浅谈数学归纳法在高考中的应用5篇

第一篇：浅谈数学归纳法在高考中的应用

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

1、数学归纳法的理论基础

数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。1.1数学归纳法的发展历史

自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。

安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。

伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明

n2(n1)212n

4333这是数学家对数学归纳法的最早证明。

接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用“逐步的无限递进”，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。

到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 an1ann

2其中ak123归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。

17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

k1,2

他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

现的帕斯卡三角形。数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。

帕斯卡、毛罗利科、伊本穆思依姆等都很自觉地使用归纳推理，传承运用数学归纳法，但一直没有明确的名称，而是英国数学家德摩根在其命名上迈出了重要的一步，他曾在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，建议将“归纳法（数学）”改为“逐次归纳法”，有意思的是在后来的一次无意中他无意中使用了“数学归纳法”这便成为了最早的名称。之后，英国数学家托德亨特的《代数》（1866年出版）中也采用了“数学归纳法”这一名称，从此这一名称在英国传播开了。1.2数学归纳法的逻辑基础

数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。

归纳公理：由自然数组成的集合为N，1N,若N中任意自然数的后继也属于N，则N包含了全部自然数。

2、数学归纳法的步骤及其类型

2.1 第一数学归纳法

设p(n)是关于自然数n的命题,如果p(n)满足:(1)p(1)成立；

(2)假设当nk时,命题p(k)成立；

可以推出p(k1)也成立，则命题p(n)对一切自然数n都成立。证明:设M是由满足命题p(n)的自然数组成的集合即M是自然数集N的子集,由于p(1)成立

1M,又由(2)知kM k1M

即k的后继k'M，由皮亚诺公理的归纳公理5得MN 因此对于一切自然数n，p(n)都成立。

第一数学归纳法的应用

22n(n1)333例1 用数学归纳法证明12n4nN

证明:（1）当n1时，左边=1=右边命题成立

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

（2）假设nk时命题成立，即

k2(k1)212k4 33322k(k1)333(k1)3那么当nk1时，12(k1)4

(k1)2(k2)2

4即当nk1时命题也成立，所以原命题成立。

2.2 第二数学归纳法

假设p(n)是关于自然数n的命题,如果p(n)满足:(1)p(1)成立；

(2)假设p(n)对于所有满足ak的自然数a成立，则p(k)也成立； 那么,命题p(n)对一切自然数n都成立。

证明:设M{n|p(n)成立，nN},又设ANM(差集)假设A不空,由自然数的最小数原理, A有最小数a0 由条件(1)知1M,故a01 因此1,2a01M,又由条件(2)知a01M,必有a0M

这与a0A矛盾,所以A为空集

从而MN,则命题p(n)对一切自然数n都成立。

第二数学归纳法是第一数学归纳法的加强，在高考数学中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以开拓一个学生的思维，体会其中的思想奥妙，在一定程度上可以激发学生学习数学的兴趣，促使学生去创新，与此同时可以发现数学的美。

2.3 数学归纳法其他类型（1）跳跃数学归纳法

①当n1,2,3,,l时，P(1),P(2),P(3),,P(l)成立，赣南师范学院2015届本科生毕业论文

②假设nk时P(k)成立，由此推得nkl时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n1时，P(n)成立．

（2）反向数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 a)P(n)对无限多个正整数n成立；

b)假设nk时，命题P(k)成立，则当nk1时命题P(k1)也成立，那么根据①②对一切正整数n1时，P(n)成立．

（3）跷跷板数学归纳法

针对两个与自然数有关命题An,Bn a)证明A1成立；

b)假设Ak成立，递推证明Bk成立，即Ak成立推出Bk成立；

又假设Bk成立，由此递推证明出Ak1也成立，即Bk成立推出Ak1。于是，对于任意自然数，结论An,Bn都成立

3、结合高考试题体现数学归纳法

3.1 高考中数学归纳法题型的分析

在高考数学中，运用数学归纳法的证明一般不单独命题，考查常常渗透到数列综合题中，既考查推理论证能力，又考查探究思维能力。近年江西高考压轴题的数列不等式，常常会用到数学归纳法，且常与放缩法有关。其他省的高考题趋势也差不多，数学归纳法在高考中出现的几种题型主要是与数列、不等式、整除相结合考察，难度不是很大，但能体现出解题的效率大大增加，化复杂为容易、抽象为具体，是一个非常值得考察的知识点。3.2 数学归纳法在代数中的应用

在高考中数学归纳法知识的考察往往是结合代数一起进行的，而代数方面主要体现在数列、整除、不等式方面，但是在几何方面也是一个命题点，这样在一定程度上考察了学生的创新能力与想象能力，符合现代数学的教学目标。下面就这两大方面进行分析阐述。3.2.1数学归纳法在数列中的应用

