人教版高一数学《函数的单调性判断》教案（推荐五篇）

第一篇：人教版高一数学《函数的单调性判断》教案

人教版高一数学《函数的单调性判断》

教案

概念反思：

数学是一种工具：通过它可以很好的分析和解决问题。数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。

2为了研究自然界中量与量之间的变化关系发明了函数……同样为了进一步研究函数值的增减变化情况发明了单调性的概念……导数概念的发明使我们对函数性质的了解在单调性的基础上又更深入一步……增减变化的快慢

概念回顾:

函数单调性的定义

方法梳理:

函数单调性的判断及运用：

①观察法：

同增异减

②导数法：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．

③图像法：变换

④用定义来判断函数的单调性

对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f＜f，那么函数f就是区间I上的增函数

对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f＞f，那么函数f就是区间I上的减函数

在函数=f比较复杂的情况下，比较f与f的大小并不很容易

体验回顾:

下列说法正确的是

．）定义在R上的函数满足，则为R上的单调增函数

2）定义在R上的函数在上是单调增函数，在上是单调增函数，则为R上的单调增函数

3）定义在R上的函数在上是单调减函数，在上是单调减函数，则为R上的单调减函数

4）定义在R上的函数满足，则为R上不是单调减函数

2求下列函数的单调区间

．

①；

②

3函数的单调减区间是

．

4函数

，单调区间

函数的最小值是

经典探究:

例:已知函数,对于上的任意,有如下条：①；②；③其中是的充分条是

___________

②,③

变式：已知函数

与的定义域都是,值域分别是与,在上是增函数而是减函数,求证 分:

在上为减函数

变式：函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围。

解：设且，则

而在上是单调函数，在上恒正或恒负。

又，由知只有符合题意，时，在上单减

变式：若函数f＝4xx2＋1在区间上是单调递增函数，则∈__________

解析 ∵f′＝42，令f′>0，得－1

又∵f在上单调递增，∴≥－1，2＋1≤1，∴－1≤≤0

∵区间中2＋1>，∴>－1

综上，－1<≤0

答案

①若，当时，则在I上是增函数

②函数在R上是增函数

③函数在定义域上是增函数

④的单调区间是

2若函数的零点，则所有满足条的的和为?

3已知函数

．

（1）若，求的单调区间；

（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解析：

2分

∴的单调增区间为，,的单调减区间为，由于，当∈[1,2]时，0

即

即

即时

综上可得

在区间[1,2]上任取、，且

则

∵

∴

∴可转化为对任意、即

0

当

由

得

解得

得

所以实数的取值范围是

第二篇：高一数学函数的单调性教案

函数的单调性

教学目标

1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性． 2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．

3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．

教学重点与难点

教学重点：函数单调性的概念． 教学难点：函数单调性的判定．

教学过程设计

一、引入新课

师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？

（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：

第二组：

生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．

师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．

（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）

二、对概念的分析

（板书课题：函数的单调性）

师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．

（学生朗读．）

师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？

生：我认为是一致的．定义中的“当增大而增大；“当

时，都有

时，都有

”描述了y随x的”描述了y随x的增大而减少．

”和“

或师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！

（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数图象，体会这种魅力．

和的（指图说明．）师：图中因此而图中因此对于区间[a，b]上的任意，当

时，都有，的单调增区间；，的单调减区间． 在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数对于区间[a，b]上的任意，当

时，都有在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）

师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应„„（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数． 师：那么减函数呢？

生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？

（学生思索．）

学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．

（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）

生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．

师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？

生：不能．因为此时函数值是一个数．

师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

生：不能．比如二次函数而我们不能说，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因是增函数或是减函数． 的图像，从“形”上感知．）（在学生回答问题时，教师板演函数师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

师：还有没有其他的关键词语？

生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语． 师：你答的很对．能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）师：“属于”是什么意思？ 生：就是说两个自变量生：可以．

师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要，就必须都小于，或

都大于

．，必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻．）生：可以构造一个反例．考察函数，定，显然，而，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值，有，若由此判是[-2，2]上的减函数，那就错了． 师：那么如何来说明“都有”呢？ 生：在[-2，2]上，当，这时就不能说，时，有

；当，时，有，在[-2，2]上是增函数或减函数．

师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量，根据它们的函数值

和的大小来判定函数的增减性．

（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）

师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．

（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）

三、概念的应用

例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

（用投影幻灯给出图象．）

生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？ 师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[]（增或减）．反之不然．

