浅谈线性空间与欧式空间

第一篇：浅谈线性空间与欧式空间

2014 年三会一课会议记录示例月 10 日

支部委员会

内容： 1、传达镇党委工作会议精神。2、临近春节，讨论摸排村内不稳定因素，及时

解决村民反映的突出问题。3、总结 2012 年各项工作 ……..，讨论 2013 年重点工作，制定 2013 年初步工作计划 ………，下一步及时召开党员大会进行讨论。4、讨论村内

环境卫生整治工作，杜绝垃圾乱倒现象，积极营造优美居住环境。2 月 3 日

支部委员会 内容： 1、讨论如何进一步优化村内环境，清扫大街，欢度春节。2、传达镇党委政府 春节安全工作会议精神，进一步强调社会平安稳定工作。3、安排发放计生明白纸。4、春节前走访困难群众，座谈了解群众的实际困难和问题，及时加以解决。3 月 1 日 党员大会

内容：商议村内重大建设项目及工作计划

一、（支书姓名）介绍我村今年的工作计划。

二、（支部书记）介绍当前重点惠民项目情况

今天我们商议的事是：（修路、修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械、整理农田、修理自来水等。再详细介绍一下项目内容、投资情况）。如修 村内大街，长

米，宽

米，需建设资金

万元，经村两委讨论决定，建设资金 为村集体收入资金（或群众共同出资，每人 元）。

三、党员讨论结果

经村党员大会讨论举手表决：同意通过。参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。党员纷纷表示，会积极向群众宣传本次会议精神，配合村里的工作。

四、（支书姓名）总结。同志们考虑的很全面，提出的意见很中肯，我们村两委成员，一定会按照同志们的想法，认真修改初步制定的计划，制定最终方案，做好惠民项目 的建设。月 1 日

上党课内容 :（一般召开一次党员大会，就跟着上一次党课，这样符合实

际情况，检查的时候也可信）

一、（支书姓名）主持会议 今天，镇领导 …

（填写联系本村的副科级领导）到我村来为大家上党课，让我们用热 烈的掌声欢迎领导讲话。

二、镇领导讲话

一是传达今年以来，市委抓基层党建工作的重要精神，强调加强村两委班子和 党员队伍建设的重要性和紧迫性。二是根据市委的要求，通报今年以来我镇在加强

基层党组织建设方面出台的一系列措施及有关要求。

三是如何发挥党员先锋模范作

用。我们村党组织和全体党员都要积极投身活动，实现组织和党员全覆盖。本着有利 于党组织开展活动、有利于党员参加、有利于创先争优活动取得实效的原则，巩固和 拓展学习实践科学发展观活动成果结合起来，精心设计特色鲜明、务实管用的载体，精心组织实施好创先争优活动。提几点要求。一是要提高思想认识，结合实际开展

大讨论活动；

二是要认识到创先争优的核心是发展，要结合我村实际，发展村域经济；

三是要处理好社会发展与经济发展的关系；四是重点要加强党员干部作风建设，要加 强窗口建设，努力提高服务意识和水平。

三、（支书姓名）总结

结合工作实际，就基层党建工作的重大意义、新时期发挥党员先锋模范作用、党 员“五带头”的标准尺度等问题，进行了精辟的阐述，给我们上了一堂既有理论性、又有实践性的党课。党的先进性需要通过党员的具体先锋模范行动来体现，就基层党 员来说，日常工作、生活中都能展示党员先锋模范作用的舞台。课后，希望大家结合 这次党课上所讲的内容，围绕如何发挥党员先锋模范作用这个主题，进行认真的讨论，进一步领会领导讲课的内容，切实推进我村的工作。月 10 日

支部委员会、（支部书记）传达镇党委政府关于春季植树造林会议精神。

大力开展植树造林动活，对于保护和改善生态环境，增加农民收入。2、讨论安排挖沟渠、清扫大街工作。4 月 10 日

支部委员会 1、传达落实镇党委政府关于营造计划生育宣传氛围的精神。2、加强春季林木管护、涂白工作。月 10 日

支部委员会、安排部署美国白蛾防治工作。2、按照镇党委安排部署，积极做好计生宣传工作。3、当前的几项重点工作

（依次罗列安排，需讨论的讨论）。月 10 日

支部委员会、研究做好防汛准备工作。2、研究安排小麦、玉米、棉花保险费的征收工作。3、抓住麦收期间这一有利时机，做好计生工作。月 1 日 党员大会

内容：纪念“七一”建党** 周年座谈会

一、由（支部书记）带领广大党员重温入党誓词，带领大家学习《党章》。

二、党员展开讨论

生活发生的深刻变化和走过的光辉历程。尤其是看到我市、我镇这几年发生的巨 大变化，对我们的党、国家的未来充满信心。希望以后能充分发挥党员的先锋模范作 用，为本村、本镇的发展贡献一份力量。

三、（支书）做总结讲话

我们村正处于发展的有利时机，广大党员要带头，起到先锋模范作用，在做好防 汛、防洪、计生等工作的同时，自觉爱护我们现在已有的环境，争取做到爱护环境，人人有责，希望各个方面都能走在全镇前列，各项事业都能取得新成绩。

四、党员向党支部交纳党费。月 10 日

支部委员会

内容： 1、排摸村内不稳定因素，分析群众思想状况，讨论村民反映强烈的问题 2、研

究部署美国白蛾防治工作。月 1 日：党课

一、新形势下村干部的主要工作职责是什么？

在农业和农村经济发展的新阶段，村干 部主要职责总结起来就是四个字，即传、带、稳、育。1、传，既传达、贯彻、落实 党的政策 2、带，既带头并带领群众发展经济 3、稳，既协助地方党委、政府做好农 村各项工作，维护农村稳定。4、育，既提高村民的素质，培育新型农民。

二、新形势下村干部应该具备哪些素质？

总的来说，一个受人爱戴的村班子必须要具备三个基本的特征： 第一，要有强

烈的发展意识。不甘落后，锐意进取，自强不息，艰苦创业，有市场意识、产业意识、项目意识、品牌意识、亲商意识。第二，要有切实可行的发展路子。在某种程度上，思路就是出路，没有思路的班子绝对不是好班子。第三，要有实实在在的发展业绩。