高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。

例2 [2014·重庆卷] 设a11，an1an22an2b(nN)(1)若b1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．

(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN成立？证明你的结论．

解：(1)a22 a321

变下形式有a1111 a2211 a3311 根据这个规律进行猜想有ann11 下面用数学归纳法证明以上结论： 证明：

1、（1）当n1时，结论显然成立．

（2）假设nk时命题成立 即akk11

则ak1(ak1)211(k1)11(k1)11 当nk1时命题也成立 所以ann11nN

2、设f(x)(x1)211则an1f(an)

令cf(c)即c(c1)211解得c1 4下面用数学归纳法证明命题a2nca2n11（1）当n1时，a2f(1)0 a3f(0)21

a21a31结论成立 4（2）假设nk时结论成立，即a2kca2k11 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而

cf(c)f(a2k11)f(1)a2

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

即1ca2k2a2

再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得

cf(c)f(a2k22)f(a2)a31 故ca2k31因此a2(k1)ca2(k1)11 当nk1时命题也成立 综上，存在c

3.2.2数学归纳法在不等式中的应用

用数学归纳法证明不等式可以有效提高解题效率，解题过程得到优化甚至可以使避免一些具体问题或简化。直接使用数学归纳法进行不等式的证明时，在归纳和过渡往往存在一定的困难，如果能灵活地使用不等式的传递性和可加性，在恰当的时候使用过渡不等式和假设不等式与目标不等式的特征关系，通过放缩常数和强化命题等技巧,可以顺利完成归纳和过渡。同时，在利用它来解决不等式问题时首先要细心地观察，然后大胆地进行联想，发现一些内在的联系从而为解决问题提供了方法和途径。

例3 [2014·安徽卷] 设实数c0，整数p1，nN。

(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px ；

p1canan1p，证明：anan1cp。(2)数列{an}满足a1c，an1pp1p11使a2nca2n1对所有nN成立 4证明：(1)用数学归纳法证明如下

① 当p2时，(1x)212xx212x原不等式成立． ② 假设pk(k2,kN)时，不等式(1x)k1kx成立． 当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx1(k1)x

所以当pk1时，原不等式也成立。

综合①②可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立。

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

1p(2)先用数学归纳法证明anc ①当n1时，由题设知a1c成立；

②假设nk(k2,kN)时，不等式akc成立。由an1p1canan1p易知an0，nN ppak1p1cp1cak1(p1)akpppak1p1p当nk1时，1p由akc0得111c(p1)0 ppakp1ca1cc由(1)中的结论得(k1)p1(p1)1p(p1)p

akpakakpak因此ak1pc，即ak1c，所以当nk1时，不等式anc也成立。

综合①②可得，对一切正整数n，不等式anc均成立。再由

1p1p1pan1a1c1(p1)可得n11，anpanan即an1an

综上所述，anan1c，nN1p

点评：此高考题是用数学归纳法来证明著名不等式贝努利不等式，在一定程度上有回归到课本上的节奏，这题出现在高考试题上不仅是考察数学归纳法的知识，更重要的体现数学归纳法的功效，可以激发学生的创新思维，给学生想象空间，减少学生在探究未知知识时的畏惧心理。

在利用数学归纳法证明不等式，有些时候需要对命题的加强进而去证明，这样就可以把一个无从下手的题目进行处理，证得加强后的命题，因此原命题也成立。此方法在简答过程是由一定难度的，在学生成绩水平中具有区分度，但是很有必要让学生训练掌握，下面分析一个此类型的典高考题，体会下其中的思想、奥妙所在。

例4 [2008·辽宁卷]在数列{an}，{bn}中，a12,b14且an,bn,an1等差数列，bn,an1,bn1成等比数列nN

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4由此猜测{an}{bn}的通项公式，并证明你的结论； 2)证明：1115...... a1b1a2b2anbn12证明：1）略，直接写出几项进行归纳猜想进而用数学归纳法进行证明。2）分析：由于此问右边的式子与无关，不能直接用数学归纳法证明，因此可以加强结论之后再用数学归纳法证明。

当n1时，115不等式显然成立 a1b161211151......,n2 现用数学归纳法来证明ababab122n21122nna）当n2时，有1）知anbn(n1)(2n1)，命题成立 b）假设当nk时命题成立，那么当nk1时 由归纳假设有111511......a1b1a2b2ak1bk1122k2(k2)(2k3)

