弹性力学论文

第一篇：弹性力学论文

弹性力学论文

钢2混凝土组合扁梁受力性能的有限

元分析

西安工业大学 建筑工程系 050705124 周博超

钢2混凝土组合扁梁受力性能的有限元分析

周博超

摘要: 钢2混凝土组合扁梁是将钢梁内嵌于混凝土之中的新型组合梁, 它能最大限度地降低结构的高度, 形成类似“无梁楼盖”的结构体系, 已在住宅钢结构中推广应用, 其承载性能和设计方法研究引起了结构工程界的关注.本文采用通用有限元程序AN SYS 研究了组合扁梁的承载力问题, 通过建模计算了简支组合扁梁、悬臂组合扁梁和框架组合扁梁的承载力和变形特征, 得到了相应的荷载2位移过程曲线, 并与组合扁梁的试验结果进行了比较, 验证了计算结果的正确性.关键词: 组合扁梁;极限承载力;有限元在多层钢结构建筑, 特别是住宅钢结构中, 钢2 混凝土组合扁梁楼盖已成为深受欢迎的楼盖体系,实现了“无梁楼盖”建筑效果.组合扁梁是一种新型结构体系, 受力性能比较特殊, 目前尚无成熟的分析和设计方法, 本文采用有限元方法对这种新型组合梁的受力性能和破坏过程进行了模拟, 并与试验结果进行了比较, 得到了对设计和应用组合扁梁具有重要参考意义的结论.1 组合扁梁结构

普通钢2混凝土组合梁充分利用了材料的特性, 混凝土楼板搁置在钢梁的上翼缘, 通过栓钉将钢梁和混凝土楼板连成整体而共同工作, 混凝土受压, 钢梁受拉, 如图1.为了进一步减小梁高, 组合扁梁将混凝土楼板放在了钢梁的下翼缘, 看上去类似“无梁楼盖”, 它充分考虑了楼盖对梁刚度的加强作用, 如图2.组合扁梁楼盖可由钢梁与预制混凝土空心楼板或深肋压型钢板楼板组成, 横向钢筋和钢丝网是为了保证在扁梁达到强度极限状态之前不发生混凝土板纵向剪切破坏, 剪力连接件保证混凝土板与钢梁共同工作[ 1 ].图1 普通组合梁

图2 组合扁梁

与其它组合梁相比, 组合扁梁楼盖的下表面平整, 一般不需要做吊顶, 便于房间的灵活布置及自由分隔, 同时降低了结构高度, 提高了结构的抗火能力.这种新型组合梁在工程上已开始应用, 需要对其分析和设计方法进行深入研究[ 223 ].2 有限元模型和计算参数 2.1 混凝土开裂的模拟

AN SYS 可以处理混凝土结构的配筋、开裂和压溃等复杂问题, 本文分析主要用到AN SYS 提供的线单元和块单元两种类型: L IN K8, SOL ID45和SOL ID65.L IN K8 单元模拟钢筋的受力情况;SOL ID45单元模拟钢梁的受力情况;SOL ID65单元用于模拟混凝土模型.建模时, 忽略钢梁与混凝土之间的滑移, 钢梁与混凝土之间连接采用共用节点以使其变形协调.试验结果也表明对于组合扁梁,钢与混凝土之间的滑移对其刚度和承载力影响很小, 可以忽略[ 4 ].混凝土的抗拉强度低, 在加载初期就要开裂,能否正确地模拟混凝土的开裂是计算结果是否准确的关键.本文采用单元的“死活”概念来模拟混凝土的开裂, 其基本思想是如果混凝土开裂, 假设其对结构的刚度和承载力的贡献可以忽略, 在建模计算时, 将这些单元“杀死”.由于事先不知道哪些单元应该“杀死”, 所以结构分析的有限元模型的单元是不确定的, 是动态的, 随其受力状态而改变.在计算分析中, 根据AN SYS 计算出来的应力和应变, 把满足开裂条件的单元“杀死”, 让其退出工作, 然后按新的模型重新计算, 如此反复迭代, 直到相邻两次迭代结果相差在可接受的范围内即可停止计算.2.2 网格的划分 本模型所有的实体单元均为8节点的长方块,便于分层, 这样模拟混凝土开裂的效果比较自由网格的三角形单元要好的多, 也更接近混凝土开裂的实际情况, 采用“M erge”或“Glue”等命令把模型各部分连成空间的一个整体, 保证单元之间的位移协调.2.3 边界条件的处理

边界条件一般有三种: 简支端、自由端和固支端.简支端约束边界上节点所有的平动自由度;固支端约束住边界上节点所有的平动自由度和转动自由度;对于自由端, 让边界截面上所有节点的变形满足平截面假定, 采用约束方程实现, 这样符合实际情况.2.4 分析中应注意的问题

对于某个节点, 与其连接的所有活单元被“杀死”后, 该节点变成一个漂移的节点, 具有浮动的自由度数值.在一些情况下, 需要约束住这些不被激活的自由度以减少求解方程的数目, 并防止出现位置错误.但是, 在重新激活与其相连的单元时要根据情况删除这些人为施加的约束.另外, 在查看结果时, 尽管其对刚度矩阵的贡献被忽略了, 但由于“杀死”的单元仍在模型中, 在单元显示和其它的后处理操作之前, 需用选择功能排除这些没有被激活的单元以方便查询处理.2.5 计算参数取值

本文采用上述有限元模型分析3个组合扁梁:简支梁BL 1, 框架梁BL 2和悬臂梁BL 3.三根梁的截面尺寸、配筋率、栓钉间距以及混凝土板做法完全相同, 其截面和加载方式见示意图3～ 5, 钢筋、钢材和混凝土的强度指标通过材料试验测得.图3 组合扁梁截面示意图

图4 BL 1梁加载示意图

钢材各向同性, 采用目前非线性分析中常用的Von M ises 等向强化准则, 本构关系为双直线模型, 实测弹性模量189 GPa, 塑性强化段切线模量750M Pa, 钢材屈服强度为397.75M Pa;钢筋取理想弹塑性模型, 初始弹性模量200 GPa, 混凝土的实测压溃强度分别为37.7, 47.2和41.3M Pa[ 3 ].图5 BL 2和BL 3梁加载示意图 2.6 有限元模型

