判断函数单调性的常用方法

第一篇：判断函数单调性的常用方法

判断函数单调性的常用方法

一、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.【例1】 证明：当x0时，xln(1x)。

f(x)11x0 1x1x证明：令f(x)xln(1x)所以，当x0时，f(x)0，所以f(x)为严格递增的

f(x)f(0)0ln(10)0，所以xln(1x)。

二、性质法

除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；

⑵ f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；

⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；

三、同增异减法

是处理复合函数的单调性问题的常用方法.对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.设单调函数yf(x)为外层函数，yg(x)为内层函数(1)若yf(x)增，yg(x)增，则yf(g(x))增.江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

(2)若yf(x)增，yg(x)减，则yf(g(x))减.(3)若yf(x)减，yg(x)减，则yf(g(x))增.(4)若yf(x)减，yg(x)增，则yf(g(x))减.例1.求函数f(x)2x2x2的单调区间.教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法.解题过程：

ty2外层函数： 2内层函数：txx2

y1x[,]2内层函数的单调增区间： 1x[,]2 内层函数的单调减区间：

12x由于外层函数为增函数

1x[,]2所以，复合函数的增区间为： 1x[,]2 复合函数的减区间为：

四、求导法

导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点

求函数值域的常用方法 1．观察法

用于简单的解析式。

y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法

多用于二次(型)函数。

y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3.换元法

多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√(x-1)+2 令t=√(x-1), 则t≤0, x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].4.不等式法

用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1),(01/(e-1), y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5.最值法

如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6.反函数法 有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7.单调性法

若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为 [f(b), f(a)].8.数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域.例1 已知函数取值范围.解: f(x)4xax223x(xR)1,13在区间上是增函数,求实数a的江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函

''f(x)0f数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则(x)0”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.2f(x)x1ax,其中a0,求a的取值范围,使函数f(x)类型题1: 设函数在(0,)上是单调函数.2kxyxe在(0,1)上单调递增,求实数k的取值范围.类型题2: 函数

例2讨论下列函数单调性（1）f(x)kxb（2）

f(x)kx

江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

322f(x)xaxbxc其中a,b,c为实数）类型题1: 函数，当a3b0时f(x)是（）

A、增函数 B、减函数 C、常数 D、既不是增函数也不是减函数

kxf(x)xe(k0)．求函数f(x)的单调区间； 类型题2: 设函数

1.下列函数中,在区间

上为增函数的是().A．

C．

2．函数

A．

3．A．

4．当 是（）

B．

D． 的增区间是（）。

B．

C． 在

B． 时，函数

C．

D．

上是减函数，则a的取值范围是（）。D． 的值有正也有负，则实数a的取值范围江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

A．

填空题

1． 在 或减)．

2．函数 减函数,则

3．已知 为_______．

4． 函数 是_______．

5．若函数 B． C． D．

都是减函数,则 在 上是____函数(填增,当

．

时,是增函数,当 时是

是常数),且 ,则 的值

在 上是减函数,则 的取值范围

在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是__________．

6．已知 函数的单调性：

①

②（为常数）是___________；（为常数）是___________； 在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列

