线性代数 复习题B包含答案

第一篇：线性代数 复习题B包含答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a11a12a22a32a13a333a113a213a123a323a223a133a333a231．设行列式a21a31a234，则3a31 等于

(B)A．102 B．-108 C．36 D．-144

002．若三阶方阵A等价于矩阵020000，则A的秩是1（C）A．0 C．2

3．设A为n阶方阵，且A=E，则以下结论一定正确的是（D）A．A=E

C．A可逆，且A=A

4．A是n阶方阵，且A的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（D）．．

13B．1 D．3

B．A不可逆 D．A可逆，且A=A-1A．r(A)≤n-1

B．A有一个列向量可由其余列向量线性表示

C．|A|=0

D．A的n-1阶余子式全为零

5．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（D）A．α1＋α2

B．α1－α2 C．α1－2α

D．2α1－α6．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A是3阶方阵时，（C）

A．r(A)=0

B．r(A)=1 C．r(A)=2

D．r(A)=3

7．设3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则A的行列式|A|等于（D）A．3 C．9

B．4 D．15

02000相似，则A2=2

208．已知方阵A与对角阵B=0（C）A．-64E C．4E

B．-E D．64E 9．二次型f(x1, x2)=是（B）

x216x1x24x1B．31D．13

 45 422的矩阵1A．42 41C．0 64

aA10．已知矩阵

bk12aB矩阵k2k1bbc正定，k1和k2都是正常数，则

k1k2b(D)。2k2cA.不是对称矩阵

B.是正定矩阵 C.必是正交矩阵

D.是奇异矩阵

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。a1b111．行列式

a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3=___0_______.a2b1a3b112．排列12453的逆序数为_____-2________.5013．0103201111500= 012013.14．设=（1，2，4），=(-1,-2,y)且与线性相关，212则y=____-4 ______。15．二次型f(x1,x2)2x12x22x1x2经正交

y13y22222变换化成的标准形是__

三、计算题

__.ab16．（6分）计算行列式

babaabab的值.aba解：babbaba2ab1a2(ab)0b0baababba2(ab)[ab(ab)]2(ab)[a2b2ab]2(a3b3)01．（6分）设A=1331023且AB=A+2B，求B。

解：ABA2BA312301（A2E)BA2E211且det(A2E)2(A2E)的逆存在1求的(A2E)11B(A2E)1得B110得B22311642-311313A316603011312303

18．（8分）已知a1(2求一个与a1

10)a2(201)，a2都正交的单位向量a3。解：令a3(x1 x2 x3)根据题意（a1,a3)2x1x20（a2,a3)2x2x30求2x1x202x1x30得xk(1 2-2), kR令k1得Ca3(1 2-3)单位化得a313(1 2-2）

19．（10）求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并以此写出其结构式通解.x1x25x3x40x1x22x33x40 3x1x28x3x40

x13x29x37x40

解：系系矩阵11A311113A为52891r4r1r33r132r1r17100012245771414481151102130274000001722000000000000x1 x2为约束变量，x4为自由变量得x7132x3x4 x22x32x4令（xTTT3,x4)分别为(2 0）和（0 1）得1（3 7 2 0）T T2（1-2 0）xk11k22 , k1、k2R

20．（10分）已知向量组

a1(1351),a2(213a3(5117),a4(331

（1）判断向量组a1,a2,a3,a4是否线性相关?（2）求此向量组a1,a2,a3,a4的一个极大无关组.4),1)解：令向量组13即A5121A（a1 a2 a3 a4)5117270651401231rrr5451r13023r1r01100100010001002713612000010514261236162TTTT3410r3r2r400r(A)34a1 a2 a3 a4线性相关，且a1 a2 a4为一个极大线性无关组

2521．（10分）已知A=

1

1ab23的一个特征向量是2=(1，1，-1)T（1）确定a,b以及的特征值。（2）求r(A)。

11解：A2a11b11,且2b1 1b1a3 b02A51r(A)3

130232

22．(10

22分

2)设二次型fx1,x2,x32x13x23x32ax1x22bx2x3xQy经正交变换

222化为标准形fy12y25y3，求a，b的值.解：f的矩阵A和标准型矩阵2Aa0a3bD为501b D3QAQQ-T2根据题意为AQDA相似于D，切11，22，35为A的特征值将1带入det(EA)01deta0a2b022b42ab02将2带入det(EA)00deta0a1b02ba01a0 b2易证5时,det(EA)0

