第18章.勾股定理知识点与常见题型总结(责任编辑：孙庆功)专题

第一篇：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结(责任编辑：孙庆功)专题

第18章

勾股定理复习

一．知识归纳 １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，412ab(ba)c22，化简可证．

DHEFbAcGaCB

方法二：

bacabcbccbaa

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4大正方形面积为S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

12abc2abc22

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方法三：S梯形A12(ab)(ab)，S梯形2SADESABE212ab12c2，化简得证

aDbccBbEaC

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数：

n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）

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mn,2mn,mn2222（mn,m，n为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：

CCC30°ABADBBDA

CBDA

题型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的长 ⑵已知AB17，AC15，求BC的长 分析：直接应用勾股定理a2b2c2 解：⑴AB⑵BCACBC10 ABAC22228

题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

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分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解： ⑴ACABBC224，CDACBCAB2.4

ADBC

⑵设两直角边的长分别为3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54

⑶设两直角边分别为a，b，则ab17，a2b2289，可得ab60S12ab302cm

例３.如图ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长

CD12EAB

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DEAB于E，12，C90

DECD1.5

在BDE中 BED90,BERtACDRtAEDACAEBDDE222

在RtABC中，C90

AB2AC2BC2，(AEEB)2AC242AC3

例4.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

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CAB

答案：6

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了

m

AEBDC

分析：根据题意建立数学模型，如图AB8m，CD2m，BC8m，过点D作DEAB，垂足为E，则AE6m，DE8m 在RtADE中，由勾股定理得AD答案：10m

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt ①a1.5，b2，c2.5

②a54AEDE2210，b1，c23

解：①a2b21.52226.25，c22.526.25

ABC是直角三角形且C90

②b2c2139，a22516，b2c2a2ABC不是直角三角形

例7.三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形

理由：a2b2(ab)22ab64，且c264

abc 所以此三角形是直角三角形 222

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

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例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm，求证：ABAC

证明：

ABADDC

为中线，BDDC5cm

在ABD中，AD2BD2169，AB2169AD2BD2AB2，222ADB90，ACADDC169，AC13cm，ABAC

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第二篇：言语理解与表达常见题型

吉林市华图

4、细节理解题

细节理解题主要考查考生迅速辨别文段细节信息的能力。

常见提问方式：“下列说法中正确的一项是”、“下列说法中错误的一项是”“下列说法符合文意的一项是”、“下列说法不符合文意的一项是”、“根据上述文字，„„的原因是”、“„„主要是为了满足/其目的是”、“依据上文，„„最突出的特点是”等

5、词句理解题

词句理解题要求考生正确阅读材料中指定词语或语句的准确含义，考查考生把握词语或语句在具体语境中特定含义的能力。

常见提问方式：“对文中画线部分语句理解正确的一项是”、“‘×××’可以理解为„„”

“×××指的是”、“对‘×××’理解不正确的是”等

6、代词指代题

代词指代题要求考生理解文中出现代词所指代的具体含义。

常见提问方式：“上文中‘这’指的是”、“上文中‘此’指的是”、“文中‘他们’指的是”、“文中‘它’指的是”等。

7、标题填入题

标题填入题要求考生给指定文段填入一个恰当合适的标题。

常见提问方式：“最适合做上文标题的一项是”、“该段文字作为一则报纸上的新闻，最适合做该段文字题目的是”等。

片段阅读涉及的题型较多、考点复杂，因此考生在备考中，要明确不同题目的考查要点，结合具体的考点进行作答。大部分的题目通过提问方式即可提炼考点所在，少部分难度较高的题目需要考生结合提干表述进行综合，再做判断。概括来讲，片段阅读主、要涉及对归纳总结、分析、演绎、推理、提炼等能力的考查，有些特殊题型还要求考生结合一定的语文基础知识，如标点符号、修辞手法、诗词鉴赏等，因此考生一方面要注意培养自己的阅读能力，另一方面要夯实基础知识。

三、语句表达

语句表达部分主要测查考生正确使用语言的能力，要求考生能够将打乱顺序的语句重新排序，或准确衔接，或是对下文内容进行推断。因此，我们又可以将语句表达题分为三种小题型，分别为语句排序题、语句衔接题和结语推断题。

1、语句排序题

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语句排序题要求考生根据语句隐含的信息，将几个打乱顺序的语句重新排序，从而使文段表达流畅，完整通顺。要充分利用文段提供的隐含信息，比如句中的关联词、句子的谈论话题、句子的主体、文段的行文脉络等，在选择答案时要注意确保句子之间话题、主体的一致性和连贯性。

2、语句衔接题

语句衔接题是指在文段中有部分语句空白，要求考生根据上文选择一个最恰当、最适合的语句填入。主要考查了考生判断新组成的语句与阅读材料原意是否一致的能力。一方面考查考生的语言表达是否通顺流畅，另一方面是考生驾驭文体的能力是否到位。