本文对上述3根组合扁梁建立了AN SYS 模型, 进行了计算分析.组合扁梁沿高度方向共分17层, 钢梁上下翼缘各分2层, 长度方向每100 mm 分1段.截面的单元划分见图6.加载采用位移加载方式, 即在加载点施加足够大的位移, 直到构件完全破坏.计算过程中对所施加的外荷载和特征点挠度进行跟踪.图6 截面网格划分 有限元数值模拟结果及与试验结果的对 比分析

为了验证有限元分析结果的正确性, 本文参考3个组合扁梁的试验研究数据[ 4 ] , 与有限元分析结果进行了比较.3.1 扁梁BL1的分析结果

混凝土的抗拉强度很低, 简支组合扁梁全跨承受正弯矩, 在加载初期, 处于中和轴以下的混凝土要开裂, 退出工作, 在进行有限元分析时是将这些不参与工作的混凝土单元“杀死”, 经过反复迭代计算, 最后剩下只有参与工作的混凝土单元(图7).图7 扁梁BL 1开裂后剩余混凝土单元

1)简支组合扁梁跨中弯矩较大, 开裂的混凝土也较多, 跨中等弯矩段的开裂程度是一样的, 随着向支座处弯矩的降低, 开裂的混凝土逐渐减少,开裂后剩余的混凝土呈拱形, 沿__________着梁长度方向中和轴是一条曲线, 而不是一条直线.2)荷载2挠度曲线是最重要的数据, 常常是设计的依据, 扁梁BL 1的荷载2挠度曲线见图8, 为了便于比较, 同时给出了试验的荷载2挠度曲线[ 3 ].图8 扁梁BL 1荷载2挠度曲线比较

3)从图8可见, 整个加载过程, 有限元分析和试验曲线的结果吻合良好, 在弹性阶段, 有限元分析刚度和试验所测的刚度也比较接近.这说明对于简支组合扁梁, 在进行有限元分析时忽略一些次要因素, 如钢梁与混凝土板之间的滑移, 正弯矩区混凝土板中钢筋的作用等, 而只考虑主要因素的影响, 如开裂的混凝土退出工作, 分析结果足够精确.表1列出了有限元计算结果和试验结果的定量比较, 有限元分析的结果与试验结果的误差在6% 以内, 有限元分析方法是可靠的.表1 BL1有限元结果与试验结果的比较

3.2 扁梁BL2的分析结果

两端刚接梁在杆端负弯矩最大, 跨中正弯矩最大, 在整个梁跨度范围内弯矩发生变号.在加载初期, 靠近支座处中和轴以上和跨中处中和轴以上的混凝土都要开裂, 退出工作.AN SYS 模拟的结果与实验现象十分接近[ 4 ] , 多次迭代计算后剩下参与工作的混凝土, 见图9, 从中可清楚的看到反弯点的位置, 但与简支梁一样, 受单元数目的限制, 数值模拟结果在某些区段没有完全反映出弯矩变化的影响, 使得没有退出工作的混凝土单元在轴向没有呈连续的曲线.扁梁BL 2的荷载2挠度曲线比较见图 10.图9 扁梁BL 2没有退出工作的混凝土单元

图10 扁梁BL 2荷载2挠度曲线比较 3.3 扁梁BL3的分析结果

悬臂梁由于单元较少, 共迭代计算5次, 最终剩余的混凝土单元见图11, 荷载2挠度曲线见图12.图11 悬臂梁没有退出工作的混凝土单元 图12 扁梁BL 3荷载2挠度曲线比较 从扁梁BL 3的荷载2挠度曲线可以看出:

1)在加载初期, 试验实测刚度比有限元分析的结果要大, 这是由于混凝土在这时还没有开裂,而有限元计算是按照最终该开裂的混凝土都完全开裂之后计算的刚度, 故偏小.2)在后期, 有限元计算刚度要比试验刚度大,这是由于在试验中, 焊在柱子翼缘板上的钢筋能够与钢梁共同工作, 而焊在肋板上的钢筋由于肋板刚度较小, 并没有与钢梁完全共同工作, 试验时也观察到肋板发生了明显的扭曲, 直接影响组合扁梁的加载后期的刚度值, 但对于扁梁的极限承载力几乎没有影响, 因为这时候扁梁的变形足够大, 使肋板发生了明显的扭曲, 负弯矩区的钢筋仍然屈服了.3)在实际工程设计时, 要想依靠负弯矩钢筋来加强负弯矩区扁梁的刚度则须妥善处理好钢筋与柱子之间的连接问题, 否则是不安全的.另外, 图11也表明并非所有的混凝土都退出工作, 靠近钢梁下翼缘仍有一定量的混凝土参与工作.为了定量比较, 表2列出了有限元计算结果和试验结果, 有限元分析的结果与试验结果的误差在5% 以内.表2 BL3有限元结果与试验结果的比较 主要结论

本文应用有限元分析软件AN SYS, 以3根不同形式的组合扁梁为对象, 对正负弯矩区组合扁梁的受力性能进行了计算和模拟.分析结果表明:

1)有限元计算结果与试验结果吻合较好, 表明数值模型和方法是正确有效的, 为深入研究组合扁梁的受力性能奠定了基础.2)正弯矩区, 受拉区混凝土的开裂、构件的几何尺寸是影响组合扁梁受力的主要因素, 忽略钢梁与混凝土板之间的滑移及混凝土板中的钢筋作用,分析结果误差很小.3)负弯矩区, 混凝土板中钢筋对组合扁梁的弹性刚度和极限承载力有着明显的影响, 钢筋与柱子之间良好的连接是保证其共同作用的关键.而中和轴以下混凝土对组合扁梁受力也有相当的影响,实际工程设计时忽略它是偏于安全的.参考文献: [ 1 ] M ullett D L.Slim floor design and construction [M ].The Steel Construction Institute, 1997.[2 ] 陈 全, 石永久, 王元清, 等.带组合扁梁多层轻型钢框架结构体系分析[J ].建筑结构, 2002, 32(2): 17220.Chen Q , Sh i Y J , W ang Y Q , et al.Structura lanalysis on ligh t steel frame w ith steel2concrete composite slim beam [J ].Building Structures, 2002,32(2): 17220.[ 3 ] 陈 全.组合扁梁受力性能分析[D ].北京: 清华大学 土木工程系, 2002.[ 4 ] Chen Q , Sh i Y J , W ang Y Q , et al.Loading capacity of steel2concrete composite slim beam [ J ].P roc.Of 7th International Symposium on Structural Engineering for Young Experts, 2002, 1(2): 9252929.

