高中数学教育方法

第一篇：高中数学教育方法

数学被誉为科学的皇后，在中考中数学成绩的好坏往往是成功与否的关键因素。

任何事情都有一个由量变到质变的循序渐进的积累过程。

有些学生经常会感到刻苦努力学习了一阵，收效甚微，便垂头丧气，认为自己天生不是学数学的料。

或者由于一次考试的失败，丧失了对数学的信心。或许因为基础不好，导致学习跟不上老师教学进度，上课听不懂。

“题海战术”拿题就做，从不总结，感觉作的越多，成绩越高。

或者学习习惯不好，每次考试粗心马虎大意丢分严重。这些都是初中数学学习的弊端，学数学要有决心，信心，更要有一套适合自己的有效学习方法。

学习数学应该按照五个步骤进行：

一预习，理科学习，预习是必不可少的。我们在预习中,应该把书上的内容看一遍，尽力去理解，对解决不了的问题适当作出标记，请教老师或课上听讲解决，并试着做一做书后的习题检验预习效果。

二听讲，因为老师把知识的精华都浓缩在课堂上，听数学课时应做到抓住老师讲题的思路，方法。有问题记下来，课下整理，解决，数学课上一定要积极思考，跟着老师的思路走。

三复习，体会老师课上的例题，整理思维，想想自己是怎么想的，与老师的思路有何异同，想想每一道题的考点，并试着一题多解，做到举一反三。

四作业，认真完成老师留的习题，适当挑选一些课外习题作为练习，但切忌一味追求偏题，怪题，更不要打“题海战术”。

五总结，这一步是为了更好的掌握所学知识。在学完一段知识或做了一道典型题后可总结：总结专题的数学知识；总结自己卡壳的地方；总结自己是怎么错的，错在哪里，总结题目的“陷阱”设在哪里及总结自己或他人的想法。

第二篇：学好高中数学的方法

★怎样才能学好数学？

要回答这个似乎非常简单：把定理、公式都记住，勤思好问，多做几道题，不就行了。事实上并非如此，比如：有的同学把书上的黑体字都能一字不落地背下来，可就是不会用；有的同学不重视知识、方法的产生过程，死记结论，生搬硬套；有的同学眼高手低，“想”和“说”都没问题，一到“写”和“算”，就漏洞百出，错误连篇；有的同学懒得做题，觉得做题太辛苦，太枯燥，负担太重；也有的同学题做了不少，辅导书也看了不少，成绩就是上不去，还有的同学复习不得力，学一段、丢一段。

究其原因有两个：一是学习态度问题：有的同学在学习上态度暧昧，说不清楚是进取还是退缩，是坚持还是放弃，是维持还是改进，他们勤奋学习的决心经常动摇，投入学习的精力也非常有限，思维通常也是被动的、浅层的和粗放的，学习成绩也总是徘徊不前。反之，有的同学学习目的明确，学习动力强劲，他们拥有坚韧不拔的意志、刻苦钻研的精神和自主学习的意识，他们总是想方设法解决学习中遇到的困难，主动向同学、老师求教，具有良好的自我认识能力和创造学习条件的能力。二是学习方法问题：有的同学根本就不琢磨学习方法，被动地跟着老师走，上课记笔记，下课写作业，机械应付，效果平平；有的同学今天试这种方法、明天试那种方法，“病急乱投医”，从不认真领会学习方法的实质，更不会将多种学习方法融入自己的日常学习环节，养成良好的学习习惯；更多的同学对学习方法存在片面的、甚至是错误的理解，比如，什么叫“会了”？是“听懂了”还是“能写了”，或者是“会讲了”？这种带有评价性的体验，对不同的学生来说，差异是非常大的，这种差异影响着学生的学习行为及其效果。

由此可见，正确的学习态度和科学的学习方法是学好数学的两大基石。这两大基石的形成又离不开平时的数学学习实践，下面就几个数学学习实践中的具体问题谈一谈如何学好数学。

一、数学运算

运算是学好数学的基本功。初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。初中运算能力不过关，会直接影响高中数学的学习：从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算能力差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步发展。从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大部分是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，（3+3）2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎”掩盖了其背后的真正原因。帮助学生认真分析运算出错的具体原因，是提高学生运算能力的有效手段之一。在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：①情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确；

②要自信，争取一次做对；慢一点，想清楚再写；少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。

二、数学基础知识

理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提。

★什么是理解？

按照建构主义的观点，理解就是用自己的话去解释事物的意义，同一个数学概念，在不同学生的头脑中存在的形态是不一样的。所以理解是个体对外部或内部信息进行主动的再加工过程，是一种创造性的“劳动”。