3、结语推断题

结语推断题要求考生推测接下来谈论的话题和语句信息，这类题目的解题关键在把握整个文段论述内容的基础之上进行预测，主要取决于对作者观点的正确理解，同时注意话题的一致性与连贯性。

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第三篇：初中化学常见的几种题型总结

初中化学常见的几种题型总结

（除杂、分离、鉴别、鉴定、推断）

1.除杂题：

：

（1）沉淀法：加入一种试剂将被除去的杂质变为沉淀，再用过滤法除去。

（2）化气法：加热或加入一种试剂将杂质变为气体逸出。

（3）置换法：利用置换反应的原理将杂质除去。

（4）转纯法：将被除去的杂质变为提纯的物质。

（5）吸收法：常用于气体的提纯。

在掌握了以上除杂质的原则、要领、方法后，解答题目时要审清题目要求，分析理顺思路且与题目要求吻合，才能准确解题。

2.混合物的分离：

（1）可溶性与难溶性物质的混合物——常用溶解、过滤、蒸发三步操作加以分离，分别得到纯净物。如：粗盐的提纯；BaSO4和Na2SO4的混合物。

（2）两种物质均溶于水，但两种物质的溶解度一种随温度变化大，另一种变化不大时，可考虑——结晶法。即冷却热饱和溶液的方法加以分离。如：NaCl和KNO3的混合物。

（3）两种物质均溶于水时，可考虑用化学方法分离。如BaCl2和NaCl的混合物。可将混合物先溶于水，加入适量Na2CO3溶液，得到BaCO3和NaCl溶液。

BaCl2+ Na2CO3=BaCO3↓+2NaCl。将沉淀过滤出，洗净后在沉淀中加入适量盐酸溶液，又得到BaCl2溶液，CO2逸出。BaCO3+2HCl =BaCl2+H2O+CO2↑。最后分别将NaCl溶液和BaCl2溶液蒸发，分别得到纯净的NaCl固体和BaCl2固体。

注意：用化学方法或用物理方法进行混合物分离时，要区别除杂质与分离物质的不同点是：除杂质时只要求把杂质除掉、保留原物质即可；而混合物分离是几种物质用一定的方法分开，原混合物中各成分都必须保留。

【1】无水乙酸又称冰醋酸（熔点16.6℃），在室温较低时，无水乙酸就会凝结成像冰一样的晶体。请简单说明在实验中若遇到这种情况时，你将如何从试剂瓶中取出无水乙酸。

3.物质的鉴别：

鉴别是通过化学实验将几种不同特性的物质区别开来。如鉴别两瓶无色溶液哪瓶是NaCl或KNO3。我们只要把NaCl溶液中的Cl-检验出来，即可认定NaCl溶液，另一瓶则是KNO3溶液。

（1）常见离子鉴别的特效试剂

H+和OH：紫色石蕊试液或pH试纸。



OH-：无色酚酞试液（可鉴别碱性溶液）——变红。Cl-：AgNO3溶液和稀HNO3——有白色沉淀。SO42-：BaCl2溶液和稀HNO3——有白色沉淀。

2CO3：稀HCl和石灰水——有CO2↑。

PO4：AgNO3溶液——有黄色沉淀。

NH4+：强碱溶液（NaOH）——有NH3↑。使湿润红色石蕊试纸变蓝。

3

① 气体鉴别：一看颜色，二用试纸，三用火点，四加试剂。② 固体、液体鉴别：一看颜色，二看气体，三辨沉淀。③ 一种试剂的鉴别：

A.几种溶液含不同阳离子时，常选用Ba(OH)2溶液或NaOH溶液做鉴别试剂。B.几种溶液含不同阴离子时，常选用强酸做鉴别试剂。C.几种溶液酸碱性不同时，常选用紫色石蕊做鉴别试剂。D.几种物质是金属或金属氧化物时，常选用稀强酸做鉴别试剂。

E.一种试剂与四种溶液反应时，应是现象对比度大。多数是有沉淀、有气体，既有沉淀又有气体、沉淀

颜色不同，无明显现象。

F.当给定的一种试剂不能鉴别出被检物时，可从已鉴别出的物质中找出一种试剂再鉴别。④ 不同试剂的鉴别：

A.观察法：根据物理性质中颜色、气味、状态、溶解性等进行鉴别。B.热分解法：根据不同物质的热稳定性，利用产物的不同性质特征进行鉴别。C.相互作用法：根据两两混合后的不同现象进行鉴别。

【1】 用一种试剂鉴别NaCl、NH4NO3、(NH4)2SO4、Na2SO4四种无色溶液。

【2】 现有六种物质：铁粉、NaOH溶液、Ba(NO3)2溶液、稀硫酸、Fe2O3和CuSO4溶液。将它们两两混合后，能发生的化学反应共有

A.7个B.6个C.5个D.4个4.物质的鉴定：

鉴定是根据待检物质的特性，通过不同的实验将物质的各组分逐一检验出来，从而确定某物质。鉴定与“用实验方法确定或证明”等用语意义相同。如：用化学方法证明某白色固体是硫酸铵。在鉴定时不但要用化学实验检

