第一篇：2018重庆选调生行测数量关系考点：时钟问题
2018重庆选调生行测数量关系考点：时钟问题
重庆选调生考试的笔试内容为行测+申论。面试则是由无领导小组讨论的方式进行。选调生考试是面向全国高校统一选调的一批应届全日制普通高校大学本科及以上学历毕业生到基层工作的一种公职类考试。当前选调生考试的竞争越来越大，考试题型也相对灵活，对于广大考生的能力以及综合素质的要求越来越高，重庆中公教育为大家收集和整理了选调生的备考资料，中公教育与你同行！
时钟问题是行测数量关系的一类考点，多次出现过。这类题型最大的特点就是形式灵活，考点繁多，很多考生对之头痛不已。很多考生在遇到这类题目时无从下手没办法把此类题型迅速破解，导致做题时间冗长，今天中公教育专家对时钟问题的基础知识及常考的不同题型的解题思路做以解析，以助考生在遇到时钟问题时迅速破题。
一、基础知识
1.如上图，钟面上有时针和分针两种指针，时钟问题是研究上面两种指针关系的问题。2.普通相遇追及问题发生在直线上，而时钟问题发生在圆上。直线上的路程对应钟面上的角度;直线上的速度，对应钟面是的角速度。
3.钟面上的一周为360度，分针走一周60分钟，则分针的角速度为6度/分钟;时针走一周720分钟，则时针的角速度为0.5度/分钟。每过1分钟，分针会比时针多走5.5度，分针和时针一共走6.5度。
4.上图3点整时，时针和分针的夹角为90或270度;10点整时，时针和分针的夹角为60或300度。
二、常见考点 1.已知时间求角度
例1.时钟指示2点15分，它的时针和分针所成的锐角是多少度?
【中公解析】本题为时钟问题，从2点整到2点15分，分针走过的路程为90度，时针走过的路程为0.5×15=7.5度，两者从刚开始时相距路程为60度，因此，所夹锐角为90-60-7.5=22.5度。2.已知角度求时间
例2.钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合? 【中公解析】本题为时钟问题，在4点整时，时针与分针的夹角为120度，两者的速度差为5.5度/分钟，根据追及路程=速度差×时间，因此，3.坏钟问题
例3.小强家有一个闹钟，每小时比标准时间快3分。有一天晚上10点整,小强对准了闹钟,他想第二天早晨6∶00起床,他应该将闹钟的铃定在几点几分? 【中公解析】本题为时钟问题，快钟和标准种的速度比63:60，两个种所显示的时间变化的量，与他们的速度成正比例，标准钟从晚上10点整到早上6点整起床一共休息了8个小时，对应的快钟多过的路程S快=63×8=504分，对应时间为8时24分即时间为8点24分。
以上为中公教育专家根据历年真题所考察的题目进行总结的几种可能考查的时钟问题的代表性题型，在实际做题中我们会发现时钟问题所考察的题目类型很多，但是万变不离其宗，它们考察的知识点仍然是这些，因此，以上类型的题目所体现的思想，希望大家在看完后好好理解，按照上述分类整理时钟类型的题目，并好好体会其中的异同点，在考试中遇到时钟问题时，大家能够根据题型的分类快速准确的求解答案。
中公教育温馨提醒您，无论哪种考试都需要做一个备考学习的计划，中公教育将伴你同行！
第二篇：行测数量关系备考技巧
公务员考试中，数量关系历来是考生备感头疼的题型，其主要有两大题型，一是数字推理，二是数学运算。
数字推理主要是考察应试者对数字和运算的敏感程度。本质上来看，是考察是考生对出题考官的出题思路的把握，因为在数字推理中的规律并非“客观规律”，而是出题考官的“主观规律”，也就是说，在备考过程中，不能仅从数字本身进行思考，还必须深入地理解出题者的思路与规律。
数学运算的知识点繁杂，需要系统梳理，并且要明确考试目的——数学运算题并不一定要把最后的答案算出来，而是要把正确答案“选”出来，因此，掌握做题的技巧十分重要。有时一道题按常规的方法“算”出来可能需要五六分钟甚至更长的时间，但把正确答案“选”出来只需要20秒钟。
数学运算基本题型众多，每一基本题型都有其核心的解题公式或解题思路，应通过练习不断熟练。在此基础上，有意识培养自己的综合分析能力，即在复杂数学运算题面前，能够透过现象看到本质，挖掘其中深层次的等量关系。
从备考内容来看，无论是数字推理还是数学运算，都需要从思路和技巧两方面来着手准备。下文从思路和技巧两方面总结了数量关系备考三阶段需要做的事情。
一、数量关系解题思路
思路是指对于各类题型的解题思路，由于数量关系涉及的题型众多，因而必须对各类题型都达到一个比较熟练的程度，尤其是常见的一些题型。
例1：19991998的末位数字是（）[2005国家公务员考试行政职业能力测验真题一类-38题]
A.1B.3C.7
D.9
解析：求1999的1998次方的个位数，实际上就是求9的1998次方的个位数，由于对于任何数字的多次方，都呈现四个一循环的规律，因而就是求9的平方的末位数，轻松得到A答案。
对于这类题，如果备考时没有熟悉掌握做题的方法，考试中很难算出正确的答案。
二、数量关系解题技巧
例2：现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒的消毒溶液。若从 甲中取 2100 克、乙中取 700 克混合而成的消毒溶液的浓度为 3％；若从甲中取 900 克、乙 中取 2700 克，则混合而成的消毒溶液的浓度为 5％。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为（）[2006年浙江公务员考试行政职业能力测验真题-37题]
A.3％，6％
B.3％，4％
C.2％，6％
D.4％，6％
解析：甲、乙溶液进行两次混合，两次得到的溶液的浓度分别为3%和5%，则这两种溶液只能在3%和5%这个区间之外，因此轻松选C。所以，掌握各种做题技巧，能大大提高解题的速度。
数量关系的复习绝不可能是一朝一夕之功，高效解题必须熟练掌握基础知识和基本题型，这也是数量关系备考的核心所在。备考过程中，不要急于求成，而应一步一个脚印，脚踏实地，稳步提升。
三、数量关系备考三阶段
从备考的过程来看，可以分为三个阶段：广泛积累阶段、总结提高阶段、模拟冲刺阶段。
1、广泛积累阶段
积累阶段需要尽可能多地收集各类题型，要深入了解国家公务员考试以及各地公务员考试的出题特点和题型分布情况。这个阶段需要的时间长短依据考自身的情况而定，一般需要两个月左右的时间。
从近两年国家及各省市公务员考试真题来看，数量关系呈现出以下几特征：
（1）数列形式数字推理是数字推理的主体形式。国家公务员考试只考查数列形式数字推理，多数省市公务员考试也以考查数列形式数字推理为主，而北京、福建、江苏等地考试中则常出现图形形式数字推理。
（2）从各类公务员考试真题来看，等差数列及其变式、多次方数列及其变式出现最广，如2009年国家公务员考试考查了4道等差数列及其变式、2010年
国家公务员考试又再次考查；浙江公务员考试几乎每年都会考查等差数列及其变式、多次方数列及其变式。
（3）数学运算的考查地方特色明显。从真题分析来看，数学运算的考查因地而异，侧重点也各不相同。如国家公务员考试几乎不考间隔组合数列，但几乎每年都出现牛吃草问题、排列组合问题；浙江公务员考试中数字推理考查的规律极为广泛，基本数列及其变式几乎都会涉及，数学运算则稳定有2-3道计算问题。
2、总结提高阶段
在积累阶段，要逐步各类题型的解题思路。如，对于数字推理就有作差法、作商法、作和法、作积法、转化法、拆分法、位置分析法，务必使这些解题方法融会贯通、灵活运用。华图建议考生根据学习、做题过程中发现的问题，找清自己的薄弱环节，尤其要注意“常做常错”的题型，根据自己的情况，制作“错题本”或“典型题本”，在最后的备考冲刺阶段，这将成为自己的致胜法宝。
3、模拟冲刺阶段
勤于练习，举一反三，有意识地培养数字直觉和运算直觉，这是解决数字推理问题的核心所在。
在模拟冲刺阶段，考生需要每天定量做一些相关的模拟题，模仿书中对题的分析，通过解答模拟题来培养对数学运算的感觉，这种感觉不仅能够提高数学运算的解题速度和正确率，对数字推理部分也很有帮助。
再就是选择行政职业能力测验专项教材。通过数量关系的专项训练，夯实两大部分的基础知识，综合提高才是获得高分的根本保障。
对于每个考生而言，自身对数量关系的熟悉程度不同，运算的熟练程度也不同，在备考的过程中，必须根据自身的特点，有机地进行积累与总结的轮换，才能在一轮一轮的备考中做到心中有数，才能在考场上立于不败之地。
第三篇：行测——数量关系题规律总结
给人改变未来的力量
【导语】在数学题中，我们经常会总结出一些规律。它们可以帮助大家在考试中跟快速的解题，下面总结了十三个规律，希望帮助大家更好地解答行测中的数量提。
一、当一列数中出现几个整数，而只有一两个分数而且是几分之一的时候，这列数往往是负幂次数列。【例】1、4、3、1、1/
5、1/
36、()A.1/92 B.1/124 C.1/262 D.1/343
二、当一列数几乎都是分数时，它基本就是分式数列，我们要注意观察分式数列的分子、分母是一直递增、递减或者不变，并以此为依据找到突破口，通过“约分”、“反约分”实现分子、分母的各自成规律。
【例】1/16 2/13 2/5 8/7 4()A 19/3 B 8 C 39 D 32
三、当一列数比较长、数字大小比较接近、有时有两个括号时，往往是间隔数列或分组数列。
【例】33、32、34、31、35、30、36、29、()A.33 B.37 C.39 D.41
四、在数字推理中，当题干和选项都是个位数，且大小变动不稳定时，往往是取尾数列。取尾数列一般具有相加取尾、相乘取尾两种形式。
【例】6、7、3、0、3、3、6、9、5、()A.4 B.3 C.2 D.1
给人改变未来的力量
五、当一列数都是几
十、几百或者几千的“清一色”整数，且大小变动不稳定时，往往是与数位有关的数列。【例】448、516、639、347、178、()A.163 B.134 C.785 D.896
六、幂次数列的本质特征是：底数和指数各自成规律，然后再加减修正系数。对于幂次数列，考生要建立起足够的幂数敏感性，当数列中出现6?、12?、14?、21?、25?、34?、51?、312?，就优先考虑43、112(53)、122、63、44、73、83、55。【例】0、9、26、65、124、()A.165 B.193 C.217 D.239
七、在递推数列中，当数列选项没有明显特征时，考生要注意观察题干数字间的倍数关系，往往是一项推一项的倍数递推。【例】118、60、32、20、()A.10 B.16 C.18 D.20
八、如果数列的题干和选项都是整数且数字波动不大时，不存在其它明显特征时，优先考虑做差多级数列，其次是倍数递推数列，往往是两项推一项的倍数递推。【例】0、6、24、60、120、()A.180 B.210 C.220 D.240
九、当题干和选项都是整数，且数字大小波动很大时，往往是两项推一项的乘法或者乘方的递推数列。【例】3、7、16、107、()
给人改变未来的力量
A.1707 B.1704 C.1086 D.1072
十、当数列选项中有两个整数、两个小数时，答案往往是小数，且一般是通过乘除来实现的。当然如果出现了两个正数、两个负数诸如此类的标准配置时，答案也是负数。【例】2、13、40、61、()A.46.75 B.82 C.88.25 D.121
十一、数字推理如果没有任何线索的话，记得要选择相对其他比较特殊的选项，譬如：正负关系、整分关系等等。【例】2、7、14、21、294、()A.28 B.35 C.273 D.315
十二、小数数列是整数与小数部分各自呈现规律，日期数列是年、月、日各自呈现规律，且注意临界点(月份的28、29、30或31天)。
【例】1.01、1.02、2.03、3.05、5.08、()A.8.13 B.8.013 C.7.12 D.7.012
十三、对于图形数列，三角形、正方形、圆形等其本质都是一样的，其运算法则：加、减、乘、除、倍数和乘方。三角形数列的规律主要是：中间=(左角+右角-上角)×N、中间=(左角-右角)×上角;圆圈推理和正方形推理的运算顺序是：先观察对角线成规律，然后再观察上下半部和左右半部成规律;九宫格则是每行或每列成规律。
总之，行测中的数量关系题要多做多练，在以上规律的基础上，给人改变未来的力量
多总结出属于自己的解题规律，这样才能在紧张的答题时间内，让自己得到高分。
第四篇：行测数量关系具体题型技巧
数学复习总纲..................................................................................................................1 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！.......................2 【分享】数学公式终极总结.......................................................................4 【分享】排列组合基础知识及习题分析....................................................8 【分享】排列组合新讲义........................................................................14 【分享】无私奉献万华的排列组合题（系列之二）................................21 【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析..........................................24 【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题..25 【讨论】裴波纳契数列的另类运用.........................................................27 【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析.......................................28 【经验总结】关于比例法中变量守恒与变化的思路分析........................30 【讨论】“五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数”一题.....33 【经验分享】浅谈mn/(m+n)公式的由来（盐水交换问题）............34 【周末练习】4道经典习题（已公布解析DONE）..............................37 【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析............................40 【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结...................................41 【纠错】关于计算某个数字在页码中出现的次数问题的公式怀疑！......43 【总结】关于页码和页数的题目（刚看到的一个题目顺便做个分析）...43 【开会时间分针时针互换问题】新题型的2道问题的解析....................45 【分享】（绝对经典）20道比列及列式计算........................................46 【分享】60道数学题的解析..................................................................51
数学复习总纲
【分享】公考中数学知识部分如何学习的计划安排和心得！
分配学习时间 我做了这样一个假设，假如你是一张白纸（对于公务员考试而言）
我建议大家遵循这样的学习时间安排。比较合适。这是我个人的经验和看法。仅以参考！
1、数字推理（每天必须练习）
开始的前3周，每周1.5小时, 主要是以看和归纳为主。3周之后要能丢开资料自己可以回忆出数字推理的若干种类型。特别是经典的7大类型
3周之后 看是1周（每天半小时的计时练习。每道题目不得超过53秒），从第5周直到考试，每天都要用10分钟～15分钟的时间不停的巩固和练习这数字推理。主要是保持和培养数字敏感性和了解一些新的题型（新的题型以了解为主，不要强求）
2、数学运算。（我建议集中时间整理和复习准备时间应该是在2个月以上）
首先，先对国考，或者你所参加的地方考试的题型和命题风格做一个了解。看看这些数学运算试题的难度系数如何。总结归纳常见的考试类型。如果你觉得你有足够的能力，你还可以归纳考察的思维方向是来自哪几点（这个比较重要。如果不能达到这一点，可以借鉴老师，或者网络，借鉴别人的与此相关的总结）
