2014年高中数学 1.1.1正弦定理教学设计 新人教A版必修5

第一篇：2014年高中数学 1.1.1正弦定理教学设计 新人教A版必修5

第一章 解三角形

1.1.1正弦定理

教材分析与导入

三维目标

一、知识与技能

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

二、过程与方法

1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；

2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；

3.进行定理基本应用的实践操作．

三、情感态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．

教学重点 发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

教学难点

用向量法证明正弦定理。虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。教学建议

正弦定理是刻画三角形边和角关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。此节内容从地位上讲起到承上启下的作用：承上，可以说正弦定理是初中锐角三角函数（直角三角形内问题）的拓广与延续，是对初中相关边角关系的定性知识的定量解释，即对“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”这一定性知识的定量解释，即正弦定理得到这个边、角的关系准确的量化的表示，实现了边角的互化。它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，同时教材这样编写也体现了新课标中“体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学”这一指导思想；启下，正弦定理解决问题具有一定的局限性，产生了余弦定理，二者一起成为解决任意三角形问题重要定理。同时正弦定理为后续第二节的《应用举例》作以铺垫，正弦定理的知识和方法可解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，这样也体现了课标中注重“数学的三大价值（科学价值、应用价值、文化价值）之一的应用价值。”

本节课宜采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——数学实验深入探究——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案。导入一

师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C

转动．

师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．

师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形

中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,ab

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c=sinA，c =sinB，又cabccc,则sinAsinBsimC.从而在直角三角形ABC中，sinC=1=

abcsinAsinBsimC.导入二

师：关于三角形中的边与角的关系我们知道哪些？

sinA生：直角三角形的勾股定理.，还有absinBc，c。

生：有。大边对大角，小边对小角。

师：两位同学回答了一个特殊三角形——直角三角形中的边角关系。对于一般三角形的边角关系我们有结论吗？

师：对这一结论同学们能提供一些想法吗？

生：有点像正比例关系。

师：在△ABC中A与a，B与b，C与c，他们有怎样的正比例关系？

(1)akA，bkB，ckC；(2)aksinA，bksinB，cksinC；

(3)akcosA，bkcosB，ckcosC；(4)aktanA，bktanB，cktanC。请同学们验证这些猜想的正确性，然后选出正确的。

正确答案为(2)

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，abc

即sinAsinBsinC.这就是我们今天要研究的——正弦定理

第二篇：高中数学《1.1.1 正弦定理》教案 新人教A版必修5

1.1.1 正弦定理

●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？

2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理

二、讲授新课：

1.教学正弦定理的推导：

ab①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即

ccc=abc.sinAsinBsinC② 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有CDasinBbsinA,则

abac.同理，sinAsinBsinAsinC121212③*其它证法：

证明一：（等积法）在任意△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA.两边同除以abc即得：12cab==.sinAsinBsinCaaCD2R，sinAsinDCabAOBD证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴

ccb同理 =2R，＝2R.sinCsinB证明三;过点A作单位向量jAC，C 由向量的加法可得 ABACCB

则 jABj(ACCB)A B ∴jABjACjCB

jABcos900A0jCBcos900Cac∴csinAasinC，即sinAsinC

bc同理，过点C作jBC，可得 sinBsinC

a从而 sinAsinBsinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

④ 正弦定理内容：

bccab===2R sinAsinBsinC简单变形； 基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.教学例题：

① 例1：在ABC中，已知A450，B600，a=10cm，解三角形.② 例2：ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C.讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？思考后见（P8-P9）3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.

第三篇：2014年高中数学 1.1.1正弦定理教案(二)新人教A版必修5

1.1.1正弦定理

证明猜想得出定理

运用定理解决问题

3通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果：

1、学生对于正弦定理的发现、证明正弦定理的几何法、正弦定理的简单应用，能够很轻松地掌握；在证明正弦定理的向量法方面，估计有少部分学生还会有一定的困惑，需要在以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识。

2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。

3、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。

第四篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教学设计

龙游县横山中学 黄建金

 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章开篇内容,在已有知识的基础上，进一步对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中更准确的边角关系。通过给出的实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）知两角一边，解三角形；

（2）知两边和一边对角，解三角形。

 学情分析

学生在学习了基本初等函数和三角恒等变换的基础上，探究三角形边角的量化关系，得出正弦定理。学生对现实问题比较感兴趣，用现实问题出发激起学生的学习兴趣，驱使学生探索研究新知识的欲望。

 教学目标

1.知识与技能：

(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题

2.过程与方法：

（1）通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；

（2）通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：

(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；

(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养. 教学重点、难点

 教学重点：正弦定理的推证与运用。

 教学难点：正弦定理的推证；解决问题时可能有两解的情形。

教学过程

一、结合实例，导入新课

出示灵山江的图片。

问：如何能够实现不上塔顶而知塔高，不过河而知河宽？

二、观察特例，提出猜想[讨论]