例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

（指出用定义证明的必要性．）

师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）师：对于和

我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果，]

[a，b]，则f（x）在[，a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

生：（板演）设，是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当，所以f（x）是增函数．

师：他的证明思路是清楚的．一开始设设，是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并

时，（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么

＜0，没有用到开始的假设“

”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以，从而

＜0，即

．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以

小．

（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）

调函数吗？并用定义证明你的结论．

师：你的结论是什么呢？

上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数． 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），显然有，而不是

显然成立，而，因此它不是定义域内的减函数．

生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．

域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．

上是减函数．

（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，．

要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．

对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）

四、课堂小结

师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）

生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．

五、作业

1．课本P53练习第1，2，3，4题．

数．

．（*）

+b＞0．由此可知（*）式小于0，即

．

课堂教学设计说明

函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．

另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．

还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．

第三篇：高一数学教案：函数单调性

教学目标

会运用图象判断单调性;理解函数的单调性，能判断或证明一些简单函数单调性;注意必须在定义域内或其子集内讨论函数的单调性。

重 点

函数单调性的证明及判断。

难 点

函数单调性证明及其应用。

一、复习引入

1、函数的定义域、值域、图象、表示方法

2、函数单调性

(1)单调增函数

(2)单调减函数

(3)单调区间

二、例题分析

例

1、画出下列函数图象，并写出单调区间：

(1)(2)(2)

例

2、求证：函数 在区间 上是单调增函数。

例

3、讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

变(1)讨论函数 的单调性，并证明你的结论

变(2)讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

例

4、试判断函数 在 上的单调性。

三、随堂练习

1、判断下列说法正确的是。

(1)若定义在 上的函数 满足，则函数 是 上的单调增函数;

(2)若定义在 上的函数 满足，则函数 在 上不是单调减函数;

(3)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数;

(4)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数。

2、若一次函数 在 上是单调减函数，则点 在直角坐标平面的()

A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面

3、函数 在 上是___ ___;函数 在 上是__ _____。

3.下图分别为函数 和 的图象，求函数 和 的单调增区间。

4、求证：函数 是定义域上的单调减函数。

四、回顾小结

1、函数单调性的判断及证明。

课后作业

一、基础题

1、求下列函数的单调区间

(1)(2)

2、画函数 的图象，并写出单调区间。

二、提高题

3、求证：函数 在 上是单调增函数。

4、若函数，求函数 的单调区间。

5、若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，试比较 与 的大小。

三、能力题

6、已知函数，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

变(1)已知函数，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

第四篇：高一数学函数的单调性教案

3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

函数的单调性

教学过程设计

一、引入新课

师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？

（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：

第二组：

二、对概念的分析

引入定义 师：图中因此而图中因此对于区间[a，b]上的任意，当

时，都有，在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数对于区间[a，b]上的任意，当

时，都有的单调增区间；，的单调减区间． 在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数（师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应„„ 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．

3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？

生：不能．因为此时函数值是一个数．

说明单调性是局部性质

三、概念的应用

例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数． 师：他的证明思路是清楚的．一开始设设，是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么

＜0，没有用到开始的假设“

”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以，从而

＜0，即

．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以

小．

调函数吗？并用定义证明你的结论．

3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

全体定义域上的减函数？

四、课堂小结

生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．

数．

．（*）

+b＞0．由此可知（*）式小于0，即

．

3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

第五篇：4.高一数学(人教新课标A版)函数的单调性和奇偶性教案!

函数的单调性和奇偶性

一、目标认知 学习目标：

1.理解函数的单调性、奇偶性定义；

2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.重点、难点：

1.对于函数单调性的理解；

2.函数性质的应用.二、知识要点梳理 1.函数的单调性

(1)增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间

如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数；

如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数.如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间.要点诠释：

[1]“任意”和“都”；

[2]单调区间与定义域的关系----局部性质；

[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

[4]不能随意合并两个单调区间.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？

基本方法：观察图形或依据定义.2.函数的奇偶性

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：

[1]奇偶性是整体性质；

[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；

[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0；

[6]，.三、规律方法指导

1.证明函数单调性的步骤：

(1)取值.设是

定义域内一个区间上的任意两个量，且

；

(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；

(4)得出结论.2.函数单调性的判断方法：

(1)定义法；

(2)图象法；

(3)对于复合函数在区间

同（同时为增或

同时为减），则为

减函数.为增函数；若

与

单调性相反，则或者

上是单调函数；若

与

单调性相，若

在区间

上是单调函数，则3.常见结论:

