《关于“数、字母的运算”的数学分析》作业1

第一篇：《关于“数、字母的运算”的数学分析》作业1

认真回顾《关于“数、字母的运算”的数学分析》这门课，简述应从哪几个方面理解“整体把握运算”？

认真回顾《关于“数、字母的运算”的数学分析》这门课，我觉得应从以下几个方面理解“整体把握运算”：

1、对运算对象进行数学的分析

2、初中老师要了解小学的运算对象及法则

3、将教材及课标中所有与负数有关的内容梳理一遍，并思考在掌握负数与负数的运算中

哪些是关键点？如何克服这些关键点？

4、请老师将在关键点上的教学思考做成案例交流，互相推动。

5、字母运算的本质是数的运算。

6、字线的本质是数，可以代替不同的数，可以被 指定代替一定范围的数。

7、要在运算的应用中不断地理解法则的必然性、作用和好处。

8、要给学生体验的机会，积累正面和反面的经验。

9、强调通性通法

第二篇：《关于“数、字母的运算”的数学分析》作业2 Word 文档

认真回顾《关于“数、字母的运算”的数学分析》这门课，我觉得应从以下四个方面理 解“整体把握运算”：

1、运算的对象：数和字母（式）。

（1）对运算对象进行数学的分析（2）初中老师要了解小学的运算对象及法则（3）要从负数的意义和负数的表示两个维度去关注负数（4）将教材及课标中所有与负数有关的内容梳理一遍，并思考在掌握负数与负数的运算中 哪些是关键点？如何克服这些关键点？（5）请老师将在关键点上的教学思考做成案例交流，互相推动。（6）字母的本质是数，可以代替不同的数，可以被指定代替一定范围的数。（7）字母运算的本质是数的运算。

2、运算的背景和规则。（1）要结合课本内容思考运算的目的和作用（2）要从“为什么要

设定运算法则、在初中有哪些运算法则、如何帮助学生理解运算法则”入手理解运算法则（3）要在运算的应用中不断地理解法则的必然性、作用和好处。（4）要给学生体验的机会，积累正面和反面的经验。

3、运算的应用。（1）恒等变形（2）求解方程（3）求解不等式（4）分析函数的变化。

4、运算中的基本思想。

（1）程序化思想：解决一类问题而不是一个问题。（2）要讲理。（3）强调通性通法

第三篇：1字母表示数教学设计

四年级下册《用字母表示数》教学设计

八里姜学校

李峰

教学内容：

教学目标：

1．在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；学会含有字母的乘法算式的简写和省略乘号的写法，认识a，理解a 的意义。

2．在探索数量关系的过程中，体会用字母表示数的优越性，感受数学的简洁美。

3．渗透不完全归纳思想和代数思想，培养符号化意识，提高抽象和概括能力。

教学重点：理解用字母表示数的意义，会用含有字母的式子表示数量。

教学难点：能用含有字母的式子表示数量，体会字母表示数的优越性。

教具准备：课件

教学过程：

一、联系生活，引入新课

1、汇报交流

（1）师：课前老师让大家找一找生活中你见过的字母缩写，找到了吗？快拿出来，给大家介绍一下。（找学生回答）师：老师也收集了一些。【课件出示】cctv指的是？M指的是？kfc指的是？NBA呢？现在，老师有一个问题了，为什么人们要用字母来表示这些名称或标志，也就是用字母表示它们有什么好处呢？

师：说得非常好，用字母表示它们简明概括，可以方便人们交流。

2、揭示题目

（出示扑克牌）除了刚才我们所展示的字母缩写之外，扑克牌上也有字母，这几张牌当中谁最大，为什么？（生答）那么这里K表示什么?(13)J呢?(11)Q呢?(12)看来，字母不但可以简洁地表示一些特定的名称或标志，还可以用来表示数。今天，我们就一起来研究用字母表示数！【板书:用字母表示数】

二、儿歌激趣，初步构建

情境1：同学们，有一首特别有趣的儿歌叫“数青蛙”，你们会说吗？

【投影情境1】：1只青蛙1张嘴，2只青蛙2张嘴，3只青蛙3张嘴......同学们，一起来段拍手歌，放松一下，怎么样？【老师边拍手边唱】一起来吧！再快一点！

【乱了时，做暂停手势】有什么感想啊？（生：说不完）

师：很多只，说不完，那你能用一句话表示这首儿歌吗？（小组讨论，汇报交流各自的表示方法，并展示个别学生的表示方法）引导学生比较：你觉得哪种表示方法比较合理？理由是什么？在这句儿歌中，n分别表示哪些数字？

