小学数学应用题大全解[5篇材料]

第一篇：小学数学应用题大全解

小学数学典型应用题

小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。应用题可分为一般应用题与典型应用题。没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。

题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资料主要研究以下30类典型应用题：

1、归一问题

2、归总问题

3、和差问题

4、和倍问题

5、差倍问题

6、倍比问题

7、相遇问题

8、追及问题

9、植树问题 归一问题

在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

10、年龄问题

11、行船问题

12、列车问题

13、时钟问题

14、盈亏问题

15、工程问题

16、正反比例问题

17、按比例分配

18、百分数问题

19、“牛吃草”问题 20、鸡兔同笼问题

21、方阵问题

22、商品利润问题

23、存款利率问题

24、溶液浓度问题

25、构图布数问题

26、幻方问题

27、抽屉原则问题

28、公约公倍问题

29、最值问题 30、列方程问题 答：需要1.92元。

例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？ 解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。

例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 5×7＝35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。2 归总问题

解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解（1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）（2）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）答：现在可以做904套。

例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？ 解（1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）（2）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷36＝8（天）列成综合算式 24×12÷36＝8（天）答：小明8天可以读完《红岩》。

例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解（1）这批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克）（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）列成综合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）答：这批蔬菜可以吃25天。3 和差问题

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。大数＝（和＋差）÷ 2 小数＝（和－差）÷ 2

简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。

例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）

长方形的面积 ＝10×8＝80（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。

例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

解 “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）乙车筐数＝97－64＝33（筐）

答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。4 和倍问题

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数 总和 － 较小的数 ＝ 较大的数 较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。

例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？ 解（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）

所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天）答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍； 又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍； 这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 乙数＝28×2－4＝52 丙数＝28×3＋6＝90 答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。5 差倍问题

已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？ 解（1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此 上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）本月盈利＝18＋30＝48（万元）

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此

剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）运粮的天数＝72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。6 倍比问题

有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另一总量

先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40×37＝1480（千克）列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。

例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？ 解（1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）（2）共植树多少棵？ 400×160＝64000（棵）列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）答：全县48000名师生共植树64000棵。

例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？ 解（1）800亩是4亩的几倍？ 800÷4＝200（倍）（2）800亩收入多少元？ 11111×200＝2222200（元）（3）16000亩是800亩的几倍？ 16000÷800＝20（倍）（4）16000亩收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元）答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。7 相遇问题

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？ 解 392÷（28＋21）＝8（小时）答：经过8小时两船相遇。例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400×2

相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）答：两地距离是84千米。8 追及问题

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 解（1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）（2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－75）＝20（天）列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好马20天能追上劣马。

例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是（500－200）÷［40×（500÷200）］ ＝300÷100＝3（米）答：小亮的速度是每秒3米。

例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小时）

答：解放军在11小时后可以追上敌人。

例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ＝88×4 ＝352（千米）

答：甲乙两站的距离是352千米。

例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？

解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷（90－60）＝12（分钟）

家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）答：家离学校有900米远。

例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。所以

步行1千米所用时间为 1÷［9－（10－5）］ ＝0.25（小时）＝15（分钟）

跑步1千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分钟）跑步速度为每小时 1÷11／60＝5.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。9 植树问题

按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1 环形植树 棵数＝距离÷棵距 方形植树 棵数＝距离÷棵距－4 三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3 面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。

例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 解 400÷4＝100（棵）答：一共能栽100棵白杨树。

例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？ 解 220×4÷8－4＝110－4＝106（个）答：一共可以安装106个照明灯。

例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？

解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）答：至少需要400块地板砖。

例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

解（1）桥的一边有多少个电杆？ 500÷50＋1＝11（个）（2）桥的两边有多少个电杆？ 11×2＝22（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。10 年龄问题

这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解 35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？ 解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37－7＝30（岁）

（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？ 解 今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，今年二人的年龄和为 49＋3×2＝55（岁）

把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为 55÷（4＋1）＝11（岁）

今年父亲年龄为 11×4＝44（岁）

答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。11 行船问题

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？ 解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时 320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为 25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

解由题意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36 甲船速－水速＝360÷18＝20 可见（36－20）相当于水速的2倍，所以，水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）又因为，乙船速－水速＝360÷15，所以，乙船速为 360÷15＋8＝32（千米）乙船顺水速为 32＋8＝40（千米）所以，乙船顺水航行360千米需要 360÷40＝9（小时）

答：乙船返回原地需要9小时。

例3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？ 解 这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（576－24）×3＝1656（千米）（2）顺风飞回需要多少小时？ 1656÷（576＋24）＝2.76（小时）列成综合算式

［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小时）

答：飞机顺风飞回需要2.76小时。12 列车问题

这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速 火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车3分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）（2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米）列成综合算式 900×3－2400＝300（米）答：这列火车长300米。

例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？ 解 火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200米＋桥长），所以，桥长为

8×125－200＝800（米）答：大桥的长度是800米。

例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？

解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，所求的时间为

（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）答：需要73秒。

例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？

解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150÷（22＋3）＝6（秒）

答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？

解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米，因此，车长为 25×58－1250＝200（米）

答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。13 时钟问题

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为 20÷（1－1/12）≈ 22（分）答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？

解 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。（5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）（5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）答：4点06分及4点38分时两针成直角。例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

解 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）答：6点33分的时候分针与时针重合。14 盈亏问题