2SO4）。从而确定此白色固体是(NH4)2SO4。验白色固体是否是铵盐（含NH4），还要检验它是否是硫酸盐（含

+

【1】某白色固体A加热后生成无色气体B和白色固体C，若将白色固体C加入盐酸中可得到无色液体D，将

溶液D加入硫酸钠溶液中可得到不溶于稀硝酸的白色沉淀E，气体B通入澄清石灰水中产生白色沉淀F。根据以上实验写出A、B、C、D、E、F六种物质的化学式。

【2】在硝酸银和硝酸铜的混合溶液中，加入一定量的铁粉，充分反应后，有少量金属析出，过滤后，向滤液中滴加稀盐酸，有白色沉淀生成。则滤液中含有的金属离子为，析出的少量金属为。

【3】实验室制取H2、CO2、O2时，只需固体药品制备的气体是______，既能用稀硫酸又能用稀盐酸制备的气体是______，只能用向上排空气法收集的气体是______。

【4】.有FeSO4、CuSO4的混合溶液，向其中投入一些锌粉，充分反应后过滤，得到滤液和一些固体不溶物。向固体不溶物中加入少量稀硫酸，有气泡产生。则固体不溶物中一定含有的物质的化学式为_____________，可能含有的物质的化学式为_____________；滤液中一定含有的溶质的化学式为_____________。

5.推断题：

物质的推断是根据给出的实验步骤和现象，运用物质的特性，经过分析、推理作出正确的判断，以确定所给的未知物是什么物质，不可能是什么物质；确定混合物里或溶液里肯定有什么物质，肯定不含有什么物质，可能含有什么物质。

推断题是考查化学知识的综合分析能力的一种题型。常见的有文字叙述、图表式、链条式三种形式推断题，无论哪种形式推断都必备的知识有反应规律、物理性质、化学性质、实验现象、溶解性等。在题目分析过程中，注意关键字的分析，如某物质溶于水是“生成”还是“得到”，“生成”是反应产物，“得到”既可能有反应产物，2CO3。沉淀溶解但无气体生成时，一般有OH。部分溶也可能有原物质。加酸沉淀溶解时有气体生成，一般有

解时，一定有BaSO4或AgCl等。

解推断题应注意：

（1）推理分析要紧扣实验现象，思考时要层次分明。判断的结论要准确，既要明确的肯定，又要明确的否定。

（2）一般情况下，与试题叙述的现象完全吻合的是“一定存在”。与现象不吻合的或有某种物质的存在使现象不正确的物质是“一定不存在”。有某种物质的存在不影响其它反应的现象或自始至终没有参与任何反应的物质是“可能存在”。

【1】在下图所示的有关物质转化关系中，各物质均是我们初中化学所学的物质。C为一种黑色粉末，D为一

种气体。

请根据框图中物质的转化关系及相关信息，用化学式填写下列空白：（1）若F为可溶性碱，G为蓝色沉淀。则A为；D可能为。（2）若G为蓝色沉淀，H为难溶性盐，则I为。

（3）若G、H都属于盐，且G为蓝色溶液，则I可能为；F可能为。

【2】2003年6月5日世界环境日的主题是：“水——二十亿人生命之所系”。请你回答下列问题：（1）自来水常用二氧化氯（ClO2）来杀菌消毒，它能转化为可溶解性氯化物。为检验自来水中是否含有氯离子，应选用的化学试剂是。

（2）节约用水，防治水污染具有十分重要的意义。某工厂有甲、乙、丙三个车间，各自排放的污水中均无沉淀物。各车间的污水分别含有以下六种物质中的各两种：KOH、K2SO4、AgNO3、Ba(NO3)

2、KCl、HNO3。为防止污染水源，某中学化学兴趣小组配合工厂进行污水检测，结果如下表。

可确定丙车间排放的污水中含有和。为变害为利，化学兴趣小组与工厂研究设计如下图污水处理方案。请回答：沉淀A是，若各步处理均完全反应，最终排放液C的溶质是，在农业上它可用作复合肥料。

【3】 在一定条件下，托盘天平的两盘上各放一盛有等质量分数等体积稀盐酸的烧杯，天平成平衡状态，当加入下列各物质反应后，天平一定保持平衡的是（）

A.分别加入等质量的Mg、Al，金属Mg完全溶解，金属Al有剩余 B.分别加入等质量的Al、Zn，两种金属完全溶解 C.分别加入等质量的Na2CO3和CaCO3,盐酸有剩余 D.分别加入24.75g Al和24g Mg ,两种金属完全溶解

【4】（1）将H2O2溶液滴入含有酚酞的NaOH溶液中，红色消失。甲同学认为这是由于H2O2是二元弱酸（H2O

2－HHO2），消耗了OH，而使红色褪去。乙同学认为H2O2具有强氧化性，将酚酞氧化，红色消失。

试设计一个实验论证甲、乙两位同学的解释中谁正确。

第四篇：高考数学知识点与题型归纳

河南省高中数学知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如 ：集合Ax|x2x30，Bx|ax1213

