第一篇：感谢伤害过我的人
感谢伤害过我的人
感谢伤害过我的人
风平浪静 这几天我一直在忙着期末考试的监考，批卷子，今天总算是有属于自己的时间，把这一段时间的衣服收拾一下。
因为北方的春夏时节，往往气候多变，早上要穿春天的毛衫，中午天气温度升高了，马上就要换上夏季的半袖或者裙子。这样一来我要穿的衣服就有了许多，有的衣服只是找到了还没有穿过，我无意中数了一下，我的裙子竟然有八九条，这八九条款式不同，料子不同，颜色也不同，其中衣柜里还有我没有找的裙子，裤子有长的，短的大概也有五六条，我看着这些衣服，真的有些惊呆了！我的衣服怎么会有这么多呢？
这让我想起八年前一段令我难以
忘怀的往事„„
记得是春天，那时候我还是班主任，每天上午两节课后就是间操，我们班主任都是要跟班级的学生一起到操场上。我有个习惯，就是跟着学生一起做操，我前几天买了件藏蓝色的新风衣，是比较有型的款式，掐腰的，做操的时候袖子有点紧，不太适合，我随手就拿起了T老师的一件黑色风衣，她的风衣是宽松款式，我心情很愉悦的就穿了出去，做完了操，我就一边脱衣服一边说，T老师，还是你的风衣穿着舒服呀！谢谢你了！我的话音还没有落下，我就看她的脸色已经变了，我很紧张的看着她，T满脸嘲讽的说:“你知道吗？你穿完我的衣服，我看这件衣服我都恶心了。”我呆呆的站在衣柜门前，刚才的愉悦一扫而光，什么也说不出来了，泪水就在我的眼里直打着转，我全身无力的挂上了衣服，不知道我是怎么回到了我的办公桌前，坐下，眼泪就控制不住的流了出来，因为是间操时间，下节课还没有上，此时的办公室里有老师还有学生，都在看着我的反映，没有人说一句话，我流着眼泪找到了剪子，我第一打算是，把她的风衣用我手里的剪子给铰成碎条，然后我摔到脸上她两千元钱，因为我知道她的衣服是两百元买的，我想告诉T的是，我有钱，我能买起你这样的衣服，你为什么这样让我难看呢？平时大家都能说得过去，我自己感觉关系还是挺好的，今天怎么能是这样对我呢？我百思不得其解，如果我今天把T的衣服铰成碎布条，那会有什么结果呢？我手里拿着剪子，有些犹豫了„„
我心里的难过，大家都看出了，坐在我旁边的G老师很小心的说：“T老师是跟你开玩笑呢？看你激动得眼睛都出汗了？”我无声的还在流泪，T没有理睬我，更没有说一句安慰我的话，这让我懊恼至极！我为什么要穿T的衣服？我为什么会让T恶心？我为什么会如此伤心呢？我恨死我自己了！！
从那一刻起，我的嗓子不能说出一句话，哑了，而且疼痛难忍，我有三天
时间不能讲课，我完全生活在自卑之中，我暗暗地骂自己，我怎么会这样让人讨厌呢？
我开始反思：平时我总是把同事当作我的亲姐妹，心里没有一丝的隔膜，我从心里没有排斥过谁，我的喜悦与悲伤随时都分享给她们，到头来会是这样的结果。我以后要把自己的位置摆准确，我们就是同事的关系。
我时时刻刻的告诫自己： 我应该感谢伤害过我的T,是她让我知道，什么样的人可以选择做朋友，什么样的人可以选择做知音，而谁能作为我的同事，我是没有选择的权力，如果没有她的伤害，我仍然把我所相识的人都当作朋友。
许多年过去了，每当看到同事穿着漂亮的衣服上班，我真的为她们高兴啊！现在我自己的生活条件也比以前富裕多了，到商城里如果有适合自己的衣服，是一定要买回来的，有时候可以说是比较疯狂的购物，所以我的朋友见到我都说：“你比十年以前都年轻了”听到这
样的赞美声，我不只是表面上挺高兴，而且在我的心里默默的感谢那个曾经伤害我的T，是T让我懂得自己的生活既要有尊严，又要活得很精彩。
虽然T已经离我而去了，我想当年T对我的伤害就算是一种鞭策吧！
我看着眼前这些漂亮的衣服，每一件都在自己身上比量着，心里的满足和幸福涌上心头！
此时的我：感受着现代生活的富足，可以随心所欲的穿到自己喜欢的衣服；感受着身边每个朋友的情谊，可以畅所欲言的谈情说爱；感受着明媚阳光的温暖，可以尽情享受大自然的拥抱！
2014-7-14写于锦绣家园家中T
第二篇：感谢那些伤害过我们的人
感谢那些伤害过我们的人
黄凯拓二（19）班
冷漠的人，谢谢你们曾经看轻我。让我能，更精彩的活。
——题记