第二篇：弹性力学学习心得

弹性力学学习心得

大学时期就学习过弹性力学这门学科，当时的课本是徐芝纶教授的《简明弹性力学》，书的内容很丰富，但是由于课时有限加上我们自身能力的限制，本科期间只学习了前四章内容，学的比较粗略，理解的也不是很多，研一的这学期又有了一次学习的机会，通过杨老师耐心细致的讲解，我觉得弹性力学是一门十分有用并且基础的学科，值得我们去研究学习。

弹性力学与材料力学、结构力学的研究对象和研究方法上存在着一些差异，但是他们之间的界限却又不是那么明显。以弹性力学的平面问题为例，由弹性力学中平面问题的三套基本方程（平衡方程、几何方程和物理方程）和两种边界条件（应力边界、位移边界和混合）联立，就得到了求解两类平面问题（平面应力和平面应变）的一些基本方程。但是要由这些基本方程求得解析解，又是一个复杂而困难的问题。此时，引入结构力学中的力法和位移法，可以使得某些比较复杂的本来是无法求解的问题，得到解答。其中，位移法是以位移分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，求出位移分量后，再求出形变分量和应力分量的方法。由于位移法能更方便地处理方程中的边界条件，因此，课本中多用位移法来进行求解。在这个章节的学习中，要先复习、回忆结构力学中关于力法、位移法的知识概念，再总结弹性力学按位移求解平面应力问题的步骤和方法。

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

通过对弹性力学的二次学习，加上杨老师详尽而又有条理的讲授，我相信将对之后塑性力学和有限元法甚至以后的学习都会有很大帮助。

第三篇：弹性力学题库

弹性力学题库

第一章

绪论

1、所谓“完全弹性体”是指（B）。

A、材料应力应变关系满足虎克定律

B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关

C、本构关系为非线性弹性关系

D、应力应变关系满足线性弹性关系

2、关于弹性力学的正确认识是（A）。

A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要

B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设

C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象

D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析

3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D）。

A、杆件

B、板壳

C、块体

D、质点

4、弹性力学研究物体在外力

作用下，处于弹性阶段的应力、应变

和

位移。

5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？

答：1）研究对象更为普遍；

2）研究方法更为严密；

3）计算结果更为精确；

4）应用范围更为广泛。

6、材料力学研究杆件，不能分析板壳；弹性力学研究板壳，不能分析杆件。（×）

改：弹性力学不仅研究板壳、块体问题，并对杆件进行精确的分析，以及检验材料力学公式的适用范围和精度。

7、弹性力学对杆件分析（C）。

A、无法分析

B、得出近似的结果

C、得出精确的结果

D、需采用一些关于变形的近似假定

8、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）

A、材料力学

B、结构力学

C、弹性力学

D、塑性力学

解答：该构件为变截面杆，并且具有空洞和键槽。

9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（B）。

A、任务

B、研究对象

C、研究方法

D、基本假设

10、重力、惯性力、电磁力都是体力。（√）

11、下列外力不属于体力的是（D）

A、重力

B、磁力

C、惯性力

D、静水压力

12、体力作用于物体内部的各个质点上，所以它属于内力。（×）

解答：外力。它是质量力。

13、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。（×）

解答：两者正应力的规定相同，剪应力的正负号规定不同。

14、图示单元体右侧面上的剪应力应该表示为（D）

A、B、C、D、15、按弹性力学规定，下图所示单元体上的剪应力（C）。

A、均为正

B、为正,为负

C、均为负

D、为正，为负

16、按材料力学规定，上图所示单元体上的剪应力（D）。

A、均为正

B、为正,为负

C、均为负

D、为正，为负

17、试分析A点的应力状态。

答：双向受压状态

18、上右图示单元体剪应变γ应该表示为（B）

A、B、C、D、19、将两块不同材料的金属板焊在一起，便成为一块（D）。

A、连续均匀的板

B、不连续也不均匀的板

C、不连续但均匀的板

D、连续但不均匀的板

20、下列材料中，（D）属于各向同性材料。

A、竹材

B、纤维增强复合材料

C、玻璃钢

D、沥青

21、下列那种材料可视为各向同性材料（C）。

A、木材

B、竹材

C、混凝土

D、夹层板

22、物体的均匀性假定,是指物体内

各点的弹性常数相同。

23、物体是各向同性的,是指物体内

某点沿各个不同方向的弹性常数相同。

24、格林（1838）应用能量守恒定律，指出各向异性体只有

个独立的弹性常数。

25、如图所示受轴向拉伸的变截面杆，若采用材料力学的方法计算其应力，所得结果是否总能满足杆段平衡和微元体平衡?