其次是平时的练习。应该划分专项来练习。专项的划分就是根据第一步你对考试类型的划分。学会总结方法（方法不是公式，只记住公式那是没用的，必须去掌握公式的由来）。练习的题源应当以 国家（03～至今），北京（05～至今），山东（04～至今），浙江（05～至今），江苏（04～至今），辅助于 福建（06～08年）等地的真题为主。
最后通过练习，必须学会做总结归纳，做好笔记。对每种类型都要学会用一句话或者一段简洁的话写出你的感受和观点。
1.【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！
（一）数字推理
（1）数字性质：奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义 如∏＝3.1415926，阶乘数列。
（2）等差、等比数列,间隔差、间隔比数列。（3）分组及双数列规律（4）移动求运算数列
（5）次方数列（1、基于平方立方的数列
2、基于2^n次方数列，3幂的2，3次方交替数列等为主体架构的数列）（6）周期对称数列（7）分数与根号数列（8）裂变数列
（9）四则组合运算数列（10）图形数列
（二）数学运算（1）数理性质基础知识。（2）代数基础知识。
（3）抛物线及多项式的灵活运用（4）连续自然数求和和及变式运用（5）木桶（短板）效应（6）消去法运用
（7）十字交叉法运用（特殊类型）
（8）最小公倍数法的运用（与剩余定理的关系）（9）鸡兔同笼运用（10）容斥原理的运用（11）抽屉原理运用
（12）排列组合与概率：（重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式，静止概率以及先【后】验概率）（13）年龄问题
（14）几何图形求解思路（求阴影部分面积 割补法为主）（15）方阵方体与队列问题（16）植树问题（直线和环形）（17）统筹与优化问题（18）牛吃草问题（19）周期与日期问题（20）页码问题（21）兑换酒瓶的问题
（22）青蛙跳井（寻找临界点）问题
（23）行程问题（相遇与追击，水流行程，环形追击相遇： 变速行程，曲线（折返，高山，缓行）行程，多次相遇行程，多模型行程对比）
2.【分享】数学公式终极总结
容斥原理
涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：
一的个数+二的个数－都含有的个数＝总数－都不含有的个数
【例3】某大学某班学生总数为 32人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少【国 2004B-46】
A.10 B.4 C.6 D.8 应用公式 26+24-22=32-X X=4 所以答案选B
【例9】某单位有青年员工 85人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。【山东 2004-13】
A.57 B.73 C.130 D.69 应用公式： 68+62-X=85-12 X=57人
抽屉原理：
【例1】在一个口袋里有10个黑球，6 个白球，4 个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？【北京应届2007-15】 A.14 B.15 C.17 D.1849.采取总不利原则 10+4+1=15 这个没什么好说的剪绳问题核心公式
一根绳连续对折N 次，从中M 刀，则被剪成了(2N×M+1)段
【例5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳
子被剪成了几段？【浙江2006-38】
A.18段 B.49段 C.42段 D.52段
2^3*6+1=49
方阵终极公式
假设方阵最外层一边人数为N，则
一、实心方阵人数=N×N
二、最外层人数=（N－1）×4
【例 1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人？ 【国2002A-9】【国2002B-18】
A.256人 B.250人 C.225人 D.196人
（N-1）4=60 N=16 16*16=256 所以选A
【例3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生：【浙 江2003-18】
A.600人 B.615人 C.625 人 D.640人
（N-1）4=96 N=25 N*N=625
过河问题：
来回数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]*2+1 次数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]+1 【例 1】有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？ 【广东2005上-10】
A.7次 B.8次 C.9次 D.10次
37-1/5-1 所以是9次
【例2】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7人的橡皮船，过一次河需3 分钟。全体
队员渡到河对岸需要多少分钟？（）【北京应届 2006-24】
A.54 B.48 C.45 D.39 【（49-7）/6】2+1=15 15*3=45
【例4】有一只青蛙掉入一口深10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出? A.7 B.8 C.9 D.10 【（10-4）/1】+1=7
核心提示
三角形内角和180° N 边形内角和为（N-2）180
【例1】三角形的内角和为180度，问六边形的内角和是多少度？【国家 2002B-12】
A.720度 B.600度 C.480度 D.360度
（6-2）180=720° 盈亏问题：
（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数（2）两次都有盈：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数（3）两次都是亏：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数
例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
还有那个排方阵，一排加三个人，剩29人的题，也可用盈亏公式解答。
行程问题模块
平均速度问题 V=2V1V2/V1+V2 【例 1】有一货车分别以时速 40km 和 60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均
时速为多少？【国家1999-39】
A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48 【例 2】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米，则它的平均速度为多少千米/时？【浙江 2003-20】
A.24千米／时 B.24.5千米／时 C.25千米／时 D.25.5 千米/时
2*30*20/30+20=24
比例行程问题
路程＝速度×时间（1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或）路程比＝速度比×时间比，S1/S2=V1/V2=T1/T2 运动时间相等，运动距离正比与运动速度
运动速度相等，运动距离正比与运动时间
运动距离相等，运动速度反比与运动时间
【例2】 A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的距离比是15∶16，那么，甲火车在什么时 刻从A站出发开往B站。【国2007-53】
A.8时12分 B.8时15分 C.8时24分 D.8时30分
速度比是4：5 路程比是15：16 15S：16S 5V : 4V 所以T1:T2=3:4 也就是45分钟 60-45=15 所以答案是B
在相遇追及问题中：
凡有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题。
凡阻碍 相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及等问题。
从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差 从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和
【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？（）【北京社招2005-20】
A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米 X/90+X/210=10 X=630
某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒，整列火车完全在桥上的时间80秒，则火车速度是？【北京社招 2007-21】
A.10米/秒 B.10.7米/秒 C.12.5 米/秒 D.500米/分
核心提示
列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/列车速度 1000+X=120V 1000-X=80V 解得 10米/秒
为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5元，超过标准的部
分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元，若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？
15顿和12顿都是超额的，所以62.5－（3X5）
[例1]某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？
A.5.5小时 B.5小时 C.4.5小时 D.4小时
假设有m个人（或者m组人），速度v1，一个车，速度v2。
车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为S。
T=(S/v2)*[(2m-1)v2+v1]/[v2+(2m-1)v1]
3.【分享】排列组合基础知识及习题分析
在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！
C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1）C6取2＝（6×5）/（2×1）
通过这2个例子 看出
CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。以取值N的阶层作为分母
P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1
通过这2个例子
PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N＝M时 即M的阶层
排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：
其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；
其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设
置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：
1．有限制条件的排列问题常见命题形式：
“在”与“不在” “邻”与“不邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：
⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3． 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************
提供10道习题供大家练习
1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（C）
(A)25个(B)26个(C)36个(D)37个
-----------------------【解析】
根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可见最大的边是11
则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候
因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6。。。1
如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。2，（不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合）
如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7。。。。3（理由同上，可见规律出现）
规律出现 总数是11＋9＋7＋。。1＝（1＋11）×6÷2＝36
2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
-----------------------------【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封，所以分步属于乘法原则 即3×3×3×3＝3^
4（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
------------------------------
【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4×4×4＝4^3
（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？
------------------------------【解析】分步来做
第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取3＝56种
第二步：分配给3个同学。P33＝6种
这 里稍微介绍一下为什么是P33，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。
所以该题结果是56×6＝336
3、七个同学排成一横排照相.（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600）
--------------【解析】
这个题目我们分2步完成
第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1＝5 第二步： 剩下的6个人即满足P原则 P66＝720 所以 总数是720×5＝3600
（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440）
------------------【解析】
第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取1＝2 第二步：剩下的6个人满足P原则 P66＝720 则总数是 720×2＝1440
（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120）
--------------------【解析】特殊情况先安排特殊
第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况
去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1＝4，剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400
第2种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置
则 剩下的6个位置满足P66＝720
