西方的勾股定理之父——毕达哥拉斯

第一篇：西方的勾股定理之父——毕达哥拉斯

在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生给后代留下了众多神奇的传说。

毕达哥拉斯生于萨摩斯(今希腊东部小岛)，卒于他林敦(今意大利南部塔兰托)。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，曾到巴比伦和埃及去游学，因而直接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。

毕达哥拉斯定理(即勾股定理)是毕达哥拉斯的另一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。

小故事：

毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言;但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是 拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇....于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设： 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。

毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数;将小于其因数之和的数称为亏数。他们还发现了直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。当今数学上又有毕达哥拉斯三元数组的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了三角形内角之和等于两个直角的论断;研究了黄金分割;发现了正五角形和相似多边形的作法;还证明了正多面体只有五种正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。数即万物，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线(根2)却不能用整数之比来表达。这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在根2(即无理数)的秘密。天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但根2很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为第一次数学危机。希帕索斯为根2殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。

可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯，到了晚年不仅学术上趋向保守，而且政治上反对新生事物，最后死于非命。

第二篇：毕达哥拉斯美学概述

毕达哥拉斯美学概述

美是数的和谐

毕达哥拉斯（Pythagoras,约前580-500）认为，数是一些事物的本质，整个有规定的宇宙的组织，就是数以及数的关系的和谐系统。“数的和谐”实际上是“信息的和谐”。美是一种信息现象.美不是普通的信息，而是和谐的信息，是信息的有序组合。不和谐的音响我们称之为噪音，和谐的音响称之为音乐。秩序产生美，美是秩序的显示。音乐

毕达哥拉斯由铁匠铺内传出的锤击声得到启发，经过反复实验得出结论，音乐的基本原则是数量的关系，音乐节奏的和谐是由高低长短轻重各种不同的音调，按照一定数量的比例所构成的。他确定了音程的数学原理学说：八度和声是1：2，五度和声是2：3，四度和声是3：4。

天体的和谐

毕达哥拉斯学派认为整个宇宙是数的和谐，和谐是客观的，是整体宇宙的属性。所有有规则的运动都产生和谐的声音，宇宙就是“天体的音乐”，音乐是宇宙的灵魂。大宇宙和小宇宙的关系

人类似于“大宇宙”的“小宇宙”，同样由数与和谐的原则统治者，内外相应。音乐不是人创造的，而是自然的生成，节奏属于自然，人只能适应它。所以音乐的目的就不只是提供愉悦，而是对人发生影响。绘画雕刻的和谐之美

毕达哥拉斯认为，能让人感觉的美的雕塑和绘画是合乎完美的数的比例的。艺术是以“数的比例”为基础的，因此艺术拥有很高的价值。

赫拉克利特美学概论

永恒的火与“万物皆流”

赫拉克利特（herakleitos，约前530-470）认为宇宙并非神或者人所创造，而是一团永恒的活生生的火，按照一定的分寸燃烧，按照一定的分寸熄灭。变化是火最明显的特征，因此赫拉克利特又说“万物皆流”，人不可能两次踏入同一条河流。而变化又是有规律的，每一次变化都为某种统一性与自然规律决定。对立的和谐

赫拉克利特认为互相排斥的东西是结合在一起的，不同音调造成最美的和谐，一切都是斗争中所产生。相反的力量造成造成和谐，对立造成和谐的观念被彻底明确。美的相对性

他还说最聪明的人和神相比只是一只猴子，犹如最漂亮的猴子和人相比也是丑陋的一样。是美学史上关于美的相对性的最早说明。

第三篇：古希腊数学家毕达哥拉斯毕达哥拉斯

古希腊数学家毕达哥拉斯毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580年一前500年)是古希腊著名的数学家，同时也是一位天文学家和哲学家，是毕达哥拉斯学派的创始人。他的名字和毕达哥拉斯定理共刻于世界数学史的里程碑上。早年游学

