2018考研数学：利用凹凸性证明不等式的技巧和如何提高复习效率

第一篇：2018考研数学：利用凹凸性证明不等式的技巧和如何提高复习效率

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2018考研数学：利用凹凸性证明不等式的技巧和如何提高复习效率

在考研数学中，不等式的证明是一个常考点，也是一个难点，往往以大题的形式出题。这类题的证明方法主要有：利用函数的单调性证明，利用中值定理证明，利用曲线(函数)的凹凸性证明，利用函数的最值证明。大家对利用凹凸性证明不等式可能见得较少，在本文中作者就和大家谈谈这个话题，以便各位更多地了解和熟悉这种方法。

首先我们回顾和归纳一下凹凸性的定义和常用性质。

一、凹凸性的定义和性质

在具体不等式的证明中，采用何种方法为宜应根据题目的具体条件来确定，大家对不同的方法应灵活运用;另外说明一点，凹凸性不仅应用于不等式大题的证明中，有时也应用于考研数学选择题的解答中，如2014年的考研数学选择题就有一道题可以用凹凸性来解答，往年的考题也出现过这种题。最后预祝各位考生在2018考研中取得佳绩。

如何提高考研数学复习的效率呢？对于大部分理工科学生而言，在考研初试科目中数学是必考科目。有些同学感觉考研数学太难，或是自己感觉数学考高分的把握性不大，于是打算放弃数学，根据自己的专业情况换一个不考数学的院校或专业，但是发现换之后的院校和专业又不合心意，致使自己的考研之路很郁闷。在此，针对大部分学生对于数学的犹豫不决的态度，老师给予大家一些考研数学复习的建议。希望数学不再是考研途中的拦路虎，数学可以取得好成绩。

第一，紧扣大纲，把握重难点。大纲是我们复习的纲，是复习的标本。考研数学自2009年来几乎没有过变化，所以2018考研的学子们完全可以按照去年的考试大纲进行复习即可。无论是看书还是做题都要根据大纲进行复习。不同专业所考数学类别不同，某些考点及要求都不一样。同学们在复习时，根据考试大纲清楚自己所考的考点，针对不考的东西没必要进行复习和研究。对于知识点的要求不一样的地方，根据大纲要求，侧重点要分明，对于高频考点，要多加练习题目。在题目难度上，不做偏题和怪题，要求大家会做基础类题目和基础综合题目即可。

第二篇：利用函数凹凸性质证明不等式

利用函数的凹凸性质证明不等式

内蒙古包头市第一中学张巧霞

摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式.关键词：凸函数；凹函数；不等式.一． 引言

在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二． 凹凸函数的定义及判定定理

(1)定义 设f(x)是定义在区间I上的函数，若对于I上的任意两点x1,x2及实数0,1总有

f(x11x2)fx11fx2

则称f(x)为I上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式

f(x11x2)fx11fx2

则称f(x)为I上的凹函数（上凸函数）.特别地，取xx2fx1fx21).，则有f(1

222

若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理 若函数f(x)在区间 I上是二阶可微的，则函数f(x)是凸函数的充要条件是f“(x)0，函数f(x)是凹函数的冲要条件是f”(x)0.三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式

设f(x)是定义在区间I上的一个凸函数，则对xiI,i1,2,,n,i0,

i1ni1有

f(ixi)ifxi.i1

i1

nn

特别地，当i

i1,2,,n,有 n

f（x1x2xnfx1fx2fxn).22

琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它

在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式）设ai0,i1,2,,n,则有

n

nain

1i1i1ain

当且仅当a1a2an时，等号成立.证明 设f(x)lnx,因为f“(x)