因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 2400＋720＝3120
（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440）
----------------【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论
第1： 选位置 C6取1＝6
第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P22＝2 则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12 剩下的5个人即满足P55的规律＝120 则 最后结果是 120×12＝1440
（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）
------------------------【解析】
这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。所以我们不考虑左右问题 则总数是P77＝5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040÷2＝25204、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.（1）能组成多少个四位数？（300）
-------------------------【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。则只有5种可能性
接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60 即总数是 60×5＝300
（2）能组成多少个自然数？（1631）
--------------------------【解析】自然数是从个位数开始所有情况
分情况
1位数： C6取1＝6
2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25 3位数： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100 4位数： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300
5位数： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600
6位数： 5×P55＝5×120＝600 总数是1631
这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1×P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能
（3）能组成多少个六位奇数？（288）
--------------------
【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3×4×P44＝12×24＝288
（4）能组成多少个能被25整除的四位数？（21）
---------------------【解析】 能被25整除的4位数有2种可能
后2位是25： 3×3＝9
后2位是50： P42＝4×3＝12 共计9＋12＝21
（5）能组成多少个比201345大的数？（479）
-----------------【解析】
从数字201345 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？
4×P55＝4×120＝480 去掉 201345这个数 即比201345大的有480－1＝479
（6）求所有组成三位数的总和.（32640）
--------------【解析】每个位置都来分析一下
百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)个位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)总和 M＝M1+M2+M3=326405、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？（152096）
【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的，即是从98件合格的取出来的所以 即C2取2×C98取3＝152096
（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？（7224560）
【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个
C2取1×C98取4＝7224560
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？（67910864）
【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5＝67910864
（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？（7376656）
【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的C100取5－C98取5＝7376656
（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？（75135424）
【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的C100取5－C98取3＝75135424
6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）
(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种
-------------------------【解析】根据条件我们可以分2种情况
第一种情况：2台甲＋1台乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30 第二种情况：1台甲＋2台乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40 所以总数是 30＋40＝70种
7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种.------------------------【解析】至少有3件 则说明是3件或4件
3件：C4取3×C46取2＝4140 4件：C4取4×C46取1＝46
共计是 4140＋46＝41868、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有（C）
(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】分步完成
第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4＝210
第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种情况
则根据分步原则 乘法关系 210×12＝2520 9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__
C(4,12)C(4,8)C(4,4)
___种
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】每个路口都按次序考虑
第一个路口是C12取4
第二个路口是C8取4 第三个路口是C4取4
则结果是C12取4×C8取4×C4取4
可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的 在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再×P33 则是重复考虑了
如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要÷P3310、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】
这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法
直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去插10个空位，有P(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990种。
另解：先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3)种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990种。
4.【分享】排列组合新讲义
作者：徐克猛（天字1号）2009-2-19
一、排列组合定义
1、什么是C 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。即C（3，2）＝3
2、什么是P或A 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了 C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）
3、A和C的关系
事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
4、计算方式以及技巧要求
组合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）
条件：N<=M
排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！
条件：N<=M 为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C（M，[M－N]），因为 C（M，N）＝C（M，[M－N]）
二、排列组合常见的恒等公式
1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n
2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）针对这2组公式我来举例运用
(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？ 解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512
(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法 之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？
C（8，n）＝70
n＝4
即得到甲选出了4副。
三、排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）
(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零，例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可以看，第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A（5，5）第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A（5，5）
我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。这就是分类原则。这样就是A（5，5）＋A（5，5）＝240
(2)、乘法原理（实质上就是一种分步原则）：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3ׄ×mn种不同的方法．
例如： 7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则，第一步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，A（5，5）第二步：我们再排甲乙，A（2，2）这样就是 A（5，5）×A（2，2）＝240
如何区分两个原理：
我们知道分类原则也就是加法原则，每一个分类之间没有联系，都是可以单独运算，单独成题的，也就是说，这一类情况的方法是独立的，所以我们采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；
我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．说明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来
（3）特殊优先，一般次要的原则
例题：
（1）从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有___个。
第一步构建排列组合的定义模式，如果把数学逻辑转换的问题。
（2）在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有一种选择，同理A、B位置互换，共12种。
（3）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
(A)240
(B)180
(C)120
(D)60 分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有C（6，1）种方法；
（二）从剩下的5双手套中任选2双，有C（5，2）种方法。
（三）这2双可以任意取出其中每双中的1只，保证各不成双； 即 C（6，1）*C（5，2）*2^2=240
（4）身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6，2）×C（4，2）×C（2，2）=90种。
四、解决排列组合问题的策略
1、逆向思维法：我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把这个集合看成数学上的单位1，那么1＝a＋b 就是我们构建逆向思维的数学模型了，当a不利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出a＝1－b。
例题：7个人排座，甲坐在乙的左边（不一定相邻）的情况有多少种？
例题：一个正方体有8个顶点 我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构
成四面体的。
例题：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）
A．24个
B．30个
C．40个
D．60个
2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：
（1）无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集
例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?（2）包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系
例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数? P55×－P44＝120－24＝96
用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数? 25，75（3×3×2×1）×2＋P44＝36＋24＝60（3）影响型：两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。
例题：用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?