毕达哥拉斯于公元前580年左右出生在希腊萨摩斯岛的一个富裕家庭，他的父亲谟涅萨尔库是一个精细的指环雕刻师，非常精明且善于理财。早在青少年时代，毕达哥拉斯就热衷于从事学术活动。他曾经到离萨摩斯岛不远的米利都，就学于伊奥尼亚学派创始人、著名的唯物主义哲学家泰勒斯。后来泰勒斯把他介绍给自己的学生阿那克西曼德。在泰勒斯师徒的影响下，毕达哥拉斯开始探讨万物的本原，把整个宇宙看做是有生命的，从对立中寻找世界演变的动力。可是不久，毕达哥拉斯转而从师于著名的唯心主义哲学家斐瑞库德。在斐瑞库德的影响下，毕达哥拉斯很快转向了宗教神秘主义和唯心主义。公元前540年左右，毕达哥拉斯渡海来到埃及。毕达哥拉斯在埃及期间，系统地学习了古埃及的象形文字。他在那里居住了5年，和当地僧侣们有过频繁交往。毕达哥拉斯在埃及、巴比伦等地停留达15年之久，除了非常熟悉当地的宗教思想之外，他还吸收了当地的算术、几何学和天文学等方面的优秀成果。这些东西构成了毕达哥拉斯的哲学、科学和宗教思想的重要内容。

万物皆数 毕达哥拉斯继承了希腊古老传统，非常重视音乐的教育作用，并把它看做是净化灵魂的方法。毕达哥拉斯认为万物皆数，数是万物的原型。万物都是模仿数的，是数的摹本。数的特征是内在于音阶，内在于天体，内在于许多其他事物；数的原则统治着宇宙中的一切现象。毕达哥拉斯学派认为，数既是万物的质料，又是万物存在的形式。毕达哥拉斯和他的学派不把物质的东西而把数看做独立存在的万物的始基或根源，赋予数以产生万物的神秘力量，这使他们不可避免地陷入了唯心主义的泥潭。但是，他们首次提出数的概念，把数作为他们哲学思想的基础，这在人类认识发展史上却又是一个很大的进步。由于毕达哥拉斯赋予数以巨大意义，所以他的学派非常注意研究数和数的比例关系，并取得了很多辉煌的成果，其中以毕达哥拉斯定理的证明最为著名。

毕氏定理

初等几何中最精彩、最有用的定理之一，就是著名的毕达哥拉斯定理(中国称之为勾股定理)。这个定理说：“在任何直角三角形中，斜边的平方等于两直边的平方和。”一般认为，这个定理是由毕达哥拉斯首先提出来的，并且也是由他组织门徒们首先证明的。毕达哥拉斯有一个学生名叫希伯斯，他勤奋好学，富有钻研精神。有一次，他在用毕达哥拉斯定理求正方形的对角线时发现了无理数。希伯斯的这一重大发现，实际上推翻了毕达哥拉斯“世界上只有整数和分数”的论断，因而也就动摇了毕达哥拉斯学派关于数的神秘主义的哲学基础。希伯斯的发现，对于毕达哥拉斯来说是一个很大的“触犯”。〃 当毕达哥拉斯了解到这方面的突破性研究后，十分紧张，马上下令封锁希伯斯的发现，并且声称，如果有人胆敢把这一机密泄露给局外人，那就要处以极刑。后来，希伯斯泄露了秘密，畏“罪”潜逃，最终葬身大海，数学也因希伯斯的发现而出现了第一次危机。在数学史上，毕达哥拉斯被誉为“使几何学完备的人”。他在几何学方面作出了卓越的贡献，提出了几何学上的点、线、面和空间的概念。毕达哥拉斯也是第一个提出面积贴合理论的数学家。面积贴合理论，能够说明一个直线围成的图形大于、等于或小于另一个图形。毕达哥拉斯在比较图形时而命名的椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的名称，直到现在人们还在使用。毕达哥拉斯通过长期的实践，认真研究和观察周围事物，证明了三角形的三个内角之和等于180。他还提出内接于半圆所对的圆周角都是直角的定理，因为圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。这些数学上的成就，对后来的数学发展产生了巨大的影响。

尽管他的哲学思想有历史的局限性，然而毕达哥拉斯学说深刻地影响了希腊古典哲学的发展和中世纪欧洲思想的发展。在中世纪，毕达哥拉斯被当做四个高级学科：数学、几何、音乐、天文的创建人；很多人文主义者认为他是精密科学之父，因此，也就产生了毕达哥拉斯主义运动。

