第一篇：圆切线长定理及弦切角练习题
切线长定理及弦切角练习题
（一）填空
1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．
2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．
3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D
4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．
5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．
6．已知：如图 7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．
7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．
（二）选择
8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于
[ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．
9．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为
[ ]
A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．
10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是
[ ]
A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．
11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且 PCB过点 O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是
[ ]
A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．
（三）计算
12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．
13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．
14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．
15．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．
16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点
17．已知：如图 7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O点与⊙O交于B，∠C=33°．求∠P的度数．
18．已知：如图7－158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O
19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT= 100°，点M在圆周上但与A，B不重合，求∠AMB的度数．
20．已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的长．
21．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．
22．已知：如图7－161所示，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，从PA中点M引⊙O割线MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度数．
23．已知：如图7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B两点，AC交⊙O于Q，PQ为⊙O直径交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC与∠PEC的度数．
24．已知：如图 7－163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B
25．已知：如图7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C
26．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．
27．已知；如图7－166，PA为△ABC外接圆的切线，A 为切点，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的长．
28．已知：如图 7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE的度数．
29．已知：如图 7－168，AB为⊙O直径，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC于F，AF=BF．求∠A的度数．
30．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．
31．已知：如图7－170，ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度数．
32．已知：如图7－171，PQ为⊙O直径，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延长线于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度数．
33．已知：如图 7－172，△ABC内接于⊙O，EA切⊙O于A，过B作BD∥AE交AC延长线于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的长．
34．已知：如图7－173，△ABC内接于圆，FB切圆于B，CF⊥BF于F交圆于 E，∠1=∠2．求∠1的度数．
35．已知：如图7－174，PC为⊙O直径，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．
36．已知：如图7－175，AD为⊙O直径，CBE，CD分别切⊙
37．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：
（1）△ABE为等腰三角形；
（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．
38．已知：如图7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC于D．
（1）求证：E为△ABC内心；
（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB与OD的长．
（四）证明
39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C为圆心作圆切AB边于F点，AD，BC分别与⊙C切于D，E两点．求证：AD∥BE．
40．已知：PA，PB与⊙O分别切于A，B两点，延长OB到C，41．已知：⊙O与∠A的两边分别相切于D，E．在线段AD，AE（或在它们的延长线）上各取一点B，C，使DB=EC．求证：OA⊥BC．
⊥EC于H，AO交BC于D．求证：
BC·AH=AD·CE．
*43．已知：如图7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D．求：AB∥DE．
44．已知：如图7－179，OA是⊙O半径，B是OA延长线上一点，BC切⊙O于C，CD⊥OA于D．求证：CA平分∠BCD．
45．已知：如图7－180，BC是⊙O直径，EF切⊙O于A点，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．
46．已知：如图7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB为弦的圆 O与 BC切干点 B，与 AC交于 D点．求证：AD=DB=BC．
47．已知：如图7－182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C，过G作△ADG的外接圆的切线二等分线段AC于E．求证：AG=DG·CG．
48．已知：如图7－183，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，PCD为割线．求证：AC·BD=BC·AD．
BC=BA，连结AC交圆于点E．求证：四边形ABDE是平行四边形．
50．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．
51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC于F．求证：AB=BF．
52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB于M．求证：CM=MD．
（五）作图
53．求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α（见图7－188）的弧（不写作法，写出已知、求作，答出所求）．
54．求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形．
55．求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形（不写作法，答出所求）．
切线长定理及弦切角练习题(答案)
（一）填空
1．36° 2．28° 3．50° 4．32° 5．22° 6．等腰 7．54°
（二）选择
8．C 9．D 10．B 11．C
（三）计算 12．30°，30°．
13．45°．提示：连接AB交PD于E．只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理．
14．30°．提示：因为PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．连接OQ，则知∠POQ与∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它们的和为90°（因为∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°