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。

例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？

解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为

（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）这条路全长为 300×（22＋4）＝7800（米）答：这条路全长7800米。

例3 学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？

解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）答：有6 辆车，有270人。15 工程问题

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？ 解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：两队合做需要6天完成。

例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？ 解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以

（1）每小时甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）（2）这批零件共有多少个？ 7÷（1/6－1/8）＝168（个）答：这批零件共有168个。

解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7 所以，这批零件共有 24÷1/7＝168（个）

例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）答：还需要5小时才能完成。

例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？

解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知 每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15 又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2，所以，2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）

答：至少需要9个进水管。16 正反比例问题

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

解 由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300÷（4－3）×12＝3600（米）

答： 这条公路总长3600米。

例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？ 解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4＝91∶X 28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13 答：91分钟可以做13道应用题。

例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？ 解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝24×15 X＝10 17 按比例分配问题

所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？ 解 总份数为 47＋48＋45＝140 一班植树 560×47/140＝188（棵）二班植树 560×48/140＝192（棵）三班植树 560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？ 解 3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米）60×4/12＝20（厘米）60×5/12＝25（厘米）

答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝17 17×9/17＝9 17×6/17＝6 17×2/17＝2 答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。18 百分数问题

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量 标准量＝比较量÷百分数 一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？ 解（1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。

例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量 所以（525－420）÷525＝0.2＝20% 或者 1－420÷525＝0.2＝20% 答：男职工人数比女职工少20%。

例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此（525－420）÷420＝0.25＝25% 或者 525÷420－1＝0.25＝25% 答：女职工人数比男职工多25%。

例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？ 解（1）男职工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%（2）女职工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6% 答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。

例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有： 增长率＝增长数÷原来基数×100% 合格率＝合格产品数÷产品总数×100% 出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100% 出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100% 缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100% 发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100% 成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100% 出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100% 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 废品率＝废品数量÷全部产品数量×100% 命中率＝命中次数÷总次数×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100% 及格率＝及格人数÷参加考试人数×100% 19 “牛吃草”问题 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？ 解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5（2）求原有草量

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5 天内草总量 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125（4）求多少头牛5 天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）答：17人2小时可以淘完水。20 鸡兔同笼问题

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

解 假设35只全为兔，则

鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只）也可以先假设35只全为鸡，则

兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）答：有鸡23只，有兔12只。

例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？ 解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有 白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）答：白菜地有10亩。

例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？

解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有 作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日记本数＝45－15＝30（本）答：作业本有15本，日记本有30本。

例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？ 解 假设100只全都是鸡，则有

兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）鸡数＝100－20＝80（只）答：有鸡80只，有兔20只。

例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？ 解 假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚 100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21 方阵问题

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

（1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？

解 22×22＝484（人）

答：参加体操表演的同学一共有484人。

例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。解 10－（10－3×2）＝84（人）答：全方阵84人。

例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？ 解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）答：这队学生共160人。

例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？

解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。

例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？

解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：这个三角形树林一共有15棵树。22 商品利润问题

这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率）亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100% 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

解 设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了 1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原价下降了1%。

例2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？

解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）

可以看出该店是盈利的，盈利率为（52－50）÷50＝4% 答：该店是盈利的，盈利率是4%。

例3 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？

解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即 0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）剩下的作业本每册盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80% 答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。

例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 1－10%＝0.9 甲店定价为 0.9×（1＋30%）＝1.17 乙店定价为 1×（1＋20%）＝1.20 由此可得 乙店进货价为 6÷（1.20－1.17）＝200（元）乙店定价为 200×1.2＝240（元）答：乙店的定价是240元。23 存款利率问题

把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率 本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，所以总利率为（1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大强的存款期是30月即两年半。

例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？ 解 甲的总利息

［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3 ＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）乙的总利息 10000×9%×5＝4500（元）4500－4461.47＝38.53（元）

答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。24 溶液浓度问题 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）

答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。

例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？ 解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 600×（30%－25%）＝30（克）

这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600－200＝400（克）

答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。25 构图布数问题

这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。根据不同题目的要求而定。

通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形应是一个五角星。4×5÷2＝10 因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。

例2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。

例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。

解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。4×3－3＝9 例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。

解 共有五种写法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7 12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5 在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形： 27 抽屉原则问题

把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。

基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。（1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。

例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同 一天的？

解 由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

例2 据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？

解 人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到

3645÷20＝182„„5 根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183 答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。

例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？

解 把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11 看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。28 公约公倍问题

需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？

解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。60和56的最大公约数是4。答：正方形的边长是4厘米。

例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？ 解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720。答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

例3 一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？

解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。所以，至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）答：至少要植26棵树。

例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。

解 如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为 60×3＋1＝181（个）答：棋子的总数是181个。最值问题2009-12-31 11:15 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。一般是求最大值或最小值。

按照题目的要求，求出最大值或最小值。

例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。答：最少需要9分钟。

例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？ 解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京 往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调

往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为 500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）

答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。30 列方程问题

把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。方程的等号两边数量相等。

可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。

（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。

例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？ 解 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。列方程： 90－Χ＝2Χ－30 解方程得 Χ＝40 从而知 90－Χ＝50 第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。列方程（2Χ－30）＋Χ＝90 解方程得 Χ＝40 从而得知 2Χ－30＝50 答：甲班有50人，乙班有40人。

例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？ 解 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ＝12 则35－Χ＝23 第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）所以 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）答：鸡是23只，兔是12只。

例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？ 解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。940÷4－125＝110（袋）