生命是一场充满意外的旅程，每个人都会在灾难时相遇，同样也会在惊喜时相逢。生命，有喜悦，就会有灿烂夺目的笑容；亦会有挫折，也就会有难以承载的泪水。
身出逆境之时，会有一些伸出援助之手的人出现，他们会拉我们一把。给予我们鼓励，给我们笑容，让我们体会到，身处逆境之时还是会有阳光，天空并不全是阴霾。可是，我们身处逆境之时，我们有没有感谢过那些曾经伤害过我们的人呢？我想，这个问题，很多人都没有想过。我们身处逆境之时，对那些伤害过我们的人，心里记住的是他们对我们的坏。可是你有没有想过，如果那些人他们不曾伤害过你，现在你又会怎样？感谢伤害过你的人，他们使你的人生与众不同。只有感谢那些曾经伤害过自己的人或事，才能体会出那事实上短暂而又风险的生命意义；只有懂得宽容那些不可能宽容的人，才能看见自己心中的辽阔，才能重新的认识自己。
我的性格，是属于那种大大咧咧，活泼的。刚转入新的班级，免不了接受一些流言蜚语。很多同学就不喜欢我，有甚者更讨厌我的一切言行举止。我无法说什么，嘴巴长在他们的嘴上，管不住。他们做过的事，说过的话，在他们看来，纯属发泄。可那些话到我耳朵里，让我很不舒服。被别人误解，犹如钢针一般，直剜到我的心尖。他们的话语，让我一时之间迷茫了。闲下来的时候，一想到这件事，我就很无奈。想着想着，眼泪就会流下来。
那时，我一边哭，一边在键盘上敲敲打打，断断续续地向远在北京的哥哥叙说。哥哥会很耐心地开导我，他说，那些生活中的人们思维各异，千奇百怪，你不可能让每个人都赞同或接受你的所有．如果喜欢你的人多些，那你便是幸运的，又何必在意那一点点不同的声音，也许，他们真的是上帝派来用他们的方法来让你变得更坚强些．你不能因为别人的伤害而让自己变成充满仇恨的人．你不能左右天气，但你可以改变心情，你不能改变容貌，但你可以展现笑容；你不能控制他人，但你可以掌握自己；你不能预知明天，但你可以利用今天；你不能样样胜利，但你可以事事尽力。
哥哥的几句话，让我陷入了思考：难道我就这样被他们的口水给击败了？如果他们的目的是要我消沉，那我岂不是如他们愿了？想了好久，想得头都疼了。最后，我选择原谅他们的所做所为。是呀，我何必在意那一点点不同的声音？我想，当一个人的意志变得越来越坚强的时候，便是不在恐惧任何的伤害的时候了。我想，或许他们只是无心之过，贪口舌之快而已了。我想，要原谅一个无心伤害你的人，不要做一个轻易被人伤害的人。也训练自己，做一个不被别人的话语轻易扎伤的人。
我想，凡事要学会感谢。
感谢伤害你的人，因为他磨练了你的心志；
感谢欺骗你的人，因为他增进了你的智慧；
感谢中伤你的人，因为他砥砺了你的人格；
感谢鞭打你的人，因为他激发了你的斗志；
感谢抛弃你的人，因为他教导你该独立；
感谢斥责你的人，因为他提醒了你的缺点。
凡事感激，学会感谢，就学会了成熟处世，自强做人！在我们感谢伤害我们的人的时候，也丰富了自己的生活，提升了自己的灵魂。
第三篇：青春期的我们,都伤害过一个人
（邦乔彦 作品）“你试过每天面对50个熊孩子吗？”01有两种职业最容易被道德绑架。一种是医生，因为救死扶伤是他们的天职。一种是老师，因为教书育人是他们的责任。有人说，这两个职业掌握了中国人最在乎的两样东西：一个是生命，一个是孩子。所以这两个职业的风险都特别高，因为他们所面对的群体，情绪都很不稳定，特别容易上纲上线，一言不合就要翻脸，动不动就要撕逼。关于医生的，我写过一篇《逼死所有的医生，我们就得救了吗》，后天是教师节，我想讲讲老师这个职业。我身边好几个朋友是老师，不认识他们，就不会知道他们承受了多少压力和委屈。我还专门征集了粉丝对教师这个职业的体验和观感，看了特别感慨。大众对老师的预期特别高。作为太阳底下最光辉的职业，作为人类灵魂工程师，燃烧自己、照亮别人这种事，他们做了，是应该的，不做，就是坏蛋。但是我们没有想过，他们的工作难度有多大。我们平常对付一个熊孩子就已经很抓狂了。但是一个老师要对付几十个熊孩子。换位思考一下，你搞得定吗？02老师这个职业承受了特别多的误解。第一，大家只看到他们有寒暑假，却没看到他们工作的强度和压力。当老师的，每次都会被羡慕，你们多好啊，每年有寒暑假，好轻松啊！可是，老师的工作时长你们想过吗？