16．67.5°．提示：解法一 连接AC，则∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．从而∠B=∠PAC=67.5°．
解法二 连接OA，OC，则∠AOC=180°－∠P=135°，所以
17．24°．提示：连接OA，则∠POA=66°．
18．60°．提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBC=20°．设∠ABD=∠BDC（因为AB//CD）=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°．
19．100°或80°．提示： M可在弦AB对的两弧的每一个上．
从而
22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是显然△ABM∽△NAM，NMP，所以△PMB∽△NMP，从而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有 ∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM =180°－∠PNA=42°．
23．28°，39°．提示：连接PC．
24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度数． 25．100°．
以DB=9．因为2DP=2×9，由此得DP=9．又DP＞0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6（cm）． 2
228．45°．提示：连接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．
29．60°．提示：解法一 连接AC，则AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．
31．37°．提示：连接AC，则∠M=∠ACN=∠CAD． 32．17°．提示：连接PC，则∠QPC+∠PBC=90°． 45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP =（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC =[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC． 所以
2∠PBC－∠BPQ=45°．
又
∠PBC+∠BPQ=39°，从而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．
1）
2）
（（34．30°．提示：连接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而这三个角的和为90°，所以每个角为30°．
36．60°．提示：连接OB，则OB⊥CE，从而∠C=∠BOE= 60°．
37．（1）提示：连接OC，则∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE为等腰三角形．
38．（1）提示：连接BE．只需证明∠ABE=∠DBE．
（四）证明
39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．设法证出∠A+∠B=180°． 40．提示：连接OP，设法证出∠BPC=∠BPO．
42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它们都与∠DCH互补）．又A，D，C，H共圆，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，从而△BCE∽△DAH．这就得所要证明的比例式．
43．提示：连接AC．先证明A，E，C，D四点共圆．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．
44．提示：证法一 延长AO交⊙O于点E，连接EC，则∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．
证法二 连接OA，则∠BCA与∠OCA互余；又∠ACD与∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．
46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，从而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．
47．提示：过A作CD的平行线交BC于H，则AH=CG．然后证
AG=DG·AH=DG·CG．
49．提示：因为BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB的延长线），所以它们的补角∠DEA=∠ABD．从而四边形ABDE是平行四边形．
50．提示：连接DE，则∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．
51．提示：连接BC，则∠ACB=90°=∠FCB．因为CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因为EC切半圆于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．
52．提示：连接AC，BC并延长BC交AP延长线于点N．首先
所以CM=MD．
第二篇：郭氏数学 圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
郭氏数学内部资料
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知
结论 证法 相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，理
于P.△APC∽△DPB.相交弦定⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC2＝PA·PB.用相交弦定理.理的推论
于P.证：郭氏数学内部资料
切割线定理
⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB 割线PB交⊙O于A
连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O中，割线PB交⊙O于P'C·P'D＝r2－延长P'O交⊙O于M，延A，CD为弦 OP'2 长OP'交⊙O于N，用相交
PA·PB＝OP2－r2 弦定理证；过P作切线用
r为⊙O的半径
切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。|（R为圆半径），因为
叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为
图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
∴，郭氏数学内部资料
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
图2 解：由相交弦定理，得
AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，∴，即
∴CE＝3cm或CE＝4cm。
故应填3或4。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 解：∵∠P＝∠P
∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA，∴，________。
∴。
又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
∴，即，故应填PC。
点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。郭氏数学内部资料
图3 解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割线定理，得 ∴ ∴，∴
∴PB＝4×6＝24（cm）
∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为d cm，由勾股定理，得
故应填。
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：
；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
图4 点悟：要证 证明：（1）连结BE，即要证△CED∽△CBE。
（2）。
又∵，∴厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。郭氏数学内部资料
例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
图5 求证：
证明：连结BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90°
∴△ADE∽△BAD
∴
∴
∵CD∥AB
∴AD＝BC，∴
例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB
图6 点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA
又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA
∴
同理可证△PCD∽△PBC
∴
∵PA、PC分别切⊙O于A、C ∴PA＝PC ∴
郭氏数学内部资料
∴AD·BC＝DC·AB
例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。
图7 求证：BC＝2OE。
点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。
证明：连结OD。
∵AC⊥AB，AB为直径
∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B ∵∠ODE＝90°
∴ ∴∠C＝∠EDC
∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE是△ABC的中位线
∴BC＝2OE
一、选择题
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A.B.C.5 D.8 2.下列图形一定有内切圆的是（）
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）