第二篇：07-08线性代数B试卷答案

河北科技大学2007——2008 学年第一学期

《 线性代数》试卷（B）答案及评分标准

学院

班级

一．填空题（每题3分，共18分）

1．1

2．217 3

3．2 4．1

5．1

6．1

二．单项选择题：（每题3分，共18分）

1．C

2．B 3．D

4．C 5．D 三． 计算题（每题10分，共30分）1．解一

按第一行展开，12400013026．C

原式30020434 …………………………………………5分 0

4…………………………………………………………………5分

1013002400002003解二

原式 …………………………………………………3分

12400………………………………………………………4分

3002

4…………………………3分 2．构造矩阵A123410232021123…………………………25分

求得R(A)2，即R(A)2…………………………3分 矩阵A中位于1,2行1,2列的二阶子式

103220…………………………3分

B卷试题答案及评分标准（共4页）第1页 故1,2是T的一个最大无关组．…………………………………………………2分 注：（用行初等变换求出最大无关组可相应给分）。

150007302 13．解一

因为A1 ………………………………………………4分

所以151XAB0007301020112021………………………………………………2分

221412 5013027………………………………………………………………4分

解二 5因为00100141252012~0100100012214125 …………………………6分

所以21XAB21

………………………………………………………4分

四． 证明题（10分）

证一

由于R1,22, …………………………………………………………4分 而向量组1,2,3可由向量组1,2线性表出，故R1,2,3R1,22，…………………………………………………4分 所以1,2,3线性相关． …………………………………………………………2分 证二

由已知条件设1a111a212,2a121a222,2a121a222,……2分

2k0设有常数k1,k2,k3，使得

k11k233．

（1）

代入整理得a11k1a12k2a13k31a21k1a22k2a23k320．………………2分

B卷试题答案及评分标准（共4页）第2页 a11k1a12k2a13k30作齐次线性方程组 

（2）……………………2分

akakak0222233211由于方程组（2）的未知量的个数大于方程个数，故必有非零解．…………2分 于是存在不全为0的数k1,k2,k3，使（1）成立．所以1,2,3线性相关．…2分 五.计算题（12分）

对增广矩阵作初等行变换，得行阶梯形矩阵

1~A11111101131~0121302~11011101~002200000101001201212分 20因为R(A)R(A)24，故方程组有无穷多解，且其对应的同解方程组为

1xxx3412 , ……………………………2分 1x22x421x1x30令，得2，故01x2x402121为原方程组的一个特解.…………2分 200x1x3x4在对应的齐次方程组



x2x24中，取x310x111,，得出,

……………………………………2分

x201x4011101则1,2 为对应齐次方程组的基础解系，………………………… 2分

1001从而原方程组的通解为xk11k220,k1,k2为任意实数。………………2分

B卷试题答案及评分标准（共4页）第3页 六． 计算题（12分）（1）EA1143…………………………………………24分

所以A的特征值为10,23, …………………………………………………2分

A的属于10及23的特征向量分别为

TTk14,1,k21,1,k1,k2为非零常数．

…………………………………………2分

（2）因A无重特征值，故A可对角化． ………………………………………2分

4令P110,1，………………………………………………………23分

则有P1AP．…………………………………………………………………2分

B卷试题答案及评分标准（共4页）第4页

第三篇：线性代数试题(B)

(101)北京理工大学远程教育学院2007-2008学年第一学期

《线性代数》期末试卷(A卷)