第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。（940－125×4）÷4＝110（袋）

第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程 940÷4－Χ＝125 解方程得 Χ＝110 第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110 答：乙汽车每次运110袋。

第二篇：题解

[题解]

这是一道开放的作文试题，虽然试题没有给出明确的话题，但从材料看，应该与“声音”有关。这道文题是很贴近学生实际的。试想，只要是健全的人，谁会对“声音”感到陌生呢？何况，随着收录机、电视机、电脑等各种“视听”载体广泛普及，再到街头随处可拨的越洋电话，全世界的视听资源都可以共享了。而且，学生生活中还有那么多具体的声音：父母的叮嘱声，老师的讲课声，自行车飞过的一串铃声，街头商贩的吆喝声，厨房里炒菜时香喷喷的“嚓嚓”声，电脑前快速击键的“哒哒”声„„大千世界如此丰富的声音中，应该会有一些你熟悉的吧。

但是，并不是所有的声音都可以写，因为提示语的要求很清楚，“哪一种才是真正牵动你内心深处的呢”，这就值得好好体味和思考了。

审题时，须注意提示语中的几个短句：“是校园的课钟，还是窗外的风雨？是新岁的爆竹，还是梦中的短笛?或者，那是„„”这几个句子虚实相间，诗意盎然，使文题提示丰满起来。不难看出，“校园的课钟”自然是学生最熟悉的声音，由此可以联想到更多的校园之声，比如书页的翻动声，落笔的“沙沙”声，操场上的哨子声，每天升旗时的国歌声，等等。“窗外的风雨”，能令人联想到“小楼一夜听春雨”等令人愉悦的诗句，联想到振聋发聩的名句“风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心”。风声雨声，岂止是缠缠绵绵的春风秋雨，它的寓意可以如此深沉，甚至联想到恐怖分子的威胁声、炸弹爆炸声以及矿难家属撕心裂肺的哭声，等等。这些声音都会令人深深地动容，难以忘怀，进而思考如何面对这些社会生活的“风风雨雨”，什么才是青年一代的责任与使命。“新岁的爆竹”是一年一度举国欢庆之声，也是一个人走向新的生命年轮之时，“爆竹声中除旧岁”，该有多少动人的故事会在除夕之夜发生。也许，爆竹声中，迎来了久别的亲人风雪夜归；也许，电话那头，传来了亲切的问候。“梦中的短笛”则拉大了与前者的距离，也许有几分悠远，不可捉摸；也许笛音短暂，因为那是在梦中，但那一定是极优美极空灵的境界吧，那是一种令人神往，令人追求的声音„„

提示列出这几点，并不是要求照抄作为每段内容，而是提示考生更好地选材构思，发挥所长，进行独创。写这篇文章，应该感情真挚，任何的假话、空话、套话，任何的虚情假意，都与这样一个题目格格不入。

【写作指导】

千万种声音中，能触动内心世界的，必定是使我感受最深的声音。

这道题立意不难，任何一种或几种声音，只要与“真正牵动„„内心深处的”声音相关就行，从正、反、实、虚各个角度立意均可。

1、捕捉材料中信息（关键词）的限制：今天、声音、一种、牵动你内心深处的、你

审题的关键词是“真正牵动„„内心深处的声音”，“声音”引入文章要表达的对象，“牵动”是一个感受的过程；而“牵动你内心深处”是文章要表达的中心，需要突出的主旨。“声音”可以是自然的，可以是社会的，也可以是生活的或艺术的等等。文章重在表达牵动的过程：即为什么牵动，怎样牵动。整篇文章应表达对声音的怀想、由衷赞美等感情情。

2、文章可以实写，比如可写由听到书声、风雨声、教诲声、音乐声等带来的审美感受；也可以虚写，比如将艺术作品(一幅画、一首诗等)中的某些图景幻化为听觉感受，从而进入审美境界。

自然界的实实在在的声音，风声、雨声、燕子泥喃、小麦拔节声；人的声音社会的声音，师长的教诲声、父母的叮嘱声、朋友的嬉闹声、“嘈嘈切切错杂谈，大珠小珠落玉盘”的琵琶声、“如怨如慕，如泣如诉，余音袅袅”的洞箫声等等，这些声音里，哪些是最触动内心的引发你无限遐思的声音，这些声音凭着什么特点，又是怎样让你动了真情，感受至深？从自然界的实实在在的声音，风声、雨声、燕子泥喃、小麦拔节声等角度由实到虚；从人的角度社会的呼吁角度，师长的教诲声、父母的叮嘱声、朋友的嬉闹声、“嘈嘈切切错杂谈，大珠小珠落玉盘”的琵琶声、“如怨如慕，如泣如诉，余音袅袅”的洞箫声等等角度，写出最触动内心的引发你无限遐思的声音。

3、对声音的感受应该是深刻的，声音的感受是有感染力的，震撼力的；表现的“声音”不应该是低俗的，不健康的。【误区警示】

1、审题不准确：没有看到“真正牵动你内心深处”这一关键性提示语。

2、假大空的声音：妈妈的骂声，如“快去做作业”„„呼吁“宇宙和平”、陆游临死前的叹息声„„

3、写成了“那句话，牵动你内心深处”。与声音无关。

4、若即若离：硬贴题签。写一个故事，写“助人”“自强”“关爱”等，与“声音牵动你内心深处”关系不大。最后贴上“声音牵动你内心深处”。

5、写几个片段，光写“声音没写牵动”缺乏内在联系，几个片段中，有的不属于声音的范畴。再比如写一个人的故事，结尾听到路边的鸟鸣，于是来个“声音牵中心不明：

6、罗列几种声音，自然界的、生活的、艺术的、但材料散乱无序，不知在表达什么主旨——缺乏一种立意的指向。相当一部分同学的内容庞杂，能把听到的所有声音都堆在一篇文章中，形成“杂音”，记叙文没有一条主线，议论文没有明确的中心。思维中没有“归类”的意识。文章通篇议论，漫无中心。

