勾股定理的教育功

第一篇：勾股定理的教育功

论勾股定理的教育功能

重庆市巴南区教科所 邹仁福 重庆市教科院数学组 张晓斌

如何以数学学科内容对学生进行素质教育，是摆在我们每一个数学教师面前的一项重大研究课题。勾股定理是漫漫数学长河中一个非常重要的定理之一，我们在数学教学中通过对勾股定理的教育功能的探讨，以期落实素质教育的实施。我们还认为，对一个定理以及教育因素的充分挖掘，可以起到以点带面的示范作用。

一、文化功能

勾股定理是一条古老的数学定理。不论什么国家、什么民族，只要是具有自发的（不是外来的）古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。

据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的计算方法）用来确定两处水位的高低差。可以说，禹是世界上有史记载的第一位与勾股定理有关的人。另外，有名的赵州桥的大桥孔直径的计算以及现在还流行在民间木匠手中的角尺（用于确定直角的用具）都直接和勾股定理有关。更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”，就提出把“数形关系”（勾股定理）（见下图）带到其它星球，作为地球与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。

可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。

二、德育功能

1．由勾股定理的产生对学生进行爱国主义教育。

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在4000多年以前，我国人民就应用了这条定理。我国最早的一部数学及天文著作《周髀算经》记载了这个定理，该书称直立着的标竿为“股”，地面上的日影为“勾”，斜边为“弦”。于是这个定理可记为：勾2＋股2＝弦2。这就是勾股定理的来历。《周髀算经》一开始就记载了公元前1100年西周时周公与商高的一段对话，商高说：“勾广三，股修四，径隅五。”即是“勾

三、股

四、弦五”。我国一直把它叫做商高定理或勾股弦定理，后来简称勾股定理。

据西方国家记载，古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前550年前首先证明了这个定理。因此，国外称这个定理为毕达哥拉斯定理。可见，我们的祖先商高提出这个定理的时间比毕达哥拉斯早550多年，而夏禹则更要早1000多年了。这样学生的爱国之情就会油然而生，增强了民族自豪感，有效地对学生进行了爱国主义教育。

2．利用勾股定理的证明方法和它的应用，对学生进行辩证唯物主义观点教育。

证明勾股定理的剖分法、拼补法、拼拆法等，都渗透着进与退、分与合、动与静、变与不变、数与形、正向与逆向、一与多等的辩证思想方法。下面我们看一个运用勾股定理运解决的典型题目：a，b，c，d都是正数，证明：存在这样的三角形，它的三边分别为，分析：如果要利用三线段构成三角形三边的充要条件来判定满足题设条件的三角形的存在性，不是容易的。再用海伦公式根据三边计算这个三角形面积就更使人望而生畏了。如果注意到，的特点，就会点燃思维的火花，考虑

。并计算这个三角形的面积。，利用勾股定理把这三条线段构作出来。

如图所示，以在性也就自明了。

所求三角形的面积为：，为边画一个矩形。满足题设条件的三角形跃然纸上，它的存（）（）。

这个巧妙解答过程充分展示了数与形、直接与间接的相互转化的辩证思想。

3．由勾股定理到发现无理数，进而到证明费尔马大定理，培养学生献身科学、追求真理的精神。

在两千多年前古希腊数学家毕达哥拉斯的学生希伯斯发现：边长等于1的正方形，它的对角线的长既不是整数，也不是分数。希伯斯经过精心研究，勇敢地断定，这是一个人们还不认识的新数，这个新数就是

。希伯斯这一大胆的发现，推翻了他老师毕达哥拉斯的论断：“世界上只有整数和分数，除此之外，就再也没有别的什么数了。”希伯斯为此被他的无知同学扔到了地中海活活地淹死，为追求真理而献出了他的年轻生命。无理数正是的出现，开拓出新数系的结果，使得原先封闭稠密的有理数系发展为更大、更新、更完美的连续的实数系。

我们再对

作进一步的讨论，就引出了方程的求解问题，这就是世界著名的数学难题——费尔马大定理。1637年，法国业余数学家费尔马从勾股数的讨论中得到启发：“当n大于2时，使

成立的正整数组是不存在的。”费尔马还在他的手稿空白处写道：“我已经找到了这个定理的绝妙的证明方法，但是，这里的空白处太窄了，写不下。”这个批注是他的儿子在整理费尔马的遗稿后于1670年公布于众的。