5115151 122k2(k2)(2k2)122(k2)122(k1)2所以当nk1时命题也成立

故得证。

3.2.3数学归纳法在整除中的应用

数学归纳法与整除性问题相结合，在一定程度上考察了一个学生的思维转换的能力，同时可以体现出学生对数学归纳法的理解与掌握程度。在最近几年里，各省未出此类题型，但是很有命题的趋势，并且有时候技巧性很强，所以值得去研究学习。

n例5 求证712n1能被9整除（n为正整数）

证明：令g(n)7n12n1

（1）当n1时，g(1)712118能被9整除，所以命题成立（2）假设nk时命题成立，即g(k)7k12k1能被9整除 那么当nk1时，g(k1)7k112(k1)1

7(7k12k1)9(8k2)

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

由假设知7(7k12k1)能被9整除，而9(8k2)也能被9整除 所以g(k1)能被9整除

因此当nk1时命题也成立，所以原命题正确，得证。

说明：此类题型很多考生不能很好的配凑出假设结论出来，那么就要加一项减一项进行处理，对于整除本身是个抽象的问题就感觉困难，如果能找出此题的突破口，此类题就是比较好处理的。但是往往同学们很难把握到，针对这个问题，我们寻求另一种论证方法：“作差”，即求g(k1)g(k)的差，其优点是方法统一，容易显露问题的核心，便于寻求推证的途经，读者可以将这两种方法进行比较。另证：令g(n)7n12n1

(1)当n1时，g(1)712118能被9整除，所以命题成立(2)假设nk时命题成立，即g(k)7k12k1能被9整除 那么当nk1时，g(k1)7k112(k1)1

k1kg(k1)g(k)(712(k1)1)(712k1)则6(7k2)18(2m1)

其中m为整数

所以当nk1时命题也成立 所以原命题正确

3.3数学归纳法在几何中的应用

高考中用数学归纳法证明几何问题至今高考题中还没出现，但是思维是活跃的，可以激发学生的空间想象潜力，在将来知识爆炸的时代，选择优秀的人才，用数学归纳法证明几何问题将会是很好的选择，下面探究用数学归纳法证明几何问题的典型试题。

例6平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们：

1（1）共有f(n)n(n1)个交点；

2（2）互相分割成g(n)n2条线段；（3）把平面分割成h(n)

1n(n1)1个部分 29

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

[分析] 本题利用几何法证明比较困难，因与n自然数有关，可考虑数学归纳法，结合图形，只要明确增加一条直线后发生的变化即可进行证明。

[证明]（1）当n1时f(1)0,g(1)1,h(1)2与图形性质相同，命题成立。(2)假设nk1(k2)时，命题成立，则当nk时，考查nk1及 增加一条直线l，这一条直线与原来的k1条直线的关系是它们都相交，各有一个交点。所以f(k)f(k1)k1又因为增加的一条直线l被原来的k1条直线分割成k段（即增加的k1个点把l分成k段）而l又把原来的k1条直线每条多分出一段（即增加的k1个交点把各交点所在的线段一分为二），共增加了kk1条线段。所以g(k)g(k1)kk1g(k1)2k1

又因为l被分割成k段，每段把该段所在的部分平面分成两部分，总共多出k个部分平面。所以h(k)h(k1)k，由假设易知f(k)h(k)1k(k1)1故nk时命题成立 21k(k1)，g(k)k2，2由（1）（2）知，对任何nN命题都成立。

[点评] 利用数学归纳法证明几何问题要语言叙述准确清楚，一定要讲清从nk到nk1时，新增加量是多少，也就是变化的状态。一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法，即在原来k的基础上，再增加1个，进而证明。也可以从k1个中分减1个来，剩下的k个利用假设。

4、数学归纳法的教学研究

4.1 对数学归纳法的教学建议

数学归纳法的知识点对于第一次接触的高中生来讲是一个很难理解的抽象问题，在一定程度上会阻碍他们理解该知识点，因此合理的教学在一定程度上会帮助学生克服面临的困难，与此同时可以帮助学生更好把握数学归纳法的题目，夺得更高的分数。下面提出几点教学的建议，此建议是根据《普通高中课程标准试验教科书数学选修2-2》数学归纳法知识排版选题提出的。(1)对数学归纳法原理的理解是这一节的难点，一定要特别注意

对数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的特别方法，其实它更应该反映的是一种递推的数学思想，先存在一个使结论成立的最小正整数n0，这是递推的基础，在这个基础上，假设当nk(kn0,kN)时，命题成立，根据这个假

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

设，如能推出当n=k+1时命题也成立，那么久可以递推出对所有不小于n0的正整数命题都成立。这是递推的一句。有了这个一句，加上递推的基础，就可以说明对所有nn0的正整数n，命题都成立。