理解的标准是“准确”、“简单”和“全面”。“准确”就是要抓住事物的本质；“简单”就是深入浅出、言简意赅；“全面”则是“既见树木，又见森林”，不重不漏。对数学基础知识的理解可以分为两个层面：一是知识的形成过程和表述；二是知识的引申及其蕴涵的数学思想方法和数学思维方法。

★什么是记忆？

一般地说，记忆是个体对其经验的识记、保持和再现，是信息的输入、编码、储存和提取。借助关键词或提示语尝试回忆的方法是一种比较有效的记忆方法，比如，看到“抛物线”三个字，你就会想到：抛物线的定义是什么？标准方程是什么？抛物线有几个方面的性质？关于抛物线有哪些典型的数学问题？不妨先写下所想到的内容，再去查找、对照，这样印象就会更加深刻。另外，在数学学习中，要把记忆和推理紧密结合起来，比如在三角函数一章中，所有的公式都是以三角函数定义和加法定理为基础的，如果能在记忆公式的同时，掌握推导公式的方法，就能有效地防止遗忘。

总之，分阶段地整理数学基础知识，并能在理解的基础上进行记忆，可以极大地促进数学的学习。

三、数学解题

学数学没有捷径可走，保证做题的数量和质量是学好数学的必由之路。

1、如何保证数量？

① 选准一本与教材同步的辅导书或练习册。

② 做完一节的全部练习后，对照答案进行批改。千万别做一道对一道的答案，因为这样会造成思维中断和对答案的依赖心理；先易后难，遇到不会的题一定要先跳过去，以平稳的速度过一遍所有题目，先彻底解决会做的题；不会的题过多时，千万别急躁、泄气，其实你认为困难的题，对其他人来讲也是如此，只不过需要点时间和耐心；对于例题，有两种处理方式：“先做后看”与“先看后测”。

③选择有思考价值的题，与同学、老师交流，并把心得记在自习本上。

④每天保证1小时左右的练习时间。

2、如何保证质量？

①题不在多，而在于精，学会“解剖麻雀”。充分理解题意，注意对整个问题的转译，深化对题中某个条件的认识；看看与哪些数学基础知识相联系，有没有出现一些新的功能或用途？再现思维活动经过，分析想法的产生及错因的由来，要求用口语化的语言真实地叙述自己的做题经过和感想，想到什么就写什么，以便挖掘出一般的数学思想方法和数学思维方法；一题多解，一题多变，多元归一。

②落实：不仅要落实思维过程，而且要落实解答过程。

③复习：“温故而知新”，把一些比较“经典”的题重做几遍，把做错的题当作一面“镜子”进行自我反思，也是一种高效率的、针对性较强的学习方法。

四、数学思维

数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求。比如，数学思维方法都不是单独存在的，都有其对立面，并且两者能够在解决问题的过程中相互转换、相互补充，如直觉与逻辑，发散与定向、宏观与微观、顺向与逆向等等，如果我们能够在一种方法受阻的情况下自觉地转向与其对立的另一种方法，或许就会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。比如，在一些数列问题中，求通项公式和前n项和公式的方法，除了演绎推理外，还可用归纳推

理。应该说，领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维，是提高学生数学素养、培养学生数学能力的重要方法。

总而言之，只要我们重视运算能力的培养，扎扎实实地掌握数学基础知识，学会聪明地做题，并且能够站到哲学的高度去反思自己的数学思维活动，我们就一定能早日进入数学学习的自由王国。

很多人在考试时总考不出自己的实际水平，拿不到理想的分数，究其原因，就是心理素质不过硬，考试时过于紧张的缘故，还有就是把考试的分数看得太重，所以才会导致考试失利，你要学会换一种方式来考虑问题，你要学会调整自己的心态，人们常说，考试考得三分是水平，七分是心理，过于地追求往往就会失去，就是这个缘故；不要把分数看得太重，即把考试当成一般的作业，理清自己的思路，认真对付每一道题，你就一定会考出好成绩的；你要学会超越自我，这句话的意思就是，心里不要总想着分数、总想着名次；只要我这次考试的成绩比我上一次考试的成绩有所提高，哪怕是只高一分，那我也是超越了自我；这也就是说，不与别人比成绩，就与自己比，这样你的心态就会平和许多，就会感到没有那么大的压力，学习与考试时就会感到轻松自如的；你试着按照这种方式来调整自己，你就会发现，在不经意中，你的成绩就会提高许多；