(1)若

(2)若是增函数，则和

为减函数；若

和

是减函数，则

为增函数；

均为增（或减）函数，则在的公共定义域上为增（或减)

函数；

(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；

若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.(4)若奇函数数，且有最小值

在上是增函数，且有最大值，则在是增函；若偶函数在是减函数，则在是增函数.经典例题透析

类型

一、函数的单调性的证明

1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0

则

∵x1＞0，x2＞0，∴

∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0

∴

上递减.总结升华：

[1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：

【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间

上的任意实数，且x1＜x2，则

∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1

∵0＜x1x2＜1

故

∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)，即f(x1)-f(x2)＞0

上是减函数.上是增函数；在今后的学习中经常

总结升华：可以用同样的方法证明此函数在会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型

二、求函数的单调区间

2.判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2-3|x|+2；(2)

解：(1)由图象对称性，画出草图

∴f(x)在增.上递减，在上递减，在上递

(2)

∴图象为

∴f(x)在

举一反三：

【变式1】求下列函数的单调区间：

上递增.(1)y=|x+1|；(2)

(3).解：(1)

∴函数的减区间为

画出函数图象，函数的增区间为(-1，+∞)；

(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；

(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：

[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；

[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型

三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：

又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则

4.求下列函数值域：

.(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；

1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)位得到，如图

2个单位，再上移2个单

1)f(x)在[5，10]上单增，；

2)

(2)画出草图

；

1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；

2)

举一反三：

.【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.域.，第二问即是利用单调性求函数值

解：(1)

上单调递增，在上单调递增；

(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增

∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2

x=3时f(x)有最大值

∴x∈[1，3]时f(x)的值域为

.5.已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间

上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知

只需；

(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4

∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7

.类型

四、判断函数的奇偶性

6.判断下列函数的奇偶性：

(1)

(2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|-|x-3|

(5)

(6)

(7)

思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为

(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；

(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；

(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(5)

，∴f(x)为奇函数；

(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(7)

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)，∴f(x)为奇函数.；

(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；

(3)f(x)=x2+x+1；

(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)

；

(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)∴f(x)为奇函数；

(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1

∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)为非奇非偶函数；

(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)

任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)

x=0时，f(0)=-f(0)∴x∈R时，f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数.举一反三：

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)

∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型

五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26

法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数

∴g(-2)=-g(2)∴f(-2)+8=-f(2)-8

∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)

即y=-x2-x又f(0)=0，如图

9.设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)＜f(a)∴f(|a-1|)＜f(|a|)

而|a-1|，|a|∈[0，3]

.类型

六、综合问题

10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；

②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；

③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；

④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).答案：①③.(1)11.求下列函数的值域：

(2)

(3)的图象与f(x)

思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)

；

(2)经观察知，；

(3)

令

.12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2

(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a

2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1

3°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a

，如图

13.已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2

再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3

∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8)

.14.判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0

(1)当

时

0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0

∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)

(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是减函数.上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；

当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]

且

[2]

上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]

上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1

[2]上的最小值为

综上：

.学习成果测评 基础达标

一、选择题

1．下面说法正确的选项()A．函数的单调区间就是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

2．在区间上为增函数的是()

A．

C．

B．

D．

3．已知函数

A.B.4．若偶函数在 C.D.为偶函数，则的值是()

上是增函数，则下列关系式中成立的是()

A．

B．

C．

5．如果奇函数上是()

A．增函数且最小值是

C．减函数且最大值是

6．设是定义在在区间

D．

上是增函数且最大值为，那么在区间

B．增函数且最大值是

D．减函数且最小值是

上的一个函数，则函数，在上一定是()

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间

上是增函数的是()

A．

B．

C．

D．

8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则()

A.f(3)+f(4)＞0

B.f(-3)-f(2)＜0

C.f(-2)+f(-5)＜0

D.f(4)-f(-1)＞0

二、填空题

1．设奇函数的定义域为，若当的解是____________.时，的图象

如右图，则不等式

2．函数

3．已知

4．若函数____________.5．函数____________.三、解答题，则函数的值域是____________.的值域是____________.是偶函数，则的递减区间是在R上为奇函数，且，则当，1．判断一次函数