（1）认识三角形中的6个元素，并复习“大角对大边，小角对小边”知识。

问1 ：构成一个三角形最基本的要素有哪些？（同时在黑板上画出三个不同类型的三角形）问2：在三角形中，角与对边之间有怎样的数量关系？（大边对大角，小边对小角）

（2）观察直角三角形，提出猜想

问：能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中的角与边的等式关系。如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a

sinA，bsinB，又sinC1c,则ac

sinAb

sinBsinCc

从而在直角三角形ABC中，a

sinAb

sinBc

sinC问：这种关系在锐角三角形中能否成立？

三、证明猜想，得出定理[探究] C（１）化归思想，把锐角三角形转化为直角三角形证明。

首先，证明当ABC是锐角三角形时的情况。证法如下：

设边AB上的高是CD（目的是把斜三角形转化为直角三角形），根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则a

sinAb

sinB，同理可得cbsinCsinB，从而abcsinAsinBsinC

其次，提问当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立？（由学生课后自己推导）最后提问：还有其它证明方法吗？（向量方法）

（２）向量思想，把代数问题转化为向量问题证明。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

证明：过点A作单位向量jACCB，由向量的加法可得 ABAC

jABj(ACCB·

则)

jABjACjCB

∴jAB

cos900A0jCBcos

900C

a∴csinAasinC，即c Abc同理，过点C作jBC，可得

ab

从而sinAsinBc

sinC

（3）得出定理，细说定理

从上面的研探过程，和证明可得以下定理：

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即ab

sinAsinBc

sinC

四、定理运用，解决实例

例1．在 △ABC 中,已知 A30,B45，a2 cm，求C、b及c

解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)180(3045)105

a2sinBsin4522（cm）； sinAsin30

a2sinCsin10562（cm）csinAsin30根据正弦定理，b

说明：

1、学生讲出解题思路，老师板书以示解题规范。

2、已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫作解三角形。

3、解题时利用定理的变形aksinA，bksinB，cksinC更易解决问题。

例2．在 △ABC中，已知 a6cm，b6cm，A30，解三角形。

解：根据正弦定理，sinAsin303sinB（？Ｂ角一定是锐角吗？还有可能是什么角？如何判定？）b63a6

2因为00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 当B=60时，C180(AB)180(3060)90，o

ca6sinCsin9012(cm)sinAsin30

⑵ 当B=120时，C180(AB)180(30120)30，o

ca6sinCsin306(cm)sinAsin30

说明：

1.让学生讲解题思路，其他同学补充说明，目的是要求学生注意分类讨论思想（可能有两解）。

2.求角时，为了使用方便正弦定理还可以写成sinAsinBsinCabc

3.用正弦定理的解题使用的题型：边角成对已知（1第一类：已知任意两角及其一边；

第二类：已知任意两边与其中一边的对角。对+1个），五、活学活用，当堂训练

练习1在ABC中，已知下列条件，解三角形。

（说明：可以让学生上黑板扮演或通过实物投影解题的规范和对错。）

（1）A45，C30，c10cm，（2）a20，b11，B30

练习2：[合作与探究]：某人站在灵山江岸边樟树B处，发现对岸发电厂A处有一棵大树，如何求出A、B两点间的距离？（如图）

六、回顾课堂，尝试小结

①本节课学习了一个什么定理？

②该定理使用时至少需要几个条件？

七、学有所成，课外续学

１、课本第10页习题1.1A组1、2题

２.思考题：在ABC中，a

sinA

bsinBcsinCk(k>o)，这个k与ABC的外接圆半径R有什么关系？

3八、板书设计

第五篇：高中数学必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教学目标

1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

（三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：a

sinAb

sinBc

sinC，接着就一般斜

三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器

（四）教学设想

[创设情景]

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？

[探索研究](图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

abcsinA，sinB，又sinC1,A cabc则csinsinsinabc从而在直角三角形ABC中，CaB sinAsinBsinC的定义，有

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

3如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则同理可得从而

a

sin

b

sin，c

sinC



b

sinB，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC，C 由向量的加法可得ABACCB







则jABj(ACCB)∴jABjACjCBj

0

jABcos90A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

ac



bc

同理，过点C作jBC，可得

从而

a

sinA



b

sinB



c

sin

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA



b

sinB



c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；（2）

a

sinA



b

sinB



c

sin等价于

a

sinA



b

sinB，c

sinC



b

sinB，a

sinA



c

sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

ab

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；

sin32.00

根据正弦定理，asinC42.9sin66.20c74.1(cm).sin32.00

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边

长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，bsinA28sin400

sinB0.8999.因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴ 当B640时，C1800(AB)1800(400640)760，asinC20sin760c30(cm).sin400

⑵ 当B1160时，C1800(AB)1800(4001160)240，asinC20sin240c13(cm).sin400

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。

abc

sinAsinBsinC

abc

分析：可通过设一参数k(k>0)使k,sinAsinBsinC

abcabc

证明出 

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

abc

解：设k(k>o)

sinAsinBsinC

则有aksinA，bksinB，cksinC

abcksinAksinBksinC

从而==k

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

例3．已知ABC中，A

600，a求

又

a

sinA



abc

2k，所以=2 sinAsinBsinC评述：在ABC中，等式

a

sinA



b

sinB



c

sinC



abc

kk0

sinAsinBsinC

恒成立。

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[课堂小结]（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

（五）评价设计

①课后思考题：（见例3）在ABC中，

b



c



abc

kk0；

sinAsinBsinC

a

sinA



b

sinB



c

sinC

k(k>o)，这个k与ABC有

什么关系？

②课时作业：第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。