§5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形——三角形中的边角关系的转化

第一篇：§5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形——三角形中的边角关系的转化

高一数学【学案】第五章《正弦定理、余弦定理和解斜三角形——三角形中边角关系的转化》 § 5.6.4正弦定理、余弦定理和解斜三角形（4）——三角形中边角关系的转化

1．会利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状；

2．会解决有关三角形的恒等证明问题.例1锐角三角形ABC中，a8，c12，SABC中最小内角的正弦值与最大内角的余弦值.例2（1）在ABC中，如果sinA:sinB:sinC5:12:13，试判断三角形的形状.（2）三角形的三边之比为6:8:10，则这个三角形是_______________三角形.（3）在ABC中，若sinAsinBsinC，则这个三角形为_______________三角形.[变式题]（2010上海，理18）

某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为

A．不能作出这样的三角形；

C．作出一个直角三角形；222111，，则此人能（）13115B．作出一个锐角三角形 D．作出一个钝角三角形

例3（1）在ABC中，acosAbcosB，判断三角形的形状.（2）在ABC中，acosBbcosA，判断三角形的形状.（3）在ABC中，若absinA，判断ABC的形状；

（4）在ABC中，已知atanBbtanA，判断三角形是何三角形.（5）在ABC中，若tanAtanB1，则ABC为怎样的三角形？

3对自己负责，请写明过程!

11、在

ABC中，aB45，并且三角形的面积为6，求b,c及A，C.12、在ABC中，C90，D是BC的点，且DAC30，BD2，ABAC.13、在

ABC中，tanBcosC

3，ACABC的面积.14、把一块圆心角为60，半径为20cm的扇形铁片截成一个矩形（如图），求截得矩形的最大面积.OB

6-对自己负责，请写明过程!

第二篇：解斜三角形、正弦定理、余弦定理--冯自会

文尚学堂

文尚学堂学科教师辅导讲义

讲义编号***教学管理部***教学管理部***教学管理部

第三篇：三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系（1）

湖滨九年制学校

王兆明

一 教学内容： 三角形中的边角关系 二 教学目标：

1．了解三角形的概念，掌握分类思想。

2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。三 教学重难点：

1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟 四 教学准备：

1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条 五 课时安排：

一节课

六 教学过程：

（一）创设情境，探究新知

1.有人说姚明一步能走3米,你相信吗？已知姚明腿长1.28米 请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题

教师：我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。

（二）合作交流，探究新知 2.教师:你能画一个三角形吗? 学生：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导：

认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。并思考下面问题：

（1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形;（2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;（3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念;

教师：依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示）5.合作探究三角形的三边关系

有这样的四根小棒（4cm、6cm、10cm、12cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。（1）有哪几种取法?（2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？（3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？

小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形；

我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。

这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边

教师：三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 学生：三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题

例1 ：已知一个三角形的两条边长分别为3cm和9cm，你能确定该三角形第三条边长的范围吗？

解：设第三条边长为a cm，则

9－3＜a＜9＋3

即

6＜a＜12 结论：其它两边之差 < 三角形的一边< 其它两边之和 例2：等腰三角形中，周长为18cm（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长;（2）如果一边长为4 cm，求另两边长

解（1）设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm。根据题意，得

x+2x+2x=18

解方程，得

x=3.6 所以三角形的三边长为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm

（2）若底边长为4 cm，设腰长为x cm，则有

x+x+4=18 解方程，得

x=7cm 若一条腰长为4 cm，设底边长为x cm，则有

4+4+x=18 解方程，得

x=10 因为4+4＜10，所以，以4为腰的话不能构成三角形 所以，三角形的另两边长都为7 cm 7.随堂练习，巩固新知

（1）教师：判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？

学生：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.（2）有人说姚明一步能走3米,你相信吗？能否用今天学过的知识去解答呢? 答：不能。如果此人一步能走3米，由三角形三边的关系得，此人两腿长要大于1.5米，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米。

