线性代数判断题及其答案（优秀范文5篇）

第一篇：线性代数判断题及其答案

线性代数判断题

线性代数课程组

判断题（正确的请在括号里打“√”，错误请打“×”）

1、以数k乘行列式D，等于用数k乘行列式的某一行（或某一列）.（）

2、行列式a110的充要条件是a≠2且a≠0.（）

1a11231633、3阶行列式675的值等于行列式274的值.（）3483584、交换行列式的两列，行列式的值变号.（）

a1a2b2c2a3c3c1d1c2d2a1c1a1a2c1c2a2b23a2c2b1b2a3b33a3成立.（）

c3d1d25、行列式Db1c16、行列式Db3b13a1a1b1a2b2成立.（）

2461237、行列式D4862243成立.（）

81044528、n阶行列式中元素aij的余子式Mij与代数余子式Aij的关系是AijMij.（）

9、主对角线右上方的元素全为0的n阶行列式称为上三角形行列式.（）

1210、行列式D***5932274676558成立.（）9211、设D是行列式，k是不为零的实数，则kD等于用k去乘以行列式的某一行得到的行列式.（）

12、如果行列式D有两行元素对应相等，则D0.（）

13、设D是n阶行列式，Aij是D中元素aij的代数余子式.如果将D按照第n列展开，则Da1nA1na2nA2nannAnn.（）

14、行列式D12424***254454是范德蒙行列式.（）

15、克拉默法则可用于解任意的线性方程组.（）

16、齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解.（）

17、由n个方程构成的n元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解.（）

11118、行列式234中第三行第二列元素的代数余子式的值为-2.（）

4916a11a12a22a32a13a115a112a125a212a225a312a32a13a236.（）a3319、设行列式Da21a3120、设行列式

a233，则D1a21a33a31a1a2b1b21，a1a2c1c22，则

a1a2b1c1b2c23.（）

21、如果行列式D有两列元素对应成比例，则D0.（）

22、设D是n阶行列式，则D的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0，即a21A31a22A32a2nA3n0.（）

23、任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值.（）

24、任意一个矩阵都有主次对角线.（）

25、两个零矩阵必相等.（）

26、两个单位矩阵必相等.（）

a0010027、3阶数量矩阵0a0a010.（）

00a001

28、若矩阵A≠0，且满足AB=AC，则必有B=C.（）

29、若矩阵A满足AAT，则称A为对称矩阵.（）

n30、若矩阵A，B满足AB=BA，则对任意的正整数n，一定有（AB）=AnBn.（）

31、因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A与B，AB的行列式|AB|与BA的行列式|BA|也不相等.（）

32、设A为n阶方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n2.（）

33、设A,B都是三阶方阵，则ABAB.（）

34、同阶可逆矩阵A与B的乘积AB也可逆，且(AB)1A1B1.（）

35、若A，B都可逆，则A+B也可逆.（）

36、若AB不可逆，则A，B都不可逆.（）

37、若A满足A2+3A+E=0，则A可逆.（）

38、方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵.（）

39、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵.（）

40、设A，B，C，E均为n阶矩阵，若ABC=E，可得BCA=E.（）

41、如果A-6A=E，则A1= A-6E.()

2313*2

42、设A=，则A=5251.()

43、设A是n阶方阵，且A1，则(5AT)15n1.（）

44、分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的.（）

45、由单位矩阵E经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.（）

46、矩阵的等价就是指两个矩阵相等.（）

47、设A是3阶矩阵，交换矩阵A的1，2两行相当于在矩阵A的左侧乘以一个

0103阶的初等矩阵E12100.（）

001

48、对n阶矩阵A施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是相等的.（）

49、设A是4×5矩阵，r(A)=3，则A中的所有3阶子式都不为0.（）50、对矩阵A施以一次初等行变换得到矩阵B，则有r(A)r(B).（）

51、若6阶矩阵A中所有的4阶子式都为0，则0r(A)4.（）

52、满秩矩阵一定是可逆矩阵.（）

53、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.（）

54、等价的矩阵有相同的秩.（）

55、n阶矩阵就是n阶行列式.（）

56、用矩阵A左乘以矩阵B等于用矩阵A与矩阵B中对应位置的元素相乘.（）

57、设A为三阶方阵且A2，则3ATA108.（）

58、方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积.（）

59、方阵A可逆的充分必要条件是A与同阶的单位矩阵等价.（）60、方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵.（）61、若|A|≠0，则|A*|≠0.()

62、矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数.（）

63、设A，B都是n阶可逆矩阵，O为n阶零矩阵，C为2n阶分块对角矩阵即

OAO1，则C的逆矩阵为CCOBBA1.（）O64、向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出.（）

65、零向量可由任意向量组线性表出.（）

n(n4)线性相关.66、若1，2，3，4线性无关，则1，2，（）

67、两个n维向量线性相关的充要条件是两个n维向量的各个分量对应成比例.（）68、若k11k22knn0，则1，2，，n线性相关.（）

069、若对任意一组不全为

，kn，都有的数k1，k2，k11k22knn0，则1，2，，n线性无关.（）

70、若向量组A：1,2,,m线性相关，且可由向量组B：1,2,,s线性表出，则ms.（）

71、等价的向量组所含向量个数相同.（）72、任意一个向量组都存在极大无关组.（）

73、设向量组i1,i2,,im是向量组1,2,,n的一个子组。若i1,i2,,im线性无关，且向量组1,2,,n中存在一个向量可写成其子组i1,i2,,im的线性组合，则称子组i1,i2,,im是该向量组1,2,,n的一个极大无关子组.（）