自费尔马大定理被提出的那一天起，就一直吸引着广大数学家的注意力。人们把它看作是对人类智慧的挑战，或许正是如此，使得一代又一代的数学家为了解决费尔马大定理而呕心沥血，奋斗终生。1993年6月，一个令人心醉的消息震动了数学界，英国数学家A· Wiles在剑桥大学宣布证明了费尔马大定理。其间他勇敢地承认了证明中的某些错误，不久他又用另外的方法彻底解决了证明中的问题，终于在1994年10月25日数学界的专家们完全承认了证明的正确性。于是A· Wiles获1996年的国际数学大奖wolf奖，1997年6月还获得悬赏100年内解决费尔马大定理的Wolfskehl奖。

问题是数学的心脏，重大问题的解决是数学发展的强大动力，费尔马问题研究的350年的历程显示了数学发展的基本法则：问题产生——问题解决——产生新的方法和理论——提出新的问题，由此进入新的循环。我们在数学教学中也应引导学生历经一些磨难，象数学家们那样探索学习数学新知识。

综观希伯斯和A· Wiles及他同事们的工作，证明人类的智慧是伟大的，是可以战胜自然界的挑战的，需要我们不断地去探索、去学习、去追求、去奋斗不止。

三、智育功能

1．以生动的数学史料揭示课题——勾股定理，激发学生学习的兴趣和求知欲。《周髀算经》中记载着，禹和商高已经知道用边长为3：4：5构成直角三角形，这作为勾股定理特例的出现，为勾股定理的形成作了准备。《周髀算经》中还有更精彩的描述：“若求邪至日，以日下为勾，日变为股，勾、股各相乘，并而开方除之，得邪至日。”这已经就是一般的勾股定理了。

2．通过探讨勾股定理的证明方法，培养学生的思维能力，深刻理解和掌握勾股定理。全日制初中义务教育数学教材（人教版）一共介绍了六种证法，让学生开阔眼界，并让他们感受到我国古代数学家赵爽利用勾股方圆图证明勾股定理是多么巧妙，是多么的简捷。“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，信之，为朱实四。以勾股之差自乘为中黄实，变成弦实。”用式子写出来即是：真可谓独县匠心。

勾股定理除了教材中介绍的六种证法外，还有许多巧妙的证明，E·S·Loomis，The Pythag orean Proposition 一书作者收集了该定理的370种不同证法。我们可以从这些证法中归纳出以下几种证明的思考途径。① 剖分法（剖分为若干全等的多边形），如教材中读一读的证明方法。② 拼补法（补入若干全等三角形之后全等）。③ 拼拆法（在全等形上拆去若干全等形），如教材中介绍的勾股定理的第一种证明方法。④ 不剖、不拼、不拆，如直接利用相似三角形的面积性质获得证明。

3．通过对勾股定理的引申——勾股数的介绍，培养学生的创新意识和创造能力。勾股定理的变形式以及逆定理在数学中的广泛运用，可以开启学生心智，达到训练思维的目的。教材中已有大量的素材，这里我们不再赘述。我们想通过对勾股数的认识，既深化理解勾股，即

。融几何知识与代数知识于一体，定理，又丰富我们的知识，拓宽我们的视野。所谓勾股数就是指能使等式的任何三个自然数。

成立 古往今来有无数的数学家从事勾股数的研究。显然，想轻而易举的求出若干组勾股数是困难的。我国著名数学家刘徽在《九章注》（即公元263年）中记载了很多勾股数。数学史家指出刘徽实际证明了以下定理：

不定方程

使（，），是（1）的解。

这个定理的证明不必向学生介绍，但是它给出了一种求勾股数的方法。如令则

经过计算，由此可得下列勾股数：

（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（11，60，61），（12，35，17），（13，84，85），（15，112，113），„„

我们还很容易证明：若，是（1）的自然数解，则（1）的自然数解。那么上面的每组勾股数的（进而引导学生从这些勾股数可以发现一些有趣的性质：

（1）每组勾股数中，勾与股都不相等。

（2）每组勾股数中，勾与股必有一个是2的倍数，3的倍数，4的倍数。

（3）每组勾股数中，勾、股、弦必有一个是5的倍数。

经细心分析，不难推出：，（）也是。显然是一组勾股数。，的自然数解必定，一奇一偶，不妨假定偶，则，（，），，（1）、一奇一偶。反之满足上面条件的，）倍也都是勾股数。① 用任意大于1的奇数，可迅速构成一组勾股数：。