三、观察思考，引导探究

情境2：

1、同学们，在刚才的ＮＢＡ中，你看到了谁？（请学生回答），姚明叔叔厉害吗？关于姚明你知道多少呢？我来考一考大家，首先你来告诉我一个最基本的问题：姚明今年几岁了？能猜出来吗？老师给你一个提示：姚明比你们大20岁？现在你可以猜出来吗？（生回答）

2、你能接着完成这个表格吗？

3、能不能用一种简洁的方式，无论你们是任何年龄，都能简明地表示出那一年姚明的年龄呢？（小组交流）

4、全班反馈：用字母a表示我们的年龄，姚明的年龄可以表示成a + 20。其中a表示什么，a＋20又表示什么？当你们15岁时，姚明多大年龄？

5、如果用b来表示姚明的年龄，你们的年龄又该怎样表示？（b-20）根据这个式子，请你算一算：当姚明70岁时，你们多少岁？到时候我们都成为老头、老太太了，所以我们要趁着我们年轻，要多学点知识，掌握点本领，好不好。那我们掌握点什么本领呢？那我们先掌握点最基本的买东西的本领好不好？

6、（出示题目）：福娃每个3元

（1）请你们想想，你想买几个呢？总的价钱怎么列算式？把你想的写在题纸上 数量（个）1 2 3 4 „„ a 总价（元）

师：字母a可以表示哪些数呢？

（2）简写。师：a×3还有更简便的写法吗？看书你就明白了。打开书本第86页，找到小博士说的一段话，读一读，想一想。（师总结）

（3）练一练 聪明的小法官

1、f×5=5f()

2、f+5=5f()3、7n＝7×n()4、7×3=73()

四、合作探究，感悟新知：

情境3：（出示）

如果正方形的边长用a表示，周长用C表示，面积用S表示。你能用字母表示出正方形周长和面积的计算公式吗？

师生共同探究出怎样写，师一边板书一边说为什么这样写。

（板书：正方形周长：C=a×4=4a； 正方形面积：S=a×a=a2。）

五、学以致用，拓展升华（出示）

1、省略乘号，写出下面各式。

4×b x×5 a×c 1×x x×x 2×x ①教师说明：因为任何数和1相乘都原数，所以字母与1相乘，只写字母本身，如，“1×x”写做“x”。

②（弄清“χ2”与“2χ”的区别）重点说明：x2与2x的不同。

x2＝x×x（表示两个x相乘）

2x＝x＋x（表示两个x相加）

2x＝2×x（表示x的2倍）

2.完成表格

ⅹ 5 8 10 X2

2ⅹ

3.回答下列问题

(1)、小华家到学校的路程是（）米。(2)、小军家到小丽家的路程是（）米。(3)、小华家到小丽家的路程是（）米。4.在括号里填写含有字母的式子。

⑴ 一件上衣a元，一条裤子比上衣便宜12元。一条裤子（）元。⑵ 小刚每天看课外书15页，a天共看了（）页。⑶ 一辆公共汽车上原来有35人，到新街车站下去x人，又上来y人。现在车上有（）人。5 6.（课件出示）过渡:刚才我们一起念了儿歌的前半句,下面我们一起来玩儿歌接力赛,不过要把后半句也加进来。（1）儿歌接力赛。

出示游戏规则:以小组为单位,每人说半句,说错或超过五秒的同学被淘汰出局,剩下的同学接着玩,最后一名同学获胜，每组只玩一次。以小组为单位玩儿歌接力赛，教师巡视指导。（2）汇报交流。

①请获胜的同学用最兴奋的手势告诉老师（注意气氛）,并请获胜者代表谈秘诀。②在学生回答的基础上出示课件，指名填空。③讨论交流：能不能也用一句话把这首儿歌说完？ 小组交流，根据学生汇报得出：

n只青蛙n张嘴，2 n只眼睛，4 n条腿。

7.师：上学期，一年三班有个男孩身患重病急需用钱，少先队号召同学为他捐款，这个活动大家还记得吗？

生：记得.师：这次活动，饱含着全校同学的那份爱心，同时也隐含着一些数学问题.想一想，你从中能提出哪些数学问题，并用一个式子表示出来.(学生自发地进行组内讨论)

