西柯中心小学排球传统项目总结

第一篇：西柯中心小学排球传统项目总结

西柯中心小学排球传统项目总结

我校作为排球项目传统学校，其中体育专职教师1名（排球专业辅导教师2人）。学校加强对学校体育工作的全面领导，努力提高学生排球运动技术和健康水平，逐步形成和发展学校排球特色运动。学校具体做法可以概括为四句话。即：一个重视，二个坚持，三个调动，四个保证。——一个重视

历年来，学校领导对学校体育工作非常重视，在每学期制定学校工作计划时，始终将排球传统运动纳入学校工作的重要议事日程，有内容，有要求，有措施，有目标。有关体育工作排球方面的重大事情，不仅学校体育领导小组讨论研究，而且放到行政会议上集体讨论，作出决议在全校教职工大会上宣传、贯彻。学校每学期两次的体育工作会议和领导小组会议形成制度，排球教练的工作协调，及时考虑人选，给予补充和调整；排球经费列为学校总预算的一个重要项目，凡是区、学校各类比赛，总有一个校领导带队，其他领导也能亲临现场。——两个坚持

一、坚持课题研究

排球是学生喜爱的一项体育运动，由于排球运动技术的复杂性，因此它的训练周期较长，只有通过日常持久的训练，才能使队员的基本技术得到全面的提高。根据学校的排球运动经验，要提高排球基本技术必须进行科学的训练，就要加强科学研究。学校坚持一至六年级开设排球课教学，列入校本课程，进行研究。让学生学习基本技术，参与排球运动。

（1）开设排球课的可行性研究，进行场地、器材改革的研究。

（2）排球教学方法改革的探索，进行在游戏中学习、游戏中巩固，游戏中掌握基本技术的探索。

二、坚持普及提高相结合。

普及与提高是一对互相制约、互相促进的矛盾。多年来，我们较好的摆正了普及与提高的位置。要提高排球技术水平，只有在普及的基础上提高，学校十分重视排球的普及工作。

1、学校成立排球兴趣小组，有队长，有队名，定计划组织训练。

2、通过一至六年级开设排球课教学，让全体学生学习排球和基本技术，使他们都参与到排球活动中去。成效较显著。

同时，学校坚决贯彻“从小打基础，全面发展”的训练原则，决不拔苗助长，全面提高运动员的技术、素质。

1、精心选材组队：通过测试身体素质，了解学生家族情况，对学生的应变能力、灵活程度和性格特点，挑选3—6年级优秀学生组队，保证我校排球队的选材，确保训练队正常训练。

2、确保训练时间：每学期制定详细的训练计划，按照计划开展训练。学校领导不定期进行督查，每月进行考核检查。

3、加强学校间的交流，经常与学区各完小等学校互访交流，互通信息，加强兄弟学校间的友谊，促进学校排球运动的蓬勃发展。——三个调动

1、体育教师是学校体育工作的具体执行者，充分调动他们的积极性是抓好体育排球和乒乓球传统运动活动的关键。

体育教师从早训练到课外排球活动的开展，从组织年级组各类比赛到校代表队的业余训练，风吹日晒，早出晚归，十分辛苦，为此学校领导也给予关心。领导经常深入体育组，参加体育教研活动，听取体育教师的意见和建议，了解排球工作及训练的情况，研讨具体问题，协调各方关系，及时解决困难，对体育排球教师的努力给予肯定和支持，有了成绩及时表扬和鼓励，并给予重奖；按规定发放补贴和服装费；订阅体育方面的报刊杂志，对青年教师尤其作到业务上信任、政治上严格、生活上关心、工作上帮助。

2、班主任和任课教师是搞好学校体育工作和排球和乒乓球运动不可忽视的一支队伍，充分调动这支队伍的积极性是搞好学校排球和乒乓球群体工作和稳定球队的保证。

重视班主任这支队伍，使他们能热心配合和关心学生的体育排球锻炼和传统项目的创建。我们把各班学生体育锻炼、传统项目的开展情况列入班主任、任课老师工作的考核内容，同评选文明班挂起钩来；把各班体育运动水平的高低、推荐运动员的多少同奖金挂起钩来。由于激励机制的引入，调动了班主任、任课老师的积极性，他们配合体育老师处理好体育锻炼与文化学习的关系，竞赛与教学的关系，少数人与多数学生一起参加活动的关系，有效地推动了学校体育工作和排球传统项目的健康发展。

