数学大师启示录_帕斯卡和费马[小编推荐]

第一篇：数学大师启示录_帕斯卡和费马[小编推荐]

这是惊人的，起源于赌博的概率理论，竟会成为人类知识的最重要的对象。

——拉普拉斯 我找到了许许多多极其优美的定理。

——费马

出类拔萃

在法国中南部僻静的克莱蒙费朗城，有一座雅致的白色楼房，四周大树环抱，前面绿草如茵。1623年6月19日，一个婴儿呱呱 地哭叫着在这里诞生。他就是法国杰出的数学家、物理学家、哲学 家和文学家——布莱斯·帕斯卡。

布莱斯的父亲埃利纳·帕斯卡是地方救护会会长，学识渊博，乐善好施，在当地很有名望。母亲安东尼达·白戈妮是位心地善良、容貌美丽的妇女。可惜红颜薄命，在一次突发的急病中，她撇下年 仅4岁的布莱斯和他的姐妹吉尔帕蒂和杰克琳，猝然去世。1630年，帕斯卡一家由克莱蒙费朗迁到巴黎。这时候布莱斯刚 7岁。孩子早熟，普通学校里的课程他学起来毫不费力。可是，他 体弱多病。父亲为了避免孩子用脑过度，亲自指导他学习，只教他 古典语言，不让他接触数学。谁知“弄巧成拙”，埃利纳对数学讳 莫如深的态度，反而激起孩子强烈的好奇心。他常常询问父亲有关 数学的问题，埃利纳总是避而不答。布莱斯12岁了。有一回他又缠 着父亲，提出他的老问题：“爸爸，几何是什么?您给讲讲吧!”经 不住孩子不断的请求，埃利纳终于给他做了一个简明而生动的介绍。这不啻在干柴上点了一把火。长期被压抑的热情一下子迸发出来。几何学的大门虽然刚露出一道细缝，里面透出来的诱人光芒已经使 布莱斯头晕目眩，如醉如痴。他按捺不住心头的激动，决心用自己 的智慧和毅力去敲开这扇庄严的大门。

布莱斯·帕斯卡钻研几何的事迹，在数学史上传为美谈。一开 始，没有任何书本暗示，他证明出一个重要的几何定理：三角形三 内角之和等于两直角。这一了不起的成就使他大受鼓舞。父亲更是 高兴得热泪盈眶。这件事似乎还不够神奇。据姐姐吉尔帕蒂说，布 莱斯在看到欧几里得《几何原本》以前，就独立发现了这本书的前 32个定理，甚至连顺序也完全相同。“三角形三内角之和等于两直 角”，恰好是《几何原本》的第32个定理。一般认为，布莱斯无疑 是独立地发现和证明了《几何原本》的一部分定理，但是吉尔帕蒂 的说法可能言过其实，因为这几乎是不可思议的事。

两年以后，14岁的布莱斯就跟随父亲到明尼兹修道院，参加梅 森神甫主持的每周讨论会。会员都是著名的学者：费马、德札尔 格、罗贝瓦尔、„„笛卡儿从荷兰和他们保持经常的通信。这个 小团体后来发展为自由学院，到1699年演变为法国科学院。

神秘六边形

正当小帕斯卡在几何上披荆斩棘，迅速向新高峰攀登的时候，老帕斯卡在事业上意外地遇到麻烦。由于极端的诚实和正直，在一 项征税问题上，他同红衣主教黎塞留发生了争执。读者一定记得，慷慨许诺过笛卡儿可以自由发表自己著作的就是这位主教。不过，这一次他似乎没有那么宽容。埃利纳只得带着全家到乡下躲起来。事情后来是怎样了结的，说法不一。据说是美丽的杰克琳拯救了她 父亲和家庭。有一次主教去看演出，一位年轻女演员的精彩表演使 他大为倾倒。唤到面前来一问，原来她是埃利纳的小女儿。主教二 话未说，痛快地把旧账一笔勾销，还把埃利纳安排到法国北部城市 鲁昂的税务局工作。

课税员的工作相当辛苦。埃利纳常常抱着账本一直计算到深夜。小帕斯卡在旁边默默地观察着父亲的工作，他又一次表现出超乎寻 常的才能。他发现一切加减运算都可以用机械来完成。经过一段时 间的摸索和改进，他终于创造出世界上第一台可以实际使用的计算 机。这是一台手摇操作的齿轮系统。每个齿轮有10个齿。顺时针方 向旋转是加，逆时针方向旋转是减。齿轮每转过10个齿，带动旁边 的高阶位的齿轮转一个齿，数字就进了一位。这样，一个年刚18岁 的孩子成了数字计算机的发明者。

在这以前，小帕斯卡废寝忘食的研究还取得一项重要进展。他 发现了几何学中一个非常优美的定理——帕斯卡定理。好在它的一 个特殊情形只用直尺就可以说明，我们在这里把这个定理介绍一下。

设有l和l’两条不平行的直线。在它们上面各任意取三点A、B、C和A’、B’、C’。分别把A和B’、A’和B、B和C’、B’和C、C和A’、C’和A连接起来，就得到三对直线；AB’和A’B，BC’和B’C，CA’和C’A。如果每对直线都有一个交点，设它们分别为D、E、F。帕斯卡证明了：D、E、F三点必定在同一条直线上。进而他把这三对直线换成圆内接六边形的三对对边，帕斯卡又证明：如果

这些对边的延长线分别相交，那么，它们的交点也在同一条直线上。他把这种六边形称为“神秘六边形”。

帕斯卡并不就此满足。他利用德札尔格所发明的投射法把这个 定理进一步推广。设想一只灯泡被一张开了一个小孔的纸遮住，于 是通过小孔射出一束圆锥状的光线。如果取一张纸伸到这束光线中 去，那么根据纸片角度的变化，在纸上可以看到光束的边界呈现不 同的图形：圆、椭圆、抛物线和双曲线。这些都是圆锥曲线。帕斯 卡发现，上述定理中圆内接六边形的这种性质，如果把圆换成其他 的圆锥曲线，例如椭圆，同样是正确的。这在直观上并不难接受。从下图可以看出，如果在光束和纸片之间插进一块玻璃，在玻璃上

画一个“神秘六边形”，当光束穿过玻璃投射到纸面上的时候，出 现的就是“神秘六边形”的影子。这影子也是一个“神秘六边形”，因为它的三对对边的交点也在一条直线上。

帕斯卡发现这个有趣的定理那年才16岁。根据德札尔格建议，聪明的帕斯卡环绕这个定理写了两篇论文，把有关圆锥曲线的不下 400条定理——其中包括阿波罗尼奥斯和其他前人的成果——用投 射法作了系统总结，把它们归纳成少数几条基本定理。论文所涉及 的是和过去希腊几何完全不同的全新领域——射影几何。这里研 究的图形，它的线段长短和角度大小，在射影对应下可以不同，但 是在射影对应中图形的某些性质仍旧保持不变。例如，把圆换成其 他的圆锥曲线，它的内接六边形三对对边的交点共线的性质是始终 保持的。可惜这两篇珍贵的文稿从来没有发表，并且旋即失传；其 中的一篇只有薄薄8页，题为《圆锥截线论》，于1779年重新找到。德国数学家莱布尼兹曾经看到过它的手抄本，还对帕斯卡的外甥谈 起过里面的内容。笛卡儿在1640年读过这两篇论文，可是他不相 信，这样出色的论文竟会出自一个16岁孩子之手!

双重折磨

年轻的帕斯卡为这一连串令人惊羡的成就付出沉重的代价。通 宵达旦的工作使他的健康遭到极大损害。从17岁起，他的生活几乎 每天都在难忍的病痛中度过。严重消化不良引起钻心的胃痛，把他 折磨得汗如雨下。长期的失眠，使漫漫长夜成为可怕的恶魔。更糟 糕的事情还在后面：宗教狂热开始感染帕斯卡的家庭。这并不奇怪。当人类智慧的阳光还不能透过层层迷雾把世界真面目揭开的时候，宗教就有它存在的空间。当生活的道路崎岖坎坷，而人们还无法掌 握自己命运的时候，迷信就会乘虚而入。在当时名目繁多的教派中 有一个叫詹森派。它由荷兰神学家科尔内留斯·詹森所创。詹森派 既不属于天主教，也不是新教。它偏激狂热，蔑视意志自由，鼓吹 神力不可反抗。信徒们为表示忠诚，要通过各种方式虐待和折磨自 己。十分不幸，好端端的帕斯卡竟迷上了这乖怪离奇的教派。原因 虽然是多方面的，但是他体弱多病无疑起了重要作用。限于当时的 医学水平，医生们开出的种种处方解除不了帕斯卡的病痛，他只好 求助于神。宗教成了他摆脱疾病无情折磨的救命稻草。从23岁起。帕斯卡从数学研究的高峰一步步陷入詹森派的泥潭而不能自拔。这 位数学史上罕见的天才，在他短促的生命历程中，从此遭受着病魔 和宗教狂的双重折磨。

但是天才的火花并没有熄灭。他还要为物理学作出贡献。他对 重力和密闭液体压强的传递等进行一系列重要试验，发现著名的关 于液压传递的帕斯卡定律。意大利物理学家托里拆利做了一个著名 实验，测定一个标准大气压的水银柱高度为760毫米。帕斯卡进一 步把它引申。他建议姐夫彼埃尔带着气压计到家乡附近多姆山上去 测量大气压强。他认为，由于高度升高，气压减小，水银柱的高度 应该随着下降。后来帕斯卡和妹妹杰克琳在返回巴黎的时候也做了 同样的实验。

这时候父亲已经退休。不久帕斯卡和杰克琳来巴黎和他住在一 起。有一次浪迹四方的笛卡儿来帕斯卡家访问。笛卡儿当时是誉满 全球的大学者；帕斯卡比他年轻近30岁，但是在科学界也已经头角 崭露，蜚声遐迩。他们两人从数学、物理、文学，一直讨论到哲学。临别的时候笛卡儿还真挚地给这位年轻朋友提出不少忠告。他劝帕 斯卡学他的样子，每天躺到上午11点钟起床；对于时时给帕斯卡带 来烦恼的胃，笛卡儿建议他只喝肉汤，不要吃别的食物。可惜这些 健身之道听起来近乎怪诞，帕斯卡没有重视。

在巴黎住的时间不长，全家又回到克莱蒙费朗。家乡清幽的气 氛比豪华的巴黎更加吸引人。在家乡，帕斯卡开始创作《思绪录》。这是法国文学史上一部自我暴露和自我剖析的不可多得的杰作。从 中我们可以清楚地看到帕斯卡矛盾的性格：他热爱大自然，热爱生 活，可是他却不自然地压制着这些正当的欲望。为了做到这一点，他只能到怪诞的詹森教派的教义中去寻求支持。怪不得心理学家说，乖谬的教义和反常的生理现象是一对难舍难分的孪生兄弟。

在克莱蒙费朗住了两年，全家又来到巴黎。第二年父亲不幸病 逝。杰克琳在帕斯卡支持下进了波特罗耶尔的修道院。不久，她作 为女修道院的圣职志愿人，不断来动员她哥哥也去波特罗耶尔，搅 得帕斯卡心绪不宁，思想斗争异常激烈。1654年11月23日，他独 自乘了一辆四驾马车，在巴黎附近的乡间道路上狂奔。在通过纽莱 河上一座桥的时候，领头的一匹马突然越过栏杆，跃入河中。幸亏 挽绳一下子被绷断，马车仍旧停留在马路上。这一事件引起帕斯卡 的强烈震动。他认为能逃脱这场横祸，无疑是神的意志——警告他 赶紧在世俗生活上悬崖勒马。他决定皈依詹森教派，并且在贴胸处 挂起用羊皮纸做的护身符，以使自己克服淫邪的诱惑，以及时刻记 住上帝把他从地狱之门拯救出来的“伟大恩典”。从此他永远摆脱 世俗，虔诚地来到波特罗耶尔，过起清心寡欲的修道者生活。值得 庆幸的是，在这以前，他对数学所作的最重要的贡献已经完成。他 和费马一起创立了概率论的数学理论。这一成就使他在数学史上享有不朽的地位。皮埃尔·费马

和帕斯卡一起创立概率论的费马是帕斯卡家的老朋友，两人有 极亲密的友谊，常年保持着书信往来。

费马的一生很平静，没有什么戏剧性的插曲。父亲杜美尼克是

位皮革商人，还是法国西南部小城蒙托邦附近小镇皮厄蒙的行政长 官。母亲克拉拉·德朗出身于议会律师的家庭。皮埃尔·费马于 1601年8月17日诞生于皮厄蒙。他从小在家里接受教育。后来为 了担任公职的需要，来到法国南部城市图卢兹继续他的学业。他一 生安分守己，不爱出头露面。由于缺少一位像帕斯卡的姐姐吉尔帕 蒂那样的人来给后代讲述他童年的奇迹，因此除了作为学生，没有 别的记载流传下来。当然，从他获得的成就来判断，他在少年时代 一定是聪明绝顶并且具有惊人的直觉能力。他在数学特别是数论中 出神人化的工作，不能从他的学校教育里去找原因。因为在费马当 学生的时候，他最伟大的工作所属的那些领域的大门还是完全紧闭 着的。

1631年5月14日，费马任图卢兹地区咨询委员。同年6月1 日，他和母亲的小表妹路易丝·德朗小姐结婚。婚后生有一男二女。儿子后来成为科学遗嘱的执行人。两个女儿先后进了修道院。1648 年，他晋升为图卢兹地方议会的王室律师。1665年1月12日在图 卢兹附近的小镇卡德雷斯逝世，享年64岁。这位诚实正直、一团和气的学者，在数学史上有一则美丽动人 的故事，就是他在从事律师工作之余所进行的数学研究。

作为纯粹数学家，牛顿在发明微积分的时候达到了顶峰。这项 伟大创造也独立地为莱布尼兹所完成。但是，这样说并不夸张：早 在牛顿出世前整整13年，在莱布尼兹呱呱坠地前17年，费马已经 形成和应用了微积分的主要概念和方法。他在1637年的手稿《求最 大值和最小值的方法》给出求函数最大最小值和求曲线的切线的方 法，也就是微分学的方法。由于他和帕斯卡都求得过前几个自然数 m次幂的和，他也就解决了幂函数积分问题。他还把幂指数推广到 分数和负数的情况，这就能计算双曲线围成的面积。这说明他掌握 了积分的方法。可惜费马在微积分和坐标几何方面的著述都是在他 去世以后才由他儿子整理发表的，这不能不削弱他在当时本可以发 挥的巨大影响。

费马和笛卡儿各自独立地发明了坐标几何。尽管他们交换意见，他们研究坐标几何的目的和方法却显著不同。笛卡儿批评希腊的传 统，主张同它决裂。费马着眼于继承希腊人的思想。认为自己的工 作只是用代数形式来表达希腊几何学家阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线 的研究。真正认识到代数威力的是笛卡儿，可是他开始只着重于几 何作图问题；费马则强调轨迹的方程，现在看来这无疑更为恰当。在对曲线进行分类的时候，费马纠正笛卡儿的一个错误。他指出： 对曲线分类应该根据方程的次数而不是其他，如一次方程表示直线，二次方程代表圆锥曲线。笛卡儿和费马在学术上的分歧导致双方长 期的激烈争论。在争论中，笛卡儿常常意气用事，语言尖刻，甚至 讽刺费马是“我们的极大和极小大臣”。可是我们这位大律师始终 心平气和，保持着应有的礼貌。后来他俩的关系有所缓和。费马在 1660年写了一篇文章，在指出笛卡儿的《几何学》中的一处错误的 同时，诚恳地说，他是这样佩服笛卡儿的天才，即使他有错误，他 的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值。可惜已经去世的笛卡 儿不像费马这样宽宏大量。

费马最伟大的工作是数论，或者用高斯朴实无华的名称：算术。

在今天小学的教科书中，“算术”的内容在希腊时代被分成不 同的两部分：算法和算术。前者一般是有关贸易和日常生活中应用 的计算；后者就是费马和高斯意义上的算术，它研究数的性质。费 马认为算术被人们忽视了。他抱怨说，几乎没有什么人提出或者懂 得算术问题。他相信，算术有它自己的特殊园地：整数论。他的辛 勤劳动为算术奠定基础，并且决定了算术在高斯以前100多年的发 展方向。

人们关于貌似简单的正整数研究虽然已有很长的历史，但是对 它们的认识还很不够。一些长期未解决的问题往往乍看不难，实际 上却极难解决。为了证明一个有关正整数的命题，数学家往往不得不 先发掘代数和分析中许多微妙而深奥的定理，甚至建立全新的数学概 念和普遍有效的数学方法。结果新兴的庞大的分支和如林的数学定理 掩盖了它们发端的原始问题。这些导源于“朴素的”算术问题的新数 学常常同物理世界有密切的联系，并且可以应用在数学的其他领域，特别是计算数学。说到数论对数学乃至科学技术，从而对整个人类社 会巨大的积极作用，我们不能不提到数论研究的先驱费马。

要了解费马，最好从所谓“费马数”说起。请看下面的数列： 3，5，17，257，65537，··· 它们又可以表示为：

3=21+1，5=22+1，17=24+1，257=28+1，65537=216+1，„

这些数除了1和它本身以外，没有别的整数可以整除它，所以 是素数。于是费马就猜测：所有形如的数，后人称为费马 数，都是素数。不过，费马坦率地承认，自己不能证明这个命题。事实上，他后来也对这个命题的正确性发生了怀疑。在费马去世67 年以后，欧拉证明了n=5时=232+1=4294967297=641× 6700417不是素数。

几乎整整过了200年，1796年3月30日，一位18岁的德国青 年卡尔·弗雷德里希·高斯解决了一个同初等几何有关的问题：用 圆规直尺作出一个正十七边形。这是2000多年来许多数学家竭力追 求的目标。他同时还证明了：当多边形的边数或者是费马素数，或 者是不同的费马素数的乘积，用圆规直尺作边数为奇数的正多边形 才是可能的。这就是说，可以用尺规作出正三角形、正五边形、正 十七边形、正二百五十七边形、„„，或正3×5=15边形、正3× 17=51边形，„„但是不能作出正七边形、正九边形等。这个成就 使高斯异常振奋，以致放弃了他同样喜爱的语言学，选择数学作为 自己献身的事业。

所谓“费马小定理”，是费马在数论中另一种类型的发现，它 是1640年10月18日费马给好朋友倍西的信中传出去的。这个定理 说，如果n是任意整数，P是素数，那么np一n就可以被P整除。举 例来说，取P=3，n=5，53—5等于120，可以被3整除。

数论上有的定理被认为是“重要的”，而有的定理好不容易才 证明出来，却被认为是“无关紧要”的。这是为什么?要说明其中 的道理并不容易。首先一个标准，当然不是绝对的，是它可以应用 于数学的其他分支；其次是它对数论或别的数学研究有启发作用； 第三，它本身在某些方面具有普遍性。费马小定理适合所有这些要 求；它对许多数学分支，包括群论在内，是一个不可缺少的结论。它启发了许多重要的数学研究，甚至是某些研究的直接起因。由于 它是对任意的整数和素数来说的，所以有很大的普遍性。显然，这 样普遍的定理，要发现它是极不容易，也是非常罕见的。

缺少研究整数经验的人，对等式27=25+2可能没有什么感受，但是稍有经验的人就会想到，27=3 3，25=52。因此，方程 y3=x2+2 有一个整数解：x=5，y=3。假如读者想检验一下自己是不是有出众的智力，不妨试试能不能证明：x=5，y=3，是这个方程惟一的整数解。专家们认为，要解决这个看起来似乎是儿戏般的问题，在智力上的要求比领悟相对论还要高!方程y3=x2+2是一个不定方程，因为未知数有两个，而方程只有一个。如果不限制方程的解必须为整数，解这类方程没有任何困难。任意给出x一个值，y就是x2+2的立方根，所以方程的解有无限多个。丢番图首先提出求这种不定方程的整数解或有理数解。于是问题就不同于以前而变得非常困难了。费马说他证明了上述方程只有惟一的整数解，可是没有公布他的证明。他去世后不久，人们找到了他的证明。科学史研究证实，在1994年以前除了惟一的一个例外，凡是被费马肯定过的命题，都被正确地证明了。那仅有的例外就是赫赫有名的“费马大定理”。

标志着希腊代数最高峰的丢番图的《算术》，在1621年有了它 的拉丁文译本。费马在工作之余读的就是这个版本。他有个习惯，在看书的时候把思考的结论简要地旁注在书的空白处。这些空白当 然不适宜于写出证明的全过程。后来，他的儿子在1670年出版了著 名的《页端笔记》。在《算术》第二册上第8个问题，也就是由毕 达哥拉斯定理引出的求方程 x2+y2=z2 的有理数解的旁边，人们看到费马用拉丁文写了如下的一段注解：

“相反，不可能把一个立方数分为两个立方数的和，一个数的 四次幂不能分为两个四次幂的和；一般说来，高于二次的任何次幂，不能分为两个同次幂的和。我想出了这个论断的一个真正奇妙的证 明，只是这里的空白太狭小，不容我把它写下来。”

这就是费马大约在1637年左右发现的、引起历史上大大小小的 数学家注目的费马大定理。用数学记号表示就是：正整数n大于2 时，方程

xn+yn=zn

没有正整数解，当然也就没有有理数解。

人们没有见到费马那个绝妙的证明，只是见到他对n=4时证明 的大意。后来欧拉作出了n=3和n=4的证明；以后只要对素数n 来证明了。1823年勒让德证明了n=5的情形；1849年库默尔引 入全新的理想数概念，证明当n=

37、n=

59、n=67时费马大定理 成立。根据他的理论，n<100时费马大定理成立。到20世纪80年 代，利用电子计算机证明n<125 000时结论成立。当然n取上述所 有整数的整数倍也都成立。但是这无限多的情形，还不是大于2的 一切整数。300多年来不计其数的优秀数学家，付出了艰巨的劳动，还是没有找到问题的答案。20世纪有“神童”之称、创立“控制 论”的卓越数学家维纳，在试图证明费马大定理的时候感叹：“每 次我所假设的论证都像愚人金一样，很快就令人失望了”。鼎鼎大 名的数学家勒贝格曾经发表过对费马大定理的证明。起初许多人 以为这个大难题果真被这位分析大师解决了。但是后来有人指出他 的证明中有错误。这真有点令人扫兴。勒贝格盯着自己有错的证明 喃喃地说道：“我想我可以消除这个错误。”可惜他最终并没有成 功。无数大数学家花了大量心血也都没有找到正确的证明。这使不 少数学家怀疑费马发现的绝妙证明是不是搞错了。包括高斯在内，不少数学家都认为一定是费马搞错了。

但是，也有许多人认为，我们不能像寓言中的狐狸那样，因为 自己吃不着葡萄，就说葡萄是酸的。作为一位“业余的”数学家，费马只满足于自己享受研究的乐趣，并不介意把自己的思想完整地 写出来公开发表。他大多数研究成果是通过和友人通信而闻名于世 的。他只写过为数不多的几篇论著，有的还是在他去世以后由后人 整理发表的。因此，根据他一贯的为人和非凡的才能，我们没有理 由怀疑他曾经得到过一个绝妙的证明。

这桩历史悬案的真相究竟如何，读者可以作出自己的判断。但 是，令人高兴的是：英国数学家安德鲁·维尔斯经过九年顽强拼搏，终于在1994年证明了费马大定理。他证明费马大定理的论文《模曲 线和费马大定理》于1994年10月14日送交普林斯顿的《数学年 刊》。一周前，他和他的学生泰勒的合作论文《海克代数的环论性 质》已经寄去审查，这是证明上述定理不可缺少的工具。1995年5 月《数学年刊》一同发表了这两篇论文，从而宣布困扰数学界350 多年的费马大定理已被一举攻克。维尔斯的证明运用了20世纪代数 几何与代数数论一系列研究成果，显示了现代数学整体的巨大力量。

涓涓细流

谁会想到一泻千里的大江发端于高山上的涓涓细流?帕斯卡和 费马也没有料到，赌徒之间毫不引人注目的争论，居然会发展出一 种非常有用的数学理论。这种理论已经几乎深入到人类生活的各个 方面；它在近代物理学上的应用，迫使人们重新考虑对物理世界的 认识。

概率论最早是由贵族们在赌博中发生的问题引起的。有一天，性喜赌博的德·梅雷爵士向帕斯卡请教几个在赌博中经常遇到的问 题。比如说，同时掷两颗骰子出现两个都是6点的机会是不是超过 1／24？

数学家以前没有处理过这类问题。这类现象从个别来看是无规 则的。同时掷两颗骰子，谁能预料它们出现的点数呢?这种不确定 性给研究带来困难。不过这些不规则现象——在数学上称为“随机 现象”——通过大量实验和观察，就其整体来看，却有一种严格的 非偶然的规律性。一颗骰子掷下去，出现的点数固然无法事先确定。但是如果投掷次数大量增加，那么出现某一个点数——比如说3点 ——的机会就非常接近于1／6。同样，一个充满气体的密闭容器，虽然容器内每一个气体分子的速度和方向是杂乱的，因而就个别分 子来说，它对器壁所产生的压力是不确定的，它忽儿撞在这里，忽 儿撞在那里；忽儿撞得重，忽儿撞得轻；但是这些气体分子的总体 对器壁的压力却有其规律性：它们总的压力基本上是一个确定的值。概率论就是从数量上来研究这种规律性。

帕斯卡巧妙地解决了梅雷爵士的问题，并且在1654年7月29 日致费马的信中谈到它们的解答。从此，他和费马就这一类问题开 始一系列通信，为概率论的数学理论奠定了基础。

概率论的应用决不仅仅是限于在赌博上。正如荷兰科学家惠更 斯(1629—1695)在《关于骰子游戏或赌博的计算》一书中指出： “在任何场合，我认为，如果读者仔细考察一下研究对象就会发现，你所处理的不仅是赌博。这里实际上包含着很有趣很深刻的理论基 础。”

的确是这样。概率论深入到各个领域，连日常生活中最简单的 问题，比如称一个物体的重量，也离不开它。虽然物体的重量是确 定的客观存在，可是它真实的数值你却称不出来。我们到商店去买 500克糖，实际得到的并不是真正的500克，而只是它的近似值。即使用最精密的天平也无法称出丝毫不差的500克。当我们用某一 种仪器对它进行多次测量的时候，任意两次的测量结果往往是不相 同的。但是根据概率统计的理论，由各次测量结果可以推算，真实 的重量落在某一个数值范围内的可能性有多大。

在量子物理学中，同样离不开概率理论，我们说不出某个电子 在原子中的确切位置，但是可以计算这个电子出现在某一区域里 的机会有多少。随着科学技术的发展，概率论在保险、统计、误差 理论、生物学、天文学、近代物理学以至整个工农业生产中得到日 益广泛的应用，成为数学几个最主要的分支之一。

智者千虑必有一失

“智者千虑必有一失”，就连最聪明的人也有糊涂的时候。帕斯 卡创立概率的数学理论，可是却把它应用于完全错误的方面。

一个人在采取某个行动以前，通常要权衡一下利弊，想想它是 不是值得。从数学上说，就是要估计一下“期望”——成果和代价 的差额乘以成功的可能性。帕斯卡在他的名著《思绪录》里，利用 这个数学理论来为自己选择的生活道路辩解。他说，通过当修道士 来争取得到永生的可能性固然极小，但是可能赢得的成果——永恒 的幸福——的价值却有无限大。无限大乘上一个很小的数(即成功 的可能性)仍是无限大。于是帕斯卡得出结论：这才是一个人真正 值得遵循的道路!可悲的是，这位伟大的数学家不知道，企图通过 刻苦修行来求得永生，不是机会大小的问题，而是根本不可能。对 不可能事件计算“期望”，它的结果当然只能是零。

这不能不说是个极大的讽刺。帕斯卡孜孜以求的，以为是具有 “无限大期望”的事业，竟是一场完全虚幻的梦境；而使他在历史 上享有无上荣光的数学，他却感到“是那么无用”，甚至“不愿为 它多走两步”!至少帕斯卡在去世以前的那些日子采取了这种不幸 的态度。1660年8月10日，这时距离他去世已经不到两年，他在 致费马的信中这样写道：

“顺便谈到数学，我觉得它是对思维的最高锻炼；但同时我又 觉得它是那么无用，以致使我感到一个单纯的数学家同一个普通工 匠的差别极小。我承认它是世界上最可爱的职业，然而仅仅是一种 职业；我也常说，想学数学是件好事，但为此费力则不然。所以我 不愿为数学多走两步。我想你也会有同感。”

当数学囿于贵族的沙龙之中，离开社会，离开生产实践，只是 那些不必为生活奔波操心的有闲阶层酒后饭余的话题，就可能产生 “有趣但是无用”的错误想法。这是帕斯卡的悲剧所在，也是数学 史上的一大憾事。要是帕斯卡的健康足够好，而他的思想又不误入 歧途，那么，这位才华出众的学者一定能为数学作出更伟大的贡献。

走向终点

怀着无限的期望，帕斯卡来到波特罗耶尔修心养性。可是，上 帝并没有对他表现出怜悯之心。失眠和牙疼死缠着他不放。当时，谁牙疼就只好去找理发师——兼职的牙科医生。那里没有麻药和其 他器械，只有一把吓人的钳子。疼痛使帕斯卡辗转反侧，不能入眠。上帝眼睁睁看着自己的信徒遭受可怕的折磨而爱莫能助。帕斯卡只 好向数学求救：他躺在床上，咬紧牙关，强制自己全神贯注地思索 各种数学问题。没想到疼痛竞不知不觉地消失了。他不知道这是注 意力转移的结果。他认为这是神的显灵，告诉他在这种情况下研究 数学不是罪过。于是他放心地研究下去。很快，作为向法国和英国 数学家的挑战，一篇论摆线的重要论文，以阿莫斯·迪戈伐里的笔 名发表了。接着他又研究了一种点的轨迹，称为帕斯卡蚶线，来纪 念他已故的父亲。

为了回答异教徒对詹森派主要人物阿诺尔德的攻击，帕斯卡撰 写了著名的《外省信札》，共含书信18篇。他的文学才能和宗教热 诚再一次得到充分表现。《外省信札》被推崇为法国散文的经典名 著和神学辩论中的非凡杰作。1658年，帕斯卡病情恶化。他无时无刻不在难忍的痛苦中煎 熬。现实生活的苦楚更激发他追求“在天国中永生”的热诚。1662 年6月，他把房子送给一家患天花的穷人，自已住到姐姐吉尔帕蒂 家中。过了两个月，年仅39岁的帕斯卡在一阵惊厥以后再也没有复 苏过来。逝世以后的检查发现，他的胃和其他重要器官都有致命的 疾病，大脑也有严重损伤，但是尽管这样，他在数学上作出了伟大 的贡献，在文学上蜚声遐迩。帕斯卡和他的同时代人笛卡儿、费马 一样，成为法兰西民族的骄傲，受到进步人类深深的怀念和尊敬。

第二篇：马云启示录

马云启示录

【马云：我最遗憾的错误】01年，我犯了一个错误，我告诉我的18位共同创业同仁，他们只能做小组经理，而所有的副总裁都得从外面聘请。现在十年过去了，我从外面聘请的人才都走了，而我之前曾怀疑过其能力的人都成了副总或董事。我相信两个信条：态度比能力重要，选择同样也比能力重要！

【马云：不能统一人的思想但可以统一人的目标】千万不要相信你能统一人的思想，那是不可能的。30%的人永远不可能相信你，不要让你的同事为你干活，而让他们为我们的共同目标干活，团结在一个共同的目标下，要比团结在一个人周围容易的多。

【马云提醒：细节好的人格局一般都差】1.有人觉得我牛，6分钟说服了孙正义，其实是他说服了我。见孙正义之前，我在硅谷至少被拒绝了40次。2.做企业赢在细节，输在格局。3.格局，“格”是人格，“局”是胸怀，细节好的人格局一般都差，格局好的人从来不重细节，两个都干好，那叫太有才!

【马云：领导比员工多什么？】领导永远不要跟下属比技能，下属肯定比你强；如果不比你强，说明你请错人了。1）要比眼光：比他看得远；2）要比胸怀：男人的胸怀是委屈撑大的，要能容人所不容；3）要比实力：抗失败的能力比他强；一个优秀的领导人的素质就是眼光、胸怀和实力。

【马云：领导别当劳模】当干部之前你一定要让他学习怎样当干部，有很多干部是劳模干部，这类人很勤奋，如果你把他升为经理，他觉得领导喜欢我这样当经理，凡是带头干，但他却不能培养激励下属。真正优秀的领导是能让下属成为劳模的人，而不是自己当劳模。

【马云：中国商人千万别在“红道”上混】①人一辈子要明白钱和权两个东西是绝对不要碰在一起，当了官永远不要想有钱，当了商人千万别想权；②钱和权这两个东西碰在一起就是炸药和****碰在一起，必然要爆炸；③胡雪岩悲哀就悲在于他是红顶商人；④中国商人千万别在红道上混。

【马云：年轻人必须思考的4大问题】1.什么是失败？放弃就是最大的失败。2.什么叫坚强？经历许多磨难、委屈、不爽，你才知道什么叫坚强。3.你的职责是什么？比别人多勤奋一点、多努力一点、多一点理想，这就是你的职责。4.傻瓜用嘴讲话，聪明人用脑袋讲话，智者用心讲话。

【马云：人生在世在做人，不是做事】我跟自己讲我们到这个世界上不是来工作的，我们是来享受人生的，我们是来做人不是做事。如果一辈子都做事的话，忘了做人，将来一定会后悔。不管事业多成功、多伟大、多了不起，记住我们到这个世界就是享受经历这个人生的体验。忙着做事一定会后悔。

【马云：工作不要太认真快乐就行】我特讨厌认真工作的人，工作不要太认真，工作快乐就行，因为只有快乐让你创新，认真只会更多的KPI、更多的压力、更多的埋怨，真正把自己变成机器，我们不管多伟大、多勤奋、多痛苦，永远记住做一个实实在在、舒舒服服的人，因为人才是让我们最美。

【马云:高手的竞争论】1.一定要争得你死我活的商战是最愚蠢的。2.眼睛中全是敌人,外面就全是敌人。3.竞争的时候不要带仇恨,带仇恨一定失败。4.竞争乐趣就像下棋一样,你输了,我们再来过,两个棋手不能打架。5.领导者的胸怀,就是被冤枉撑大的。6.真正做企业是没有仇人的,心中无敌,天下无敌。

【马云：胸怀是委屈撑大的】1）男人的胸怀是委屈撑大的；2）明白自己有什么，明白自己要什么，明白自己放弃什么；3）赚钱只是结果，不是我的目的；4）心中无敌就无敌于天下；5）我们缺的不是钙而是爱。

【马云：别把抱怨当习惯】人是退化最严重的动物。跟兽比人很“弱肢”，和狗比人很“闻盲”，但人类“进化”了抱怨。偶尔为之无大碍，但当抱怨成习惯，就如喝海水，喝的越多渴得越厉害。最后发现，走在成功路上的都是些不抱怨的“傻子们”。世界不会记得你说了什么，但一定不会忘记你做了什么！

【马云给初创企业者的忠告】

1、大家看不清的机会，才是真正的机会。

2、让员工笑着干活。

3、客户第一、员工第二、股东第三。

4、少听成功学，多听失败学。

5、抢在变化之前先变。

6、忘掉money，忘掉赚钱。

7、小聪明不如傻坚持。

8、心态决定姿态，姿态决定状态。

【马云谈创业】：1.一个好的东西往往是说不清楚的，说得清楚的往往不是好东西！2.创业要找最合适的人，不一定要找最成功的人。3.这世界最不可靠的东西就是关系。4.免费是世界上最昂贵的东西。5.今天很残酷，明天更残酷，后天很美好。

【马云“四不”创业智慧】

1、创业最怕就是看不见，看不起，看不懂，跟不上；

2、看不见对手在哪里，看不起对手，看不懂对手为什么可以变得那么强，然后就跟不上了；

3、即使对手很弱小，也一定要把对方看的很强大，即使对手很强大，也不一定要把自己看的很弱小。

【马云当你决定要创业时】便意味着

1、没有了稳定的收入；

2、没有了请假的权利；

3、没有了得红包的机会。然而却更意味着：

1、收入不再受限制；

2、时间运用更有效；

3、手心向下不求人，想法若不同，结果便不同；选择不一样，生活才变样。

如果一个方案有90%的人说“好”的话，我一定要把它扔到垃圾桶里去。因为这么多人说好的方案，必然有很多人在做了，机会肯定不会是我们的了——马云

第三篇：2016考研数学 费马定理

考研交流学习群【198233974】

对于中值定理这部分的学习，很多同学都感到很困惑。然而中值定理又是我们考研数学中的难点，这部分的试题灵活性，综合性比较强，对考生的思维要求比较高，同时这一部分在考试中经常是出证明题，学生的得分率比较低，这里我帮助同学们一起学习中值定理。首先是要理解并记忆定理的内容;二是记住定理的证明过程，并掌握这一部分试题主题的证明思想。费马定理是三大中值定理的引理，很多同学在复习的时候经常忽略，下面中公考研数学辅导老师就带大家来看费马定理。

对于费马定理这个内容主要是说明，如果要证函数发f(x)在一点的导数为零，只要证明在这点取极值(极大值或极小)，则存在导数等于零。

中公考研

http://www.xiexiebang.com 考研交流学习群【198233974】

罗尔定理的证明是会用到费马定理的，对于费马定理一定要掌握。

中公考研

http://www.xiexiebang.com

第四篇：费马点

费马点定义费马点定义费马点定义费马点定义 在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点费马点费马点费马点。在平面三角形中:(1).三内角皆小于三内角皆小于三内角皆小于三内角皆小于120°的三角形的三角形的三角形的三角形，，分别以分别以分别以分别以 AB,BC,CA，，为边为边为边为边，，向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接然后连接然后连接然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点则三线交于一点则三线交于一点则三线交于一点P,则点则点则点则点P就是所求的费马点就是所求的费马点就是所求的费马点就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于120度度度度,则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求.(3)当当当当△△△△ABC为等边三角形时为等边三角形时为等边三角形时为等边三角形时,此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合 证明证明证明证明(1)费马点对边的张角为120度。△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠APC=120度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1

费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。

几何光学已有悠久的发展历史。公元前400年，我国《墨经》中便有光的直线传播和各种面镜对光的反射的记载。公元100年亚历山大里亚的希罗（Hero）曾提出过光在两点之间走最短路程的看法。托勒密在公元130年对光的折射进行过研究。公元1611年开普勒对光学的研究达到了较高的定量程度。最后，1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。由于费马原理的确立，几何光学发展到了费马（Pierre De Fermat)是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆∴∠APB=120°，∠APD=∠ABD=60°同理：∠APC=∠BPC=120°以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD另在△ABC中任取一异于P的点G，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。从而CD为最短的线段。以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。较为完善的程度。

第五篇：太极大师马虹个人简历

太极大师马虹个人简历

马虹(1927一)，原名郭毓，河北深州市前磨头镇人。陈氏太极拳第十一代传人。现任河北省石家庄市武协副主席，石家庄陈氏太极拳研究会会长、河南温县国际太极学年会组委会副秘书长。1994年被国际太极拳年会评审委员会评为全国当代13名太极学大师之一。

1948年毕业于华北联大中文系，长期从事教育、写作和编辑工作。五十年代任机关秘书，整天加班加点，繁重的脑力劳动累垮了他的身体。起初是神经衰弱，夜不成眠，随之是头痛、胃痛、肾炎、关节炎、过敏性鼻炎接踵而来，本来瘦小的身材，一下子驼背、勾腰、腿软，打壶开水上三楼也得中间喘气定息，多方求医问诊，皆不奏效。无奈中他接受一位老中医的指点，开始学练太极拳。不料想练掌练出奇迹，一年后周身疾病云消雾散。他大喜过望，深感太极拳健身除病的神妙，决心研究太极拳。1972年，北上京城，拜陈照奎为师，倾注全部心血刻苦实践、潜心钻研。前后随师习拳达九年之久，尽得陈氏家传传统太极拳拳谱、拳理、拳法之奥秘。根据先师生前授拳时他的大量笔记资料和几十年研究成果整理出版了《陈式太极拳体用全书》、《陈式太极拳技击法》、《陈式太极拳拳理阐微》三部力著。

马虹多次参加全省、全国太极拳比赛和邀请赛，均取得优异成绩。1982年他倡导成立了第一个“陈氏太极拳研究会”，创办了刊物《陈氏太极拳研究》，在全国22个省、市、自治区开办传授站80多个，他的学生遍及全国30个省、市、自治区和香港特区。并先后应邀到美国、马来西亚、意大利、加拿大、新西兰等国家讲学、授拳。他还在海内外有关刊物上先后发表太极拳学术论文30多篇。

1988年，马虹从石家庄市政协离休后，专心致志从事传统陈氏太极拳的继承、整理、研究和传播工作，为弘扬陈氏太极学以造福人类，做出了重要贡献。