若BAa，则实数的值构成的集合为

（答：1，0，）

3.注意下列性质：

（1）集合a，a，„„，a的所有子集的个数是2；12nn2）若ABABA，ABB；

（

（3）德摩根定律：

CABCACB，CABCACBUUUUUU

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如 ：已知关于x的不等式0的解集为M，若3M且5M，求实数a2的取值范围。

ax5xaa·35（∵3M，∴203a

a·55∵5M，∴205a5a1，9，25）3.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”().pq为真，当且仅当p、q均为真

若

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

p为真，当且仅当p为假

若

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4x的定义域是2lgx3

（答：0，22，33，4）

10.如何求复合函数的定义域？ 

如 ：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。

（答：a，a）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：fx1exx，求f(x).tx1，则t0

令

xt

1∴

∴ ft()et12t122f(xe)x1x0

∴ 2x1

212.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1xx0：求函数f(x)的反函数

如 2xx0x1x1答：f()x）

（xx0

113.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a

 ff(a)f(b)a，ff(b)(fa)b1111

14.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当 内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）：求ylogx2x的单调区间

如 122

2（设uxxu2，由0则0x22logu，ux1，如图：

且 112 u O 1 2 x

x(0，1]时，u，又logu，∴y

当 12x[1，2)时，u，又logu，∴y

当 12

∴„„）

15.如何利用导数判断函数的单调性？

区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

在 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

3：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大

如

值是（）

A.0 B.1 2 C.2 D.3

aa令fx'()3xa3xx0

（33x

则aa或x 33a3已知f(x)[在1，)上为增函数，则1，即a 由

∴a的最大值为3）

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若 f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若 f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。xa·2a2

如 ：若f(x)x为奇函数，则实数a2

1（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)00a·2a20，∴）a1

即021x2如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x()0，1时，f(x)，又 x41求f(x)在1，1上的解析式。x2

（令x1，0，则x0，1，fx()x41xx22f(x)为奇函数，∴f(x)x

又 x4114xx(1，0)2x01x4f()00，∴fx()）

又 x2x0，1x41

17.你熟悉周期函数的定义吗？

若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期

（函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则 

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

又 如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即 f(ax)(fax)(，fbx)(fbx)

则 f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f

f(x)与f(x)的图象关于直线yx对称1(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

f

yf(x)图象

将yf(xa)b上移b(b0)个单位



yf(xa)b下移b(b0)个单位

注意如下“翻折”变换：

yf(xa)左移a(a0)个单位

yf(xa)右移a(a0)个单位

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如 ：f(x)logx12出及ylogx1yxlog1的图象

作 22 y y=log2x O 1 x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

1）一次函数：ykxbk0

（

（2）反比例函数：yk0推广为ybk0是中心O'()a，b的双曲线。

24acbb2

（3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线42aa2kxkxa2b4acbb点坐标为，对称轴x

顶 a4a2a224acb口方向：a0，向上，函数y

开 min4a24acb0，向下，y

a max4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 axbxc0，0时，两根x、x为二次函数yaxbxc的图象与x轴122 的两个交点，也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0b 如 ：二次方程axbxc0的两根都大于kka2fk()0 y(a>0)O k x1 x2 x

一 根大于k，一根小于kf(k)04）指数函数：，yaa01a

（5）对数函数ylogxa01，a

（a

由图象记性质！

（注意底数的限定！）

x y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

6）“对勾函数”yxk0

（

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

kx y k O k x

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指 数运算：a1(a0)，a(a0)p

aa(a0)，amnnmmn0p1a1nma(a0)数运算：logM·NlogMlogNM0，N0

对 aaa

logaM1logaMlogaN，loganMlogaM Nnlogx

对 数恒等式：aaxc数换底公式：logblogblogb

对 maaalogblogacnnm

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（

2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（

先令xytf(t)(tf)(t·t)

（ft()ft()f(t)f(t)

∴ f()tf(t)„„）

∴

3）证明单调性：f(x)fxxx„„

（221

222.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）



如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x

（）2y2x4 x322x

（3）x3，yx（4）yx49x设x3cos，0，（5）y4x，x(01，]

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S扇29x11l·R·R2）22 R 1弧度 O R

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

inMP，cosOM，tanAT

s

y T B S P α O M A x

：若0，则sin，cos，tan的大小顺序是

如

又如：求函数y812cosx的定义域和值域。

2∵12cosx）12sinx0

（2

∴sinx2，如图：2

∴ 2kx2kkZ，0y12

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ 54

4inx1，cosx s

y ytgx x    O  22

称点为k，0，kZ

对 sinx的增区间为2k，2kkZ

y 222

减 区间为2k，2kkZ2

2图 象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ

yx cos的增区间为2k，2kkZ

减 区间为2k，22kkZ

图 象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ322

y tanx的增区间为k，kkZ226.正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx

（1）振幅|A|，周期T

2||

若 fxA，则xx为对称轴。00fx0，则x，0为对称点，反之也对。

若 00

（2）五点作图：令x依次为0，，2，求出x与y，依点（x，y）作图象。3223）根据图象求解析式。（求A、、值）

（

(x)01图列出

如 (x)22条件组求、值

解

正切型函数yAtanx，T ||

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如 ：cosx，x，求x值。

（∵x，∴x，∴x，∴x）

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是 6223237551326636412x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