② 用任意大于2的偶数，可迅速构成一组勾股数：，故归纳总结得：任意大于2的自然数均可得到一组勾股数。。

当勾为奇数时，股和弦是两个连续的自然数，且其弦也是奇数。

当勾为偶数时，股和弦是连续的奇数或连续的偶数。

通过以上对勾股数的讨论，从未知到已知，从离散到连续，从实践到理论，再回到实践，无处不贯穿唯物辩证的认识论和方法论，而且增强了学生不断探索进取的意识，培养了他们的创新能力。

四、美育功能

我国著名数学家徐利治先生认为：“数学美包括数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学的奇异性。”我们认为，勾股定理具有这些数学美。

“勾方加股方等于弦方”寥寥九字，却揭示一切不同形状、不同大小的无穷多个直角三角形三边之间的本质属性，体现了统一、概括、语言美。当它用

表达时，则更加简洁明了并为全世界中学生所理解，体现了简单、精练、科学美。它的许多精巧的构图证明，体现了奇异、和谐、对称美。勾股定理和它的逆向应用以及我们对勾股数的探讨，都无不显示出数学这一审美客体所蕴涵的无穷无尽的魅力。有意让学生在勾股定理的学习中去发现和感受数学美，表现和创造数学美，将会收到意想不到的效果。

在勾股定理的教学中，一个生动的模型，一个妙趣横生的引入，一个精巧的比喻，一个引人入胜的故事，一个美妙的结论，一个个巧妙的证明，都能使学生终身难忘。它可使消沉者振奋，使厌学者好学，使落伍者猛进。通过对勾股定理的教育功能的探讨，我们看到，只要深入挖掘数学教材中的概念、定理（法则）、公式、例习题等的教育因素，就可以培养学生刻苦钻研的精神，顽强拼搏的毅力，锲而不舍的个性品质。还能训练学生抽象的逻辑思维，形成严密、认真、细致的思维方式和习惯，使学生逐渐具有创造性思维能力。这样全面地对学生进行教育，一定会出现符合21世纪要求的一代新人。

参考文献：

1.夏树人、孙道杠，中国古代数学的世界冠军，重庆出版社，1984年版。

2.华罗庚，华罗庚科普著作选集，上海教育出版社，1984年版。

3.张广祥，现代数学思想概论，重庆西南师大数学系编印教育硕士课程讲义，1999年。

4.王尚志，A·Wiles证明了Fermat大定理，中学生数学，1997（10）：19。

从勾股数到勾股定理

苍天茫茫，深邃而遥远；大地辽阔，厂袤而无垠．从古时候起，人们就想知道，到底天有多高，地有多大？大约在公元前1100年，周武王的弟弟周公姬旦就曾向当时的一位学者商高求教：“„„去天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”意思是说，没有台阶供你上天，又没有一种尺子可以让你用来大量大地，那么怎样才能得到天高地大的数值呢？

商高所提供的测量方法是“勾股术”：“„„故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．„„”意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长(后来也称弦长)便是五．据说，在大禹治水的时候，就已经运用“勾三股四弦五”的特殊情形进行测量．

周公与商高的这段有趣的对话载于我国古代数学著作《周髀算经》(公元前1世纪)．经过历代数学家的完善，便形成了勾股定理(也称商高定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边C的平方，即a＋b＝c

满足勾股定理的数组称为勾股数(或商高数)．在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为毕达哥拉斯数．

但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前l600年之间．这些勾股数组中有些是很大的数，即使在今天也往往是人们所熟悉的．

222

这个数表使人们有理由相信，古巴伦人早已掌握了勾股定理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点．毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：

后来，另一个古希腊学者柏拉图(Plato，约前427

前347)也给出了类似的式子．被誉为

330)也在研究二次不定方程的时“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图(Diophantus，约246候，对勾股数作了一番探讨．他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：如果m、n是两个正整数，且2mn是完全平方数，则是一级勾股数．

丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓．重要的是，这组式子包含了全部的勾股数组！值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：

与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方法对这组公式进行了严格的论证．这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一．

关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测．有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》(公元前3世纪)之中．欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，如图1所示．有人把这个图形叫做“僧人的头巾”，也有人把它称为“新娘的轿椅”．我们这里给出证明的概述：AC=2△JAB=2△CAD=ADKL，类似地BC＝BEKL等等．有兴趣的读者不妨自己考虑一下，完成证明的细节．

我国数学家赵爽在《周髀算经注》(公元3世纪初)中，给出了勾股定理的一般形式，并且给出了一个几何证明（如图2）：图中有4个直角三角形和一个小正方形，它们的面积之和应该正

