证明三角形全等总复习(经典题目)(含答案)

第一篇：证明三角形全等总复习(经典题目)(含答案)

三角形专题训练

【知识精读】

1.三角形的内角和定理与外角和定理； 2.三角形中三边之间的关系定理及其推论；

3.全等三角形的性质与判定； 4.特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；

5.直角三角形的性质与判定。【分类解析】

1.三角形内角和定理的应用

例1.如图1，已知ABC中，BAC90，ADBC于D，E是AD上一点。

求证：BEDC

AEBD图1C

2.三角形三边关系的应用

例2.已知：如图2，在ABC中，ABAC，AM是BC边的中线。

求证：AM1ABAC 2-1连结MN。求证：AMN的周长等于2。

AMNBD图4CM'

（2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5.如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。

延长线于E，AE1BD。求证：BD平分∠ABC

AEDC图6BF

例8.某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？

AEBDMC

5.设三个正数a、b、c满足abc某个三角形三边的长。

22222a4b4c4，求证：a、b、c一定是

AC＝AB

ABMCAFAMCF，∠F∠AMB

又AM＝MC，∴MC＝CF

又∠3＝∠4＝45°，CD＝CD

CDMCDF

∠F∠CMD∠AMB∠CMD

证明二：过点A作AN平分∠BAC交BM于N

A123MECBND

∠2∠BAE∠3∠BAE90∠2∠3

又AN平分∠BAC

∠1∠C45

又AB＝AC

a2b2c22ab022a2b2c22aba2b2c22ab022abc2abc20 

abcabcabcabc0abc0abcabcabc0abcbcacab0a、b、c是某一三角形三边的长。

∴DM平分∠ADC

说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4.分析：欲证AMN的周长等于2，需证明它等于等边ABC的两边的长，只需证MNBMCN。采用旋转构造全等的方法来解决。

证明：以点D为旋转中心，将DBM顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M落在M'点的位置。

得：∠MBD＝∠NCD＝90°

RtMBDRtM'CD∠DCM'∠DBM90

∴∠NCD与∠DCM'构成平角，且BM＝CM'，DM＝DM'，∠NDM'＝∠NDC＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM＝120°－60°＝60°

在MDN和M'DN中，DMDM'，∠MDN∠M'DN60，DNDN

AMN的周长AMANMNAMANBMCNABAC说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。5.分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。

解：∵AC平分∠FAE，CF⊥AF，CE⊥AE

∴CF＝CE

BC2BE2102628

AE2CE22168217

∴DF＋FE＝BD＋CE＝9

即DE＝9

故选A 7.分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。

简证：延长AE交BC的延长线于F

易证ACFBCD（ASA或AAS）

AFBD

AE1 BD21AEAFEF2

于是又不难证得BAEBFE(SAS)

∠ABD∠CBD

∴BD平分∠BAC

说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。

8.分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D为正ABC内一点，P为正ABC外一点，PB＝AB，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，求∠BPD＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。

解：连CD BPABBC∠DBP∠DBCBDBD

PBDCBD(SAS)