（

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

x'xha(h，k)

（1）点P（x，y）P'（x'，y'），则y'yk平移至

（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0：函数y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的 如 图象？

41横坐标伸长到原来的2倍y2sin2x1y2sin2x（424上平移1个单位4 2sinx1y2sinx1y2sinx4左平移个单位12 ysinx）纵坐标缩短到原来的倍

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

：1sincossectantan·cotcos·sectan

如 22224sincos0„„称为1的代换。

2k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“

2“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：costansin21

又如：函数y

A.正值或负值 9746

sintan，则y的值为

coscotB.负值

C.非负值

D.正值

sinsin2sincos1cos

（y20，∵0）coscossin1cossin

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

s insincoscossinsins22incos令令22coscossinsincos2cossin costantantan22 2cos112sin 1tan·tantan2

2tan 21tan 1cos22 1cos22sin22cos

sinbcosabsin，tan

a 22baincos2sin

s 34in3cos2sin

s 

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

1）角的变换：如，„„

（

（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

222：已知，1tan，求tan2的值。

如 sincos1cos223sincoscos1 1，∴tan2sin22sin

2又tan（由已知得：221tantan3

1∴ tan2tan2）2181tan·tan1·32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

222bca

余 弦定理：abc2bccosAAcos2bc22

2（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RAsinabc

正 弦定理：2Rb2RsinBsinAsinBsinCc2RCsin S a·bsinC2

∵ ABC，∴ABC

∴sinABsinC，sin

如ABC中，2sin

（1）求角C；2c

（2）若ab，求cos2Acos2B的值。2222ABCcos 22ABcos2C1 2

（（1）由已知式得：1cosAB21cosC12ABC，∴2cosCcosC10

又

2cosC或cosC1（舍）

∴ 120C，∴C

又32212232222sinA2sinBsinCsin

343cos2A1cos2B

142）由正弦定理及abc得：

（∴ cos2Acos2B）

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反 正弦：arcsinx，，x113422余弦：arccosx0，，x1，1

反

反 正切：arctanx，xR

34.不等式的性质有哪些？

22c0acbc

（1）ab，c0acbc

（2）ab，cdacbd

（3）ab0，cd0acbd

（4）ab0，ab0nn

（5）ab0ab，abnn11ab11ab6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

（：若，0则下列结论不正确的是（）

如

A.ab222 B.abb11ab.|||||abab|

C

答案：C

35.利用均值不等式：

abD.2 baab22

a b2aba，bR；；ab2abab求最值时，你是否注22 意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

22abab2ababab，R 22ab且仅当ab时等号成立。

当 bcabbccaa，bR

a

当 且仅当abc时取等号。

a b0，m0，n0，则222bbmana1 aambnb 如：若x0，23x的最大值为

x

（设y23x22122434x且仅当3x，又x0，∴x时，y243）

当 max

又 如：x2y1，则24的最小值为

（∵222222，∴最小值为22）

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如 ：证明1„222（1x2yx2y14x233xy11231n111111„„1„„ 222122323nn1n1111111„„223n1n

122）n7.解分式不等式aa0的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 f(x)g(x)

：x1x1x20

如 2

339.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如 ：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例 如：解不等式|x3|x1（解集为x|x）1.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

如 ：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1

求 证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：| f(x)(fax)||(x13)(aa13)|22212|(xa)(xa1)|(|xa|1)