2好等于正方形ABCD的面积，即4×ab+(b−a)=c，化简便得：a+b=c

2222

2印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形(如图3)．但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图4中给出的两个相似三角形，我们有=和=，即cm=b和cn=a，相加便得：a+b=c(m+n)=c 22222

勾股定理是数学中最重要的定理之一．也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理．卢米斯(Loomis)在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的370种证明并对它们进行了分类．

勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线．

正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了．尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理．甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者所识别！

第二篇：勾股定理范文

勾股定理

勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，上至帝王总统，下至平民百姓，都愿意探讨和研究它的证明。它是几何学中一颗闪亮的明珠。

所谓勾股，就是古人把弯曲成一个直角三角形模样的手臂，上臂（即直角三角形的底边）称为“勾”，前臂（即直角三角形的高）称为“股”，所以称之为“勾股”。也许是因为勾股定理十分实用，所以便反复被人们论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理证明专辑。从勾股定理的发现到现在，大约3000年里，勾股定理的证明方法多种多样：有的简洁明了，有的略微复杂，有的十分精彩……本文将会带着大家一起来证明勾股定理并解决一些实际问题。

勾股定理、证明、解决实际问题 什么是勾股定理？

又称商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了

庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

蒋铭祖定理：蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商 高同周公的一段对话。蒋铭祖说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”蒋铭祖那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的蒋铭祖定理，关于勾股定理的发现，《蒋铭祖算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也；”“此数”指的是“勾三股四弦五”。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。勾股定理的发现

相传毕达哥拉斯在在一次散步中，偶然看见了地上由几块三角形瓷砖拼成的一个长方形瓷砖，如图：

毕达哥拉斯灵机一动，用手在上面比划了起来。大家看，以直角三角形各边为正方形的边长，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜边为正方形边长，可拼出一个这样的正方形：

其面积为：直角三角形斜边的平方

其中有四块直角三角形。

以直角三角形底和高做正方形边长，可拼出一个这样的正方形： 其面积为：底边（高）的平方 其中有两块直角三角形。

因为长方形瓷砖面积不变，所以所有第二种正方形面积和与所有第一种正方形面积和相等。因此毕达哥拉斯得出这样一个结论：在一个直角三角形中，底边的平方+高的平方=斜边的平方。这就是勾股定理。

勾股定理的证明

勾股定理证明方法有很多，下面这种是一位名叫茄菲尔德的美国总统证明的：

勾股定理的运用

说了这么多，也许有人会问“勾股定理有什么用呢？”

其实，勾股定理对我们的生活帮助可不小！尤其是在测量、建筑方面。下面，让我们来解决一下实际问题吧！

有一座山，高500米。在山脚下，有两个登山口，它们之间的距离是2400米。登山路沿着山的斜面修建（如图），我们从左面的登山口上山，到山顶的距离是多少？

这道题看似与勾股定理没什么关系，但是仔细看图，这是一个直角三角形！

已知直角三角形的斜边是2400米，要求其中一条直角边，我们应先做辅助线，将这座山分成两半：

这样，问题就转化成了求这左边这半直角三角形的斜边。原底边的长度是2400，现在是一半，即为1200，另一条直角边是500。根据勾股定理，底边²+高²=斜边²，计算时，把1200写成12，把500写成5，即12²+5²=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因为前面的1200和500缩小了100倍，所以13要扩大100倍，即1300。所以登山路的长度是1300米。总结

这就是勾股定理的妙用，还不止这些。尤其是测量三个地方之间的距离时，勾股定理是我们的一大帮手。总之，勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。它的主要意义有：

1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

第三篇：勾股定理[推荐]

定义

在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方

勾股定理(6张)。

简介

勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”（驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一篇的前5个命题是：命题1：以已知线段为边，求作一等 边三角形。命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。命题5：等腰三角形两底角相等。他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

勾股定理指出

直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方 a^2+b^2=c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组

满足勾股定理方程a2+b2=c2；的正整数组（a，b，c）。例如3、4、5（即勾

三、股

四、弦五）就是一组勾股数组。由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。勾股数组的通式：a=M^2-N^2b=2MNc=M^2+N^2(M>N,M,N为正整数）推广

1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。2．勾股定理是余弦定理的特殊情况。勾股定理

曲安京：商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。刊于《数学传播》20卷，台湾，1996年9月第3期，20-27页。《周髀算经》 文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊于《汉学研究》，1989年第7卷第1期，255-281页。李国伟：论《周髀算经》“商高曰数之法出于圆方”章。刊于《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月，227-234页。李继闵：商高定理辨证。刊于《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29至41页。

