关于上下极限的一些问题

第一篇：关于上下极限的一些问题

关于上下极限的一些问题

利用上下极限我们可以更加完整地刻画和分析序列的性态。正确理解这个概念的

精细之处并不容易。深入把握并熟练运用上下极限的技巧已超出了我们的教学要求。因此同

学们可根据自己的情况对这部分内容做出适当的安排。

通常有两种方式定义上下极限。课本里给出的定义（第一章总复习题题15，第24页）

称为上下极限的确界定义。此外，我们还可以定义序列的上下极限分别为序列的最大和最

小的聚点。我们称这种定义为聚点定义。（序列的任意一个收敛子列的极限称作为序列的一

个聚点，也称序列的极限点。）我们在课堂里已经证明了这两种定义的等价性。

上下极限的聚点定义似乎更容易直观理解和把握。而确界定义则更具有实际操作意义。

以下我们列出一些关于上下极限的性质。它们的证明有些比较容易，如(i)的证明。根据

上下极限的聚点定义，结论是显而易见的。有些不太容易，但也不太难，努力一下可以证出

来。如(ii)的证明。所有证明在这里均从略。在吉米多维奇习题解答的书中，可以找到相

关的证明。

设序列{xn}，{yn}均有界，则下列结论成立。(i)若xnyn，nn0，则limxnlimyn，limxnlimyn。（保序性）

(ii)

limxnlimynlim(xnyn)lim(xnyn)limxnlimyn。(iii)lim(xn)limxn，lim(xn)limxn。

(iv)

若xn,yn0，则limxnlimynlim(xnyn)lim(xnyn)(limxn)(limyn)(v)

若极限limxn存在，则

nlim(xnyn)limxnlimyn，lim(xnyn)limxnlimyn

(vi)

若xn0，则lim1111，lim xnlimxnxnlimxnn(vii)

若xna0，且极限limxn存在，则 lim(xnyn)(limxn)(limyn)，lim(xnyn)(limxn)(limyn)。

以下四道题均涉及到序列极限的存在性。我们将利用上下极限的技术来证明极限的存

在性，以显示上下极限技术很给力。

题1.设数列{xn}满足0xnmxnxm，n,m1。证明极限limnxn存在。（这道题n与第一章总复习题题14第24页类似。）

注: 如果哪位同学能够证明所述极限的存在性，但不使用上下极限技术，请一定和老师取得

联系。这说明你真的很厉害。

证明：根据关系式 0xnmxnxm，我们容易得到

0xnnx1。这表明0xnxx1，n1，即序列n有界。因此其上下极限满足 nn0limxnxlimnx1。nn任意固定正整数m。则每个正整数n均可表为nkmr，其中0rm。仍根据0xnmxnxm，我们得 0xnkxmxr。因此限（关于指标n取）得

xnkxmxr。现在我们取上极nnnlimxnkxxlimmlimr。注意正整数m固定，数r虽然随着n在变化，但0rm。nnnkxmxk(nr)/mxmxmlimxmlim，并且limr0。nnnmn于是 lim这就得到对于任意固定的正整数m，我们得到

limxnxm。对这个不等式左边关于m取下极限得 nmxnxxxxlimm。这表明limnlimn。因此极限limn存在。证毕。

nnnmnn1，n1，a11确定。讨论数列{an}的收anlim题2：设数列{an}由递推关系式an11敛性。（这是课本的习题1.4题14，第19页）。

解：不难确定1an2，n1。利用性质(vi), 对关系式an111两边分别取上极限an和下极限，我们可以得到 liman111，liman1。记:liman，limanliman。由此得到1和1。从而有:liman，则有11，11。此即序列{an}的上下极限相等。因此它的极限存在。进一步可确定其极限值为二次方程21的正根0(15)/2。解答完毕。

注：当然可以用其他方法证明序列{an}极限的存在性。不难证明a2n1有上界0，a2n有下界0。因此它们均有极限。不难确定它们的极限值相等。细节略。

题3：利用上下极限技术，证明Stolz定理（/型）：考虑极限liman。假设bn严

nbn格，且极限limanan1a存在，记作l（这里允许l和l），则极限limnl。

nbbnbnn1nanan1l知，nbbnn1证明：以下只证明l为有限的情形。其它情形的证明类似。根据假设lim对于0，N0，使得

l于是 anan1l，nN。

bnbn1aN1aNl，bN1bNaN2aN1l，bN2bN1anan1l，nN。

bnbn1ll

l根据分数不等式（见第一次习题课讨论题）可知，lanaNl，nN。

bnbN将上式写作

anaNbbnlnl，nN。（*）

bN1bn由假设bn知，limaNb0，limN0。于不等式（*）分别取上极限和下极限nbnbnn得 llimanal，llimnl。由于上下极限均为确定的常数，且正数bnbnanallimn。这就证明了定理的结论。证毕。bnbn0可以任意小，因此必有lim题4：设两个序列{an}，{bn}由关系式bnan2an1 相联系。证明，若序列{bn}收敛，则序列{an}也收敛。

