2018考研数学考点解析：一元函数积分学_毙考题

第一篇：2018考研数学考点解析：一元函数积分学_毙考题

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2018考研数学考点解析：一元函数积分学

2018数学考试大纲已经出来了，记的去年是8月底出的，今年比去年晚了半个月的时间。下面我们就考研数学中的一元函数积分学这一块来简单聊下。

这一部分内容与去年比较整体要求没有什么出入。以下吴方方老师主要是根据2017年对定积分这一块的考查，并结合今天出来的2018年考试大纲来给2018的同学们来聊聊，接下来这三个月，我们在2018年的考研备考中所要注意的问题。

首先，我们结合刚刚出来的2018年考试大纲来明确这一部分的知识体系。大纲中要求我们，理解原函数的概念，理解不定积分的概念，掌握不定积分的的基本公式，掌握不定积分的积分方法，主要是换元法和分部积分法。关于一元积分学这章节还包括：定积分的定义，性质；微积分基本定理；反常积分以及定积分的应用这几个部分。这几个部分各有各的侧重点。而其中有关定积分的定义是要求我们掌握的重点，我们要充分理解微积分基本定理还要掌握定积分在几何和物理上面的应用。

至于反常积分这一块，会计算简单的反常积分，了解反常积分的概念并会判别收敛性，像2016年数学一第一道选择题就是考查反常积分的收敛性问题。去年就是由于很多同学对反常积分的敛散性的判别不熟，从而导致了选择题做的不顺，时间久耽误了，以至于影响到了后面的大题的解析。

关于定积分的定义及性质。这里要求同学们一定要理解分割、近似以及求和还有取极限这几个步骤。与此同时还要求同学们知道其几何意义及定义中我们所要注意的地方。早在2016年数学

二、数学三出了道填空题，是利用定积分定义来做的，而2017年考研数学

一、数学三又出了道10分的计算题，因此希望这一部分能引起同学们的一定的重视。对于n项和求极限的问题，我们知道主要是利用夹逼定理和定积分定义两种常用方法。因此，对于这一部分的内容与数列极限结合是我们要重视的。

关于定积分中的区间可加性、积分中值定理、比较定理这几个是同学要掌握的，而对于微积分基本定理这一块的知识点是非常重要的。关于切线与法线；以及单调性；极值；凹凸性的应用与变上限积分函数是可以相关联的。关于变上限积分函数，我们要掌握变上限积分求导，这一块知识与极限结合，就是我们常见的一种极限形式，即含有变上限积分的极限计算题。像2017年考研中的第一道极限的计算题就是有关变上限积分的极限计算问题。求导，吴方方老师希望同学们能够会证明，以前考研真题中也出现过此类问题。所以，应当值得我们重视。

下面我们来聊聊反常积分这一块内容，这块内容在2016年考研数学一的第一道选择题出现了，当年很多同学无从下手。由于对这一块知识的生疏，以至于这一道选择题就花了二十多分钟才解决，这个是不应该的。其实在某种意义上，当年2016年考的那题敛散性的选择

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题，是有些超纲的，而2017年考研对于这块的知识出了道填空题，是关于反常积分的计算题。这一块的内容大纲解析要求我们了解反常积分的基本定义，会计算反常积分。没有其他内容，所以收敛这一块应该是不会太为难我们，而关于反常积分的计算，同学们就当作定积分来求就可以了。

最后，就是有关定积分的应用部分了。关于定积分的定义这一块，吴方方老师希望童鞋们要掌握住，其主要就是利用微元法在几何上应用，对于数一和数二的同学还要求掌握物理上面的应用。数学三的同学要掌握用定积分求面积及旋转的体积。各种旋转体的体积是要求我们必须掌握的，在真题中确实出现过定积分几何应用于微分方程结合出题的，而对于数学一和数学二除了平面图形的面积和旋转体的体积外，还要求掌握用定积分求曲线弧长、旋转曲面的侧面积。

对于一元函数积分学这一块内容是我们同学们要重视的重要部分，一元函数的积分计算的二重积分以及三重积分等的基础，希望同学们好好努力，都有个好成绩。加油！

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第二篇：2018考研数学：关于“极限”问题的整理_毙考题

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2018考研数学：关于“极限”问题的整理

下面就高等数学重要知识点-极限在考研中的命题规律，题型，例题等方面给大家进行总结，希望能给你带来帮助。

极限的考查主要包含这几个角度：1.给定函数，求其极限；2.给定数列求极限；3.考查极限的应用；4.作为条件，解读信息。

1.函数极限：函数极限的求解，主要在于简化，拿到函数极限的问题，根据解题步骤：1)定型--判定未定式的类型，恒等变形为基本型来处理；2)简化--利用四则运算可以把存在的极限拆开，把非零的因式提取出来，整体因式的无穷小量进行等价替换；3)定法--若未定式是零比零形式，则考虑洛比达或者泰勒公式（出现了指数、三角函数、对数等优先利用泰勒相对简单）处理，若未定式是无穷比无穷，则考虑洛比达或者消去无穷大因式来解题。