每天早上6点起床是正常的，7点多就要到学校，因为基本上7：30或者8点就要上课了，晚上回家要备课、要改作业。如果你是中学老师，要辅导晚自习的话，上班到晚上10点、11点都是正常的。如果你是班主任，哦漏，你就没有下班时间了，因为任何时间、任何地点，学生和家长都需要你操心。经常有突发状况，这个学生打架了，那个学生离家出走了；这个学生生病了，那个学生恋爱了……经常有家长给你打电话，聊孩子的教育问题，时间基本上是半小时起，一个班40多个人，每天就算只有两三个家长来找，也得花挺长时间。几乎所有教师子女都说，很难看到父母，他们都特别羡慕爸爸妈妈班里的孩子，因为爸爸妈妈跟他们相处的时间，比跟自己长多了。很多教师都患上了职业病，比如慢性咽炎。粉丝张宛宁说，“我爸喉咙经常会痒，会发炎，刷牙会流血，各种药都不管用。每次严重的时候，说话都是沙哑声，这时候，老爸还会打趣说道，这种低沉磁性声音最好听了。”老师很容易得皮肤病，因为常年使用粉笔，手指皮肤容易严重开裂，一下水就会剧痛。03第二，大家以为教师福利高、待遇好，其实并不是。有个叫李霞的粉丝就说，她在偏远小城镇当高中语文老师，社会上、网上都以为老师收入高，高中老师怎么样一个月也有5000块，她说自己一个月只有2000块，别人都不信。连打车，出租车司机都要多收她的钱，理由是“你们老师赚得多！”她说，真想活在网络中呀。根据统计，2015年中国教师平均月收入：小学教师3000元，中学教师3500-4200元，大学教师5500元左右。但是在很多发达国家，老师的收入是很高的，可能比医生和律师还高。比如在英国伦敦，有5年教育经历的中学老师年薪高达42-46万人民币。在加拿大，大学老师平均年薪高达45-50万人民币，是中国大学老师的10倍以上。据媒体报道，按购买力来说，中国教师的收入几乎是全球最低的，比印度和南非还低。04第三，我们只看到教师体面的一面，没有看到他们受委屈的一面。这种委屈主要是来自于熊家长。有些家长，孩子出了任何事都怪老师，成绩不好怪老师，不讲礼貌怪老师，谈恋爱怪老师。他们指望老师是魔术师，要让孩子脱胎换骨，大变活人。孩子的所有缺点都是老师没教好。孩子的所有优点都是家里教得好。家长有任何不满意的，动辄告校长、投诉教育局。很多时候他们是捕风捉影、无理取闹。朋友是小学校长，他们学校有个家长来投诉老师，因为她嫌女儿同桌太丑，非要让老师给女儿换位置，老师没同意，就愤而把老师告了。他们学校还发生过一件事，有个学生放学后走丢了，家长怪学校没管好，找来一批亲戚，做好了白布写的标语，“无良学校，还我孩子”，准备第二天在校门口示威。结果晚上10点，找到了孩子，原来是因为孩子回家之后，发现家里没人，就跟同学骑自行车出去玩，骑太远了，迷路了。故事的经典之处在于，第二天，家长把白布标语换成了一面锦旗，送到了学校，上面写着“爱生如子，无私奉献”。有个粉丝“六颗蛋”讲了件特别心酸的事。初中的时候，他的语文老师姓周，也是班主任，24岁，又年轻又帅。课讲得特别好，带他们朗读《项脊轩志》时，会边读边在讲台上流泪。初三时，他妻子得尿毒症死了，他上课依然很认真。班上有个小混混，有次上课，扯开同桌女生肩带，伸手进去直接摸女孩子的胸。女孩子哇地一声就哭了。周老师一下子火大，扇了那学生一耳光，让他出去罚站。结果那学生的爸爸是黑社会大哥，带了几十个兄弟到学校，逼校长把周老师开除了，还挑断他一根脚筋。前几年“六颗蛋”回家过年，在县城的十字街旁看到一个乞讨的老大爷，一眼就看出来是周老师。老师须发全白，苍老得不成样子，在寒风里发着抖。他不敢过去叫周老师，只能怔怔地望着。几分钟后，他才忽然想起什么，抹了一把眼泪，到旁边的炸鸡店买了一堆吃的，拿到周老师旁边。他甚至都不敢和他对视，觉得心酸得要死，一个人哽咽着跑开了。05第四，我们总觉得学生纯真无邪，其实青春期的孩子才是真恶毒。我们或许都取笑过老师的口音。我们或许都嘲讽过老师的长相。我们或许都给老师取过很恶毒的外号。因为工作关系，我曾随团跟一些初中生去国外旅行。十二三岁的小女孩，当着老师的面，一脸谄媚：老师好，老师您辛苦了，要不要吃点水果？