证明：我们将证明序列{an}的上下极限相等。为此，我们先证明序列{an}有界。由假设序列{bn}收敛知，序列{bn}有界。将关系式 bnan2an1写作an1(anbn)/2。这样不难由归纳法证明序列{an}有界。

记A:liman，A:liman，B:limbn。将关系式bnan2an1 写作

2an1bnan。（**）

对等式（**）分别取上下极限，并利用上下极限的性质(iii)和(v)，就得到

2ABA，2ABA。由此立刻得到AA。即序列{an}的上下极限相等。从而序列{an}收敛。证毕。

第二篇：求极限注意的问题

求极限时应注意的问题：

几个无理函数的极限：

几个“”型的极限：

几个含有三角函数的极限：

几个幂指函数的极限：

等价无穷小在极限中的应用：

极限存在准则在求极限中的应用：

极限中的变量替换：

某些极限在进行了变量替换之后较容易求出。

分段函数的极限

分段函数的连续性

分段函数的导数

分段函数的积分

1.根的存在性证明

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

2.确定根的个数

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

1.用单调性与最值证明不等式

2.用拉格朗日中值定理证明不等式

3.用柯西中值定理证明不等式

4.用泰勒公式证明不等式

第三篇：2018考研数学：关于“极限”问题的整理_毙考题

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2018考研数学：关于“极限”问题的整理

下面就高等数学重要知识点-极限在考研中的命题规律，题型，例题等方面给大家进行总结，希望能给你带来帮助。

极限的考查主要包含这几个角度：1.给定函数，求其极限；2.给定数列求极限；3.考查极限的应用；4.作为条件，解读信息。

1.函数极限：函数极限的求解，主要在于简化，拿到函数极限的问题，根据解题步骤：1)定型--判定未定式的类型，恒等变形为基本型来处理；2)简化--利用四则运算可以把存在的极限拆开，把非零的因式提取出来，整体因式的无穷小量进行等价替换；3)定法--若未定式是零比零形式，则考虑洛比达或者泰勒公式（出现了指数、三角函数、对数等优先利用泰勒相对简单）处理，若未定式是无穷比无穷，则考虑洛比达或者消去无穷大因式来解题。

2.数列极限：项无穷小的和，考虑定积分的定义；证明数列极限的存在性，优先考虑单调有界准则；求解未定式的数列极限，考虑连续化来求解；如果利用这些常规处理方法解决不了的问题，则利用夹逼准则进行计算。

3.会求函数极限，那么有关的应用：无穷小的比较、连续的问题、求间断点、渐近线、求某一点处的导数等问题，就迎刃而解，套相应的公式，计算极限即可。

4.如果题干当中给了极限作为条件，一般要从表达式中挖掘信息，下面就常考的几个形式给大家逐一讲解：

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第四篇：极限岁月

极限岁月

我是一个平凡的人，我的故事也是平凡的故事。

很小的时候，我不知道什么叫优秀和平庸。

但我，却打心里认为我跟别人不同。我不用努力学习，每次总是第一名。

连我的嗅觉，我很远就能闻到妈妈为我炒的辣椒炒肉。

我甚至以为，我是龙的传人，我有一次皮肤

病，有些地方脱了皮。

但我以为那是龙在换鳞。

我盲目的认为自己是一个优秀的人

换来的是自己的放纵和不羁。

我足足用了几年来弄明白我和别人都是一样的只不过是智商稍高一点而已

当我意识到这一点后，我开始努力做到和别人不同

抽烟，喝酒，打群架，在学校做老大

经历过两次教训之后，我的目标没有变

我依然要做到和别人不同，但方向变了。

我总是渴望更高的目标，不管会不会“孤独的飞鹰总是愈来愈高”

我以为人生就是要实现自己的精彩。不管是高的好的还是低的坏的目标

所以，当我有了一次重大的决定自己的权利时，我选了军校......