74、向量组的极大无关子组可以不唯一.（）75、向量组的任意两个极大无关组等价.（）76、向量组中向量的个数称为向量组的秩.（）

77、向量组线性无关的充要条件是该向量组的秩等于向量组所含向量的个数.（）

，n的秩为r（rn），n中由r+1个78、设向量组1，2，则1，2，向量组成的部分组线性相关.（）

79、设A为n阶方阵，r(A)=r

80、方阵A可逆的充分必要条件是齐次线性方程组AX0只有零解.（）81、非齐次线性方程组AmnXb有解的充分必要条件是m=n.（）

r(A)r(A),其中82、非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是A(Ab).（）

83、n元非齐次线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是r(A)r(A)n，其中A(Ab).（）

84、n元非齐次线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是r(A)r(A)n，其中A(Ab).（）85、n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r(A)n.（）86、n元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是矩阵A的列向量组线性相关.（）

87、齐次线性方程组没有无解的情况.（）88、n元非齐次线性方程组AXb有解的充分必要条件是向量b能由矩阵A的列向量组线性表示.（）

，Xr要构成齐次线性方程组AX=0的基础解系，必须满足如下89、X1，X2，，Xr线性无关；②该方程组的任意一个解均可由两个条件：①X1，X2，X1，X2，，Xr线性表示.（）

90、基础解系中解向量的个数等于系数矩阵的秩.（）

91、n元齐次线性方程组AX=0中系数矩阵的秩r(A)=r，则基础解系中解向量的个数等于n-r.（）92、非齐次线性方程组的通解可由非齐次线性方程组的一个特解加对应齐次线性方程组的基础解系的线性组合.（）

93、设X1与X2是n元齐次线性方程组AX=0的两个解，则X1X2是AX=b的一个特解.（）

94、设X1与X2是n元非齐次线性方程组AX=b的两个特解，则X1X2是AX=0的一个特解.（）

，Xr是非齐次线性方程组AX=b的解向量，则95、若X1，X2，k1X1k2X2krXr也是AX=b的解.（）

96、含有零向量的向量组一定线性相关.（）

，n线性相关，则对任意不全为0的数k1，k2，，kn，都有97、若1，2，k11k22knn0.（）

98、若向量组A中的某一个向量可由向量组B线性表出，且向量组B中也有一个向量可由向量组A线性表出，则称向量组A与向量组B等价.（）99、设向量组i1,i2,,im是向量组1,2,,n的一个子组。若i1,i2,,im线性无关，且向量组1,2,,n中任意m+1个向量(只要存在)都线性相关，则称子组i1,i2,,im是该向量组1,2,,n的一个极大无关子组.（）100、等价的向量组秩相同.（）

101、矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩.（）

102、n元齐次线性方程组AX=0，当r(A)n时，该方程组只有零解.（）103、如果一个齐次线性方程组的方程个数少于未知量的个数，则该方程组有非零解.（）

104、基础解系中的解向量有可能不线性无关.（）105、只有方阵才能计算特征值和特征向量.（）

106、二重特征值一定会有两个线性无关的特征向量.（）107、n阶矩阵A和它的转置矩阵的特征值可能不同.（）108、方阵A的特征值的乘积等于A的行列式值.（）

109、n阶矩阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值都不等于0.（）

110、对任意的方阵而言，一个特征向量可以属于不同的特征值.（）111、3阶可逆矩阵A的一个特征值为2，则矩阵BE2AA2的一个特征值为9.（）

112、对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素.（）

113、已知3阶方阵A的特征值为2，-1，0，则A的主对角线上的元素之和为1.（）

114、若A与B相似，则r(A)=r(B)，但是A不一定等于B.（）115、若A，B为n阶矩阵，P是正交矩阵，如果P1APB，则A与B相似.（）

-100116、3阶方阵A与对角矩阵D030相似，则-1，3，2是A的三个特征

002值.（）

123123117、矩阵A143与B246不相似.（）

000000118、n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（）119、4阶方阵A的特征值分别是-1，4，7，2，则方阵A一定可以对角化.（）120、3阶方阵A的特征值分别是3（二重），7，则方阵A一定不可以对角化.（）

121、正交矩阵Q的n个列向量都是两两正交的单位向量.（）122、若T0，则与线性无关.（）123、正交矩阵一定是可逆矩阵.（）

124、设Q是n阶矩阵，若QQTE，则Q是正交矩阵.（）

125、三维向量1，2，3线性无关，经过正交化和单位化以后的向量1，2，3可以构成3阶的正交矩阵.（）

126、正交矩阵的行列式值一定等于1.（）127、实对称矩阵一定可以对角化.（）

128、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交向量.（）129、实对称矩阵的特征值都是实数.（）