3、学生和运动员是学校体育运动的主体，充分调动学生和运动员的积极性，直接关系到体育运动水平的传统项目水高低。

(1)、我们通过家长学校、运动员家长会、学生座谈会，积极做好宣传教育工作，同时学校领导、教练员和班主任经常做好家长工作，取得家长支持。

（2）我们对运动员不仅狠抓训练，还十分重视抓思想品德、抓文化学习，运动员因比赛脱了课，学校及时安排老师给他们补课，甚至教练也亲自做运动员的学习辅导工作。

(3)、我们还在每学期评选“三好生”、优秀队员、文明学生时，将体育成绩列入评比条件，对排球校代表队运动员拔尖推荐，促使每个家长既能重视子女的文化学习，又能主动关心子女体育成绩的提高。——三个保证

1、经费保证

开展体育工作需要经费的保证，学校在经费十分紧张的情况下，安排对体育实施“倾斜政策”，力争做到了群体和传统项目的器材设备基本齐全。经费到位。场地器材配套，为学校体育工作的开展创造了有利的条件。

2、师资保证

要抓好传统项目的建设，需要有一支团结战斗、奋发向上，乐于奉献的体育老师队伍。为了加强我校排球传统项目的开展，我校领导在体育教师配备上争取上级支持，不断充实体育教师队伍，他们都有较强的事业心和责任感，他们既能做好体育教学工作，经常开展教研活动，把排球传统项目的训练内容渗透到体育课的教学过程中，又热心抓好校代表队的训练。多少个寒去暑来，他们放弃了休息时间，不计报酬，一心扑在学校的体育工作上。体育教研组每学期初制定学校体育工作计划，目标明确，可操作性强，学校领导及体育领导小组经常检查计划实施情况。

两年来，学校排球和乒乓球队的思想品质、身体素质、排球水平、学习成绩都稳定在一个较高的水平上。10年3月，参加“区中小学生排球赛”获男子团体第六名，11年3月参加“区中小学生排球赛”获男子团体第四名。

学校在排球传统项目建设中，做了一些工作，取得了一些成绩。但还有很多工作需要开展。

1、将进一步搞好小学排球活动的普及工作，充分发挥其的作用；

2、加强排球代表队的训练与兄弟学校的交流。

3、努力扩大学校排球传统项目的特色效应，力争多个体育项目并头齐驱的发展。

西柯中心中心小学 2011年7月

第二篇：西柯中心小学少先队新学期寄语

西柯中心小学少先队新学期寄语

尊敬的老师们，亲爱的同学们：

大家早上好！

我是少先队总辅导员林老师。怀着满心喜悦的心情，我们又相聚在一起了，送走了炎炎烈日，我们迎来了清爽宜人的秋天，在这收获的季节，我们开始了新学期的征程。

新的学年，孕育着新的希望和憧憬，我们每一位老师与同学经过暑假的休息与调整之后，又满怀信心与斗志，站在新学年的起跑线上，为完成新的学习和工作任务作好了充分的准备。在此开学典礼之际，我代表少先队大队部给全体少先队员提出三点要求和期望：

第一：在文明行为方面，要严格按照《中学生日常行为规范》和同安区小学生《一日常规》来要求自己，继续发扬讲文明、懂礼仪的好风貌，跟老师和同学交谈积极使用文明用语，接受别人的帮助时，别害羞大声说出“谢谢”，做错事的时候也别气馁，勇敢地说出“对不起”，在你希望得到别人的帮助时，记得把“请”字挂在嘴边，这样，你一定能成为大家的好朋友的。在和同学的相处中，高年级的哥哥姐姐要爱护低年级的小同学。在课外活动时，上下楼梯主动靠右走，见到校园里的纸屑主动拾起来。在走廊和办公室不大声喧哗，不乱丢瓜皮纸屑，遇到老师主动立正，敬队礼，向老师问好，争做文明向上的好学生，把尊师爱校、团结同学真正落实到行动中，做有道德、有修养的人。