7、缺失真情：由于缺乏对题旨的把握，缺乏真材实料，缺失审美情趣，为文时往往借助贴标签来回应标题。其实，考生未必感受到某种“牵动”，语言干涩，硬着头皮说“牵动”。文章应当有些激情，或者辅以适当的议论。胡编乱造，必然虚情假意。

8、入题太慢：文题的关键字眼“牵动”“声音”千呼万唤始出来，更有甚者，千呼万唤不出来。我们在写考场作文时要直奔主题，决不“架床叠屋”（无论记叙文还是议论文都适用），开篇就点题。

9、内涵不丰：缺少牵动体验的过程（品味美的过程正是表达真切细腻的情感过程）。缺少对牵动的内涵的点化或分析。对牵动，只停留在感知的阶段，不能升华。【写作素材】

自己最熟悉的声音：校园的声音、家庭的声音、自然界的声音、与环境保护有关的声音等。

（一）校园的声音。

1、老师上课时神采飞扬的讲解及抑扬顿挫的语调，让我终身难忘，更让我体味到老师的那种“春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干”的敬业精神。

2、老师循循善诱的批评教导声，如雨露般滋润着我茁壮成长。同学的鼓励声，给我勇气和自信。

3、我的特异功能——听声知人。由走路、说话声判断出声音的主人，可见友情的融洽与醇美。

4、同窗的梦呓。同窗平素酷爱绿装，军训时，更是梦语不断。这让我感受到了同窗处处以军人自律，积极进取的人生态度。

（二）家庭的声音。

父母的叹息声鞭笞着我永不停息；父母的脚步声散发着浓浓的亲情；父母的叮嘱声绵延着厚重如山的关怀。

（三）与自己兴趣爱好有关的声音。

1、听《好大一棵树》的感受。我希望自己能像树一样，做一个在风雨中昂起头，冰雪压不服，胸怀在蓝天，深情藏沃土的人。当自己失败不自信时，从《阳光总在风雨后》、《相信自己》等音乐声中，找回了前进的勇气。

2、赛场上观众为运动员欢呼呐喊的声音，令我热血沸腾并激励着自己勇往直前。

3、从自己的呼吸声中，感受到“逝者如斯夫”的紧迫并警醒自己时不我与。

（四）自然界的声音。

1、雨敲石板发出的叮咚声引人沉浸在“天街小雨润如酥”的温柔与“夜阑卧听风吹雨”的悲壮等美丽意境中，从而让人洗去心灵的污浊，升华思想。

2、黄河波涛滚滚，撞击两岸的气壮山河之声让人感受到拼搏的壮美。

3、冰雪融化、燕子泥喃、蜜蜂嗡嗡、小麦拔节、小草的萌动等春天的声音告示着人们：一年之计在于春，莫负大好时光。材料作文审题立意方法

一、提炼中心法

写材料作文时，如果能准确地提炼出材料的中心，并以其作为文章的主旨，一定会使所写文章既切题又有深度。

二、抓关键句法

关键词句往往是“文眼”，蕴含着材料的主旨。关键句常常有暗示材料中心的作用。有的材料为突出中心，有时会在材料中设置关键句（开头句、结尾句、反复出现的句子），抓住这些关键句，就能把握材料主旨，准确理解材料，正确立意。

三、从材料情感倾向入手。

有的材料在叙述、说明或评论某个事物时，明显地流露出作者的情感倾向，这样我们可从材料的情感倾向入手来审题立意。

四、从辨明关系入手。

任何事物是相互联系的。事物间的关系主要有依存关系（如学与问）、主次关系（如奉献与索取）、取舍关系（如自卑与自强）和条件关系（如继承与创新）等。辨明这些关系，有利于立意构思作文。第一步：读懂材料，要全面而不是“断章取义”

关键是在理解材料时的“全面把握”。部分学生在阅读材料时，总会或多或少地或“一叶障目”，或“丢三落四”，遗漏材料的部分内容，造成审题偏差。第二步：分析材料，要深刻而不是“浮光掠影”

材料包含的思想内容既有主要的，又有次要的，中心的现存状态既有外显的，又有隐含的。其次，材料中往往或隐或现地包含着命题者的写作倾向或意图，有的蕴含在关键语句中，有的蕴含在阐述评议中。因此，我们在剖析材料时，一是要分析材料的整体含意，二是要分析材料的关键细节，三是要分析材料的倾向意图，四要是分析材料的写作指向。要强调的是在分析材料的过程中，不能停留于材料的表面，浮光掠影，浅尝辄止，而要深入材料，分析材料寓意，挖掘出蕴含于其中的哲理，把握命题者的真实意图；如果是多则材料组合的材料作文题，则务必找到各材料间的共同点或联系。概括内容，要准确而不是“以偏盖全”