27、解答弹性力学问题，必须从

静力学、几何学

和

物理学

三方面来考虑。

28、对棱边平行于坐标轴的正平行六面体单元，外法线与坐标轴正方向

一致的面称为正面，与坐标轴

相反的面称为负面，负面上的应力以沿坐标轴

负

方向为正。

29、弹性力学基本方程包括

平衡微分

方程、几何

方程和

物理

方程，分别反映了物体

体力分量

和

应力分量，形变分量

和

位移分量，应力分量

和

形变分量

之间的关系。

30、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。但是

并不直接

作强度和刚度分析。

31、弹性力学可分为数学弹性力学和实用弹性力学两个部分。前者只用精确的数学推演而不引用任何关于应变状态或应力分布的假定

；在实用弹性力学里，和材料力学类同，也引用一些关于应变或应力分布的假设，以便简化繁复的数学推演，得出具有相当实用价值

近似解。

32、弹性力学的研究对象是

完全弹性体。

33、所谓“应力状态”是指（B）。

A.斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同

B.一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变

C.3个主应力作用平面相互垂直

D.不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的34、切应力互等定理根据条件（B）成立。

A.纯剪切

B.任意应力状态

C.三向应力状态

D.平面应力状态

35、在直角坐标系中，已知物体内某点的应力分量为：

；试：画出该点的应力单元体。

解：该点的应力单元体如下图（强调指出方向）；

36、试举例说明正的应力对应于正的应变。

解答：如梁受拉伸时，其形状发生改变，正的应力（拉应力）对应正的应变。

37、理想弹性体的四个假设条件是什么？

解答：完全弹性的假设、连续性的假设、均匀性的假设、各向同性的假设。凡是满足以上四个假设条件的称为理想弹性体。

38、和是否是同一个量？和是否是同一个量？

解答：不是，是。

39、第二章

平面问题的基本理论

1、如图所示的三种情况是否都属于平面问题？如果是平面问题，是平面应力问题还是平面应变问题？

答：平面应力问题、平面应变问题、非平面问题

2、当问题可当作平面应力问题来处理时，总有。（√）

解答：平面应力问题，总有

3、当物体可当作平面应变问题来处理时，总有。（√）

解答：平面应变问题，总有

4、图示圆截面柱体<<，问题属于平面应变问题。（×）

解答：平面应变问题所受外力应该沿柱体长度方向不变。

5、图示圆截面截头锥体<<，问题属于平面应变问题。（×）

解答：对于平面应变问题，物体应为等截面柱体。

6、严格地说，一般情况下，任何弹性力学问题都是空间问题，但是，当弹性体具有某些特殊的形状，且受有某种特殊的外力时，空间问题可简化为平面问题。

7、平面应力问题的几何形状特征是

等厚度薄板（物体在一个方向的几何尺寸远小于其他两个方向的几何尺寸）。

8、平面应变问题的几何形状特征是很长的等截面柱体。

9、下列各图所示结构应力分析问题属于什么问题？

答：平面应力、平面应变、平面应变

10、柱下独立基础的地基属于

问题，条形基础下的地基属于

问题。

答：半空间半平面、平面应变

11、高压管属于

平面应变

问题；雨蓬属于

板

问题。

12、平面应变问题的应力、应变和位移与那个（些）坐标无关（纵向为轴方向）（C）。

A、B、C、D、13、平面应力问题的外力特征是（A）。

A只作用在板边且平行于板中面

B垂直作用在板面

C平行中面作用在板边和板面上

D作用在板面且平行于板中面

14、在平面应力问题中（取中面作平面）则（C）。

A、，B、，C、，D、，15、在平面应变问题中（取纵向作轴）（D）。

A、，B、，C、，D、，16、下列问题可简化为平面应变问题的是（B）。

A、墙梁

B、高压管道

C、楼板

D、高速旋转的薄圆盘

17、下列关于平面问题所受外力特点的描述错误的是（D）。

A、体力分量与坐标无关

B、面力分量与坐标无关

C、，都是零

D、，都是非零常数

18、在平面应变问题中，如何计算？（C）

A、不需要计算

B、由直接求

C、由求

D、解答：平面应变问题的，所以

19、平面应变问题的微元体处于（C）。

A、单向应力状态

B、双向应力状态

C、三向应力状态，且是一主应力

D、纯剪切应力状态

解答：因为除了以外，所以单元体处于三向应力状态；另外作用面上的剪应力，所以是一主应力

20、对于两类平面问题，从物体内取出的单元体的受力情况

有（平面应变问题的单元体上有）

差别，所建立的平衡微分方程

无

差别。

21、平面问题的平衡微分方程表述的是（A）之间的关系。

A、应力与体力

B、应力与面力

C、应力与应变

D、应力与位移

22、设有平面应力状态，，其中均为常数，为容重。该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（D）。

A、，B、，C、，D、，解答：代入平衡微分方程直接求解得到

23、如图所示，悬臂梁上部受线性分布荷载，梁的厚度为1，不计体力。试利用材料力学知识写出，表达式；并利用平面问题的平衡微分方程导出，表达式。

分析：该问题属于平面应力问题；在材料力学中用到了纵向纤维互不挤压假定，即无存在，可以看出上边界存在直接荷载作用，则会有应力存在，所以材料所得结果是不精确的；在平衡微分方程二式中都含有，联系着第一、二式；材料力学和弹性力学中均认为正应力主要由弯矩引起。

解：横截面弯矩：，横截面正应力

代入平衡微分方程的第一式得：（注意未知量是的函数），由得出，可见

将代入平衡微分方程的第二式得：，24、某一平面问题的应力分量表达式：，，体力不计，试求，的值。

解答：两类平面问题的平衡微分方程是一样的，且所给应力分量是实体的应力，它对实体内任意一点均是成立的。将所给应力分量代入平衡微分方程中：

代入第一式：，即：，，代入第二式：，即：，，设物体内的应力场为，，试求系数。

解：由应力平衡方程的：

即：

（1）

（2）

有（1）可知：因为与为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，因此，（3）

（4）

联立（2）、（3）和（4）式得：

即：

25、画出两类平面问题的微元体受力情况图。

26、已知位移分量函数，为常数，由它们所求得形变分量不一定能满足相容方程。（×）

解答：由连续可导的位移分量按几何方程求得的形变分量也一定能满足相容方程。因为几何方程和相容方程是等价的。

27、形变状态是不可能存在的。（×）

解答：所给形变分量能满足相容方程，所以该形变分量是可能存在的。

28、在为常数的直线上，如，则沿该线必有。（√）

29、若取形变分量，（为常数），试判断形变的存在性？

解：利用得出，不满足相容方程，由几何方程第一式，积分得出，由第二式积分得，将，代入第三式，相互矛盾。

30、平面连续弹性体能否存在下列形变分量，？

解：代入相容方程有：，相互矛盾。

31、应力主面上切应力为零，但作用面上正应力一般不为零，而是。

32、试证明在发生最大与最小切应力的面上，正应力一般不为零，而是。

证明：

33、应力不变量说明（D）。

A.应力状态特征方程的根是不确定的B.一点的应力分量不变

C.主应力的方向不变

D.应力随着截面方位改变，但是应力状态不变

34、关于应力状态分析，（D）是正确的。

A.应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同

B.应力不变量表示主应力不变

C.主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的D.应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的35、应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（D）。