③

7．设 是____________；

④，是增函数，和，是__________． 是减函数，则 是_______函数． 是_______函数；

解答题

1．判断一次函数 2．证明函数 的单调性.在

是________函数；

单调性.上是增函数，并判断函数

在

上江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

3．判断函数

4．求函数

5．函数 的单调性.的单调递减区间.对于，有意义，且满足条件 是非减函数，（1）证明，；（2）若

成立，求 的取值范围．

6．函数

7．求证：，在，求函数

上不是单调函数．

在

上是减函的单调区间．

8．根据函数单调性的定义，证明函数 数． 9．设 是定义在

上的增函数，的x的取值范围.，且，求满足不等式

课后习题答案 江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

1．D 2．A 3．A 4．C

1．减 2．13 3．1 4． 减函数；②增函数；③增函数；④减函数 7．减；减；增 1．一次函数，即

时，一次函数

是减函数.；当 的定义域是R.设

.时，是增函数；当，即

5． 6．①，且，∴当

时，则

.综上，当

时，一次函数

2．设，则由已知，∴，有，即 在

.∴函数

在

上是增函数.，即

在

上都是增函数，∴

上是增函数.3．函数的定义域是

上是减函数，∴

4．由

得

„①.令 在

只需求

.∵函数 在 或

在 上是增函数，在

上是减函数（“同增异减”）..∴函数的定义域是，则

化为 的单调递减区间，即满足①.上是增函数，∴求 的单调递减区间，且满足 的单调递减区间是 的单调递减区间是

5．解：（1）在，又，„②.由①和②知，函数

中令

．，则有 江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

（2），利用 为非减函数，有，解之，得

6．解：设

①当 增减性，由

当

当

②当 增减性，由

当

当

综上所述，调减区间是

7．解：设 和 时，即 时，时，时，即 时，时，是增函数，这时 得

或 是增函数，是减函数，是减函数，这时 得

是减函数，是增函数，的单调增区间是，则

与 与

具有相同的为增函数； 为减函数；

具有相反的为增函数； 为减函数；

和，单

于是，当

故 在

时，①，则①式大于0；

上不是单调函数 江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

8．解：设

则

，且，那么，且在 与 中至少有一个不为0，不妨设

其它证法：设

则

，故，在，且

上为减函数，的符号

下面讨论

若

若

若

综上可知 函数.9．依题意，得，则，则，则

；

；

；，故

在

上是减

又，于是不等式

.∴x的取值范围是

化为.由 得 江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

第二篇：函数单调性

函数单调性概念教学的三个关键点 ──兼谈《函数单调性》的教学设计

北京教育学院宣武分院 彭 林

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。

关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么？

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

（1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。（2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！

因此，在教学中可以提出如下问题2： 如何从解析式的角度说明

在上为增函数？

这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种：

①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数． ,所以

在上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证： 在所以函数上是增函数。

对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明

就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在,有为增函数． ,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。

教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题：

判断题：

①②若函数③若函数满足f(2)

和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

从而加深学生对定义的理解

北京4中常规备课

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为

为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

①．

②若函数

③若函数 在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

在区间(1,3)上为增函

．

④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴

∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究：(1)证明：函数

在区间

上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．，且

有．

(2)研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据． 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．

第三篇：含参函数单调性

含参数函数单调性 ●基础知识总结和逻辑关系

一、函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1)确定函数的f(x)的定义区间；

2)求f'(x)，令f'(x)0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

3)把函数f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

4)确定f'(x)在各个区间内的符号，由f'(x)的符号判定函数fx在每个相应小区间内的单调性.二、函数的极值

求函数的极值的三个基本步骤

1)求导数f'(x)；

2)求方程f'(x)0的所有实数根；

3)检验f'(x)在方程f'(x)0的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则f(x)在这个根处取得极大（小）值.三、求函数最值

1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；

2)将极值与区间端点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.四利用导数证明不等式

1）利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：

① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的.2）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.含参函数的单调性，核心是三个步骤，四个流程：

1）第一步：先求定义域，再求导； 2）第二步：准确求出导数身给定的参数范围】

流程①：最高次项系数如果含参数，分 “0；0；0” 三种情况依次讨论该系数。（不含参就直接略过）“0”时，求出参数的值，代回含参数的【注意题目本f(x)之后，按以下四个流程依次走：

f(x)，写出不f(x)的最简洁、直观的形式；“0”或“0”时，把最高次项系数外

f(x)0是否有根。如果方程f(x)0没有提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来。流程②：接流程①，判断方程任何实根，说明f(x)0或f(x)0恒成立，f(x)恒定单增或单减，直接f(x)0有实根，全部求出来，写明“x1

”，写结论；如果方程“x2

”然后进入流程③。

流程③：判断由②得出的根是否在定义域内。（i）定义域内没有根，写出数

f(x)，肯定有f(x)0或f(x)0，说明函

（ii）定义域内有且只有一f(x)在定义域内恒定单增或单减，直接写出结论；

（iii）f(x)单调递增区间和单调递减区间；个根，对这个唯一的根进行列表，判断定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入流程④。流程④：在流程③中确定二次函数型

f(x)0在定义域内有两根x1,x2的情况下，讨论两根大小（“”，“”，“”）。然后列表，依据表格写出结论。

3）第三步：（3）写综上所述。对参数的所有可能取值都要写出，对应结论相同的时候，参数范围必须合并。

【题】讨论函数f(x)xe(k0)的单调区间。【难度】**

kxk2【题】讨论函数f(x)ln(1x)xx的单调区间。

2【难度】*** 【点评】求单调区间的步骤（1）确定函数的定义域，（2）求出f(x)，令f(x)0，求出根，求出在定义域内所有的根，（3）把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起来，把定义域分成若干个小区间，（4）确定f(x)在每个区间的正负号，求出相应的单调区间。