（三）小结

通过这节课的学习你有什么收获？

（四）布置作业

课本P73习题14.1第1，7题

第四篇：《三角形中的边角关系》教学设计

《三角形中的边角关系》教学设计

教学目标 【知识与技能】

1.认识三角形,理解三角形的边角关系.2.知道三角形的高、中线、角平分线等概念,并能作出三角形的一边上的高.3.理解等腰三角形及其相关概念.【过程与方法】

1.经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】

1.带领学生探究三角形的边角关系问题,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲.2.帮助学生树立几何知识源于生活并服务于生活的意识.重点难点 【重点】

理解并掌握三角形的三边关系.【难点】

已知三条线段能构成三角形,求表示线段长度的代数式中字母的取值范围.教学过程

一、创设情境,导入新知 教师多媒体出示:

教师把事先收集的与三角形有关的生活图片运用多媒体播放,让学生对三角形有一个感性认识,如图所示.教师活动:通过播放图片,引导学生认识三角形,并提出:图(b)中能找出几个三角形,这些三角形具有怎样的特性?

学生活动:回顾小学学过的三角形,与同桌交流,找出图(b)中的三角形.教师归纳:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形.教师多媒体出示:

师:你能指出这个三角形的顶点有几个吗?分别是什么? 生:这个三角形的顶点有三个,分别是A、B、C.师:这个三角形的边呢? 生:边有三条,分别是AB、BC和CA.师:对.我们把这个三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示.如边AB对着∠C,记作c;边BC对着∠A,记作a;边CA对着∠B,记作b.也就是说,一边可用两个大写字母或一个小写字母表示,角可用“∠”加上一个大写字母表示.师:按边分类时,你知道的都有哪些三角形? 生:等边三角形.师:等边三角形是三条边都相等的三角形.如果不是三条边都相等,比如两条边相等,这类三角形叫什么三角形呢? 生:等腰三角形.师:对,等边三角形是等腰三角形的特例.如果三条边都不相等呢? 学生思考.师:我们把这类三角形叫做不等边三角形.教师多媒体出示:

教师板书: 三角形(按边分)

师:在等腰三角形中,你能区分哪条边是腰,哪条边是底吗? 生:相等的两边叫做腰,第三边叫做底边.师:对.我们现在再来认识一下顶角和底角.两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.二、共同探究,获取新知

师:请大家任意画出一个三角形,用刻度尺测量一下,并说说任意两边之和与第三边的关系.学生操作.生:任意两边之和大于第三边.师:对,你有没有其他的方法来证明三角形的任意两边之各大于第三边呢? 生:由所有两点之间的连线中线段最短得到.教师板书:

三角形中任何两边的和大于第三边.师:对.根据不等式的性质,我们能得到三角形中任意两边的差小于第三边.(教师板书)如果三条线段要构成一个三角形,它们就要满足这两个条件,但是在实际计算中,需要验证六个不等式都成立吗? 学生思考,讨论.师:不等式a+b>c,你把a移到不等式的右边,这个不等式如何表示? 生:b>c-a.师:对,也就是c-a

【例】 等腰三角形中,周长为18cm.(1)如果腰长是底边长的2倍,求各边长;(2)如果一边长为4cm,求另外两边长.师:请同学们思考后回答.生:设等腰三角形的底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据题意,得 x+2x+2x=18,解方程得x的值,即底边长,然后求出腰长.师:当已知一边长为4cm,但并未指明它是腰还是底时,应该怎么求另外两边的长呢?

生:要分4cm是腰长和底边长两种情况来讨论.师:对.还要注意对得到的三条线段能否构成一个三角形进行讨论.教师找两名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:(1)设等腰三角形的底边长为 xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得 x+2x+2x=18.解方程,得 x=3.6.所以三角形的三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.(2)若底边长为4cm,设腰长为xcm,则有

2x+4=18.解方程,得 x=7.若一条腰长为4cm,设底边长为xcm,则有 2×4+x=18.解方程,得 x=10.因为4+4<10,所以,以4cm为一腰不能构成三角形.所以,三角形的另外两边长都是7cm.三、练习新知

师:请同学们判断用下列长度的三条线段能否组成一个三角形.(1)1cm、2cm、3cm;(2)2cm、3cm、4cm;(3)4cm、5cm、6cm;(4)5cm、6cm、10cm.教师找四名同学回答,然后集体订正.师:同学们可以总结出判断三条线段能否构成一个三角形的简便方法吗? 以题(2)为例,根据三角形任意两边的和大于第三边,我们要作几个判断? 生:三个.师:哪三个?