|xax||a1||xa1|

|x||a|1

又 |x||a||xa|1，∴|x||a|1f(x)(fa)2|a|22|a|1

∴ 

（按不等号方向放缩）

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

：af(x)恒成立af(x)的最小值

如 f(x)恒成立af(x)的最大值

a f(x)能成立af(x)的最小值

a

如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

例

设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

（325，∴5a，即a

5u min者：x3x2x3x255，∴a）

或 

43.等差数列的定义与性质

定义：aad(d为常数)，aan1d

n1nn1

等 差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Snaannn1 1nnad212

性 质：a是等差数列n1）若mnpq，则aaaa；

（mnpq

（2）数列a，a，kab仍为等差数列；2n12nn

S，SS，SS„„仍为等差数列；n2nn3n2n3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；

（

m2m14）若a，b是等差数列S，T为前n项和，则；

（nnnnaSbTm2m1

（5）a为等差数列Sanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为nn20的二次函数）

2S 的最值可求二次函数Sanbn的最值；或者求出a中的正、负分界nnn项，即：

当 a0，d0，解不等式组得S达到最大值时的n值。可1na0na0n1a0n

当 a0，d0，由得S达到最小值时的n值。可1na0n1

如 ：等差数列a，S18，aaa3，S1，则nnnnn1n2

3（由aaa33a3，∴a1nn1n2n1n1S

又3aa113·33a1，∴a

222311naanaa·n31S1n2n18

∴ n222n27）



44.等比数列的定义与性质 n1义：q（q为常数，q0），aaq

定 n1aann 等 比中项：x、G、y成等比数列Gxy，或Gxy2na(q1)1n

前 n项和：S（要注意!）aqn11(q1)1q

性 质：a是等比数列n1m）若npqa，则·aa·a

（mnpq

（2）S，SS，SS„„仍为等比数列nn2n3n2n5.由S求a时应注意什么？nn

（n1时，aS，n2时，aSS）11nnn

146.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

11122211时，a215，∴a1 解：n 112111

n 2时，aa„„a2n152122n1n12221

 12得：a2nn

2如 ：a满足aa„„a2n51n12n2n

∴a2 nn114(n1)a

∴ nn12(n2)［练习］

列a满足SSa，a4，求a

数 nnn1n11n

（注意到an1Sn1Sn代入得：53Sn14 SnnS4，∴S是等比数列，S4

又 1nn2时，aSS„„3·4

n nnn1n1

（2）叠乘法

n1

例 如：数列a中，a3，，求an1nana1nn

解：aa2n1a2a3n1n1·„„·„„，∴

aa3na1a2n121n3n

又a3，∴a1n

（3）等差型递推公式

由 aaf(n)，aa，求a，用迭加法nn110nn2时，aa(2)21faaf(3)32

两边相加，得：„„„„aa(n)nn1f

a af(2)f(3)„„f(n)n1

∴ aaf(23)(f)„„f(n)n0［练习］

数 列a，a1，a3an2，求an1nn1nn1a1）

（n3

（4）等比型递推公式

a cadc、d为常数，c0，c1，d0nn

1可 转化为等比数列，设axcaxnn112nacac1x

 nn1

令(c1)xd，∴xd c1a是首项为，ac为公比的等比数列

∴ n1d1cdc1a

∴nddn1a·c 1c1c1dnd1c c1c1aa

∴n1［练习］

数 列a满足a9，3aa4，求an1n1nn4

（a8n3

（5）倒数法 n1 1）如：a1，a

例1n12an，求a na2nn

由已知得：2111a

a2a2an1nn

∴1an111 an2为等差数列，1，公差为

 1an1a1121n1·n1

 

∴an1an11222 n1

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

：a是公差为d的等差数列，求

如n1 aak1kk1n

解：由n11111d0 adaa·adkkkak1kk1an1111

∴ aadaak1kkk11kk1

1111111„„daaaaaa1223nn1111daa1n1

［练习］

和：1

求111„„

12123123„„n

（a„„„„，S2）nn

（2）错位相减法：

1n1

若 a为等差数列，b为等比数列，求数列ab（差比数列）前n项nnnn 和，可由SqS求S，其中q为b的公比。nnnn

如 ：Sx123x4x„„nx1n

x ·Sx2x3x4x„„n1xnx2n234n1n23n1

 12：11xSxx„„xnxn2n1n1xnx

x 1时，Snnn21x1xnn1

x 1时，S123„„nn

2（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Saa„„aan12n1n 相加Saa„„aannn121Saaaa„„aa„„n1n2n11n［练习］

2x111 已知f(x)，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f 22341x221x1x由fx()f1（22221xx1x1x11x1x2原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

∴ 

121314111113）22

48.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

p1rp12r„„p1nrpnr„„等差问题

S nnn12

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p()1rx1rx1r„„x1rxnnn11r1r1

 xx11rrn1n

2∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nmm„„m12n

（mi为各类办法中的方法数）

分 步计数原理：Nm·m„„m12n

（m为各步骤中的方法数）i

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

m 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A.nnn1n2„„nm1

Anmn!mn nm!定：0!

1规

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

m 同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C.nmnn1„„nm1An!n

C mm!m!nm!Ammn定：C1

规 n04）组合数性质：

（

C，CCC，CC„„C

2C nnnnn1nnn

50.解排列与组合问题的规律是： mnmmm1m01nn

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

x89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足xxxx，i123

4则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）

A.24 B.15 C.12 D.10

解析：可分成两类： 1）中间两个分数不相等，（有 C5（种）

5（2）中间两个分数相等

x xxx1234

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况

51.二项式定理

(ab)CaCabCab„Cab„Cbnnnnn

二 项展开式的通项公式：TCab(r0，1„„n)r1n

C 为二项式系数（区别于该项的系数）n

性质：

（1）对称性：CCr0，1，2，„„，nnn

（2）系数和：CC„C2nnn

C CCC„CC„2nnnnnn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 135024n101nnn0n1n12n22rnrrnnrnrrrrnrn21项，二项式系数为C；n为奇数时，()n1为偶数，中间两项的二项式 n2nn1n122系数最大即第项及第1项，其二项式系数为CC nn2211n1n1：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为（用数字