师：想好了吗？说一说.生：我提出的问题是全校共捐款多少元？全校共有47个班，平均每个班捐款a元，全校共捐款数就用47a表示.生：四年组比二年组多捐款多少元？四年组捐款x元，二年组捐款y元，四年组比二年组多捐款(x-y)元.生：四年组一班捐款a元，二班捐款b元，三班捐款c元，四班捐款d元，五班捐款e元，六班捐款f元，七班捐款g元，八班捐款h元，a+b+c+d+e+f+g+h, 就表示四年组共捐款的钱数，用(a+b+c+d+e+f+g+h)÷8就表示四年组平均每班捐款多少元？如果再用x表示四年组的总人数，那么(a+b+c+d+e+f+g+h)÷x就表示四年组平均每人捐款的钱数.六、总结

1.师：通过这节课的学习，用字母表示数方面，你有什么收获？

2.总结：这节课同学们学得都很棒！最后老师想送大家一句话。Ａ＝Ｘ＋Ｙ＋Ｚ，这是近代伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘决时写下的一个公式。他解释道：Ａ代表成功，Ｘ代表艰苦的劳动，Ｙ代表正确的方法，Ｚ代表少说空话。(多媒体)老师把这个公式送给同学们，希望同学们能在这个公式中得到启发，刻苦努力，乘风破浪，勇往直前，你一定能够到达理想的彼岸。

板书设计：

字母表示数

运算定律

a+b=b+a

表示任何一个数 n n 数量关系 a+20 b-20 a×3=3a

计算公式 c=4a s=a2

第四篇：工科数学分析作业

多

1、多元函数的极限与连续

海因定理：lim

1110810316贾金达

f(P)A的充分必要条件是：P以任何点列、任

PP0何方式趋于P0时，f(P)的极限都是A。

换句话说，当动点P以不同的方式或路径趋于P0时，极限不相等，则可以判定二重极限不存在。例1 求下列极限

1 lim(22(xy)22xxy)e

(2)lim(xy)lnx(y)x0

yy0

解:1 对于充分大的x和y x2y2xyxexyeeexyeey0

或者 x2y2(xy)2

令xyu

则x2y2(xy)2exyexyu2eu

当u时，上式趋于0。

(2)利用极坐标变换

xrsinyrcos

(xy)ln(x2y2)rcossinlnr24rlnr0

例2 

设f(x,y)(x2y2)cos1,x22x2y2y0 0,x2y20

试问在点(0,0)处，是否连续，偏导数是否存在？

f(P)的由于

f(x,y)f(0,0)f(x,y)0 (xy)cos221xy22xy022

所以，f(x,y)在点(0,0)处连续

由偏导数的定义得

fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)xx0limxcosx01x0，同理f(0,0)0

y

于是，f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在。

2、偏导数与全微分 f(x,y)若在点(x0,y0)处可微，则zf(x,y)在点(x0,y0)fx(x0,y0)处两个偏导数dz和。

fy(x0,y0)都存在，且有=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy 2 则必在(x,y)连续，且该函数在f(x,y)若在点(x0,y0)处可微，(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)都存在。

全微分的形式不变性可理解为：对什么变量求偏导数就乘以什么变量的微分，无论这个变量是自变量，还是中间变量。多元函数的复合求偏导不论复合关系多复杂，其基本原则是：有几个中间变量求出来就有几项，每项先对中间变量求偏导再乘以中间变量对自变量的偏导数。例（武汉大学1995）

设二元函数

解：

(1)fx(0,0)fy(0,0)0，易得(2)(x,y)(0,0)12222(xy)cos,xy022 f(x,y)xy220,xy0(1)求fx(0,0)fy(0,0)

(2)证明：fx(x,y)，fy(x,y)在(0,0)(3)证明：f(x,y)在(0,0)不连续

处可微

时

1xy2 fx(x,y)2xcosxxy22sin1xy22

利用极坐标变换

lim111limcossinfx(x,y)lim2rcoscoscossinr0rrr0r(x,y)(0,0)显

然不存在。

故fx在(0,0)不连续，类似可得f在(0,0)不连续。

y(3)证 limzfx(0,0)xfy(0,0)y00

即化为

(xy)cos221xy22

(x,y)(0,0)limxy22limcos010

此式显然成立。

3、隐函数微分法 隐函数可分为由单个方程确定的隐函数以及由隐函数组确定的隐函数，隐函数可以是一元的，也可以是多元的，首先要掌握隐函数的存在唯一性定理，然后再熟悉隐函数求导的公式和程序。

