避免分类讨论的参变分离和变换主元专题复习

避免分类讨论的参变分离和变换主元专题复习

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

（ⅰ）令，得．

令,得，所以函数在单调递增．

令,得，所以函数在单调递减．

所以，．

所以成立．

（ⅱ）由（ⅰ）知，所以．

设所以．

令，得．

令,得，所以函数在单调递增，令,得，所以函数在单调递减；

所以，即．

所以，即．

所以，方程没有实数解．

【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：当时，．

【答案】（Ⅰ）当时，则，则.令得

－

+

↘

↗

所以

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，．

（Ⅱ）因为，所以恒成立，等价于恒成立．

设，得，当时，所以　在上单调递减，所以　时，．

因为恒成立，所以．

（Ⅲ）当时，等价于．

设，．

求导，得．

由（Ⅰ）可知，时，恒成立．

所以时，有．

所以

．

所以在上单调递增，当时，．

因此当时，．

【练1-2】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）由已知得．

因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以．

所以．

……………3分

（Ⅱ）函数的定义域是，．

（1）当时，成立，所以的单调增区间为．

（2）当时，令，得，所以的单调增区间是；

令，得，所以的单调减区间是．

综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间是，的单调减区间是．

……………8分

（Ⅲ）当时，成立，．

“当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”

设，只要“当时，成立．”

．

令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；

令得，又因为，所以函数在上为增函数．

所以函数在处取得最小值，且．

所以．

又因为，所以实数的取值范围．

……………13分

（Ⅲ）另解：

（1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以．

所以当时，有成立．

（2）当时，可得．

由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立．

（3）当时，可得．

由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且．

当时，要使成立，只需，解得．所以．

综上所述，实数的取值范围

【练1-3】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】，-----------------------------------2分

因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且.----------------------------------4分

解得，-----------------------------------5分

（Ⅱ）法1：

对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分

令，----------------------------------------7分

①若a=0，则，所以实数b的取值范围是；

----------------------------------------8分

②若,，由得，----------------------------------------9分的情况如下：

0

0

+

极小值

-----------------------------------------11分

所以的最小值为，-------------------------------------------12分

所以实数b的取值范围是；

综上，实数b的取值范围是．

--------------------------------------13分

法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即

∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分

令，则等价于∀，恒成立，令，则，-----------------------------------------7分

由得，----------------------------------------9分的情况如下：

0

0

+

极小值

-----------------------------------------11分

所以的最小值为，------------------------------------------12分

实数b的取值范围是．

--------------------------------------------13分

【练1-4】若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】分析：若设，由知，对应分三种情况讨论．若分离参数，则轻易解决．

解：原不等式等价于．当时，显然成立；

当时，因为，所以，则有恒成立，只需．

因为,当，即时取“=”，即，所以．

评注：对二次函数在闭区间上的最值问题是最容易引起“讨论”的．本题求解过程中求的最小值要注意验证取等号的条件．

【练1-5】（2012-2013西城第一学期期末18）已知函数，其中．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围．

【答案】分析：第二问，存在性问题，可以转化成函数在给定区间上的最值问题，但是类似这样的问题，咱们都有经验，分离变量会比较简单，但是在实际教学中，很多学生并不能很好的接受这种想法。为什么？分离变量是一种思想方法，还是一种解题技巧？

我们可以这样审视这类问题：给了一个变量的范围，求另一个变量的范围，事实上，就是两个变量的依赖关系，于是可以把所求变量表示成已知变量的函数，从函数出发看待这类问题，分离变量就自然了，于是该题就有了如下简洁的解法：

（Ⅱ）解：因为，所以

等价于，其中．

…………9分

设，在区间上的最大值为．…………11分

则“，使得

”等价于．

所以，的取值范围是．

………………13分

小结：存在性问题、恒成立问题采用分离变量的方法常常比较容易，但是这种方法的教学不能当成一种技巧进行教学，应该揭示这种解法的本质，其本质就是变量的依赖关系即函数关系，分离变量，实际上是把两个变量之间的隐函数关系，变成显函数关系，进而转化成不含参变量的函数，从而使得问题的解决避免分类讨论，变得简单。

【练1-6】（2012-2013朝阳期末18）已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（这里的第三问也是一个存在性问题，可做练习巩固）

【练1-7】（2006天津理11）已知函数的图象与函数（且)的图象关于直线对称,记,若在区间上是增函数,则实数的取值范围是（）.A.B.C.D.【答案】

考点二、主参换位（主辅元转换），避免分类讨论；

【例2-1】设不等式对满足的一切实数都成立，求的取值范围．

【答案】分析：受思维定势影响，易看成关于的不等式．其实变换一个角度，以为变量可避免分类讨论，只要关于的函数在区间恒为负值即可．

解：由题意，可设，即在内恒成立，因为为关于的一次函数，故有．

评注：将关于的不等式转化为关于的一次不等式，虽然仍需要解关于的一元二次不等式组，但已经成功地避开了复杂的分类讨论，将问题中的参数“消灭”了．这种转变问题视角的方法，对简化运算十分有益．

【例2-2】（2012-2013通州期末19）已知函数

（Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值．

【答案】分析：该题（Ⅱ）初步转化为

对任意，都成立

多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，又给出，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。

【例2-3】设，当时，恒成立，求的取值范围。

【答案】分析：该题初步转化为对任意恒成立，求的取值范围

多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。

例2-4.（2010崇文一模理）设奇函数上是增函数，且，若函数

对所有的都成立，当时，则t的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C