第三篇：数学史话-柯西

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来在巴黎大学任教授，一直到逝世。他信仰罗马天主教，追随保皇党，终生坚守气节。他在学术上成果相当多，他的研究是多方面的。在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集26卷，仅次于欧拉，居第二位。柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往，曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大学，1816年成为那里的教授。1830年法王查理十世被逐，路易。菲利普称帝。柯西由于拒绝作效忠宣誓，被革去职位，出走国外。

1838年柯西返回法国，法兰西学院给他提供了一个要职，但是宣誓的要求仍然成为接纳他的障碍。1848年路易。菲利普君主政体被推翻，成立了法兰西第二共和国，宣誓的规定被废除，柯西终于成为理工科大学的教授。1852年发生政变，共和国又变成帝国，恢复了宣誓仪式，唯独柯西和阿拉果（Ｄ.Ａｒａｇｏ 1786－1853 法国物理学家）可以免除。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。

现今所谓的柯西定义或ε－δ方法是半个世纪后经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西时代实数的严格理论还未建立起来，因此极限理论也就不可能完成。柯西在1821年提出ε方法（后来又改成δ），即所谓极限概念的算术化，把整个极限过程用一系列不等式来刻画，使无穷的运算化成一系列不等式的推导。后来维尔斯特拉斯将ε和δ联系起来，完成了ε－δ方法。

第四篇：传统项目总结

自2007年10月我校通过湖北省传统项目学校复评以来，我校紧紧抓住学校的篮球项目特色，大胆开拓，勇于创新。推动了我校体育运动迅猛发展，发现、培养并向高一级学校输送了一批体育后备人才，丰富了我校学生的校园文化生活，校园内充满了健康、文明、向上很浓浓的篮球文化氛围，扩大了学校的影响，打造了学校的体育特色，培养了学生的篮球特长。

一、强化学校管理，注重师资配备，确保办学质量

一年来，学校领导高度重视体育工作，特别是篮球传校工作，我们将重点放在篮球项目上。根据我校体育教师的专业特长共配备3-4名篮球专业教练，2位田径教练。

二、严抓学生篮球早锻炼，大力吸纳学生参加丰富多彩的篮球竞赛活动。

1、坚持篮球早锻炼和长跑活动检查评比制度

坚持每天进行“阳光体育活动”篮球早锻炼、课间广播操和长跑活动，由体育教师组织安排好场地，班主任、副班主任参与指导和管理，并配合教导处对各班活动情况和质量进行不定期抽查，按评分标准记录分数，每次都上墙公布，月底总结在此基础上把检查结果与班级评估挂钩。保证了学生每天一小时的体育活动时间。越来越多的学生在篮球活动中体会到了篮球运动的乐趣和体育的魅力，越来越多的家长更加支持孩子参加学校篮球活动，他们说：孩子们离篮球越近，就离网吧越远；参加体育活动越多，身上的娇气就越少。

2、坚持体育比赛制度

尽最大能力为同学们提供丰富多彩的体育活动内容，今年我校除了举行如：广播操比赛、校园集体舞、“阳光体育活动”冬季长跑启动仪式及高年级长跑活动等赛事外，我们还组织学生开展篮球趣味比赛、高年级班级篮球比赛和两次田径运动会，（每年在高年段学生中进行班级篮球比赛，在中、低年级中进行趣味篮球赛，如多人运球接力、多人传球接力、投篮大赛等）激发学生人人参加篮球活动的兴趣，活动参与率在80%以上，今年12月，我们又组织开展了5、6年级学生篮球比赛，比赛历时3个星期，共有6为体育老师参加了本次篮球裁判工作，在比赛中共有男、女各三个班获得团体奖，学校组织表彰了一大批在篮球比赛中表现突出的班级和个人。评出体育道德风尚奖两个班，最佳组织奖三个班，啦啦队组织奖一个班，共有54人分别获最有价值球员、最佳得分手、最佳防守球员、篮板王。