130、特征值可能为0，特征向量一定是非零.（）131、方阵A的特征值之和等于A的行列式.（）

132、若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，但是A与B的特征值不一定相同.（）

133、如果4阶方阵A与4E相似，则A的特征值为1.（）134、4阶方阵A的特征值分别是-1，4，7，2，则方阵A的对角化矩阵可以表示-10为000400007000.（）02135、正交矩阵Q的n个列向量都是两两正交的单位向量，但是其n个行向量一定不是两两正交的单位向量.（）

136、若Q1，Q2，Q3是n阶正交矩阵，则它们的乘积Q1Q2Q3不一定是正交矩阵.（）

120137、方阵A223一定可对角化.（）

03423138、函数f(x1,x2,x3)x12x1x2x3x1x32x1x2是二次型.（）

139、设有二次型fXTAX，A称为二次型f的矩阵，其特点是ATA.（）

22140、二次型fx12x2是标准形.（）4x3141、任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.（）142、合同变换就是初等变换.（）

143、一个二次型的标准形一定是唯一的.（）

144、二次型f的惯性指数等于标准形中非零项的项数.（）

145、设有实二次型fXTAX，若对任意的X，都有fXTAX0，则称f为正定二次型.（）

146、n元实二次型fXTAX为正定二次型的充要条件是它的标准形中n个系数全为正数.（）

147、若实对称矩阵A的特征值非负，则实二次型fXTAX一定是正定的.（）

148、实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的各阶顺序主子式全大于等于0.（）

149、实二次型的平方项的系数全大于0，则该二次型必为正定的.（）150、正定矩阵A是可逆的，且|A|0.（）

122151、二次型f(x1,x2)x124x1x23x2所对应的矩阵为A23.（）

20022152、实对称矩阵A032所对应的实二次型为f2x123x23x32x2x3.023（）

153、设有二次型fXTAX，则二次型f的秩等于其对应的矩阵A的秩.（）154、二次型f的正惯性指数与负惯性指数之差等于标准形中非零项的项数.（）

22155、二次型f(x1,x2,,xn)x12x2是正定二次型.（）xn156、实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正.（）

a1a2b2c2a3a1a23a2b2c2a33a3b36.（）c3157、设b1c1b36，则3a1b1c3c1158、若行列式主对角线上的元素全为0，则该行列式的值必为0.（）

159、两个零矩阵必相等.（）

160、数k乘以矩阵A，是指用数k乘以矩阵A中的每一个元素.（）161、任意一个2维向量均可由2维基本单位向量组线性表出.（）162、若1，2，3，4线性相关，则1，2，3，4，5，6不一定线性相关.（）

163、若n元齐次线性方程组AnnX0的系数矩阵的秩r(A)n，则系数矩阵A的列向量线性无关.（）

164、对方阵A来说，属于不同特征值的特征向量可能线性相关.（）165、若两个同阶方阵有相同的特征值，那么这两个方阵相似.（）

22166、二次型f(x1,x2,x3)x124x1x22x1x32x2的秩等于2.（）6x3a1a2b2c2a3b31，那么c3ka1b1b1c1ka2b2b2c2ka3b3b3c3k.（）167、设b1c1168、行列式与它的转置行列式的值相等.（）

a00100169、3阶数量矩阵0a0a010.（）

00a001170、设E是与方阵A同阶的单位矩阵，则AEEAA.（）

171、任一非零向量有可能线性相关.（）

172、若n维向量组1,2,,m线性无关，则将每个向量i(i1,2,,m)添加s个分量，得到的n+s维向量1,2,,m也线性无关.（）

173、方阵A可逆的充分必要条件是非齐次线性方程组AXb有唯一的解.（）

174、对任意的方阵而言，属于一个特征值的特征向量仅有一个.（）175、方阵A的属于特征值的所有特征向量即为方程(EA)X0的全部解.（）

176、任何一个实二次型都可经过正交变换化为标准形.（）

177、将n阶行列式中元素aij所在的行和列的元素划去后，剩下的元素构成的n1阶行列式称为元素aij的代数余子式.（）

178、当矩阵A的行数等于矩阵B的列数的时候，可以进行A左乘B的运算.（）

179、若A可逆，则A的转置矩阵AT也可逆，并且(AT)1(A1)T.（）180、向量组1,2,,n线性相关的充要条件是向量组中的任意一个向量都可由剩余的n-1个向量线性表出.（）

181、设A为4阶方阵，且r(A)=2，则齐次线性方程组AX=0的基础解系包含的解向量的个数为2.（）

182、若矩阵A可逆，且矩阵B与矩阵A相似，则矩阵B也可逆，并且A的逆与B的逆也相似.（）183、3阶方阵A的特征值分别是3（二重），7，并且A的二重特征值3恰有两个线性无关的特征向量1，2，则方阵A一定可以对角化.（）

184、设A，B为n阶矩阵，若存在初等矩阵C，使得BCTAC，则称A与B合同.（）

11185、实对称矩阵A13是正定矩阵.（）



第二篇：线性代数习题答案

习题 三（A类）

1.设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5.设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关.证明：设

k11k2(12)k3(123)0，即

(k1k2k3)1(k2k3)2k330.由1,2,3线性无关，有

k1k2k30, k2k30,k0.3所以k1k2k30,即1,12,123线性无关.6.问a为何值时，向量组

1(1,2,3),2(3,1,2),3(2,3,a)

