第一篇:四年级定义新运算测试题
四年级定义新运算测试题
姓名:
分数:
1、找规律,求得数 2★10=6 4★6=5 1★17=9 2★4=?
2、、对于两个数A与B,规定:A☆B=A×B×2。试算5☆8。
3、设a、b都表示数,规定: a⊙b = a×3+b×2。试计算:5△6,6△7
4、设a、b都表示数,规定:a*b=3×a+2×b。试计算:4*(5*6)
5、有一个数学运算符号“□”,使下列算式成立:6□2=6×7,4□3=4×5×6,计算:4□3。
第1讲
第二篇:定义新运算教案
四年级奥数教案
第一讲
第一课时 教学时间:
教学内容:认识定义新运算。定义新运算的基本题型。教学目标:
1、让学生了解定义新运算的基本模式。
2、让学生学会解决简单定义新运算的基本题型。教学重点:使学生学会运用定义新运算解决基本题型。教学难点:掌握定义新运算的解题方法。教学过程:
一、导入
我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等,在这一讲中,我们将定义一些新的运算。对这些新的运算符号同学们可能会感到陌生,但是解题时只在抓住新运算的运算法则,问题就迎刃而解了。
二、新授
1、教学例1。
【例1】定义一种运算△: a△b=3×a-2×b,(1)求3△2,2△3;
(2)这个运算“△”有交换律吗?
(3)求(17△6)△2,17△(6△2);
(4)这个运算“△”有结合律吗?
【分析】解这类题的关键是抓住新运算的本质,本题的本质是:用运算符前面的3倍减去运算符号后面数的2倍。【解】(1)3△2=3×3-2×2=9-4=5 2△3=3×2-2×3=6-6=0(2)由(1)的运算结果可知“△”没有交换律。
(3)要计算(17△6)△2,先计算括号内的数,有:
17△6=3×17-2×6=39 再计算第二步:39△2=3×39-2×2=113 所以(17△6)△2=113 对于17△(6△2)可同样计算: 6△2=3×6-2×2=14 17△14=3×17-2×14=23 所以17△(6△2)=23(4)由(3)的运算结果可知“△”也没有结合律。
2、学习例2。
【例2】定义新的运算a◎b=a×b+a+b(1)求6◎2,2◎6;
(2)求(1◎2)◎3,1◎(2◎3);(3)这个运算有交换律和结合律吗?
1、同桌之间互相交流,找出运算法则。
2、学生在练习本上尝试练习。
3、集体订正。【分析与解】
(1)6◎2=6×2+6+2=20 2◎6=2×6+2+6=20(2)(1◎2)◎3=(1×2+1+2)◎3 =5◎3 =5×3+5+3
=23 1◎(2◎3)=1◎(1×2+1+2)
=1◎11 =1×11+1+11 =23(3)由(1)的运算结果6◎2=2◎6=20,可知◎满足交换律。
由(2)的运算结果(1◎2)◎3=1◎(2◎3)=23,可知◎满足结合律。
三、巩固练习。
1、对于数a、b定义运算“※”为a※b=(a+3)×(b-5),求5※(6※7)的值。
2、对于数x、y定义两种运算“#”及“□”如下: x#y=6×x+5×y,x□y=3×x×y,求(2#3)□4的值。
四、课堂小结:通过这节课的学习,你有什么新的收获,和你的同学交流一下。
五、作业《思维训练》第10页的1—3题。教学后记: 第二课时 教学时间:
教学内容:定义新运算
(二)教学目标:在上一节课的基础上进一步学习了解有关定义新运算,使学生明白一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
重、难点:
重 点:使学生明白对应法则不同就是不同的运算。
难点:通过法则让学生理解每个法则都有一个惟一确定的数与它们对应 教学过程:
一、复习
设a,b都表示数,规定a△b=3×a-2×b。(1)求4△3,3△4。这个运算“△”有交换律吗?
(2)求(17△6)△2,17△(6△2)。这个运算“△”有结合律吗?
二、新授
1、学习例3 【例3】对于任意的两个整数a、b,定义两种运算“※”,“◎”: a※b=a+b-1,a◎b=a×b-1,计算4◎[(6※8)※(3※5)]的值。(1)引导学生审题。分析题意。
(2)同桌之间互相交流,在练习本上尝试练习。(3)师详细讲解。
【解】4◎[(6※8)※(3※5)]
=4◎[(6+8-1)※(3+5-1)]
=4◎[13※7] =4◎[13+7-1] =4◎19 =4×19-1 =75 【例4】定义x*y=a×x+2×y,并且已知5*6=6*5,求a是几?
1、让学生读题,理解题意。
2、让学生根据定义新运算的基本模式和解题方法试着解答。
3、详细讲解
【解】根据题意,5*6=5×a+2×6=5a+12 6*5=6×a+2×5=6a+10 且5a+12=6a+10 可以解出a=2
四、巩固练习。
定义运算“*”为a*b=a×b-(a+b)求:(1)5*7,7*5(2)12*(3*),(12*3)*4(3)这个运算“*”有交换律、结合律吗?
五、课堂小结:这节课你有什么收获?
六、作业:《思维训练》的第10页5~7题。教学后记:
第三、四课时
教学时间: 教学内容:巩固练习
教学目的:使学生正确熟练地解决新运算定义问题,培养学生理解能力的多样化和解题的灵活性。
教学过程:
一、专项练习。
一、专项练习。
1、对于数a、b定义运算“※”为a※b=6×a-2×b,求4※(5※6)的值。
2、对于数x、y定义两种运算“#”及“□”如下: x#y=8×x-4×y,x□y=6×x×y,求(5#7)□8的值。
3、定义运算“*”为a*b=a×b-(a+b)求:(1)5*7,7*5
(2)12*(3*),(12*3)*4
(3)这个运算“*”有交换律、结合律吗?
4、设a,b都表示数,规定a△b=3×a-2×b。
(1)求4△3,3△4。这个运算“△”有交换律吗?
(2)求(17△6)△2,17△(6△2)。这个运算“△”有结合律吗?
(3)如果已知5△b=5,求b。
5、设a▽b=a×b+a-b,求5▽8。
第三篇:定义新运算教案
定义新运算
知识要点
基本概念:定义一种新的运算符号(“﹡”“#”“△”等),新的运算符号包含有多种基
本(混合)运算。
基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按
照基本运算过程、规律进行运算。关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。算式中有括号的,要先算括号里面的。但它在没有转化前,是不适合各种运算定律的。
典题解析
例1:设a、b都表示数,规定:a△b表示a的3倍减去b的2倍,即:a△b = a×3-b×2。试计算:(1)5△6;(2)6△5;(3)5△(5△6)
练习:
1,设a、b都表示数,规定:a○b=6×a-2×b。试计算3○4。
2,设a、b都表示数,规定:a*b=3×a+2×b。试计算:(1)(5*6)*7(2)5*(6*7)
3,如果a※b=6×a+7×b,那么7※8=? 10※5=?
例2:对于两个数a与b,规定a⊕b=a×b+a+b,试计算6⊕2。
练习:1,对于两个数a与b,规定:a⊕b=a×b-(a+b)。计算3⊕5。
2,对于两个数A与B,规定:A☆B=A×B÷2。试算6☆4。
3,规定:a#b=2×a+a×b,那么1#2#3=?
例3:如果2△3=2+3+4,5△4=5+6+7+8,按此规律计算3△5。
练习:1,如果5▽2=5×6,2▽3=2×3×4,计算:3▽4。
2,如果2▽4=24÷(2+4),3▽6=36÷(3+6),计算8▽4。
3、规定:1 △ 5=1×2×3×4×5 ; 6 △ 4=6×7×8×9 ;求4 △ 6=?
例
4、如果 1※2=1+11;2※3=2+22+222;3※4=3+33+333+333+3333 计算(3※2)×5。
练习:1,如果1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,按此规律计算5!。
2,规定:6※2=6+66=72;2※3=2+22+222=246;1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
例5: 2▽4=8,5▽3=13,3▽5=11,9▽7=25。按此规律计算:7▽3。
练习:1,有一个数学运算符号“▽”,使下列算式成立:6▽2=12,4▽3=13,3▽4=15,5▽1=8。按此规律计算:8▽4。
2、有一种数学符号◎,使下列算式成立:,8◎4=28 ; 7◎6=27 ;10◎8=38 ;求:12◎8=?
3,如果:4※5=18,9※10=38,11※22=66,20※20=80,那么199※200=?
综合练习
1、设m、n是两个数,规定m※n=4×n-(m+n)÷2,这里加减乘除是通常的四则运算符号,括号的作用也是通常的含义。※是新的运算符号。计算:3※(4※6)=()
2、有一种数学运算符号◎,是下列算式成立:2◎4=8 5◎3=13 9◎7=25,那么6◎4=(育苗杯小学数学通讯赛预赛)
3、□表示一种新的数学运算符号,已知2□3=2+3+4,7□2=7+8 3□5=3+4+5+6+7,按此规则n□8=68,那么n的值是多少?(第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)
4、如果:4#5=13, 5#5=15,12#10=34那么2007#2008=()。
5、x、y表示两个数,规定新运算·※及◎如下:x※y=4×x+3×y x◎y=2×x×y。求(3※4)◎5的值。
6、※是一种新运算符号,规定a※b=a×c+b×d,(其中c、d为常数),如5※7=5×c+7×d,如果1※2=5,1※3=7;那么:6※1000的计算结果是多少?(第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛题)
第四篇:小学奥数1-3-1 定义新运算.教师版
定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力,我们大家都习惯四则运算,定义新运算就打破了运算规则,要求我们要严格按照题目的规定做题.新定义的运算符号,常见的如△、◎、※等等,这些特殊的运算符号,表示特定的意义,是人为设定的.解答这类题目的关键是理解新定义,严格按照新定义的式子代入数值,把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨
一
定义新运算
基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等.如:2+3=5
2×3=6
都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.二
定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合例题精讲
模块一、直接运算型
【例
1】
若表示,求的值。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
A*B是这样结果这样计算出来:先计算A+3B的结果,再计算A+B的结果,最后两个结果求乘积。
由
A*B=(A+3B)×(A+B)
可知:
5*7=(5+3×7)×(5+7)
=(5+21)×12
=
26×12
=
312
【答案】
【巩固】
定义新运算为a△b=(a+1)÷b,求的值。6△(3△4)
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
所求算式是两重运算,先计算括号,所得结果再计算。由a△b=(a+1)÷b得,3△4=(3+1)÷4=4÷4=1;6△(3△4)=6△1=(6+1)÷1=7
【答案】
【巩固】
设△,那么,5△______,(5△2)
△_____.【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】,【答案】
【巩固】、表示数,表示,求3(68)
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
已知a,b是任意自然数,我们规定:
a⊕b=
a+b-1,那么
.【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
表示
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】走美杯,3年级,初赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
规定运算“☆”为:若a>b,则a☆b=a+b;若a=b,则a☆b=a-b+1;若a
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯,四年级,二试
【解析】
【答案】
【例
2】
“△”是一种新运算,规定:a△b=a×c+b×d(其中c,d为常数),如5△7=5×c+7×d。如果1△2=5,2△3=8,那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯,六年级,二试
【解析】
1△2=1×c+2×d=5,2△3=2×c+3×d=8,可得c=1,d=2
6△1000=6×c+1000×d=2006
【答案】
【巩固】
对于非零自然数a和b,规定符号的含义是:ab=(m是一个确定的整数)。如果14=23,那么34等于________。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯,六年级,二试
【解析】
根据14=23,得到,解出m=6。所以。
【答案】
【例
3】
对于任意的整数x与y定义新运算“△”:,求2△9。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】北京市,迎春杯
【解析】
根据定义
于是有
【答案】
【巩固】
“*”表示一种运算符号,它的含义是:,已知,求。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
根据题意得,所以
【答案】
【例
4】
[A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:
=
.【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
因为有个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式.【答案】
【巩固】
x为正数,
.【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以,原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】
【巩固】
定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=
.【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】
【例
5】
我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如:53=35=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3,计算:的结果是多少?
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
规定:符号“&”为选择两数中较大数的运算,“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式:[(7◎3)&
5]×[
5◎(3
&
7)]
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
新定义运算进行计算时如果遇到有括号的,要先计算小括号里的,再计算中括号里的。
[(7◎6)&
5]×[
5◎(3
&
9)]=[
&
5]
×[
5◎9
]=6×5=30
【答案】
【巩固】
我们规定:AB表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数。则
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】走美杯,3年级,决赛
【解析】
根据题目要求计算如下:
【答案】
【例
6】
如果规定a※b
=13×a-b
÷8,那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯,4年级,1试
【解析】
17※24=13×17-24÷8=221-3=218
【答案】
【巩固】
若用G(a)表示自然数a的约数的个数,如:自然数6的约数有1、2、3、6,共4个,记作G(6)=4,则G(36)+G(42)=。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯,4年级,1试
【解析】
36的约数有:1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有:1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。
【答案】
【巩固】
如果,那么。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯,4年级,1试
【解析】
2&5=2+5÷10=2.5
【答案】
【例
7】
“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”,将“华杯赛”的编码取为244041993088,如果这个编码从左起的奇数位的数码不变,偶数位的数码改变为关于9的补码,例如:0变9,1变8等,那么“华杯赛”新的编码是________.【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】华杯赛,六年级,决赛
【解析】
偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8,它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1,所以“华杯赛”新的编码是:254948903981
【答案】
【例
8】
羊和狼在一起时,狼要吃掉羊.所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示:羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼,以上运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算,用符号☆表示:羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼,这个运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法规是从左到右,括号内先算.运算的结果或是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛,复赛
【解析】
因为狼△狼=狼,所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何,最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼,所以
原式=狼
【答案】狼
【例
9】
一般我们都认为手枪指向谁,谁好像是有危险的,下面的规则同学们能看懂吗
规定:警察小偷警察,警察小偷小偷.
那么:(猎人小兔)(山羊白菜)
.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】学而思杯,4年级
【解析】
谁握着枪就留下谁,结果应该是
白菜
【答案】白菜
模块二、反解未知数型
【例
10】
如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时,a=
.【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
依题意,得,解得.【答案】
【巩固】
规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=
.【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
因为4※1=,所以x※(4※1)=
x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】
【巩固】
如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】
【巩固】
对于数a、b、c、d,规定,<
a、b、c、d
>=2ab-c+d,已知<1、3、5、x
>=7,求x的值。
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
根据新定义的算式,列出关于x的等式,解出x即可。
将1、3、5、x代入新定义的运算得:2×1×3-5+x=1+x,又根据已知<1、3、5、x
>=7,故1+x=7,x=6。
【答案】
【例
11】
定义新运算为,⑴求的值;⑵若则x的值为多少?
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
⑴因为,所以
⑵,所以x的值为4.4.【答案】⑴
⑵
【巩固】
对于任意的两个自然数和,规定新运算:,其中、表示自然数.如果,那么等于几?
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
方法一:由题中所给定义可知,为多少,则就有多少个乘数.,即:602,则;,即33,所以.
方法二:可以先将(x3)看作一个整体,那么就是2,2,所以,那么也就有x3,即33,所以.
【答案】
【例
12】
定义为与之间(包含、)所有与奇偶性相同的自然数的平均数,例如:,.在算术的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立,那么所填的数是多少?
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】4星
【题型】计算
【解析】,所以方格中填的数一定大于80.如果填的是个奇数,那么只能是;如果填的是个偶数,那么这个数与60的平均数应该是80,所以只能是.因此所填的数可能是100和101.
【答案】和
【巩固】
如有#新运算,#表示、中较大的数除以较小数后的余数.例如;2#7=1,8#3=2,9#16=7,21#2=1.如(21#(21#))=5,则可以是________(小于50)
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】101中学,入学测试
【解析】
这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把(21#)看成一个整体.对于21#5,这个式子,一方面可把21作被除数,则等
于(21-5)16的大于5的约数,有两个解8与16;另一方面可把21作除数,这样满足要求的数为26,47…,即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑,这些解都是由所
代表的式子(21#)运算得来,而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的,也就是余数必须
比被除数与除数都要小才行,因此大于21的那些的值都得舍去.现在只剩下8,与16.第二步求:(21#)8与(21#)16.对于(21#)8可分别解得,把21作被除数时:13,把21作除数时为:29,50,…形如21N+8的整数(N是正整数).对于(21#)16,把21作被除数无解,21作除数时同理可得:37,58……所有形如21N+16
这样的整数.(N是正整数).所以符合条件的答案是13,29,37.
【答案】13,29,37.
【例
13】
已知、满足,;其中表示不大于的最大整数,表示的小数部分,即,那么。
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】学而思杯,6年级,第3题
【解析】
根据题意,是整数,所以也是整数,那么,由此可得,所以。
【答案】
【例
14】
规定:A○B表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数.若(A○5+B△3)×(B○5+
A△3)=96,且A、B均为大于0的自然数,A×B的所有取值为
.(8级)
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】走美杯,6年级,决赛
【解析】
分类讨论,由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数,则对于A或者B有3类不同的范围,A小于3,A大于等于3,小于5,A大于等于5。对于B也有类似,两者合起来共有3×3=9种不同的组合,我们分别讨论。
1)
当A<3,B<3,则(5+B)×(5+A)=96=6×16=8×12,无解;
2)
当3≤A<5,B<3时,则有(5+B)×(5+3)=96,显然无解;
3)
当A≥5,B<3时,则有(A+B)×(5+3)=96,则A+B=12.所以有A=10,B=2,此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4)
当A<3,3≤B<5,有(5+3)×(5+A)=96,无解;
5)
当3≤A<5,3≤B<5,有(5+3)×(5+3)=96,无解;
6)
当A≥5,3≤B<5,有(A+3)×(5+3)=27,则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种;
7)
当A<3,B≥5时,有(5+3)×(B+A)=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种;
8)
当3≤A<5,B≥5,有(5+3)×(B+3)=96。此时有B=9.不符;
9)
当A≥5,B≥5,有(A+3)×(B+3)=96=8×12。则A=5,B=9,乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27,36,45共五种
【答案】11,20,27,36,45
模块三、观察规律型
【例
15】
如果
1※2=1+11
2※3=2+22+222
3※4=3+33+333+333+3333
计算
(3※2)×5。
【考点】定义新运算之找规律
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
通过观察发现:a※b中的b表示加数的个数,每个加数数位上的数字都由a组成,都由一个数位,依次增加到b个数位。(5※3)×5
=(5+55+555)×5=3075
【答案】
【巩固】
规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
【考点】定义新运算之找规律
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】
【例
16】
有一个数学运算符号,使下列算式成立:,,求
【考点】定义新运算之找规律
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
通过对,,这几个算式的观察,找到规律:,因此
【答案】
【巩固】
规定△,计算:(2△1)(11△10)______.【考点】定义新运算之找规律
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦,需要套用10次,然后再求和.但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-1,所以,我们不妨把b=a-1代入原定义.
a△b就变成了a△b.所以2△1,3△2,……,3△2,则原式+++…+.
这里需要补充一个公式:.
【答案】
【例
17】
一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为,为偶数的那些数字的和记为,例如,.
;=
.
【考点】定义新运算之找规律
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】走美杯,5年级,决赛
【解析】
可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次,在十位出现10次,在百位出现1次,共21次。数字2到9中的每一个在个位出现10次,在十位也出现10次,共20次。
所以,1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501;
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】
模块四、综合型题目
【例
18】
已知:10△3=14,8△7=2,△,根据这几个算式找规律,如果
△=1,那么=
.【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛,五年级,决赛
【解析】
规律是
a△b=(a-b)×2,所以
△x=,即
【答案】
【例
19】
如果、、是3个整数,则它们满足加法交换律和结合律,即
⑴;⑵。
现在规定一种运算“*“,它对于整数
a、b、c、d
满足:。
例:
请你举例说明,“*“运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】希望杯,四年级,二试
【解析】
(2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4-1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3-2×1)=(11,5)
所以“*”满足交换律
[(2,1)*
(6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)*
(4,3)=
(89,47)
(2,1)*[
(6,5)*(4,3)]=(2,1)
*
(39,9)=
(87,69)
所以“*”不满足结合律
【答案】
“*”满足交换律
“*”不满足结合律
【例
20】
用表示的小数部分,表示不超过的最大整数。例如:记,请计算的值。
【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】希望杯,四年级,二试
【解析】
代入计算结果分别为:0.4,1,0,1
【答案】0.4,1,0,1
【例
21】
在计算机中,对于图中的数据(或运算)的读法规则是:先读第一分支圆圈中的,再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的,最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的,也就是说,对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按“中→左→右“的顺序。如:图A表示:2+3,B表示2+3×2-1。图C中表示的式子的运算结果是________。
【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】希望杯,四年级,二试
【解析】
“教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2,原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2,第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】
【例
22】
表示成;表示成.试求下列的值:
(1)
(2)
(3);
(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
(1);
(2);
(3)因为,所以;
(4)略
【答案】(1)
(2)81
(3)
(4)
令则..【例
23】
对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”,规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是
_________。
【考点】定义新运算之综合题
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
由题设的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得
解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】
【巩固】
x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中
m、n、k均为自然数,已知
1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.【考点】定义新运算之综合题
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中
m、n、k均为自然数,已知
1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.分析
我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根
据“△”的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,l△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.(1△2)*3=a*3,按“*”的定义:
a*3=ma+3n,在只有求出m、n时,我们才能计算a*3的值.因此
要计算(1△2)*
3的值,我们就要先求出
k、m、n的值.通过1*2
=5可以求出m、n的值,通过(2*3)△4=64求出
k的值.因为1**2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数,所以解出:,(舍去)
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k
有36k=64,解出,这与k
是自然数矛盾,因此m=3,n=1,这组值应舍去。
所以m=l,n=2,k=2.(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3 =1×4+2×3=10.【答案】
【例
24】
对于任意的两个自然数和,规定新运算:,其中、表示自然数.⑴求1100的值;⑵已知1075,求为多少?⑶如果(3)2121,那么等于几?
【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
⑴1100
⑵x1075,解得x3
⑶方法一:由题中所给定义可知,b为多少,则就有多少个加数.,即:602121,则x360;,即19360,所以x19.
方法二:可以先将(x3)看作一个整体y,那么就是y2121,y2,所以y60,那么也就有x360,即19360,所以x19.
【答案】
【巩固】
两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(8级)
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
(1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)
x<11,这时x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.2)
x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解为x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.当y=7时,分两种情况解19☉x=7.1)
x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)
x>19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.当y=14时,分两种情况解19☉x=14.1)
x<19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.【答案】(1);;
(2)
x=3,9,13.(3)
x=12,26,33,45.【例
25】
设a,b是两个非零的数,定义a※b.(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
(1)按照定义有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得①
若a≥6,则≥2,从而与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求.【答案】(1)
(2※3)※4;2※(3※4).(2)
a=3
【巩固】
定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.(2)略
(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为
6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见
6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到.所以.【答案】(1);
(2)
如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小
公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以
c整除b.(3)
【巩固】
“⊙”表示一种新的运算符号,已知:2⊙3;7⊙2:3⊙5,……按此规则,如果n⊙868,那么,n
____.【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
因为从已知条件可归纳出的运算规则:⊙表示几个连续自然数之和,⊙前面的数表示第一个加数,⊙后面的数表示加数的个数,于是,即
.【答案】
【例
26】
喜羊羊喜欢研究数学,它用计算器求个正整数的值。当它依次按了得到数字。而当它依次按时,惊讶地发现得到的数值却是。这时喜羊羊才明白计算器先做除法再做加法。于是,她依次按,得到了正确的结果为
。(填出所有可能情况)
【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】走美杯,3年级,初赛,第14题
【解析】,则,则,则,或,或
【答案】或
【例
27】
国际统一书号ISBN由10个数字组成,前面9个数字分成3组,分别用来表示区域、出版社和书名,最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如:某书的书号是ISBN
7-107-17543-2,它的核检码的计算顺序是:
①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2=207;
②207÷11=18……9;
③11-9=2。这里的2就是该书号的核检码。
依照上面的顺序,求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。
【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】希望杯,六年级,二试
【解析】
7×10+3×9+0×
8+3×7+0×6+7×5+6×4+1×3+8×2=196;
。
所以该书号的核检码是2.【答案】
【例
28】
如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发,沿着一段一段的横线、竖线爬行到B,图1中的路线对应下面的算式:.请在图2中用粗线画出对应于算式:的路线.
【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】2003年,希望杯
【解析】
如图3所示,通过图1分析知道向上前进一格要加上1,向下前进一格要减1,向左前进一格要减去2,向右前进一格要加上2.【答案】
第五篇:北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 第三讲 定义新运算
第三讲 定义新运算
我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等.如:2+3=5
2×3=6
都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1 设a、b都表示数,规定a△b=3×a—2×b,①求 3△2,2△3;
②这个运算“△”有交换律吗?
③求(17△6)△2,17△(6△2);
④这个运算“△”有结合律吗?
⑤如果已知4△b=2,求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是:用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解:① 3△2= 3×3-2×2=9-4= 5
2△3=3×2-2×3=6-6=0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算(17△6)△2,先计算括号内的数,有:17△6=3×17-2×6=39;再计算第二步
39△2=3 × 39-2×2=113,所以(17△6)△2=113.对于17△(6△2),同样先计算括号内的数,6△2=3×6-2×2=14,其次
17△14=3×17-2×14=23,所以17△(6△2)=23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b=3×4-2×b=12-2b,那么12-2b=2,解出b=5.例2 定义运算※为a※b=a×b-(a+b),①求5※7,7※5;
②求12※(3※4),(12※3)※4;
③这个运算“※”有交换律、结合律吗?④如果3※(5※x)=3,求x.解:① 5※7=5×7-(5+7)=35-12=23,7※ 5= 7×5-(7+5)=35-12=23.②要计算12※(3※4),先计算括号内的数,有:3※4=3×4-(3+4)=5,再计算第二步12※5=12×5-(12+5)=43,所以 12※(3※4)=43.对于(12※3)※4,同样先计算括号内的数,12※3=12×3-(12+3)=21,其次
21※4=21×4-(21+4)=59,所以(12※ 3)※4=59.③由于a※b=a×b-(a+b);
b※a=b×a-(b+a)
=a×b-(a+b)(普通加法、乘法交换律)
所以有a※b=b※a,因此“※”有交换律.由②的例子可知,运算“※”没有结合律.④5※x=5x-(5+x)=4x-5;
3※(5※x)=3※(4x-5)
=3(4x-5)-(3+4x-5)
=12x-15-(4x-2)
= 8x- 13
那么 8x-13=3
解出x=2.③这个运算有交换律和结合律吗?
到
例5 x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m、n、k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.分析 我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据“△”的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,l△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.(1△2)*3=a*3,按“*”的定义: a*3=ma+3n,在只有求出m、n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值,我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值,通过(2*3)△4=64求出 k的值.解:因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n
=5.又因为m、n均为自然数,所以解出: 的观察,找 规律:
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(3×2+1×3)△4 =9△4=k×9×4=36k
所以m=l,n=2,k=2.(1△2)*3=(2×1×2)*3
=4*3
=1×4+2×3
=10.在上面这一类定义新运算的问题中,关键的一条是:抓住定义这一点不放,在计算时,严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是:定义一个新运算,这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律,因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前,不能运用这些运算律来解题.习题三
计算:① 10*6 ② 7*(2*1).7.“*”表示一种运算符号,它的含义是:
9.规定a△b=a+(a+1)+(a+2)+„+(a+b-1),(a、b均为自然数,b>a)如果x△10=65,那么x=?
习题三解答
所以有5x-2=3O,解出x=6.4.8.解:由于
9.解:按照规定的运算:
x△10=x+(x+1)+(x+2)+„+(x+10-1)
=10x+(1+2+3+„+9)=10x+45 因此有10x+45=65,解出x=2.