平面三角形与空间四面体之间的类比大全

第一篇：平面三角形与空间四面体之间的类比大全

平面三角形与空间四面体之间的类比

山西原平一中 任所怀

“类比是伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”（波利亚）。新教材中引入类比这一内容，从根本上改变了我以往对数学的看法。虽然我以前也知道到类比，但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授，让学生使用。如今总算可以放开手脚，大胆应用了。

在教学中，我进行了多种对象的类比。在我的启发下，学生也主动进行了研究。平面三角形与空间四面体是一组典型的类比对象。现把我和学生的一些研究总结如下，希望能与更多的同仁进行探究。

首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。

一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。

二、三角形的任意两边之和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。

三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。

四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为

。任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的体积为。

五、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为，高为，外接圆半径为，内切圆半径为。外接圆半径是内切圆半径的2倍。

正四面体棱长为a时，表面积为，高为，外接球半径为，内切接球半径为。外接球半径是内切球半径的3倍。

六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）如图1所示：G为的重心。且

任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。（重心定理的推广）

如图2所示： E，F分别为A-BCD的重心。，则它的重心坐标为的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体七、三角形中三个顶点的坐标分别为

。向量证明

四面体中四个顶点的坐标分别为的重心坐标为，则它。

八、三角形中有余弦定理：。

在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为各棱为棱的二面角大小分别为

。则有。

余弦定理证明如下：证明：在中利用射影定理有

；以四面体的由上面三式得：

命题得证。

空间中的余弦定理类比证明如下： 证明：由空间的射影定理知 H为点A在平面BCD中的射影，则

同理有：

于是有

=+

+所以：。

点评：在上面的推理论证中，我们不光从已知、结论上进行了类比，而且对证明过程也进行了类比。充分体现了类比的“引路人”作用。

九、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这是勾股定理，它是余弦定理的一种特殊情形。于是可利用余弦定理证明。

在有三个面两两互相垂直的四面体中，三个“直角面”的面积平方和等于“斜面”的面积平方。这是推广的勾股定理，它也正好是前面推扩的余弦定理的特殊情形。于是它可利用推广的余弦定理证明。

十、三角形中有正弦定理：

证明：在于是有

中，有 即：。

同理可证：。，则

而在四面体ABCD中，设棱AB与面ACD，面BCD

所成角分别为。

证明：如图4：作AH垂直平面BCD，H为垂足。

则

所以AH=AB。

就是AB与平面BCD

所成角。

所以

同理：

所以

十一、已知点O是

即。

内任意一点，连接AO,BO,CO并延长交对边于A’，B’，C’，则

证明：如图5所示。

因为与同底，所以

同理：所以；

而在空间四面体ABCD中也可有类似命题：已知点O是四面体ABCD内任意一点，连接

AO,BO,CO,DO并延长交对面于A’，B’，C’，D’, 则

证明：如图6所示。

因为三棱锥O-BCD与三棱锥A-BCD同底;所以

同理：；

所以

第二篇：空间中直线与直线之间的位置关系教学设计

《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计

西吉县回民中学

潘燕

教材分析

高中数学新课程标准对本节课的要求是：在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义。它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础。学情分析

学生通过前面知识的学习，具有一定的空间意识和空间想象能力，对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在分析推理能力、空间想象能力方面比较欠缺。在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强。教学目标：

1、知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、过程与方法

（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

3、情感与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。教学重点、难点

重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．

难点：异面直线概念的理解与求法． 学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 教学过程设计：

思考问题：空间直线与直线的位置关系有几种？

设计意图：由教科书第44页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．

师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在线与黑板左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系．我们今天上课的内容是：

板书：空间中直线与直线的位置关系

观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B'所在直线与线段BC所在直线的位置关系如何？ 学生：既不相交，又不平行．

教师：这种关系我们定义为异面直线．

板书：1．异面直线的定义：把不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）概念辨析：

下列说法是否正确？请同学思考后回答：

如图，AD'平面A'B'C'D'，BC平面ABCD，问AD'，BC是否是异面关系。

教师：同学们要理解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，虽然直线AD'，BC是不在同一底面上，但它们却在对角面A1BCD1内，因此，它们不是异面直线。

由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种：

板书：2．空间直线的位置关系：

板书：3．异面直线画法：（幻灯片给出图形及小标题）：

（1）．一个平面衬托画法：

（2）．两个平面衬托画法：

（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考：

长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？

生：平行

再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b c∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。（2）例2（投影片）