图1 A.50° B.40° C.60° D.55° 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）A.8cm B.10cm C.12cm D.16cm 5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A.B.C.D.6.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD 郭氏数学内部资料
＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）
A.20 B.10 C.5 D.二、填空题
7.AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。
三、解答题
11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
图2
12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
图3
13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。
图4
第三篇：切线长定理教案 （本站推荐）
切线长定理教案
教学目标：
1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。教学过程：
一、复习引入：
1．切线的判定定理和性质定理．
2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？
二、合作探究
1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？
从上面的操作及圆的对称性可得：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．
证明：
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3、三角形的内切圆
思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做—— 例 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。
三、巩固练习
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____。（2）若△PCD周长=10，则PA=____。（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____
3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E、D、F，且∠ACB=90°，AC=
3、BC=4，求⊙O的半径。
4、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=
6、BC=8，O为BC上一点，以O为圆心，OC为半径作圆与AB切于D点，求⊙O的半径。
5、如图，⊙O与△ADE各边所在直线都相切，切点分别为M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半径
6、如图，AB是⊙O的直径，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C.求证：OE⊥OF
四、小结归纳
1．圆的切线长概念和定理
2．三角形的内切圆及内心的概念
五、作业设计
第四篇：切线长定理教案
《切线长定理》教案
学习目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
教学重点:
切线长定理
教学难点:
切线长定理的灵活运用
教学过程:
（一）1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察
利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C
要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简短的话语证明你的结论是正确的。
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（二）应用、归纳、反思
分析：（1）中可以看出∠AFB是⊙O的圆周角，因此只要求出其对应的弧所对的圆心角的度数就可以了，于是连接OA，OB，运用切线的性质，有OA⊥PA，OB⊥PB。由四边形的内角和解决问题。
（2）添加的切线要与今天我们学习的切线长定理的基本图形结合起来，找出基本图形，运用定理，就可以解决周长，同时知道OC，OD是相应的角平分线，那么∠COD的度数出来了。
学生组织解题过程，在草稿纸上完成。
反思：教师引导学生分析过程，激发学生的学习兴趣，培养学生善于观察图形，从中找出相应知识点，从而实现新旧知识衔接的能力．
提高练习：
如图，在⊿ABC中，∠C=900, AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，求⊙O的半径。
方法
（一）分析：从已知条件和图形中我们能很快地找出切线长定理的基本图形来。要求：同学们在图中标出相等关系的线段，注意构成等量关系的因素是什么。设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2
有CP=BC，从而∠BPC=450，OP=2r，由勾股定理知道：BP=62，所以OB=622r 由切线长定理知道：AF=AE=2+r，所以BF=10－(2+r)=8－r
在直角三角形OBF中有（622r）2=r2+（8－r）
2解得r=1 方法
（二）分析：从另外一个角度看问题：用三角形的面积可以重新构建数量关系，建立等式。
要求：注意本方法中的辅助线的添加。
设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，OA。
⊿ABP的面积=⊿AOP的面积+⊿ABO的面积
111有OEAPABOFAPBC 2221
1即有r(210)62，所以r=1 22反思：在本题的解法中，同学们可以看出，通过不同的分析思路和观察的角度可以明显地得到不同的解法，而且其繁简程度一目了然。然而由于本题综合性较强，学生在学习的过程中被动接受的可能性大，在今后的练习设计中要更加注重难度的梯度和适当的铺垫。
2．课堂训练：
如图：⊙O是以正方形ABCD一边BC为直径的圆，过A作AF与⊙O相切于点E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF
（三）小结
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习的具体内容；
（2）学习用的数学思想方法；
（3）应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）布置作业
教学反思：
在整节课中对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的工具性。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。
在提高题的选择上，我的本意是能在平时教学中让学生接触中考题型，提供一题多解的证明思路，激发学生的学习兴趣，但从学生的接受程度来看，显然是有点偏难了。通过本节课使我充分地认识到：教学不能只从教师的知识水平和以往的教学实践来施行，更应该注重学生的实际知识水平和能力状况。就构建主义的理论而言，学生只有对发生在最近发展区内的教学内容效果是最显著的，如果梯度过大就失去了“脚手架”的作用了。
第五篇：切线长定理教案
切线长定理教案
教学目标：
1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。教学过程：
一、复习引入：
1．切线的判定定理和性质定理．
2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？
二、合作探究
1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？
从上面的操作及圆的对称性可得：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．
证明：
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3、三角形的内切圆
思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——
（1）图中共有几对相等的线段
（2）若AF=
4、BD=
5、CE=9，则△ABC周长为____
例 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若S△ABC=1810,求⊙O的半径。
三、巩固练习
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____。（2）若△PCD周长=10，则PA=____。（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____
3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E、D、F，且∠ACB=90°，AC=
3、BC=4，求⊙O的半径。
4、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=
6、BC=8，O为BC上一点，以O为圆心，OC为半径作圆与AB切于D点，求⊙O的半径。
5、如图，⊙O与△ADE各边所在直线都相切，切点分别为M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半径
6、如图，AB是⊙O的直径，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C.求证：OE⊥OF
7、如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是切线，DC切⊙O于E，交AM于D，BN于C，设AD=x，BC=y．
（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？
（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值．
（3）求△COD的面积．
四、小结归纳
1．圆的切线长概念和定理
2．三角形的内切圆及内心的概念
五、作业设计
交•
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