然后恭敬地递上洗好的葡萄，虔诚地看着老师吃完。太尊师重道太儒家太孔子了。老师刚走，她们转头就骂：瞧这老师穿得多妖艳，可惜胸部都下垂了，就算当鸡，也没人愿意要她。我当时真的惊呆了。中学的时候，我们都处于叛逆期，特别喜欢跟老师作对。老师对我们严厉，我们嫌他们烦。我们以前还会觉得敢于反抗老师的学生最酷，我们班有个男生拿凳子去砸老师，我们背地里都叫他英雄。现在想起来，当年我们这些熊孩子真不是东西。我一个朋友说，他们中学的时候，班主任不苟言笑，要求特别严格，有些学生不喜欢她。当时班主任怀孕了，情绪不太稳定，有时候会发脾气，学生们就直接诅咒她怀孕都发脾气，以后一定会生个弱智。朋友上大学的时候，有次回学校，看到曾经的班主任牵着一个几岁小孩，小孩看起来呆呆的。后来才知道，这个小孩的智力有问题。她非常非常愧疚。更愧疚的是，那天她还跟老师聊了几句，老师问她的近况，她说自己在念金融系。老师说，你怎么没上中文系啊，我记得你以前作文就写得特别好，你有篇周记里还说你想当作家呢。她没有想到，她自己都忘了的梦想，老师还帮她记得。06跟医生一样，老师也是被黑化得最严重的群体。媒体上总是说老师补课敛财、体罚学生、语言暴力、害学生跳楼什么的，仿佛老师都是恶魔。不可否认，任何行业都有不专业、不敬业的人，可是，大部分好老师被舆论忽视了。我以前在报社的时候，做调查，主题是“老师曾经给你的伤害”，受访者都特别积极参与，滔滔不绝；主题是“老师做过什么让你感动的事”，参与度低了很多，并不是因为老师都不好，而是大部分的人，只记仇、不记恩。我们只记得老师的坏，却忘了他们的好。教师节快到了，记得给曾经教过我们的好老师，说一声谢谢吧。
第四篇：(漫漫求知路)知识与智慧_感谢并祝福伤害过自己的人
《圣经》有这么一段话：“现在我要告诫你们：爱你们的仇敌，并为那些迫害你们的人祈祷，这样你们便能成为你们在天之父的子孙；因为上帝让阳光普照坏人和好人，让雨水滋润良民与歹徒。”如果你们只爱那些爱你们的人，上帝凭什么要赏赐你们呢？即便是收税的官吏也能做到。而你们如果只与自己的朋友讲话，你们又有什么与众不同呢？连野蛮人也能做到。你们必须追求尽善尽美——正如你们在天之父那样完美！
现在，有人将圣经里这段话的意思具体化了，好比是圣经精神的实施办法：
感谢生活中所有曾经伤害过我们的人，正因为他们的伤害，磨炼了我们的心志，让我们变得更坚强！
感谢生活中所有曾经欺骗过我们的人，正因为他们的欺骗，在人生旅途中，增进了我们的见识！
感谢生活中遗弃我们的人，正因为他们的遗弃，教导了我们从此自立、自强！
感谢曾经绊倒过我们的人，正因为他们的搅拌强化了我们的能力，让我们在今后的工作与生活中充满机遇和挑战！
感谢斥责过我们的人，正因为他们的斥责，助长了我们的智慧，让我们一步步接近成功！
上面这些话语，绝非阿Q精神的自我安慰，而是一种崭新的人生视角。要知道，有很多种机会就有可能改变人的命运，包括敌人的伤害。如果自己因此知耻而后勇，自强不息，各方面都得到长足的发展而最终成功了。试问，难道不该感谢一下那些曾经伤害过自己的人吗？他们可是自己的“贵人”哦！
吴佩孚年轻的时候在山东的蓬莱县，当时染上了抽鸦片的恶习。有一次吴佩孚烟瘾发作了，身上又没有钱，便低声下气地对一烟馆老板翁钦生说：“翁爷，能不能赊几筒香香？”翁见他那副猥琐鬼祟的模样，气往上冲，喝道：“你这猪头，也不看看自己是副什么嘴脸，滚出去！”
吴佩孚烟没抽着，反遭一顿凌辱，觉得“此仇不报，非丈夫也！”就和一帮无赖商量了一个计策，就是用钱买通了一个乞丐，用纸包着粪汁，乘翁钦生夜间从大烟间出来，劈头劈脑扔上去，弄得翁钦生满面粪汁，脸面丢尽。
翁钦生经过多方打听，得知扔粪汁的指使者就是吴佩孚，于是通过县令，派衙役拘捕吴佩孚到案，幸亏吴佩孚在衙门里也有狐朋狗友，提前知道了消息，于是他就星夜逃命去了。在逃亡途中，吴佩孚得到一算命先生的指点，于是走上了从军的道路。
多年后的一天，吴佩孚正带兵在火车站巡视，蓦然看见当年那位生死冤家翁钦生。翁钦生同时也看见了他，眼见自己这位老乡身着戎装、手握重兵，吓得浑身战栗，暗叹真是冤家路窄。心想三十六计，走为上计，于是脚底抹油，挤入人群想蒙混过关。