要会干事、能干事、干成事，仅有思路不落实，只说不干，只讲客观不讲主观，任职 多年，村上面貌依旧，一事无成的班子也不是好班子。要具备以上三个基本特征，就 要求村干部必须具备以下四个方面的能力。一是

带民致富的能力。二是

依法办事的能 力。三是

科技示范能力。四是

服务群众的能力。月 10 日

支部委员会、研究部署美国白蛾防治、防汛等工作。2

、讨论村内重点项目

（从中选择 1-2 项：整修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械等）。9 月 10 日 支部委员会

内容： 1、排摸村内不稳定因素，分析群众思想状况，讨论村民反映强烈的问题。2、研究部署美国白蛾防治、防汛等工作。月 1 日 党员大会

（仅是示例，发展党员的党员大会请按实际时间做会议记录）

内容

：分为两种情况，各村结合自己实际从中选择一种。

第一种情况： 2013 年有党员发展对象（发展预备党员或党员转正）的村按下面的要 求写 ：

一、（支部书记）传达会议精神。„„„

二、由（党员发展对象姓名）入党介绍人介绍主要情况

介绍人一： *** 同志在考察期间，能够认真学习理论知识，注重自身修养，在政治上

保持清醒的头脑，在思想上保持高尚的境界，将理论知识运用到实际生活中，坚持不 懈，持之以恒，实事求是，脚踏实地，处处起表率作用，树立良好的党员形象，认真 对待自己的缺点和不足，并及时地进行改正。总之，该同志能够不断提高自身党性修 养和综合素质，充分发挥共产党员的先锋模范和用，我们认为 *** 同志基本具备一名

预备党员（或正式党员）的条件，我同意 *** 同志加入党组织。（或我同意 *** 同志按 期转正）

介绍人二： „„„„.三、支部报告对党员发展对象的政治审查情况 本支部通过采取查阅本人档案材料、派人处调、函调、与本人谈话、征求有关监督部 门意见、召开党内外群众座谈会以及公示等方法对 *** 同志进行了政治审查及考核，认为该同志本人政治历史清楚，在重大政治斗争中旗帜鲜明，能够与党中央保持一致，其家庭主要成员和社会关系清楚。

四、党员无记名投票表决

经村党员大会讨论无记名投票表决：通过了 **** 同志转发展为中共预备党员（或按期转正）的决议。参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。

第二种情况： 2013 年无党员发展对象的村，入党积极分子“双推”按以下要求写：

（注意：入党积极分子“双推”前应有一次支委会讨论入党积极分子的会议记录，一 句话即可）

一、（支部书记）传达会议精神。„„..二、由（入党积极分子姓名）培养联系人介绍主要情况

培养人一： *** 同志自 2009 年 1 月提出入党申请以来，识，积极 向党组织靠拢，主动汇报思想，积极参加村、党组织的政治活动，认真学习党的基本知优点是： 学习认真、乐于助人、尊老爱幼，是我们村公认的积极模范分子。缺点是：理论学习不够深入。

培养人二： „„„„„„„.三、党员和群众代表无记名投票表决

经村党员大会讨论投票表决： 通过了确定 ***

同志为入党积极分子并重点培养的决议。党员参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。群众代表参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。10 月 1 日

党课：

一、（支部书记）领学《党章》的主要内容

主要学习了党的性质，中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华 民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的领导核心，代表中国先进生产力的发展要 求，代表中国先进文化的前过方向，代表中国最广大人民的根本利益。党的最高理想 和最终目标是实现共产主义。

学习党的宗旨和指导思想、思想路线。党的宗旨就是全心全意为人民服务，中国共产 党以马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想作为自己的行动指 南，一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。

二、党员讨论发言

大家纷纷表示，通过对《党章》的再学习，提高了党员的先锋模范意识，增强了党员 发挥作用的自觉性和主动性。月 10 日

支部委员会

内容： 1、安排部署计划生育工作。2、安排部署农业结构调整事宜。月 1 日 党员大会

内容：

一、（支部书记）传达村两委会议精神，对大街进行综合整治，改善村民居住 环境。

一是从今天开始全村开展大街整治。二是村两委成员包一条大街。三是大街整治内容： 对大街两旁的杂草、粪便、麦秸等杂物全部清理干净，先由户清理成堆，村再组织人 员清理走。

二、党员讨论发言

（党员）：村内大街整治非常有必要，我支持

（党员）：我支持村两委的工作，积极参与大街整治

（党员）：这个活动搞得很好，我们村整理一下，搞好了环境卫生，和在城里住没啥 区别，大力支持。

（党员）：我全力支持，一定尽全力，支持村两委工作月 1 日 党课

共产党员如何发挥先锋模范作用？

一、做有理想的模范

二、做有道德的模范

三、做努力工作、好学上进、促进先进社 会生产力的模范

四、做不尚空谈、多干实事的模范

五、做深化改革，勇于创新的模 范

六、做遵纪守法，同不正之风，腐败现象和违法犯罪行为作斗争的模范月 10 日

支部委员会 内容： 1、积极采取措施抓紧进行覆盖地膜保温，增强保温抗寒能力。2、安排冬季联

户联防工作，确保冬季社会平安。3、讨论开展星级文明户评选活动相关事宜。月 10 日

第二篇：高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三 教学重点:集合映射的有关定义.四 教学难点:集合映射的有关定义.五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差)设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作AB；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做AB；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做AB.定义:(集合的映射)设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为

f:AB,af(a).如果f(a)bB,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即f(A)f(a)|aA.若aa'A,都有f(a)f(a'), 则称f为单射.若 bB,都存在aA,使得f(a)b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射,则称f为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域K上n个数a1,a2,,an,我们使用如下记号:

·６０·a1a2anai, a1a2anai.i1i1nn当然也可以写成

a1a2an(2)求和号的性质 容易证明，1inai, a1a2an1inai.aiai,(aibi)aibi,aijaij.i1i1i1i1i1nnnnnnmmni1j1j1i1事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

a11a21an1a12a22an2a1ma2m

anm分别先按行和列求和,再求总和即可.§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质.三 教学重点：线性空间的定义与简单性质.四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.五 教学过程：

1.线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间)设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(VVV),又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量

·６１· 乘法“”(KVV),且“+”与“”满足如下性质:

1、加法交换律 ,V,有；

2、加法结合律 ,,V,有()()；

3、存在“零元”,即存在0V,使得V,0；

4、存在负元,即V,存在V,使得0；

5、“1律” 1；

6、数乘结合律 k,lK,V,都有(kl)k(l)l(k)；

7、分配律 k,lK,V,都有(kl)kl；

8、分配律 kK,,V,都有k()kk, 则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义,不光与集合V有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质

命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'；

V,设,'都是的负向量,则

0(')'()0, 于是命题得证.由于负向量唯一,我们用代表的负向量.定义4.2(减法)我们定义二元运算减法“-”如下:

定义为().命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:

1、加法满足消去律 ；

2、可移项 ；

3、可以消因子 k且k0,则1； k4、00, k00,(1).(3)线性空间的例子

·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义4.3(线性组合)给定V内一个向量组1,2,,s,又给定数域K内s个数k1,k2,,ks,称k11k22kss为向量组1,2,,s的一个线性组合.定义4.4(线性表出)给定V内一个向量组1,2,,s,设是V内的一个向量,如果存在K内s个数k1,k2,,ks,使得k11k22kss,则称向量可以被向量组1,2,,s线性表出.定义4.5(向量组的线性相关与线性无关)给定V内一个向量组1,2,,s,如果对V内某一个向量,存在数域K内不全为零的数k1,k2,,ks,使得k11k22kss0,则称向量组1,2,,s线性相关；若由方程k11k22kss0必定推出k1k2ks0,则称向量组1,2,,s线性无关.命题4.3 设1,2,sV,则下述两条等价: 1)1,2,s线性相关； 2)某个i可被其余向量线性表示.证明同向量空间.定义4.6(线性等价)给定V内两个向量组

1,2,,r(Ⅰ), 1,2,,s(Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4.7(极大线性无关部分组)给定V内一个向量组1,2,,s,如

·６３· 果它有一个部分组i1,i2,,ir满足如下条件:(i)、i1,i2,,ir线性无关；

(ii)、原向量组中任一向量都能被i1,i2,,ir线性表示, 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到Kn的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义4.8(向量组的秩)一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2 求证:向量组e1x,e2x的秩等于2(其中12).证明:方法一:设k1,k2∈R,满足k1e1xk2e2x0,则k1e1xk2e2x,假若k1,k2不全为零,不妨设k10,则有e(12)xk2,而由于12,等号左k1边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是k1k20.所以e1x,e2x线性无关,向量组的秩等于2.证毕.方法二:若在(a,b)上k1e1xk2e2x0, 两端求导数,得k11e1xk22e2x0，cck1e1k2e20,以xc(a,b)代入,有 1c2ck11ek22e0.而e1ce2c1e2c2e2ce(12)c(21)0, 于是k1k20.证毕.·６４·§3 维数、基与坐标

一 授课内容:§3 维数、基与坐标

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义.四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.五 教学过程: 1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V是数域K上的线性空间,则有: 定义4.9(基和维数)如果在V中存在n个向量1,2,,n,满足: 1)1,2,,n线性无关；

2)V中任一向量在K上可表成1,2,,n的线性组合, 则称1,2,,n为V的一组基.基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间,而1,2,,nV.若V中任一向量皆可被1,2,,n线性表出,则1,2,,n是V的一组基.证明:由1,2,,n与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5 设V为K上的n维线性空间,1,2,,nV,则下述两条等价: 1)1,2,,n线性无关；

2)V中任一向量可被1,2,,n线性表出.定义4.10(向量的坐标)设V为K上的n维线性空间,1,2,,n是它的一组基.任给V,由命题4.4,可唯一表示为1,2,,n的线性组合,即!aiK,(i1,2,,n),使得a11a22ann,于是我们称a1,a2,,an为在基1,2,,n下的坐标.易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系.·６５· §4 基变换与坐标变换

一 授课内容:§4 基变换与坐标变换

二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.四 教学难点:坐标变换公式的应用.五 教学过程: 1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵

设V/K是n维线性空间,设1,2,,n和1,2,,n是两组基,且

1t111t212tn1n,ttt,2121222n2n nt1n1t2n2tnnn.将其写成矩阵形式

t11t12t1nttt2n(1,2,,n)(1,2,,n)2122.tttnnn1n2定义4.11 我们称矩阵

t11t12t1nttt2nT2122 tttnnn1n2为从1,2,,n到1,2,,n的过渡矩阵.命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基1,2,,n.T是K上一个n阶方阵.命

(1,2,,n)(1,2,,n)T.·６６·则有1,2,,n是V/K的一组基,当且仅当T可逆.证明:若1,2,,n是线性空间V/K的一组基,则1,2,,n线性无关.考察同构映射:VKn,在1,2,,n下的坐标,构造方程

k1(1)k2(2)kn(n)0, 其中kiK,(i1,2,,n), (k11k22knn)0k11k22knn0, k1k2kn0(1),(2),,(n)线性无关.(1),(2),,(n)构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；

反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程

k11k22knn0,其中kiK,(i1,2,,n), 两边用作用,得到k1(1)k2(2)kn(n)0, k1k2kn0.证毕.2.向量的坐标变换公式；Kn中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式

设V/K有两组基为1,2,,n和1,2,,n,又设在1,2,,n下的坐标为a1,a2,,an,即

a1a(1,2,,n)2，an在1,2,,n下的坐标为(b1,b2,,bn),即

b1b(1,2,,n)2.bn现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即(1,2,,n)(1,2,,n)T.记

·６７·

a1b1ab22X,Y, abnn于是

(1,2,,n)X(1,2,,n)Y[(1,2,,n)T]Y(1,2,,n)(TY).于是,由坐标的唯一性,可以知道XTY,这就是坐标变换公式.(2)Kn中两组基的过渡矩阵的求法 我们设Kn中两组基分别为