例2的讲解让学生掌握了公理4的运用（3）教材P47探究

让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。

4、组织学生思考教材P47的思考题

（投影）

让学生观察、思考：

∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理

=>a∥c

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

5、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选

2择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

（3）例3（投影）

例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。

课堂练习

教材P49 练习1、2 充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。课堂小结

在师生互动中让学生了解：（1）本节课学习了哪些知识内容？（2）计算异面直线所成的角应注意什么？ 板书设计 教后反思

本节课的教学目标是：理解异面直线的概念；会判断两条直线是否为异面直线；理解异面直线所成角的概念；会求简单的异面直线所成角的大小。通过本节课的教学，使学生感知数学，体验数学；培养学生的空间想象能力和化归转化能力；了解科学学习方法和研究方法，增强创新意识和实践能力，训练学生独立分析问题解决问题的能力。我在使用信息技术上还是很不成熟的，这既与客观条件有关系，也与我自己的认识和能力有关系，以后还有很多需要提高的地方。当然，在利用信息技术的同时，双基的训练不能忽略，还应当进一步加强，数学教学的本质是培养和锻炼学生的逻辑思维能力，我们不能为了用课件而用课件，在这节课我深有体会，比如课堂上我发现有部分学生忙于记笔记，而跟不上上课的思路，导致引导起来比较费力一些。应该根据不同的学生和课堂情形，灵活处理，要充分发挥学生的主体地位，真正从学生的发展这个角度来灵活实现信息技术与数学教学的有机整合。

第三篇：空间点线面之间的位置关系教案

空间点、直线、平面之间的位置关系

考情分析

1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．

2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

基础知识

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

注意事项

1异面直线的判定方法：

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

2.(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．

(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线． 题型一平面的基本性质 【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）．

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析

如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．

同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D

【变式1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．

解析

在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．

答案 ①②③

题型二 异面直线

【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行

解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行．根据公理4，则a∥b.与a、b异面矛盾．

答案：C

【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析 如题干图(1)中，直线GH∥MN；

图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面； 图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面． 答案(2)(4)

题型三 异面直线所成的角

【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．

解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【变式3】 A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解

如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.题型四 点共线、点共面、线共点的证明 【例4】►正方体

ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．

证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．

【变式4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点

证明 ∵E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH綉BD，而＝＝，∴＝，且FG∥BD.∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．

【例5】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直

线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错． 答案 B

巩固提高

1．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是

（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC

解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；

B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；

C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC； D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：C

2．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()

A．a∥b且c∥d

B．a、b、c、d中任意两条可能都不平行 C．a∥b或c∥d

D．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行 解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C

3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂α

B．a⊂α，b∥α

C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时，D才可能成立．

答案：B

4．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()

A．AB∥CD

B． AB与CD异面 C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D

5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)

解析：由基本性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故③不正确．

答案：① 答案：90°

第四篇：《空间与图形》数学教案

《空间与图形》数学教案

“长方形、正方形和平行四边形”的教学是在学生已经初步认识了长方形、正方形的基础上进一步认识长方形和正方形的角和边的特征。而平行四边形在教材中是第一次出现只要求学生能从具体的实物和图形中识别哪个是平行四边形，对它的一些特征有个初步直观的认识。本节课的教学为下节学习长方形、正方形的周长做了铺垫。并为今后深入学习长方形、正方形和平行四边形的内在联系奠定基础。

由于本学段学生的思维处于形象直观阶段，因此教学中我利用学生已有的生活经验，通过引导观察和操作获取数学知识。

根据新课标对“空间与图形”提出的’初步建立空间观念发展形象思维”的要求及学生的心理特点和认知规律，结合三维目标，我确立了本节课的教学目标：

1、知识与技能目标：通过观察操作能用自己的语言描述长方形、正方形的特征，初步认识平行四边形。

2、过程与方法：让学生亲身经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，能合理清晰地阐述自己的观点，培养学生的推理能力。

3、情感态度价值观：

激发学生对身边数学有关的某些事物的好奇心，能积极参与生动直观的数学活动。

本节课的重点是：掌握长方形、正方形的特征，初步认识平行四边形。

难点是：弄清长方形、正方形之间的区别与联系。

为了更好的实现教学目标，课堂上我注重让学生在现实情境和已有的知识经验中理解数学。引导他们在观察、操作、猜测、验证、推理与交流等数学活动中探索发现长方形、正方形和平行四边形的特征。并鼓励学生用自己的语言进行描述，使他们经历“做数学”的过程。真正促进学生在知识与技能、情感态度价值观和一般能力方面的全面发展，而不仅仅局限于知识与技能方面的发展。