∠BPD∠BCD-15

第二篇：全等三角形经典题目测试含答案

全等三角形经典题目测试含答案

一．选择题（共13小题,共39分）

1．（2013贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）

A．

4cm

B．

6cm

C．

8cm

D．

9cm

2．（2011芜湖）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（）

（第1题）

（第2题）

（第3题）

（第4题）

A．

B．

C．

D．

·

3．（2011恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）

A．

B．

C．

D．

4．（2010岳阳）如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件中，错误的一组是（）

A．

BC=BD，∠BAC=∠BAD

B．

∠C=∠D，∠BAC=∠BAD

C．

∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD

D．

BC=BD，AC=AD

5．（2010鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）

A．

B．

C．

D．

6．（2009西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）

A．

（S．S．S．）

B．

（S．A．S．）

C．

（A．S．A．）

D．

（A．A．S．）

7．（2009芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）

（第7题）

（第8题）

A．

330°

B．

315°

C．

310°

D．

320°

8．（2009临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）

A．

PA=PB

B．

PO平分∠APB

C．

OA=OB

D．

AB垂直平分OP

9．（2009江苏）如图，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；

其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）

A．

1组

B．

2组

C．

3组

D．

4组

10．（2008新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（）

A．

h1＞h2

B．

h1＜h2

C．

h1=h2

D．

无法确定

11．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）

（第11题）

（第12题）

（第13题）

A．

B．

C．

D．

12．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

13．如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（）

A．

BB′⊥AC

B．

BC=B′C

C．

∠ACB=∠ACB′

D．

∠ABC=∠AB′C

二．填空题（共7小题，共21分）

14．（2013丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　_________　．

（第14题）

（第15题）

15．（2012通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　_________　．

16．（2012临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=　_________　cm．

（第16题）

（第17题）

（第18题）

17．（2011资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=　_________　度．

18．（2011郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有　_________　对全等三角形．

19．（2008大兴安岭）如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：　_________，使OC=OD（只添一个即可）．

20．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=　_________　度．

三．解答题（共6小题，共60分）

21．（2013陕西）如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．

求证：AC=OD．

22．（2012云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．

求证：△ABC≌△MED．

23．（2011乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．

求证：△BEC≌△CDA．

24．（2012密云县二模）已知：如图，∠C=∠CAF=90°，点E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于点D．求证：AB=FE．

A

B

C

D

E

25.如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.⑴求证：BE=CE；

⑵若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC,垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变.求证：AEF≌BCF.C

E

A

B

D

F

26.（10分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B．

一．选择题（共13小题）

1．（2013贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）

A．

4cm

B．

6cm

C．

8cm

D．

9cm

考点：

全等三角形的判定与性质．

分析：

求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．

解答：

解：∵F是高AD和BE的交点，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD，在△DBF和△DAC中

∴△DBF≌△DAC，∴BF=AC=8cm，故选C．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF≌△DAC．

2．（2011•芜湖）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（）

A．

B．

C．

D．

考点：

全等三角形的判定与性质．

分析：

先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应边相等就可得到答案．

解答：

解：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故选：B．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．

3．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）

A．

B．

C．

D．

考点：

角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

计算题．

分析：

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

解答：

解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∴△DEF≌△DNM（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△DEF=S△MDG==