a

i1

n

i

n

0,x0,, 2x

所以f(x)是0,上的凸函数，那么就有f（x)fx.ii

i

i

i1

i1

nn

现取xiai,i,i1,2,,n, n

n1n1n1

则有lnailnailnain, 

i1ni1ni1n1n1

得lnailnain,ni1i1

由lnx的递增性可得

n

1

（1）aii

i1ni1

同理，我们取xi

nn

0，就有 ai

n11lnna

ii1n11lnaii1n

n

n

n

1ln1i1ani

, 

即

ai（2）n

1i1i1ain

n

由（1），（2）两式可得

n

ain

1i1i1ain

（2）柯西——赫勒德尔不等式

p

1n

a

i1

i

n

pqababiiii i1i1i1

其中ai,bi,i1,2,,n是正数，又p0,p1,p与q共轭，即

nnn

q

1.pq

证明 首先构造函数fxxp,p1时，f”x0,x0 所以fxx是0,上的凸函数，则有

p

n

np

f(ixi)ixiixi i1i1i1

n

p

令 i

pi

p

i1

n,这里pi0,i1,2,,n，i

n

pixi

则i1

n

pii1

p



p

px

ii1

n

pi

p

i1

n

i

n

nnp即pixipixipii1i1i1

p1

由题设知

11p

1，得q，p1pq

所以

1p

1q



ppxpxpiiiii，i1i1i1

nn

p

n

1q

现取aipixi,bipi，i1,2,,n 则aibipixipi

1p

1q

pixi,pixiai，代入上式得

pp

pqababiiii i1i1i1

命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令pq2时，即得到著名的不等式——柯西不等式

nn

p

n

1q

22ababiiii i1i1i1

nn

n

n2n2

(aibi)aibii1i1i1

n

这里ai,bi,i1,2,,n为两组正实数，当且仅当aibi时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n边形中，以正变形的面积最大.证明 设圆的半径为r，内接n边形的面积为S，各边所对的圆心角分别为1,2,,n，则

S

rsin1sin2sinn,因为f“xsinx0，2

所以fxsinx是0,上的凹函数，由琴生不等式可得

f(

i1

n

i)fi.ni1n

n

n

即sin



i1

i

n



sin

i1

n

i

n

sininsin

i1

2

n

上式只有在12n时等号才成立，也即正n边形的面积最大.特别地，若A,B,C为三角形的三个内角时，由上式可得sinAsinBsinC

.2xy

例2 求证对任意的x0,y0，下面的不等式xlnxylny(xy)ln成立.证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令fttlnt,t0，因f”t所以有

0.故fttlnt是0,上的凸函数，t

xyfxfyf,x,y0,, 

22

即

xyxy1lnxlnxylny, 222

xy

(xy)lnxlnxylny,所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.nnnn

n4444

例3 设ai,bi,ci,di都是正实数，证明aibicidiaibicidi.i1i1i1i1i1

分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办

法将其变成标准形式。

nn

证明aibicidiaibicidi

i1i1

aibi

i1

n

n2

cidi

i12

n

n2222=aibicidi i1i1

n

n

n

n







ai

i1

bi

i1

ci

i1

di

i1

通过以上例子我们可得出结论，运用柯西不等式的关键是对照柯西不等式的标准形式，构造

出两组适当的数列，然后列出式子.例4 设a,b,c,d都是正实数，且cdab

证明 首先由均值不等式得





a3b3

1..证明

cd

a3b3acb3bda344

 acbdabcddc

a2abb

=a2b2再由柯西不等式得



2122

acbdab

c

d

d





ab=a2b2



122

c

322



a3b322

ab即cd



a3b3

cdacbd 

a2b2



a3b31 所以cd

六．总结

由上面的分析我们看到，虽然利用函数的凹凸性来证明不等式有它的局限性，但是往

往是其它方法不可代替的，我们可以充分感受到利用函数的凹凸性解决问题的方便和快捷，丰富了不等式的常规证法，开阔了解题思路.参考文献

【1】 【2】 【3】 【4】

谢惠民.数学分析习题课讲义【M】.高等教育出版社，2003.王仁发.高观点下的中学数学代数学【M】.高等教育出版社，1999.席博彦.不等式的引论【M】.内蒙古教育出版社，2000.华东师范大学数学系.数学分析【M】.高等教育出版社，1991.

