数学学科学案
设计教师：田雪
审阅人：崔淑莲
使用班级：高一年级
学生姓名：_______
编号：2020-2021学年度（下）学期
号
使用时间：
课题
平面向量基本定理
课型
新授课
课标考纲要求（核心素养）：数学抽象，逻辑推理，数学运算
学习目标：1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
学习重点：平面向量基本定理的理解与应用.学习难点：平面向量基本定理的证明及应用.问题导入
上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢?
新课讲解
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力，如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力.由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢?
探究：如图(1)，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量.如图(2)，在平面内任取一点O，作，,.将按，的方向分解，你有什么发现?
知识点1
平面向量基本理
1、定理：如果，是同平面内的两个
向量，那么对于这一平面内的向量，实数，使.2、基底：若，不共线，我们把
叫做表示这一平面内
向量的一个基底．
说明：(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.(2)基底给定时，分解形式唯一.，是被，唯一确定的数值.(3)，是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量
知识点2
两向量的夹角与垂直
1、夹角：已知两个
向量和，如图，作，则
＝
()叫做向量与的夹角．
（1）范围：向量与的夹角的范围是．
（2）当时，与
（3）当时，与
2、垂直：如果与的夹角是，则称与垂直，记作.典例分析
例1
如图，不共线，且，用表示.重要结论:如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。
例2
如图是的中线,用向量的方法证明是直角三角形.巩固练习
题型一
平面向量基本定理的理解
如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）
①可以表示平面内的所有向量；
②对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个；
③若向量与共线，则.④若实数使得，则.A．①②
B．②③
C．③④
D．②
【跟踪训练】1
设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①与；②与；③与；④与.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
题型二
用基底表示平面向量
如图，已知在梯形中，，分别是边上的中点，且，.试以为基底表示，.【跟踪训练】2
如图所示，在中，，、分别是边、上的点，且，设与交于点，用向量表示.题型三 平面向量基本定理的应用
如图，在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，求︰与︰的值.【跟踪训练】3
如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若,其中，则____.课后作业
1.下列说法中，正确说法的个数是（）
①在中，可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
2.如图在矩形中，若＝5e1，＝3e2，则＝()
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
3.如图，在中，为线段上的一点，且则（）
A．，B．，C．，D．，4.等边中，与的夹角是()
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
5．若a、b不共线，且λa＋μb＝0()，则()
A．a＝0，b＝0
B．＝＝0
C.＝0，b＝0
D．a＝0，＝0
6．如图，设O是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组：
①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内所有向量基底的是（）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
7．M为△ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则＋＋等于()
A．6
B．－6
C．0
D．6
二、填空题
8.设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.9.在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝____________.(用b、c表示)
10.已知向量e1，e2不共线，实数满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则
.11.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
三、解答题
12.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.13．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.
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