3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略 例题：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。
简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有C4取2种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有C5取2种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有6×10=60个
4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略
对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。
例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种。144
5、插板法
插板法的条件构成： 1元素相同，2分组不同，3必须至少分得1个 插板法的类型：（1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？（典型插板法 点评略）（2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？（凑数插板法： 这个题目对照插板法的3个条件我们发现 至少满足1个这个条件没有，所以我们必须使其满足，最好的方法 就是用14块奶糖来分，至少每人1块，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分了，就回归到了原题）（3）、10块奶糖放到编号为1，2，3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，则有几种方法？（定制插板法： 已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排 使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1个，从这个思路出发，跟第二个例题是姊妹题
思路是一样的 对照条件 想办法使其和条件吻合！）（4）、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1～11的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？（多次插空法 这里不多讲，见我排列组合基础讲义）
6、递归法（枚举法）
公考也有这样的类型，排错信封问题，还有一些邮票问题
归纳法：
例如：5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？
枚举法：
例如：10张相同的邮票 分别装到4个相同的信封里面，每个信封至少1张邮票，有多少种方法？ 枚举： 1，1，1，7 1，1，2，6 1，1，3，5 1，1，4，4 1，2，2，5 1，2，3，4 1，3，3，3 2，2，2，4 2，2，3，3 9种方法！
五、疑难问题
1、如何验证重复问题
2、关于位置与元素的相同问题，例如： 6个人平均分配给3个不同的班级，跟 6个学生平分成3组的区别
3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。
例题： 1，2，3，4，5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？
例题：7个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？
注解：分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。当对立情况的概率相等，即对称原理。
4、环形排列和线性排列问题。（见我的基础排列组合讲义二习题讲解）例如：3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。问有多少种方法？
例如：3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？
注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴，我们知道，环形排列中 每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作为参照位置。
5、几何问题：见下面部分的内容。
例析立体几何中的排列组合问题
在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。1 点
1．1 共面的点
例题： 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）
A．30种
B．33种
C．36种
D．39种
答案：B 点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。
1．2 不共面的点
例2： 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）
A．150种
B．147种
C．144种
D．141种
解析：从10 个点中任取4个点有C（10，4）＝210 种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C（6，2）＝15种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有210－4×15－6－3＝141 种。答案：D。
点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
几何型排列组合问题的求解策略
有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略.一
分步求解
例1 圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______． 解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：先从2n个点中构成直径（即斜边）共有n种取法；再从余下的(2n－2)个点中取一点作为直角顶点，有(2n－2)种不同取法．故总共有n(2n－2)＝2n(n－1)个直角三角形．故填2n(n－1)．
例2： 从集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点原直线共有____条（结果用数值来表示）.解：因为直线过原点，所以C＝0.从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为 P（6，2）＝30． 二
分类求解
例3 四边体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平面上，不同取法有（）
(A)30种
(B)33种
(C)36种
(D)39种
解：符合条件的取法可分三类：① 4个点（含A）在同一侧面上，有3 ＝30种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种；由加法原理知不同取法有33种，故选B.三
排除法求解
例4 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）
(A)8种
(B)12种
(C)16种
(D)20种
解：由六个任取3个面共有 C（6，3）＝20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有 20－8＝12种，故选(B)．
例5 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（）个？
解：从7个点中任取3个点，共有C（7，3）＝35 个，排除掉不能构成三角形的情形．点在同一直线上有3个，故符合条件的三角形共有 35－3＝32个．
四
转化法求解
例6 空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少对异面直线？
解：考虑到每一个三棱锥对应着3 对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥.由于这六个点可构成C（6，4）＝15 个三棱锥，故共有3×15 ＝45对异面直线.例7 一个圆的圆周上有10个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几个？
解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的个数．显然可构成 C（10，4）＝210个圆内接四边形，故10个点连成的点最多能在圆中交点210个.6、染色问题：
不涉及环形染色 可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。环形染色可采用如下公式解决：
An＝（a－1）^n+(a-1)×(-1)^n n表示被划分的个数，a表示颜色种类
原则：被染色部分编号，并按编号顺序进行染色，根据情况分类 在所有被染色的区域，区分特殊和一般，特殊区域优先处理
例题1：将3种作物种植在如图4所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法？
图1
例题2：用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色，相邻部分不能同色，但同一种颜色可以反复使用，也可以不使用，则符合要求的不同染色方法有多少种？
图2
例题3：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一条棱的2个端点不同色，且只由五个颜色可以使用，有多少种染色方法？
图3
例题4：一个地区分为如图4所示的五个行政区域，现在有4种颜色可供选择，给地图着色，要求相邻区域不同色，那么则有多少种染色方法？
图4
例题5：某城市中心广场建造了一个花圃，分6个部分（如图5）现在要栽种4种不同的颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的花，则有多少种不同栽种方式？
图5：
5.【分享】无私奉献万华的排列组合题（系列之二）
上次发了万华的数字推理５０道，大家反映良好，现在我把万华原创的几道排列组合奉献给大家．还是那句老话，如果觉得可以的话，看后要回帖！以表示对别人的尊重！
一）1, 2, 3, 4作成数字不同的三位数，试求其总和？但数字不重复。
[解析]
组成3位数 我们以其中一个位置(百位,十位,个位)为研究对象就会发现 当某个位置固定 比如是1,那么其他的2个位置上有多少种组合? 这个大家都知道 是剩下的3个数字的全排列 P32 我们研究的位置上每个数字都会出现P32次
所以每个位置上的数字之和就可以求出来了
个位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以总和是6660
（二）将“PROBABILITY ”11个字母排成一列，排列数有______种，若保持P, R, O次序，则排列数有______种。
[解析]
这个题目就是直线全排列出现相同元素的问题:在我的另外一个帖子里面有介绍:http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9487547.html
(1)我们首先把相同元素找出来,B有2个, I 有2个 我们先看作都是不同的11个元素全排列 这样就简单的多是P11,11 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。
(2)第2个小问题 因要保持PRO的顺序，就将PRO视为相同元素（跟B，I类似的性质），则其排列数有11！/（2！×2！×3！）= 166320种。
（三）李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇共10人围坐一圆桌聊天，试求下列各情形之排列数：
（1）男女间隔而坐。
（2）主人夫妇相对而坐。
（3）每对夫妇相对而坐。
（4）男女间隔且夫妇相邻。
（5）夫妇相邻。
（6）男的坐在一起，女的坐在一起。
[解析]
(1)这个问题也在http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9487547.html介绍过
先简单介绍一下环形排列的特征,环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物.第一个坐下来的人是没有参照物的,所以无论做哪个位置都是一样的.所以从这里我们就可以看出 环形排列的特征是 第一个人是做参照物,不参与排列.下面就来解答6个小问题:
(1)先让5个男的或5个女的先坐下来 全排列应该是 P44, 空出来的位置他们的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列这个时候有了参照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880种
