数学分析 实数的完备性

第一篇：数学分析 实数的完备性

《数学分析》教案

第七章 实数的完备性

教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。

教学时数：8学时

§ 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）

教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础。

教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。一．确界存在定理：回顾确界概念．

Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界.二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念.Th 2 单调有界数列必收敛.《数学分析》教案

1.基本列 : 回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy列.例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴

.⑵

解 ⑴

.;对，为使，易见只要.于是取

⑵..当 有 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , ，《数学分析》教案

.因此, 取 ,„„

2.Cauchy收敛原理: Th 4 数列

收敛

是Cauchy列.(要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明)五.致密性定理: 数集的聚点

定义 设 是无穷点集.若在点(未必属于 无穷多个点, 则称点 为

数集 集是闭区间是闭区间 = 的一个聚点.)的任何邻域内有 的有唯一聚点 , 但;设.是

;开区间 的全体聚点之的聚点集

中全体有理数所成之集, 易见

1.列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.Th 5(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列.2.聚点原理 : Weierstrass聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六.Heine–Borel 有限复盖定理: 1.复盖: 先介绍区间族

.《数学分析》教案

Ⅱ: 区间套定理 Ⅲ: 区间套定理

致密性定理

Cauchy收敛准则;

区间套定理.Heine–Borel 有限复盖定理

一.“Ⅰ” 的证明:(“确界原理

单调有界原理”已证明过).1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛.证

2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”:

Th 3 设

.证

系1 若 当 时, 总有

是区间套.是区间套

确定的公共点, 则对.，是一闭区间套.则存在唯一的点 ,使对

有

系2 若 ↗ , ↘ ，确定的公共点, 则有

3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:

Th 4 数列

收敛

是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(证)Th 4 的证明:(只证充分性)教科书P217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：

Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界.《数学分析》教案

教学目的： 能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：基本定理的应用。

一.有界性:

命题1 ，在

上

.证法 一(用区间套定理).反证法.证法 二(用列紧性).反证法.证法 三(用有限复盖定理).二.最值性:

命题2(只证取得最大值)证(用确界原理)参阅[1]P226[ 证法 二 ]后半段.三.介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3(零点定理)证法 一(用区间套定理).证法 二(用确界原理).不妨设 令 ,有).取

> 且,.现证 , 则

非空有界，.，在

上取得最大值和最小值.有上确界.设

且 , ,(为此证明.由

在点 连续和

第二篇：在数学及其相关领域中的完备性

在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域(algebraically closed field)、紧化(compactification)或哥德尔不完备定理。

一个度量空间或一致空间（uniform space）被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛(converges)，请参看完备空间。

在泛函分析(functional analysis)中, 一个拓扑向量空间(topological vector space)V的子集S被称为是完全的，如果S的扩张(span)在V中是稠密的(dense)。如果V是可分拓扑空间(separable topology space)，那么也可以导出V中的任何向量都可以被写成S中元素的（有限或无限的）线性组合。更特殊地，在希尔伯特空间(Hilbert space))中（或者略一般地，在线性内积空间(inner product space)中），一组标准正交基(orthonormal basis)就是一个完全而且正交的集合。

一个测度空间(measure space)是完全的，如果它的任何零测集(null set)的任何子集都是可测的。请查看完全测度空间(complete measure)。

在统计学中，一个统计量(statistic)被称为完全的，如果它不允许存在0的无偏估计量(estimator)。清查看完备统计量(complete statistic)。

在图论(graph theory)中，一个图被称为完全的(complete graph)，如果这个图是无向图，并且任何两个顶点之间都恰有一条边连接。

在范畴论(category theory)，一个范畴C被称为完备的，如果任何一个从小范畴到C的函子(functor)都有极限(limit)。而它被称为上完备的，如果任何函子都有一个上极限(colimit)。请查看范畴论中的极限定义。