(2)通过教学要让学生认识到数学归纳法的两个步骤缺一不可。

数学归纳法的两个步骤缺一不可，教学中要向学生强调这一点。如果命题只证到nn0成立，就断定对一切正整数n都成立，即不做第二步证明，这就是不完整归纳，不足以证明命题的正确性。但没有第一步，也是不正确的。有些命题，如果只作第二步，完全可以做通，但事实上它们是不成立的。如1123+n=n(n1)1。

21若n=k时,123+k=k(k1)1

211123+k+(k1)=k(k1)1(k1)(k1)(k2)1，则可推得n=k+1时，22然而n=1时命题成立显然不成立。这个例子说明，数学归纳法的两个步骤是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，另一个是递推的依据（延续关系），二者缺一不可，教学中可以通过反例来让学生体会这一点。(3)教学中应引导学生特别注意根据题意找准初始值

（不是每个问题的初始值都是1）

教材所给例子中虽然第一步中的起始值都是从n=1开始的，但其实n从几开始要依据题目而论，只不过从n=1开始的题目比较普遍，难度也不太大，这一点教师可以依据学生情况做一补充。另外，在第一步骤中，只需证明n取第一个值时命题成立就可以了，无需继续验证其他有限个值，因为一旦有了“第一个”的基础，再有第二部递推的依据，即保证了n取第2个，第3个„„值时命题的正确性。

4.2 数学归纳法解题技巧

（1）起点前移：有些时候验证1比较困难，可以用验证n0成立代替验证n1，当然其他的点也可以向前移动，只要符合前移的起点对结论成立并且容易验证，为了简化问题，有意向前移动起点。

（2）起点增多：有些命题在证明nk向nk1这一步时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．

（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，可以改变跨度来实现，但是这样操作就会使起点增多。

（4）选择恰当的假设方式：归纳假设不是一定要用“假设nk时命题成立”，赣南师范学院2015届本科生毕业论文

我们可以根据题目的意思选取第一类、第二类、跳跃、反向数学归纳法的假设形式，灵活巧妙的处理。

（5）变换命题：有些时候我们需要利用一个辅助命题来帮助完成证明，也有的时候可以改成等价命题或则将证明的结论加强。这样才可以使用数学归纳法证明。

赣南师范学院2015届本科生毕业论文

参考文献

[1] 孙宏安.帕斯卡与数学归纳法[J].数学通报,1997(9)：28-30.[2] 罗增儒.关于数学归纳法的逻辑基础[J].数学教学,2004(8)：17-18.[3] 冯进.数学归纳法的发展历程[J].常热理工学院学报，2008(8)：21-25.[4] Rabinovitch L.RabbiLevi ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction [J].Archive for History of Exact Sciences,1970(6): 237-248.[5] 史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．大连理工大学出版社，2008：16-20.[6] 朱华伟.高中数学新课程标准中的归纳法[J].数学通讯,2005(13）：26-30.[7] 黄光谷、黄川、蔡晓英、李杨.吉米多维奇数学分析习题集选解[M].出版社地址：华中科技大学出版社,2006:25-26.[8] 2011年IMO中国国家集训队教练组 编.2011走向IMO[M].上海：华东师范大学出版社，2011：30-31.赣南师范学院2015届本科生毕业论文

致谢

本论文是在导师刘育兴副教授悉心指导下完成的，导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不禁使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还是我明白了许多待人接物与为人处事的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!

第二篇：数学归纳法在高考中的应用

数学归纳法在高考中的应用

学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学中占有很重要的地位．应用广泛．

数学归纳法有下两种基本形式

（1）第一数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

（2）第二数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。

一、用数学归纳法证明整除问题

用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

（2005山东）是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f（n）=（2n+7）·3+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3+9能被36整除;当n=k+1时，［2knn

（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于

3整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3+9能被36整除，m的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题

对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．（2005江西）是否存在常数，使得等式 对一切自然数 成立？并证明你的结论．

解：假设存在，使得题设的等式成立，则当时也成立，代入得

解得，于是对，下面等式成立：

令

假设时上式成立，即

那么

这就是说，等式当时也成立．

综上所述，当时，题设的等式对一切自然数都成立．

三、用数学归纳法证明不等式问题

用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．

（2008全国一22）．设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； nk－1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36

（Ⅱ）证明：；

解析：

（Ⅰ）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.（2008辽宁卷21）．在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．

解：（Ⅰ）由条件得

由此可得

．················································ 2分

猜测．················································································ 4分

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．······································ 7分

（Ⅱ）．

n≥2时，由（Ⅰ）知．·········································· 9分

故

综上，原不等式成立．

四、用数学归纳法解决某些与正整数有关的探索性问题

由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．

（2002湖北）已知y=f（x）满足f（n－1）=f（n）－lga（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn+βn－1）lga对任何n∈N *都成立，证明你的结论