(2)先让主人夫妇找一组相对座位入座 其排列就是P11(记住不是P22),这个时候其他8个人再入座,就是P88,所以此题答案是 P88
(3)每对夫妇相对而坐,就是捆绑的问题.5组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入
座的夫妇的,剩下的4组位置就是P44, 考虑到剩下来的4组位置夫妇可以互换位置即 P44*2^4=384
(4)夫妇相邻,且间隔而坐.我们先将每对夫妇捆绑 那么就是5个元素做环形全排列 即P44 这里在从性别上区分 男女看作2个元素 可以互换位置 即答案是P44*2=48种(值得注意的是,这里不是*2^4 因为要互换位置,必须5对夫妇都得换 要不然就不能保持男女间隔)
(5)夫妇相邻 这个问题显然比第4个问题简单多了,即看作捆绑 答案就是P44 但是这里却是每对夫妇呼唤位置都可以算一种方法的.即 最后答案是P44*2^5
(6)先从大方向上确定男女分开座,那么我们可以通过性别确定为2个元素做环形全排列.即P1,1 , 剩下的5个男生和5个女生单独做直线全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55
（四）在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
[解析]
这个题目相信大家都见过 就是我们这次2008年国家公务员考试的一道题目: 这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法或多次插空法
直接解答较为麻烦，我们知道8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔,故可先用一个节目去插9个空位，有C9取1种方法；这样9个节目就变成了10个间隔,再用另一个节目去插10个空位，有C10取1种方法；同理用最后一个节目去插10个节目形成的11个间隔中的一个，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为9*10*11=990种。
方法2: 我们先安排11个位置,把8个节目按照相对顺序放进去,在放另外3个节目,11个位置选3个出来进行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990
（五）0，1，2，3，4，5五个数字能组成多少个被25整除的四位数？
[解析] 这里考察了一个常识性的问题 即 什么样数才能被25整除 即这个数的后2位必须
是25或者50，或者75或者00 方可.后两位是25的情况有:千位只有3个数字可选(0不能)百位也是3个可选 即3*3=9种
后两位是50的情况有:剩下的4个数字进行选2位排列 P4,2=12种
75不可能，因为数字中没有7 00也不可能，因为数字不能重复 共计 9+12=21种
6.【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析
在说这2 道关于“插板法”的排列组合题目之前，我们需要弄懂一个问题：
插板法排列组合是需要什么条件下才可以使用？这个问题清楚了，我们在以后的答题中 就可以尽量的变化题目使其满足这个条件。
这个条件就是： 分组或者分班等等 至少分得一个元素。注意条件是 至少分得1个元素！
好我们先来看题目，例题1：某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】
这个题目是Q友出的题目，题目中是不考虑节目的不同性 你可以视为18个相同的节目 不区分！
发现3个年级都是需要至少4个节目以上！跟插板法的条件有出入，插板法的条件是至少1个，这个时候对比一下，我们就有了这样的思路，为什么我们不把18个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。
这样这3个班级就都少1个，从而满足至少1个的情况了
3×3＝9 还剩下18－9＝9个
剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取其中任意2个间隔就可以分成3份（班级）！C8取2＝28
练习题目：
有10个相同的小球。分别放到编号为1，2，3的盒子里 要使得每个盒子的小球个数不小于其编号数。那么有多少种放法？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】
还是同样的原理。每个盒子至少的要求和插板法有出入 那么我们第一步就是想办法满足插板法的要求。
编号1的盒子是满足的 至少需要1个，编号2至少需要2个，那么我们先给它1个，这样就差1个 编号3至少需要3个，那么我们先给它2个，这样就差1个
现在三个盒子都满足插板法的要求了 我们看还剩下几个小球 ？ 10－1－2＝7 7个小球6个间隔 再按照插板法来做 C6，2＝15种！
7.【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题
有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？（）
A．9 B．12 C．18 D．24
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
很多教材给出的答案是18
这里我更正以下：
请大家注意红色字体 “相同”
如果一个显示3，一个显示1，交换以下 是 1，3是否是2种呢？
显然不是 是1种
这是这个题目存在的陷阱
－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 方法一：
为偶数的情形 分2种情况
（1）、奇数＋奇数：（1，3，5）
C（3，1）×C（3，1）注意因为这里是相同的两个色子。所以 3，1和1，3是不区分的 要去掉C3，2＝3种 实际上是6种，（2）、偶数＋偶数（2，4，6）偶数的情况跟奇数相同 也是6种！答案是 6＋6＝12
方法二：
当然我们也可以算总的，那么就是 C6，1×C6，1－C6，2＝36－15＝21种（为什么要减去C（6，2），因为任意2个数字颠倒都是一种情况）看奇数： 奇数＝奇数＋偶数 C3，1×C3，1＝9种 所以答案是 21－9＝12种
8.【讨论】裴波纳契数列的另类运用
先说典型的裴波纳契数列：
图片：
裴波纳契数列 就是移动求和A＋B＝C
因为第一个月这对小兔长成大兔 所以第一个月还是1对 即A从1开始。第2个月开始剩下一对小兔 合计2对 B从2开始。
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，23
3小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
A：54 B：64 C：57 D：37
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这个题目刚刚看到讨论 我也用排列组合的办法参与了讨论 现在我再来说说裴波纳契数列的解法
楼梯级数：1，2，3，4，5，6........走法情况：0，1，1，1，2，2........这是一个裴波纳契的间隔运用 因为他没有走1步的情况
即A＋B＝D
0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37
在举例1题：小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈一级，两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有10级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
因为是1，2，3级都可以所以可以采用
A＋B＋C＝D的 裴波纳契数列变式！
列举前3个 分别是1，2，3
则 10个是 1，2，4，7，13，24，44，81，149，27
4练习题目：小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈一级或三级台阶。已知相邻楼层之间有10级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
9.【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析
所谓临界点问题 我们也可看作是青蛙跳井问题，这类问题的特征是 将2次具有结果上互斥（相反）的操作看作1组操作的运算
例如典型的青蛙跳井，每跳上去5米 会滑下来3米 5米和3米的2个结果对应的操作就是互斥操作。
对于这样的类型问题 其考查的要点是： 我们最终要求的结果 有可能是在某一组互斥操作的上半部分的操作时就已经达到目的或者说已经完成任务。如果仍然看作一组来结果 就会使其从到达目的得位置上被互斥操作得另一个相反操作给拖回去。所以不对最后一组临界点情况做提前判断 就容易产生结果变大得情况！
下面我们结合3个例题来看这个类型的题目！
例一： 一个数是20 现在先加30，再减20，再加30，再减20，反复这样操作 请问至少经过多少次操作 结果是500？
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我们先找最后一组达到500的临界点 也就是我们把＋30，－20 2次操作看作1组，我们必须看＋30的时候是否能够达到500
先找临界点
最后一次增加 是需要＋30 基数是20 每一组操作是增加10
那么计算是这样的（500－30－20）/10=45 组 也就是说经过45组即90次操作达到了470
答案就是91次
例二：小明的爸爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影响走得不正常,白天快1/2分钟,夜里慢1/3分钟,他10月1日白天对准时间,问到哪一天手表正好快5分钟?()
A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日
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我们知道 白天 和晚上 为一组 即一天 整体情况是 可以块1/2-1/3=1/6分钟
要得结果是快5分钟 即我们必须最后一个白天情况进行判断
即我们找出临界点是 5－1/2=4.5天
按照每天快1/6 则要快4.5天 需要4.5/（1/6）=27天 这时候 我们发现此时再加上一个白天即可完成 说明经过了28天快了5分钟
答案就是10月28日。
例三：机场上停着10架飞机，第一架起飞后，每隔4分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞机起飞后2分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分钟就有一架飞机在机场上降落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么，从第一架飞机起飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？
A 104 B 108 C 112 D 116
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这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点状态的一些变化。
碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生，发生时的状况怎么样。这样才好判断。
例如“青蛙跳井”问题，10米深的井，青蛙每次跳5米 就会下滑4米。问几次能够跳上来。这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口！也就是说我们只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，这里都是常规计算（10－5）/(5-4)=5次。最后一次的时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。
同样这个题目很多人做出116分钟，其原因就是犯了这个错误。我们必须先求临界点。
所谓的临界点就是
当机场剩下1架飞机的时候
假设是N分钟剩下一架飞机！
N/4 +1=(N-2)/6 + 1 +（10-1）
为什么两边都＋1 那是因为这是植树问题。从0分钟开始计算的 所以要多加1次
解得N＝104分钟
所以我们知道104分钟的时候是临界点 飞机场只有1架飞机没有起飞。
当108分钟的时候，飞机起飞了。而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候，所以从108～110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象！
答案应该选B
10.【经验总结】关于比例法中变量守恒与变化的思路分析
这个帖子主要是讨论在一些存在三个变量公式中，由于某个变量守恒，另外两个变量之间的关系引出的 通过变量发生改变的部分缩小范围和数值来求解的方法，简称比例法
比例法我粗略分为2类
（一）变量变化之比例
这部分大家可以参考上面链接的习题 常识去掌握这部分的题目
（二）变量守恒之比例
这部分是通过 我们求解的试题中 某个变量恒定的把握。通过这个恒量在整个比例中所得的比例点的不同参照物下的变化 来反向了解整体变化 或者是与之相关联的变量变化的情况。