1(a11,a12,,a1n),2(a21,a22,,a2n),n(an1,an2,,ann).和

1(b11,b12,,b1n),2(b21,b22,,b2n),n(bn1,bn2,,bnn).而(1,2,,n)(1,2,,n)T.按定义,T的第i个列向量分别是i在基1,2,,n下的坐标.将1,2,,n和1,2,,n看作列向量分别排成矩阵

a11a21Aan1a12a1nb11b12b1na22a2nbbb21222n；B，ban2annbbnnn1n2则有BAT,将A和B拼成n2n分块矩阵A|B,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:(A|B)行初等变换(E|T).·６８·

§5 线性子空间

一 授课内容:§5 线性子空间

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理.三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理.四 教学难点:线性子空间的判别定理.五 教学过程: 1.线性空间的子空间的定义

定义4.12(子空间)设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间.命题4.7 设V是K上的线性空间,又设一个非空集合WV,则W是子空间当且仅当下述两条成立: i)W对减法封闭； ii)W对于K中元素作数乘封闭.证明:必要性由定义直接得出；

充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件.只需要证明0W且对于任意W,W,且对加法封闭即可.事实上,由于W关于数乘封闭,则00W；(1)W,于是对于,W,()W,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间.证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8 设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.证明:设dimVn,dimWr,(rn),若rn,则命题为真； 若rn,对nr作归纳:设1,2,,r为W的一组基,取r1VW,则1,2,,r,r1线性无关.于是令W'{kr1|W,kK},易见,W’是V的一个子空间,且dimW'r1,此时ndimW'nr1,对其用归纳假设即可.·６９· §6 子空间的交与和

一 授课内容:§6子空间的交与和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式.四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式..五 教学过程: 1.子空间的交与和,生成元集 定义4.13 设1,2,,tV,则

k11k22ktt|kiK,i1,2,,t

是V的一个子空间,称为由1,2,,t生成的子空间,记为L(1,2,,t).易见,生成的子空间的维数等于1,2,,t的秩.定义4.14(子空间的交与和)设V1,V2为线性空间V/K的子空间,定义

V1V2{vV1且vV2},称为子空间的交； V1V2{v1v2|v1V1,v2V2},称为子空间的和.命题4.9 V1V2和V1V2都是V的子空间.证明:由命题4.7,只需要证明V1V2和V1V2关于加法与数乘封闭即可.事实上,,V1V2,则,V1,,V2.由于V1,V2均是V的子空间,则V1,V2,于是V1V2,V1V2关于加法封闭；V1V2,kK,kvV1,kvV2,于是kvV1V2,V1V2关于数乘封闭.,V1V2,则由V1V2的定义,1,1V1,2,2V2,使得,121,2而11V1,22V2,则

(12)(12)(11)(22)V1V2, V1V2关于加法封闭；V1V2,kK,1V1,2V2,使得12,由于k1V1,k2V2,则kk(12)k1k2V1V2,V1V2关于

·７０·数乘封闭.证毕.命题4.10 设V1,V2,,Vm是V的子空间,则V1V2Vm和V1V2Vm均为V的子空间.2.维数公式.定理4.1 设V为有限维线性空间,V1,V2为子空间,则

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2).这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设dimV1s,dimV2t,dim(V1V2)n,dim(V1V2)r,取V1V2的一组基1,2,,r(若V1V2=0,则r0,基为空集),将此基分别扩充为V1,V2的基

1,2,,r,1,2,,sr, 1,2,,r,1,2,,tr, 只需要证明1,2,,r,1,2,,sr,1,2，tr是V1V2的一组基即可.首先,易见V1V2中的任一向量都可以被1,2,,r,1,2,,sr,1,2,,tr线性表出.事实上,V1V2,则12,其中1V1,2V2,而

1k11k22krrkr11kr22kssr，2l11l22lrrlr11lr22lttr.ki,ljK 于是12可被1,2,,r,1,2,,lr,1,2，tr线性表出.只要再证明向量组1,2,,r,1,2,,lr,1,2,,tr线性无关即可.设k11k22krra11a22asrsrb11b22btrtr0, 其中ki,aj,bhK.则

k11k22krra11a22asrsrb11b22btrtr(*)于是

k11k22krra11a22asrsrV1, b11b22btrtrV2，·７１· 于是k11k22krra11a22asrsrV1V2,记为.则可被1,2,,r线性表示,设

h11h22hrr, 代入(*),有

h11h22hrrb11b22btrtr0, 由于1,2,,r,1,2,,tr是V2的一组基,所以线性无关,则

h1h2hrb1b2btr0, 代回(*),又有k1k2kra1a2asr0, 于是向量组1,2,,r,1,2,,sr,1,2,,tr线性无关.证毕.推论2.1 设V1,V2,,Vt都是有限为线性空间V的子空间,则: dim(V1V2Vt)dimV1dimV2dimVt.证明:对t作归纳.§7 子空间的直和

一 授课内容:§7 子空间的直和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义.四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义.五 教学过程: 1.子空间的直和与直和的四个等价定义

定义 设V是数域K上的线性空间,V1,V2,,Vm是V的有限为子空间.若对于Vi中任一向量,表达式

i1m12m,iVi,i1,2,,m.·７２·是唯一的,则称Vi为直和,记为

i1mV1V2Vm或Vi.i1m定理 设V1,V2,,Vm为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等价: 1)V1V2Vm是直和； 2)零向量表示法唯一；

ˆV){0},i1,2,,m； 3)Vi(V1Vim4)dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.证明: 1)2)显然.2)1)设12m12m,则

(11)(22)(mm)0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是

ii,i1,2,,m, 即的表示法唯一.由直和的定义可知,V1V2Vm是直和.ˆV){0},2)3)假若存在某个i,1im,使得Vi(V1VimˆV),于是存在V,使得 则存在向量0且Vi(V1Vjjimˆim.1由线性空间的定义，ˆV), Vi(V1Vim则1()m()0,与零向量的表示法唯一矛盾,于是