2.数列极限：项无穷小的和，考虑定积分的定义；证明数列极限的存在性，优先考虑单调有界准则；求解未定式的数列极限，考虑连续化来求解；如果利用这些常规处理方法解决不了的问题，则利用夹逼准则进行计算。

3.会求函数极限，那么有关的应用：无穷小的比较、连续的问题、求间断点、渐近线、求某一点处的导数等问题，就迎刃而解，套相应的公式，计算极限即可。

4.如果题干当中给了极限作为条件，一般要从表达式中挖掘信息，下面就常考的几个形式给大家逐一讲解：

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第三篇：2018考研数学之高数考点预测：中值定理证明_毙考题

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2018考研数学之高数考点预测：中值定理证明

中值定理证明是高等数学重点难点，今年很有可能会考到，冲刺时间不多，小编带大家来把这些考点回顾巩固下： 中值定理是考研数学的重难点，这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明(介值或零点定理)，若有导数则采用微分中值定理来证明(罗尔、拉格朗日、柯西定理)，这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。

一、结论中无导数的情况

结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。

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第四篇：2011考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分学

2011考研数学常见疑难知识点精析之

《高等数学》

三、一元函数积分学

万学海文

1．关于不定积分的一些知识

1）、求导数与求不定积分是互逆的．已知一个函数其导数是唯一的，但是其逆运算——求不定积分的结果不是唯一的． dF(x)dxf(x)，而，f(x)dxF(x)C，由于C的不同，导致一个函数的不定积分有很多函数，这些函数之间相差一个常数．

2）、一个函数的不定积分和原函数是两个不同的概念．

如果F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就是f(x)的在某个区间上的一个原函数；函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为该函数在某个区间上的不定积分，所以一个函数f(x)的原函数为其不定积分中的一个函数，而其不定积分则是一族函数，它们之间相差一个常数，即，f(x)dxF(x)C

3）、如果函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上存在原函数；

如果函数f(x)在区间上有第一类间断点，则该函数在该区间上不存在原函数．

1,x0例如，设fx0,x0，则在任意一个包含x0在其内部的区间上，一定不存1,x0在原函数．

这是因为，当x0时xfx，因此当x0时，fx的一切原函数为xC，而在x0处xC不可导，因此在任意一个包含x0在其内部的区间上，xC不可以认为是fx的原函数，所以在这种区间上fx不存在原函数．

4）、奇偶性问题

当函数f(x)为奇函数时，则其全体原函数均为偶函数；

当函数f(x)为偶函数时，则其只有唯一一个原函数为奇函数． 5)、周期函数的原函数不一定是周期函数．如果函数f(x)是以T为周期函数，那么其全体原函数也是以T为周期的充要条件是f(t)dt0．

0T6）、如果分段函数存在原函数，则其原函数一定是连续的． 2．分段函数不定积分

对于分段函数，在对其进行不定积分的时候，要注意在分别求不定积分的时候，最后的常数要统一，从而保证原函数的连续性．

例3.1：设f(x)sin2x,x0ln(2x1),x0，求f(x)的原函数F(x)

12解：（1）当x0时，sin2xdx（2）当x0时，cos2xC1

ln(2x1)dx 1212ln(2x1)d(2x1)12[(2x1)ln(2x1)2(2x1)(2x1)dx]C2

[(2x1)ln(2x1)2x]C2，这时要对两个常数C1,C2进行统一．

C1F(0)112CCCC，（3）x0，所以，取，CC122122limF(x)C2F(0)x0limF(x)1则：

F(x)1212cos2xC(x0)[(2x1)ln(2x1)2x]C12

(x0)3．利用换元法求解不定积分，最后的结果一定要变为原来的积分变量．

例3.2：求dx2x21

x122解：作积分变量变换，令xtanu,则dxsecudu, 原式secudu(2tanu1)tanu1222 (2tansecudu22u1)secu (2tan2sindu2u1)cosu(du2sinucosu221)cosu2sincosudu22ucosucosu2

cosudu2ucosu2sincosudu2u1sindsinu2u1arctan(sinu)C

做到这里并没有完成求解原函数的任务，因为原积分变量为x，这里的最后结果不含x，而是含u，所以不能就此结束，而是要再重新换为原来的积分变量．

sinuarctan(sinu)Ctanu1tanu2arctan(x1x2tanuxx1x2)C

所以，最后的结果应为arctan()C，而并非是arctan(sinu)C．同时这里还要再次强调一下，最后的结果中常数C一定不能忘记． 4．下列两个命题是否正确？

