数轴上表示出集合与集合，如图
所以，选A
答案：A
2.考点：复数综合运算
试题解析：
由，得，所以，选D
答案：D
3.考点：变量相关
试题解析：
对于选项A：从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；
对于选项B：2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
对于选项C：从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量
越来越少，故C正确；
对于选项D：2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，选D
答案：D
4.考点：平面向量坐标运算
试题解析：，选B
答案：B
5.考点：等差数列
试题解析：
由题意得：，所以
所以，选A
答案：A
6.考点：空间几何体的表面积与体积
试题解析：
如图所示截面为，设边长为，则截取部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，选D
答案：D
7.考点：圆的标准方程与一般方程
试题解析：因为外接圆的圆心在直线的垂直平分线上，即直线上，可设圆心，由得，解得，圆心坐标为
所以圆心到原点的距离，选B
答案：B
8.考点：算法和程序框图
试题解析：
输入
第一步成立，执行，不成立执行
第二步成立，执行，成立执行，第三步成立，执行，成立执行
第四步成立，执行，成立执行
第四步成立，执行，不成立执行
第五步不成立，输出.选B
答案：B
9.考点：等比数列
试题解析：
设公比为，由题意得，解得：，所以
答案：C
10.考点：空间几何体的表面积与体积
试题解析：
如图，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时
故，则球的表面积为，选C．
答案：C
11.考点：函数模型及其应用
试题解析：由已知得，当点在边上运动时，即时，；
当点在边上运动时，即时，当时，；
当点在边上运动时，即时，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线性，选B
答案：B
12.考点：函数综合试题解析：
当时，所以在单调递增，因为函数为偶函数，所以在单调递减，所以，即，平方得
解得，所求x的取值范围是．选A．
答案：A
13.考点：函数及其表示
试题解析：
把代入得：
答案：-2
14.考点：线性规划
试题解析：
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．
由，解得，即
将代入目标函数，得即的最大值为．
答案：8
15.考点：双曲线
试题解析：
设双曲线方程为，把点代入，可得，所以
所以双曲线的标准方程是．
故答案为：．
答案：
16.考点：导数的概念和几何意义
试题解析：
因为，所以在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．
由于切线与曲线相切，联立得，又两线相切有一切点，所以有，解得．
故答案为：．
答案：8
17.考点：三角函数综合试题解析：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；
（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）
18.考点：频率分布表与直方图
试题解析：
（Ⅰ）
通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B
地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．
（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6
得P（）=（0.005+0.02）×10=0.25
∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
19.考点：立体几何综合试题解析：
（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；
（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．
因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．
因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．
答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
20.考点：圆锥曲线综合试题解析：
（1）椭圆C：，（）的离心率，点（2，）在C上，可得，解得，所求椭圆C方程为：
（2）设直线：，A，B，M，把直线代入可得，故=，=，于是在的斜率为：==，即．
∴直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
21.考点：导数的综合运用
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，所以，若，则，∴函数在上单调递增，若，则当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；
当时，在取得最大值，最大值为，∵,∴，令，∵在单调递增，∴当时，当时，∴的取值范围为
答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（0，1）
22.考点：圆
试题解析：
（Ⅰ）如图所示，连接，则即.因为，所以，所以，即.因为，所以.因为是等腰三角形，所以，所以，所以.（Ⅱ）设的半径为，.在中，.，解得.在中，.，，是等边三角形.连接，，.在，..在中，.四边形的面积为
.答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
23.考点：曲线参数方程
试题解析：
（Ⅰ）将曲线化为直角坐标系方程,.联立解得.所以交点坐标为，.（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中.因此的极坐标为，的极坐标为.所以.当时，取得最大值，最大值为.答案：（Ⅰ），（Ⅱ）4
24.考点：不等式证明
试题解析：
（Ⅰ）由题意可得，而，即.（Ⅱ）
答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
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