A.没有考虑面力边界条件

B.没有讨论多连域的变形

C.没有涉及材料本构关系

D.没有考虑材料的变形对于应力状态的影响

36、下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（C）。

A.由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移

B.几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移

C.几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量

D.几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系

37、下列关于“刚体转动”的描述，认识正确的是（A）。

A.刚性转动描述了微分单元体的方位变化，与变形位移一起构成弹性体的变形

B.刚性转动分量描述的是一点的刚体转动位移，因此与弹性体的变形无关

C.刚性转动位移也是位移的导数，因此它描述了一点的变形

D.刚性转动分量可以确定弹性体的刚体位移。

38、已知位移分量可以完全确定应变分量，反之，已知应变分量（满足相容方程）不能完全确定位移分量。

39、对两种平面问题，它们的几何方程是相同的，物理方程是不相同的。

40、已知图示平板中的应力分量为：。试确定OA边界上的方向面力和AC边界上的方向面力，并在图上画出，要求标注方向。

解：1、OA边界上的方向面力：，在处，=，正值表示方向和坐标轴正向一致，且成三次抛物线分布，最大值为。

2、AC边界上的方向面力：，在处，==，负值表示方向和坐标轴正向相反，成直线分布，最小值为0，最大值为。

41、微分体绕轴的平均转动分量是。

42、已知下列应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系。

解：为了变形连续，所给应变分量必须满足相容方程，将其代入到式相容方程中得出，上式应对任意的均成立，所以有：，由此可得到各系数之间应满足的关系是。系数可取任意值，同时也说明了常应变不论取何值，实体变形后都是连续的。

设，其中为常数，试问该应变场在什么情况下成立？

解：对求的2次偏导，即：，即：时上述应变场成立。

已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为：，试求该点的应变分量。

解：，43、当应变为常量时，即，试求对应的位移分量。

某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为，，（应力单位为），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？

注利用密席斯屈服准则直接求材料的屈服应力：

解：由由密席斯屈服准则得该材料的屈服应力为：

44、试由下述应变状态确定各系数与物体体力之间的关系。，分析：该问题为平面应变问题，因为平面应变问题总有；所给应变存在的可能性，即应变分量必须满足相容方程，才是物体可能存在的；因为要求求出体力，体力只是和平衡微分方程有关，需要先求出应力分量，而应力分量可通过应力与应变关系即物理方程求出，由应变求出应力，注意两类问题的物理方程不一样，需要应用平面应变问题的物理方程。

解：（1）检验该应变状态是否满足相容方程，因为：，即，满足。

（2）将应变分量代入到平面应变问题的物理方程式（2-23）中求出应力分量：

（3）将上述应力分量代入到平衡微分方程式（2-2）中，可得到各系数与物体体力之间的关系：

（4）讨论：若无体力（），则由上式可得，根据它对物体内的任意一点均成立，又可得

结论：若体力不为零，各系数与物体体力之间的关系即是（3）的结果；若体力为零，则是（4）的结果；是任意值。

已知弹性实体中某点在和方向的正应力分量为，而沿方向的应变完全被限制住。试求该点的、和。（，）

解：代入物理方程中：

代入：，，得出：，45、如果在平面应力问题的物理方程式中，将弹性模量换为，泊松比换为，就得到平面应变问题的物理方程式。

46、列出应力边界条件时，运用圣维南原理是为了

简化

应力的边界条件。

47、设有周边为任意形状的薄板，其表面自由并与坐标面平行。若已知各点的位移分量为，则板内的应力分量为。

48、已知某物体处在平面应力状态下，其表面上某点作用着面力为该点附近的物体内部有则：，0。

49、有一平面应力状态，其应力分量为：及一主应力，则另一主应力等于

4.92Mpa。

50、设某一平面应变问题的弹性体发生了如下的位移：，式中（）均为常数。试证明：各形变分量在实体内为常量。

证明：利用几何方程，对于平面应变问题有（常数），（常数），（常数），（常数）

50、在发生最大与最小切应力的面上，正应力一般不为零，而是。

51、微分体绕轴的平均转动分量是。

52、下左图示结构腹板和翼缘厚度远远小于截面的高度和宽度，产生的效应具有局部性的力和力矩是（P2=M/h）（D）。

A、P1一对力

B、P2一对力

C、P3一对力

D、P4一对力构成的力系和P2一对力与M组成的力系

53、下左图中所示密度为的矩形截面柱，应力分量为：对图（）和图（）两种情况由边界条件确定的常数A及B的关系是（C）。

A、A相同，B也相同

B、A不相同，B也不相同

C、A相同，B不相同

D、A不相同，B相同

下图中所示密度为的矩形截面柱，应力分量为：对图（）和图（）两种情况由边界条件确定的常数A及B的关系是（B）。

A、A相同，B也相同

B、A不相同，B也不相同

C、A相同，B不相同

D、A不相同，B相同

54、设有平面应力状态，其中，均为常数，为容重。该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（D）

A、B、C、D、55、某弹性体应力分量为：（不计体力），系数。

56、已知一平面应变问题内某一点的正应力分量为：，则

18MPa。

57、将平面应力问题下的物理方程中的分别换成和就可得到平面应变问题下相应的物理方程。

58、平面应变问题的微元体处于（C）。

A、单向应力状态

B、双向应力状态

C、三向应力状态，且是一主应力

D、纯剪切应力状态

59、如图所示为矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件（下边界不写）。

解：应力边界条件公式为：。

1）左右边界为主要边界，利用面力边值条件：

左面（）：，则：

右面（）：，则：

2）上端面（）为小边界应用静力等效：，60、应变状态是不可能存在的。（×）

改：所给应变分量满足相容方程，所以该应变状态是可能存在的。

61、图示工字形截面梁，在平衡力偶系的作用下，只在右端局部区域产生应力。（×）

改：对于一些薄壁杆件和薄壳等物体在应用圣维南原理时，必须满足下述必要条件，即力系作用区域的尺寸与该区域物体的最小尺寸相当。在本例中，力系作用区域的尺寸（是工字形截面高和宽）远远大于该区域物体的最小尺寸（腹板和翼缘的厚度）。