如 表示）∵n＝11

（

∴ 共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第6或第7项

由 Cx(1)，∴取r5即第6项系数为负值为最小：11

 CC4261111

又 如：12xaaxax„„axxR，则***465122r11rr aaaaaa„„aa（用数字作答）01020302004

（令x0，得：a10

令 x1，得：aa„„a1022004

∴ 原式2003aaa„„a2003112004）0012004

52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()02）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

（

A B

3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B

（的和（并）。

4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B

（6）对立事件（互逆事件）：

A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

“

A A，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

A

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

()A

PA包含的等可能结果m n一次试验的等可能结果的总数

（2）若A、BP互斥，则ABP(A)P(B)

（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB

（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kkk次的概率：P(k)Cp1p nnnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

C224

P 1215C10

（2）从中任取5件恰有2件次品；

23CC1046

P 2521C10

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴ mC·4643223C·4·644

∴ P33125102213

（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

∴ nAm，CAA10456223CAA10456

∴ P4521A105223

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差xx；maxmin

（2）决定组距和组数；

（3）决定分点；

（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图。

中，频率小长方形的面积组距×

其本平均值：xxx„„x

样 12n频率组距1n1222 样 本方差：Sxxxx„„xx12nn

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5）

（6C1

556.你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，||a

（3）单位向量|a|1，a00a|a|

（4）零向量0，|0|0长度相等5）相等的向量ab

（方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

b ∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图： 



O AOBOC

O AOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e，e是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一12实数对、，使得aee，e、e叫做表示这一平面内所有向量 12121212的一组基底。

（9）向量的坐标表示

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得 axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标表示。

axy，bx，y

设 1122abxyy，yxy，xy

则，11121122ax，yx，y

1111 Ax，y，Bx，y

若 1122ABxx，yy

则 212122ABxxyy，A、B两点间距离公式

|| 21

2157.平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。为向量a与b的夹角，0，



B  b O  a

D A

数量积的几何意义：

·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

a

（2）数量积的运算法则

a·bb·a

①

(ab)ca·cb·c

② 

③ a·bx，y·x，yxxyy11221212

注 意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)

（3）重要性质：设ax，y，bx，y1122

① a⊥ba·b0x·xy·y01212

② a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|

 ab（b0，惟一确定）

 xyxy01221

③ a||axy，|a·b|||a·||b

④cos［练习］ 222121xxyya·b1212 2222xy·xy|a|·|b|1122

（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则|abc|

答案：22 

（2）若向量ax，1，b4，x，当x

答案：2 时a与b共线且方向相同

3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|

（答案：158.线段的定比分点 oPx，y，Px，y，分点Px，y，设P、P是直线l上两点，P点在设 11122212 l上且不同于P、P，若存在一实数，使PPPP，则叫做P分有向线段1212 PP所成的比（0，P在线段PP内，0，P在PP外），且121212xxxx1212xx12，P为PP中点时， 12yyyy212y1y12：ABC，Ax，y，Bx，y，Cx，y

如 1122331 则ABC重心G的坐标是xxxyy3y123，3

3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面

 线⊥线线⊥面面⊥面判定性质线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

∥b，b面，aa∥面

a

a b 

线面平行的性质：

 ∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

A⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

P

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

线面垂直：

P O a

⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a

a O α b c

面面垂直：

a ⊥面，a面⊥

面 ⊥面，l，a，aa⊥l⊥ α a l β

⊥面，b⊥面ab∥

a

面 ⊥a，面⊥a∥ a b 

60.三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0时，b∥或b

 o

（3）二面角：二面角l的平面角，0180oo

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证 明：coscos·cos A θ O β B C D α

（为线面成角，∠AOC=B，∠OC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin；②60；③arcsin）

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B 34o63

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线„„）

61.空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

R tSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

S C·h'（C——底面周长，h'为斜高）正棱锥侧12底面积×高

V 锥

63.球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r13R2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球24R3

3（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（）

A.3B.4C.33D.6

答案：A

64.熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2

x2x12

P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

（2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在）

斜截式：ykxb

截距式：xy1 ab

一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dAx0By0CAB22

（4）l1到l2的到角公式：tank2k1

1k1k l1与l2的夹角公式：tank2k1

1k1k2

65.如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1

k1k2l1∥l2（反之不一定成立）

A1A2B1B20l1⊥l2

·k1l⊥l

k 121

266.怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68.分清圆锥曲线的定义

椭圆PFPF2a，2a2cFF1212

第 一定义双曲线PFPF2a，2a2cFF1212抛物线PFPK

第二定义：ePFPKc a

0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y

b O F1 F2 a x a2x c

22xy

221ab0

ab

abc 222

22xy1a0，b0

22 ab

ab

c222 e>1 e=1 P 0

x2y2x2y2 69.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab

70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦 长公式PP1kxxxx4121212221k12yy4yy

1212

2

71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0)K F1 O F2 x l

x2y2

221

ab2PFa2e，PFexexa

200PKcFexa

P 10 y A P2 O F x P1 B

y 2pxp02

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如 ：椭圆mxny1与直线y1x交于M、NM两点，原点与N中点连2m线的斜率为，则的值为2n