第三篇：怎么才能提高考研数学的复习效率

怎么才能提高考研数学的复习效率

怎么才能提高考研数学的复习效率?考生要掌握住各种题型的解题方法和技巧，这里要考虑到数学学科的特点，要求考生自己将所有的解题思路都琢磨出来是十分困难的，这方面通常可以通过求教有经验的老师，报名考研辅导班，或者阅读有关的辅导书解决。另外在做题时，不必每道题都要写出完整的解题步骤，类似的题一般只要看出思路，熟悉其运算过程就可以，这样可以节省时间，提高做题的效率。对于这个问题，我们来看太奇教育考研组老师的怎么说。

注意内在联系

怎么才能提高考研数学的复习效率?个重要特征就是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切，和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。

万变不离其宗

怎么才能提高考研数学的复习效率?题型也相对固定，往定理、公式，做足够多的基础题来帮助巩固基本知识。;行列式的计算与矩阵运算之间的联系与差别;实对称阵的对角化与实二?太奇教育考研组老师提醒各位考生考研数学复习方法技巧有很多，考生应适当选择真正适合自己的，结合具体复习资 料，提高复习效率。最后，太奇教育考研组老师祝愿大家在2015的考研中都能取得优异的成绩。

第四篇：2014考研数学经验谈：怎样提高复习效率

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2014考研数学经验谈：怎样提高复习效率

考研暑期强化复习阶段已然过半，在摸索这段时间后，同学们的考研数学学科复习效果如何呢?在心态问题上请考生们一再注意，复习是一个循序渐进的过程，要有耐心，短时间的复习可能看不出效果，坚持一段时间之后你会发现原来自己不知不觉中提高了很多。再者，同学们复习数学学科要注意复习方法，数学复习一定要接地气，抓好基础。下面就如何提高考研数学复习效果做经验分享，希望对同学们有所启迪。

一、清晰把握解题思路

按照题型归类，会使考生对于题目的解题思路有更加清晰的把握。但是切记，参考书不宜太难，应该以历年真题为纲，如果充斥太多过难的模拟题，或者含有过多的技巧，对于大家把握数学概念的本质以及短时间内提高数学成绩都是没有意义的。在此提醒考生，数学最讲求真抓实干，只有脚踏实地把基础打好，才能在复习过程中做到游刃有余。如果真的觉得有些吃力，那就不妨参加一个难度适中的辅导班，在经济允许的条件下应该是更加有效的选择。

二、模拟题不宜做太多

在强化阶段，大家必须完成考研数学所必备的技能的掌握。强化期还要复习政治、英语、专业课，可能会把数学暂时搁置，所以大家要先把强化阶段的参考书或者辅导班的笔记看一看，主要看基本概念和公式。再做一做近5年的历年真题。由于在强化阶段做过这些题目，应该感觉比较顺，也就是复习一下基本概念、基本公式和解题技巧了。到了复习后期，大家可以先做两套模拟题，找一下做新题和在考场上实战的感觉。其实任何一套模拟题都不可能与真实的考试有太多的重合，所以，模拟题不宜做得太多，一是不够贴近考试，二是也没有那么多的时间。

三、合理分配复习时间

在复习时间的安排上，大家要做到有紧有松，这样才能保证自己的复习效果，以为追求量而忽视了质量，就很容易让你的复习效果大打折扣，换句话说，这也是一种时间的浪费。大家要合理有序地安排复习时间。强化阶段各科的复习都进入关键时刻。数学的复习不能连续搞太多天，那样脑子不清醒，但是也不能连续搁置太长的时间。大家可以每天花1~2个小时复习数学，作为其他科目的调剂，另外尽量把最清醒的时间分配给数学。