2．已知函数(2)在定义域上

反比例函数，二次函数的单调性.的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；

单调递减；(3)

3．利用函数的单调性求函数

4．已知函数

求的取值范围.的值域；

.① 当时，求函数的最大值和最小值；

在区间

上是单调函数.② 求实数的取值范围，使

能力提升

一、选择题

1．下列判断正确的是()

A．函数数

C．函数函数

2．若函数

A．

C．

3．函数

A．

C．

4．已知函数围是()

A．

B．

是奇函数

B．函数是偶函

是非奇非偶函数

D．函数既是奇函数又是偶

在上是单调函数，则的取值范围是()

B．

D．的值域为()

B．

D．

在区间上是减函数，则实数的取值范

C．

D．

5．下列四个命题：(1)函数增函数；(2)若

函数的递增区间

在时是增函数，也是增函数，所以是

与轴没有交点，则且；(3)

为；(4)和表示相等函数.其中正确命题的个数是()

A．

B．

C．

D．

6．定义在R上的偶函数则()

A．

C．

二、填空题

1．函数

2．已知定义在______.上的奇函数，当

时，那么

时，的单调递减区间是____________________.B．

D．，满足，且在区间

上为递增，3．若函数

4．奇函数

则

5．若函数

三、解答题

1．判断下列函数的奇偶性 在区间

在上是奇函数，则的解析式为________.上是增函数，在区间__________.上的最大值为8，最小值为-1，在上是减函数，则的取值范围为__________.(1)

2．已知函数且当时，(2)的定义域为，且对任意

是，都有

上的减函数；(2)函数，恒成立，证明：(1)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是

且，是偶函数，是奇函数，且

4．设为实数，函数

(1)讨论，求和的解析式.，的最小值..的奇偶性；(2)求综合探究

1．已知函数，的奇偶性依次

为()

A．偶函数，奇函数

B．奇函数，偶函数

C．偶函数，偶函数

D．奇函数，奇函数

2．若是偶函数，其定义域为，且在，则

上是减函数，则的

大小关系是()

A．＞

B．＜

C．

D．

3．已知_____.，那么＝

4．若

在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数果对于

6．当

7．已知 的定义域是，且满足，(1)求

；(2)解不等式，如

.，都有时，求函数的最小值.在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的值.的最大值不大于，又当，求答案与解析 基础达标

一、选择题

1.C.2.B.3.B.奇次项系数为

4.D.5.A.奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性

6.A.7.A.8.D.二、填空题

1.2.3.值最大

4...在上递减，在上递减，在上递减

.奇函数关于原点对称，补足左边的图象

是的增函数，当

时，.该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数

5.三、解答题

1．解：当.，在是增函数，当，在是减函数；

当，在是减函数，当，在是增函数；

当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，则，3．解：，显然是的增函数，4．

解

：

对称轴

∴

(2)对称轴

∴

或

当.或

时，在上单调

能力提升

一、选择题

1.C.选项A中的 而

而有意义，非关于原点对称，选项B中的

有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；

2.C.对称轴，则，或，得，或

3.B.4.A.对称轴，是的减函数，当

5.A.(1)反例；(2)不一定

和，开口向下也可；(3)画出图象 ；(4)对应法则不同

可知，递增区间有

6.A.二、填空题

1．2.∵.设

.画出图象，则∴，，3..∵∴

即

4..在区间

上也为递增函数，即

5.三、解答题..1．解：(1)定义域为，则，∵

(2)∵

2．证明：(1)设

∴

∴函数

(2)由

即

∴

3．解：∵是偶函数，则

∴且

为奇函数.∴

既是奇函数又是偶函数.，而

是上的减函数;

得，而

是奇函数.，即函数

是奇函数，∴，且

而，得，即，∴

4．解：(1)当

当时，时，.为偶函数，为非奇非偶函数；

(2)当时，当时，当时，不存在；

当时，当时，当

时，.综合探究

1.D.画出

则

当

时，则的图象可观察到它关于原点对称或当，时，2.C.，3..，4..设则，而

，则

5.解：(1)令，则

(2)

，则

6.解：对称轴

.当，即时，是的递增区间，；

当，即；

时，是的递减区间，当，即时，.7．解：对称轴

则，当即时，得

是或的递减区间，而，即

；

当即，时，是的递增区间，则

得或，而，即不存在；当即时，则，即；∴或.8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；

当时，对称轴，而，且

即

∴.，而，即