下面我们通过试题来了解这样的类型
【2008年安徽真题】
一个袋子里放着各种颜色的小球，其中红球占四分之一，后来又往袋子里放了10个红球，这时红球占总数的三分之二，问原来袋子里有多少小球？
A8 B12 C16 D20
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这个题目中我们可以直接看出不变的部分 是除红色小球以外的部分 我们称之为 非红色部分
小球个数＝红色＋非红色
刚开始 非红色：整体＝3：4
添加10个红球之后是
非红色：整体＝1：3
这两个比例的参照对象是不同的他们相差10个球
我们可以将表示同一恒量的比例值统一起来看
3：4
1：3＝3：9
我们发现 整体的比例值发生了变化 变化了多少 9－4＝5个比例点 对应的就是10个小球
所以每个比例点是2个小球 则答案应该是 2×4＝8个小球
【习题二】某校六年级有甲,乙两个班,甲班学生人数是乙班的5/7,如果从乙班调3人到甲班,甲班人数是乙班的4/5,则乙班原有学生多少人? A.49 B.63 C.72 D.84
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这个题目的恒量是甲乙两个班级的总人数，我们发现题目所有的变动 只是内部活动 没有外界的加入和整体的流失。所以总人数就是一个恒定量
开始的时候
乙班人数：总人数＝7：12
从乙班调3人进入甲班 则比例发生变化为
乙班人数：总人数＝5：9
总人数分别是12和9个比例点 是不统一的 即每个比例单位值不相同了 所以我们首先进行的就是统一比例值
12和9的最小公倍数是 36
那么调动前后的比例就可以表示为
21：36 和 20：36 我们发现甲班的人数多了一个比例点 那么这1个比例点就是对应的调入的3人 总人数是36个比例点 则总人数3×36＝108人 而乙班人数则是3×21＝63人
【习题三】有银铜合金10公斤，加入铜后，其中含银2份，含铜3份。如加入的铜增加1倍，那么银占3份，铜占7份，试问初次加入的铜是多少公斤？
A 3 B 4 C 5 D 6
――――――――――――――――――――
此题的恒量我们可以看得出来是银，最初的一次 银：铜＝2：3
再次加入铜后，银：铜＝3：7
我们根据银是固定的 统一一下比例
2：3＝6：9
3：7＝6：14
我们发现铜增加了14－9＝5个比例点 那么增加的部分 很容易就可以从选项里面看到5这个答案了
如果要具体求值 再继续思考
我么知道 2次增加的铜是一样多。
那么回归到10公斤的时候 铜应该是9－5＝4个比例点 4＋6＝10 每个比例点就是1公斤
自然我们就知道准确的值就是5公斤了
总结： 很多问题其实其实就是学会寻找一个折中 或者学会抓住一个特质
比例法就是让我学会在都在变化的变量中找准变化比例规律。进而找出变化的环境和范围。
或者 找出守恒的变量 通过它找到对等的关系
11.【讨论】“五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数”一题
五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数,并且各不相同.则体重最轻的人,最重可能是()斤
A.80 B.82 C.84 D.86
有人说这个题目少条件，其实不少条件，为什么这么说呢，这是需要来根据题目的提问分析的我们能够知道的就是5个人的总重量是固定的 还有就是他们的体重都是整数，且各不相同，注意看提问“体重最轻的人 最重是多少？”
首先你这样想 因为体重各不相同，肯定有人最轻，但是我们要想办法让他轻也要尽可能的重些。
举个简单的例子，就说2个人把 体重是150，那么你说是不是只有当2个人的体重无限接近的时候，最轻的人的体重才是可能性中最重的。最重的人的体重也就被拖低了，同样这个道理。5个人也是。当他们5个体重无限接近的时候 重的人的优势不明显了 因为这些优势都在轻的人身上，但是却没有超出。无限接近且保证是整数，那么自然就是连续自然数这样的情况了
所以我们直接考虑连续自然数 423/5=84 余数是3 中间重量是84斤
那么这个连续自然数就是 82，83，84，85，86 这时候有人问 那多余的3斤怎么办 很简单 我们把这3斤分配给最重的3人其中的一个或者2个人都可以。因为这对轻者的体重
无影响。如果分配给轻者，那么就会出现体重轻的人加上1～3斤的时候 和后面的某一个人的体重重复，所以我们只要看连续自然数最小的一个自然数即可
同样我们来看一个姊妹题
例题：现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。
A.7 B.8 C、9 D.10
这个题目提问的是 最多的人至少分得多少
道理是一样的。只有连续自然数才能让 少的人尽可能多，多的人尽可能少
所以21/5=4 余数是1 注意这里余数是必须要考虑的
我们知道中间数是4，这个连续自然数是 2，3，4，5，6 最大的是6 剩下的1 只能分给最大的 否则分给其他的 都会出现重复数字。
答案就是6＋1＝7
不管余数是多少 答案就是最大数＋1 为什么这么说，我们来看 假如鲜花数量是24 也是分给5个人
24/5=4 余数是4 连续自然数序列是 2，3，4，5，6 余数就分给最多的4个人 变成 2，4，5，6，7
所以这里余数是多少不重要 直接用最大数＋1 即可
12.【经验分享】浅谈mn/(m+n)公式的由来（盐水交换问题）
有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？
公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48
公式的由来是通过2个十字交叉法得到的你假设交换的部分是a克盐水
假设120克的盐水 浓度是P1，80克的盐水浓度是P2，那么对于120克的盐水来讲 建立十字交叉法
120－a（P1）
P－P2
P
a（P2）
P1－P
我们得到
（120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）
那么对于80克的盐水来讲 建立十字交叉法
80－a（P2）
P1－P
P
a（P1）
P－P2
交换混合后相同的浓度是P
我们得到
（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）
根据这2个比例的右边部分我们可以得到
（120－a）：a＝a：（80－a）
化简得到 a＝120×80/(120+80)说明跟各自的浓度无关！
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补充方法：
因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合，在按照比例分开成2部分。
所以我们假设交换了a克
a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例 跟原始的参照质量也是同一比例。即
(120－a)/a=120/80 a=48克 或者
（80－a）/a=80/120 a=48克
13.【周末练习】4道经典习题（已公布解析DONE）
习题一：.1到500这500个数字 最多可取出多少个数字 保证其取出的任意三个数字之和不是7的倍数。
-------------【万华解析】
每7个数字1组，余数都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三个数字之和不是7的倍数，那么其余数之和就不是7的倍数。我们应该挑选 0，1，2，或者0，5，6
因为7/3=2 也就是说最大的数字不能超过2，例如 如果是1，2，3 那么 我们可以取3，3，1 这样的余数，其和就是7
500/7=71 余数是3，且剩下的3个数字余数是1，2，3
要得去得最多，那么我们取0，1，2比较合适 因为最后剩下的是1，2，3 所以这样就多取了2个
但是还需注意 0 不能取超过2个 如果超过2个 是3个以上的话 3个0就可以构成7的倍数 0也能被7整除
所以答案是71个1，2 和剩下的一组1，2 外加2个0 71×2＋2＋2＝146
习题二： 将50个苹果分成相同的3堆，每堆至少1个，有多少种分法？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【万华解析】
这个题目 我们可以先将其看作插孔法来研究
那么就是 C49取2＝1176 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的，这里是相同的堆。所以计算重复了
我们按照三个堆各不相同为标准 恢复到这个状态来做。我们少算了多少个 1，1，48 2，2，46，3，3，44 4，4，42.。。。50/2=25 所以直到 24，24，2
这样的情况少算了 P33-P33/P22=3次
所以一共少算了 24×3＝72
按照标准情况来看应该是 1176＋72＝1248种
所以我们每组都需要扣除6种情况变为1种 因为不区分组 所以答案是
1248/P33=208种
习题三：1～1998，有多少个数字其各个位置上的数字之和能被4整除？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【万华解析】
差不多每个4个数字都可以满足题目的条件 我距离每40个数字1组就是一个周期
例如：12不行 13可以，20不行22可以，32不行 35可以。40～50之间都满足。这就是一个周期
所以我们看最后一个倍数是多少
1996 这是最后一个4的倍数 1＋9＋9＋6＝25 不行 还差3个 应该是1999补上它 所以答案是 1996/4=499 但是 1999不含在其中 所以答案是 499－1＝498
习题四：有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根本条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【万华解析】
看看这个题目 你就觉得简单了
1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（C）
(A)25个
(B)26个
(C)36个
(D)37个 【解析】
根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可见最大的边是11 则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6。。。1 如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。2，（不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合）
如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7。。。。3（理由同上，可见规律出现）
规律出现 总数是11＋9＋7＋。。1＝（1＋11）×6÷2＝36
14.【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析
一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？
A 10
B 8 C 6
D 4---------------------------我们知道这个题目出现了2个情况，就是（1）汽车与骑自行车的人的追击问题，（2）汽车与行人的追击问题
追击问题中的一个显著的公式 就是 路程差＝速度差×时间
我们知道这里的2个追击情况的路程差都是 汽车的间隔发车距离。是相等的。因为我们要求的是关于时间 所以可以将汽车的间隔距离看作单位1.那么根据追击公式
(1)(V汽车－V步行)=1/10(2)(V汽车－3V步行)=1/20
(1)×3－(2)=2V汽车＝3/10-1/20 很快速的就能解得 V汽车＝1/8 答案显而易见是8
再看一个例题：小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。扶梯方向向上，小芳则从二楼到一楼。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。如果我们把一个箱子放在一楼的第一个阶梯上 问多长时间可以到达二楼？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
跟上面一题一样。这个题目也是2个行程问题的比较（1）小明跟扶梯之间是方向相同
(1)(V小明＋V扶梯)=1/2（2）小芳跟扶梯的方向相反
(2)(V小芳－V扶梯)=1/8
(1)-2×(2)=3V扶梯＝1/4 可见扶梯速度是 1/12 答案就显而易见了。
总结：在多个行程问题模型存在的时候。我们利用 其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。可以很轻松的一步求得结果！
习题：
1、电扶梯由下往上匀速行驶.男孩以每秒2个梯级的速度沿电扶梯往上走,40秒种可达电扶梯顶部.一女孩以每2秒3个梯级的速度往上走,50秒可以达到顶部.则静止时电扶梯的梯级数为（）
A 80
B 75
C 100
D 1202、2、某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少
15.【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结