总之，考生在复习时，要清晰把握解题思路，合理运用模拟题，掌握好分配复习时间，相信大家一定会有一个好成绩。最后，预祝各位考生都能够取得考研的成功。

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第五篇：利用信息技术 提高数学教学效率

利用信息技术 提高数学教学效率

随着信息技术的飞速发展和日益普及，以多媒体计算机和网络为核心的信息技术日益成为拓展人类能力的创造性工具，为教育教学改革提供丰富的信息化资源。推进信息技术在小学数学教学中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，有利于逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，不仅有利于提高教学效率，也有助于提高学生的信息素养和综合能力。实现教师备课的有效性

备课是教师在上课前的教学准备。在备每一节课的教材时，必须确定教学目标，知道教学的重点和难点，采用什么教学方法，这就需要去广泛阅读有关的资料，包括教学参考书、报纸杂志、网上信息。由于计算机和网络的资源共享和信息搜集处理功能，使教师在备课时除了借助教材和教参外，还可以通过网络资源撷取更多的与教学内容相关的信息和资料，开阔教师的眼界，拓展教师上课的思路，丰富课堂教学资源。在此基础上，教师可以结合自身教学的实际情况，通过自己对信息的整合，不断提高课堂教学设计的质量和艺术。

1.1 收集备课资料的便捷性

在教学的备课阶段，教师除了自主精心准备教案、学案和相应的练习题之外，还可以在网上搜寻相关的图片、视频和课件资料。如果还有需要的话，还可以通过百度、Google、雅虎等搜索引擎进一步搜集资料。

1.2 使用备课资料的交互性

教师使用备课资料的交互性是利用软件平台进行备课另一大优势。可以通过平台中的“自主学习”板块，任意点击使用其他数学教师的备课资料，教师之间既可以达到最大限度的资源共享，又可以充分体现使用资料的自由选择性和重组性。以“解决问题的策略”一课为例，任何一位数学教师在教学这节课时，都可以通过平台参考其他数学教师针对这节课的相关备课资料（教案、图片、课件等），即使两位教师的教学思路不相同，也可以选择性地使用所需要的部分，比如只选择使用替换的图片。这种交互性为数学教师之间的相互学习、共同成长提供了有利的条件。

1.3 建立教师学习共同体

教师在探索有效整合的过程中，可以通过互联网，借助电子邮件、博客、学习网站、论坛以及网络即时通讯工具等形式，建立交流群体，得到本学区内外学校同行甚至是家长以及其他社会力量的支持。这样不仅能为教师提供经验共享的平台，同时能够在其他人的鼓励和帮助中增强应用信息技术教学的信心和动力，并由此可以获得更多更好的资源，可以有更多的机会和时间与同行一起探讨研究，逐渐提高整合的有效性。实践中可以考虑建立更高级别的区域学习共同体，在信息平台的基础上，由各学科的教研员牵头，开展网上研讨，指导资源的搜集、筛选、加工和利用，以及区域资源库的建设、维护等基础工作，以求达到信息技术与学科的有效整合、资源库的有效开发与利用、教师及教研员信息技术整合应用能力的提高等多方面的效益。

利用信息技术，实现课堂教学的最优化

2.1 为学生提供丰富的学习素材

面向21世纪的基础教育应以现代教育理论为指导，以信息技术为支撑，以培养创新型人才为目标，把学生培养成能充分适应21世纪的专门人才和高素质的劳动者。信息技术的快速发展扩展了信息传递的途径，丰富了信息资源的门类，提高了信息处理的手段，加快了信息传递的速度，同时增强了人们的信息意识，这使信息技术不仅可以成为教师的教学工具，而且可以成为学生学习的工具、获取学习资源的工具。利用各个网站，可以获得网络环境下珍贵的数字化的学习资源；利用本地区和学校的教育资源库，可以从中查找所需的学习素材。

如教学“亿以内数的读法和写法”时，课前安排学生通过各种途径（包括上网）搜集有关数据，课上学生代表汇报。他们带来的材料，有的是某两个星球之间的距离，有的是中国土地面积大小，有的是今年中央电视台春季晚会的收视率„„通过生动的、富有教育意义的、有说服力的数据、统计材料，学生不仅轻松地完成本节课的教学任务，而且成功地接受了一次爱祖国、爱社会主义、爱科学的思想教育。