故选B．

点评：

本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

4．（2010•岳阳）如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件中，错误的一组是（）

A．

BC=BD，∠BAC=∠BAD

B．

∠C=∠D，∠BAC=∠BAD

C．

∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD

D．

BC=BD，AC=AD

考点：

全等三角形的判定．

分析：

根据全等三角形的判定方法，对每个选项分别分析、解答出即可；

解答：

解：A、BC=BD，∠BAC=∠BAD，又由图可知AB为公共边，不能证明△ABC和△ABD全等，故本项错误，符合题意；

B、∠C=∠D，∠BAC=∠BAD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；

C、∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；

D、BC=BD，AC=AD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意．

故选A．

点评：

本题主要考查了全等三角形的判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

5．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）

A．

B．

C．

D．

考点：

角平分线的性质；三角形的面积．

分析：

首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．

解答：

解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF=DE=2．

又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，∴7=×4×2×AC×2，∴AC=3．

故选B．

点评：

本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用．

6．（2009•西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）

A．

（S．S．S．）

B．

（S．A．S．）

C．

（A．S．A．）

D．

（A．A．S．）

考点：

全等三角形的判定．

专题：

作图题．

分析：

我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．

解答：

解：作图的步骤：

①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；

④过点D′作射线O′B′．

所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；

作图完毕．

在△OCD与△O′C′D′，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．

故选A．

点评：

此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．

7．（2009•芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）

A．

330°

B．

315°

C．

310°

D．

320°

考点：

全等三角形的判定与性质．

专题：

网格型．

分析：

利用正方形的性质，分别求出多组三角形全等，如∠1和∠7的余角所在的三角形全等，得到∠1+∠7=90°等，可得所求结论．

解答：

解：由图中可知：①∠4=×90°=45°，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等

∴∠1+∠7=90°

同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°

故选B．

点评：

考查了全等三角形的性质与判定；做题时主要利用全等三角形的对应角相等，得到几对角的和的关系，认真观察图形，找到其中的特点是比较关键的．

8．（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）

A．

PA=PB

B．

PO平分∠APB

C．

OA=OB

D．

AB垂直平分OP

考点：

角平分线的性质．

分析：

本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．

解答：

解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB

∴PA=PB

∴△OPA≌△OPB

∴∠APO=∠BPO，OA=OB

∴A、B、C项正确

设PO与AB相交于E

∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE

∴△AOE≌△BOE

∴∠AEO=∠BEO=90°

∴OP垂直AB

而不能得到AB平分OP

故D不成立

故选D．

点评：

本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到△OPA≌△OPB，进而求得△AOE≌△BOE是解决的关键．

9．（2009•江苏）如图，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；

其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）

A．

1组

B．

2组

C．

3组

D．

4组

考点：

全等三角形的判定．

分析：

要判断能不能使△ABC≌△DEF一定要熟练运用判定方法判断，做题时注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来选择判定方法．

解答：

解：根据全等三角形的判定方法可知：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF，用的判定方法是“边边边”；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，用的判定方法是“边角边”；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F用的判定方法是“角边角”；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，用的判定方法是“角角边”；

因此能使△ABC≌△DEF的条件共有4组．

故选D．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

10．（2008•新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（）

A．

h1＞h2

B．

h1＜h2

C．

h1=h2

D．

无法确定

考点：

全等三角形的判定与性质．

分析：

本题可通过构建全等三角形进行求解．过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；因此只要证明△AMC≌△FNE，即可得出h1=h2．

解答：

解：过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；

在△AMC和△FNE中，∵AM⊥BC，FN⊥DE，∴∠AMC=∠FNE；

∵∠FED=115°，∴∠FEN=65°=∠ACB；

∵又AC=FE，∴△AMC≌△FNE；

∴AM=FN，∴h1=h2．

故选C．

点评：

本题主要考查了全等三角形的判定几性质；做题中通过作辅助线构造了全等三角形是解决本题的关键，也是一种很重要的方法，要注意学习、掌握．

11．（2007•义乌市）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）

A．

B．

C．

D．

考点：

角平分线的性质．

分析：

已知条件给出了角平分线还有PE⊥AC于点E等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．

解答：

解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3．

故选A．

点评：

本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质．做题时从已知开始思考，想到角平分线的性质可以顺利地解答本题．

12．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

考点：

全等三角形的判定．

分析：

∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边．

解答：

解：∠1=∠2，AC=AD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；

加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；

加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；

加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．

故选B．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．

13．（2005•乌兰察布）如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（）

A．

BB′⊥AC

B．

BC=B′C

C．

∠ACB=∠ACB′

D．

∠ABC=∠AB′C

考点：

角平分线的性质．

分析：

根据已知条件结合三角形全等的判定方法，验证各选项提交的条件是否能证△ABC≌△AB′C即可．

解答：

解：如图：∵AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，A：若BB′⊥AC，在△ABC与△AB′C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∠ACB=∠ACB′，∴△ABC≌△AB′C，AB=AB′；

B：若BC=B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB=AB′；

C：若∠ACB=∠ACB′，则在△ABC与△AB＇C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′；

D：若∠ABC=∠AB′C，则∠ACB=∠ACB′∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′．