62、弹性力学平面问题有

个基本方程，分别是

2个平衡微分方程、3个几何方程、3个物理方程。

63、对于体力为常数的单连域的应力边界问题，求解

应力

不需要区分两类平面问题；求解

位移

需要区分两类平面问题。

64、平面问题如图所示，已知位移分量为：。若已知变形前点坐标为（1.5，1.0），变形后移至（1.503，1.001），试确定点的应变分量。

答：；

点的应变分量：。（3分）

65、试写出如图所示的位移边界条件。

（1）图（）为梁的固定端处截面变形前后情况，竖向线不转动；

（2）图（）为梁的固定端处截面变形前后情况，水平线不转动；

（3）图（）为薄板放在绝对光滑的刚性基础上。

答：（1）图（），；

（2）图（），；

（3）图（）边界位移边界条件为：，66、判断下述平面问题的命题是否正确？

（1）若实体内一点的位移均为零，则该点必有应变；

（2）在为常数的直线上，如，则沿该线必有；

（3）在为常数的直线上，如，则沿该线必有；

（4）满足平衡微分方程又满足应力边界条件的应力必为准确的应力分布（设问题的边界条件全部为应力边界条件）。

答：（1）错；（2）错；（3）对；（4）错

第三章

平面问题直角坐标系下的解答

1、物体变形连续的充分和必要条件是几何方程（或应变相容方程）。（×）

改：（一）：物体（当是单连体时）；

改：（二）：对于多连体，还有位移单值条件。

2、对于应力边界问题，满足平衡微分方程和应力边界的应力，必为正确的应力分布。（×）

改：应力还要满足相容方程，对于多连体，还要看它是否满足位移单值条件。

3、在体力是常数的情况下，应力解答将与弹性常数无关。（×）

改：如果弹性体是多连体或有位移边界，需要通过虎克定理由应力求出应变，再对几何方程积分求出位移，将其代入位移边界和位移单值条件，并由此确定待定常数时，将与弹性常数有关。