3、学校领导不仅重视篮球运动员的培养而且注意篮球运动的普及工作。学校将篮球纳入了学校校本课程计划，在不同年段开展篮球校本课程，是我校办学特色之一。坚持篮球活动和篮球训练常规化，每学期举办一次校内篮球赛，年年承办并参加伍家岗区校际间的篮球赛，常年保持有男女两支校级篮球比赛队，男女两支校级篮球梯队，校队队员保持在60人左右，每年举办一次校田径运动会，一次体质测评运动会。

三、上好体育课的基础上，开设篮球校本课程，培养学生的篮球特长。

我们规定体育教师和其他学科教师一样，必须认真备课，写出符号学生实际、切实可行的教案，教导处不定期对体育教师的教案进行检查，严禁无教案上课。同时要求体育教师必须扣紧新课标，有计划、有步骤地上好体育课，特别是篮球校本课程，坚决克服随意性，严格考勤制度，做到课课点名，保证体育课的出勤人数，明确篮球课学生评价目标，分年级制定了目标与内容。除此之外，我们还从每周的体育课中抽出一节课专门进行篮球课程的教学，在课表上将以“体篮”为缩写课程名称进行呈现。每周各班的篮球课程安排的具体时间将遵照同一时间内尽量控制在1--2个班同时上篮球课程，这样学生就能有充足的活动场地。在组织方法上主要采取教师集中讲解、示范，学生分散模仿直观教学法。学期结束时，学校教导处组织对所有老师的篮球教学进行质量抽查。

四、发展特色项目，建立不同年龄层次的篮球队，努力培养青少年体育后备人 我校在常年坚持男女两支校级篮球比赛队训练的基础上，还建立了篮球梯队和田径队，年年参加伍家岗区组织的区篮球赛和田径运动会，均名列前茅。（1）合理分工，明确责任

我校男女篮球队，由李群兵、刘海峰和陈宏碧三位老师，田径队有向莉莉和朱杰两位老师负责训练，在训练前明确各自的责任，充分调动了他们训练的积极性，在训练中进一步提高了运动员的竞争意识，为创造一流成绩创造了条件。在次基础之上，还准备增加一个新老师，充实中、低年级校级篮球梯队实力。为今后篮球训练选好、选准苗子。（2）坚持训练系统化

提高运动员的竟技水平，不是一朝一夕所能办到的，所以训练必须要持久，不间断。为此，我们在训练上做到了既抓平时，又抓假期。平时，我们利用周一至周五早上7点到8点和下午放学后的两个小时时间行进训练，每天训练时间不少于90多分钟。使运动员坚持常年训练，进一步提高了运动成绩，同时也培养了运动员的拼搏精神和顽强的毅力。（3）建立健全运动员训练档案

我校建立了运动员训练档案，将运动员的基本情况、身体素质变化情况、训练情况和运动成绩及学习成绩作了详细记录，依据这些材料，研究每个运动员思想、训练、学习现状，总结经验，查找不足，研究进一步提高运动员素质的方法和措施。

（4）走出去，请进来，互相学习，共同提高

为了进一步提高运动员的水平，我们经常组织体育教师和运动员走出去或请兄弟学校的篮球队到学校看一看，参加一些对抗赛，先后我区的隆中路小学、大公桥小学、宝塔河小学进行了友谊赛，每年都与宜昌市体校女子篮球队切磋，学习他人的经验和长处，同时发现自身的不足，激发队员的拼搏精神。通过比赛，检验队伍，总结经验教训，进行体育交流，达到了互相学习，共同提高的效果。

五、严格实施《国家学生体质健康标准》。

2008年4月至5月，我校开展了国家学生体质健康测评工作，4月组织全校学生进行了体检，测试体重、身高和肺活量三个项目，接着，又组织召开了全校体质健康测评运动会，另外对在运动会期间测试成绩较差的学生进行了二次测试，测试后进行了数据录入工作，而后我们将最终不合格的学生会进行了统计，与班主任老师一起对他们进行了督促和帮助。全校共1578人，实际参加测试1560人，其中病残18人，优秀303人，占20%，良好904人，占58%，不及格69人，及格率95.6%。