故选B．

点评：

本题考查的是三角形角平分线的性质及三角形全等的判定；做题时要结合已知条件在图形上的位置对选项逐个验证．

二．填空题（共7小题）

14．（2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　15　．

考点：

角平分线的性质．

分析：

过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．

解答：

解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，故答案为：15．

点评：

本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

15．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　4：5：6　．

考点：

角平分线的性质．

分析：

首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．

解答：

解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．

故答案为：4：5：6．

点评：

此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

16．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=　3　cm．

考点：

全等三角形的判定与性质．

分析：

根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC﹣CE，代入数据计算即可得解．

解答：

解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm．

故答案为：3．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．

17．（2011•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=　45　度．

考点：

直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．

分析：

根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．

解答：

解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E

∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）

∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．

故答案为：45

点评：

三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

18．（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有　3　对全等三角形．

考点：

全等三角形的判定．

分析：

根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．

解答：

解：①△AEB≌△ADC；

∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，∴△AEC≌△ADC；

∴AB=AC，∴BD=CE；

②△BED≌△CDE；

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，∴△BED≌△CDE．

③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE．

故答案为3．

点评：

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目

19．（2008•大兴安岭）如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：　∠C=∠D或AC=BD，使OC=OD（只添一个即可）．

考点：

全等三角形的判定．

专题：

开放型．

分析：

本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．△AOD和△BOC中，由于∠BAC=∠ABD，可得出OA=OB，又已知了∠AOD=∠BOC，因此只需添加一组对应角相等即可得出两三角形全等，进而的得出OC=OD．也可直接添加AC=BD，然后联立OA=OB，即可得出OC=OD．

解答：

解：∵∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC；

∴当∠C=∠D时，△AOD≌△BOC；

∴OC=OD．

故填∠C=∠D或AC=BD．

点评：

本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．

20．（2005•荆门）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=　135　度．

考点：

全等三角形的判定与性质．

专题：

网格型．

分析：

根据对称性可得∠1+∠3=90°，∠2=45°．

解答：

解：观察图形可知，∠1所在的三角形与角3所在的三角形全等，∴∠1+∠3=90°，又∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135°．

点评：

主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．

三．解答题（共6小题）

21．（2013•陕西）如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．

求证：AC=OD．

考点：

全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

根据同角的余角相等求出∠A=∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：

证明：∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠A+∠AOC=90°，∴∠A=∠BOD，在△AOC和△OBD中，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC=OD．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．

22．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．

求证：△ABC≌△MED．

考点：

全等三角形的判定．

专题：

证明题．

分析：

根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED．

解答：

证明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°，∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，在△ABC与△MED中，∴△ABC≌△MED（AAS）．

点评：

此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．

23．（2011•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．

求证：△BEC≌△CDA．

考点：

全等三角形的判定．

专题：

证明题．

分析：

根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ACD，根据已知条件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA．

解答：

证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△BEC≌△CDA．

点评：

本题考查了全等三角形的判定定理，本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．

24．（2008•台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE　=　CF；EF　=　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

考点：

直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．

专题：

几何综合题．

分析：

由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．

解答：

解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；

∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．

②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．

证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．

∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．

又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．

（2）EF=BE+AF．

点评：

本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．

25．（2005•扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系请写出这个等量关系，并加以证明．

注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．

考点：

全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题；探究型．

分析：

（1）根据已知可利用AAS证明①△ADC≌△CEB，由此可证②DE=AD+BE；

（2）根据已知可利用AAS证明△ADC≌△CEB，由此可证DE=AD﹣BE；

（3）根据已知可利用AAS证明△ADC≌△CEB，由此可证DE=BE﹣AD．

解答：

解：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．

（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

点评：

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得出结论．

26．（2012•密云县二模）已知：如图，∠C=∠CAF=90°，点E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于点D．求证：AB=FE．

考点：

全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

首先证明∠B=∠2，再加上条件AE=BC，∠FAF=∠BCA，可利用ASA证明△ABC≌△FEA，再根据全等三角形对应边相等可得AB=FE．

解答：

证明：∵EF⊥AB于点D，∴∠ADE=90°．

∴∠1+∠2=90°，又∵∠C=90°，∴∠1+∠B=90°．

∴∠B=∠2，在△ABC和△FEA中，∴△ABC≌△FEA（ASA）

∴AB=FE．

第三篇：全等三角形证明

全等三角形的证明

1.翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理

（2）推论：角角边定理

3.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

N

M

FE

C

A B

第四篇：全等三角形证明

全等三角形证明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

F3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？

A B

C

第五篇：全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案）

1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

22.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

AB

3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2