4、对于多连体变形连续的充分和必要条件是相容方程和位移单值条件。

5、对于多连体，弹性力学基本方程的定解条件除了边界条件外，还有位移单值条件。

6、对于平面应力问题，如果应力分量满足了平衡微分方程，相容方程及应力边界条件，则在单连体情况下，应力分量即可完全确定。

7、对于体力为常数的单连域的应力边界问题，求解应力不需要区分两类平面问题；求解位移需要区分两类平面问题。

7、在体力不是常量的情况下，引入了应力函数，平衡微分方程可以自动满足。（×）

改：在常体力情况下，————

8、在常体力下，引入了应力函数，平衡微分方程可以自动满足。（√）

9、在不计体力或体力为常数

情况下，平面问题最后归结为在满足边界条件的前提下求解四阶偏微分方程。

10、在常体力情况下，用应力函数表示的相容方程等价于（D）。

A、平衡微分方程

B、几何方程

C、物理关系

D、平衡微分方程、几何方程和物理关系

解答：用应力函数表示的相容方程是弹性力学平面问题基本方程的综合表达式。它包含了几何方程和物理方程，在常体力情况下，应力函数又恒能满足平衡微分方程。

11、用应力分量表示的相容方程等价于（B）。

A、平衡微分方程

B、几何方程和物理方程

C、用应变分量表示的相容方程

D、平衡微分方程、几何方程和物理方程

12、用应变分量表示的相容方程等价于（B）。

A、平衡微分方程

B、几何方程

C、物理方程

D、几何方程和物理方程

10、图示物体不为单连域的是（C）。

11、对下图所示偏心受拉薄板来说，弹性力学和材料力学得到的应力解答是相同的。（√）

12、某一应力函数所能解决的问题与坐标系的选择无关。（）

改：三次及三次以上的应力函数所能解答的问题与坐标系的选取有关。

12、三次或三次以下的多项式总能满足相容方程。（√）

答：相容方程中的每一项都是四阶导数。

13、函数如作为应力函数，各系数之间的关系是（B）。

A、各系数可取任意值

B、C、D、14、对于承受均布荷载的简支梁来说，弹性力学解答与材料力学解答的关系是（C）。

A、的表达式相同

B、的表达式相同

C、的表达式相同

D、都满足平截面假定

解答：的表达式中多出一项修正项，沿截面高度不再按线性规律分布，这说明平截面假定也不再成立。

15、图示承受均布荷载作用的简支梁，材料力学解答（D）：。

A、满足平衡微分方程

B、满足应力边界条件

C、满足相容方程                                   D、不是弹性力学精确解

解答：该简支梁的材料力学解答不满足弹性力学的基本方程和边界条件，所以不能作为弹性力学解答。

15、应力函数，不论取何值总能满足相容方程。（√）

16、应力函数，不论取何值总能满足相容方程。（）

改：系数应满足一定的关系才能满足相容方程。

17、对于纯弯曲的细长的梁，由材料力学得到的挠曲线是它的精确解。（√）

解：对于纯弯曲的细长的梁，材力和弹力得到的挠曲线方程是一样的。

18、弹性力学分析结果表明，材料力学中的平截面假定，对纯弯曲的梁来说是正确的。

19、应力函数必须是（C）。

A、多项式函数

B、三角函数

C、重调和函数

D、二元函数

20、弹性力学分析结果表明，材料力学中的平截面假定，对承受均布荷载的简支梁来说是不正确的。

21、函数能作为应力函数，与的关系是（A）。

A、与可取任意值

B、=

C、=-

D、=

22、不论是什么形式的函数，由关系式所确定的应力分量在不计体力的情况下总能满足（A）。

A、平衡微分方程

B、几何方程

C、物理关系

D、相容方程

解答：关系式就是平衡微分方程的齐次解

23、对承受端荷载的悬臂梁来说，弹性力学和材料力学得到的应力解答是相同的。（√）

解答：端部切向面力必须按抛物线规律分布于端部，否则得到的是圣维南近似解。24、20、如果体力虽不是常数，却是有势的力，即体力可表示为：

10、试验证应力分量，是否为图示平面问题的解答（假定不考虑体力）。

解答：1）将应力分量代入平衡微分方程，得0+0=0，得，故不满足平衡微分方程

2）将应力分量代入相容方程：，或写成，故：满足相容方程

3）将应力分量代入边界条件：

主要边界如下：

在边界上：，即0=0，满足；

在边界上：，即0=0，满足；

在边界上：，将题所给表达式代入满足；

在边界上：，将题所给表达式代入满足；

（在及次要边界上，采用圣维南原理等效，不要求学生写出）

4）结论：所给应力分量不是图所示平面问题的解答。

11、图所示楔形体，处形抛物线，下端无限伸长，厚度为1，材料的密度为。试证明：，为其自重应力的正确解答。

证明：该问题为平面应力问题，体力为常量，正确的应力解答要同时满足相容方程、平衡微分方程和应力边界条件。

1）考察是否满足相容方程：将应力分量代入到相容方程中，代入满足；

2）考察是否满足平衡微分方程：

代入第一式：，即0+0+0=0，满足；

代入第二式：，即，满足；

3）考察边界条件：,，，代入第一式：，即

（）；

代入第二式：，即

（）；

曲线的斜率为，而，则，将其连同应力分量代入到（）中，满足；同理代入到（）中，也满足，因此满足边界条件。

故是正确解答。

17、方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且

>>。试选取适当的应力函数解此问题，求出相应的应力分量。

解答：1、确定应力函数

分析截面内力：，故选取

积分得：，代入相容方程，有：，要使对任意的x、y

成立，有，积分，得：。

2、计算应力分量，3、由边界条件确定常数

左右边界（）：；；

上边界（）：

4、应力解答为：

18、已知如图所示悬挂板，在O点固定，若板的厚度为1，材料的相对密度为，试求该板在重力作用下的应力分量。

解答：1、确定应力函数

分析截面内力：，故选取

积分得：，代入相容方程，有：，要使对任意的x、y

成立，有，积分，得：。

2、计算应力分量（含待定常数，体力不为0），3、由边界条件确定常数

左右边界（）：，自然满足；；，下边界（）：

4、应力解答为：，20、试检验函数是否可作为应力函数。若能，试求应力分量（不计体力），并在图所示薄板上画出面力分布。

解答：检验函数：因为代入相容方程，满足相容方程，因此该函数可作为应力函数。

应力分量：由应力函数所表示的应力分量表达式求得应力分量为：

板边面力：根据应力边界条件公式，求出对应的边界面力。

上边界：得出

下边界：得出

左边界：得出

右边界：得出

面力分布如图所示：

如图所示，设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均布压力，试证明：，就是该问题的正确解答。

1、对于轴对称问题，其单元体的环向平衡条件恒能满足（√）。

解答：在轴对称问题时，不存在剪力，正应力与无关。

2、轴对称圆板（单连域），若将坐标原点取在圆心，则应力公式中的系数不一定为零。（×）。

解答：如存在，当=0时，则必产生无限大有应力，这当然是不合理的。

3、厚壁圆环（多连体），位移计算公式中的系数一定为零。（√）

解答：如存在B，便使同一点产生多值位移，这当然是不合理的。

4、在轴对称问题中，应力分量和位移分量一般都与极角无关。（×）

解答：在轴对称问题中，应力与无关。但一般情况下，位移分量与有关。

5、位移轴对称时，其对应的应力分量一定也是轴对称的；反之，应力轴对称时，其对应的位移分量一定也是轴对称的。（×）

解答：应力轴对称时，应力分量与无关，位移分量通常与有关。当物体的约束也为轴对称时，位移分量也与无关，此时为位移轴对称情况。

6、曲梁纯弯曲时应力是轴对称的，位移并非轴对称。（√）

解答：各截面受有相同的弯矩，因此，各截面应力分布相同，与无关，但各截面的转角与有关。

7、轴对称问题的平衡微分方程有

个。

8、位移表达式中的常数I,K,H

不影响

应力；I,K

表示物体的刚体平移；H

表示物体的刚体转动

；它们由物体的位移约束条件

确定。

9、只有当物体的形状、约束、荷载轴对称

时，位移分量才是轴对称的。

10、平面曲梁纯弯曲时

产生

横向的挤压应力，平面直梁纯弯曲时则

不产生

横向的挤压应力。

11、圆环仅受均布外压力作用时，环向最大压应力出现在内周边处。

12、圆环仅受均布内压力作用时，环向最大拉应力出现在内周边处。

13、对于承受内压很高的筒体，采用组合圆筒，可以降低

环向应力的峰值。

14、圆弧曲梁纯弯时，（C）

A、应力分量和位移分量都是轴对称

B、位移分量是轴对称，应力分量不是轴对称

C、应力分量是轴对称，位移分量不是轴对称

D、应力分量和位移分量都不是轴对称

15、圆弧曲梁纯弯时，（C）

A、横截面上有正应力和剪应力

B、横截面上只有正应力且纵向纤维互不挤压

C、横截面上只有正应力且纵向纤维互相挤压

D、横截面上有正应力和剪应力，且纵向纤维互相挤压

16、如果必须在弹性体上挖孔，那么孔的形状应尽可能采用（C）。

A、正方形

B、菱形

C、圆形

D、椭圆形

17、孔边应力集中是由于受力面减小了一些，而应力有所增大。（×）

改：孔边应力集中是由于孔附近的应力状态和位移状态完全改观所引起的。

18、设受力弹性体具有小孔，则孔边应力将远大于

无孔时的应力，也将远大于

距孔较远

处的应力。

19、孔边应力集中的程度与孔的形状

有关，与孔的大小

几乎无关。

20、孔边应力集中的程度越高，集中现象的范围越

小（局部）。

21、如图所示板的小圆孔处，若用厚度和大小相同的板紧密焊上，使孔边位移一致。当所补材料与开孔板相同时，在开孔板的孔边b处有=

；当所补材料的弹性模量小于开孔板的弹性模量时，在开孔板的孔边b处有应该

介于实心与开孔之间

；当所补材料的弹性模量稍大于开孔板的弹性模量时，在开孔板的孔边b处有。

22、上图示开孔薄板中的最大应力应该是（B）。

A、点的B、点的C、点的D、点的23、上图示开孔薄板的厚度为t，宽度为h，孔的半径为r，则b点的（D）。

A、q

B、qh/(h-2r)

C、2q

D、3q

第四篇：弹性力学基础知识归纳

一．填空题

1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题

1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。

作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。

（2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？

(1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。(2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。

(3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？ 应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。

4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？ 由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。

5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如

6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。

（1）完全弹性假定。（2）均匀性假定。（3）连续性假定。（4）各向同性假定。（5）小变形假定。

满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。

7.什么是差分法？写出基本差分公式？

差分法是把基本方程和边界条件近似地看改用差分方程（代数方程）来表示。把求解微分方程的问题变为求解代数方程问题。fxf1f302h2ff1f32f0x20h2fyf2f402h

2ffy22f42f0h2

第五篇：弹性力学总结

弹性力学关于应力变分法问题

一、起源及发展

1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（Minimax Theory）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用

（1）、应力变分方程

设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命ij为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变ij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ijij

