弦切角定理证明方法

第一篇：弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

连接OA、OC、BC，则有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第二篇：弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,那么

.(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么

2连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第三篇：弦切角定理_含答案

邯郸市第四中学高二数学组（理）选修4-1 直线与圆的位置关系

学案2 圆的切线判定定理与性质定理

弦切角定理

考纲要求：会证明和应用以下定理：圆的切线判定定理与性质定理和弦切角定理

一：知识梳理

1.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.二：基本技能：

1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数

为_______.2.如图，AB是直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，若CD切⊙

O于C点，则∠CAB的度数为 DCB的度数为ECA的度数为

3.如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为 B、C、D是 上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.优弧BC

上任一点，∠4.如图，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切线，C为 AB

BAD =______.5.如图，PA，PB切⊙ O于 A，B两点，AC⊥PB，且与⊙ O相交于 D，若∠DBC=220，则∠APB==________.三：典例分析

类型一： 弦切角与圆周角定理的应用

解题准备:弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角.其主要功能在于协调与圆相关的各种角(如圆心角､圆周角等),是架设圆与三角形全等､三角形相似､与圆相关的各种直线(如弦､

割线､切线)位置关系的桥梁,因而弦切角也是确定圆的重要几何定理的关键环节(如证明切割线定理).:例1：(2010年高考课标全国卷)如图，已知

圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.变式训练1:(2010年高考江苏卷)

如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.类型二： 圆的切线的性质与判定

解题准备:若知圆的切线,一种自然的想法就是连结过切点的半径,从而得到垂直关系.证明某条直线是圆的切线的常用方法有:若已知直线与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可;若已知直线与圆没有明确的公共点,则需证明圆心到直线的距离等

于圆的半径.例2：如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.B

例3如图.AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.四：能力提升1．（海淀二模3）如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若D20，则DBE的大小为()A.20B.40C.60D.70

2.（西城二模11）如图，ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点

交圆于点D.若ABC60

，PD

1，BD8PAC________,PA________.3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC

交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为

A.105°B.115°C.120°D.125°

4.如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为

A.2B.3C.5.如图，AB是⊙ O的直径，AC，BC是⊙ O的弦，PC是⊙ O的切线，切点为 C，∠BAC=35，那么∠ACP等于

0000

A.35B.55C.65D.12

56.如图，在⊙ O中，AB是弦，AC是⊙ O的切线，A是切点，过 B作BD⊥AC于D，BD交⊙ O于 E点，若 AE平分∠BAD，则∠BAD=

00A.30B.4500

C.50D.60

7.如图，⊙O与⊙O′交于 A，B，⊙O的弦AC与⊙O′相切于点 A，⊙O′的弦AD与⊙O相切于A点，则下列结论中正确的是 A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.无法确定

8.如图，E是⊙O内接四边形 ABCD两条对角线的交点，CD延长线与过 A点的⊙ O的切线交

AB，则∠AFC的度于F点，若∠ABD=44，∠AED=100，AD

数为

00

A.78B.9200

C.56D.145

C

00

9.过圆内接△ABC的顶点 A引切线交 BC延长线于D，若∠B=35，∠ACB=80，则∠D=

0000

A.45B.50C.55D．60

10.圆内接四边形ABCD的顶点C引切线 MN，AB为圆直径，F

若∠BCM=38，则∠ABC=

A.38B.52C.68D.4211B．如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）

A.70°B.35°C.20°D.10°

基本技能：

1.100°2.60°3.50°4.108°5.44° 典例分析： 例

1.0000

变式训练

例2

证明:连接OD.∵BD=CD,OA=OB

∴OD是△ABC的中位线,∴

OD//AC.又∵ DE⊥AC

∴∠DEC=90º∴∠ODE=90º又∵D在圆周上, ∴DE是⊙O是切线.例3.证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.由此得∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴∠CAO=∠ACO.∴∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB 能力提升：

1.D2.60°，33.B4.C5.B6.D7.B8.C9.A10.B11.C

第四篇：正弦定理证明方法

正弦定理证明方法

方法1:用三角形外接圆

证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

方法2:用直角三角形

证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。

方法3：用向量

证明：记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0∴a/sinA=c/sinC(b与i垂直,i·b=0)

方法4：用三角形面积公式

证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=csinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE

即c·a·sinB=b·csinA∴a/sinA=b/sinB同理可得b/sinB=c/sinC

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证

正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径)

角A=角D

得到：2RsinA=BC

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

这样就得到正弦定理了

一种是用三角证asinB=bsinA

用面积证

用几何法，画三角形的外接圆

听说能用向量证，咋么证呢?

三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0

即j*AB+J*BC+J*CA=0

|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

所以asinB=bsinA

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证

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正弦定理

步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。

余弦定理

平面向量证法：

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

第五篇：怎样证明弦切角

怎样证明弦切角

设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

2接OBOC过O做OE⊥BC

所以∠A=1/

2又因为∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3温馨提示

设切点为A切线AB弦AC圆心为O过A作直径AD连OC

角CAB等于90度减角DAC

因为OA等于OC所以角AOC等于180度减去二倍的角DAC

即可证明角AOC等于二倍的角CAB

参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半

4线段AD与线段EF互相垂直平分。

证明:设AD交EF于点G.因为Ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pAC=∠B，又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，从而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD，∠B+∠BAD=∠pDA，所以

∠pAD=∠pDA，则△pAD为等腰三角形，因pM平分∠ApD，所以pM垂直平分AD，则EF垂直平分AD，从而AD垂直EF，则∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，从而EG=FG，从而AD也垂直平分EF。

5(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC