【学情分析】一元二次方程_数学_初中_李红_3707850124

第一篇：【学情分析】一元二次方程_数学_初中_李红_3707850124

一元二次方程

学情分析拒城河和中学李红

学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。

另外，学生在情感态度、学习策略方面存在诸多需要进一步解决的问题。例如：个别学生缺乏小组合作，一些学生没有养成良好的学习习惯，不能做好课前预习课后复习，学习没有计划性和策略性；不善于总结和发现语言规律，不注意知识的巩固和积累。

第二篇：初中数学(人教版)第二十二章 一元二次方程教案

第二十二章

一元二次方程

主备人：刘鸿智

教材内容

本单元教学的主要内容：

1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.2.本单元在教材中的地位和作用： 教学目标

1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。2.根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.3.经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。教学重点、难点 重点：

1．一元二次方程及其有关概念

2.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。难点：

1.一元二次方程及其有关概念

2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用 课时安排

本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）

22．1 一元二次方程 1课时 22．2 降次 7 课时 22．3 实际问题与一元二次方程 3 课时 教学活动、习题课、小结

静下心来教书，潜下心来育人

22.1 一元二次方程

教学目的

1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．

2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．

3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 教学重点、难点

重点：一元二次方程的定义．

难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．教学过程 复习提问

1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？

2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？

(l)3x+4=l；

(2)6x-5y=7；

3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课

1．方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）

学过的几类方程是

静下心来教书，潜下心来育人

没学过的方程有x-70x+825=0，x(x+5)=150．

这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”

据此得出复习中学生未学过的方程是

(4)一元二次方程：x-70x+825=0，x(x+5)=150．

同时指导学生把学过的方程分为两大类： 22

2．一元二次方程的一般形式

注意引导学生考虑方程x-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x+5x=150，可化为：x+5x-150=0．

从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为

ax+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．

其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数． 【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．

例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 课堂练习P27 1、2题 归纳总结 222

221．方程分为两大类：

判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．

2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．

其一般形式是ax+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 布置作业：习题22.1 1、2题． 达标测试

1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()

2静下心来教书，潜下心来育人

①3x+7=0,②ax+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x-1,④x-5x+4=0, ⑤x-(2+1)x+2=0,⑥3x-2

22222

4+6=0 xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.关于x的一元二次方程3x=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是()A.3,-5,-2 B.3,-5x,2 C.3,5x,-2 D.3,-5,2 3.方程(m+2)xm2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2 4.若方程kx+x=3x+1是一元二次方程,则k的取值范围是 5.方程4x=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 222课后反思：

22.2解一元二次方程

第一课时

直接开平方法

教学目的

1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．

2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax+c=0(a＞0，c＜0)的方法． 教学重点、难点

重点：准确地求出方程的根．

难点：正确地表示方程的两个根． 教学过程

复习过程

回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．

求下列各式中的x：

1．x=225； 2．x-169=0；3．36x=49； 4．4x-25=0．

静下心来教书，潜下心来育人

222

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．

即 一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．

引入新课

我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？

新课

例1 解方程 x2-4=0．

解：先移项，得x2=4．

即x1=2，x2=-2．

这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

例2 解方程(x+3)2=2．

练习：P28 1、2 归纳总结

1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．

2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程． 布置作业：习题22.1 4、6题 达标测试

1.方程x2-0.36=0的解是

A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6 2.解方程:4x2+8=0的解为 A.x1=2 x2=-2 B.x12,x22

C.x1=4 x2=-4 D.此方程无实根 3.方程(x+1)2-2=0的根是

A.x112,x212 B.x112,x212

C.x112,x212 D.x112,x212

4.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是

静下心来教书，潜下心来育人

A.不论c为何值,方程均有实数根 B.方程的根是xcb aC.当c≥0时,方程可化为:axbD.当c=0时,x5.解下列方程:

c或axbc

b a①.5x-40=0 ②.(x+1)-9=0 ③.(2x+4)-16=0 ④.9(x-3)-49=0 课后反思

2222

第二课时

配方法

教学目的

1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．

2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想． 教学重点、难点

重点：掌握配方的法则．

难点：凑配的方法与技巧． 教学过程

复习过程

用开平方法解下列方程：

(1)x=441；(2)196x-49=0；

引入新课

我们知道，形如x-A=0的方程，可变形为x=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那2么，我们能否将形如ax+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

新课

我们研究方程x+6x+7=0的解法：

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2222

将方程视为：x+2·x·3=-7，即 x+2·x·3+3=3-7，∴(x+3)=2，22222

这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．

例1 解方程x-4x-3=0．

配方法解之．在解的过程中，注意介绍配方的法则．

例2 解方程2x+3=7x． 22

练习：P34 1、2题 归纳总结

应用配方法解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的要点是：

(1)化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；

(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式.布置作业：习题22.2 1、3题 达标测试

1.方程x-a=(x-a)(a≠0)的根是

A.a B.0 C.1或a D.0或a 2.已知关于x的方程(m+3)x+x+m+2m-3=0一根为0,另一根不为0,则m的值 为

A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不对 3.若x-mx+

22222221是一个完全平方式,则m= 4A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不对

4.方程x=5的解是 ,方程(x-1)=5的解是 ,方程(3x-1)=5的解是 5.①x课后反思：

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215x =(x-)2 ②x2x =(x+)2

第三课时

求根公式法

教学目的

1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．

2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法． 教学重点、难点

重点：要求学生正确运用求根公式解一元二次方程．

难点：1.求根公式的推导过程．

2.含有字母参数的一元二次方程的公式解法．

教学过程

复习提问

提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？

练习：用配方法解下列一元二次方程

(1)x2-8x=20；(2)2x2-6x-1=0．

引入新课

我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？

新课

(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax

2+bx+c=0(a≠0)的步骤．

解：∵a≠0，两边同除以a，得

把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得

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(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

应用求根公式解一元二次方程的关键在于：

(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．

例1 解方程x2-3x+2=0.例2 解方程2x2+7x=4.例5 解关于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2

=0．

练习P37 1题 归纳总结

1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即

要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2

-4ac≥0．

2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解． 布置作业：习题22.2 5、8、10题 达标测试

1.若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为 A.1或32 B.1或23 C.-1或23 D.1或32

2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是 A.方程总有两个实数根

B.只有当b2-4ac≥0时,才有两实根 C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实根 D.当b2-4ac=0时,方程无实根

3.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x

2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是

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A.4 B.411 C.4或4 D.不存在 224.如果分式x22x3的值为0,则x值为

x3A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3 5.把23x(3x)2化成ax+bx+c=0(a≠0)的形式后,则a= ,b= ,c=

26.若分式x2xx22的值为0,则x=

27.已知x=-1是关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的根,则22

2bc=__________.aa8.若a+b+2a-4b+5=0,则关于x的方程ax-bx+5=0的根是___________.课后反思：

第四课时

因式分解法

教学目的

使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法． 教学重点、难点

重点：用因式分解法解一元二次方程．

难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解． 教学过程

复习提问

1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？

2．方程x=4的解是多少？

引入新课

方程x=4还有其他解法吗？

新课

众所周知，方程x=4还可用公式法解．

此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．

我们仍以方程x=4为例．

静下心来教书，潜下心来育人

222

2移项，得 x-4=0，对x-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．

我们知道：

∴ x+2=0，x-2=0．

即 x1=-2，x2=2．

由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．

例1 解下列方程：

(1)x-3x-10=0；(2)(x+3)(x-1)=5．

在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；

讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．

例2 解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)-5=0．

在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；

再利用平方差公式因式分解后求解．

注意：在讲完例

1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．

例3 解下列方程：

(1)3x-16x+5=0 ；(2)3(2x-1)=7x．

练习：P40 1、2题 归纳总结

对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是

1．将方程化为一般形式；

2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)

3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；

4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根． 布置作业：习题22.2 6、10题

达标测试

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222222

1.对方程(1)(2x-1)=5,(2)x-x-1=0,(3)x(x3)3x选择合适的解法是 A.分解因式法、公式法、分解因式法 B.直接开平方法、公式法、分解因式法 C.公式法、配方法、公式法 D.直接开平方法、配方法、公式法

2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根为 A.x222552 B.x=3 C.x1,x23 D.x 2253.若x-5∣x∣+4=0,则所有x值的和是 A．1 B.4 C.0 D.1或4 5.若方程x+ax-2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是 A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2 5．已知3xy-xy-2=0，则x与y之积等于

6．关于x的一元二次方程(m+2)x+x-m-5m-6=0有一根为0，则m=。7．方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1,x2，且x1>x2,则x1-2x2的值是。8．方程x=∣x∣的解是 9.用因式分解法解下列方程:(1).(2x-1)+3(1-2x)=0(2).(1-3x)=16(2x+3)(3).x+6x-7=0 10.选用适当的方法解下列方程:(1).(3-x)+x=9(2).(2x-1)+(1-2x)-6=0(3).(3x-1)=4(1-x)(4).2(x-1)=(1-x)2

2222

2222根据以上各方程的特点,选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.课后反思：

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第五课时

一元二次方程的根的判别式。

教学目的

1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．

2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．

3.通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性． 教学重点、难点

重点：一元二次方程根的判别式的内容及应用．

难点：1.一元二次方程根的判别式的推导．

2.利用根的判别式进行有关证明

教学过程

复习提问

1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？

2．用公式法求出下列方程的解：

(1)3x＋x－10＝0；(2)x－8x＋16＝0；(3)2x－6x＋5＝0．

引入新课

通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．

接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)

新课

先讨论上述三个小题中b－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：

对任意一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为 222

22∵a≠0，∴4a＞0．

由此可知b－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．

(1)当b－4ac＞0时，方程右边是一个正数． 22

2静下心来教书，潜下心来育人

(2)当b－4ac＝0时，方程右边是0． 2

通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的情况可由b－4ac来判定．故称b－4ac2是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．

综上所述，一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根． 反过来也成立．

例1.不解方程，判别下列方程根的情况：

(1)2x＋3x－4＝0；(2)16y＋9＝24y；(3)5(x＋1)－7x＝0．

分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可． 例2．当k取什么值时，关于x的方程2x-(4k+1)x+2k-1=0

(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．

例3.求证关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0没有实数根.归纳总结

应用判别式解题应注意以下几点：

1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．

2．一元二次方程根的判别式的逆命题也是成立的． 布置作业：习题22.2 4题 达标测试

1.证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m有两个不相等的实数根．

2.已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程ax-(a+b-c)x+b=0没有实数根．

静下心来教书，潜下心来育人

3.若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2

=0无实数根．

4.已知，关于x的方程（a-2）x2

-2（a-1）x+（a+1）＝0，当a为何非负整数时； ①.方程只有一个实数根.②方程有两个相等的实数根.③方程没有实数根.课后反思

第六课时

一元二次方程的根与系数的关系

教学目的

1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．

2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点

重点：1.韦达定理的推导和灵活运用．

2.已知方程求关于根的代数式的值

难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式． 教学过程

复习提问

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？

2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？

新课

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么

我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x

2＋px＋q＝0的根与系数的关系．

静下心来教书，潜下心来育人

得出：

如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴ 方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

这就是说，以两个数x21，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 例2.下列各方程两根之和与两根之积各是什么？

(1)x2－3x－18＝0；(2)x2

＋5x＋4＝5；

(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2

＋3x＝0．

练习P42 归纳总结

1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．

2．要掌握定理的两个应用：

⑴.不解方程直接求方程的两根之和与两根之积； ⑵.已知方程一根求另一根及系数中字母的值． 布置作业：习题22.2 7题 达标测试

1．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？

2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2

＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和． 课后反思

第七课时

二次三项式的因式分解(公式法)教学目的

静下心来教书，潜下心来育人

1．使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系．

2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解因式． 教学重点、难点

重点：用求根法分解二次三项式．

难点：1.方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．

2.二元二次三项式的因式分解．

教学过程

复习提问

解方程：1．x-x-6＝0； 2．3x-11x+10＝0； 3．4x+8x-1＝0．

引入新课

在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的．是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发．

新课

二次三项式ax+bx+c(a≠0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法．

易知，解一元二次方程2x-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其两根x1＝1，x2＝2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式．即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：

如果一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0)的两个根是 222

22＝a[x-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．

从而得出如下结论．

在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax+bx+c=0的两根x1，x，然后写成ax+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．

静下心来教书，潜下心来育人

例如，方程2x2-6x+4＝0的两根是x1＝1，x2＝2．

则可将二次三项式分解因式，得2x2

-6x+4＝2(x-1)(x-2)．

例1 把4x2-5分解因式． 归纳总结

用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：

1．令二次三项式ax2+bx+c＝0；

2．解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；

3．代入a(x-x1)(x-x2)．

二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即

1．利用完全平方公式；

2．十字相乘法：

即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；

acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．

3．求根法：

ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，(1)当b2-4ac≥0时，可在实数范围内分解；

(2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解． 布置作业：

对下列式子进行因式分解

① 2x2+6x+4.②.4x2-4x+1 ③.-2x2

-4x+3.④.2x2

-8xy+5y2

课后反思

22.3一元二次方程的应用

第一课时

教学目的

1．使学生会列出一元二次方程解应用题．

2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．教学重点、难点

静下心来教书，潜下心来育人

重点：由应用问题的条件列方程的方法．

难点：设“元”的灵活性和解的讨论． 教学过程

复习提问

1．一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．)

2．回忆一元二次方程解的情况．(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．)

3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案．)

引入新课

问题1：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为21500cm的无盖长方形盒子．试问：应如何求出截去的小正方形的边长？

解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x-70x+825＝0．

当时，我们不会解此方程．现在，可用求根公式解此方程了． 2

∴x1＝55，x2＝15．

当x＝55时，80-2x＝-30，60-2x＝-50；

当x＝15时，80-2x＝50，60-2X＝30．

由于长、宽不能取负值，故只能取x＝15，即小正方形的边长为15cm．

问题2：剪一块面积是150cm的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．

解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．依题意，得

x(x+5)＝150，即x+5x-150＝0．

∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．

∴x＝10，x+5＝15．

答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状．

静下心来教书，潜下心来育人

归纳总结

利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答． 布置作业：习题22.3 1、2、3、5题 课后反思

第二课时

教学目的

使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力． 教学重点、难点

重点：用图示法分析题意列方程．

难点：将实际问题转化为对方程的求解问题.教学过程

复习提问

本小节第一课我们介绍了什么问题？

引入新课

今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法．

新课

例1 如图1，有一块长25cm，宽15cm的长方形铁皮．如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，2然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？

分析：如图1，考虑设截去的小正方形边长为xcm，则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长×宽＝矩形面积，可列出方程．

解：设小正方形的边长为xcm，依题意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x-20x+36＝0，静下心来教书，潜下心来育人

解得x1＝2，x2＝18(舍去)．

答：截去的小正方形的边长为2cm．

例2 一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数，这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？

∴x＝10．

答：第一、二次倒出药液分别为10升，5升．

练习P41 3、4 归纳总结

1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．

2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式． 布置作业：习题22.3 8、9题 课后反思

第三课时

教学目的

使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点、难点

重点：弄清有关增长率的数量关系．

难点：利用数量关系列方程的方法． 教学过程

复习提问

1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？

(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？

(3)某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？

新课

例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？

分析：用译式法讨论列式

静下心来教书，潜下心来育人

一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．

二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；

三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)吨．再根据题意，即可列出方程．

解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得5000(1+x)＝7200，即(1+x)＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．

答：平均每月增长率为20％．

例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？

解：设每月增长率为x，依题意得

50+50(1+x)+50(1+x)＝182，2

22答：

二、三月份平均月增长率为20％． 归纳总结

依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键． 布置作业：习题22.3 7题 课后反思

静下心来教书，潜下心来育人

第三篇：初中数学一元二次方程的概念教学设计

教学设计

袁仁华

课题：一元二次方程的概念

教材分析：1．本节以生活中的实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，让学生掌握一元二次方程的特点，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。本节内容是在前面所学方程、一元一次方程、整式、方程的解的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。

2．这些概念是全章后继内容的基础。

3.让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的基本思想。

学情分析：1.授课班级学生基础较差，学生成绩参差不齐，差生较多。教学中应给予充分思考的时间，注意讲练结合，以学生为本，体现生本课堂的理念。2.该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，从而充分调动学生主动性和积极性，使课堂气氛活跃，让学生在愉快的环境中学习。

3.作为该班的班主任，同时又担任该班的数学教学，对学生学习情况有比较深入地了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性，在练习题的设计上要针对学生的差异采取分层设计的方法，着重加强对学生的双基训练。

教学目标：

一 知识与技能: 1.理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是一元二次方程。

2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.二 过程与方法：

1.引导学生分析实际问题中的数量关系，组织学生讨论，让学生类比、抽象出一元二次方程的概念。

2.培养独立思考，合作交流学，分析问题，解决问题的能力。

三 情感态度与价值观： 1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.3.让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的基本思想，从而意识到数学在生活中的作用。

教学重点：一元二次方程的概念及一般形式，利用概念解决实际问题。教学难点：1.由实际问题向数学问题的转化过程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.3.一元二次方程的特点，如何判断一个方程是一元二次方程。

教学过程：

一、创设情境，引入新课

1.问题1：广安区为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2015年无公害蔬菜的产量比2013年翻一番，要实现这一目标，2014年和2015年无公害蔬菜产量的年平均增长率是多少？（通过放幻灯片引入）

设无公害蔬菜产量的年平均增长率为x，2013年的产量为a(a≠0)，翻一番的意思就是a变为2a,那么

（1）用代数式表示2014年的产量；

（2）2015年蔬菜的产量比2013年增加了2x，对吗？为什么？你能用代数式表示出来吗？

学生思考交流得出方程a(1+x)2=2a 2整理得，x+2x-1=0„„„„①

2.通过幻灯片引入情境,提出问题：

问题2：广安市政府在一块宽200m、长320m的矩形广场上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向、一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的6块，建成小花坛，要使花坛的总面积为57000m2，问小路的宽应为多少？

设小路的宽为x m，则横向小路的面积如何表示？纵向的呢？重叠部分的面积是多少？小路所占的面积用x的代数式如何表示？

这个问题的相等关系是什么？

320×200-（320x+2×200x-2x2）=57000 整理得x2-36x+35=0 谁还能换一种思路考虑这个问题？

把6个小花坛拼起来是一个多长多宽的矩形，由此你会得出什么样的方程？（320-2x）(200-x)=57000 整理得x2-36x+35=0„„„„② 比较一下，哪种方法更巧妙? 3.通过幻灯片引入情景。问题3：广安重百商场销售某品牌服装，若每件盈利50元，则每月可销售100件。若每件降价1元，则每月可多卖出5件，若每月要盈利6000元，则商场决定每件服装降价多少？

设每件降价x元，则现在的盈利为（50-x）元，降价后销售量为(100+5X)件。可列方程为：（50-x）(100+5X)=6000 让学生整理变为一般形式为： X2-30X+200=0…..........…

通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程。

二、启发探究，获得新知：

引导学生观察方程①、②、，谁能说出这两个方程的特点？对比一元一次方程，是否知道它是什么方程？学生回顾一元一次方程的有关概念，从而更好地掌握一元二次方程的概念。

概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。

三个条件：1.整式方程 2.一个未知数 3.未知数的最高次数为2。标准形式;ax2+bx+c=0（a≠0）

介绍一次项、二次项、常数项、一次项系数、二次项系数。特别强调：a≠0，要正确说出各项系数，必须化成标准形式.提问：说出下列方程的一次项系数、二次项系数和常数项 X2-2x-1=0 2 2X-0.5x+3.2=0 讲解例1把方程4x(x-3)＝5(x-2)—1先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项。

整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等。

学生练习

1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.）

（1）x2十3x-2＝O（2）x2—3x-4＝0；（3）3x2=5（4）4x2十3x=2；（5）3x2—5=0；

2.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

222⑴（x－1）= 2 x ⑵ 2（x－3）=（x-5）-1 3.判断下列关于x的方程是否是一元二次方程：

⑴xy-x2=3(2)x+1/x2=0(3)x2=0 这两小题教师要作适当引导，鼓励学生分类讨论，学生交流、讨论，谈谈自己的收获或感悟。此题有一定难度，引导学生分类讨论，培养学生思维的严密性，进一步体会数学的严谨性和逻辑性。

三、归纳小结，拓展提高：

1．问题：本节课你又学会了哪些新知识

2．思维拓展：

若方程（m+2）xm2-2+3x-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值。解此题一定要结合概念。

3.作业课本P38习题20.1 1、2两题

板书设计：

1、概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。

2、三个条件：1.整式方程 2.一个未知数 3.未知数的最高次数为2。

3、标准形式：ax2+bx+c=0（a≠0）

4、一次项、二次项、常数项、一次项系数、二次项系数。

5、例1把方程 4x(x-3)＝5(x-2)—1化为一般形式，并说出二次项系数、一次项系数和常数项

6、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

⑴3（x2－1）= 2 x ⑵ 2（x－3）2=（x-5）2-1 教学反思：

本节课主要介绍一元二次方程的概念及一般形式ax+bx+c=0（a≠0）的概念，是典型的概念课。在教学过程中使用四环节循环教学法，让学生经历自学质疑——合作释疑——展示评价——巩固深化的过程。强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的合作交流在探究过程中进行，使他们在自主探索的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力。让学生经历了一元二次方程的产生过程，并结合一元一次方程的概念让学生来归纳出一元二次方程的三个特点①只有一个未知数；②未知数的最高次数是2次；③方程两边都是整式。

本节的第二个知识点就是一元二次方程的一般形式，学生在理解起来是比较容易的，引导学生养成将方程左边写成降幂形式。但在练习中也会有不少学生会把二次项和一次项位置写反掉，或是在写系数时没有带上符号。特别要强调二次项的系数不等于0，即 a≠0。

通过这节课的点评与自我反思,以后要在师生交流方面都下工夫,重视学生的想法,多给学生一点“自主”学习的时间,以学生为本，深化生本课堂的理念，同时加强板书教学,提高学生课堂学习的“实效”。

第四篇：初中数学(人教版)第二十二章_一元二次方程教案

第二十二章 一元二次方程

主备人：刘鸿智

教材内容

本单元教学的主要内容：

1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.2.本单元在教材中的地位和作用： 教学目标

1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。2.根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.3.经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。教学重点、难点 重点：

1．一元二次方程及其有关概念

2.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）

3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。难点：

1.一元二次方程及其有关概念

2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用 课时安排

本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）

22．1 一元二次方程 1课时 22．2 降次 7 课时 22．3 实际问题与一元二次方程 3 课时 教学活动、习题课、小结

22.1 一元二次方程

教学目的

1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．

2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．

3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 教学重点、难点

重点：一元二次方程的定义．

难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．教学过程 复习提问

1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？

2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？

(l)3x+4=l；

(2)6x-5y=7；

3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课

1．方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）

学过的几类方程是

没学过的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．

这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”

据此得出复习中学生未学过的方程是

(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．

同时指导学生把学过的方程分为两大类：

2．一元二次方程的一般形式

注意引导学生考虑方程x-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x+5x=150，可化为：x+5x-150=0．

从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为

ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．

其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数． 【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．

例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 课堂练习P27 1、2题 归纳总结 22

221．方程分为两大类：

判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．

2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．

其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 布置作业：习题22.1 1、2题． 达标测试

1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-5x+4=0，⑤x-(2+1)x+2=0,⑥3x-2

24x+6=0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是()A.3,-5,-2 B.3,-5x,2 C.3,5x,-2 D.3,-5,2 3.方程(m+2)xm+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2 4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是 5.方程4x2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 课后反思：

22.2解一元二次方程

第一课时

直接开平方法

教学目的

1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．

2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法． 教学重点、难点

重点：准确地求出方程的根．

难点：正确地表示方程的两个根． 教学过程

复习过程

回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．

求下列各式中的x：

1．x=225； 2．x-169=0；3．36x=49； 4．4x-25=0．

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 2

222

即 一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．

引入新课

我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？

新课

例1 解方程 x2-4=0．

解：先移项，得x2=4．

即x1=2，x2=-2．

这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

例2 解方程(x+3)2=2．

练习：P28 1、2 归纳总结

1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．

2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程． 布置作业：习题22.1 4、6题 达标测试

1.方程x2-0.36=0的解是

A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6 2.解方程:4x2+8=0的解为 A.x1=2 x2=-2 B.x12,x22

C.x1=4 x2=-4 D.此方程无实根 3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.x112,x212 B.x112,x212

C.x112,x212 D.x112,x212

4.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是 A.不论c为何值,方程均有实数根 B.方程的根是xcba

C.当c≥0时,方程可化为:axbbac或axbc

D.当c=0时,x5.解下列方程:

①.5x-40=0 ②.(x+1)-9=0 ③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0 课后反思

2第二课时

配方法

教学目的

1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．

2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想． 教学重点、难点

重点：掌握配方的法则．

难点：凑配的方法与技巧． 教学过程

复习过程

用开平方法解下列方程：

(1)x=441；(2)196x-49=0；

引入新课

我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

新课

我们研究方程x+6x+7=0的解法：

将方程视为：x2+2·x·3=-7，即 x2+2·x·3+32=32-7，∴(x+3)2=2，22

2这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．

例1 解方程x2-4x-3=0．

配方法解之．在解的过程中，注意介绍配方的法则．

例2 解方程2x2+3=7x．

练习：P34 1、2题 归纳总结

应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要点是：

(1)化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；

(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式.布置作业：习题22.2 1、3题 达标测试

1.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是

A.a B.0 C.1或a D.0或a 2.已知关于x的方程(m+3)x+x+m+2m-3=0一根为0,另一根不为0,则m的值 为

A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不对 3.若x2-mx+1

422是一个完全平方式,则m= A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不对

4.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是 5.①x课后反思： 212x =(x-)②x2252x =(x+)

2第三课时

求根公式法

教学目的

1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．

2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法． 教学重点、难点

重点：要求学生正确运用求根公式解一元二次方程．

难点：1.求根公式的推导过程．

2.含有字母参数的一元二次方程的公式解法．

教学过程

复习提问

提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？

练习：用配方法解下列一元二次方程

(1)x2-8x=20；(2)2x2-6x-1=0．

引入新课

我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？

新课

(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax

2+bx+c=0(a≠0)的步骤．

解：∵a≠0，两边同除以a，得

把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得

(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

应用求根公式解一元二次方程的关键在于：

(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．

例1 解方程x2-3x+2=0.例2 解方程2x2+7x=4.例5 解关于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0．

练习P37 1题 归纳总结

1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即

要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac≥0．

2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解． 布置作业：习题22.2 5、8、10题 达标测试

1.若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为 A.1或32 B.1或23 C.-1或D.1或

2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是 A.方程总有两个实数根

B.只有当b2-4ac≥0时,才有两实根 C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实根 D.当b2-4ac=0时,方程无实根

3.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是 A.4 B.412 C.4或412 D.不存在

24.如果分式x2x3x3的值为0,则x值为

A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3 5.把23x(3x)2化成ax

2+bx+c=0(a≠0)的形式后,则a= ,b= ,c=

6.若分式x2xx22的值为0,则x=

baca7.已知x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则22

2=__________.8.若a+b+2a-4b+5=0,则关于x的方程ax-bx+5=0的根是___________.课后反思：

第四课时

因式分解法

教学目的

使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法． 教学重点、难点

重点：用因式分解法解一元二次方程．

难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解． 教学过程

复习提问

1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？

2．方程x2=4的解是多少？

引入新课

方程x2=4还有其他解法吗？

新课

众所周知，方程x2=4还可用公式法解．

此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．

我们仍以方程x2=4为例．

移项，得 x2-4=0，对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．

我们知道：

∴ x+2=0，x-2=0．

即 x1=-2，x2=2．

由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．

例1 解下列方程：

(1)x2-3x-10=0；(2)(x+3)(x-1)=5．

在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；

讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．

例2 解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)

2-5=0．

在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；

再利用平方差公式因式分解后求解．

注意：在讲完例

1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．

例3 解下列方程：

(1)3x2-16x+5=0 ；(2)3(2x

2-1)=7x．

练习：P40 1、2题 归纳总结

对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是

1．将方程化为一般形式；

2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)

3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；

4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根． 布置作业：习题22.2 6、10题

达标测试

1.对方程(1)(2x-1)2=5,(2)x2-x-1=0,(3)x(x3)3x选择合适的解法是

A.分解因式法、公式法、分解因式法 B.直接开平方法、公式法、分解因式法 C.公式法、配方法、公式法 D.直接开平方法、配方法、公式法

2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根为

A.x52 B.x=3 C.x152,x23 D.x25

3.若x2-5∣x∣+4=0,则所有x值的和是 A．1 B.4 C.0 D.1或4 5.若方程x2+ax-2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是 A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2 5．已知3x2y2-xy-2=0，则x与y之积等于

6．关于x的一元二次方程(m+2)x+x-m-5m-6=0有一根为0，则m=。7．方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1,x2，且x1>x2,则x1-2x2的值是。8．方程x2=∣x∣的解是 9.用因式分解法解下列方程:(1).(2x-1)2+3(1-2x)=0(2).(1-3x)2=16(2x+3)2(3).x2+6x-7=0 10.选用适当的方法解下列方程:(1).(3-x)+x=9(2).(2x-1)+(1-2x)-6=0(3).(3x-1)2=4(1-x)2(4).2(x-1)2=(1-x)根据以上各方程的特点,选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.课后反思：

222

第五课时

一元二次方程的根的判别式。

教学目的

1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．

2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．

3.通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．

教学重点、难点

重点：一元二次方程根的判别式的内容及应用．

难点：1.一元二次方程根的判别式的推导．

2.利用根的判别式进行有关证明

教学过程

复习提问

1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？

2．用公式法求出下列方程的解：

(1)3x＋x－10＝0；(2)x－8x＋16＝0；(3)2x－6x＋5＝0．

引入新课

通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．

接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)

新课

先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：

对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为 2

22∵a≠0，∴4a＞0．

由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．

(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．

2(2)当b－4ac＝0时，方程右边是0． 2

通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的情况可由b－4ac来判定．故称b－4ac222是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根． 反过来也成立．

例1.不解方程，判别下列方程根的情况：

(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0．

分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可． 例2．当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0

(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．

例3.求证关于x的方程(k2

+1)x2

-2kx+(k2

+4)=0没有实数根.归纳总结

应用判别式解题应注意以下几点：

1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．

2．一元二次方程根的判别式的逆命题也是成立的． 布置作业：习题22.2 4题 达标测试

1.证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2

有两个不相等的实数根．

2.已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根． 3.若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根．

4.已知，关于x的方程（a-2）x2-2（a-1）x+（a+1）＝0，当a为何非负整数时； ①.方程只有一个实数根.②方程有两个相等的实数根.③方程没有实数根.课后反思

第六课时

一元二次方程的根与系数的关系

教学目的

1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．

2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点

重点：1.韦达定理的推导和灵活运用．

2.已知方程求关于根的代数式的值

难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式． 教学过程

复习提问

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？

2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？

新课

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么

我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．

得出：

如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴ 方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

这就是说，以两个数x21，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

例1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 例2.下列各方程两根之和与两根之积各是什么？

(1)x2－3x－18＝0；(2)x

2＋5x＋4＝5；

(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2

＋3x＝0．

练习P42 归纳总结

1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．

2．要掌握定理的两个应用：

⑴.不解方程直接求方程的两根之和与两根之积； ⑵.已知方程一根求另一根及系数中字母的值． 布置作业：习题22.2 7题 达标测试

1．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？

2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2

＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．课后反思

第七课时

二次三项式的因式分解(公式法)教学目的

1．使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系．

2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解因式． 教学重点、难点

重点：用求根法分解二次三项式．

难点：1.方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．

2.二元二次三项式的因式分解．

教学过程

复习提问

解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．

引入新课

在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的．是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发．