解：∵f（n）=f（n－1）+lga

又f（1）=－lga，∴∴∴f（n）=（n－ n－1）lga22n－1n－1，令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0

证明：（1）当n=1时，显然成立

（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k－ k－1）lga，则n=k+1时，2f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga

=（k－ k－1+k）lga=［（k+1）－（k+1）－1］lga

∴当n=k+1时，等式成立

综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn+βn－1）lga对任意n∈N*都成立

点评：本题是探索性问题．它通过观察――归纳――猜想――证明这一完整的过程去探索和发现问题，并证明所得出的结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．

通过上面的几个例子可知，数学归纳法在高考试题中常与数列、函数等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住关键点，并掌握一些常用技巧，重视变形转化能力，才能最终解决问题。222

第三篇：高考中的类比推理

高考中的类比推理

大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。例

1、（2006湖北）半径为r的圆的面积S(r)r，周长C(r)2r，若将r看

作(0,)上的变量，则（r2)'2r，①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长

函数。对于半径为R的球，若将R看作看作(0,)上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，V(R)4

R33,S(r)4R

.答案：①(43

R3)'

4R2.②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比

例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛an｝中，若a10=0，则有等式a1＋a2＋„„＋an=a1＋a2＋„„＋

a*

19－n（n＜19，n∈N）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9=1，则有等式成立。分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛an｝前19项中，其中间一项a10=0，则a1＋a19= a2＋a18=„„= an＋a20－n= an＋1＋a19－n=2a10=0，所以a1＋a2＋„„＋an＋„„＋a19=0，即a1＋a2＋„„＋an=－a19－a18－„－an＋1，又∵a1=－a19，a2=－a18，„，a19－n=－an＋1，∴ a1＋a2＋„„＋an=－a19－a18－„－an＋1= a1＋a2＋„＋a19－n。相似地，在等比数列｛bn｝的前17项中，b9=1为其中间项，则可得b1b2„bn= b1b2„b17－n（n＜17，n∈N*）。

例3．（2003年全国高考新课程卷文科第15题）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂

直，则AB2

＋AC2

= BC2

。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以

得到的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则________________”。分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S

2△ABC＋S△ACD＋S△ADB= S

2△BCD

。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt△ABC中，过A作AH⊥BC于H，则由AB2=BH·BC，AC2

=CH·BC

相加即得AB2

＋AC2

=BC2

；在三侧面两两垂直的三棱锥A—BCD中，过A作AH⊥平面BCD于H，类似地由S

△ABC

=S△HBC·S△BCD，S

222△ACD

=S△HCD·S△BCD，S△ADB=S△HDB·S△BCD相加即得S△ABC＋S222

△ACD＋S△ADB= S△BCD。例

4、（2006上海）已知函数

yx

a

x

有如下性质：如果常数a>o，那么该函数在(0,a]上是减函数，在[a,)上是增函数。

（1）

如果函数b

yx2(x0)的值域为[6,)，求b的值；

x

（2）

研究函数yx2c（常数c

0)在定义域内的单调性，并说明理由；

x

（3）

对函数yxa和yx2c（常数c

0)作出推广，使它们都是你所推广

xx的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。

解：（1）函数

yx

2b

(x0)在(0,2b]上是减函数，在[2b,)上是增函数，所以该函

x

数在x2b

处取得最小值

22b.令22b6，得blog29.（2）设t

x20，显然函数yt

c

t

在(0,c]上是减函数，在[c,)上是增函数，令x2c得cxc，令x2c得x或xc.又因为

tx2在(,0]上是减函数，在[0,)上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数

yx2

c

(,]上是减函数，在[c,0)上是增函数，在(0,x2

在]上是减函数，[c,)

上是增函数。

（3）推广结论：当n是正奇数时，函数yxna（常数a

0)是奇函数，故在(,2a]上是

x

n

增函数，在[2a,0)是减函数，在(0,2]上是减函数，在[a,)上是增函数。

而当n为正偶数时，函数

yxn

axn

（常数a

0)是偶函数，在(,2a]上是减函数，在[a,0)是增函数，在(0,a]上是减函数，在[a,)上是增函数。

点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数yxna的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。

x

n

第四篇：语文在高语文在高考中的作用是举足轻重的

.......语文在高考中的作用是举足轻重的，在生活、工作中的作用更为重要。但是，教学中，我发现有些学生，读书的时间越久，语文学习的热情越低，尤其是到了高三，更是轻视语文学习，表现出种种消极心理。现在我结合多年的语文教学实践，对学生学习语文的消极心理及成因作一些分析，并试图找到解决问题的方法。