吴佩孚是何等的眼明，高声大呼：“钦生，往哪里去？”让士兵不由分说地把翁钦生拉到军
营里去，翁钦生以为自己这一次要去见阎王爷了，准备听凭吴佩孚的随意处置。
到了军营，吴佩孚却命令伙房安排酒宴，好酒好肉地招待翁钦生，并和他嘘寒问暖的讲起蓬莱的往事来。非但不把他看做仇人，还亲热得很。一连留他住了好几天，最后还替翁买了车票，备了厚礼，亲自执手将他送上了火车。
有人曾问吴佩孚为什么要仇将恩报，他笑着说：“如果翁钦生在家乡时没有对我迫害，我就不会逃亡出来当兵，这一辈子也只能在蓬莱当个穷秀才，落魄一生，更不会有今天出头的日子。所以，正是他的压迫才成全了我。因此我就不能再把他当做仇人了。”
第五篇：深深伤害过老师的100道平面几何
第一题：证明角平分
第二题：证明四点共圆
第三题：证明角的倍数关系
第四题：证明线与圆相切
第五题：证明垂直
第六题：证明线段相等
第七题：证明线段为比例中项
第八题：证明垂直
第九题：证明线段相等
第十题：证明角平分
第十一题：证明垂直
第十二题：证明线段相等
第十三题：证明角相等
第十四题：证明中点
第十五题：证明线段的二次等式
第十六题：证明角平分
第十七题：证明中点
第十八题：证明角相等
第十九题：证明中点
第二十题：证明线段相等
第二十一题：证明垂直
第二十二题：证明角相等
第二十三题：证明四点共圆
第二十四题：证明两圆相切
第二十五题：证明线段相等
第二十六题：证明四条线段相等
第二十七题：证明线段比例等式
第二十八题：证明角的倍数关系
第二十九题：证明三线共点
第三十题：证明平行
第三十一题：证明线段相等
第三十二题：证明四点共圆
第三十三题：证明三角形相似
第三十四题：证明角相等
第三十五题：证明内心
第三十六题：证明角平分
第三十七题：证明垂直
第三十八题：证明面积等式
第三十九题：证明角平分
第四十题：证明角相等
第四十一题：证明中点
第四十二题：证明中点
第四十三题：证明角相等
第四十四题：证明垂直
第四十五题：证明角相等
第四十六题：证明垂直
第四十七题：证明四点共圆
第四十八题：证明四点共圆
第四十九题：证明四点共圆
第五十题：证明角平分
第五十一题：证明线段相等
第五十二题：证明两圆外切
第五十三题：证明垂直
第五十四题：证明垂直
第五十五题：证明垂直
第五十六题：证明垂直
第五十七题：证中点
第五十八题：证明角相等
第五十九题：证明角相等
第六十题：证明四点共圆
第六十一题：证明四点共圆
第六十二题：证明四点共圆
第六十三题：证明角相等
第六十四题：证明角的倍数关系
第六十五题：证明中点
第六十六题：伪旁切圆
第六十七题：证明垂直
第六十八题：证明平行
第六十九题：证明圆心在某线上
第七十题：证明三线共点
第七十一题：证明垂直
第七十二题：证明垂直
第七十三题：证明中点
第七十四题：证明垂直
第七十五题：证明垂直
第七十六题：证明三线共点
第七十七题：证明平行
第七十八题：证明平行
第七十九题：证明三线共点、证明垂直
第八十题：证明三点共线（牛顿定理）
第八十一题：证明角平分
第八十二题：证明角相等
第八十三题：证明三点共线
第八十四题：证明四圆共点
第八十五题：证明角平分
第八十六题：证明线段相等
第八十七题：证明角相等
第八十八题：证明线段相等
第八十九题：证明线段相等
第九十题：证明线段相等
第九十一题：证明中点
第九十二题：证明四点共圆
第九十三题：证明西姆松定理及逆定理
第九十四题：证明线段的和差关系等式
第九十五题：证明角相等
第九十六题：证明托勒密定理及逆定理
第九十七题：证明线段的和差关系等式
第九十八题：证明角相等
第九十九题：证明四点共圆
第一百题：证明两三角形共内心
第一题：证明角平分
已知、是⊙的切线，、是一组对径点，交⊙于另一点，直线、交于点。
求证：。
第二题：证明四点共圆
如图，是⊙的直径，,是圆上异于、,且在同侧的两点，分别过、作⊙的切线，它们交于点,线段与的交点为,线段与的交点为,求证：、、、四点共圆。
第三题：证明角的倍数关系
如图，、是以为直径圆的切线、是切点，交圆于点，、交于点，是直径。