生:2+3>4,2+4>3,3+4>2.师:你能不能用一个判断的结果得到这三条线段能否构成三角形? 生:……

师:2+4一定大于3,3+4一定大于2,因为长度为4的这一条边长已经大于3了,同样的长度为3或4的一条边长已经大于2了.生:只要看最长的一边是否小于其他两边之和.师:很好.四、课堂小结

师:今天我们又学习了什么内容?

生:我们学习了三角形的分类,等腰三角形的底边和腰,三角形三边的关系等.教师补充完善.教学反思

通过本节课的学习,使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并让学生知道怎样判断三条线段是否能构成三角形.在判断三条线段能否构成三角形时,我们不对任意两边之和是否大于第三边、任意两边之差是否小于第三边一一验证,因为后面的式子可由前面的变形得到.事实上,只要看最长的一边是否小于其他两边之和即可,因为当这个条件成立时,其他的两边之和大于第三边的式子也成立.通过这些方法的探讨使学生养成积极思考、简化计算的习惯.

第五篇：三角形边中的边角关系教案

三角形中的边角关系

教学目标：

知识目标：理解三角形的有关概念，掌握三角形三边的关系。

能力目标：通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力。情感目标：让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣。教学重、难点：

教学重点：三角形三边关系的探究和归纳。教学难点：三角形三边关系的应用。教学过程： Ⅰ.回顾与思考

1.如何表示线段？2.如何表示一个角？ Ⅱ.创设现实情景,引入新课

问题：看下列实物中，有你熟悉的图形吗？（出示投影：一些含有三角形的建筑物）Ⅲ.讲授新课

在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识，现在大家观察下面的屋顶框架图，并回答以下问题：观察下面的屋顶框架图。

图5－1

1.你能从图5－1中找出4个不同的三角形吗？与同伴交流各自找的三角形。(请同学们在纸上画出该图形然后来找，请一个同学上黑板指出三角形)根据指出的三角形回答下列问题：

2.这些三角形有什么共同的特点？（结合小学对三角形的认识回答）3.什么叫做三角形？（通过视频了解三角形定义）

（刚才找到的三角形能说清楚吗？可能同桌的两位或前后能指着说，隔一行或隔一排就恐怕不行，你说的是这个，他说的是那个，容易混淆，那么怎样就可以表示清楚呢？）4.如何表示三角形？ 5.三角形的边可以怎么表示？

6.如果我说三角形有三要素,你能猜出是哪三要素吗?（通过视频了解三角形的基本元素）练一练:(三角形定义 三角形的表示方法)研究三角形的三条边是否相等，有多少种可能的情况？（通过视频掌握三角形按边的分类）1.三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形，如图3-9。

2.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，如图3-10。3.三条边都相等的三角形叫做等边三角形。议一议

(1)元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。（装有黄色彩灯的电线长，我是通过测量得到的.装有黄色彩灯的电线长.因为我们在上册书中学习过这样一个性质：两点之间的所有连线中，线段最短.所以把装有红色灯的电线两端当作两个点，这样它就最短.因此，装有黄色彩灯的电线长。）(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?（通过视频掌握三角形三边的关系）

由此你能得到什么结论?（三角形任意两边之和大于第三边）

做一做：分别量三个三角形的三边长度计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？(分三个小组分别量出三个三角形长度并计算)（三角形任意两边之差小于第三边）

想一想：有两条长度分别为5cm和7cm的线段，用长度为13cm的线段与它们能摆成三角形吗？为什么？如果换下长度为5cm的线段，那么换上线段的长度在什么范围内可以组成三角形呢？动手摆一摆。（通过视频应用新知）

解题技巧：三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和 请用所学的数学知识解释：为什么经常有行人斜穿马路而不走人行横道？ 课堂小结: 1.三角形的概念 2.三角形的三要素 3.三角形的表示方法 4.三角形按边分类 5.三角形三边之间的关系 布置作业习题14.1（1、2）