弦切角的逆定理的证明

第一篇：弦切角的逆定理的证明

弦切角逆定理证明

已知角CAE=角ABC，求证AE是圆O的切线

证明：连接AO并延长交圆O于D，连接CD，则角ADC=角ABC=角CAE

而AD是直径，因此角ACD=90度，所以角DAC=90度-角ADC=90度-角CAE

所以角DAE=角DAC+角CAE=90度

故AE为切线

第二篇：怎样证明弦切角

怎样证明弦切角

设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

2接OBOC过O做OE⊥BC

所以∠A=1/

2又因为∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3温馨提示

设切点为A切线AB弦AC圆心为O过A作直径AD连OC

角CAB等于90度减角DAC

因为OA等于OC所以角AOC等于180度减去二倍的角DAC

即可证明角AOC等于二倍的角CAB

参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半

4线段AD与线段EF互相垂直平分。

证明:设AD交EF于点G.因为Ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pAC=∠B，又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，从而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD，∠B+∠BAD=∠pDA，所以

∠pAD=∠pDA，则△pAD为等腰三角形，因pM平分∠ApD，所以pM垂直平分AD，则EF垂直平分AD，从而AD垂直EF，则∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，从而EG=FG，从而AD也垂直平分EF。

5(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

第三篇：弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

连接OA、OC、BC，则有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第四篇：勾股定理的逆定理的证明

用“勾股定理”证明“勾股定理的逆定理”——反证法

湛江市爱周中学伍彩梅

八年级数学学习的勾股定理，是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，内容是：“如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么abc”。

勾股定理的逆定理给出了一个用代数运算判定一个三角形是直角三角形的方法，内容是：“如果三角形的三边长a、b、c满足abc，那么这个三角形是直角三角形”。

这两大定理都来源于实践，并在实践中得到广泛的应用。

定理的证明，有助于加深对定理得理解，有助于实现从感性认识到理性认识的飞跃。教材中，勾股定理的证明采用了多种方法，学生容易理解。而

课本里用三角形全等证明了该定理。勾股定理的逆定理，只用“三角形全等”来证明，这种方法学生一时不易理解。实际上，我们也可以用“勾股定理”来证明“勾股定理的逆定理”——反证法。表述如下：

已知△ABC的三边长a、b、c满足abc，求证：△ABC是直角三角形。用反证法证明如下：

由abc，可知c边最大，即∠ACB最大。只要证明了∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。

分两种情况进行。

（一）假设△ABC不是直角三角形而是钝角三角形，则∠C＞90°。如图（1）222222222222

B

图（1）

过B作BD垂直于AC的延长线于D，垂足为D。如图（2）

图（2）

在图（2）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

a1(bb1)2c2（1）

a1b1a2（2）

22由（1）得a1b12bb1bc（3）22222

把（2）代入（3）得a2b22bb1c2（4）

对比已知条件abc

可得b10

把b10代入（2）得a1a2，则a1a

因此点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。

（二）假设△ABC不是直角三角形而是锐角三角形，则∠C＜90°。如图(3)2222

B

c a

A

b

图（3）C

过B作BD垂直于AC于D，垂足为D。如图（4）

B

c a

a1

Ab

b D C b2

图（4）

其中BD=a1，AD=b1，DC=b2，b1b2b

在图（4）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

22a1b1c2（5）

a1b2a2（6）

把（5）-（6）得

2222c2a2b1b2(b1b2)(b1b2)b(b2b2)b22bb2

整理得

c2a2b22bb2（7）

对比已知条件abc

得b20

所以b1b

则点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。

因此，勾股定理的逆定理得到证明。

2007-3-12 222

第五篇：弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,那么

.(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么

2连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.