第一篇：三角形全等的证明专题
戴雨静数学专题辅导资料2010年7月16日星期五星海学校
三角形全等的证明专题
线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？
（1）条件充足时直接应用
在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找
A两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．
例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．
ED那么图中全等的三角形有___对．
O
BC
（2）条件不足，会增加条件用判别方法
此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．
例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，B还需添加的条件是（只需填一个）_____．
D
A
EC
（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法
在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加 辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用 全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．
例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2． 求证：AO平分∠BAC．
分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两
个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．
A
1O
2BC
C
D
（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，E一般需要作辅助线来构造全等三角形．
例4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，BAF
AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．
求证：∠ADC=∠BDF． G
说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．
（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法
新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．
例5要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件
限制，无法直接度量A，B两点间的距离﹒请你用学过的数
学知识按以下要求设计一测量方案﹒
(1)画出测量图案﹒
(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒图
5(3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒
分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为a，则AB的长就是a．第(3)题易证△AOB≌△COD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长．
解：(1)如图6示．
(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的AB延长线上取一点D，并测
得OD＝OB，这时测出CD的长为a，则AB的长就是a．
(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB．
O又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．
∴CD=AB=a． CD
（注意书写格式和书写过程，一定要严谨！）
图6
评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了
学生用数学的意识﹒
练习
1．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．A
D求证：AE=CE．E F
BC
2．如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．
A求证：BD=CD．
D
BCE
3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB的两边上取OP=OQ，A再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC
平分∠AOB．你能说明道理吗？M
PC
OQNB
4．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．
P A
GE
FH
ACDBBC
5．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证A明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．
7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．
BC
8．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．DCD
O
BA
9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．A
E C BG FA10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．
B
E
CFD
11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么
最省事的办法是（）﹒
(A)带①和②去(B)带①去(C)带②去(D)带③去
12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全
一样的模具，并说明其中的道理．
第二篇：全等三角形证明
全等三角形的证明
1.翻折
如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；
旋转
如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；
平移
如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
2.判定三角形全等的方法：
（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理
（2）推论：角角边定理
3.注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
一、全等三角形知识的应用
（1）证明线段（或角）相等
例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
（2）证明线段平行
例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE
例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．
．
例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。
N
M
FE
C
A B
第三篇：全等三角形证明
全等三角形证明
1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。
CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。
F3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。
4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？
A B
C
第四篇：初一全等三角形证明
全等三角形１．三角形全等的判定一（SSS）
1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？
２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．
求证△ACD≌△CBE．
３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求证∠A=∠D．
４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：∠B=∠D。
B
５．如图, AD＝BC, AB＝DC, DE＝BF.BE＝DF.求证：∠E=∠F
A
DCBF
２．三角形全等的判定二（SAS）
1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．
2．如图，△ABC≌△ABC，AD，AD分别是△ABC，△ABC的对应边上的中线，AD与AD有什么关系？证明你的结论．
3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．
E B
4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．
CB
5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB．
AC
6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE． AE D
３～４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）
1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．
2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm． 求BE的长．
3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。
E
DB
4．已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB
5．如图, AD∥BC, AB∥DC, MN＝PQ.求证：DE＝BE.3 QDPA
6．如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；
(2)求证：BC＝2AB.07．如图，四边形ABCD中， （2）求证：E是CD的中点； （3）求证：AD+BC=AB.8．如图, 在△ABC中, AC⊥BC, CE⊥AB于E, AF平分∠CAB交CE于点F, 过F作FD∥ BC交AB于点D.求证：AC＝AD.C 3eud教育网http://50多万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 全等三角形的证明 1、已知：（如图）AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA。 B C2、已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB。AC3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE。 A C ED4、已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：AB=DE，AC=DF。 E B F C5、已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。 E D B C 6、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：∠B=∠D。 B 3eud教育网 http://教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ A 全等三角形的证明 2、已知：（如图）AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA。 B C2、已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB。AC3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE。 C 1 B ED4、已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：AB=DE，AC=DF。 E B F C5、已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。 E D B C 6、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：∠B=∠D。 B A第五篇：全等三角形的证明
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