和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，因为不少同学进入高中之后很不适应,特别是高一年级，进校后，代数里首先遇到的是理论性很强的函数，再加上立体几何，空间概念、空间想象能力又不可能一下子就建立起来，这就使一些初中数学学得还不错的同学不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。

高中数学的理论性、抽象性强，就需要在对知识的理解上下功夫，要多思考，多研究。

一、指导提高听课的效率是关键。

1、课前预习能提高听课的针对性。

预习中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平；预习还可以培养自己的自学能力。

2、听课过程中的科学。

首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。

其次就是听课要全神贯注。

全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。

耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。

眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势等动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。

心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。

口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。

手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。

若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂所学的一切重要内容便会在自己头脑中留下深刻的印象。

3、特别注意讲课的开头和结尾。

讲课开头，一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。

4、要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。

此外还要特别注意老师讲课中的提示。

老师讲课中常常对一些重点难点会作出某些语言、语气、甚至是某种动作的提示。

最后一点就是作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。

二、指导做好复习和总结工作。

1、做好及时的复习。

课完课的当天，必须做好当天的复习。

复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等（也可边想边在草稿本上写一写）尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当

天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。

2、做好单元复习。

学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法也同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与书、笔记相对照，使其内容完善，而后应做好单元小节。

3、做好单元小结。

单元小结内容应包括以下部分。

（1）本单元（章）的知识网络；

（2）本章的基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）；

（3）自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

三、指导做一定量的练习题

有不少同学把提高数学成绩的希望寄托在大量做题上。我认为这是不妥当的，我认为，“不要以做题多少论英雄”，重要的不在做题多，而在于做题的效益要高。做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习是必要的。而对于中档题，尢其要讲究做题的效益，即做题后有多大收获，这就需要在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把它们联系起来，你就会得到更多的经验和教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于你今后的学习。当然没有一定量（老师布置的作业量）的练习就不能形成技能，也是不行的。

另外，就是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是学好数学的重要问题。

希望有点帮助。。

第三篇：高中数学解题方法名录

第一篇 数学具体解题方法 代入法

直接法

定义法

向量坐标法

查字典法

挡板模型法

等差中项法

逆向化法

极限化法

整体化法

参数法

交轨法

几何法

弦中点轨迹求

比较法

基本不等式法

以题攻题法

综合法

分析法

放缩法

反证法

换元法

构造法

数学归纳法

配方法

判别式法

序轴标根法

函数与方程思想

整体思想

比较法综合法向量平行法筛选法（排除法）向量垂直法数形结合法同一法特殊值法累加法 回代法（验证法）累乘法特殊图形法倒序相加法 分类法分组法运算转换法公式法结构转换法错位相减法 割补转换法裂项法导数法迭代法象限分析法角的变换法补集法公式的变形及逆距离法用法变更主元法降幂法差异分析法升幂法反例法“1”的代换法阅读理解法引入辅助角法信息迁移法三角函数线法类比联想法构造对偶式法抽象概括法构造三角形法逻辑推理法估算法等价转化法 待定系数法根的分布法特殊优先法分离参数法先选后排法抽签法捆绑法随机数表法插空法间接法数形结合思想第二篇 数学思想方法分类讨论思想化归转化 第三篇分析法数学逻辑方法 反证法归纳法抽象与概括法思想类比法

第四篇：高中数学教育评价

谈新课程下的高中数学教学评价

高中数学新课程在结构上有很大的改变，在结构上采用“领域——科目——模块”的形式，这对数学教学评价提出了新的要求，教学评价改革的根本目的是为了更好地促进学生的发展。改变评价过分强调甄别与选拔功能，忽视改进与激励功能的状况，突出评价的发展性功能是教学评价改革的核心。新课程认为对学生进行评价是教育过程的一个环节，所以，评价的功能与教育目标是一致的。突出教学评价的发展性功能集中体现了“一切为了学生发展”的教育新理念。学生处于不断发展变化的过程中，教育的意义在于引导和促进学生的发展和完善。学生的发展需要目标，需要导向、需要激励，因此，教学评价要为学生确定个体化的发展性目标，不断收集学生发展过程中的信息，根据学生的具体情况，判断学生存在的优势与不足，在此基础上提出具体的、有针对性的改进建议。教学评价要考虑学生的过去，重视学生的现在，更要着眼于学生的未来，所追求的不是给学生下一个精确的结论，更不是给学生一个等级分数并与他人比较，而要更多地体现对学生的关注和关怀，不但要通过评价促进学生在原有水平上的提高，达到基础教育培养目标的要求，更要发现学生的潜能，发挥学生的特长，了解学生在发展中的需求，帮助学生认识自我，建立自信。