ˆV){0},i1,2,,m.Vi(V1Vim3)2)若2)不真,则有

01im, 其中jVj(j1,2,,m)且i0.于是

ˆV), ˆimVi(V1Vi1im

·７３· 与3)矛盾,于是2)成立.3)4)对m作归纳.①m=2时,由维数公式得到

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2)dimV1dimV2.②设m1(m3)已证,则对于m, dim(V1V2Vm)dimVmdim(V1V2Vm1)dim(Vm(V1V2Vm1))dimVmdim(V1V2Vm1),而i,1im1,都有

垐Vi(V1ViVm1)Vi(V1ViVm){0}；

由归纳假设,可以得到dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.4)3)i,1im,都有

垐dim(Vi(V1ViVm))dim(Vi)dim(V1ViVm)dim(V1V2Vm)0, ˆV){0},i1,2,,m.证毕.于是Vi(V1Vim推论 设V1,V2为V的有限维子空间,则下述四条等价: i)V1V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1V2{0}；

iv)dim(V1V2)dimV1dimV2.2.直和因子的基与直和的基

命题 设VV1V2Vm,则V1,V2,,Vm的基的并集为V的一组基.证明: 设i1,i2,,ir是Vi的一组基,则V中任一向量可被

i{i1mi1,i2,,ir}线性表出.又dimVdimVir1r2rm,由命题4.5,imi1它们线性无关,于是它们是V的一组基.证毕.3.补空间的定义及存在性

定义 设V1为V的子空间,若子空间V2满足VV1V2,则称为V1的补

·７４·空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设V1为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取V1的一组基1,2,,r,将其扩为V的一组基1,2,,r,r1,r2,,n取V2L(r1,r2,,n),则有

VV1V2,且dimV1dimV2ndim(V1V2), 于是VV1V2,即V2是V1的补空间.证毕.§8 线性空间的同构

一 授课内容:§1线性空间的同构

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.三 教学重点:线性空间同构的判定.四 教学难点:线性空间同构的判定.五 教学过程: 1.线性映射的定义

定义 设U,V为数域K上的线性空间,:UV为映射,且满足以下两个条件: i)()()(),(,U)； ii)(k)k(),(U,kK), 则称为(由U到V的)线性映射.由数域K上的线性空间U到V的线性映射的全体记为HomK(U,V),或简记为Hom(U,V).定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替: (kl)k()k(),(,U,k,lK).·７５· 例 Mmn(K)是K上的线性空间,Msn(K)也是K上线性空间,取定一个K上的sm矩阵A,定义映射

:Mmn(K)Msn(K),xAX.则是由Mmn(K)到Msn(K)的线性映射.例 考虑区间(a,b)上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令

UL(1,sinx,sin2x,,sinnx), VL(1,cosx,cos2x,,cosnx).再令

:则是由U到V的一个线性映射.定义 设:UV是线性映射

UV,f(x)AX.i)如果是单射,则称是单线性映射(monomorphism)； ii)如果是满射,则称是满线性映射(endmorphism)；

iii)如果既单且满,则称为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U与V是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；

iv)的核(kernel)定义为ker{U|()0}；

v)的像(image)定义为im={V|U,s.t()},也记为(U)；

命题 ker和im是V的子空间.证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭.vi)的余核定义为cokerV/im.命题 线性映射f是单的当且仅当kerf{0},f是满的当且仅当cokerf{0}.定理(同态基本定理)设f:UV是数域K上的线性空间的满线性

·７６·映射,则映射

:U/kerfV，kerff().是同构映射.证明:首先证明是映射,即若'U/kerf,则()(').由于',存在kerf,使得'.于是

f()f(')f(')f()f('),即()(').再证明是线性映射.,U/ker,k,lK,有

(kl)f(kl)kf()lf()k()l().易见是满射,且有Vimf.只要再证明是单射即可,即证明.设ker,则()f()0,于是kerf,即有0.ker{0}证毕.命题 设:UV是线性映射,dimUn,则下述三条等价: i)单；

ii)将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组； iii)dim(U)n.证明:i)ii)若1,2,,tV线性无关,则令

k1(1)k2(2)kt(t)0, 由线性映射的定义,(k11k22ktt)0.单,于是k11k22ktt0,则k1k2kt0,ii)成立；

ii)iii)若取U的一组基1,2,,n,则由已知, (1),(2),,(n)线性无关,而im中任意向量可以被(1),(2),,(n)线性表出,于是(1),(2),,(n)构成im的一组基,iii)成立；

iii)i)由同态基本定理知U/kerim,于是diUmdimkerdimke,r即有ker{0}.证毕.·７７·

第三篇：《空间与图形》数学教案

《空间与图形》数学教案

“长方形、正方形和平行四边形”的教学是在学生已经初步认识了长方形、正方形的基础上进一步认识长方形和正方形的角和边的特征。而平行四边形在教材中是第一次出现只要求学生能从具体的实物和图形中识别哪个是平行四边形，对它的一些特征有个初步直观的认识。本节课的教学为下节学习长方形、正方形的周长做了铺垫。并为今后深入学习长方形、正方形和平行四边形的内在联系奠定基础。

由于本学段学生的思维处于形象直观阶段，因此教学中我利用学生已有的生活经验，通过引导观察和操作获取数学知识。

根据新课标对“空间与图形”提出的’初步建立空间观念发展形象思维”的要求及学生的心理特点和认知规律，结合三维目标，我确立了本节课的教学目标：

1、知识与技能目标：通过观察操作能用自己的语言描述长方形、正方形的特征，初步认识平行四边形。

2、过程与方法：让学生亲身经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，能合理清晰地阐述自己的观点，培养学生的推理能力。