求证：。
第四题：证明线与圆相切
已知：中，切⊙，交延长线于，是关于的对称点，于，是中点，延长交⊙于，求证：切外接圆。
第五题：证明垂直
已知四边形内接于以为直径的圆，设为关于为对称点，是关于对称点，直线交于，直线交于。求证：。
第六题：证明线段相等
已知：、是⊙切线，、是切点，是割线，、在圆上，离较近，于，交于，交于，求证：。
第七题：证明线段为比例中项
已知中，是的中点，经过点，且与有相同的内心。
求证：。
第八题：证明垂直
已知：为非直角三角形，平分，在上，于，于，交于。求证：。
第九题：证明线段相等
过圆外一点作圆的两条切线、，切点分别为、，过劣弧上一点作圆的另一条切线分别交、于、，连结交于点，连结交于点。
求证：。
第十题：证明角平分
已知、是⊙切线，是过的切线，、分别在、上，于，连接、。求证：
第十一题：证明垂直
设是圆的割线，是切线，是圆的直径，、相交于。求证：。
第十二题：证明线段相等
设、是以为圆心为直径的半圆上两点，过做圆的切线交于，直线交直线、分别于、。求证:。
第十三题：证明角相等
如图，中，、分别为、上一点，且，、交于点，的外接圆⊙，与的外接圆⊙交于点，求证：。
第十四题：证明中点
如图，⊙、⊙交于、两点，、延长线交于点，、分别切⊙、⊙于、，连接交于，求证：为中点。
第十五题：证明线段的二次等式
如图，半径不相等的两圆⊙、⊙交于、两点，过的直线分别交⊙、⊙于、，延长线交⊙于，延长线交⊙于，过作垂线交中垂线于，求证：
第十六题：证明角平分
如图，内接于⊙，为中点，交⊙于，过作，交⊙于，过作，交于。求证：。
第十七题：证明中点
如图，内切圆⊙切于，过作交于，过作⊙切线，分别交、于、。求证：为中点。
第十八题：证明角相等
如图，如图，⊙、⊙交于、两点，它们的外公切线分别切⊙、⊙Q于、，为延长线上一点，交⊙于，交⊙于，平分交于。求证：。
第十九题：证明中点
如图，⊙为外接圆，、分别为的内心和一个旁心，的外角平分线交延长线于，于，交⊙于。求证：为中点。
第二十题：证明线段相等
如图，在锐角中，是的中点，、是高。、分别是、的中点，若过且平行于的直线交于。求证：
第二十一题：证明垂直
如图，是边上一点，⊙过点、分别交、于、，直线交于，是中点。求证：。
第二十二题：证明角相等
如图，如图，为⊙直径，、分别切⊙于、，割线交⊙于、，、交于点，交于，求证：。
第二十三题：证明四点共圆
如图，为外心，、分别为、上一点，于，、、分别为、、中点。求证：、、、四点共圆。
第二十四题：证明两圆相切
如图，内切圆⊙切于，于，为中点，交⊙于，作的外接圆⊙，求证：⊙、⊙相切于点。
第二十五题：证明线段相等
如图，内接于⊙，内切圆⊙分别切、于、，交⊙于，连接，延长到，使得，过作的垂线交延长线于，求证：。
第二十六题：证明四条线段相等
如图，⊙为外接圆，平分交⊙于，交于，交于，为垂心，交于，求证：。
第二十七题：证明线段比例等式
如图，四边形中，外接圆⊙交于，外接圆⊙交于，、交于点，求证：。
第二十八题：证明角的倍数关系
如图，为外心，为内一点，使得，为中点，过作交延长线于，连接、、，求证：。
第二十九题：证明三线共点
如图，⊙的内接四边形，、交于点，、交于点，的外接圆⊙交⊙于，交于，交⊙于，求证、、三线共点。
第三十题：证明平行
如图，中，为中点，为外心，为垂心，、分别为、上一点，使得，且、、三点共线，为外心，求证：。
第三十一题：证明线段相等
如图，四边形内接于⊙，为四边形内一点，使得，过点的直线平分，交⊙于、两点，求证：。
第三十二题：证明四点共圆
如图，在中，、、是三条高线，点为内部一点，关于、、的对称点分别为、、，线段的中点为，求证：、、、四点共圆的充要条件为、、、四点共圆。
第三十三题：证明三角形相似
如图，⊙、⊙半径分别为、，⊙、⊙交于、两点，为平面上一点，切⊙于，切⊙于，且，求证：∽。
第三十四题：证明角相等
如图，平行四边形中，为上一点，使得，交外接圆⊙于，连接，求证：。
第三十五题：证明内心
如图，是内心，为中点，为弧中点，中点为，中点为，交于，连接，求证：为内心。
第三十六题：证明角平分