六、加大投入，不断改善体育设施和训练条件

学校现有四块标准篮球场地，12块篮板。在每节课中一个班将分配到两个篮球场，6个篮板，这样可以保证学生学习的需要。器材方面，要求每位学生人人都要有篮球，我们主要采取学生自带篮球制度，学校在现有近200个儿童篮球、40个标志桶。另外，为了学生每天所带的篮球放在教室里不影响室内课教学，每个教室的后面墙壁上都安装有30个悬挂篮球的不锈钢钩子，方便学生放置篮球。

七、加大经费投入，规范资金管理，确保传校各项工作的正常运转

加大经费投入，为了努力改善篮球训练条件，学校决定计划加大对体育的经费投入，改善硬件设施：

（1）、保证体育训练、竞赛及带队教师的补贴经费，校班级体育比赛裁判费、每年的市、区级传校篮球比赛中队员的报名费、体检费、服装费、食宿费用等预算开支不少于2万元。做到专款专用。

（2）、配有能够满足体育教学、专项训练和正式比赛要求的器材设施外，我们将尽可能的利用好学校的现有资源，然后在2008年下半年，我们将完成校园篮球文化的建设。另外，在一些空地和墙上我们还计划安装一些适合低年级学生使用的篮筐。使我们的校园到处充满篮球运动的气息。

八、成绩：

2003年在宜昌市篮球传统项目学校篮球比赛中获女子组第一名，男子组第二名。2004年在湖北省“萌芽杯”小学生篮球赛中男子队获第一名。2004年宜昌市篮球训练重点学校比赛中男子队获第一名。2008年在伍家岗区小学生篮球赛中男队、女队均获第一名。2004、2005、2006、2007连续四年在宜昌市伍家岗区小学生田径运动会中获团体总分第一名，2008年获团体总分第二名。有两位教师获宜昌市优秀教练员称号，培养和输送了一批体育后备人才，2008年我校学生陶直、方宇、方德林被宜昌市五中以篮球特长生录取，罗毅、覃开明被宜昌市体校录取，还有一大批队员参加了宜昌市体校的业余训练，如：篮球：文宜、王绪培、游泳：杨子迪、孙佳俊、吕向佳霖、陈杉杉，羽毛球：周杨博文、王颖峰、胡朔源，网球：邹杨博文、向晓彤、佘王睿、方德林、刘涛等。

回顾总结了2008年传校工作各方面取得的成绩，这成绩来之不易，这成绩是全体教职工辛勤劳动的硕果，也是学校努力构建和谐校园取得的成果，面向未来，我们充满信心，有上级领导的关心和支持、全体教职工的共同努力，宜昌市伍家岗区实验小学的篮球传统学校的明天会更好。

第五篇：关于柯西不等式的证明

关于柯西不等式的证明

王念

数学与信息学院 数学与应用数学专业 07 级 指导老师：吴明忠

摘要：研究柯西不等式的多种证明方法，得到一些有用的结论，并简单介绍一些它的应用。

关键词：柯西不等式、数学归纳法、二次型正定、欧式空间向量内积、詹森不等式，二维随机变量的数学期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式，它的结构和谐对称、以及广泛的运用引起了人们的兴趣和讨论。本文运用高等代数、微积分的基本内容来证明柯西不等式。柯西不等式的内容 1.1

(a1b1a2b2....anbn)2(a12a22....an2)2(b12b22....bn2)2(aibiR,i1,2......n)

等号当且仅当a1a2.....an0或bikai时成立（k为常数，i=1,2…..n）.1.2 设a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn为任意实数则不等式(aibi)(a)(bi2)成2

i1

i1

i1

n

n

n

立，当且仅当bikai（i=1,2…..n）取等号。1,2这两种形式就是著名的柯西不

等式。柯西不等式的证明 2.1构造二次函数，证明柯西不等式。(其关键在于利用二次函数0时函数f(x)0

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2....(anxbn)2

(a12a22....an2)x22(a1b1a2b2....anbn)x (b12b22....bn2)显然f(x)0

又a12a22....ann0则利用0可得

4(a1b1a2b2.....anbn)24(a12a22....ann)(bb2.....bn)0即

n

(a1b1a2b2....anbn)2(a12a22....an2)(bb2....bn)