教学站 学号 姓名 成绩

一．填空题（每小题4分，共20分）

x1211．已知A，则XTAX_______； ,X13x22．设向量1(0,1,1),2(0,t,2)线性相关，则t _____；

3．设A是秩为1的3阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0 的基础解系含_____个解；

1114．已知矩阵001，则其秩为__________；

0015．已知2是矩阵A的一个特征值，则 |2EA| __________。

二．选择题（每小题4分，共20分）

1．设A与B是两个同阶可逆矩阵，则（）；

A．(AB)1A1B1

B．|A||B||B||A|

C．|AB||A||B| D．ABBA

2．设A是12矩阵，B是2阶方阵，C是21矩阵，则（）A．ABC是1阶方阵

B．ABC是21阶矩阵

C．ABC是2阶方阵

D．ABC是12阶矩阵

3．已知向量组1,2,3满足3k11k22，则（）A．k1,k2不全为零

B．1,2线性无关 C．30

D．1,2,3线性相关

4．设1,2是非齐次线性方程组AXb的两个解，则下述说法不正确的是（）； A．12是导出组AX0的1解

B．(12)是AX0的解

21C．12是AXb的解

D．(12)是AXb的解

5．设A是一个方阵，则（）；

A．由| A | = 0可得 A = 0

B．由| A | = 0可得 0是A的一个特征值

C．由| A | = 1可得 A = E

D．由| A | = 1可得 1是A的一个特征值

三．计算题（每小题10分，共50分）

131．计算行列式

3233333333

342．求解下列线性方程组

 x15x22x333x1 x24x32

 5x3x6x1123用导出组的基础解系表示通解。

0111203．解矩阵方程 X101 110021

1104．已知矩阵A110，求A的特征值和特征向量。

002

5．求非退化线性替换，把实二次型

f(x1,x2,x3)4x1x32x2x3

化为规范形。

四．其它（每小题5分，共10分）

1．设同阶方阵A与B满足ABE，证明：|A||B|1；

2．举例说明：由|A||B|1不能导出ABE。

第四篇：《线性代数B》教学大纲

《线性代数B》教学大纲

课程中文名称：线性代数B

课程性质: 必修 课程英文名称：Linear Algebra B

总学时：32学时

其中课堂教学32学时 先修课程：初等数学

面向对象：部分工科专业学生（包括部分文科专业）开课系(室)：数学科学系

一.课程性质、目的和要求

线性代数是理工科及财经管理类本科生必需掌握的一门基础课。通过本课程的学习使学生掌握行列式的计算、矩阵理论、向量组基本概念，会用矩阵理论求解线性方程组、及用线性方程组解的结构理论讨论矩阵的对角化，使学生掌握本课程的基本理论和方法，培养和提高逻辑思维和分析问题解决问题的能力，并为学习相关课程与进一步扩大知识面奠定必要的、必需的基础。

二、课程内容及学时分配 1.行列式(5学时)教学要求:了解行列式的定义、掌握行列式的基本性质。会应用行列式性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

重点：行列式性质

难点：行列式性质和行列式按行（列）展开定理的应用 2.矩阵（8学时）

教学要求:理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、对角矩阵与对称矩阵的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、方阵行列式、转置的定义及其运算规律。理解逆矩阵的概念及其性质，熟练掌握逆矩阵的求法。熟练掌握矩阵的初等变换及其应用。理解矩阵秩的概念并掌握其求法。了解满秩矩阵的定义及其性质。了解分块矩阵及其运算。

重点：矩阵的线性运算、矩阵的乘法、逆矩阵的求法、矩阵的初等变换 难点：矩阵的秩，矩阵的分块 3.向量组（6学时）

教学要求:理解n维向量的概念及其运算。理解向量组的线性相关、线性无关和线性表示等概念，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。了解向量组的极大线性无关组和秩的概念，并会求向量组的秩。了解向量的内积、长度与正交等概念，会用施米特正交化方法把向量组正交规范化。了解规范正交基、正交矩阵的概念，以及它们的性质。

重点：n维向量的概念、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组秩的概念 难点：线性无关的相关证明、向量组秩的概念、施米特正交化。4.线性方程组（7学时）教学要求:掌握克莱姆法则。理解非齐次（齐次）线性方程组有解（有非零解）的充分必要条件。理解非齐次（齐次）线性方程组解的结构与通解（基础解系与通解）等概念。熟练掌握用初等变换法解线性方程组。

重点：初等变换法解线性方程组、解结构理论 难点：解结构理论及应用 5.相似矩阵（6学时）

教学要求:理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值和特征向量；理解相似矩阵的概念、性质与矩阵可相似对角化的条件。了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。了解正交变换的概念及其性质。