第四篇：传统文化与教育教学-勾股定理教案设计

传统文化与教育教学 ——《勾股定理》教学案例

【教学设想】

传统文化博大精深，底蕴深厚其中勾股定理是中国几何的根源。中华数学的精髓，例如开方术、方程术、等许多技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系。而且许多测量法是由勾股定理推演而来的。其次从中国勾股定理的诞生与发展来看，中国古代数学文化传统明显有重视应用、注重理论联系实际、数形结合以算为主、善于把问题分门别类建立一套套算法体系的。所以勾股定理是传统文化的体现。下面我从教学目标，重点、难点，教学活动做了一下设想。从文化传统习惯入手，使用现代教育手段来继承和发扬传统文化，挖掘传统文化内涵，实现数学教育现代化。知识与技能：

1、了解勾股定理的传统文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。

2、理解勾股定理的内容及数学符号的表示。

3、能灵活运用定理解决相关的计算问题。过程与方法：

1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。情感与态度

1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久传统文化的情感，激励学生奋发学习。

2、在探索勾股定理的过程中，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。教学重、难点

重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理 【教学活动】

(一）创设情境导入新课

教师出示PPT让学生观察24届国际数学家大会的会徽，并出示自制教具（赵爽弦图），观察它们的联系，提出问题，数学家大会为什么用它做会徽呢？它有什么特殊的含义吗？

[设计意图]这样的引入可唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生对勾股定理的兴趣，从而较自然的引入课题。

（二）、新知探究

教师出示PPT,--毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。

（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？

（2）你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系? 通过讲述传统文化故事激发学生学习的兴趣，使学生进入学习的最佳状态。

“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。

深入探究交流归纳

（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？

BAC图1 如上图每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、3的直角三角形。仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形。

（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？

【设计意图】渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。拼图验证加深理解

猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（多媒体动画演示验证）（1）让学生利用学具进行拼图

（2）PPT课件展示拼图过程及证明过程，理解数学的严密性。【设计意图】通过这些实际操作，学生进行一步加深对数形结合的理解，拼图也会产生感性认识，也为论证勾股定理做好准备。

利用分组讨论，加强合作意识。

1、经历所拼图形与多媒体展示图形的联系与区别。

2、加强数学严密教育。从而更好地理解代数与图形相结合

三、应用新知解决问题

分基础题,情境题,探索题.设计意图:给出一组题目，分三个梯度，由浅入深层层练习，照顾学生的个体差异，关注学生的个性发展.知识的运用得到升华.基础题: 直角三角形的一直角边长为6，斜边为10，另一直角边长为X，你可以根据条件提出多少个数学问题？你能解决所提出的问题吗？

设计意图:这道题立足于双基．通过学生自己创设情境，锻炼了发散思维．

情境题:小红的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？

设计意图:增加学生的生活常识，也体现了数学来源于生活，并服务于生活。

探索题: 做一个长，宽，高分别为100厘米，80厘米，60厘米的木箱，一根长为150厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。

【设计意图】:探索题的难度相对大了些，但教师利用教学模型 和学生合作交流的方式，拓展学生的思维、发展空间想象能力.。课堂小结

１、本节课我们探究了那些问题？ ２、本节课你收获了什么？ ３、学了本节课后你有什么感想？

学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法，体会传统文化在数学中应用。布置作业

1.必做题：课后习题 第1, 2,3题。

2课本 “阅读与思考”了解勾股定理的多种证法。根据自己的情况选择完成。

[设计意图]针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展。

[教学反思] 本节课我本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。引导学生通过计算发现勾股定理。测量和计算是我们民族文化传统的特长，是古人发现问题、解决问题常用的思路，也是我们学生很熟悉的学习方法。从几个学生构造的特殊例子出发，利用测量工具进行估算，寻找规律，提出猜想，符合我们的文化传统习惯，容易发挥学生的主体积极性。

参评

传统文化与教育教学

——《勾股定理》教学案例

设计人： 陈作红

联系电话： *** 邮编： 073000 电子邮箱： 94788841@qq.com 工作单位：定州市号头庄乡回民初级中学

作者简介;陈作红

2004年毕业于保定师范专科学校，2004-2010在私立学校任教，2011年在定州市号头庄回民初级中学任教，2012年论文,《 》曾获市级二等奖，2014年优质课 《 》获市级二等奖，2015 年说课《全等三角形的判定》获市级一等奖 2016年教学案例《全等三角形的判定》获市级一等奖