【题】判断函数f(x)x4xalnx的单调性。【难度】***

2a32x1的单调区间。【题】求函数f(x)xax42【难度】*** 【题】、求函数f(x)e(xax1)(x2,aR)的单调区间。

【难度】*** 【题】求函数f(x)【难度】*** 【题】讨论函数f(x)kx2xln(2x1)的单调性。

x212xalnx(aR)的单调区间。22

【难度】***

ekx【题】讨论函数f(x)的单调性。

x1【难度】** 【题】讨论函数f(x)【难度】*** 【题】求函数f(x)e(xax1)(x1,aR)的单调区间。【难度】** 【题】求函数f(x)e(xax1)(x3,aR)的单调区间。【难度】**

x2x22xa的单调性。2(x1)3利用导数研究含参变量函数的最值问题

利用导数研究含参变量函数最值的基本思路和大致步骤：

通常是先讨论函数的单调性，必要时画出函数的示意图，然后进行最值的讨论。

【题】已知函数fxxkex

1求fx的单调区间；

2求fx在区间0,1上的最小值.,k1减k1,

k（2）①k1,fxmin【解析】：（1）

②k③1k2,fxmin(1k)e

2，fxmine2k1

【难度】** f(x)ax1(a0)，g(x)xbx2当a4b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间,1上的最大值.【题】已知函数【难度】*** 【题】已知函数

313f(x)x2x23x1，给定区间

3，（a0），试求f(x)在此区间上的最大值。[a,2a]【难度】***

alnx【题】已知a0，函数f(x)：

x（1）讨论f(x)的单调性；

（2）求f(x)在区间[a,2a]上的最值.【答案】：

elna2①0a时，f(x)f(2a)max22f(x)minf(a)lna

②ae时，f(mx)axf(a)，lan

f(x)min③

ln2a f(2a)2时，2aef(xm)axaf(e)，ef(x)minln2a f(2a)2af(e)e，e④a2时，f(xm)ax2f(x)minf(a)lna

【难度】*** 【点评】

1x【题】、已知函数f(x)ln(ax1),x0,a0

1x(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围.【答案】：a2时，f(x)在[0,)上单调递增 2a0a2时，f(x)在[0,)上单调递减

a2af(x)在(,)上单调递增

aa2

【难度】***

【题】已知函数：f(x)x(a1)lnx(aR),当x1,e时，求f(x)的最小值；

【答案】当1ae时，fxminaa1lna1 当ae时，fxminea1 【难度】***

aeaxf(x)3x1(a0),g(x)x9x，若f(x)g(x)上的最大值为28.求实数k的取值范围 【题】已知函数【难度】***

【题】已知函数

23fxaxxbx（其中常数a,bR），32gxfxfx为奇函数.(1)求fx的表达式；(2)讨论gx的单调性，并求gx在区间1,2上的最大值与最小值.【答案】

132fxxxgx在1,2上最大值为

3442，最小值 33【难度】***

1312【题】设f(x)xx2ax.32

2（1）若f(x)在(,)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

316（2）当0a2时，f(x)在[1,4]上的最小值为，求

3f(x)在该区间上的最大值。1【答案】a的取值范围是(,)

910f(x)在该区间上的最大值为.3【难度】****

【题】已知函数(1)求函数f(x)lnxx2

f(x)的单调递增区间；

(2)求函数f(x)在(0,a],(a0)上的最大值.2(0,)

2【答案】当0a时，f(x)在(0,a],(a0)上的最

22大值为lnaa;

2当a时，f(x)在(0,a],(a0)上的最大值为2

1ln2

2【难度】*** f(x)1(1a)xx2x3，其中a0:

（1）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（2）x[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时x的值.【题】设函数【难度】*** f(x)xaxbxc(实数a,b,c为常