新课

二次三项式ax+bx+c(a≠0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法．

易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其两根x1＝1，x2＝2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式．即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：

如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根是 2

＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．

从而得出如下结论．

在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．

例如，方程2x2-6x+4＝0的两根是x1＝1，x2＝2．

则可将二次三项式分解因式，得2x-6x+4＝2(x-1)(x-2)．

例1 把4x-5分解因式． 归纳总结

用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：

1．令二次三项式ax2+bx+c＝0；

2．解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；

3．代入a(x-x1)(x-x2)．

二次三项式ax+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即

1．利用完全平方公式；

2．十字相乘法： 2

22即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；

acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．

3．求根法：

ax+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，(1)当b-4ac≥0时，可在实数范围内分解；

(2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解． 布置作业：

对下列式子进行因式分解

① 2x+6x+4.②.4x-4x+1 ③.-2x-4x+3.④.2x-8xy+5y 课后反思

222

22.3一元二次方程的应用

第一课时

教学目的

1．使学生会列出一元二次方程解应用题．

2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力． 教学重点、难点

重点：由应用问题的条件列方程的方法．

难点：设“元”的灵活性和解的讨论． 教学过程

复习提问

1．一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．)

2．回忆一元二次方程解的情况．(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．)

3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案．)

引入新课

问题1：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试问：应如何求出截去的小正方形的边长？

解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x2-70x+825＝0．

当时，我们不会解此方程．现在，可用求根公式解此方程了．

∴x1＝55，x2＝15．

当x＝55时，80-2x＝-30，60-2x＝-50；

当x＝15时，80-2x＝50，60-2X＝30．

由于长、宽不能取负值，故只能取x＝15，即小正方形的边长为15cm．

问题2：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．

解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．依题意，得

x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．

∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．

∴x＝10，x+5＝15．

答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状． 归纳总结

利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答． 布置作业：习题22.3 1、2、3、5题 课后反思

第二课时

教学目的

使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力． 教学重点、难点

重点：用图示法分析题意列方程．

难点：将实际问题转化为对方程的求解问题.教学过程

复习提问

本小节第一课我们介绍了什么问题？

引入新课

今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法．

新课

例1 如图1，有一块长25cm，宽15cm的长方形铁皮．如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm2的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？

分析：如图1，考虑设截去的小正方形边长为xcm，则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长×宽＝矩形面积，可列出方程．

解：设小正方形的边长为xcm，依题意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x2-20x+36＝0，解得x1＝2，x2＝18(舍去)．

答：截去的小正方形的边长为2cm．

例2 一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数，这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？

∴x＝10．

答：第一、二次倒出药液分别为10升，5升．

练习P41 3、4 归纳总结

1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．

2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式． 布置作业：习题22.3 8、9题 课后反思

第三课时

教学目的

使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．

教学重点、难点

重点：弄清有关增长率的数量关系．

难点：利用数量关系列方程的方法． 教学过程

复习提问

1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？

(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？

(3)某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？

新课

例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？

分析：用译式法讨论列式

一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．

二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；

三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2吨．再根据题意，即可列出方程．

解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得5000(1+x)＝7200，即(1+x)＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．

答：平均每月增长率为20％．

例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？

解：设每月增长率为x，依题意得

50+50(1+x)+50(1+x)＝182，2

221

答：

二、三月份平均月增长率为20％． 归纳总结

依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键． 布置作业：习题22.3 7题 课后反思

第五篇：2014中考数学一元二次方程

2014中考数学 一元二次方程

一、选择题

1．(2012·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()

A.x＝0B.x＝1

C.x＝0或x＝1D.x＝0或x＝－1

2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()

A．(x＋1)2＝6B．(x＋2)2＝9

C．(x－1)2＝6D．(x－2)2＝9

3．(2013·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A()

A．－1B．0C．1D．2

5．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()

A．0B．8C．4±2 2D．0或8

二、填空题

6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．

7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为 ____________.8．(2013·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．

229．(2011·黄石)解方程：|x－y－4|＋(3 5x－5y－10)2＝0的解是__________________．

210．(2013·兰州)关于x的方程a(x＋m)＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常

数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．

三、解答题

11．(2011·南京)解方程：x2－4x＋1＝0.12．(2012·聊城)解方程：x(x－2)＋x－2＝0.x－2y＝0，13．(2011·广东)解方程组：2 2x＋3y－3y＝4.

a14．(2013·苏州)已知|a－1|＋b＋2＝0，求方程＋bx＝1的解． x

15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．

错误！未找到引用源。

四、选做题

16．(2013·孝感)已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1、x2.(1)求k的取值范围；

(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．