二

我踏进学校的第一天我就想退学

但是懒惯了的我也懒的去退学

于是我就不得不去习惯这儿的一切

我是太懒了，懒得去挣拖束缚

懒得去摆拖每天的早操，军姿和正步

懒得去卸下学员干部的重任

好多事懒得去想，只有去做

好多故事懒得以后回忆，只好现在写下来

三

“为什么要这样啊？”征已经在哭嚎了。

他们在一班的宿舍里，阿伟，凌云，小源，阿好都在，在桌上凌乱的摆着几个空饭盒，里面装着不知什么样的残羹剩汁，饭盒旁是几个空空的“红星二锅头”的瓶子和几袋花生。此外，每个人的手上还拿着一瓶。

“大家别这样，如果要开我的话，让我开开心心地走，不要为我留泪”凌云抬起了头，自己的眼泪却已经挂在眼角。

“大家不要再喝了，我们还有很多事要做的。”阿伟在安慰刘征。征把头埋进自己的怀里，好象也要把自己的悲伤埋进心里一样。阿伟伸出手去，抚摩着征的头，却惊愕地发现这个铁汉子的泪水已经留出来了。

小源嘴里也骂着什么，但眼水一样不争气的留了下来。

阿伟也不知道是在跟谁说了，“凌云不会走的，凌云不会走的，大家怎么了，不要留这种不值钱的眼泪。”他走来走去的，说了一句，“我去买包烟。”

他走出房门，顺手把门拉上，却发现自己的眼泪已经不争气的留了下来，他擦了擦脸，强迫自己的面部肌肉做了一个笑的动作，义无返顾的朝着小卖部走去，他走的有点壮烈，因为他去买烟，口袋里却一分钱也没有。

四

当全队要重新整编的消息传来的时候，所有的人的木了。

有谁愿意跟以前拳脚相见的人同住一间房子，有谁愿意离开自己朝夕相处的弟兄。可是，有两个人还是邪邪的笑。

一个是阿伟，他对他的好兄弟凌云边说边笑边动手，“以后见了你，见一次打你一次，现在是各为其主了，不要怪我心狠手辣！”

另一个人是英侃，他居然在中队长面前口出狂言，“妈个*，又跟于雷一个班，真讨厌”。

所有的人都颤抖了，他欺负人家还不够，他们班的暗号就是“于雷吃屎！”可是中队长只是笑了笑，因为英侃实在是太可爱了。

然后大家就聚在一块谈论英侃的壮举：他82天不洗澡的队记录，他用来洗脚的牙膏的品牌，他怎样一个下午花掉一千元，他能压垮床的体重。

大家都乐着，好象都忘了整编一样，没有人去提，没有人愿意去提！

五

英侃喝多了，他跟着刘征和志平一块儿在五班喝的，三人都喝的晕头了，刘征和志平躺在自己的床上就睡了，英侃也不行了，于是，他只有趴在阿坚的床上睡了，哎哟！阿坚的床没有枕头，好不舒服！天花板怎么在动啊，我没有喝多吧？

没有枕头好不爽啊，偷别人一个，拿谁的，刘哥不能惹，小源也不行，他发火了不借给我钱吃饭怎么办，小寒吧，他丫整天笑的跟他妈卖*似的。肯定不会发火。我偷，我拿，我抽……

啊，枕头拿过来了，小寒呢？

英侃看上去有些迷茫，刚才还在这的，怎么一眨眼就没了，不管了，我睡觉，先。

他回过头来，要上床睡觉，却好象忘了一点，兔子也有咬人的时候。小寒就站在他的身后。

英侃不知道，他只是看见七，八个小寒

第五篇：极限证明

极限证明

1.设f(x)在(,)上无穷次可微，且f(x)(xn)(n)，求证当kn1时，x，limf(k)(x)0． x

2.设f(x)0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2为周期的周期函数；当n为

偶数时f(x)是一线性函数与一以2为周期的周期函数之和． x

f(n)(x)0．{xn}3.设f(x)在(,)上无穷次可微；f(0)f(0)0xlim求证：n1，

n，0xnxn1，使f(n)(xn)0．

sin(f(x))1．求证limf(x)存在． 4.设f(x)在(a,)上连续，且xlimx

5.设a0,x12a,xn12xn,n1,2,证明权限limnxn存在并求极限值。

6.设xn0,n1,2,.证明：若limxn1x,则limxnx.nxnn

7.用肯定语气叙述：limxfx.8.a11,an11,求证：ai有极限存在。an

1tx9.设函数f定义在a,b上，如果对每点xa,b,极限limft存在且有限（当xa或b时，为单侧极限）。证明：函数f在a,b上有界。

10.设limnana,证明：lima12a2nana.n2n

211.叙述数列an发散的定义，并证明数列cosn发散。

12.证明：若

afxdx收敛且limxfx，则0.11an收敛。,n1,2,.求证：22an1an13.a0,b0.a1a,a2b,an22

n

14.证明公式k11k2nCn，其中C是与n无关的常数，limnn0.15.设fx在[a,)上可微且有界。证明存在一个数列xn[a,),使得limnxn且limnf'xn0.16.设fu具有连续的导函数，且limuf'uA0,Dx,y|x2y2R2,x,y0