新课程倡导发挥评价的发展性功能，就在于把评价看作是课程与教学的一个有机环节，也是教育学生的一个重要途径，是促进学生发展的有效手段。那么，在新课程教学中，如何改革传统教学评价，促进学生发展呢？

一、确立以学生为主体的评价指导思想

高中数学新课程方案明确提出“实行学生学业成绩与成长记录相结合的综合评价方式，学校应根据目标多元，方式多样，注重过程的评价原则，综合运用观察、交流、测验、实际操作、作品展示、自评与互评等多种方式，为学生建立综合、动态的成长记录手册。”高中学生的数学学业评价要求评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。学生作为一个独立的个体，无论是性格、心理特征，还是认知水平，每个人都是不同的。我们在评价学生时，要紧紧抓住“学生是主体”这个角度来分析，以学生综合素质的全面发展提高为出发点和归宿点，既要重视学生的学习成绩，也要重视学生的思想品德，以及多方面潜能的发展，注重学生的创新能力和实践能力的提高。在评价学生时，不搞一刀切，不排队不排名次，不分优劣等级，应该以学生为本，只要每一个学生在某一个方面或者多方面有提高，这名学生就是取得了成功。尊重学生的个性差异，允许学生在某个学段落后，经过努力后又赶上；允许学生某个方面有所突破，某些方面平平淡淡；允许个别“超常”学生脱颖而出，跳级学习。对学生的评价不仅要注重结果，更要注重发展和变化过程。要把形成性评价与终结性评价结合起来，使发展变化的过程成为评价的组成部分。

二、构建以发展为核心，尊重学生，充分发挥学生的主体积极性的评价机制 动机心理学和人本管理理论认为，个人在集体中的价值，包括个人发展、个人激励和自我实现的价值，尊重和自我实现的需要是人的需要的持久动力。当学生的需要与兴

趣被尊重，学生才会积极主动地参与活动，激发起学习与发展的动机。作为课堂学习者，尊重和自我实现的需要是学生个体最主要的需要。他们希望通过评价，在集体的目标范围之内发现自己的优点和不足，发挥自己的潜能，掌握自己发展的方向和未来前途，决定和实现自己的发展需要，不断地自我创造和提高。因此，当前的教学评价改革应“以人为本”、“以发展为核心”，注重学生的个人价值、生存价值和学业发展价值，注重学生未来的发展，帮助学生认识自我、发现自我，使每个学生都能从评价中获得激励、自信和不断前进的动力，获得资助，从而提高学业水平，得到适当的发展。教师应以人性化的态度对待学生，强调学生在评价中的主体地位，尊重学生的需要、选择、人格等，和学生对话、沟通，相互理解和协商；给学生充分的自主权，让学生发挥主体积极性，主动参与评价过程；更多的把评价活动和过程当作为学生提供展示自我的平台和体验自身价值机会，使评价成为促进学生最好的发展与自我实现的工具，而不只是评等、分类的工具。

三、建立评价标准、方法和主体多元化评价体系

不同的学生具有不同的背景，其需要、年龄、经历、家庭背景、学习风格等表现出个性差异，用一把尺子、从一个角度、采用单一的模式对所有的学生进行评价是不合理的、不科学的。因此，教学评价的内容和方法应表现出动态、发展的特征。教师应该根据总的课程目标，结合教育改革的要求和本地区、学校及学生的实际情况，承认差异，着眼于学生未来的发展，确立发展目标，运用多种的评价方法对学生进行评价，除了纸笔测验以外，还有课堂观察、课后访谈、小论文、成长记录袋评价和表现性评价等。例如，为了突出评价的过程性并关注个体差异，运用成长记录袋进行评价是必要的，它通过收集表现学生发展变化的资料，能够反映学生成长的轨迹，学生本人在成长记录内容的收集中，有更大的主动权和决定权，能够充分体现个体差异。同样，表现性评价创设了真实的情境，通过学生活动或完成任务的过程，不但能够评价学生知道了什么，还能够评价学生能够做什么，还可以在学生的实际活动中评价学生的创新精神和实践能力，与他人的合作、交流与分享，评价学生的学习兴趣和学习习惯等。同时，对不同发展阶段的学生，其评价内容和要求要有一定的层次性。而且评价过程是持续的，周期性的，应多次评价，给予学生个体更多的展示自我的机会。