第五篇：勾股定理复习

《勾股定理复习》说课稿

李小英

一、教学内容与学情分析

1、本课内容在教材、新课标中的地位和作用

本节内容是《勾股定理》的复习。本章是以“勾股定理——平方根——立方根——实数——近似数与有效数字——勾股定理的应用”为线索展开的，沟通勾股定理、平方根、立方根、实数之间的联系，力图体现本套教材“数与代数”和“空间与图形”内容整合设计思路，本节是复习的第一课时，主要内容是勾股定理的复习。

勾股定理是初中数学中的重要内容，它不仅沟通了数与形之间的联系，而且也是解决其他许多数学问题和实际问题的有力工具，历来都是考试的重要知识点。新课标对这一内容明确要求：会运用勾股定理解决简单问题；会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。因此，学生对这一内容的熟练掌握是至关重要的。

2、学生已有的知识基础和学习新知的障

本章新授内容共14课时，其中勾股定理及其应用占4课时，学生对基础知识基本掌握，但可能时间隔的比较长会有所遗忘，不能构建知识体系；另外本章的应用问题非常多，也非常重要，而学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意。因此如何通过本节课帮助学生进一步巩固基础知识，构建知识体系；提高学生分析解决实际问题的能力是本节课所要面临的两大问题。学生解答问题的条理性，书写的规范性也是一个问题。

二、目标的设定

1、目标的设定 根据本课在教材及新课标中的地位和作用，结合学生现有的知识基础将本节课的教学目标设定如下：

（1）知识与技能：掌握勾股定理和勾股定理的逆定理以及简单应用；（2）过程与方法：通过对本节内容的复习，培养学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力；感悟数形结合的数学思想。

（3）情感、态度与价值观：通过简单的基础题的训练，提高学生学数学的信心和热情；通过师生间的互动调动学生学习的积极性，让学生体会成功的快乐。

2、重、难点的确立及依据

基于本节课所复习的内容的重要地位，将本节课的重点设定为：运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题。由于学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意，故将本节课难点设定为：综合运用知识分析问题和解决问题

三、教法选择：

1、教学结构及教学基本思路

用导学案的形式组织教学，通过学生课前对几道基础题的训练，使学生对勾股定理和勾股定理的逆定理及其简单应用有一定的认识；然后再通过对四个例题的分析和总结，使学生体会和解决问题的一般方法和思路；最后在时间允许的情况下，完成部分达标测试题加以巩固和提高。基本思路：①学生分析基础训练题，教师点评和归纳；

②黑板显示典型例题，师生合作共同分析，学生板演解题过程，教师评讲，并及时总结解题思路和方法；

③学生总结本节课所复习的内容以及有何收获； ④学生完成部分达标测试题，教师评讲并及时进行补标。

2、重难点的突破方法： 运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题是本节课的重点，因此，课前完成的训练题复习勾股定理和勾股定理的逆定理及其简单应用，通过四个例题的分析和解决突出重点，并突破难点。由于学生的分析问题和解决问题的能力欠缺，所以通过师生合作共同分析解决问题的策略，并及时总结解题方法，进一步突破难点。通过达标测试来消化重点和难点。

3、导入和过渡的设计

由学生的课前对几道基础题的训练来复习勾股定理及其逆定理导入本课，使学生体会到本节课所复习的主要内容，过渡到典型例题的讲解师生合作共同分析解题的方法和技巧，并及时总结。最后通过达标测试进一步巩固所学的知识。各个环节环环相扣，有机的形成一个整体。

4、教辅手段的使用

本节课用导学案的形式组织教学，先做后导，提高教学效果，增大课堂容量。用小黑板展示例题，有利于学生集中精力进行观察分析问题。

5、尊重学生个体差异，因材施教

由于学生间存在较大的差异，因此课堂教学中注重激发学生的学习兴趣和参与热情，鼓励学生大胆发言，尊重学生的差异，让每个学生都有所发展，增强他们学习的兴趣。

四、学法指导

勾股定理学生已经学过，因此通过课前训练让学生自己回忆出勾股定理和勾股定理的逆定理，使学生自己进入复习的角色。学生可能遇到的障碍是如何构建直角三角形然后利用勾股定理解决，先由学生讨论并请个别学生进行分析，教师作适当的补充和说明，突破学生的障碍。

五、作业设计

一组基础题的训练帮助学生回忆和复习知识点；达标测试中的大部分题目是巩固所复习的知识，个别题用来提高学生综合运用知识解决问题的能力。