R0.I

1证明：limufu;2求IRf'x2y2dxdy;3求limR2

R

D

R

17.设fx于[a,)可导，且f'xc0c为常数,证明：

1limxfx;2fx于[a,)必有最小值。

18.设limnana,limnbnb,其中b0,用N语言证明lim

ana.nbbn

Snx19.设函数列Snx的每一项Snx都在x0连续，U是以x0为中心的某个开区间，在Ux0内闭一致收敛于Sx,又limnSnx0,证明：limSx.xx0

20.叙述并证明limxfx存在且有限的充分必要条件柯西收敛原理

a

23.设

f(x)= 0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在a,上一致连续，

24.设a1>0，an1＝an＋，证明＝1 nan25.设fx在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，Mh与mh分别表示fx在ah,ah上的上、下确界，又设hn是一趋于0的递减数列，证明：

1）limnMhn与limnmhn都存在；

2)limn0MhlimnMhn,limn0mhlimnmhn;

3)fx在xa处连续的充要条件是llimnMhnimnmhn26设xn满足：|xn1xn||qn||xnxn1|,|qn|r1|,证明xn收敛。

27.设ana,用定义证明:limnana

28.设x10，xn1

31xn,(n1,2,)，证明limxn存在并求出来。

n3xn



29.用“语言”证明lim30.设f(x)

(x2)(x1)

0

x1x3

x2，数列xn由如下递推公式定义：x01，xn1f(xn)，(n0，x1

n

1，2，)，求证：limxn2。

31.设fn(x)cosxcos2xcosnx，求证：

（A）对任意自然数n，方程fn(x)1在[0,/3)内有且仅有一个正根；

（B）设xn[0,1/3)是fn(x)1的根，则limxn/3。

n

32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xna,yna(xn,yn(a,b))使

Limf(xn)A(n)及Limf(yn)B(n)，则对A，B之间的任意数，可找到数列xna，使得Limf(zn)

33.设函数f在[a,b]上连续，且

f0,记fvnf(avn),n

exp{

ba，试证明：n

1b

lnf(x)dx}(n)并利用上述等式证明下aba

式

2



2

ln(12rcosxr2)dx2lnr(r1)

f(b)f(a)

K

ba

34.设f‘(0)K,试证明lim

a0b0

35.设f(x)连续，(x)0f(xt)dt，且lim

x0

论'(x)在x0处的连续性。

f(x)，求'(x)，并讨A（常数）

x

36． 给出Riemann积分af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

i1

lim()s。nni0n

x322,xy02

37.定义函数fxxy2.证明fx在0,0处连续但不可微。

0,xy0

n1

b

38.设f是0,上有界连续函数，并设r1,r2,是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,,使得：limnfxnrnfxn0.39.设函数fx在x0连续，且limx0

f2xfxA,求证：f'0存在且等于A.x

1n

40.无穷数列an,bn满足limnana,limnbnb,证明:limaibn1-iab.nni1

41.设f是0,上具有二阶连续导数的正函数，且f'x0,f''有界，则limtf't0

42.用分析定义证明limt1

x31

 x292

43.证明下列各题

1设an0,1，n1,2,,试证明级数2nann1ann收敛；

n1



2设an为单调递减的正项数列，级数n2000an收敛，试证明limn2001an0;

n

n1



3设fx在x0附近有定义，试证明权限limx0fx存在的充要条件是：对任何趋于0的数列xn,yn都有limnfxnfyn0.144.设an为单调递减数列的正项数列，级数anln1an0收敛，试证明limnnn1

a1。45.设an0，n=1,2，ana0,(n),证 limn

n



46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f（x）＝〔1，＋〕

limf（x）存在且小于1＋。

x＋4，证明x1）2

x2＋f（x）



47.已知数列{an}收敛于a，且

aaaSn，用定义证明{Sn}也收敛于a

n

48.若fx在0,上可微，lim

n

f(x)

0，求证0,内存在一个单

xx

调数列{n}，使得limn且limf(n)0

n

xesinxcosx,x0

49.设fx2,确定常数a,b,c,使得f''x在,处处存在。

axbxc,x0