在实践中，教学评价的主体应真正实现多元化(教师、学生、家长、管理者等)，多方面收集信息，在最大程度上肯定学生的成就。要重视学生做数学的过程，充分发挥数学作业在学生评价中的作用。作业类型应多样化，例如常规作业，开放性、探索性数学问题，数学实验，数学建模，课题研究作业，专题总结报告等。特别地，教师应鼓励学生进行自我评价与反思。学生作为教育、教学过程的直接受益者，在评价过程中具有主体性，具有对自己行为的反思意识和能力，这种内部动机比外部压力具有更大的激励作用。因此，教学评价应体现个性差异，以促使每个个体尽最大可能地实现其自身的发展。

四、科学利用学生的学业成绩，促进学生个体发展

教师的教育对象是学生，教师各方面的努力都是为了学生的发展。运用学生的学业成绩来评价学生本无可厚非。但在传统教学评价中，学生的学业成绩被异化为考试分数，运用学生成绩评价学生的发展在许多学校和地区表现为运用纯粹的学生期中、期末或升学的考试分数。学生的发展是多方面的，既有认知领域，也有情感和动作技能领域。单一的考试成绩测评的是学生知识的掌握情况，而学生的能力、态度等却无法靠单一的考试分数来评价。作为教师，教育和教学是不分家的。学生的学习成绩也不仅仅是认知领域，而有更广阔的空间，包括学生在学校中的一切变化。因此，应通过多种途径收集学生学习、变化的信息，如学生考试成绩、平时表现、学生的进步状况、学生作品集、学生活动、学生的实践能力等来评价学生。另外，学生的学业成绩受各方面因素影响，其结果与学生原有的知识、技能和能力准备情况，与学习习惯、目的、方法、态度、兴趣等个性特征有重要联系，同时也受家庭与社会等各方面因素的影响。如果不对学生的起始水平和影响因素进行分析，仅凭某次考试成绩对学生的发展进行评价不仅不科学，而且会误导学生的行为。所以，要科学地利用学生学业成绩评价学生，必须多方面收集学生信息，并做具体的分析。

五、通过评价反馈发挥评价的激励功能和促进作用

评价中的反馈环节对于发挥评价的激励和促进功能有着重要作用。通过评价反馈，学生能够了解自己目前的学习状态，看到自己的成长和进步以及存在的不足，还有可能得到教师、同学和家长对改进学习所提出的建议，这些都有助于促进学生的发展。

其次，发挥评价的激励功能要建立在对学生学习的过程及其发展变化有深刻认识的基础上。无论是采用激励性的语言，还是采用物质奖励，如果没有明确的评价目标、准确的观察和资料的收集、恰当的评价结论，随意的激励是无法对学生起到促进作用的，而且还有可能对学生产生消极影响，造成很多学生只能听表扬，不能听批评，认识不到自己的缺点和不足，盲目乐观起来。此外，随着学生自我认识的能力和愿望的提高，他们会对表面化、形式化的激励感到空洞和乏味。

总之，激励不在于对学生一味表扬或“藏拙”，只要教师与学生形成坦诚、关怀和相互尊重的关系，并用发展的和全面的眼光看待学生，逐步培养学生客观地认识自己，提高他们反省能力，不因存在某些不足而怀疑自我价值，这样即使教师指出学生的不足甚至是批评，学生所感受到的仍是教师对自己的关注和期望，并由此产生进步的动力。

终上所述，在实施新课程过程中，我们要用新课程理念看待教学评价，为促进学生发展而改革我们的教学评价。美国一位课程理论专家说：评价最主要的意图不是为了证明，而是为了改进。在教学实践中也只有这样，才能促进每一位学生的全面发展。

2009年7月2日

卢龙县城关中学

第五篇：高中数学不等式证明常用方法

本科生毕业设计（论文中学证明不等式的常用方法

所在学院：数学与信息技术学院

专 业： 数学与应用数学

姓 名： 张俊

学 号： 1010510020 指导教师： 曹卫东

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是对高中学习阶段不等式证明方法的概括和总结.不等式的证明方法多种多样,其中有比较法,分析法,综合法,反证法,数学归纳法,放缩法等常见的方法,另有一些学生比较不熟悉但也经常采用的方法,如构造法,向量法,求导法,换元法等等.关键词: 不等式的证明;函数的构造;极值;导数