3、情感态度价值观：

激发学生对身边数学有关的某些事物的好奇心，能积极参与生动直观的数学活动。

本节课的重点是：掌握长方形、正方形的特征，初步认识平行四边形。

难点是：弄清长方形、正方形之间的区别与联系。

为了更好的实现教学目标，课堂上我注重让学生在现实情境和已有的知识经验中理解数学。引导他们在观察、操作、猜测、验证、推理与交流等数学活动中探索发现长方形、正方形和平行四边形的特征。并鼓励学生用自己的语言进行描述，使他们经历“做数学”的过程。真正促进学生在知识与技能、情感态度价值观和一般能力方面的全面发展，而不仅仅局限于知识与技能方面的发展。

新课标指出：“有效的数学学习不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”这一理念，我采取了“引导

第四篇：“空间与图形”教学策略

“空间与图形”教学策略

数学课程内容标准分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域。#此前在首页部分显示#这节数学课的教学内容——“平移与旋转”属于“空间与图形”。《数学课程标准》与原《数学教学大纲》相比，其变化一方面是体现在内容结构上，另一方面是体现在课程内容上。变化的课程内容中有增强的内容，也有削弱的内容。其增强的内容之一是有关“空间与图形”领域知识的教学。在空间与图形的教学中，课标把发展学生的空间观念作为核心目标，而以前的大纲没有把这一目标当作重中之重。

以往的小学几何教学，只是单纯的学习习近平面图形和立体图形的概念、性质和计算，教材中除了长方体、正方体、圆柱、圆锥几个简单几何体的体积、表面积计算外，几乎没有任何别的三维空间的内容，对现实生活中很多实际问题都涉及不到。学生虽然会解答复杂的面积、体积计算，但不知道一吨煤有多少？装一吨水的容器应该多大？学习了许多计量单位，会进行复杂的化聚法，但不知道1千克鸡蛋约有多少个？不会看公共汽车线路图„„对于这样的教学结果，根本谈不上空间观念的培养。

而新课标将以往的几何拓展为“空间与图形”，把视野拓宽到学生生活的空间中。内容涉及到现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换。比如一年级理解物体的前后、左右、上下，从不同角度观察物体；二年级的认识东南西北，不同角度观察长方体与正方体的形状。像我们三年级“平移和旋转”的前一课是“对称图形“，它的教学目标不仅要求学生感知现实世界中普遍存在的对称现象，体会对称图形的特征，而且要能在方格纸上划出简单图形的对称图形。而人教版教材直到五年级下学期才认识对称图形，且不要求画图形的对称图形。新课标使学生在观察物体、认识方向、制作模型、图案设计、实验操作等各种活动中，更好地理解人类赖以生存的空间，理解和认识现实世界。

另外，小学生的思维方式正处于以具体形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，这一阶段恰恰也是儿童空间知觉，即形体直观认知能力形成的重要阶段。可见，小学生的空间观念还处于初步发展阶段，这种能力的培养仍然与直接和感性经验相联系，仍然具有很大成分的具体形象性。在学生空间观念的发展上，教师应从具体事物的感知出发，在学生获得清晰、深刻的表象后，再逐步抽象出几何形体的特征和性质；要引导学生有目的、有顺序、有重点地去观察所学过的几何形体，在学生反复细致观察的基础上发展其空间观念。

发展与培养学生的空间观念尤为强调的教学目标，基于这些认，“空间与图形”的教学策略我就从以下五方面进行阐述：

一、问题情境是形成空间观念的有效切入点。

二、学生经验是发展空间观念的基础。

三、实践操作是培养空间观念的重要形式。

四、实际应用是运用空间观念的良好土壤。

五、多媒体课件是培养空间观念的有效手段。

一、问题情境是形成空间观念的有效切入点。

俗话说良好的开端是成功的一半。引入阶段正处在一堂课的起始阶段，处理的是否恰当，直接影响到学生学习的情绪，以及思维的活跃程度。因此，在教学中，我非常重视新授课的导入。在课的开始我给学生播放带有平移和旋转画面的儿童歌曲，在学生的无意注意中感受物体的运动，有效地与物体运动中的 “平移旋转”紧密衔接起来，由于熟悉与喜爱学生跟着唱起来，学生不由自主地进入角色。再比如教学年月日时，我饶有兴致地请学生猜谜语：“一物生来真希奇，身穿三百多件衣。每天给它脱一件，脱到年底剩张皮”。这种兴趣导入把学生的心理调节到最佳状态，使学生处于一种积极思维的状态中，从而激活思维。

数学课堂导入的方式方法非常多，我只简单举了两个例子。北师大教材用“问题情境——建构模型——解释、应用与拓展”的模式展开，以相关问题情境的研究作为开始，这已成为学生了解知识、学习知识的有效切入点。我觉得每节数学课找准切入点，创设一个生动、有趣的情境，激发学生探索未知世界的兴趣、欲望，使学生在轻松、愉悦的环境中接受新知特别关键。

二、学生经验是发展空间观念的基础。

人们对图形的认识，首先不是通过逻辑推理，而是依赖于经验，依赖于直觉观察、反复实验而成的。因此我们应当承认：在数学学习中，学生并不是一张白纸！学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。

因此，我利用课件动感直观的优势让学生在观察、感受中认识身边丰富的“平移和旋转”现象，让学生欣赏物体运动的图像的同时，思考这些物体是怎样运动的，从而轻而易举地建立起对这两种运动的具体的感性认识，并让学生根据物体的运动特点分类，以此引导学生将两种运动进行对比，并通过对比发现两种运动的特点，从而突破知识建构过程中的困难，让孩子的感性经验成为课堂教学的资源，成为教学目标的组成部分。

当平移与旋转的概念在学生的头脑中初步形成，我出示一些从网上搜集到的图片，学生用刚刚建立的“平移与旋转”的知识判断生活中物体的运动，进一步感知平移与旋转现象的普遍存在。

当学生的感觉知觉在头脑中形成表象后，我又拓展他们“平移与旋转”物体运动现象的视野，让学生说出生活中还有哪些平移与旋转现象？在这一过程中，学生的空间经验得到不断的补充和概括，逐步上升为“空间观念”，形成一种能力，真正演绎知识建构的全过程。