读懂材料、分析材料之后，要概括材料内容，给写作立意奠定一个牢固的基础。材料作文题的材料一般不是很长或太复杂，要归纳概括其中心内容应该说不是很难，我们可以根据材料要素、关键语句、各层大意、内在逻辑来概括归纳。但如何样做到准确概括而不会“以偏概全”，就需要一定的审题理解、分析、概括能力。

第三篇：六年级数学选择题典型题解

苏教版六年级数学选择题典型题解

选择

典型题解

★例1在（）添上或去掉零，小数的大小不变。

A.一个数的末尾

B.小数的末尾

C.小数点的后面

解

B对。

【解题关键和提示】

根据小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

★例2把0.01的小数点先向右移动两位后，再向左移动三位，原来的数是（）。

A.扩大10倍

B.缩小10倍

C.缩小100倍

解B对。

【解题关键和提示】

把0.01的小数点先向右移动两位后，这个数扩大了100倍，再向左移动三位，又缩小了1000倍，但总的变化是缩小10倍。

★例3

0.95保留两位小数的是（）。

A.0.95

B.0.96

C.0.950

解

B对。

【解题关键和提示】

注意0.95的循环节是95，这个循环小数是0.9595……，所以保留两位小数应为0.96。

★例4一个合数至少有（）。

A.一个约数

B.两个约数

C.三个约数

解

C对。

【解题关键和提示】

一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数就叫做合数，从合数的定义看，一个合数至少有3个约数。