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 录

1.构造函数法 ·········································1 1.1 移项法构造函数 ·································1 1.2 作差法构造函数

·····························2 1.3 换元法构造函数

·····························2 1.4 从条件特征入手构造函数

······················3 1.5 主元法构造函数 ··································3 1.6 构造形似函数 ····································4 2.比较法 ·············································4 2.1 作差比较法 ······································4 2.2 作商比较法 ······································5 3.放缩法 ············································5 4.判别式法 ············································6 5.反证法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式证明的具体应用 ································9 参考文献 ··············································11

江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

众所周知,生活中存在着大量的不等量关系.不等量关系是基本的数学关系,它在数学研究与应用中起着不可忽视的作用,因此,研究不等式的方法至关重要,许多数学家在这一领域取得丰硕的成果,他们的成就举世瞩目,无可替代.不等式的证明是高中学习阶段的重要内容之一,纵观近几年的高考,不等式的证明每年都有涉及,一般都出现在最后一题,可见它的困难和重要程度,因此不等式证明的学习既是重点也是难点,无论是求最值还是求不定量的范围都需要用到不等式的证明.所以,有必要对不等式的证明方法做一个全面的,科学的,系统的总结和归纳.1.构造函数法

1.1移项法构造函数

【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x,求证：当x1时,恒有

11ln(x1)x.x1分析：本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数

11,从其导数入手即可证明.g(x)ln(x1)x1证:先证左边,令g(x)ln(x1)111x1, 则g(x) x1x1(x1)2(x1)2 当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0 , 即g(x)在x(1,0)上为减函数,在x(0,)上为增函数,故函数

g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0, ∴当x1时,g(x)g(0)0,即ln(x1)110 x1 ∴ ln(x1)1 再证右边,f(x)1(左边得证).x11x1 x1x1 ∴ 当1x0时,f(x)0,即f(x)在x(1,0)上为增函数, 当x0时,f(x)0,即f(x)在x(0,)上为减函数, 于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0, 1

江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

因此,当x1时f(x)f(0)0,即ln(x1)x0

∴ ln(x1)x(右边得证).综上可知,当x1时,有11ln(x1)x x1【启迪】: 如果f(a)是函数f(x)在区间上的最小（大）值,则有f(x)f(a)

（或f(x)f(a))那么要证不等式,只要求函数的最小值不超过0就可得证． 1.2作差法构造函数

【例2】 当x(0,1)时,证明:(1x)ln(1x)x.分析:本题是一个单边不等式,很难直接看出两者有什么联系,因此联想到采用作差的方法,将两个函数变为一个函数.作差法是最直接把两者结合的方法且求导

后能很容易看出两者的联系.证:做函数f(x)(1x)ln(1x)x,易得f(0)0，221x)2x,当x0时,f'(x)0

而f'(x)ln(1x)2ln(又得,f''(x)22ln(1x)222[ln(1x)x]，1x1x1x 当x(0,1)时,f''(x)0

∴f'(x)在x(0,1)上递减,即f'(x)f'(0)0,即f(x)在(0,1)递减

∴f(x)f(0)0,从而原不等式得证.【启迪】: 本题先构造出一个函数并利用所设函数的导数判断函数的单调性,再根据单调

性的性质来证明原不等式如果一阶导数无法判断两个关系,可以采用二阶导数

来先判断一阶导数关系,再来判断原函数的关系.1.3换元法构造函数

122xxyy3.1xy2 【例3】 已知 ,求证:222 分析:本题看上去毫无联系,但发现xy经常出现在三角代换中.于是可以采用 换元法进行尝试,则结果显而易见.证:因为 1 其中12x2y22,所以可设xrcos,yrsin，22r22,02.1212 ∴xxyyrrsin2r(1sin2)

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1sin2, 222121322 r(1sin2)rr 22232121 而r3,r 222122xxyy3.2【启迪】:当发现不等式题目中含有x2y2,或者别的与x,y有关的不等式,可以采用换