作为教师，应充分挖掘和利用身边丰富有趣的实例，应当尊重、调动学生已有的经验，因为这些现象是图形变换知识的基础和源泉。如果对这些现象缺乏充分的感知和浓厚的兴趣，不仅导致所学知识与生活经验脱节，成了无源之水、无本之木，学生学起来抽象、乏味，而且人也由于来自缺乏来自生活现象的启示，而逐渐丧失想象力和创造的灵感。真实的课堂应该面对学生真实的起点。

三、实践操作是培养空间观念的重要形式。

按照皮亚杰的观念：空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须有动手做的过程。这个做的过程，不仅是一个实践的过程，更是尝试、想像、推理、验证、思考的过程，只有在这样的过程中，学生才能逐步把握概念的本质。操作、测量、实验、设计、欣赏、推理和论证的训练以及合作学习、探索性活动都应成为“空间与图形”教与学的重要形式。教材中出现的“画一画、折一折、描一描、搭一搭、移一移”等等都是要学生通过实践、操作体验图形变换的知识并形成技能。因此，在课堂教学中，教师应积极创造条件，让学生动手操作，多种感官协调统一，在实践操作过程中引导学生感受、探索、发现未知。学生只有通过自己的实践、探索，才能真正掌握所学的知识。其本质就是“做数学”，只有做，学生才能真正理解。在这个意义上，有效的空间与图形学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。

平移、旋转的现象在生活中虽随处可见，但平移旋转的特点要让学生用语言表述很难。在这节课上针对三年级的学生在运用严谨的数学语言进行描述的不足，我调动学生用肢体语言进一步感知和表达两种运动的特点，以动作的准确性来弥补语言表达的不足，动作逻辑能内化为心理的逻辑。

与其他数学内容相比，空间与图形更能激起学生良好的情感体验。在动手操作过程中深刻体会和把握图形变换的特征，操作体验中学习，使学生经历知识、技能的形成过程，也有利于培养实践能力和创新意识，从中体会创造的乐趣与艰辛，领略图形世界的神奇。“眼过百遍，不如手过一遍”。

四、实际应用是运用空间观念的良好土壤。学生建立了清晰的表象，摆脱了具体事物的束缚，顺利地过渡到空间形式的掌握后，将所学知识应用于现实世界，这将成为学生学习数学的动力。

古老的上海音乐厅成功平移66米以及猫捉老鼠的游戏都是应用本节课所学知识。当课堂所学知识在现实生活中得以应用，学生会惊讶，感叹。学到的知识进一步得到发展、提升。

其实学生解决这些问题过程中，已经有意无意唤起这些图形在头脑中形成的表象，再现了这些图形的特征，然后把它们抽象出来。学以致用，促进了学生空间观念的发展。

五、多媒体课件是培养空间观念的有效手段。

教师在课堂教学设计中，要尽可能地创设出优化的学习环境，以促进学生的高效率学习。计算机被人们认为是“教学过程中优化学习环境、辅助学生学习的有效的认知工具”。它在帮助学生掌握知识及技能、激发学生主动探索知识等方面创设的学习环境，是其它工具所无法替代的。

首先利用课件，激发学生学习的兴趣。

在传统的数学教学活动中，教师对数学的描述大多是通过粉笔，黑板进行的，难以生动地表现与数学概念有关的信息背景。利用计算机能较容易地设计出具体事物的模拟仿真环境，代替书本或仅用抽象语言的描述，激发学生的学习兴趣，使学生更容易理解和建构数学知识。

“平移与旋转”中的“平移”用自定义动画中的动作路径就能实现。学习图形平移几格时，我创设了“小猪与小马吵架，请同学们评理”的情境，当用大屏幕演示出这幅反映内容的画面时，马上就引起了学生的好奇，在老师的启发引导下，同桌之间、小组之间进行了激烈的讨论。并在课堂上踊跃发言，纷纷提出自己的见解，激发起学生极大的探究欲望。

如果通过黑板用文字直接表述，不易提起学生解题的兴趣和欲望。通过计算机创设问题情景，不仅激发了学生学习的浓厚兴趣，学生学起来特别投入、专注，而且使学生在我设计的“问题情景——分析问题——解决问题”的各个环节中保持高度兴奋，使得学生的数学学习变得更为有意义，而不是机械地为学数学而学数学。同时学生们也看到了如何将一个生活问题数学化的过程，培养了学生用数学知识解决实际问题的能力，提高了学生的学习效果。

其次，运用计算机，设计动态模拟，使抽象深奥的数学知识以简单明了、直观的形式出现，能让学生迅速而准确地建立数学概念和性质，轻松地学。

利用计算机进行课堂演示，通过精心设计的动画、插图和音频等，可以缩短了客观事物与学生之间的距离，更好地帮助学生思考知识间的联系，促进新的认知结构的形成。把运动和变化展现在学生面前，使学生由形象的认识提高为抽象的概括，这对于培养学生良好的思维习惯会起到很好的效果。同时，在这里也应注意，计算机的演示只能是帮助学生思考，而不能代替学生的思考，教师应当恰当的给予提示，结合计算机的演示帮助学生完成思考过程，形成对概念的理解。

在空间观念的建立、理解上，有些时候语言的描述繁琐、苍白，甚至无能为力。像这节课开始我给学生展现的升国旗时国旗的平移运动、鼠标的平移、风车的旋转、火车开动时的平移等，设计这样的动态模拟，使学生迅速而准确地建立数学概念和性质，轻松地学，这不是语言所能替代的。

这样的动态模拟画面把抽象的数学问题形象化，从而也帮助学习打通了具体直观与空间想象之间的障碍，培养他们的空间想象力，建立起空间观念，为学生迅速而准确地建立数学概念和性质创造了有利的学习环境。这是传统的教学媒体难以达到的。