在序理论(order theory)和相关的领域中，如格(lattice)和畴(domain theory)中，全序性(completeness)一般是指对于偏序集(partially ordered set)存在某个特定的上确界(suprema)或下确界(infima)。值得特别注意的是，这个概念在特定的情况下也应用于完全布尔代数(complete Boolean algebra)，完全格(complete lattice)和完全偏序(complete partial order)。并且一个有序域(ordered field)被称为完全的，如果它的任何在这个域中有上界的非空子集，都有一个在这个域中的最小上界(least upper bound)；注意这个定义与序理论中的完全有界性(bounded complete)有细小的差别。在同构的意义下，有且仅有一个完全有序域，即实数。在数理逻辑(en:mathematical logic中)，一个理论(theory)被称为完备的，如果对于其语言(language)中的任何一个句子(sentence)S，这个理论包括且仅包括S或。一个系统是兼容的，如果不存在同时P和非P的证明。哥德尔不完备定理证明了，包含皮亚诺公理(Peano axioms)的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。在证明论(proof theory)和相关的数理逻辑的领域中，一个形式的演算(caluclus)相对于一个特定的逻辑（即相对于它的语义(semantics)）是完备的，如果任何由一组前提Q根据语义导出的陈述P，都可以从这组前提出发利用这个演算语法地(syntactically)导出。形式地说，导出。一阶逻辑(First-order logic)在这个意义下是完备的。特别低，所有逻辑的重言式(tautologies)都可以被证明。即使在经典逻辑中，这与前述的完备性是不同的（即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式）。相反的概念被称为可靠性（soundness）。在计算复杂度理论(computational complexity theory)中，一个问题P对于一个复杂度类C，在某个给定类型的归约下是完全的(complete)，如果P在C中，并且C中的任何问题利用该归约都可以化归到P。例如，NP完全问题(NP-complete)在NP(NP)类和多项式时间(polynomial-time)和多对一归约的意义下是完全的。

第三篇：数学分析教案 (华东师大版)第一章实数集与函数

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第一章 实数集与函数

导言 数学分析课程简介(2 学时)

一、数学分析(mathematical analysis)简介:

1.背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.2.极限(limit)—— 变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：

1.孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 —— 微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：

三、数学分析课的特点:

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星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.4.讲解的重点: 概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.五.要求、辅导及考试：

1.学习方法:尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色.课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为 : 3。

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容.大体上每周收一次作业, 一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整.3.辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]中的典型例题.考试题为标准化试题，理论证明题逐渐增多.第一章 实数集与函数

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3.三歧性(即有序性): 4.Rrchimedes性:

5.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.6.实数集的几何表示 ─── 数轴:

7.两实数相等的充要条件: 8.区间和邻域: 二.讲授新课：

（一）.几个重要不等式: 1.绝对值不等式: 定义

[1]P3 的六个不等式.2.其他不等式: ⑴

记 ⑵ 均值不等式: 对

(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)

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教学方法：讲授为主。

一、区间与邻域

二、有界数集与确界原理:

1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界)，闭区间、邻域等都是有界数集，集合

为有限数）、也是有界数集.无界数集: 定义, 等都是无界数集, 集合 也是无界数集.2.确界:给出直观和刻画两种定义.例1 ⑴

则

⑵

则

例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设和

是非空数集，且有

则有

.例4 设和

是非空数集.若对和都有则有 证 是的上界, 是的下界，临沂师范学院《数学分析》教案

教学要求：

1.深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；

2.牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。

教学重点：函数的概念。

教学难点：初等函数复合关系的分析。

一、函数:

1.函数: [1]P10—11的四点说明.2.定义域: 定义域和存在域.3.函数的表示法:

4.反函数: 一一对应,反函数存在定理.5.函数的代数运算:

二、分段函数: 以函数

介绍概念.例1

去掉绝对值符号.和

为例例

2求

例3 设

三、函数的复合:

求(答案为8)

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作业：

P15 3；4.(2)(3)；5.(2)；7:(3)；11

§4 具有某些特性的函数(2学时)教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。

教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点：周期函数周期的计算、验证。

一、有界函数: 有界函数概念.例6 验证函数

在

内有界.解法一

由

当

时,有

对

总有

即

关于的二次方程

在

内有界., 解法二 令根.有实数

解法三 令

对应

于是

第四篇：数学分析

360《数学分析》考试大纲

一． 考试要求：掌握函数，极限，微分，积分与级数等内容。

二． 考试内容：

第一篇 函数

一元与多元函数的概念，性质，若干特殊函数，连续性。第二篇 极限

数列极限，一元与多元函数极限的概念及其性质，实数的连续性（确界原理，单调有界原理，区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理等）。