当且仅当aixbi0(i1,2....n)即

aa1a2

.......n是等号成立。b1b2bn

2.2 利用数学归纳法进行证明。（关键把握由特殊到一般情况的严密性）

（1）当n1时左式=a1b1右式=a1b1

显然左式=右式 当

n2

时，右式

a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2左式

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立

2kak即 a1b1a2b2akbka12a2b12b22bk2

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

a12a2....ak

设Bb12b22....bk2

Ca1b1a2b2....akbk

222222则ak1bk1bk1ak1bk1Bak1 22C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222a1a2akak1



b12

b2

k

b2

k

b

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立 综上所述原柯西不等式得证。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）进行证明（关键在于利用它 “形式”）由于xy2xy(x,y

R)，令x

y



ai22ak2

k1

n

n



bi22bk2

k1n

(i1,2.......n)

将N

不等式相加得：

ab

ii

aibi

i1n



a

i1

nk1

n

i



b

i1nk1

n

i

1

2ak22bk2

n

n

n

i1

k1

即(aibi)(ai)(bk2)

i1

原柯西不等式得证。

2.4 利用二次正定型理论进行证明（关键在于理解二次型正定的定义）正定二次型定义：R上一个n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定义在实数域上n个变量的实函数。如果对于变量x1,x2,....xn的每一组不全为零的值，函数值

q(x1,x2,....xn)都是正数，那么就称q(x1,x2,....xn)是一个正定二次型。

(aix1bix2)ai2x12bi2x222aibix1x20(i1,2,.....n)

n

n

n

有(ai)x(bi)x2(2aibi)x1x20

i1

i1

i1

设二次型 f(x1,x2)(ai)x(bi)x2(2aibi)x1x20

i1

i1

i1

nnn

故f为正定必有二次型矩阵

n2aii1

An



aibii1

n

abiii1

正定 n

2bii1

n

n

n

(ai)(bi)(aibi)20

则A0,即

i1

i1

i1

(aibi)2(ai2)(bi2)

i1

i1

i1

nnn

当

aa1a2

.......n时等号成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得证。2.5 利用欧式空间中内积的性质进行证明。

定理：在一个欧式空间里，对于任意向量,，有不等式：

,2,,;当且仅当与线性相关时，才取等号。

证 如果与线性相关，那么或者0，或者a，不论哪一种情况都有

,2,,.现在设与线性无关。那么对于任意实数t来说，t0，于是

t,t0,即 t2,2t,,,0.最后不等式左端是t的一个二次三项式。由于它对于t的任意是数值来说都是正数，所以它的判别式一定小于零，即

,2,,0或,2,,.又在Rn里，对于任意两个向量

(x1,x2,....xn),(y1,y2,....yn),规定（必须规定）,x1y1x2y2.....xnyn.容易验证，关于内积的公理被满足，因而R对于这样定义的内积来说作成一个欧式空

n

间.再由不等式,2,,;推出对于任意实数a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1....anbn)2(a12....an2)(b12....bn2).即柯西不等式得证。2.6 利用行列式进行证明

n

n

n

证 (ai)(b)(aibi)

i1

i1

i1

a

i1ni1

n

i

ab

i1n

2ii1

n

ii

abb

iin

n



i1j1

ai2aibi

ajbjbj2



1ijn



(aibjajbi)20

若令a(a1,a2,an),b(b1,b2bn)则可以得到：

(aibi)(a)(b)1i 即柯西不等式得证。

i1

i1

i1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式进行证明

考察函数(x)x2,(x0),(x)2x,(x)20,故(x)x2是(0,)上的凸函数，詹森（Jensen）不等式

n

PkXkk1n

Pkk1

n

n

2PkXkk1n(其中，P,2,n),得 k0,k1Pk

k1

n

n

(PkXk)(Pk)(PKxk2)

k1

k1

k1

nnn

ak22

上式中令Pkbk,Xk即（PkXk)(bk)(ak2)

bkk1k1k1

从而不等式成立。

2.8 利用二维随机变量的数学期望证明

表格 2

1n1n21n222

E()aibi，Eai,Ebi

ni1ni1ni1

由E()E2E2

1n1n21n22

所以有(aibi)(ai)(bi)

ni1ni1ni1

即(aibi)(ai)(bi2)

i1

i1

i1

nnn

则柯西不等式得证。