再次，提高课堂利用率，做到更高密度的知识传授。

计算机是将传统教学过程中教师通过黑板、投影片、教具模型等媒体展示的各种信息，由计算机加工成文字、图形、影象等资料，并进行一些必要的处理（如动画），将这些资料组织起来。利用这种模式进行课堂教学，在较短的时间内，计算机能使学生多种感官并用，提高对信息的吸收率，加深对知识的理解，这节课在学生总结出观察一个图形的平移过程，只需观察该图形上任意一点的平移过程后，观察三角形的平移过程，我用课件分别出示三角形的三个点，演示三角形三个点平移的方向和位置；小房子向左平移3格，同样用课件演示若干个特征点平移后的位置，从而迅速确定小房子平移3格后的位置。使得静态问题动态化，使得原来难于理解的问题，几分钟内就在学生的脑海中迅速而准确地建构起来，并给学生留下深刻的印象。

但并不是说，计算机用的越多就越好，不能为用计算机而用计算机。如果一个教具能演示清楚的，不一定非通过计算机，计算机作为有效的辅助认知工具是为教学服务的，要把它用得恰到好处。传统教学的优势应该保留，如老师的示范作用、教师与学生之间富于人情味的及时交流，教师组织起来的探讨问题的活跃氛围等等，理想的教学应该是把教师与计算机的优势同时充分发挥出来，把计算机辅助教学与传统教学完美地结合在一起。

对于我们来说，课程改革已不是什么新鲜的话题，但我一直在思索，新课程背景下的数学课堂教学，我们更应关注什么？关注学生的数学思想，数学方法。因为 “思想”是数学的灵魂，“方法”是数学的行为。

第五篇：《交往与空间》读书笔记

扬。盖尔的《交往与空间》，是建筑与城市规划的入门教程，本书内容并不深奥，却可以教会我们从人本主义的角度去理解设计，书中的研究方法——行为心里学和问卷调查分析也是我们以后进行地形调查，创作设计的必要手段。

书中首先是区分了几种户外活动行为。必要性活动，自主性活动，社会性活动。必要性活动指那些不得不发生的室外行为，包括上班的路上，接见朋友，出行等，这种行为发生的频率不受室外环境质量的影响，但好的室外环境可以延长人们在室外的停留时间。自发性活动主要指个人的室外行为，包括散步、呼吸新鲜空气、锻炼等，强调的是个人的自主行为，行为的发生并以与别人的交往为目的，但是这种自发性行为可以诱发社会性活动，这个自发性活动受室外空间环境影响，因为面对混乱的交通，相信你也没有室外散步的心情。社会性活动强调人与人之间的交流，可以获得信息，较低一级的交流主要就是看与被看的这样一种关系，可以获得简单的信息，高级的交流，包括具有各种活动内容的语言交流。书中涉及的是社会性活动。

促进社会性活动的发生有三个层次，宏观城市尺度、中观尺度、微观尺度、在城市尺度上，解决办法主要是通过城市功能的混合，提倡完善的步行交通和广场设计。在现在一个车型的城市尺度下，似乎步行的交通更被人们遗忘，因为人们见到的往往是为了建设快速的交通，不停的修着过街天桥或地下通道，把人赶得上天入地，而恰恰从人类发生行为的角度，水平的交通是人们最爱行走的。另一方面就是城市的广场，在欧洲，一直以来，城市的广场就是人们生活的一部分，广场是各种生活的集散地，那里有教堂、市政厅、市场、小憩的茶座等等。而我们面临的实际是我们现在所生活的城市是否有严格意义上的广场，我们所称作的广场更多的是单一功能的地方，本身不具有吸引人们活动的内容。可能现有城市中更多的是城市公园，但这里还是要区分广场与公园之间关系。从形式的角度讲，公园拥有更多的绿地，是一个城市的氧吧，但正是这样公园并没有吸引更多的人，往往是一对对的小情侣，公园内部缺少开阔的视野，缺少足够的人气发生人看人的活动。而广场的存在则是一种功能更加复合的设施，它可能没有那么多的绿地，但它的复杂性足够保证它的人气。我时常憧憬着这样的一个城市的广场，在一个风和日历的下午，我和几个朋友坐在广场的一边，手里拿着从小贩那买的珍珠奶茶，无聊的扯着闲段子，听着街头艺人跑掉的音乐和周围人流的嘈杂。。。。

在中观的尺度，主要是指小区的设计上。在小区设计上，作者的观点是小区的结构要与社会的结构的一致。因此作者鼓励的是分级组团的设计思想。把一个小区分为若干组团，组团共用大的社区公共设施，而每个组团内部也有自己相应的公共设计。我认为这是一种空间层级公共空间、半公共空间、半私密空间的划分，是一种心理学意义上对领域空间的把握，而不是社会的结构，社会的结构是什么我也不太清楚，我更多的是理解为阶级一类的构成吧。现代的小区设计基本都是这样的一种理念，但好的小区能把组团区分的更加明确，领域感更强。书中谈到的一个旧城更新的例子很有意思，把原有的小区的单一住宅功能，部分用作没有污染的工厂、办公等。这是可以改变住区内单一的构成，提高小区的多样性，增加交往的可能，但是过多的引入可能会造成小区内居民生活的不安全感，存在一个度和管理上的问题。这个有点像loft的逆过程，有点意思。

在微观层次上，涉及的主要就是一些城市家具的设计和人的一些习惯。边缘效应对于城市家具的布置有一定的指导意义。意思是活动的人们更倾向于再广场的边缘停留，因为在边缘人们处于一个比较安全的位置，可以较好的观察别人而不被别人看到，而在内部往往视野不够开阔同时也没有安全感。因此休息座椅布置在边缘会有更高的上座率。书中还谈到一些人的生理习惯，包括人的线性行为——街道，100米人能区分人群的极限，20米人看清面部表情的距离等。

书中还有很多有见解的思想，因为城市的沿街立面是吸引人的部分，同时由于人的眼睛观察习惯，基本是对一层的观察，不会抬头望向高处或者地下，所以作者提出把沿街的商业立面划分的更小，进深更长，把那些银行、办公等没有 《交往与空间》读书笔记

人气的立面隐藏起来，把这些就机构搬到二层，或者通过入口引入搬到内部。这个方式我还真没有见过，不过像银行那种机构的前面没有人气的确是事实，而且像谭木匠那种小面阔的小店好像很有人气，不过就是挤了点，这种沿街商业的合理构成的却是个问题。