元法.将x,y进行替换,再找两者的关系来进行论证.1.4从条件特征入手构造函数

【例4】 若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立,且常数

a ,b满足0ab,求证:af(a)

xf(x)，(x)f(x)此时可以得到F(x)的导数为xf F(x)0,所以F(x)在R上为增函数，f(a)f(b)

af(a)bf(b)0ab, 得证.【启迪】：把条件进行简单的变形后,很容易发现它是一个函数积的导数,因此可以构造出

F(x),求导后即可得到证明结果.1.5主元法构造函数

【例5】 设a,b,c,dR,且满足(abc)求证:abbcca22(a2b2c2)4d，3d

分析:本题初看含有四个未知量,且题目中只含一条不等式,因此解题时必须从这条

不等式入手,对其进行变换.证:把a看成未知量进行化简,得一元二次不等式

2(bc)a(bc)24d0

22xaf(x)x2(bc)x(bc)4d

用替换,构造一个函数 a2x2前面的系数大于0,所以该抛物线开口向上

且当xa时,f(a)0.224(bc)4[(bc)4d]0

其判别式 

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d.同理把b,c看成未知量,可得cad,abd

叠加可得abbcca3d.化简,得bc【启迪】:有些复杂的不等式可以看成一个未知量的简单不等式,再找几个未知量之间的关系,进行证明.1.6构造形似函数

【例6】 当abe时,证明ab.分析:要证ab,只要证lnababablnba,即证明blnaalnb0, 也就是要证明blnxxlnb,因此构造函数

f(x)blnxxlnb,然后只需要证明 证:要证ab,只要证lnabaf(x)单调递减就可以了.blnb xblnba即证blnaalnb0

设f(x)blnxxlnb(xbe),则f(x) be,xb lnb1, b1f(x)0 xf(x)在(e,)上单调递减.ab

f(a)f(b)故blnaalnbblnbblnb0

ba 即blnaalnb ab.【启迪】:在证明简单不等式时,可以采用求导等变换来构造出一些相似的函数,再利用函

数的单调性来证明简单不等式.2.比较法

2.1作差比较法

【例1】 若0x1,证明loga(1x)loga(1x),(a0,a1).分析:用作差法来做,则需去掉绝对值,必须要分a1和0a1两种情况来考虑

问题.证:(1)当0a1时,01x1,11x2

loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)

0x1,01x

1loga(1x)0,得证.（2）当a1时,01x1,11x2

 loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)

0x1,01x1

22222 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

loga(1x)0,得证.综合（1）（2）可得loga(1x)loga(1x).【启迪】:当不等式两边的式子比较相近,或者是对数式子时可以采用作差法来尝试.2.2作商比较法

【例2】 设a,bR,且a0,b0,求证(ab)ab22aabb.分析:发现作差变形后符号很难判断,且无法化简,考虑到两边都是正数,可以作商, 判断比值和1的大小关系,从而来证明不等式.证:ab0,(ab)abab20,将不等式两边相除，ba2baa()2 baabb 得(ab)ab2aab2bbaa21.当ab时,()baab10, 当0ba时，b2baaa02()()1.由指数函数的单调性可知,bbbaaa0aab2()()1.10 当0ab时，,同理可得bbb2 综上所述,对于任意的正实数a,b都有(ab)ab2aabb.【启迪】:当遇到作差法无法解决的问题时可以采用作商法来证明不等式,使用作商法的前

提条件是不等式两边均要大于0,一般为指数函数的形式.3.放缩法

2n1an(nN)

【例1】 已知数列an的前n项和为sn12(1)设xn(2n1)sn,求证:数列xn为等差数列.11115..........(2)当n2时,2.222xnxnxx321n22n 分析:本题分为两小题,第一小题是考察数列的知识,是为第二小题做的铺垫,在做

第二小题时,需要采用放缩来证明,来把不等式的左边放大来比较.2n1(snsn1)

证:(1)当n2时,sn12

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化简,得(2n1)sn2(2n1)sn1

由已知条件得xn 其通项公式为xn xn是以首项为x1xn12,即xnxn12

2公差d2的等差数列，2n.1111..........(2)2222 xnxnxx1n22n11111......] [2222 4n(n1)(n2)(2n)11111......] [4n(n1)n(n1)(n1)(n2)(2n1)(2n)1111111[()()()......4n1nnn1n1n

2111111n1()]()()2n12n4n12n42n(n1)1n1  42(n1)26(n1)411 44

2(n1)6n14 令f(n)2(n1),当n2时,f(n)的值随着n的增大而增

n1 大,f(n)f(2), 111136 即4 44f(2)616322(n1)6n1111152.222..........xnxn1xn2x2n32【启迪】: 采用放缩法题目一般比较开放,且没有固定的放缩范围,一般比较灵活,且方法