“牛吃草”的问题 主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原本有多少 ？不是我们关心的内容，为什么这么说，因为在我们计算的时候，实际上是根据差值求草长速度，那么原有的草量都是一样，有些题目可能面积不一样，但是每亩地的原始草量确实一样的。！废话少说，就下面2个题目来讨论一下：
1．一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每头牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这一片草，几天可以吃完？（）
A.10 B.8 C.6 D.4 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 我们先要确定一个单位，即一头牛每天吃的草量为1个标准单位，或者叫做参照单位 因为此题中出现了牛和羊，这两个吃草效率不等，转化一下 4羊＝1牛。看题目
（1）“一片牧草，可供16头牛吃20天”
说明 这片牧草 吃了20天即原有的草和20天长出来的草共计是20×16＝320个单位（2）“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”
说明这片牧草吃了12天即原来的草和12天长出来的草共计是12×20＝240个单位 两者相减 320－240＝80 就是多出的8天所长的草量 即每天草长速度是80÷8＝10个单位 现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草” 牛多了，自然吃的天数就少了
我们还是可以根据上面的方法，挑选（1）或者（2）来做比较。就挑选（1）
320－25a＝（20－a）×10 这个等式，a表示我们要求的结果 即可解得 a＝8天。
3．22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？（）A.50 B.46 C.38 D.35 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
再看这个有面积的题目
其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的，面积不一样，但是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。根据这个 条件1：
(22×54)/33 这是每公亩的情况
条件2：
(17×84)/28 这是每公亩的情况
相减(17×84)/28 －(22×54)/33＝（84－54）×a a表示每亩草长速度 解得a＝0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位
最后我们假设x头牛24天可以吃完40公亩草 那么挑选上面的一个情况拿过来做对比：(22×54)/33－24x/40＝(54-24)×0.5 即可解得x＝35头牛
16.【纠错】关于计算某个数字在页码中出现的次数问题的公式怀疑！
一本书有400页，问数字1 在这本书里出现了多少次？
解析:关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/5，再加上100 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于这个解法我觉得有待商榷！这种公式局限于 1000以内的解法 不适合1000以上
例如 ：
一本书有4000页，问数字1 在这本书里出现了多少次？
1000＋4000/5=1800 这个答案显然是错误的！
事实上答案是 C（4，1）×C（10，1）×C（10，1）×3＋10^3=2200
在这里我提供一组利用排列组合来解决此题的方法
我们看4000 分为千，百，十，个四个数字位置
千位是1的情况： 那么百、十、个
三个位置的选择数字的范围是0～9 共计10个数字
就是10*10*10=1000
百位是1的情况，千位是（0，1，2，3）4个数字可以选择
十位，个位还是0～9 10个数字可以选择
即 4×10×10＝400
十位和个位都跟百位一样分析。那么答案就是 1000＋400×3＝2200
17.【总结】关于页码和页数的题目（刚看到的一个题目顺便做个分析）
先从几个题目开始说
（1）699页的书页码当中含有多少2？
可以采用排列组合来做，我们将这1~999个数字 按照这样的方式来看
首先 001 表示1，我们把 百位，十位，个位单独来看
百位如果是2的情况有多少种？
主要是取决于 十位和个位的选择情况，十位有0~9 10个选择，个位有0~9十个选择 即 10*10=100个
十位如果是2的情况有多少种？
百位的选择 是0~6 即7种选择，个位0~9这 10个数字选择，即 7*10=70 个位如果是2的情况有多少种？
百位的选择0~6，即7种选择，十位0~9 10个数字可以选择，即和十位是2的情况一样 7*10=70
则答案是 100+70*2=240个
注解：例如 522 是含有2个2，当百位是0 十位是2 个位是2的时候 即022 表示的是页码22
（2）999页码的书有多少页不含2的页码？
这个题目跟上一题不一样求的是页码，比如说522这个页码 虽然含有2个2，但是这是一个页码
这个题目我们同样采用排列组合
每个位置不是2的 种类选择，即都是0~9 排除2，9个数字可以选择，所以不含2的页码是 9*9*9=729 但是当三个位置都是0时，即表示为0，页码当中没有0页码，所以最终答案是729-1=728个页码 不含2
（3）999页的书有多少页含2的页码？ 上面我们已经分析了，借助上面做法 含2的页码就是 999-728=271个页码
18.【开会时间分针时针互换问题】新题型的2道问题的解析
小王去开会，会前会后都看了表，发现前后时钟和分钟位置刚好互换，问会开了1小时几分（）
A.51 B 49 C47 D45
这个题目我刚才做了一下 我是这么做的分针时针互换
因为时间不超过2小时 也就是说。分针转动的时间不超过120分钟
我们根据位置互换，可以发现时针走的度数＋分针走的度数是360度×n 要得在大于1小时小于2小时 则 n＝2
根据路程之和可知2者的路程是360×2＝720度
答案是 720÷（6＋0.5）=1小时51分钟（估算值）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
会议开始时,小李看了一下表,会议结束时,又看了一下表,结果分针与时针恰好对调了位置.会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束,请问会议何时召开? 【解析】
首先可以确定 顺时针方向 分针在时针的前面。否则 时针要转大半圈才能到达分针的位置。
其次可以发现分针时针走的路程之和是 360度×N 因为时间是控制在1～2个小时内 则N=2
720÷（6＋0.5）=1440/13分钟 说明会议时间是这么多分钟
根据时间的比例 开始时的分针是5～6之间 说明时针在3～4之间还没有过半 即最后分针停留的位置应该不超过17～18分钟
那我们按照5点17分－1440/13分钟 应该是3点26分钟左右
19.【分享】（绝对经典）20道比列及列式计算
1、某人工作一年的报酬是8400 元和一台电冰箱，他干了7 个月不干了，得到3900 元和一台电冰箱。这台电冰箱价值多少元？（用比例的思维。这题在比列中算是比较简单的题了）
【解析】
一年的报酬：8400+电冰箱一台
7个月的报酬：3900+电冰箱
所以5个月的报酬就是：8400-3900=4500 每个月的报酬就是：4500/5=900 一年的报酬就是：900*12=10800 电冰箱就是：10800-8400=24002、甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B时，乙离A地还有10千米。那么A，B两地相距多少千米？ 【解析】
方法一（七夜解法）：
假设全程为9份，相遇的时候，甲走5份，乙走了4份，之后速度开始变化，这样甲到达B地，甲又走了4份
根据速度变化后的比值，乙应该走了4×6/5＝24/5份 所以这样离A地还有5－（24/5）份 10*9/(1/5)=450 方法二（我的解法）： 假设全程是9份，相遇时，甲走5份，乙走4份 甲乙的路程比就是速度比变为，5：4 之后由于变速甲乙速度比变为，4：4.8 所以当甲到B点时（即走了5+4=9份），乙走了4+4.8=8.8份 乙距离全程还相差9-8.8=0.2份
0.2份对应的是10千米
所以9份对应的是9*10/0.2=450千米（大家觉得七夜的解法和我的解法哪个好点？）
3、小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？ 【解析】 方法一：（小学生的做法，也就是列式计算法）
要提前6分钟到校，所以用时是30-6=24分钟
而这6分钟走的路程正好就是小明每分钟加快多走25米，走了24分钟才走好的 因此小明用正常速度走6分钟的路程就是：24*25=600米
所以小明正常的速度就是：600/6=100米/分钟（怎么这么慢捏？）所以S=100*30=3000米 方法二：
时间比是30：24=5：4 所以速度就是时间比的反比4：5 5-4=1，1个比例点对应25米，所以4个比例点对应4*25=100米（正常的速度）所以S=100*30=3000米
4、甲读一本书，已读与未读的页数之比是3：4，后来又读了33 页，已读与未读的页数之比变为5：3。这本书共有多少页？ 【解析】
这题要注意的就是书的页数始终保持不变（我废话了=。=）
一开始，已读与未读的页数之比是3：4，所以已读的页数与整本书的页数比就是3：（3+4）=3：7 后来又读了33页，已读与未读的页数之比变为5：3，所以已读的页数与整本书的页数比就是5：（5+3）=5：8 因此，整本书的页数就是： 33/（5/8-3/7）=168（这里我想扯开讲讲代入法了，因此之前是3/7，之后是5/8，因此整本书的页数一定就是7、8的公倍数，也就是56的倍数，有选项的话直接秒，嘎嘎）
5、一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？ 【解析】
先看前半句“如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达”
得到原速与加速比是5：6，所以时间比就是6：5，6-5=1，1个比例点对应1小时 所以用原速度行驶完全程需要6*1=6小时
再看这句话“如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达” 提速后，原速与变速比是4：5，时间比是5：4，5-4=1，1个比列点对应2/3小时 所以车子用原速行驶后半程的话就是用了5*2/3=10/3小时 故前面的120千米行驶的路程用时是6-10/3=8/3小时 得到原速度就是120/8/3=45千米/小时 所以S=45*6=270千米
6、甲、乙两城相距91千米，有50人一起从甲城到乙城，步行的速度是每小时5千米，汽车行驶的速度为35千米／小时，他们有一辆可乘坐五人的面包车，最短用多少时间使50人全部到达乙城？（这题的汽车速度没有变化，飞飞在这里总结了一种直接可以套上用的类似公式的计算式，希望大家能掌握）【解析】
速度比是35：5=7：1 7-1=6 6/2=3 路程可分成：1+3+9=13份（注，1+3是第一批人下车的路程，9是因为共有50人，5人一组，因此有10组，但每一组人要走10-1=9份路程。当公式记住吧）91*（4/13/35+9/13/5）=67/5=13.4小时
7、一只船从甲码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米，因此后2小时多行16千米。那么甲，乙两个码头距离时多少千米？ 【解析】
这题是个模块，只要记住这个模块就行了 顺水的时间是：16/12=4/3小时
则逆水时间是：4-4/3=8/3小时
时间比等于速度比的反比，V顺：V逆=8/3：4/3=2：1 V顺=V逆+12 所以V顺=24 所以S=24*4/3=32KM
8、甲乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不间断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时35千米，甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米，求A、B两地的距离
A、200千米 B、250千米 C、300千米 D、350千米 【解析】
速度比是15：35=3：7 全程分成10份
第三次甲行的路程是：3*（2*2+1）=15份 第四次甲行的路程是：3*（2*3+1）=21份 两次相距5-1=4份，对应100KM 所以10份对应的就是250KM
9、某工程有甲乙合作，刚好按时完成，如果甲工作效率提高20%，哪么2个人只需要规定时间9/10 就可以完成如果乙工作效率降低25%，那么2人就需要延迟2.5小时完成工程，球规定时间。
【解析】
甲提高效率，整体效率提高了10/9-1=1/9，所以甲是1/9/20%=5/9，所以乙是4/9 所以原来甲乙之比是5：4 乙变速后甲乙之比是5：3（做到这里，我觉得方程更直观，我分两步做吧）（1）先用方程 可得到方程是： 9T=8*（T+2.5）
T=20小时
（2）用比列做
乙降低1份，对应多用的时间就是2.5
现在共5+3=8份，所以时间就是8*2.5=20小时