A.积不等，意义也不一样

B.积相等，意义也一样

C.积相等，意义不一样

解

C对。

【解题关键和提示】

A.7

B.8

C.9

D.10

解

B对。

【解题关键和提示】

根据题意，a必须小于9又大于或等于8，所以这个数只能是8。

★例7

4x＋3=9是（）。

A.方程

B.等式

C.方程的解

D.解方程

解

A对。

【解题关键和提示】

4x+3=9是含有未知数的等式，所以它是方程，所有方程都是等式。

★例8把18分解质因数是（）。

A.18=2×9

B.18=2×3×3

C.18＝1×2×3×3

D.2×3×3＝18

解

B对。

【解题关键和提示】

把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。要抓住这个定义去选择。

★例9既是合数又是互质数，而且它们的最小公倍数是120。这两个数是（）。

A.12和10

B.8和15

C.4和30

D.5和24

解

B对。

【解题关键和提示】

此题可用淘汰法，由于12和10、4和30这两组数都不是互质数，5和24虽是互质数，但5是质数而不是合数，所以可淘汰这三组数，只有8和15符合要求。

★例10用0、2、4、6四个数字组成的所有四位数都能被（）整除。

A.2

B.3

C.5

解

A、B、C都对。

【解题关键和提示】

此题答案容易想到2，但不容易想到3，实际上这四个数字的和能被3整除，所以这几个数字组成的所有四位数也能被3整除。

★例11

6.04立方米是（）。

A.6立方米4立方分米

B.6立方米40立方分米

C.6040立方分米

D.604立方分米

解

B、C对。

【解题关键和提示】

1立方米=1000立方分米。

【解题关键和提示】

★例13

7是28和42的（）。

A.公约数

B.最大公约数

解

A对。

【解题关键和提示】

28和42的最大公约数是14。

★例14任意一个三角形，至少有（）。

A.一个锐角

B.两个锐角

C.三个锐角

解

B对。

【解题关键和提示】

三角形的内角和是180度，所以在一个三角形中，最多只能有一个钝角或一个直角，其余两个则都是锐角。

★例15两个完全一样的三角形，可以拼成（）。

A.长方形

B.正方形

C.平行四边形

D.梯形

E.等腰三角形

F.等边三角形

解

A、B、C、E、F对。

【解题关键和提示】

梯形有两组对边，这两组对边至少有一组对边不相等，所以两个完全一样的三角形，不能拼成梯形。

★例16平行四边形（）。

A.是轴对称图形

B.不是轴对称图形

C.不一定是轴对称囹形

解

C对。

【解题关键和提示】

动手用纸剪一个平行四边形，折一折，答案就很清楚了。

★例17一个三角形面积是44平方厘米，它的高是8厘米，和这条高对应的底边长是（）。

A.55厘米

B.8厘米

C.11厘米

D.10厘米

解

C对。

【解题关键和提示】

根据三角形的面积=底×高÷2，可知底=面积×2÷高，所以底边长是11厘米。

★例18某校五年级的学生达到体育锻炼标准的有100人，没有达到体育锻炼标准的有25人，达标率是（）。

A.25％

B.80％

C.125％

D.75％

解

B对。

【解题关键和提示】

★例19一幅地图，图上20厘米表示实际距离10千米，这幅地图的比例尺是（）。

解

C对。

【解题关键和提示】

注意单位换算，此题可把10千米化成1000000厘米，也可把20厘米、10千米分别变成以米作单位的数。

需（）小时？

解

B、C、D对。

【解题关键和提示】

此题除考查解应用题的能力外，还检查学生是否仔细认真，这四个算式表

所以列式不正确。

★例21一个三角形，三个内角度数的比是1∶3∶5，这个三角形是（）。

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

解

C对。

【解题关键和提示】

因为三角形的内角和是180度，那么把这三个内有按1∶3∶5的比例去分配，得出这三个角分别是20度、60度、100度，所以这个三角形是钝角三角形。

★例22棱长5分米的正方体，它的表面积和体积（）。

A.同样大

B.表面积大

C.不能比较

D.体积大

解

C对。

【解题关键和提示】

表面积和体积是不同的单位，所以不能比较它们之间的大小。

★例23

a与b成反比例的条件是（）。

A.a÷b=c（c一定）

B.c×a=b（c一定）

C.a×b=c（c一定）

D.a×c=b（c一定）

解

C对。

【解题关键和提示】

因为判断两种相关联的量是否成反比例的条件是看这两种相关联的量中相对应的两个数的积是否一定。所以此题中只有a×b=c（c一定）符合要求。

★例24决定圆面积大小的是（）。

A.圆心角

B.半径

C.直径

解

B、C对。

【解题关键和提示】

A.缩小4倍

B.增加4倍

C.扩大4倍

解

C对。

【解题关键和提示】

★★例26

20千米比（）少20％。

A.24

B.25千米

C.22千米

D.25

解

B对。

【解题关键和提示】

可用方程解。设20千米比x少20％，列方程x×（1-20％）=20，解得x=25，所以20千米比25千米少20%。答案中的D虽计算正确，但没带单位名称，所以也是不正确的。

★★例27一堆煤45吨，大卡车独运，需10次运完，小卡车独运，需15次运完。两车同时运，需几次运完？列式是（）。

A.45（45÷10＋45÷15）

D解：

设两车同时运，需x次运完。

（45÷10+45÷15）x=45

解

A、B、D、E对

【解题关键和提示】

此题可用一般方法解，也可看作工程问题来解，还可用方程解。所以此题只有答案C的算式不正确。

★★例28

1是（）。

A.最小的自然数

B.最小的整数

C.自然数的基本计数单位

解

A、C对。

【解题关键和提示】

最小的整数是0而不是1，这一点一定要区分开。

★★例29一个自然数乘以真分数，积一定（）这个自然数。

A.大于

B.小于

C.等于

解

B对。

【解题关键和提示】

因为自然数大于0，真分数小于1，所以自然数乘以真分数的积小于这个自然数。

★★例30当a＞1时，a与a的倒数比较（）。

A.a一定大

B.a一定小

C.a的倒数一定小

D.a的倒数一定大

解

A、C对。

【解题关键和提示】

a一定大和a的倒数一定小说的是同样的内容，所以不能丢掉其中的一个答案。

★★例311～20这20个数中，最小的奇数、偶数、合数、质数的和是（）。

A.10

B.9

C.8

解

B对。

【解题关键和提示】

1～20这20个数中，最小的奇数是1，最小的偶数是2，最小的合数是4，最小的质数是2，把它们加在一起，和是9。

★★例32圆的半径平方与它的面积（）。

A.成正比例

B.成反比例

C.不成比例

解

A对。

【解题关键和提示】

所以圆的半径平方与它的面积成正比例。

★★例33把一段圆柱形的木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（）。

解

B对。

【解题关键和提示】

注意此题是求削去部分的体积是圆锥体积的多少而不是圆柱体积的多少，削去部分的体积是圆锥体积的2倍。

★★例34把10克的糖放入100克的水中，糖占糖水的（）。

解

C对。

【解题关键和提示】

★★例35一个圆锥体和圆柱体的底面积和体积都相等，已知圆柱体的高是27厘米，圆锥体的高应是（）。

A.3厘米

B.81厘米

C.9厘米

解

B对。

【解题关键和提示】

即然这个圆锥体和圆柱体的底面积和体积都相等，那么圆锥体的高一定是圆柱体的高的3倍。

★★例36一个工程甲独做需1小时完成，乙独做2小时完成，两人合做完成所需要的时间是（）。

解

A对。

【解题关键和提示】

工程问题中合做时间=1÷（甲的工效+乙的工效）。

★★例37在制统计图时，为了能表示数量增减变化的情况，应选用（）。

A.条形统计图

B.折线统计图

C.扇形统计图

解

A对。

【解题关键和提示】

条形统计图不但能表示出数量的多少，还能表示出数量增减变化的情况。

如果当a不变时，（）。

A.b和c成正比例

B.b和c成反比例

如果当b不变时，（）。

A.a和c成正比例

B.a和c成反比例

解

B对（a不变），A对（b不变）。

【解题关键和提示】

A.x是y的倍数

B.y是x的约数

C.x是y的约数

D.以上结论都不对

解

C对。

【解题关键和提示】

★★例40把5米长的绳子平均分成8段，每段的长度是全长的（）。

解

C对。

【解题关键和提示】

此题的问题跟绳子5米没关系，因为问的是每段的长度是全长的几分之几，知道平均分了8段，每段当然是全长的1/8，所以应不受多余条件的干扰。

★★例41

一个圆柱体与一个长方体的体积相等，长方体的长是15分米，宽是6分米，高是3分米。圆柱体的底面积是30平方分米，它的高是（）。

A.6分米

B.8分米

C.9分米

D.18分米

解

C对。

【解题关键和提示】

题目中告诉我们圆柱体与长方体的体积相等，因此可知圆柱体的体积为15×6×3=270平方分米，又知圆柱体的底面积是30平方分米，根据圆柱体的体积=底面积×高，可推导出圆柱体的高=圆柱体的体积÷底面积=270÷30=9（分米）。