如图，⊙为的外接圆，平分交⊙于，为的垂心，于，于，的外接圆⊙交⊙于。交于，求证：平分。
第三十七题：证明垂直
在中，为外心，三条高、、交于点，直线和交于点，直线和交于点，求证：（1）；（2）；（3）。
第三十八题：证明面积等式
如图，和均为等腰直角三角形，连接、，取的中点，连接、，求证：=。
第三十九题：证明角平分
如图，中，旁切圆⊙分别切、延长线于、，旁切圆⊙分别切、延长线于、，、分别交于、，、交于点，求证：平分。
第四十题：证明角相等
如图，平行四边形中，、分别为、上一点，、交于点，的外接圆⊙与的外接圆⊙交于点，连接、，求证：。
第四十一题：证明中点
如图，、分别切⊙于、，为⊙一条割线，过作，交于，交于，求证：为中点。
第四十二题：证明中点
如图，为垂心，为中点，过作分别交、于、，求证：为中点。
第四十三题：证明角相等
如图，锐角中，且、在边上，满足，若在内存在点满足，且，求证：。
第四十四题：证明垂直
如图，为半圆的直径，在圆上，是延长线上一点，切⊙于，平分，分别交、于、，求证：。
第四十五题：证明角相等
如图，为⊙的切线，为⊙的割线，于点，的外接圆与的另一个交点为，求证：。
第四十六题：证明垂直
如图，平行四边形中，于，于，交于，求证：。
第四十七题：证明四点共圆
如图，内接于⊙，于，交于，为中点，交于，于，求证：、、、四点共圆。
第四十八题：证明四点共圆
如图，是内心，关于的对称点是，为中点，为中点中点为，中点为，交于，求证：、、、四点共圆。
第四十九题：证明四点共圆
如图，为的垂心，为中点，于，证明：、、、四点共圆。
第五十题：证明角平分
已知，内心为，圆与边、相切，圆过、，且、外切与点。求证：的平分线过点。
第五十一题：证明线段相等
如图，⊙为外接圆，为弧中点，为弧中点，于，连接，过作交延长线于，求证：。
第五十二题：证明两圆外切
如图，如图，、、为⊙上三点，过作交延长线于，过作交⊙于，交于，过、、三点的圆为⊙，过、、三点的圆为⊙，求证：⊙与⊙外切于点。
第五十三题：证明垂直
如图，如图，中，、、分别为、、中点，过作交于，过作交于，、交于点，、交于点，求证：。
第五十四题：证明垂直
如图，中，为中点，⊙过、两点，且切于，延长交⊙于，延长线交于，求证：。
第五十五题：证明垂直
如图，为⊙直径，切⊙于，为弧上任一点，交⊙于，、交于点，连接、，证明：。
第五十六题：证明垂直
如图，正方形与正方莆，交于，交于，交于，交于，求证：。
第五十七题：证中点
如图，、分别切⊙于、两点，为劣弧上一点，交于，过点的切线分别交、于、，交于，求证：为中点。
第五十八题：证明角相等
如图，⊙、⊙交于、两点，它们的外公切线分别切⊙、⊙于、，为延长线上一点，交⊙于，交⊙于，分别交⊙、⊙于、，求证：。
第五十九题：证明角相等
如图，等腰中，为中点，为上一点，使得，于，连结，求证：。
第六十题：证明四点共圆
如图，中，、分别为、上一点，且，、交于点，、、、分别为、、、外心，求证：、、、四点共圆。
第六十一题：证明四点共圆
如图，旁切圆⊙分别切、、于、、，、分别交于、，为中点，为在上的垂足，求证：、、、四点共圆。
第六十二题：证明四点共圆
如图，四边形内接于⊙，、交于点，、交于点，点为中点，交⊙于，求证：、、、四点共圆。
第六十三题：证明角相等
如图，为半⊙直径，于，于，、分别为半⊙的两条切线，于，连接，求证：。
第六十四题：证明角的倍数关系
如图，、分别切⊙于、，为延长线上一点，的外接圆⊙交⊙于，于，求证：。
第六十五题：证明中点
如图，在⊙中，直径垂直于弦，是的中点，的延长线交⊙于点，交于点。求证：是的中点。
第六十六题：伪旁切圆
如图，外接圆为⊙，内切圆⊙分别切三边于、、，⊙与⊙外切于，且分别切、于、，连接并延长交⊙于，求证：，且。
第六十七题：证明垂直
如图，⊙为外接圆，、分别为、中点，为垂心，延长线交⊙于，延长线交⊙于，、交于点，连接，求证：。
第六十八题：证明平行
如图，内接于⊙，平分线交⊙于，、分别为、上一点，交于，的外接圆⊙交⊙于，交⊙于，求证：。
第六十九题：证明圆心在某线上