1）如果 f(x)在 a,b上有原函数，那么 f(x)在 a,b上可积； 2）如果 f(x)在 a,b上可积，那么 f(x)在 a,b上一定有原函数.答：两个命题都不正确.先讨论命题1），在 a,b上有原函数的函数 f(x)未必是可积的，12xsin,x02x例如函数F(x)，在 1,1内处处可导，且

0,x01212xsincos,x022xxx，因此f(x)在 1,1上的原函数是F(x).F'(x)f(x)0,x0但 f(x)在 1,1上无界，所以 f(x)在 1,1上不可积.再讨论命题2），在 a,b上可积的函数不一定有原函数.例如符号函数sgnx在 1,1上可积，但x0是它的第一类间断点，我们知道在某区间I上具有第一类间断点的函数在该区间上原函数不存在，所以 sgnx在 1,1上的原函数不存在.5．在什么条件下，牛顿--莱布尼兹公式成立？ 答：如果函数 f(x)在 a,b上连续，则牛顿—莱布尼兹公式成立，此公式也称为微积分基本定理.它把函数 f(x)在区间 a,b上的定积分的计算转化为求 f(x)的原函数在区间 a,b上的增量，使定积分的计算十分方便.当条件不成立时，就不能用此公式.当然，牛顿--莱布尼兹公式成立的条件还可以适当放宽，例如有下面结论：

定理 设 f(x)在 a,b上可积，且原函数 F(x)存在，则

baf(x)dxF(b)F(a)

6．对连续函数而言，奇函数的原函数是偶函数吗？偶函数的原函数是奇函数吗？

答：奇函数的原函数是偶函数，但偶函数的原函数不全是奇函数.7．应用换元法计算定积分应注意哪些问题？

答： 在应用定积分的换元法时，首先要注意选取代换的函数 x(t)必须在[,]上具有连续导数，且有 ()a, 例如，计算积分令x1t1111不满足这些条件的代换将会导致错误的结果.()b，11x1112dx，可得到1x2dx11111t21t2dt1111t2dt

从而，原式为0，结果显然不正确.产生错误的原因在于 x1t在 1,1上不连续.其次，应注意在换元的同时要注意换积分限，即原积分对积分变量x的上、下限要换成新的积分变量t的上、下限.若换元法采用的凑微分法，而没有引进新的积分变量，则不需要换积分限.8．复合函数的变限积分函数，求导时应注意的问题．

设F(x)G(x)b(x)af(t)dt, 则，F'(x)f((x))'(x)，(x)g(t)dt，则，G'(x)g((x))'(x)，这里一定要注意符号问题．

若 H(x)H'(x)(x)(x)xh(t)dt，则此时对该函数求导，要注意积分变量和求导时的变量．

(x)(x)xh(t)dt'x(x)(x)h(t)dt'(x)(x)h(t)dtx(x)(x)h(t)dt'

(x)(x)h(t)dtx[h((x))'(x)h((x))'(x)]

在求导的过程中，是对t求导，所以可以把x看作常数．

第五篇：2018考研英语：常见长难句解析(65)_毙考题

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2018考研英语：常见长难句解析（65）

为给您2018考研英语复习助力，小编为大家整理了一些考研英语的长难句资料参考，英语的复习像盖楼应该从基础开始复习，希望大家平时抽出一点时间读一读记一记。In the American economy, the concept of private property embraces not only

the ownership of productive resources but also certain rights, including the

right to determine the price of a product or to make a free contract with

another private individual.【分析】

●本句话结构比较简单，句首是状语，主语是the concept of private property，谓语动词是embraces，后面的宾语用not

only….but also…连接，第二个宾语certain rights后面是including引导的结构作为解释，the right后面是or连接的to

determine和to make构成并列。【词汇】

●concept n.概念

●embrace v.拥抱，[僻义]包含

[写作句型] the environmental protection embraces not only a series of laws and

regulations but also the increased awareness of the public.环境保护不仅仅只是一系列的法律法规，还有老百姓意识的增强。●determine vt.决定;v.be determined to do 下定决心做某事 contract n.合同;v.缩短，收紧 区分 contact联系

【译文】

在美国经济中，私有财产的概念不仅包含对生产资源的所有权，也指其他一些特定的权利，如确定一个产品价格和与另一个私人个体自由签定合同的权利。

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