答案：

m2 n

273.如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由a，bx'2ax，y'2by）xx'yy'22要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y'

只 2）点A、A'关于直线l对称

（kk1AA'·l

 AA'中点坐标满足l方程AA'⊥lAA'中点在l上

xrcos74.圆xyr的参数方程为（为参数）

yrsin222xacosx2y

2椭圆221的参数方程为（为参数）

abybsin

75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

第五篇：高中化学会考常见知识点总结

学业考试《化学必修1、2》复习资料汇编

A.学业水平测试必修1、2必背考试点

1、化合价(常见元素的化合价)：

碱金属元素、Ag、H：+1 F：—1 Ca、Mg、Ba、Zn：+2 Cl：—1，+1，+5，+7 Cu：+1，+2 O：—2 Fe：+2，+3 S：—2，+4，+6 Al：+3 P：—3，+3，+5

Mn：+2，+4，+6，+7 N：—3，+2，+4，+5

2、氧化还原反应

定义：有电子转移(或者化合价升降)的反应 本质：电子转移(包括电子的得失和偏移)特征：化合价的升降

氧化剂(具有氧化性)——得电子——化合价下降——被还原——还原产物 还原剂(具有还原性)——失电子——化合价上升——被氧化——氧化产物 口诀：得——降——(被)还原——氧化剂 失——升——(被)氧化——还原剂

四种基本反应类型和氧化还原反应关系： 氧化还原反应

分解

复分解

置换

3、金属活动性顺序表

K Ca Na Mg Al Zn Fe Sn Pb(H)Cu Hg Ag Pt Au

还 原 性 逐 渐 减 弱

4、离子反应

定义：有离子参加的反应

电解质：在水溶液中或熔融状态下能导电的化合物

非电解质：在水溶液中和熔融状态下都不能导电的化合物 离子方程式的书写：

第一步：写。写出化学方程式

第二步：拆。易溶于水、易电离的物质拆成离子形式；难溶(如CaCO3、BaCO3、BaSO4、AgCl、AgBr、AgI、Mg(OH)

2、Al(OH)

3、Fe(OH)

2、Fe(OH)

3、Cu(OH)2等)，难电离(H2CO3、H2S、CH3COOH、HClO、H2SO3、NH3·H2O、H2O等)，气体(CO2、SO2、NH3、Cl2、O2、H2等)，氧化物(Na2O、MgO、Al2O3等)不拆

第三步：删。删去前后都有的离子

第四步：查。检查前后原子个数，电荷是否守恒 离子共存问题判断： ①否产生沉淀

②是否生成弱电解质 ③是否生成气体

④是否发生氧化还原反应

5、放热反应和吸热反应

化学反应一定伴随着能量变化。

放热反应：反应物总能量大于生成物总能量的反应

常见的放热反应：燃烧，酸碱中和，活泼金属与酸发生的置换反应 吸热反应：反应物总能量小于生成物总能量的反应 常见的吸热反应：Ba(OH)2·8H2O和NH4Cl的反应，灼热的碳和二氧化碳的反应C、CO、H2还原CuO

6、各物理量之间的转化公式和推论

⑴微粒数目和物质的量：n==N / NA，N==nNA NA——阿伏加德罗常数。规定0.012kg12C所含的碳原子数目为一摩尔，约为6.02×1023个，该数目称为阿伏加德罗常数 ⑵物质的量和质量：n==m / M，m==nM ⑶对于气体，有如下重要公式

a、气体摩尔体积和物质的量：n==V / Vm，V==nVm 标准状况下：Vm=22.4L/mol

b、阿伏加德罗定律：同温同压下V(A)/ V(B)== n(A)/ n(B)== N(A)/ N(B)c、气体密度公式：ρ==M / Vm，ρ1/ρ2==M1 / M2 ⑷物质的量浓度与物质的量关系

(对于溶液)a、物质的量浓度与物质的量 C==n / V，n==CV

b、物质的量浓度与质量分数 C==(1000ρω)/ M

7、配置一定物质的量浓度的溶液

①计算：固体的质量或稀溶液的体积

②称量：天平称量固体，量筒或滴定管量取液体(准确量取)③溶解：在烧杯中用玻璃棒搅拌 ④检漏：检验容量瓶是否漏水(两次)

⑤移液：冷却到室温，用玻璃棒将烧杯中的溶液转移至选定容积的容量瓶中 ⑥洗涤：将烧杯、玻璃棒洗涤2—3次，将洗液全部转移至容量瓶中(少量多次)

⑦定容：加水至叶面接近容量瓶刻度线1cm—2cm处时，改用胶头滴管加蒸馏水至溶液的凹液面最低点刚好与刻

度线相切

⑧摇匀：反复上下颠倒，摇匀，使得容量瓶中溶液浓度均匀 ⑨装瓶、贴标签

必须仪器：天平(称固体质量)，量筒或滴定管(量液体体积)，烧杯，玻璃棒，容量瓶(规格)，胶头滴管

9、钠的氧化物比较