'''线性相关，并将3用1,2线性表示.1312237(5a),当a=5时，3a117解：A231172.7.作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关, 所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，110）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为110100100000.01

8.设1,2,,s的秩为r且其中每个向量都可经1,2,,r线性表出.证明：1,2,,r为1,2,,s的一个极大线性无关组.【证明】若

1,2,,r

(1)线性相关，且不妨设

1,2,,t(t

(2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是1,2,,s的一个极大无关组，这与1,2,,s的秩为r矛盾，故1,2,,r必线性无关且为1,2,,s的一个极大无关组.9.求向量组1=(1,1,1,k),2=(1,1,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把1,2,3按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.11A1k11k111200110110100k101k1k01110100k1001k011k10010 10当k=1时，1,2,3的秩为2,1,3为其一极大无关组.当k≠1时，1,2,3线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.10.确定向量3(2,a,b),使向量组1(1,1,0),2(1,1,1),3与向量组1=(0,1,1), 2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由1,2,3线性表出.【解】由于

0A(1,2,3)111B(1,2,3)1012111111001021a0b011021001;02,ba2

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又

0c(1,2,3,3)1112110121a0b0210010 ,2ba2a要使3可由1,2,3线性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即3=(2,2,0).11.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B，则 111 0 1 4 11 4 11 4 1950 1 2 1 30 9 55A90 1 B

1 5 40 9 590 0 00 0 00 0 03 6 70 18 100 0 05可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B对应的Α的第1，2列线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组.（2）同理， 6 1 1 70-11 55 71 2-9 0 4 0 4 10 8 40 10-11 55 7 1 2-9 01 2-9 00-8 40 11 3-6 10 5-15-10 5-15-1 2 4 22 30 8 40 10 0 0 01 2-9 070 1-5-11450 0 0-11240 0 10 110 0 0 01 2-9 01 0 0 00 1-5 00 1 0 00 0 10 00 0 1 0B0 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组.(3)同理，1 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 2-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1, A2 1 7 2 50 1 1 0 10 0 0-4-40 0 0 1 14 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组.12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式.31 0 11-1 5-11-1 5-11-1 5-1271 1-2 30 2-7 470 1-2 20 1-2B, A3-1 8 10 2-7 420 0 0 00 0 0 00 0 0 01 3-9 70 4-14 8 0 0 0 0可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组.x1x2537x1x22设α3=x1α1+x2α2,即解得,x1,x2

223x1x28x3x912x1x21x1x23设α4=x3α1+x4α2,即解得,x11,x22

3x1x21x3x712所以a332a172a2,a4a12a2.1 1 1 4-31 1 1 4-31 0 2 1-21-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1B(2)同理, A2 1 3 5-50-1 1-3 10 0 0 0 03 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0可知, α

1、α2可作为Α的一个极大线性无关组，令α3=x1α1+x2αx1x21可得：即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, xx312x1x24可得：即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, x1x22x1x23可得：即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αxx1122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.设向量组1,2,,m与1,2,,s秩相同且1,2,,m能经1,2,,s线性表出.证明1,2,,m与1,2,,s等价.【解】设向量组

1,2,,m

(1)与向量组

1,2,,s

(2)的极大线性无关组分别为

1,2,,r

(3)和

1,2,,r

(4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

riaj1ijj(i1,2,,r).因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出j(j1,2,,r),即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.14.设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,试证:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.证明：设αs1,…，Sr1为α1,α2,…，αs的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,t为β1，r2β2,…,βt的一个极大线性无关组.μ1，…，r为α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3个极大线性无关组，则α

s1，…，S和βt1，…，β

r1tr2

可分别由μ1，…，r线性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2线性表示及线性无关性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量组α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩为3,试确定a的值.解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式： 1 a a a1 a a a13a a a aa 1 a aa-1 1a 0 00 1-a 0 0 a a 1 aa-1 0 1-a 00 0 1-a 0a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.2575(1)75***4204311320；

(2)213448112012130251411.3112【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,3;

3412(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,4.3417.集合V1＝{(x1,x2,,xn)｜x1,x2,,xn∈R且x1x2xn＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设(x1,x2,,xn)V1,(y1,y2,,yn)V2,kR)则

(x1y1,x2y2,,xnyn)k(kx1,kx2,,kxn).因为

(x1y1)(x2y2)(xnyn)(x1x2xn)(y1y2yn)0, kx1kx2kxnk(x1x2xn)0,所以V1,kV1,故V1是向量空间.18.试证：由1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1),生成的向量空间恰为R3.【证明】把1,2,3排成矩阵A=(1,2,3),则

1A101010120, 1所以1,2,3线性无关，故1,2,3是R3的一个基，因而1,2,3生成的向量空间恰为R3.19.求由向量1(1,2,1,0),2(1,1,1,2),3(3,4,3,4),4(1,1,2,1),5(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵

A(1,2,3,4,5)1210111234341121415006401102320411114130024011003200111043 ,20∴1,2,4是一组基，其维数是3维的.20.设1(1,1,0,0),2(1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,1),证明: L(1,2)L(1,2).【解】因为矩阵

A(1,2,1,2)110010112133011001101100230001 ,00由此知向量组1,2与向量组1,2的秩都是2，并且向量组1,2可由向量组1,2线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而1,2也可由1,2线性表出.所以

L(1,2)L(1,2).21.在R3中求一个向量，使它在下面两个基

(1)1(1,0,1),(2)1(0,1,1),2(1,0,0)2(1,1,0)3(0,1,1)3(1,0,1)

下有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为(x1,x2,x3)，即

x1x1(1,2,3)x2(1,2,3)x2,x3x31011000x101x2111x31101x10x21x3

即

1102101x1x0, 120x3求该齐次线性方程组得通解

x1k,x22k,x33k

(k为任意实数)故

x11x22x33(k,2k,3k).22.验证1(1,1,0),2(2,1,3),3(3,1,2)为R3的一个基，并把1(5,0,7), 2(9,8,13)用这个基线性表示.【解】设

A(1,2,3),B(1,2)，又设

1x111x212x313,2x121x222x323, 即

x11(1,2)(1,2,3)x21x31x12x22, x32记作

B=AX.则

1(AB)1010***25079r2r18131002331003420105570019r2r317r2r3132313329作初等行变换134

因有AE,故1,2,3为R3的一个基，且

2(1,2)(1,2,3)3133, 2即

121323,2313223.（B类）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论.(2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组，所以α1能由α2, α3线性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意

n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.证明:因为α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，则k2α2+…+kn+1αn个向量都性线无关，则k2=…=kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.

第三篇：线性代数习题答案

综合练习一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er2,s5,t8或r5,s8,t2或r8,s2,t5.01Fi2,j1.01G12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序数为k2;当k为偶数时,排列为偶排列,当k为奇数时,排列为奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)(aa1222a13a1411a22a33a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x18.01Nf(x)g(x)s(x).01O1.f(x)g(x)s(x)02AB、D.02B3.02C6.02Dx0,1,2.02E(1)n1(n1)xn.02F(12131)n!.02G(1)n(n1)2nn1(n1)n.2.02H(1)n1(nax)xn1.02I(1)n[(1)nn].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa0,b0.4403G1,3.03Habii03If(x)2x23x1.i1i1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1aa2)(1a)3.04Bn1.04Cx1x2...xn1(1a1x1a2x2...anxn).04Dx1x2...xn[1a(1x1...1.1x2xn)]04E(x1)n..49.04F1(1)a1(1)2a2an1...(1)anan1...a2a1n04G(n1)当a,n1n1当a.05A0.05B1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H9,18.06An!(n1)!(n2)!...2!1!.06B(cos).4ij1icosj07A(1x)2(10x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E2.08Fa0且bb/4.08Gf(x)2x23x1.08H甲、乙、丙三种化肥各需3千克,5千克,15千克.综合练习二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a2n).01N(AB)(AB).01S(2)A249(A2E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(1)n1n1k2(n1)!.(2)(1)n1n!(k1,2,,n).01V两年后在岗职工668人,培训人员334人.01W即晴天概率为146256,阴天的概率为6248256,下雨天的概率为256.xnx426001X1y023/21/200xn.yn1nyzn101/40zn4236z224012102A4982242.02B2n102420121.02C2220242222.1nn(n1)2.4n14n0002D201n.02En1n142.400001002nn.2n1.0002n.50.10002FA20061.由于A5A.1100003A(1)(1)n11(2)1200n!A.0230.0034(3)A6E.(4)12(EB).(5)B(E2A)1.10103BB510E.03D1211.03C(2)A2A5(A2E).03EA11(A3E).(A4E)11106(AE).03FB1114(5A23AE).03G(EABA)1B(EAB)1B1.03HB1110(A23A4E).03I(EAB)1EA(EBA)1B.10001/21/20003NA1003O1122212.1/21/61/391/85/241/121/422100201003403P000123310005200003Q(A1A2A41A3)1A11A2(A4A3A11A2)1A111(A4A3(A1A2A4A3)4A3A11A2)1.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)1/3;(6)576;(7)3.04B10804F521220101.04GA0A(bTA1),05AD.05C2.05D当a1且b2,r(A)4;当a1且b2时,r(A)2;.51.当a1,b2或a1,b2时,r(A)3.05E当c1,并且a1或b0时,r(A)1;当c1,a1且b0时,r(A)3;当c1,但a1或b0时,r(A)3;当c1,a1且b0时,r(A)2.05F当ab0时,r(A)0;当ab0时,r(A)1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n.05G11n.05Hr[(A*)*]n,如果r(A)n,0,如果r(A)n.1111101005K111105L01041111.11110010.00022400110005M220005N12200022.00120233.003405OA.0211106A1321.06B202.03052231106C43206D22.319/213/2.21112300106E020.06F21001.121012103006G003300..52.综合训练三01AC.01BB.01CB.01Dt1.01Ea2b.01F(1)当t5时,1,2,3线性相关;(2)当t5时,1,2,3线性无关;(3)3122.01G(1)当a1时,1,2,3线性相关;(2)当b2且a1时,可由i唯一的表出:122;当b2且a1时,可由i线性表出:(2t1)1(t2)2t3,其中t是任意常数.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)当a2时,不能用1,2,3线性表出;(2)当a2且a1时,有唯一的表达式:a11(a1a2a2)212a23;当a1时,(1kl)1k2l3,k,l.02J(1)若0且3,可由1,2,3唯一线性表示;(2)若0,可由1,2,3线性表示,但不唯一;(3)若3,不能由1,2,3线性表示.02K(1)当b2时,不能由1,2,3线性表出;(2)当b2,a1时,可唯一表示为122;当b2,a1时,可表示为(2k1)1(k2)2k3()k为任意常数.02L(1)当a1,b0时,不能表示成1,2,3,4的线性组合;(2)当a1时,有唯一表示式:2ba1ab1b1a12a130.402M(1)当a4时,可由1,2,3唯一线性表出..53.(2)当a4时,不能由1,2,3线性表示.(3)当a4且3bc1时,可由1,2,3线性表出,但不唯一:t1(2tb1)2(2b1)3(t为任意常数).02N不等价.03AD.03B1.03Cn.03D(1)R(1,2,3,4)2;向量组的一个极大无关组为2,4;12(24),3234;(2)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,3,5;2135,4135;(3)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,2,3;4123,5120.3.03ER(1,2,3,4,5)3.03Fa15,b5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct1.x1y1104D4.04E矩阵xy221的秩小于3.xnyn111422204F(1)C3,(CR);(2)k170k012,(k1,k2R);201523/23/4(3)C13/2C217/40,(C1,C2R).0104G(1)无解;(2)(1/2,2,1/2,0)Tk(1/2,0,1/2,1)T,其中k为任意常数;(3)(514,3314,0,7)Tk(1,1,2,0)T.(k为任意常数);.54.(4)C131(7,177,1,0,0)TC(101911127,7,0,1,0)TC3(7,7,0,0,1)T(2,3,0,0,0)T,(C1,C2,C3R).04H(1)1,2,3是所给方程组的基础解系.(2)1,2,3不是所给方程组的基础解系.104I当1时,有解,解为1k12,其中k为任意常数.0104J(1)当1且45时,方程组有唯一解;1当1时,其通解为1k01,其中k0为任意实数;1当45时,原方程组无解;(2)当2且1时,方程组唯一解;当2时,方程组无解;当1时,方程组有无穷多组解.全部解为21k110k012001,其中k1,k2是任意常数.04K(1)当a0时,方程组无解;x12/a,当a0,b3时,方程组有唯一解:x21,x30;x12/a,当a0,b3时,方程组有无穷多解:x213t,(tR).2x3t.(2)当a0或a0时b4,方程组无解;方程组不可能有唯一解;当a0且b4时,方程组有无穷多解.通解是.55.(6,4,0,0,0)Tk1(2,1,1,0,0)Tk2(2,1,0,1,0)Tk3(6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意实数.(3)当a1,b36时,方程组无解;当a1,a6时,方程组有唯一解,x(b36)a1,x12(a4)(b36)162a1,xb36230,x4a1;当a1,b36时,方程组有无穷多解,通解为(6,12,0,0)Tk(2,5,0,1)T.k为任意常数;当a6时,方程组有无穷多解,通解是(1(1142b),1(122b),0,1(bT77736))k(2,1,1,0)T.04L(1)当ab,bc,ca时,方程组仅有零解x1x2x30.