第四篇：万物皆数----毕达哥拉斯

万物皆数----毕达哥拉斯

毕达哥拉斯和它的学派

泰勒斯在哲学上有个对立面，这个人就是首先提出物质运动应该符合数学规律的古希腊哲学家、数学家、天文学家——毕达哥拉斯(公元前580年？～公元前500年？)。

公元前580年，毕达哥拉斯出生在米里都附近的萨摩斯岛(今希腊东部的小岛)——爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一，此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。

毕达哥拉斯的父亲是一个富商，九岁时被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习，在这里他接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚。

公元前551年，毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯等地，拜访了泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯，并成为了他们的学生。在此之前，他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。

公元前550年，30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学，穿东方人服装，蓄上头发从而引起当地人的反感，从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见，认为他标新立异，鼓吹邪说。毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，学习当地神话和宗教，并在提尔一神庙中静修。抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字和埃及神话历史和宗教，并宣传希腊哲学，受到许多希腊人尊敬，有不少人投到他的门下求学。

毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校，但是没有达到他预期的成效。公元前520年左右，为了摆脱当时君主的暴政，他与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯，移居西西里岛，后来定居在克罗托内。在那里他广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体。

他的演讲吸引了各阶层的人士，很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了。

毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东成立了一个秘密结社，这个社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。

他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。

学派的成员有着共同的哲学信仰和政治理想，他们吃着简单的食物，进行着严格的训练。学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从。他们开始在大希腊(今意大利南部一带)赢得了很高的声誉，产生过相当大的影响，也因此引起了敌对派的嫉恨。

后来他们受到民主运动的冲击，社团在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦(今意大利南部塔兰托)，并于公元前500年去世，享年80岁。许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯重新建立据点，另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动，直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。

“万物皆数”

最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派。他们很重视数学，企图用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。在实用数学方面，它使得算术成为可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。

毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。这定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理(勾股定理)。

毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。

毕达哥拉斯还通过说明数和物理现象间的联系，来进一步证明自己的理论。他曾证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的第五度音和第八度音时，这三条弦的长度之比为6:4:3。他从球形是最完美几何体的观点出发，认为大地是球形的，提出了太阳、月亮和行星作均匀圆运动的思想。他还认为十是最完美的数，所以天上运动的发光体必然有十个。

他还有一套这样的理论：地球沿着一个球面围绕着空间一个固定点处的“中央火”转动，另一侧有一个“对地星”与之平衡。这个“中央火”是宇宙的祭坛，是人永远也看不见的。这十个天体到中央火之间的距离，同音节之间的音程具有同样的比例关系，以保证星球的和谐，从而奏出天体的音乐。他同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为“万物皆数”，“数是万物的本质”，是“存在由之构成的原则”，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。毕达哥拉斯将数神秘化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。毕达哥拉斯得到的伦理观

在早年的治学时期，毕达哥拉斯经常到各地演讲，以向人们阐明经过他深思熟虑的见解，除了“数是万物之原”的主题外，他还常常谈起有关道德伦理的问题。

他对议事厅的权贵们说，“一定要公正。不公正，就破坏了秩序，破坏了和谐，这是最大的恶。起誓是很严重的行为，不到关键时刻不要随便起誓，可是每个官员应能立下保证，保证自己不说谎话。”

在谈到治家时，他认为对儿女的爱是不能指望有回报的，但做父亲的应当努力用自己的言行去获得子女由衷的敬爱。父母的爱是神圣的，作子女的应当珍惜。子女应是父母的朋友，兄弟姐妹之间也应该彼此互敬互爱。当提到夫妻关系时，他说彼此尊重是最重要的，双方都应忠实于配偶。

他谈到过自律的问题。他说，自律是对人个性的一种考验，对儿童、少年、老人、妇女来说，能自律是一种美德，但对年轻人来说，则是必要。自律使你身体健康，心灵洁净，意志坚强。毕达哥拉斯从如何培养自律讲到教育的重要性，他认为人的自律只能在理性和知识的指导下才能培养起来，而知识只能通过教育才能获得，所以教育的重要性是不容忽视的。