新课标指出：“有效的数学学习不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”这一理念，我采取了“引导

第五篇：“空间与图形”教学策略

“空间与图形”教学策略

数学课程内容标准分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域。#此前在首页部分显示#这节数学课的教学内容——“平移与旋转”属于“空间与图形”。《数学课程标准》与原《数学教学大纲》相比，其变化一方面是体现在内容结构上，另一方面是体现在课程内容上。变化的课程内容中有增强的内容，也有削弱的内容。其增强的内容之一是有关“空间与图形”领域知识的教学。在空间与图形的教学中，课标把发展学生的空间观念作为核心目标，而以前的大纲没有把这一目标当作重中之重。

以往的小学几何教学，只是单纯的学习习近平面图形和立体图形的概念、性质和计算，教材中除了长方体、正方体、圆柱、圆锥几个简单几何体的体积、表面积计算外，几乎没有任何别的三维空间的内容，对现实生活中很多实际问题都涉及不到。学生虽然会解答复杂的面积、体积计算，但不知道一吨煤有多少？装一吨水的容器应该多大？学习了许多计量单位，会进行复杂的化聚法，但不知道1千克鸡蛋约有多少个？不会看公共汽车线路图„„对于这样的教学结果，根本谈不上空间观念的培养。

而新课标将以往的几何拓展为“空间与图形”，把视野拓宽到学生生活的空间中。内容涉及到现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换。比如一年级理解物体的前后、左右、上下，从不同角度观察物体；二年级的认识东南西北，不同角度观察长方体与正方体的形状。像我们三年级“平移和旋转”的前一课是“对称图形“，它的教学目标不仅要求学生感知现实世界中普遍存在的对称现象，体会对称图形的特征，而且要能在方格纸上划出简单图形的对称图形。而人教版教材直到五年级下学期才认识对称图形，且不要求画图形的对称图形。新课标使学生在观察物体、认识方向、制作模型、图案设计、实验操作等各种活动中，更好地理解人类赖以生存的空间，理解和认识现实世界。

另外，小学生的思维方式正处于以具体形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，这一阶段恰恰也是儿童空间知觉，即形体直观认知能力形成的重要阶段。可见，小学生的空间观念还处于初步发展阶段，这种能力的培养仍然与直接和感性经验相联系，仍然具有很大成分的具体形象性。在学生空间观念的发展上，教师应从具体事物的感知出发，在学生获得清晰、深刻的表象后，再逐步抽象出几何形体的特征和性质；要引导学生有目的、有顺序、有重点地去观察所学过的几何形体，在学生反复细致观察的基础上发展其空间观念。

发展与培养学生的空间观念尤为强调的教学目标，基于这些认，“空间与图形”的教学策略我就从以下五方面进行阐述：

一、问题情境是形成空间观念的有效切入点。

二、学生经验是发展空间观念的基础。

三、实践操作是培养空间观念的重要形式。

四、实际应用是运用空间观念的良好土壤。

五、多媒体课件是培养空间观念的有效手段。

一、问题情境是形成空间观念的有效切入点。

俗话说良好的开端是成功的一半。引入阶段正处在一堂课的起始阶段，处理的是否恰当，直接影响到学生学习的情绪，以及思维的活跃程度。因此，在教学中，我非常重视新授课的导入。在课的开始我给学生播放带有平移和旋转画面的儿童歌曲，在学生的无意注意中感受物体的运动，有效地与物体运动中的 “平移旋转”紧密衔接起来，由于熟悉与喜爱学生跟着唱起来，学生不由自主地进入角色。再比如教学年月日时，我饶有兴致地请学生猜谜语：“一物生来真希奇，身穿三百多件衣。每天给它脱一件，脱到年底剩张皮”。这种兴趣导入把学生的心理调节到最佳状态，使学生处于一种积极思维的状态中，从而激活思维。

数学课堂导入的方式方法非常多，我只简单举了两个例子。北师大教材用“问题情境——建构模型——解释、应用与拓展”的模式展开，以相关问题情境的研究作为开始，这已成为学生了解知识、学习知识的有效切入点。我觉得每节数学课找准切入点，创设一个生动、有趣的情境，激发学生探索未知世界的兴趣、欲望，使学生在轻松、愉悦的环境中接受新知特别关键。

二、学生经验是发展空间观念的基础。

人们对图形的认识，首先不是通过逻辑推理，而是依赖于经验，依赖于直觉观察、反复实验而成的。因此我们应当承认：在数学学习中，学生并不是一张白纸！学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。

因此，我利用课件动感直观的优势让学生在观察、感受中认识身边丰富的“平移和旋转”现象，让学生欣赏物体运动的图像的同时，思考这些物体是怎样运动的，从而轻而易举地建立起对这两种运动的具体的感性认识，并让学生根据物体的运动特点分类，以此引导学生将两种运动进行对比，并通过对比发现两种运动的特点，从而突破知识建构过程中的困难，让孩子的感性经验成为课堂教学的资源，成为教学目标的组成部分。

当平移与旋转的概念在学生的头脑中初步形成，我出示一些从网上搜集到的图片，学生用刚刚建立的“平移与旋转”的知识判断生活中物体的运动，进一步感知平移与旋转现象的普遍存在。

当学生的感觉知觉在头脑中形成表象后，我又拓展他们“平移与旋转”物体运动现象的视野，让学生说出生活中还有哪些平移与旋转现象？在这一过程中，学生的空间经验得到不断的补充和概括，逐步上升为“空间观念”，形成一种能力，真正演绎知识建构的全过程。

作为教师，应充分挖掘和利用身边丰富有趣的实例，应当尊重、调动学生已有的经验，因为这些现象是图形变换知识的基础和源泉。如果对这些现象缺乏充分的感知和浓厚的兴趣，不仅导致所学知识与生活经验脱节，成了无源之水、无本之木，学生学起来抽象、乏味，而且人也由于来自缺乏来自生活现象的启示，而逐渐丧失想象力和创造的灵感。真实的课堂应该面对学生真实的起点。

三、实践操作是培养空间观念的重要形式。

按照皮亚杰的观念：空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须有动手做的过程。这个做的过程，不仅是一个实践的过程，更是尝试、想像、推理、验证、思考的过程，只有在这样的过程中，学生才能逐步把握概念的本质。操作、测量、实验、设计、欣赏、推理和论证的训练以及合作学习、探索性活动都应成为“空间与图形”教与学的重要形式。教材中出现的“画一画、折一折、描一描、搭一搭、移一移”等等都是要学生通过实践、操作体验图形变换的知识并形成技能。因此，在课堂教学中，教师应积极创造条件，让学生动手操作，多种感官协调统一，在实践操作过程中引导学生感受、探索、发现未知。学生只有通过自己的实践、探索，才能真正掌握所学的知识。其本质就是“做数学”，只有做，学生才能真正理解。在这个意义上，有效的空间与图形学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。

平移、旋转的现象在生活中虽随处可见，但平移旋转的特点要让学生用语言表述很难。在这节课上针对三年级的学生在运用严谨的数学语言进行描述的不足，我调动学生用肢体语言进一步感知和表达两种运动的特点，以动作的准确性来弥补语言表达的不足，动作逻辑能内化为心理的逻辑。

与其他数学内容相比，空间与图形更能激起学生良好的情感体验。在动手操作过程中深刻体会和把握图形变换的特征，操作体验中学习，使学生经历知识、技能的形成过程，也有利于培养实践能力和创新意识，从中体会创造的乐趣与艰辛，领略图形世界的神奇。“眼过百遍，不如手过一遍”。

四、实际应用是运用空间观念的良好土壤。学生建立了清晰的表象，摆脱了具体事物的束缚，顺利地过渡到空间形式的掌握后，将所学知识应用于现实世界，这将成为学生学习数学的动力。

古老的上海音乐厅成功平移66米以及猫捉老鼠的游戏都是应用本节课所学知识。当课堂所学知识在现实生活中得以应用，学生会惊讶，感叹。学到的知识进一步得到发展、提升。

其实学生解决这些问题过程中，已经有意无意唤起这些图形在头脑中形成的表象，再现了这些图形的特征，然后把它们抽象出来。学以致用，促进了学生空间观念的发展。

五、多媒体课件是培养空间观念的有效手段。

教师在课堂教学设计中，要尽可能地创设出优化的学习环境，以促进学生的高效率学习。计算机被人们认为是“教学过程中优化学习环境、辅助学生学习的有效的认知工具”。它在帮助学生掌握知识及技能、激发学生主动探索知识等方面创设的学习环境，是其它工具所无法替代的。

首先利用课件，激发学生学习的兴趣。

在传统的数学教学活动中，教师对数学的描述大多是通过粉笔，黑板进行的，难以生动地表现与数学概念有关的信息背景。利用计算机能较容易地设计出具体事物的模拟仿真环境，代替书本或仅用抽象语言的描述，激发学生的学习兴趣，使学生更容易理解和建构数学知识。

“平移与旋转”中的“平移”用自定义动画中的动作路径就能实现。学习图形平移几格时，我创设了“小猪与小马吵架，请同学们评理”的情境，当用大屏幕演示出这幅反映内容的画面时，马上就引起了学生的好奇，在老师的启发引导下，同桌之间、小组之间进行了激烈的讨论。并在课堂上踊跃发言，纷纷提出自己的见解，激发起学生极大的探究欲望。

如果通过黑板用文字直接表述，不易提起学生解题的兴趣和欲望。通过计算机创设问题情景，不仅激发了学生学习的浓厚兴趣，学生学起来特别投入、专注，而且使学生在我设计的“问题情景——分析问题——解决问题”的各个环节中保持高度兴奋，使得学生的数学学习变得更为有意义，而不是机械地为学数学而学数学。同时学生们也看到了如何将一个生活问题数学化的过程，培养了学生用数学知识解决实际问题的能力，提高了学生的学习效果。

其次，运用计算机，设计动态模拟，使抽象深奥的数学知识以简单明了、直观的形式出现，能让学生迅速而准确地建立数学概念和性质，轻松地学。

利用计算机进行课堂演示，通过精心设计的动画、插图和音频等，可以缩短了客观事物与学生之间的距离，更好地帮助学生思考知识间的联系，促进新的认知结构的形成。把运动和变化展现在学生面前，使学生由形象的认识提高为抽象的概括，这对于培养学生良好的思维习惯会起到很好的效果。同时，在这里也应注意，计算机的演示只能是帮助学生思考，而不能代替学生的思考，教师应当恰当的给予提示，结合计算机的演示帮助学生完成思考过程，形成对概念的理解。

在空间观念的建立、理解上，有些时候语言的描述繁琐、苍白，甚至无能为力。像这节课开始我给学生展现的升国旗时国旗的平移运动、鼠标的平移、风车的旋转、火车开动时的平移等，设计这样的动态模拟，使学生迅速而准确地建立数学概念和性质，轻松地学，这不是语言所能替代的。

这样的动态模拟画面把抽象的数学问题形象化，从而也帮助学习打通了具体直观与空间想象之间的障碍，培养他们的空间想象力，建立起空间观念，为学生迅速而准确地建立数学概念和性质创造了有利的学习环境。这是传统的教学媒体难以达到的。

再次，提高课堂利用率，做到更高密度的知识传授。

计算机是将传统教学过程中教师通过黑板、投影片、教具模型等媒体展示的各种信息，由计算机加工成文字、图形、影象等资料，并进行一些必要的处理（如动画），将这些资料组织起来。利用这种模式进行课堂教学，在较短的时间内，计算机能使学生多种感官并用，提高对信息的吸收率，加深对知识的理解，这节课在学生总结出观察一个图形的平移过程，只需观察该图形上任意一点的平移过程后，观察三角形的平移过程，我用课件分别出示三角形的三个点，演示三角形三个点平移的方向和位置；小房子向左平移3格，同样用课件演示若干个特征点平移后的位置，从而迅速确定小房子平移3格后的位置。使得静态问题动态化，使得原来难于理解的问题，几分钟内就在学生的脑海中迅速而准确地建构起来，并给学生留下深刻的印象。

但并不是说，计算机用的越多就越好，不能为用计算机而用计算机。如果一个教具能演示清楚的，不一定非通过计算机，计算机作为有效的辅助认知工具是为教学服务的，要把它用得恰到好处。传统教学的优势应该保留，如老师的示范作用、教师与学生之间富于人情味的及时交流，教师组织起来的探讨问题的活跃氛围等等，理想的教学应该是把教师与计算机的优势同时充分发挥出来，把计算机辅助教学与传统教学完美地结合在一起。

对于我们来说，课程改革已不是什么新鲜的话题，但我一直在思索，新课程背景下的数学课堂教学，我们更应关注什么？关注学生的数学思想，数学方法。因为 “思想”是数学的灵魂，“方法”是数学的行为。