(2)当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k1(1,1,0)T(k1为任意常数).当acb时,方程组有无穷多组解,全部解为k2(1,0,1)T(k2为任意常数).当bca时,方程组有无穷多组解,全部解为k3(0,1,1)T(k3为任意常数).当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k4(1,1,0)Tk5(1,0,1)T(k4,k5为任意常数).2104M(1)方程组有无穷多组解,通解为41k(k为任意常数502).1(2)当m2,n4,t6时,方程组(I),(II)同解.04Na2,t4.04O非零公共解为t(1,1,1,1)T.(t为任意常数)04P原来至少要有3121个桃子,最后还剩下1020个桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G1.05H1..56.05I(1,2,3,4)Tk(1,1,1,1)T,其中k是任意实数.05J(3,2,0)Tk(1,1,1)T.(k为任意常数)05K通解为(9,1,2,11)Tk1(10,6,11,11)Tk2(8,4,11,11)T05L3m2n.05M2.1/2005N通解为1/21k,其中k为任意常数.011105O(1)1可由2,3,4线性表出.(2)4不能用1,2,3线性表出.x1k2t,06A(2)通解是x2k2,其中t是任意实数.x3t,06B通解是(a8,4,2,1)T12a24a3,a22a3,a3,0)Tk(,其中k是任意实数.06E方程组的唯一解为(ATA)1ATb.06L(II)的通解为c1(a11,a12,...,a1,2n)Tc2(a21,a22,...,a2,2n)T...cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn为任意常数.综合练习四1/21/61/(23)01A45.01B11/221/6;31/(23).0;02/601/(23)3/202A(1)10,22,33,1/2k10对应特征向量为11/2,1.57.1122对应特征向量为k2,013对应特征向量为k331.1(2)18,231,218对应特向量为k11,其中k1为任意非零常数.21231对应特征向量为k201k32,其中k2,k3是不全为10零的实数.(3)101232全部特征向量为k12k20,(k1,k2不全为零).0102BA的特征值是1,2,2a1,a221对应的特征向量依次是k13,k22,k31.(k1,k2,k3全不为0).01a102CA的特征值2(二重)及0,2对应特征向量为k1(0,1,0)Tk2(1,0,1)T.0对应特征向量为k3(1,0,1)T.02D(1)当b0时,A的特征值为12na,则任一非零向量均为其特征向量.(2)当b0时,A的特征值为12n1ab,na(n1)b当1n1ab对应特征向量为1111k1000k21kn100,01.58.1a(n1)b对应特征向量为k1nn,(kn0).102Ea2,b3,c2,01.2n21102F112n212n23n1.112n202GA与B特征值相同但不相似.02Ha7,b2,P15112202I1102.0.101302Ja1,b8,c10.02K(1)|EA|4a34a23a2a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k(2)2i(i1,2,,n);i(i1,2,,n);(3)kii(i1,2,,n);(4)i(i1,2,,n);(5)1(i1,2,,n);(6)|A|1,2,,n);i(ii(7)f(i),(i1,2,,n).03E|A|21.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全为零.0对应特征向量为k11k11...kn1n1(k1,k2,...,k3不全为零的任意常数).03L3,2,2.03M(1)P1AP全部特征值是1,12,,n.Pi是P1AP的属于i的特征向量..59.(2)(P1AP)T全部特征值是11,2,,n.PTi是(PAP)T的属于i的特征向量.03P1(n1重),3,1对应特征向量为k1(y2,y1,0,,0)Tk2(y3,0,y1,,0)Tkn1(yn,0,0,,y1)T,k1,k2,,kn1不全为0,3对应特征向量为kn(x1,x2,,xn)T,kn0.04AD.04B546333.76804C(1)a3,b0,1.(2)A不能相似于对角阵.404D当a1时,A1116114.442当a111410222时,A301055.22519132504E(1)3k(1,0,1)T(2)A162102.(k);为任意非零常数521301104F1/201/200004G.1011/201/2.11011104H111.04IAPP1P(2E)P12E.1115404J6333.76804OA的特征值是2与1(n1重)..60.X1(1,1,,1)T是A属于2的特征向量,X2(1,1,0,,0)T,X3(1,0,1,,0)T,,Xn(1,0,0,,1)TA属于1的特征向量.11112n2n2nA111112n2n2n.12n112n12n05A0.05BA能对角化.05CA能对角化.1105D(1)12(2);1;(3)311;21(4)1(5)A2.;不能对角化;(6)20405E令P212100,则11.011021005F(1)T12403212,T1AT010122002.111263(2)T111133263,TAT.01166311123605GP120036,P1AP1.1114236.61.221535305HQ1425353,QTAQ22.705235305Ia1,b3.A能对角化.05J01,a3,b0.A不能相似于对角阵.1105Kxy0.05L111111.05MA~1111.0905N105PA~B.0.00105Q(1)x0,y2;(2)P210.11106An!.06B6.06C(2n3)！.06Dk(k2)2.06FO.06EE.3n13n106G(1)(2)6n13123n123n1;93;(3)10013n123n13n.13n223n23n06Hx10051001.06Ix51003210013.n06Ja1n563,nliman5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是综合练习五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.00101F010.01Gy21y22y23.10001H(1)fz21z22,相应的线性变换为zPy(P1112P1)x.P1010,P1002013,001001x1(2)z2z22111/2z112z3.相应的线性变换x2x3112z2.001/2z3100(3)f12y2222y3相应的线性变换x1101/21/21y,x101Ix1212y1201Jc3,4y219y22.3122y2x3221y311126301Ka2,b3.xCy,C111263,2106301Lf(x)x2221,x2,x312x2x32x1x22x2x34x1x3.切平面方程为2x1x2x31.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)2;(2)1.1012241102I0,P01002NB1314111.114.022.63.综合练习六01A(1)V1是向量空间.(2)V2是向量空间.01B(1)W1不是子空间.(2)W2是子空间.dimW22.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一组基.(3)W3是子空间,dimW32.(1,1,0),(2,0,1)是W3的一组基.(4)W4不是子空间.(5)W5不是子空间.01CW1W2是V的子空间,W1W2不一定是V的子空间.T02B5114,14,4,4.02C坐标变换公式为x1111x1x1212x1x2102x2或x32001x2x010x3x3111x3在所给定的两组基下具有相同坐标的全部向量为k32,k3为任意实数.T02D(1)(3,4,4)T;(2)112,5,132.02E(5/21/21,2)(1,2,3)3/23/2.5/25/202F(1,2,2)T时,坐标乘积的极大值是18.002G(1)A110011000110.1011(2)所求非零向量010203k4k4(k为非零任意常数).02H(1)111011;(2)0011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;(3)A11.02I(1,1,,1).3.64.a11a1203Aa21a22a11a12a31a32a2203C(1)a12a32a21a11a31a23a13;a33a12a22a12a32a13a23a13.a3301103B020.210a11a21(2)ka31ka12a22ka32a13a23;ka33a11a21a11a12a21a22(3)a21a31a21a22a31a32aa31a3231a11a12a13a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33.65.