他形象的描述了教育的特性：“你能通过学习从别人那里获得知识，但教授你的人却不会因此失去了知识。这就是教育的特性。世界上有许多美好的东西。好的禀赋可以从遗传中获得，如健康的身体，娇好的容颜，勇武的个性；有的东西很宝贵，但一经授予他人就不再归你所有，如财富，如权力。而比这一切都宝贵的是知识，只要你努力学习，你就能得到而又不会损害他人，并可能改变你的天性。”

瑕不掩瑜

诚然，作为一种唯心主义的世界观，毕达哥拉斯和他的学派的科学探索无法找到正确的方向，甚至在某种程度上给后来的自然哲学以及科学的发展带来了很大的消极影响。但是，这些失误，并不能掩盖毕达哥拉斯在自然科学形成和发展过程中起到的积极作用。列宁告诉我们，毕达哥拉斯是“科学思维的萌芽同宗教神话之类幻想间的一种联系”。

第五篇：毕达哥拉斯之和谐理论

毕达哥拉斯讲的和谐最基本的意思是指音乐里面的那种和谐，像两个相隔八度的乐音连在一起，听起来就觉得很和谐，还有四度和音、五度和音等等。毕达哥拉斯觉得，既然音乐能打动人的灵魂，那么灵魂里面也应该有同样的和谐，而灵魂又具有理解整个宇宙以及其中的一切事物的能力，所以整个宇宙和宇宙万物也必定是具有同样的和谐性的。所以他认为，如果能够揭示出音乐里面的这种和谐的根源，那也就发现了宇宙万物的和谐的根源，人们就可以凭借这个根源更好地理解一切事物，从而更好地治理城邦，让所有人过上更好的生活。于是他致力于研究音乐，他发现，如果把一条琴弦分成两部分，这两部分的比例可以表达为两个整数的比，那么这两部分发出的声音就是和谐的，比如说八度音就是1:2的比例，四度音是4:3，五度音是3:2。因此，毕达哥拉斯认为和谐的根源就是数的比例关系，由此他提出了著名的“万物皆数”的论断，认为宇宙万物都是数，所以万物的关系都是数的比例关系，因而是和谐的。他用数的比例关系去解释一切自然现象和社会现象，比如行星的运动、人体的健康、城邦的治理等等，取得了很多成果。毕达哥拉斯的和谐思想是人类历史上最早的一种企图用数学去解释自然的思想体系，后来对近代自然科学的诞生起到了非常重要的推动作用。

四、和谐的数量关系与宇宙美的生成机制

毕达哥拉斯学派认为，数量关系是先于现实世界而存在，是一种超验的存在，是属于彼岸世界的东西。它为现实是和艺术世界提供原则、数据、模式、范形，使之生成和谐之美。也就是说，在毕达哥拉斯学派那里，此岸是和彼岸世界的同构性、对应性统一，是一种根本性的、整体性的和谐，是审美的极致。而彼岸世界的数的原则、数量关系是神规定的，此岸世界的事物具备协调、适宜的数量关系是神的安排与旨意。在毕达哥拉斯学派的美学理论体系中，神的概念超越数的概念成为最高层次，成为和谐的终极根源。于是，和谐的数量关系就潜在地框架与预定了万物的和谐。这点，其实是在谈万物和数的关系：万物究竟是如何由数派生的？神规定了数，而数又是万物的范型，万物是数的摹本。一定的数目，构成一定数量关系的框架，成为和谐的数目范型，供万物模仿，进而造成万物的贺喜饿。如：5：8的数量关系构成一种和谐的数目范式即黄金分割定律的范式，它物一经模仿就生成了和谐。具有和谐的数量关系的数目范式，作为一种文化的、审美的原型，是先于摹本而存在的，这点与后来柏拉图的理念说说有很大的相似之处。

于上，我们可以知道，毕达哥拉斯学派认为：数量关系的和谐是造就一切美、一切和谐事物的普遍规律。自然的、人的、艺术的以及审美主体与审美对象的和谐莫不如是。