重点：矩阵的特征值、特征向量，方阵的对角化。难点：方阵的对角化及相关应用。

三、说明

本大纲参照原国家教委颁发的高等学校线性代数课程教学要求编制，还参考2002年全国硕士研究生入学统一考试线性代数课程考试大纲。根据不同专业的特点和需要，内容和侧重点可有所不同。教学方法以讲课为主。课程考试以闭卷考试形式；考查课可选用其它方式。行列式、矩阵、特征值、特征向量都是非常重要的知识，在学时有限的情况下，对这些内容应该重点讲解，务使学生理解和掌握。

四、推荐教材及参考书 教材：

《线性代数》（第一版）苏德矿 裘哲勇主编 高等教育出版 参考书：

《线性代数简明教程》（第二版）陈维新编著 科学出版社 《线性代数》（第四版）同济大学数学教研室编 高等教育出版社 《线性代数》 清华大学编 高等教育出版社 《高等代数》 北京大学编 高等教育出版社

执笔：江仁宜

审稿：胡觉亮

审定：浙江理工大学理学院教学委员会

2008.10 2

第五篇：中国计量线性代数B(B)试卷及答案

一、选择题：（3×5=15分）

2xxx2111x1211x1311、行列式

中含有x4项的系数是（）

（A）（B）

（C）（D）-1

2、已知A、B、C均为n阶可逆矩阵，且ABC=E，则下列结论必然成立的是（）.(A)ACB=E

(B)

BAC=E

(C)BCA=E

(D)CBA=E

3、三元齐次线性方程组x1x20 x3 0 的一个基础解系为（）

（A）（1，1，0）T

（B）（1，2，0）T

（C）（-1，1，0）T

（D）

不存在

 ax1 +x40 x12x2-x404、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是a=（）

(a2)xx 4x0124 2xx3xax01234（A）-1/6

（B）-1（C）1/6

（D）1

5、设A、B均为n阶方阵，则必有（）

(A)ABAB(B)(AB)AB(C)AB AB(D)(AB)1TTTAB11

二、填空题（3×5=15分）

1、五级排列51324的逆序数为__________.a

2、已知矩阵A000b000, 则A 5=_____________.c

3、若矩阵A311213, 则A的标准形式为_________.4、如果向量组1(1,2,2)T, 2(4,t,3)T, 3(3,1,1)T线性无关, 则t______.5、设矩阵的行列式A3, 则A1__________.三、计算题（10×6=60分）

xaxaaaaxaaaax1、计算行列式Daaa

2、求向量组1(2,3,5)T, 2(1,1,2)T, 3(1,2,3)T,4(2,3,1)T的秩，并求该向量组的一个最大无关组.

23、求矩阵A11的特征值与特征向量.2

4、解矩阵方程

11已知AX=B，求X.其中A1100011 , B22510 3

5、用基础解系表示下列线性方程组的全部解

x12x2x32x40

 2x1x12341

6、设二次型 f2x1x22x1x34x2x

3求： 1）与f对应的矩阵

2）化f为标准型

四、证明题（5×2=10分）

1、设n阶矩阵A 满足 A22A4E0，证明 AE可逆, 并求其逆矩阵.2、已知向量组1,2,,s线性无关, 而向量组1,2,,s, 线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示。

一、1、B

2、C

3、C

4、D

5、C a

二、1、5

2、1

3、05c010

4、t35、1/3 0b

5三、1(x3a)111axaa3aaxaaaax71、原式

(x3a)(xa)102、1,2,3,410001012153…………………………………………7 5故秩为3，1,2,3为最大线性无关组。……………………………………10

3、由 AE0得

得11,2

3…………………………………………………………4

1矩阵A的与11对应的全部特征向量为c1(c10)

………………7

1矩阵A的与23对应的全部特征向量为c2(c20)

……………10

11

4、A1013301

21……………………………………7 1110

……………………………………10 1231XAB215、对增广矩阵B施以初等行变换得 1B003500103501

1…………………………3 0

133010……………………………………10 全部解为uc1c21550010

6、解：二次型的矩阵A1101…………………………………3 120 二次型f对应的标准形为f2y21212y24y23

四、1）由已知得AE(A3E)E

故AE可逆，且(AE)1A3E

2）由已知得存在不全为零的数k1,k2,,ks,k

使得

k11k22kssk0

显然k0（反证）

故

k1kk2ks1k2ks 证毕！

………………………………10

………………………………1

……………………………………5

…………………………1

……………………3

……………………5