一、表现

1、漠视语文

漠视语文的学生表现为对语文的学习抱无所谓态度，常常是上课想听就听，不想听就不听；课后作业有时间就做，没时间就不做甚或想做就做，不想做就不做。特别是语文基本功较好的学生，认为语文过去学得不错，可以先放一放，临上阵前再搞突击，于是，语文就被他们打入了“冷宫”。他们认为语文可学可不学，因为学得再认真，在高考中也考不到数理化那样的高分，不认真学，分数也低不到哪儿去。

2、应付老师，平衡自己

这些学生迫于高考和老师的压力，对语文的态度比冷漠型要积极些，但也只是应付，没有明确的学习目标和学习计划，只是满足于上课听讲，课后完成老师布置的书面作业，满足于老师问起时，有“我已认真学过了”的回答；扪心自问时，也可以“我已努力过了”聊以自慰。他们从不对学习中出现的问题作积极的思考，从不对学过的知识进行系统的归纳和总结，更谈不上读一些课外书籍，学习始终处于被动状态。

3、担忧焦虑却不知所措

这类学生对学习语文的重要性有充分的认识，但由于基本功差和学习方法不当等原因，尽管在语文学习上付出了一定的努力，但考试成绩不见提高甚至出现倒退，于是，他们便对语文学习失去了信心，怕上语文课，怕碰语文书，对能否学好语文存在忧虑。随着考试的临近，心情极度紧张；考试时不能集中注意力，知觉范围变窄，思维刻板，情绪慌乱，时刻担心失败，并想象失败后的情境，无法发挥正常水平。这样几个轮回之后，他们有种一筹莫展的感觉，不知道该怎么办才好。

4、投机取巧

有些学生不是不能学好语文，也不是不知道语文重要，而是认为高考语文不考课本，试题全部来自课外，抱着投机取巧的心理，大搞题海战术，今天一套资料，明天一套试题，见题就做，企图能够“碰”上高考试题，对老师提出的紧扣课本、多读文章、培养语感的要求充耳不闻。还有一些学生，题目也不做。他们抱着“我聪明”、“我运气”的心理，等到考场“超常发挥”。这是一批最典型的投机取巧者。

二、成因

1、认识的偏差

有的学生不能正确认识语文学科的特点。语文学科的教学目标是培养学生的听、说、读、写能力。而这些能力的提高需要我们一个一个词语的积累、一篇一篇文章的阅读、一次一次说话的练习、一个一个片断的写作，就像砌房子一样，一块石头、一个砖头、一抹水泥、一张瓦片、一颗钉子、一根木条，你就得一点一滴的垒和砌，嫌麻烦就不行。而有些学生对语

文学科的这一特点缺乏充分的认识，认为上课听听、课后做做练习就可以提高，从不注意观察生活，从不读课外读物，从不多写一篇文章。抱着这样的认识学习语文，其效果是可想而知的。《语文学习》杂志有一句醒目的标题语：“语文学习的外延与生活的外延相等。”这句话含义是丰富的，但它至少说明一点：生活中处处有“语文”，把语文学习仅局限于课内是不行的。有的学生不能认识语文成绩提高的渐进性。较之其它学科，高考语文更侧重于能力的考查，而能力的高下是综合素质的表现，不是一朝一夕能够奏效的，这就是所说的“渐进性”。语文学习往往会出现花了一些时间而看不出成效的现象，但是只要能坚持不懈，付出定有回报。有些学生的功利心太强，一旦努力没有效果，马上就打退堂鼓，破罐子破摔，自暴自弃，殊不知一旦抛开语文不学，或不能坚持不懈地学习，很快就会看出退步来，所谓“逆水行舟，不进则退”就是这个道理。还有的学生不能认识课内和课外的关系。近几年来，为有利于对考生能力的测试和人才的选拔，高考命题材料几乎全部取自课外，有些教师和学生便产生了一种错觉，课本对高考已经没有作用，于是，本来就有投机心理的学生对复习资料倍加青睐，却把语文课本束之高阁。殊不知，“教材是个例子”（叶圣陶先生语），高考试题与教材的关系是“流”与“源”的关系，正所谓“题目在课外，答案在课内”。

2、学生自我调适能力不强。学生偏科，因素很多。进入高中，尤其是高三，还偏科，重理轻文，则主要是因为理科的题目透明度高，答案标准，成就感强，而文科的题目透明度低，答案模糊，就是花了时间做了，也不知对否。特别是写作类题目，有时是绞尽脑汁、搜肠刮肚写出来的，自认为不错，常常因偏题等原因被老师判为不及格。与其这样吃力不讨好，还不如去解理科题目，“解题目多带劲，解出一道难题多够刺激”。就是喜欢文科的同学也宁可花时间在政治、历史上，因为这些学科投入少，见效快，在这种心态下，一些本来对语文感兴趣、语文学得较好的学生对语文学习也失去了热情。再加上高三复习阶段，各科老师都感到课时紧，任务重，往往通过发资料、做作业的方式挤学生的课余时间，真是“无边作业萧萧下，不尽资料滚滚来”，学生的课外时间都忙于完成这些需要上交的书面作业，不知不觉就把“语文学习要多读书”这些无需上交的“软作业”抛到九霄云外了。