一、单个方程确定的隐函数偏导数的求法

1.公式法

若F对各个变量皆存在连续的一阶偏导数，且Fz0,则由F(x,y,z)0确定的隐函数zz(x,y)也是连续可偏导的，并且有公式

zxFxFzzyFyFz;

2.链式法则的应用

在方程F(x,y,z)0中

zz(x,y)，即

F(x,y,z(x,y))0

上式的两边分别对x，y求偏导，得：

FxFyFzzxFzzy0

03.全微分法

一阶全微分具有形式不变性的优点，可广泛应用于求隐函数的微分以及各个偏导数，且不易出错。

FxdxFydyFzdz0

例1 设zz(x,y)由方程z5xzyz1确定43，求

zxy2|(0,0)。解

在原方程两边对x，y求偏导，分别得到：

5z4zxz4xz43zx33yz2zx0

5z4zy4xz3zyz3yz3zy0以x=y=0代人原方程的z=1，再以x=y=0，z=1代入以上两个偏导数方程得

zx|(0,0)1z,|(0,0)0.2 5y然后再对式子两边关于y求导，并将数据代入得：

zxy2|(0,0)325

例2

设uf(x,y,xyz)，函数z(x,y)由方程g(xyzt)dtexyzxyz确定，其中f可微，g连续，求x

解：令vxyztxyzzuxyuy.z则xyg(xyzt)dt.g(z)zxxyg(v)dv，得方程

zxyg(v)dve两边对x求偏导有 得zxyg(xy)yzeg(z)xyexyzyg(x,y)exyzy(zxzx)，xyz.f1f3y(zxzx)又y和x类似，ux代入并整理得：xuxyuyxf1yf2.二、隐函数组微分法 对于多变量多个方程确定的隐函数偏导数的求法，亦如单个方程的情形，有公式法、利用复合函数偏导数的链式法以及全微分的方法。1.公式法

定理

设隐函数组方程（1）F(x0F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0满足，初始条件；

F,G以及它们的,y0,u0,v0)0,G(x0,y0,u0,v0)0（2）在P(x0,y0,u0,v0)0的某邻域内，函数各个偏导数皆连续；（3）J(F,G)(u,v)在点P0不等于零。

则在点P0的某邻域内，由方程组唯一的确定了两个二元隐函数

uu(x,y),vv(x,y)

并且u(x,y),v(x,y)连续可偏导，求导公式为

1(F,G)J(x,v)1(F,G)J(y,v)uxuy，vxvy1(F,G)J(u,x)1(F,G)J(u,y)。2.复合函数链式法则的应用

对方程组的两边关于x，y分别求偏导数的方法，视u和v为x，y的函数。

FxFuuxFvvx0 GGuGv0uxvxx我们在解题时只要掌握了其中的数学思想，就不必死记硬背某些公式，这样才减轻负担的同时反而提高了学习效率。

3.全微分法

对方程组的两边求微分，利用微分的形式不变性，得到

FuduFvdvFxdxFydy0 GuduGvdvGxdxGydy0这是一种单纯的不易出错的方法，同时采用这种方法也很普遍。

下面对这三种方法举例子： 例

huf(x,y)设函数u(x)是由方程组g(x,y,z)0h(x,z)00,gy0,求dudx.所确定，且

z

分析

方程组含有三个方程，四个变量x、y、z、u，故应该有一个是自由变量。可选取x作为自变量，y、z、u皆是x的一元函数，这样，求导数或是偏导数时才不易出错。解一 对g(x,y,z)0h(x,z)0两边关于x求导数，视yy(x),zz(x),得

gxgyygzz0 hhz0xz解出

uxfxgxfygygzfyhxgyhz。

解二

原方程组求全微分

dufxdxfydygxdxgydygzdz0 hxdxhzdz0一样能够得出结论。

将两种方法做一个比较，不难看出，利用全微分方法简便易行。

例 若u(x,y)的二阶导数存在，证明u(x,y)条件是uuxy2f(x)g(y)的充要

uuxy

（清华大学）

注：方法独特 令vux，原方程化为uvyuy0

vyvuy。

uvu2等价化为即

vv0,知1(x)uyulnux

凑微分得 解得

从而

1(x)

lnu1(x)dx2(y)

uf(x)g(y)。

4.多元函数的极值 极值的定义

若在(x0,y0)的某空心邻域内恒f(x,y)f(x0,y0)(或(f(x0,y0))