较多.4.判别式法

7 【例1】 已知xyz5,xyz9,求证x,y,z都属于1,

3222

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分析:实系数一元二次方程ax2bxc0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是: b 记4ac0、b24ac0、b24ac0．

b24ac,称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的

函数、不等式的判别式.此题含有三个未知数,所以要进行替换.222z5xyxyz9中

证:有条件可得,代入 化简可得:x 2(y5)xy25y80

xR,且方程有解,根的判别式b24ac0

2277y1,.即(y5)4(y5y8)0,解得1y,即3377 同理,替换x,y可得z1,,x1,.33 得证.【启迪】:本题看似复杂,含有三个未知量,其实只需要简单的几个步骤就解决了,因此在解决这类问题时,第一步是替换未知量,第二部把另一个未知量看成已知量,再

用根的判别式来确定范围.5.反证法 【例1】 设0a,b,c1,求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于.分析:本题的结论为否定形式,适合用反证法来证明,假设命题不成立,从而导出矛

盾.证:假设(1a)b,(1b)c,(1c)a三个数都大于, 则有(1a)b111,(1b)c,(1c)a 444 又0a1,0b1,0c1

111(1a)b,(1b)c,(1c)a.222 7

江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）(1a)b(1b)c(1c)a 

2ab1abab(1a)b 又由基本不等式得，221bc1ca(1b)c,(1c)a, 把上面三个式子相加得(1a)b(1b)c(1c)a3  2 显然与相矛盾,所以假设不成立.(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于.4【启迪】:命题中出现“至少”,“都”,“同时”,“至多”等字样时,可以采用反证法, 反证的关键在于找出与命题相反的结论,然后再用假设的条件推出矛盾.6.向量法

a2b2c212.【例1】设a1,b1,c1,证明:

b1c1a1 分析:本题只有一个已知条件,且结论也无法化简,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,构造两个向量.利用向量的知识进行解决.m 证:设(a2b2c2，),n(b1,c1,a1)b1c1a1m 则na2b2c2b1c1a1 b1c1a1abc

222abc abc3cosb1c1a1a2b2c2abc3

b1c1a1a2b2c2abc  b1c1a1abc33 abc3

abc3 23

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a1,b1,c1.a2b2c212.两边同时平方可得

b1c1a1 得证.7.不等式证明的具体应用

1125【例1】 已知a0,b0,且ab1,求证(a)(b)

ab4分析:本题是高中阶段一道普通的不等式证明题,如让学生独立完成,可得到如下解决

方法.解法一:分析法

1125(a)(b) 要证，ab4222 只要证4ab4ab25ab40， 即证4ab233ab80，1ab或ab8.即因为a0,b0,ab1,所以ab8不成立.1ab 又因为1ab2ab,所以.得证.解法二:作差比较法

ab1,a0,b0 ab2ab,ab

41125a21b2125 (a)(b)ab4ab44a2b233ab8(14ab)(8ab)0

4ab4ab1125 (a)(b).ab4

解法三:三角代换法

ab1,a

0,b0

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 故设asin,bcos,0,

21122)(cos)则原式(sin22sincossin4cos42sin2cos22 

4sin22(4sin2)216  24sin222  sin214sin2413.1122.(4sin2)1625,24sin241125 (a)(b).ab422本题归纳与小结:本题一共采用了3种不同的方法,第一种是从问题入手,对问题进行一步

步的剖析,有逆向思维的方式,是把问题具体化,把所要证明的问题转化

为所学的知识,或者已知条件.只要分析的过程合理,一般过渡的结论很

容易得到.第二种方法也是根据问题入手,不同的是它把问题直接改变为

一道运算式,这样就把问题变为运算式结果与零比较大小,因为题目所给的数字往往让在解题时无从下手,无法想出这个数字从何而来,一但转化

为零后,解题时只需要考虑对算式的变形,最后只需判断算式的正负号.第三种方法使用范围比较小,它一般具有特殊的条件如ab1, a2b21这种情况下会考虑三角代换,采用三角代换最需要注意的是

角的范围,一般学生在采用代换时往往忘记角的范围,从而无法确定三角

函数值的范围,容易产生多解或错解.这种方法好处在于已经知道了三角

值的范围,且三角函数含有多种变形方式可以对式子进行更好的化简.并

且利用三角值的确定性能很快的得到所求式子的范围.本题三种方法均

可采用,根据学生个人的掌握程度来选择方法.本论文主要对高中不等式的常用证明方法进行简单的总结,使中学生在证明不等式时有法可依,能尽快的找到适合的方法,主要介绍构造法,作差法,放缩法,判别式法,反证法,向量法这些常用的方法.江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

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