如图，⊙、⊙交于、两点，过的直线依次交⊙于、，过的直线信用证次交⊙于、，若、、、四点共圆，求证：（1）四边形的外接圆圆心在直线上。（2）、、三线共点。
第七十题：证明三线共点
如图，中，为上一点，、分别为和内心，以为圆心，为半径作⊙，以为圆心，为半径作⊙，⊙与⊙交于点，⊙分别交、于、，⊙分别交、于、，求证：、、三线共点。
第七十一题：证明垂直
如图，中，、、是的三条高线，为的垂心，为的外心，交于，交于，求证：。
第七十二题：证明垂直
如图，四边形中，、交于点，、分别为、中点，、分别为和的垂心，求证：。
第七十三题：证明中点
如图，中，为外心，为垂心，于，于，交于，交于，求证：为中点。
第七十四题：证明垂直
如图，平行四边形中，、交于点，于，于，交延长线于，求证：。
第七十五题：证明垂直
如图，中，、分别、上一点，、交于点，的外接圆⊙交的外接圆⊙于，求证：。
第七十六题：证明三线共点
如图，中，、、分别为、、上一点，且、、交于一点，、、分别为、、中点，、、分别为、、中点，求证：、、三线共点。
第七十七题：证明平行
如图，五边形中，，、交于点，、分别为、中点，连接，求证：。
第七十八题：证明平行
如图，四边形中，、分别为、中点，为平面上一点，使得，、交于点，求证：。
第七十九题：证明三线共点、证明垂直
如图，中，平分交于，平分交于，平分交于，交于，交于，交延长线于，（1）求证：、、三点共线；（2）求证：。
第八十题：证明三点共线（牛顿定理）
如图，完全四边形中，、、分别为、、中点，则、、三点共线。
第八十一题：证明角平分
如图，⊙为外接圆，为内心，⊙分别切、于、，与⊙内切于，求证：平分。
第八十二题：证明角相等
如图，为外心，过的直线分别交、于、，、分别为、中点，求证：。
第八十三题：证明三点共线
如图，内接于⊙，为⊙上一点，交于，交于，求证：、、三点共线。
第八十四题：证明四圆共点
已知四边形中，、分别为边、上的点，且，射线与、分别交于点、。、、、的外接圆分别为⊙、⊙、⊙、⊙。
求证：（1）⊙、⊙、⊙、⊙四圆共点。
（2）四边形相似于四边形。
第八十五题：证明角平分
如图，中，于，于，为中点，交延长线于，连接，求证：平分。
第八十六题：证明线段相等
如图，内接于⊙，为垂心，为中点，连接，过作，分别交、于、，连接、，求证：。
第八十七题：证明角相等
如图，为外心，为垂心，交于，交于，求证：。
第八十八题：证明线段相等
如图，为的高，为中点，过的一条直线分别交、于、，使得，为外心，求证：。
第八十九题：证明线段相等
如图，内接于⊙，的中垂线分别交⊙于、，交于，过作的平行线，在该平行线上任取一点，连接，过作，分别交、于、，求证：。
第九十题：证明线段相等
如图，内接于⊙，平分交⊙于，为中点，为平面上一点，使得，连接，过作，分别交、于、，求证：。
第九十一题：证明中点
如图，⊙为外接圆，为⊙直径，为弧上一点（与在异侧），于，于，交于，求证：为中点。
第九十二题：证明四点共圆
如图，为外心，为上一点，中垂线交于，中垂线交于，求证：、、、四点共圆。
第九十三题：证明西姆松定理及逆定理
(1)
如图，内接于⊙，为⊙上一点，于，于，于，求证：、、三点共线。
(2)内接于⊙，为平面上一点，于，于，于，若、、三点共线，则、、、四点共圆。
第九十四题：证明线段的和差关系等式
如图，⊙的三条弦、、交于点，且两两夹角为，求证：。
第九十五题：证明角相等
如图，已知、分别切⊙于、两点，为⊙的一条割线，有中点，求证：。
第九十六题：证明托勒密定理及逆定理
（1）如图，为⊙内接四边形，求证：。
（2）四边形满足，求证：、、、四点共圆。
第九十七题：证明线段的和差关系等式
如图，中，为外心，为内心，求证：。
第九十八题：证明角相等
如图，四边形中，、分别为、上一点，且，、交于点，连接，求证：。
第九十九题：证明四点共圆
如图，内切圆⊙分别切、、于、、，为内一点，使得内切圆⊙切于，分别切、于、，求证：、、、共圆。
第一百题：证明两三角形共内心
如图，中，过的圆与、分别交于、，交于，直线与外接圆交于。求证：、共内心。
点击咨询 