10、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。【解析】
V甲=50*（6+26）/20=80 S=6*（80+50）=78011、小王和小李合伙投资，年终每人的投资进行分红，小王取了全部的1/3另加9万元，小李取了剩下的1/3和剩下的14万元。问小王比小李多得多少万元
【解析】
小李取了剩下的1/3和剩下的14万元
所以14万就是小李取的2/3，所以在小王取完之后就剩下14/2/3=21万 小王也一样，取的2/3就是21+9=30，所以全部的钱钱就是30/2/3=45万 所以就知道小王是24万，小李是21万
12、甲从A地步行到B地，出发1小时40分钟后，乙骑自行车也从同地出发，骑了10公里时追到甲。于是，甲改骑乙的自行车前进，共经5小时到达B地，这恰是甲步行全程所需时间的一半。问骑自行车的速度是多少公里/小时？ 【解析】
走完全程需要的时间是5*2=10小时 一直骑车需要的时间是5-5/3=10/3小时
所以人的速度与自行车的速度比是10：10/3=3：1 车追上人需要：5/3/(3-1)=5/6小时，对应10公里的路程 所以车子的速度就是：10/5/6=12KM/H
13、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？
【解析】
解析：甲车和乙车的速度比是15：10＝3：2 相遇时甲车和乙车的路程比也是3：2 3-2=1，1个比列对应12千米，共有3+2=5个比例 所以S=12*5=60
14、甲、乙、丙三台车床加工方形和圆形的两种零件，已知甲车床每加工3个零件中有2个是圆形的；乙车床每加工4个零件中有3个是圆形的；丙车床每加工5个零件中有4个是圆形的。这天三台车床共加工了58个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4：3：3，那么这天三台车床共加工零件几个？ A.68 B.76 C.78 D.88 【解析】
甲车床加工方形零件4份，圆形零件4*2＝8份 乙车床加工方形零件3份，圆形零件3*3＝9份
丙车床加工方形零件3份，圆形零件3*4＝12份 圆形零件共8＋9＋12＝29份，每份是58÷29＝2份 方形零件有2*（3＋3＋4）＝20个 所以，共加工零件20＋58＝78个
15、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达。甲、乙两地之间的距离是多少千米？ A.360 B.450 C.540 D.720 【解析】
原速度：减速度=10：9，所以减时间：原时间=10：9，所以减时间为：1/（1-9/10）=10小时；原时间为9小时； 原速度：加速度=5：6，原时间：加时间=6：5，行驶完180千米后，原时间=1/（1/6）=6小时，所以形式180千米的时间为9-6=3小时，原速度为180/3=60千米/时，所以两地之间的距离为60*9=540千米
16、一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度为20米/分的河中，从上游的一个港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小时30分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米
A.280/3 B.560/3 C.180 D.240 【解析】
船的顺水速度：60＋20＝80米／分，船的逆水速度：60－20＝40米／分。因为船的顺水速度与逆水速度的比为2：1，所以顺流与逆流的时间比为1：2。这条船从上游港口到下游某地的时间为：
3小时30分＊1／（1＋2）＝1小时10分＝7／6小时。（7/6小时＝70分）从上游港口到下游某地的路程为： 80＊7／6＝280／3千米。（80×70＝5600）
17、（先看18题）一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的80%。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发的。那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的 A 11点01分 B11点05分 C11点10分 D.11点15分 【解析】
大轿车行完全程比小轿车多17－5＋4＝16分钟
所以大轿车行完全程需要的时间是16÷（1－80％）＝80分钟 小轿车行完全程需要80×80％＝64分钟
由于大轿车在中点休息了，所以我们要讨论在中点是否能追上。
大轿车出发后80÷2＝40分钟到达中点，出发后40＋5＝45分钟离开
小轿车在大轿车出发17分钟后，才出发，行到中点，大轿车已经行了17＋64÷2＝49分钟。说明小轿车到达中点的时候，大轿车已经又出发了。那么就是在后面一半的路追上的。
第五篇：公务员行测数量关系知识总结
整除基本法则
其末一位的两倍，与剩下的数之差，或其末三位与剩下的数之差为7的倍数，则这个数就为7的倍数。奇数位与偶数做差，为11的倍数，则这个数为11的倍数，或末三位与剩下的数之差为11的倍数则这个数为11的倍数。
末三位与剩下的数之差为13的倍数，则这个数为13的倍数。末两位能被4和25整除，则这个数能被4和25整除。末三位能被8和125整除，则这个数能被8和125整除。有N颗相同的糖，每天至少吃一颗，可以有2N-1种吃法。因式分解公式
平方差公式：.a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方公式： a2±2ab＋b2＝(a±b)2 立方和公式：a3+b3＝(a+b)(a2-ab+b2).立方差公式：a3-b3＝(a-b)(a2+ab+b2).完全立方公式： a3±3a2b＋3ab2±b3＝(a±b)3 两位尾数法
指利用计算过程当中，每个数的末两位来进行运算，求得的最后两位，过程和结果当中如果是负数，可以反复加100补成0-100之间的数。裂项相加法则 和=（分子11—）×
小=分母种最小的数，大=分母中最大的数
差小大乘方公式
底数留个位，指数末两位除以4（余数为0看做4）尾数为1、5、6的尾数乘方不变。循环数核心公式
例题：198198198=198*1001001 200720072007=2007*1001 三位数页码
页码=数字 +36 3同余问题
余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期
1、余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1则取1 60n+1
2、同和：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1则取7 60n+7
3、差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3则取-3 60n-3 周期问题
一串数以T为周期，且A=N„a那么A项等同于第a项 N等差数列（如几层木头，相连的奇偶数等）
和=(首项末项）项数=平均数×项数=中位数×项数
2项数公式:项数=末项首项1
公差级差公式：第N项-第M项=（N-M）×公差 调和平均数
2ab ab十字交叉法
例题重量分别为A与B的溶液，其浓度分别为a与b，混合后浓度为r
Arb bar浓度相关问题
溶液=溶质+溶剂
浓度=溶质÷溶液
溶质=溶液×浓度
溶液=溶质÷浓度 多次混合问题核心公式
1、设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作中先倒出M0克盐水，再倒入M0克清水 Cn=C0×(MM0M)n
（C0 为原浓度，Cn为新浓度，n为共几次）
2、设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作中先倒入M0克清水，再倒出M0克盐水 Cn=C0×(M)n（C0 为原浓度，Cn为新浓度，n为共几次）
MM0行程问题
距离=速度×时间
火车过桥洞时间=（火车长度+桥洞长度）÷火车速度 相对速度
1、相遇追及问题
相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及距离=（大速度-小速度）×追击时间
2、环形运动问题
环形周长=（大速度+小速度）×反向运动的两人两次相遇时间间隔 环形周长=（大速度-小速度）×同向运动的两人两次相遇时间间隔
3、队伍行进问题
队伍长度=（人速+队伍速度）×从队头到队尾所需时间 队伍长度=（人速-队伍速度）×从队尾到队头所需时间
4、流水行船、风中飞行问题
顺流时间=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间 逆流时间=逆流速度×逆流时间=（船速-水速）×逆流时间
1、等距平均速度问题核心公式 往返平均速度=2u1u2
u1u22、沿途数车问题核心公式 沿途时间间隔=2t1t2tt
车速=人速=21 t1t2t2t13、漂流瓶问题核心公式 漂流所需时间=2t逆t顺
t逆t顺
4、两次相遇核心公式 单岸型
S=3s1s
2两岸型
S=3S1-S2
S表示两岸的距离 25、电梯运动问题
能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间
能看到的电梯级数=（人速-电梯速度）×沿电梯运动所需时间
几何基本公式
圆周长C圆=2πr 圆面积 S圆=πr
2S三角=
11ah S梯=（a+b）h N边形内角和=（N-2）×180° 22几何特性：若一个几何图形其尺度为原来的M倍则
面积M2倍
体积M3倍
平面图形周长一定，越接近圆，面积越大平面图形面积一定，越接近圆，周长越小 立体图形，表面积一定，越接近球体积越大 立体图形，体积一定，越接近球体，表面积越小 两集合标准核心公式
满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数 三集合标准核心公式
均如何=甲+乙+丙-（甲和乙）-（甲和丙）-（乙和丙）+都如何 三集合整体重复型核心公式
在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素总量为W，满足一个条件的元素数量为X，满足两个条件的数量为Y，满足三个条件的元素数量为Z，则
W=X+Y+Z
A+B+C=X×1+Y×2+Z×3 排列组合
取其一
①加法原理：分类用加法（要么„要么）排列与顺序有关
②乘法原理：分步用乘法（首先„然后）组合与顺序无关
3排列
A8=8×7×6 4组合 C10=10987
4321错位排列：有几个信封，且每个信封都不能装自己的信
D1=0 D2=1 D3=2 D4=9 D5=44 D6=265 传球问题核心公式
(M1)N M个人传N次球即
X=则X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法，与X第二接近的M正整数便是传给自己的方法数 比赛问题：N为人数
淘汰赛
①仅需决出冠亚军
比赛场次=N-1
②需要决出1、2、3、4名
比赛场次=N 循环赛
①单循环（任意两个打一场）比赛场次=C2N
②双循环（任意两个打两场）比赛场次=A2N 概率问题
1、单独条件概率=满足条件的情况数
总的情况数
2、某条件成立概率=1-不成立的概率
3、总体条件概率=满足条件的各种情况概率之和
4、分步概率=满足条件的各种情况概率之积
5、条件概率=“A成立”是B成立的概率=A、B同时成立的概率 植树问题
1、单边线型植树公式：棵树=总长÷间隔+1；总长=（棵树-1）×间隔
2、单边环型植树公式：棵树=总长÷间隔；总长=棵树×间隔
3、单边楼间植树公式：棵树=总长÷间隔-1；总长=（棵树+1）×间隔 裂增计数
如果一个量每个周期后变为原来的A倍，那么，N个周期后就是原来的AN倍 例：10分钟分裂一次（1个分裂为2个），经过90分钟，可有1分裂为几个 周期数为90÷10=9
公式=29 =512 剪绳问题
一根绳子连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成了2N×M+1段 方阵问题
21、N 排N列的实心方阵人数为N人
2、M排N列的实心方阵人数为M×N
3、N排N列的方阵，最外层有4N-4人
4、在方阵或者长方阵中相邻两圈人数，外圈比内圈多8人
5、空心正M边形阵中，若每边有N个人，则共有MN-M个人
26、方阵中：方阵人数=（最外层人数÷4+1）
过河问题
M个人过河，船上能载N个人，1人划船故需
M1次，最后一次不用回来 N1牛吃草问题
草场原有草量=（牛数-每天长草量）×天数
出现M头牛吃W亩草时，牛数用MW代入，此时代表单位面积上牛的数量，如果计算为负数说明存量不增加而消之 时钟问题
钟面上每两格之间相差30° T=T0+1 11T为追及时间和时针要“达到条件要求”的真实时间，T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间 经济利润相关问题
利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本=售价÷成本-1 售价=成本×（1+利润率）成本=售价÷（1+利润率）两位数乘法：
一个数乘以5可以看成乘以10除以2 例：42×48=2016 等于后两位数相乘，前两位数也相乘在加上十位上相同的数。相同且互补（和为10）中间两边互补除外。
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