三、调控措施

1、变语文教学目标为学生的主体需要。心理学研究表明，人的需要能生成目的，目的能推动行动，行动能优化心态。高中学生学习语文之所以出现种种消极心理，很大程度上是部分同学认为凭着十多年积累的老底够了，“我不需要学了”，如果能让他们自己发现知识上的“空洞”，产生“我想学，我要学”的心理，他们就能付诸行动。笔者曾在学生高二时搞过一个试验，让学生分析、提炼、积累课本中的作文素材。每个班分成6个组。一个小组负责一册课本和读本的内容。每个小组指定一个组长。组长负责把本书里的重要课文分配到人。然后收集整理的资料，并加工处理，如修改、装订等。准备工作做好后，班上组织交流。最后教师收齐，装订成册，作为一个学生课题来处置。这样，原来不够重视课本的人，懂得了课本的价值；原来感到作文无料可写的人，也大有收获。因而，他们再也不小看课本，高三时候，还有一些学生在自觉梳理所有课本里的知识材料。他们再也不认为课本无用了。因此，教者要善于把教学目标转化为学生的需求，因为学生是学习的主体，离开了主体的积极性和主动性，效果当然不会很理想。

2、在课堂教学中创设诱人的情境。孔子曰：“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。”爱因斯坦也说：“兴趣是最好的老师。”可见，爱好和兴趣在学习活动中是非常重要的，往往可收到事半功倍的效果。因此，教者要善于激发学生的学习兴趣。教学实践中，虽然我不善于创设诱人的情境，但我感到应该朝这方面努力。因为这样做，可以有效地激发学习兴趣，激活课堂气氛。如复习古典诗歌的艺术创作手法时，《诗经》里“赋”与“兴”手法的运用往往成为学生理解的难点。朱熹关于“赋”“比”“兴”的定义虽然准确简洁，但老师如果照本宣科，学生会感到既难以理解，又枯燥无味。怎样才能化深奥为浅显，化抽象为形象，化枯燥

为生动？我在讲“赋”和“兴”时引入了同学们喜欢和熟悉的流行歌曲。讲“赋”时，在解释了“赋”的含义实际上就是直接进行叙述或描写后，我引了《小芳》的歌词：“村里有个姑娘叫小芳，长得美丽又善良，一双美丽的大眼睛，辫子粗又长……”指明这种从多方面进行描写的方法实际上就是古代所说的“赋”。讲“兴”时，我引了《纤夫的爱》的歌词：“天不刮风天不下雨天上有太阳，妹不开口妹不说话妹心怎么想”，讲清了“先言它物以引起所咏之辞”的含义。这种以俗解雅的方法，在教学中显得轻松风趣，极大地调动了学生复习语文的兴趣。卢梭说：“教育的艺术是使学生喜欢你教的东西。”我想，语文老师在课堂教学中真的能化“压力”为“魅力”，让“学生喜欢你教的东西”，学生学习语文的消极心理就可逐渐消除，而走向积极。

3、分解大目标，让学生感受成功的喜悦。俗话说，“信心是成功之舟”。自信心是人们完成任何一项工作的重要心理因素。一件很容易完成的工作，往往只是因为缺乏足够的自信心而导致失败，这在生活中司空见惯。自信心对于高三学生更为重要。高三学生考试频繁，情绪波动大，一旦哪门学科有两次考试“滑坡”，马上就自暴自弃，这时，帮助他们树立信心、改善学生作为学习者的自我概念是非常有必要的，不妨搞一些小的专题性的竞赛，如注音、改错别字、找反义成语、名句默写等，对高分获得者及时表扬和奖励，因为教师的“表扬和奖励”代表着一种“权威”的认可，它能够使学生的自尊心得到极大的满足，使学生的自信心得到极大的增强。学生学语文，最怕的有作文、现代文阅读和诗歌鉴赏。在开始进入诗歌鉴赏复习阶段，我采用了分解法教学：了解诗歌的常识——鉴赏诗歌的形象——灌输诗歌的表达方式和表现手法，训练答题步骤——品味诗歌语言——最后，每人上交一篇关于谈诗歌鉴赏技巧的小论文。经过几周的训练，学生觉得“诗歌鉴赏也就这么回事情嘛，没有什么好怕的”。但是，有一个普遍现象值得重视——他们的阅读量有限，他们的鉴赏水平太低，必须强调他们多做练习。否则，理论并不能很好地指导他们的实践——准确鉴赏诗歌，这才是真正的难点。但无论怎样，我通过做这样的分解工作，使大部分学生排除了畏惧心理，这一点，仍然是有效的。心理学研究也表明，“奖励可以提高学习效果，至少不会降低其效果”，“奖励是人的一种本能性的追求”。这样学生在阶段学习中有了收获感、成就感，尝到了学习的甜头，他们学习语文的胃口就会增加。