2.2 激发学生的学习兴趣，使学生爱学、乐学

兴趣是最好的老师。计算机多媒体技术具有声情并茂、视听交融、动静交错、感染力强的特点，集文字、声音、图象、图形于一体，它在处理图文、动画、视音频等方面的良好作用能在很大程度上满足学生视听感官的需要，更好地激发学生学习的兴趣，调动学生的积极性，使学生产生强烈的学习欲望，从而形成良好的学习动机，产生良好的学习效果。

如在教学“平移与旋转”时，运用信息媒体播放游乐场的情景录像，让学生在逼真的情境中产生浓厚的探究兴趣，在已有认识发展水平上产生自主探究的愿望，因而在学习活动中更加积极主动，能说出、区别身边的平移与旋转现象。因此，适时地运用现代教育技术手段，灵活地运用电教媒体，创设教学情境，渲染气氛，制造氛围，刺激学生的视觉、听觉感官，学生的学习兴趣和探求知识的欲望就更加强烈，进一步提高学生学习的积极性和主动性，则必然使学习过程趣味盎然，学生自然爱学、乐学。

2.3 利用多媒体信息技术，突破教学难点

小学生的思维正处在由具体形象思维向抽象思维过渡的时期，这就构成小学生思维的形象性与数学的抽象性之间的矛盾。解决这一矛盾，利用多媒体信息技术进行教学，能够成功地实现由具体形象向抽象思维的过渡。

例如，在教学“圆柱的体积”时，一般让学生利用学具材料袋里准备好的圆柱模型，运用转化法，将圆柱体转化成长方体，来推导圆柱的体积公式。本节教学内容的难点就是体验数学极限。受材料的限制，动手操作难度很大。所以在学生讨论交流之后，运用课件进行总结，将圆柱分别平均分成8份、16份、32份，64份，然后拼成长方体。从电脑的演示过程中，学生可以清楚地看到平均分的份数越多，最后拼成的形状就越接近长方体，从而渗透了数学当中的极限思想。然后，让学生对比原来的圆柱进行观察，不难发现，长方体的底面积就等于圆柱的底面积，长方体的宽就等于圆柱的高，这样就可以把圆柱转化成长方体，推导出体积公式。在教学中，电脑画面的动静结合，刺激着学生的感官，把数学课本上抽象的文字描绘和静止图像转化为具体、直观的动态过程，这样就使难点变得容易理解，达到理想的教学效果。

利用信息技术，促进学习方式的转变

3.1 运用信息技术培养学生自主、合作、探究的学习习惯

数学课程标准提出：“积极倡导自主、合作、探究的学习方式。”这一理念不仅强调学习方式的变革，而且强调学生是学习和发展的主体。数学课程必须根据学生身心发展和数学学习的特点，关注学生的个体差异和不同的学习需求，保护学生的好奇心、求知欲，充分激发学生自主学习意识和进取精神，培养学生创新精神和实践能力。由于信息技术容量大、表现力强和交互灵活，使学生在数学学习过程中能获取丰富的学习资源和得到更便捷的帮助，有利于实现真正意义上的自主探究学习。

3.2 运用信息技术，培养学生的创新思维品质

信息技术与课程整合所提供的信息资源，较之传统教学模式的单纯抽象文字填灌式的教学模式具备无可比拟的优势，它可以超越时空限制，从而为学生创设一个理想化的学习环境，为学生提供一系列生动、具体与真实、形象的多维化、立体式的课文情境。由网络提供的多媒体的文本、图形、图像、动画、影视等视频信息与解说、拟音、音乐等音频信息，促使学生在学习过程中手、脑、眼、耳、口多种感官同时并用，充分激发学生的学习兴趣，促使他们主动学习并发展个性爱好，大大发展学生以形象思维为主的多种思维能力，有助于他们在数学学习中创新思维品质的形成。

（作者单位：山东省淄博市张店区马尚镇镇东小学）