则称f(x,y)在(x0,y0)取到极大值或是极小值，对于自变量的取值有附加条件的极值称为条件极值。2 极值存在的必要条件

设zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在(x0,y0)处有极值，,y0)0，令 则必有fx(x0,y0)0，f(xy0(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，(x0,y0)，BfyxAfxx则：（1）（2）B2A20时，(x0,y0)不是极值点； B2A20时，(x0,y0)为极值点，当

A<0时，为极大值点；当A>0时，为极小值点。

注：求极值的基本步骤：先解方程组f(x,y)0,f(x,y)0,所有

xy驻点；对每一个驻点(x0,y0)，求A,B,C的值；由B2AC的符号确定是否为极值点，由A的符号确定是极大值点还是极小值点。条件极值 函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值成为条件极值。求

条件极值的常用方法是拉格朗日数乘法：先构造辅助函数

F(x,y)f(x,y)(x,y)，(x,y),Fxfx(x,y)x再解方程组Fyfy(x,y)y(x,y)，F(x,y)0,得x，y以及，则其中x，y，就是可能极值点的坐标。类似可求函数uf(x,y,z)在条件(x,y,z)0下的可能极值点。多元函数的最大值、最小值及其简单应用

闭区域上连续多元函数的最大值就是区域内部的极大值和边界上的条件下的极大值中的最大的数，它可能在区域内部或边界上达到。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最大值，最小值也一样。例

设曲面

x2a2yb22zc221在点P(x,y,z)处使在该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小；并说明函数uaxbycz222在点（1,1,1）处沿向量OP上的方向导数是否是该函数在改点处的方向导数的最大值。【解】曲面

x2a2yb22zc221在P(x,y,z)处的法向量为(xa2,yb2,zc2)，在P处的切平面方程为

xa2(Xx)yb2(Yy)zc2(Zz)0，所以，切平面在x,y,z轴上的截距分别是与三个坐标面所围成的四面体的体积为V1abc6xyz222a2x,b2y2,c2z，于是，切平面

1abc6xyz22，即求条件极值的问题，作F(x,y,z,)(xa22yb22zc221)，求解方程组

FxFyFzF0,0,0,0.解方程并结合实际问题知,当P为(a3b3uyc3a3,b3,c31)时，体积最小。

向量OP=(ux，)的单位向量为

uy(1,1,1)abc222(a,b,c)，又

2a;(1,1,1)2b;(1,1,1)2c;

所以，所求方向的方向导数是2(a2b2c2)，求出u的梯度可知u在(1,1,1)处OP的方向导数是u在点（1,1,1）处的方向导数的最大值。

空间曲线的切线与法平面（略）；

*本章的难点偏微分方程的综合题，其中往往要用到字符的代换

【例1】 设函数f(u)有二阶连续导数且zzx22f(ecosx)y满足

zy22e2yz,zx21,zxx20，求f(u)。

【解】 由复合函数的求导链导法则，可得

zxzyf(u)e(sinx),yzx222yf(u)esin22yxf(u)ecosx，f(u)ecosx,yzx222y22yf(u)ecosxf(u)ecosx，所以

zx22z2z2y2y22yf(u)e.又

zx22f(u)e2y.所以 f(u)f(u).这是一个二阶常系数线性微分方程，解此方程得

f(u)C1eC2euu.将初值条件代入得

C1C212，uu故

f(u)0.5(ee).【例2】设uu(ux22xy)具有连续二阶偏导数，且满足

22uy221u22uxy, xx试求函数u的表达式.【解】 令ruxxy22，则 u变为了只和r有关的因变量。

xdu, rdrux2221duxdu223rrrdrrdr1duydu223rrrdrrdry2x2u22，uy2u22代入原方程，即得

dudrur.2再解二阶常系数线性微分方程方程，得

uC1cosxyC2sin22xyxy2.2222其中C1,C2是任意常数。

第五篇：整体把握‘数和字母的运算’,全面提升学生运算能力”作业郭金城

整体把握‘数和字母的运算’，全面提升学生运算能力”作业

盐山县孟店第一中学郭金城

课程中在数学教师的专业发展方面提出了哪五种建议：

1、教师要给学生树立良好的师德形象，教师应该从整体上把握教材体系、数学课程、教学内容，要有全局观。

2、在教学中准确把握教与学的关系，教学过程要有针对性，科学性，提高学生学习兴趣。

3、提高对数和字母运算的数学分析能力，掌握运算法则，运用恒等变形，求解方程，函数变化等数学思想来分析。

4、帮助学生提高运算能力，帮助学生建立模型、指导学生总结方法、理解掌握运用数学思想。

5、帮助学生培养良好的计算习惯、树立良好的评价机制。