★★例42

某工厂四月份计划生产机床52台，实际生产60台，超额百分之几，列式是（）。

A.60÷52

B.52÷60

C.（60-52）÷52

D.（60-52）÷60

E.60÷52-1

F.1-52÷60

解

C、E对。

【解题关键和提示】

弄清所求问题是本题的关键。“超额百分之几”是说实际生产的超出计划的百分之几，因此此题是把计划的作为标准量，用超出的除以计划的即为所求。答案中的E是先求实际生产的是计划的百分之几，再减去1求出超出百分之几，方法正确且简单。

A.2∶7

B.7∶2

C.2∶14

解

B对。

【解题关键和提示】

★★例44

一个直圆柱体的侧面沿着高展开，可能是（）。

A.长方形或正方形

B.梯形或等腰梯形

C.三角形或等腰三角形

解

A对。

【解题关键和提示】

由于直圆柱体的上下两个面（底面）是相等的，所以把它的侧面沿着高展开，可能是长方形或正方形。

★★例45

一个梯形的高（）。

A.有无数条

B.只有一条

解

A对。

【解题关键和提示】

要明确梯形的高的定义：从梯形的上底的一点向下底引一条垂线，这点到垂足间的线段叫做梯形的高，因此从上底向下底可以引无数条垂线，梯形的高也就是无数条。

★★★例46

如果a÷b=3，那么（）。

A.a一定能整除b

B.a可能整除b

C.b一定是a的约数

D.b可能是a的约数

解

C对。

【解题关键和提示】

弄清“a能被b整除”与“a能整除b”的区别。根据整除的定义可知：a÷b=3叫a能被b整除或b能整除a，因此A、B的结论都不对，b一定是a的约数。

★★★例47

在同一平面内，两个大小不同的圆组成的图形可能（）。

A.有一条对称轴

B.有两条对称轴

C.有无数条对称轴

D.没有对称轴

解

A、C对。

【解题关键和提示】

此题画图解答非常清楚，如下图：

A.乙数比甲数少60％

B.甲数是乙数的60％

C.甲数比乙数多60％

D.乙数比甲数多60％

解

C对。

【解题关键和提示】

此题有些特殊，一般都是给出题目，要求列算式，而此题却是给出算式，让找出相应的题目，因此分析时要抓住算式，弄清其意思。8-5是求甲数比乙数多多少，再除以5是把乙数作为标准量，看看甲数比乙数多百分之几，因此答案应选C。

相比较（）。

A.甲数大于乙数

B.乙数大于甲数

C.甲数等于乙数

解

B对。

【解题关键和提示】

此题画图非常清楚，如下图：

★★★例50

有语文书和数学书共40本，它们的比可能是（）。

A.3∶1

B.2∶5

C.1∶4

D.5∶1

解

A、C对。

【解题关键和提示】

此题应综合运用整除概念和按比例分配知识解答。即把40可以按3∶1或1∶4的比例去分配，而不能按2∶5或5∶1的比例去分配。

★★★例51

两个数互质，这两个数可能是（）。

A.质数

B.合数

C.一个质数一个合数

解

A、B、C都对。

【解题关键和提示】

此题可用举例法，这两个数可能是质数，如2和3；这两个数可能是合数，如8和9；这两个数可能一个是质数，一个是合数，如2和15。因此三个答案都对。

★★★例52

下面展开图中，能折成完整的正方体的图是（）。

解

A、B、C、D都对。

【解题关键和提示】

解答此题要有空间观念，每个图都要先确定一个面，看看其他的五个面能不能找到相应的位置。

★★★例53

一个半圆形，半径是r，它的周长是（）。

解

C对。

【解题关键和提示】

此题是求这个半圆图形的周长而不是求圆周长的一半，因此它的周长应

★★★例54

下面三个式子可以表明自然数a＜b的是（）。

解

B对。

【解题关键和提示】

可判断出a＜b，因为分子相同的分数，分母小的分数大；根据a÷1=b可推断出a=b，所以应选答案B。

★★★例55

一个长方形沿对角拉成一个平行四边形，这时的平行四边形与原长方形（）。

A.面积相等

B.周长相等

解

B对。

【解题关键和提示】

由长方形拉成一个平行四边形的过程中，四边形的四条边边长没改变，而底边上的高发生了变化，根据周长和面积的计算公式，从而判断它们的周长相等，面积不相等。

★★★例56

把三角形分成甲、乙两部分，如果甲的面积是16平方厘米，那么乙的面积是（）。

【解题关键和提示】

根据甲的面积是16平方厘米，底是4厘米，可求出甲的高是8厘米，甲的高实际上就是乙的高，所以乙的面积应=12×8÷2=48（平方厘米）。

★★★例57

在△ABC中，（如图）

BD=DE=EC，那么，△ABD、△ADE与△AED的面积（）。

A.相等

B.不相等

C.不一定相等

解

A对。

【解题关键和提示】

这三个三角形的高实际上是同一条高，它们的底又相等，因此它们的面积相等。

典型题库

★1.3.87保留三位小数是（）。

A.3.877

B.3.878

C.3.879

★2.任何一个自然数都能被2（）。

A.整除

B.除尽

★★★3.57是（）又是（）。

A.奇数

B.偶数

C.质数

D.合数

★★4.甲数的小数点向右移动两位后与乙数相等，原来甲数是乙数的（）。

★★5.a能被b整除，那么a是b的（）。

A.约数

B.倍数

C.公倍数

★★6.自然数a乘以3/4所得到的积（）a。

A.大于

B.小于

C.等于

★★★7.两个数互质的意思是（）。

A.两个数都是质数

B.两个数没有公约数

C.两个数的公约数只有1

★★8.一个正方形和一个长方形的周长相等，它们的面积（）。

A.相等

B.长方形面积大

C.正方形面积大

★★9.一个平行四边形和一个三角形的底相等，它们的面积的比是1∶2，它们的高的比是（）。

A.2∶1

B.1∶4

C.1∶1

★★10.一个三角形，三个内角度数的比是2∶3∶4，这个三角形是（）。

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.纯角三角形

★★11.如果一个三角形的两个内角度数的和，等于第三个内角的度数，那么这个三角形是（）。

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

★★12.要画一个周长为25.12厘米的圆，应用圆规的两脚在直尺上量取（）的距离。

A.4厘米

B.2厘米

C.8厘米

D.6厘米

★★★13.把5千克盐溶解在50千克水中，盐和水的最简比是（）。

A.10∶1

B.1∶11

C.1∶10

D.5∶11

★★14.一个三角形，三个内角的度数比是2∶1∶1，这个三角形一定是（）。

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

★★★15.一个圆柱体和一个圆锥体的体积相等，它们可能（）。

A.等底不等高或等高不等底

B.等底、等高

C.不等底、不等高

★★★16.当a是一个大于0的数时，下列各式的计算结果最大是（）。

★★18.在20×a中（a是纯小数），所得的积（）。

A.大于20

B.小于20

C.等于20

★★19.等底等高的圆柱体与圆锥体（）。

A.体积相等

C.圆柱体积是圆锥体积的3倍

★★★20.有一批电视机出售时先提价5％，两个月后又降低5％，现在售价（）原来售价。

A.大于

B.小于

C.等于

D.无法比较

千克，则剩下的糖（）。

A.第一包重

B.第二包重

C.一样重

D.不能确定哪包重

★★22.两个完全一样的直角三角形可以拼成一个（）。

A.平行四边形

B.等腰三角形

C.长方形

D.正方形

则两人糖块数相等，原来甲、乙二人糖块数的比是（）。

A.5∶4

B.6∶5

C.3∶5

D.5∶3

第四篇：小学数学在生活中应用

小学数学在生活中应用

通过本次课程的学习，使我深深体会到：在数学教学中, 数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交流互动与共同发展的过程。数学教学不仅是数学知识和解题能力的教学，更能进一步提高学生获取知识的能力和数学创造力。教师只是教学过程中的组织者和引导者。在新的形势下，数学的学习应该是学生自主探索的过程，在这一过程中，教师的任务是点拨、启发和引导，做到让学生自己动手、动脑，自己总结,把课堂还给学生，让学生作为课堂的主人，教师应该做个课堂的引导者、组织者、组织学生学习知识。

学生是数学学习的主人，教师只是尽可能的提供学生从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索、合作交流中去理解和掌握知识、技能和方法，获得广泛的数学活动经验。这就要求教师教学的格局要多样化，使学生能跳出数学学习数学。

我记得今年植树节那天，学校要求我们班的学生在学校的马路西边栽20棵小树，那时我们刚刚学过了求树与树之间的间隔的内容，在现场我和同学们说，现在你们正好运用我们学过的数学知识。算一下隔多少米栽一棵树。我刚说完同学们马上就行动起来，有的同学就去学校拿来罗盘米尺测量马路一边的长度，然后根据长度算出了每隔12米栽一棵树。他们算好后就开始挖坑栽树，我在旁边表扬他们说：“你

们真聪明，把书本上的知识运用到生活中去了。”他们也很高兴地对我说：“老师，原来学好了数学也可以解决生活中的许多的难题。”有的同学说：“我以后要好好学习数学。”

这样，学生在实践中学到了知识，体会到了学心至用的乐趣，从而提高学生学习的自主性和积极性。

第五篇：小学数学_资源应用计划表

演示型课件资源应用计划表

（注：凡是需要用到信息化资源的知识点才需要填写此表）

知识点 1感知废电池 2估算废电池数量 3计算总和 4计算总和 5儿歌熟记 6卧室知识

资源名称

体验废电池的危害 估算

素材类型

录象

水平

感知与体验

来源

下载

使用时间

2分

应用方式和作用

情景导入，激发兴趣

图象 识记 自制 1” 展示图片，导入新知

3位数与2位计算 列式计算

文本 识记 自制 1” 展示图片，再现情景

文本 识记 自制 2”

儿歌 练习3位数与2位数加法

文本 图象

识记

自制 自制

3” 3”

组间竟争,激发学生的求知欲。

展示图片，再现情景

资源内容描述说明（请详细说明此知识点信息化资源的主要内容，此表需要与教学设计紧密挂钩，同时在收集、下载、处理和开发素材的过程中不断修改与完善）：

1、感知废电池，一段网络视频大约2分钟时间，总容量不超过2MB,主要内容是废电池给社

会带来的危害。文件被命名为：回收废电池.flv2、其他素材均为图片，其中有也图片式文本格式，大小均为640*480

说明：

1)水平：知识和技能的掌握水平，分为识记，理解，应用，分析，综合，评价 2)名称：为此知识点的信息化资源起一个名字

3)类型：指图形/图像、视频、音频、文本、动画（包括flash），或者上述几类的组合，比如：

“图+文+声”，注，可以自定义其它类型（一般以超级链接的形式来集成中演示型课件中），如认知工具类

4)来源：开发、现有、现有需修改、下载 5)使用时间：资源在课堂教学中使用的时间

6)应用方式：该资源在教学中如何使用？它起什么作用？