第三篇 微分

一元与多元函数导数（偏导数）与微分的概念，性质，公式，法则及应用；函数的单调性与凸性，极值与拐点，渐进线，函数作图；隐函数。

第三篇 积分

不定积分的概念，性质，公式，法则；定积分的概念，性质，公式，法则及应用；反常积分与含参积分；重积分与曲线曲面积分。第四篇 级数

数项级数，函数项级数，幂级数与傅立叶级数的概念，性质，公式，法则及应用。

参考书目：华东师范大学数学系，数学分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

第五篇：数学分析

《数学分析》考试大纲

一、本大纲适用于报考苏州科技学院基础数学专业的硕士研究生入学考试。主要考核数学分析课程的基本概念、基本理论、基本方法。

二、考试内容与要求

(一)实数集与函数

1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;

2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理;

3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；

4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；弄清区间和邻域的概念, 理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。

(二)数列极限

1、极限概念；

2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；

3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。

要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能运用；了解数列极限柯西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系；了解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系.(三)函数极限

1、函数极限的概念，单侧极限的概念；

2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；

3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），柯西准则；

4、两个重要极限；

5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。

要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用-, -X语言处理极限问题；了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极

限来处理极限问题。

(四)函数连续

1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；

2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；

3、初等函数的连续性。

要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。

（五）导数与微分

1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；

2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；

3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；

4、高阶导数与高阶微分。

要求：理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。

（六）微分学基本定理

1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限

（七）导数的应用

1、函数的单调性与极值；

2、函数凹凸性与拐点.要求：了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法，能利用函数的特性解决相关的实际问题。

（八）实数完备性定理及应用

1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；

2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；

3、上、下极限。

要求：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明；理解聚点的概念，上、下极限的概念。

（九）不定积分

1、不定积分概念；

2、换元积分法与分部积分法；

3、几类可化为有理函数的积分；

要求：理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。

（十）定积分

1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；

2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；

3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；

4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。

要求：理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类，会一些较简单的可积性证明；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。

（十一）定积分的应用

1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；

2、定积分在物理上的应用：功、液体压力、引力。

要求：重点掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）数项级数

1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；

2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；

3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

要求：理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数与p级数。

（十三）函数项级数

1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；

2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。

要求：掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。

（十四）幂级数

1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；

2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。

要求：了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式

（十五）付里叶级数

1、付里叶级数：三角函数与正交函数系, 付里叶级数与傅里叶系数, 以２ 为周期函数的付里叶级数, 收敛定理；

2、以2L为周期的付里叶级数；

3、收敛定理的证明。

要求：理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念；掌握傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数；了解收敛定理的证明。

（十六）多元函数极限与连续

1、平面点集与多元函数的概念；

2、二元函数的极限、累次极限；

3、二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。要求：理解平面点集、多元函数的基本概念；理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念，会计算一些简单的二元函数极限；了解闭区间套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。（十七）多元函数的微分学

1、可微性：偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续性与可微性，偏导数与可微性；

2、多元复合函数微分法及求导公式；

3、方向导数与梯度；

4、泰勒定理与极值。

要求：理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算；弄清全微分、偏导数、连续之间的关系；了解泰勒公式；会求函数的极值、最值。

（十八）隐函数定理及其应用

1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；

2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；

3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。

要求：了解隐函数的概念及隐函数的存在定理，会求隐函数的导数；了解隐函数组的概念及隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；了解条件极值概念及求法。

（十九）重积分

1、二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；

2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；

3、含参变量的积分；

4、三重积分计算：化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换）；

5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；

6、含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质；

7、欧拉积分：格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。

要求：了解含参变量定积分的概念与性质；熟练掌握二重、三重积分的概念、性质、计算及基本应用；了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念；理解含参变量非正常积分一致收敛的判别定理，并掌握它们的应用；了解欧拉积分。

（二十）曲线积分与曲面积分

1、第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；

2、第二型曲线积分的概念、性质与计算，变力作功，两类曲线积分的联系；

3、格林公式，曲线积分与路线的无关性, 全函数；

4、曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性；

6、场论初步：场的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系；熟练掌握格林公式的证明及其应用，会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积分；了解场论的初步知识。

三、主要参考书

《数学分析》（第三版），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2004年。《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文，高等教育出版社，1993年。

四、主要题型：

填空题，选择题，计算题，解答题，证明题，应用题。