假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即

xxyzx0,xyz

（a）yyzxy0,yzxzzxyz0。zxy在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分fx、fy、f。z

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足

lxmxynzxmynlf,yzxyy

（b）

nzlm。fzxyzzxf,则应变余能的变分应为

VCvcdxdydz(vcxxvcyz)dxdydz。

vvcvx，cy，cz

xzyvcvvyz，czx，cxy

zxyzxy将上式代入，得

VC(xx再将几何方程代入，得

yzyz)dxdydz。

wv()yzyzuVC[xx]dxdydz。

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：

uxdxdydzluxdSu(x)dxdydz, xx最后可得

Vc[u(lxmxynzx)]dS[u(xxyzx)xyz]dxdydz。

再将（a）、（b）代入，即得

Vc=(ufyfwz)f。d

S

xv这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。最小余能原理：

Vc(ufxvfywfz)dS0。

上式也可以改写为：

[Vc(ufxvfywfz)dS]0。

（2）、应力变分法

由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：

ijij0Amijmm

（c）

其中Am是互不依赖的m个系数，ij0 是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，ijm是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数A m如何取值，ij0总能满足平衡微分方程和应力边界条件。

注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现。

如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程 得vc0，即： Vc0

（d）Am

应变余能Vc是Am的二次函数，因而方程（d）将是Am的一次方程。这样的方程共有m个，恰好可以用来求解系数，Am从而由表达式（c）求得应力分

量。

如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程（11-18），即

Vc(ufxvfywfz)dS。在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力的变分两者之间的关系即：

fxlxmxynzx,fymynyzlxy,fznzlxzmyz。

带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：

(ufxvfywfz)dSBmAm。m

其中Bm是常数，另一方面，我们有：

U*Vc=Am。mAm 因而得：

VcBm。(m1,2,)Am

这将仍然是Am的一次方程而且总共有m个，仍然可以用来求解系数Am，从而由表达式（c）求得应力。

（3）、应力函数方法

由于应力分量的数量有点多，确定起来较为困难，通常用应力函数方法。在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设为：

0Ammm,其中Am为互不依赖的m个系数。这样就只需使0给出的应力分量满足实

际的应力边界条件，并使m给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。

在平面应力问题中，有zyzzx0，而且x、y、xy不随坐标z而变。在z方向取一个单位厚度，则用应力分量表示的应变余能表达式为

Vc1[x2y22xy2(1)xy2]dxdy。

2E1+2[(1)(x2y2)2xy2xy]dxdy。

2E对于平面应变问题，Vc如果所考虑的弹性体是单连体，体力为常量，应力分量x、y、xy应当与可以取=0，于是平面应力情况下的表达式和平面应力情况下的表达无关，式都简化为

Vc1(x2y22xy2)dxdy。2E即得用应力函数表示应变余能的表达式

122222Vc[(2fxx)(2fyy)2()]dxdy。2Eyxxy在应力边界问题中，因为面力不能有变分，Vc0。应为应力分量以及应变余能的变分是通过系数Am的变分来实现的，所以上式归结为

Vc0 Am将将应力函数表达式代入，即得

2222[(2fxx)()(fyy)()yAmy2x2Amx2

222()]dxdy0,xyAmxy(m1,2,)

可以用来决定系数Am，从而确定应力函数，再由应力函数求得应力分量。

由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。

应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，二这种函数一般任然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制。

（4）、典型例题：

例1：设有宽度为2a，高度为b的矩形薄板，左右两边和下边被固定约束，上边的位移被给定为u0应力分量。

解：取坐标系底部为x轴，对称轴为y轴，则该问题是一个轴对称问题——及约束情况，几何形状以及所受的外来因素都对称于某个坐标轴。本题中，对称轴显然是y轴。这样，位移u,v关于y轴对称。

首先考察位移u：

薄板左右两边：(u)xa0（说明u中含有(x2a2)项或(a2x2)项）

薄板下边：(u)y00（说明u中含有（y-0)项）

薄板上边：(u)yb0（说明u中含有（y-b)项或(b-y)项）

所以u所以表达成：uA1(a2x2)y(by)（这里m=1,即取一个系数A1）

由此可得u,v的表达式为：

x2v(12)，不计体力。试求薄版的位移分量和

ax2xyyuA1(12)(1)aaaa  22xyxyyv(12)B1(12)(1)ababb(u)xz0可以满足位移边界条件：

(v)xa0(v)y00(v)ybx2(12)a

(u)y00(u)yb0由于u是x的奇函数，v是x的偶函数，对称条件满足。

xx3yy2此外，由（i）得：u1(3)(2)aabbx2yy2v1(12)(2)

abb即UEab(A1B12vA1B1)

2(1v2)由UUfu1ds,fv1ds

xyA1B1UUq1ab,q2ab A1B1Eab(2A12vB1)q1ab22(1v)Eab(2B12vA1)q2ab22(1v)q1vq2qvq1,B12EEq1vq2q2vq1 ux,vyEEA1例2：已知悬臂梁，抗弯刚度为EI，求最大挠度值。

解：设w(a2x2a3x3)满足固定端的边界条件。

LxFwx00,w'x00

2在不考虑剪切效应时，直杆弯曲的应变能为，1lM2(x)1d2wudxEIdx 202EI2dx下面用最小势能原理来确定参数，u1M(x)EIdx(2a26a3)dx002EI2vFwxLF(a2L2a3L3)ll2EIl23EtUV(2a6a)dxF(aLaL)23230222

由最小势能原理

Et0Et1l24(2a6a)dxFL0230a22EIEt1l312(2a6a)dxFL0230a22EI

三、总结与思考

所谓弹性力学的变分解法就是基于力学能量原理求解弹性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解的微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因而最终把问题归结为求解线性代数方程组。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

应力变分法在力学领域内同样拥有很高的地位，这正说明了力学在学术界的重要地位，通过应力变分法地学习，许多难题将更容易得到解答，所以，在以后的学习生活中，我们将不会停止对力学的探究和学习，相信力学对我们的影响将是巨大的。

参考文献：【1】弹性力学 第四版 徐芝纶 高等教育出版社

【2】弹性力学复习解题指导致 王俊民 同济大学

【3】弹性力学理论概要与典型题解 王光钦 西南交通大学出版社

【4】弹性力学内容精要与典型题解 刘章军 水利水电出版社