1数)的图像过原点，且在x1处的切线为直线y

2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若m0，求函数f(x)在区间[m,m]上的最大值.【题】已知函数【难度】***

32f(x)x2ax3a2lnx(1)讨论f(x)的单调性;【题】设函数(2)若a为正常数，求f(x)在区间(0,t](t0)上的最小值.【难度】***

第四篇：函数的单调性

函数的单调性说课稿(市级一等奖)函数单调性说课稿 《函数的单调性》说课稿(市级一等奖)旬阳县神河中学 詹进根

我说课的课题是《普通高中课程标准实验教科书 必修1》第二章第三节——函数的单调性。我将根据新课标的理念和高一学生的认知特点设计本节课的教学。我从下面三个方面阐述我对这节课的理解和教学设计。

一、教材分析

1、教材内容

本节课是北师大版(必修一)第二章函数第三节——函数的单调性，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

2、教材的地位和作用

函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学课程。在历年的考题中常考，函数的思想也是我们学习数学中的重要思想。在这一节中利用函数图象研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性。而我们今天学习的内容就是函数基本性质中的一种——单调性。函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的。函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、极限、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。通过上述活动，加深对函数本质的认识。更主要本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

根据函数单调性在整个教材内容中的地位和作用，并结合学生的认知水平，本节课教学应实现如下教学目标。

3、教学目标

知识与技能:理解函数单调性和单调函数的意义;会判断和证明简单函数的单调性。

过程与方法:培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。

情感态度与价值观:领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。

4(教学的重点和难点 教学重点: 函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性;1 函数单调性说课稿 教学难点: 根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。

二、教法与学法 1(教学方法 本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”的教学方式，这样既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能激发学生的求知欲，调动学生积极性，使他们思路更加开阔，思维更加敏捷。

2(教学手段

教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。

3(学法

高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整;能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。

(1)让学生利用图形直观感受;(2)让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。

三、教学过程

本节课的教学过程包括:创设情境，引入课题;归纳探索，形成概念;巩固提高，深化概念;归纳小结，提高认识.具体过程如下:(一)创设情境，引入课题

我们知道，函数是刻画事物变化的工具。在2003年抗击非典型肺炎时，卫生部门对疫情进行了通报。如下图是北京从4月21日到5月19日期间每日新增病例的变化统计图。

思考如何用数学语言刻画疫情变化, [设计意图]:通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。同时通过多媒体展示，能够提高学生的兴趣，增强直观性，拉近数学与实际的距离，感受数学源于生活,让学生学会用数学的眼光去关注生活。函数单调性说课稿(二)归纳探索，形成概念

在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识.1、提出问题，观察变化

12问题:分别做出函数的图像，指出上面四yxyxyxy,，，，，2,1， x 个函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,，2yx，，1yx,y,x 通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上A点的运动情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。让学生大胆的去说，x 老师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。

【设计意图】 新课标十分注重初中与高中的衔接，注重通过函数的图像，研究函数的基本性质。以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺应同学们的认知规律。第三个、第四个函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质（2、步步深化，形成概念 2观察函数y=x随自变量x 变化的情况，设置启发式问题:(1)在y轴的右侧部分图象具有什么特点,(2)如果在y轴右侧部分取两个点(x，y)，(x，y)，当x

【设计意图】通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，对“任意性”的理解，我特设计了问题(2)、(3)，达到步步深入，从而突破难点，突出重点的目的。通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性。师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如:区间内，任意，当<时，xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。3 函数单调性说课稿

教师总结归纳单调性和单调区间的定义。

注意强调:函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

【设计意图】通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义。体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。

3(巩固提高，深化概念

本环节在前面研究的基础上，加深学生进一步理解函数单调性定义本质，完成对概念的再一次认识.练习1:如下图给出的函数，你能说出它的函数值随自变量值的变化情yx况吗?

怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢? 1f(x),例1 说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.x 练习2:判断下列说法是否正确

(1)定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数。f(x)f(2),f(1)(2)定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函数，因为是增函数。所以函数fx()y,ff(1)(2)，，x，，(4)定义在R上的函数在，,0,上是增函数，在0,，,上也是增函数，f(x)则函数是R上的增函数。

(5)函数在上都是减函数，所以在

上是减函数。

例2 画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。f(x),3x，2 通过对上述几题讨论，加深学生对定义的理解。强调以下三点，完成本阶段的教学: ?单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。函数单调性说课稿

?有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。

?函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数。

【设计意图】函数单调性定义产生是本节课的难点，难在:如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言的准确理解及正确应用更是学生薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互动合作的教学新理念。例1主要是从图形上判断函数的单调性;例2主要对数形结合，定义法证明函数的单调性的只是巩固与应用.(四)归纳小结，提高认识

归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一，本节课我采用组织和指导学生自己谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础(1(本节小结

函数单调性定义，判断函数单调性的方法(图像、定义)在方法层面上，引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤;引导学生体会探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等。

2(布置作业

课后作业实施分层设置，书面作业、课后思考.作业布置:教材第38页的第2，3，5题 思考交流:问题 如果可以证明对任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能断定函数在上是增函数吗? fx()(,)ab,0xx,21 【设计意图】:目的是加深学生对定义的理解，让学生体会这种叙述与定义的等价性，而且这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。

以上各个环节，环环相扣，层层深入，注意调动学生自主探究与合作交流，努力实现教学目标，也使新课标理念能够得到很好的落实。

各位评委，本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中，我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。函数单调性说课稿 附一:板书设计 函数的单调性

一、函数单调性的概念

三、例题讲解

四、课堂练习

二、证明函数单调性的步骤 例1:

五、布置作业 例2: 小结和作业在多媒体上展示，这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对重点知识的理解和掌握，同时便于记忆，有利于提高教学效果.6 函数单调性说课稿 7

第五篇：函数单调性教案(简单)

函数单调性

一、教学目标

1、建立增（减）函数及单调性、单调区间的概念

2、掌握如何从函数图象上看出单调区间及单调性

3、掌握如何利用定义证明一段区间上的函数单调性

二、教学重难点

1、了解增（减）函数定义

2、用定义法证明一段区间上的函数单调性

三、教材、学情分析

单调性是处于教材《数学•必修一》B版第二章第一节，初中对单调性有着初步感性认识，到这节课我们给单调性严格的定义。单调性是对函数概念的延续和扩展，也是我们后续研究函数的基础，可以说，起到了承上启下的作用。

四、教学方法

数形结合法、讲解法

五、教具、参考书

三角尺、PPT、数学必修

一、教师教学用书

六、教学过程

（一）知识导入

引入广宁县一天气温变化折线图

询问学生今天的温度是如何变化的？

学生答：气温先上升，到了14时开始不断下降。

由此导入函数图像的上升下降变化，给出f（x）=x和f（x）=x²的图像，询问学生，这两个函数图象是如何变化的？

学生答：前一个不断上升，后一个在y轴左边下降，在y轴右边上升。再询问学生并提醒学生回答：从上面的观察分析，能得出什么结论？

不同的函数，其图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同，函数图像的变化规律就是函数性质的反映。

教师：那么这就是我们要研究的单调性。

（二）给出定义。

教师：首先我们来看一下一元二次函数y=x²的图象的对应值表，当x从0到5上变化时，y是如何变化的。生：随着x的增大而增大

教师：那么我们在这段上升区间中任取两个x1，x2，x1

教师顺势引导出增函数的概念，再由增函数类比画图演示，引导出减函数的概念。强调增（减）函数概念，尤其是在区间内任取x1，x2这句话的理解。由增（减）函数可以引出单调区间的定义，不作很详细讲解。给出例题让学生思考作答，进一步巩固知识点。

（三）证明方法

让学生们思考例二（思想为用定义法证明一段区间的单调性）并尝试解答，一段时间后教师给学生讲解。

讲解完例题后，引导学生归纳用定义法正明一段区间的单调性的方法：

1、设元。

2、做差。

3、变形。

4、断号。

5、定论。

（四）巩固深化

思考：函数y=1/x 的定义域I是什么？在定义域I上的单调性是怎样的？

通过这道问题的讲解说明，让学生们意识到单调性是离不开区间的且单调区间不能求并。

（五）课堂小结

再次对

1、增（减）函数定义。

2、增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间。

3、怎样用定义证明函数的单调性？三个问题进行阐述，牢固学生记忆和理解。

（六）布置作业。