第四篇：线性代数试题及答案

线性代数习题和答案

第一部分

选择题

(共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12a13a22a23=m，=n，则行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n 1002.设矩阵A=020，则A-1等于（）

0031

3A.00012000

1

B.10001200013

1003

C.010

1002

12D.000010 3013123.设矩阵A=101，A*是A214的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.BC时A=0 D.|A|0时B=C 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A.A =0

C.A0时B=C

A.1 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全为

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

12128.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.设λ0是矩阵3是

A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属

0的线性无关的特征向量的个3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

A的特征方程的3重根，A的属于λ

B.k<3

D.k>3 数为k，则必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A.|A|2必为1

C.A-1=AT

B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）

A.23343426

B. 100

C.023035111D.120102

第二部分

非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.111356

.9253611111116.设A=，B=123.则

124A+2B=

.17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=

.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为

.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

.3 / 7

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=

.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为

.23.设矩阵0106A=133，已知α21082=12是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为

.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为

.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12025.设A=340121，B=1105231（2）|4A|..求（1）ABT；

24026.试计算行列式352112341313.42327.设矩阵A=110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.21301301.，α=28.给定向量组α1=，α，α23=4=22404193试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

12124229.设矩阵A=210333266.23340求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵022A=234432的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x12x223x34x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其导出组Ax=0的一个

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2线性无关。

337137

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1z22z3z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12022403425.解（1）AB=312110T

86=1810310（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=1203402.121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 352111051234131351105110511311300

/ 7

=5111111 55051162620301040.55550=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1223=1101211143153.164所以

B=(A-2E)-114342353110 A=116412338696.=2212928.解一 2130053213011301

0224011234190131121000100005111200088014140002101, 0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二

考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 2x1x23x30x3x112 2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解

对矩阵A施行初等行变换

121000A03209602628232

/ 7

212101210328303200000062000217000283=B.31000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.25/525/15经正交标准化，得η

1，η

25/5=5/15=4.05/3λ=-8的一个特征向量为

1/3ξ=13，经单位化得η2

3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为

T=.5/545/152/305/32/31对角矩阵

D=00010.00825/5215/151/3（也可取T=.）

05/32/35/545/152/331.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.y1x12x22x3x1y12设yy22x2x3，即x2y2y3xyy3x333因其系数矩阵C=12011可逆，故此线性变换满秩。0001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.证

由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0.所以η0，η1，η2线性无关。

/ 7，

第五篇：线性代数试题及答案

线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且A.-108 B.-12 则（D）

C.12 D.108 2.如果方程组A.-2 B.-1 C.1 D.2 有非零解,则 k=（B）

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（D）

A.AB=BA B.C.D.4.设A为四阶矩阵，且则（C）

A.2 B.4 C.8 D.12 5.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是(B)A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）

6.向量组α1，α2，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（C）

A.α1，α2，…，αs 全是非零向量 B.α1，α2，…，αs 全是零向量

C.α1，α2，…，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D.α1，α2，…，αs 中至少有一个零向量

7.设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（C）

A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（D）

A.B.秩（A）=秩（B）

C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B 9.与矩阵A=相似的是（A）

A.B.C.D.10.设有二次型则（C）

A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.若则k=_______1/2____.12.设A=,B=则AB=___________.13.设A=, 则A-1=

14.设A为3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _____1______.15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___6_________.16.方程组的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量组α1 =(1,0,0)α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩阵A=的全部特征向量是.19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=__-16_________.20.矩阵A=所对应的二次型是.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算四阶行列式的值.=

22.设A=,求A.A =

23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X

(E-BA)

X= =

X==

24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.α1 α2 α4 为极大无关组。

25.求非齐次方程组的通解

通解

26.设A=,求P使为对角矩阵.=

P= =

四、证明题（本大题共1小题,6分）

27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系.证明α1，α1+α2，α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系．（答案~~略）

线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，R，则有AAAB0。（）

2．A，B是同阶方阵，且3．如果4．若

111(AB)BA。（），则A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

（）A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。

（）5．n维向量组1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

001100100010000020100(B)010(C)001(D)（A）2．设向量组（A）（C）

100012001

1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

12,23,31（B）1,2,31 1,2,2132（D）2,3,223）

12(A2E)（AA5E03．设A为n阶方阵，且。则(A)AE(B)EA(C)11(AE)(AE)33(D)

4．设A为mn矩阵，则有（）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解； A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

B，但|A-B|=0（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；

（C）若（D）若5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）

（A）A与B相似（B）A（C）A=B（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012nn101．。

2．A为3阶矩阵，且满足A3,则A1=______，3A*。

1021112423421570是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。3．向量组，，14241233444R(A)，Axb的三个解，其中A的秩，则方程组Axb的通解为。=3，4． 已知1,2,3是四元方程组

231A1a15．设503，且秩(A)=2，则a=。

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A3421．已知A+B=AB，且221，求矩阵B。2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而AT，求An。

x1x2ax31x1x22x31xax3.已知方程组12x3a2有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

f(x,x22212,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。

2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。

2）A是否可相似对角化？为什么？；（7

3）