课余时间，我常常和学生聊学习语文的感受，我发现，语文水平稍高的同学的观点非常相似。谈及高中语文学习的感受，一些学生往往会说只学会了做题。学科教学走到这步境地，我分析有两种原因：其一，对语文学科的重要性认识不够。语文是基础性的科目，是工具性学科，学好语文会促进其他学科的学习，但语文学科的重要性远非如此。其二，囿于语文高考的试卷模式。学习语文，就是在学习表达能力，其中包括口头表达能力和书面表达能力。长时间地在字、词、句中转悠，我们学生的表达能力会有怎样的提高呢？我们把语文学科分成几大板块，弄得七零八散，与真正的文学早已相去甚远。在这样的教学中，语文素养真是无从谈起。

无数事实证明，学生是在阅读课外读物的基础上增强了学习语文兴趣，进而不知不觉地提高了语文成绩的。看来，要提高学生的语文素养，首先要增加阅读时间。“读书破万卷，下笔如有神”。增加阅读时间，扩大阅读视野，这是很重要的一个思想。但因为时间的 关系加之外界诱惑很多学生很难养成自觉阅读的习惯。因此，我的尝试常常无疾而终。

学习的过程，在很大程度上其实就是学生自主学习的过程。我想今后还要坚持预习和复习的整理本的检查和检测，让学生在预习,复习以及课堂学习这几个环节上能环环相扣，进一步培养学生的学习责任感，真正充当起的主人。当然，培养学生学习的自主意识，仅仅是做到这一点，是远远不够的，我愿意在实践中继续探索。

反思我的语文课堂，很多情况下存在着喧宾夺主的现象，我总是自觉和不自觉地体现着主角身份，要了解学生的状况，总是满足于课堂上几个活跃分子的反应，依赖于课后跟学生的单独交流，其实，我早就发现，课堂上的那种交流是任课后怎么弥补都无法达到的效果。要能让每一个学生的心在我的语文课堂上都动起来，这该是多么令人振奋的事情啊！那么怎样才能让学生的心真正地动起来，而不致于使学生陷入“热闹是他们的，而我什么也没有”的窘境呢？

语文教学影响着其他学科的学习，也影响着一个学生整个人今后的发展。高中语文教学旨在使学生养成爱读书的习惯，使其具备最起码的表达能力，进而为学生整个人生的健康发展奠定最坚实的基础，为学生人文素养的养成开启一扇成功的大门。而我们面对的教育对象还是普通中学的学生，能够在语文教学过程中，让他们积极主动地了解并接受中华民族的文化传统，使他们的人生境界和文化素养得到提高，不也正是我们努力的最终目标吗？如果我们在高中阶段做到了这些，那么我们的教学就是成功的。我相信，通过以上反思，在以后的教学工作中，我会做得更好。

第五篇：日语高考中作文评分标准

日语高考中作文评分标准

高考日语是否能最后得到高分，一是取决于整体卷面的单项选择得分，往往丢分最多的是在听力和文法中。二是取决于写作的水平，很多同学在高中阶段未参加过系统的日语学习，特别是日语写作的学习，对于作文题无法把握，有些同学更是生搬硬套，如此下来，使作文既空洞又毛病多多，往往使改卷老师看的一头雾水没有耐心再往下改，最后写作连一半的分都拿不到（作文满分30分）。现在此公开高考作文的评分档次标准，在平时的在线作文练习中，通过多练习取得更高的得分。

档次标准：

第六档（26~30分）写出会话文的全部主要内容，语言准确流畅，句型及表达形式丰富。

第五档（20~25分）写出会话文的全部主要内容，语言表达恰当。第四档（15~19分）写出会话文的大部分主要内容，语言表达通顺。第三档（10~14分）写出会话文的一部分主要内容，语言表达基本通顺。第二档（5~9分）写出会话文的少部分主要内容，语言表达欠通顺。第一档（0~4分）仅写出会话文中很少的内容，语言表达不通顺或字数少于100字。

(作者：凌教师来源于：高考日语第一站)