《数学物理方程》教学大纲

第一篇：《数学物理方程》教学大纲

《数学物理方程》教学大纲

（Equations of Mathematical Physics）

一.课程编号：040520 二.课程类型：限选课

学时/学分：40/2.5

适用专业：信息与计算科学专业

先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数 三.课程的性质与任务：

本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。

四、教学主要内容及学时分配

（一）典型方程和定解条件的推导（7学时）

一些典型方程的形式, 定解条件的推导。偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。

（二）分离变量法（7学时）

三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法.（三）积分变换法（8学时）

Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。

（四）行波法（7学时）

一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法

（五）格林函数（6学时）

微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。

（六）变分法（5学时）

变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题

五、教学基本要求

通过教师的教学，使学生达到下列要求

（一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。掌握偏微分方程的基本概念，掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简，掌握迭加原理与齐次化原理。

（二）掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤，理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。

（三）掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解，了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。

（四）掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。

（五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握调和函数的Green公式和性质，理解格林函数的基本性质。会求半空间和球域上的格林函数。

（六）掌握变分法的基本概念，会求解几类典型的变分问题的解。

六、课程内容的重点和深广度要求

教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点，此外，学生对下列各项也应给予注意：

1.线性偏微分方程的分类与化简。

2.固有值问题，关于固有值与固有函数讨论。3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。4.Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。5.格林函数的定义和基本性质

6.泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。

七、作业、辅导与考试

作业与辅导：作业次数或作业量：每学期约布置20—24次作业，每次平均4题左右。每周一次课外辅导。

考核方法：平时考核占总成绩30%，期末考试占70%。

八、本课程与后续课程的关系

本课程是继数学分析、线性代数、常微分方程、实变函数与泛函分析、复变函数和普通物理之后的一门专业基础课，它既广泛地应用上述基础课程的基本理论、数学思想、解题方法与技巧，又以新的研究对象，发展了这些基础学科的基本理论，形成研究经典偏微分方程的一系列新的理论和解决问题的方法。为进一步学习偏微分方程专业课程打下良好的基础。

九、对学生能力培养的要求

学生能够从物理问题中提炼出方程模型，并能用本课程所学方法解决问题。

十、使用教材及主要参考书

[1] 胡学刚等.数学物理方法.机械工业出版社，1997.[2] 吴方同编著.数学物理方程.武汉大学出版社，2001.[3] 谷超豪、李大潜等.数学物理方程（第二版）.高等教育出版社，2002.[4] 姜礼尚等.数学物理方程讲义（第二版）.高等教育出版社，1996.[5] 陈恕行等.数学物理方程.复旦大学出版社，2003.[6] 王元明.工程数学：数学物理方程与特殊函数（第三版）.高等教育出版社，2004.[7] 王元明.工程数学：数学物理方程与特殊函数学习指南.高等教育出版社，2004.[8] 戴嘉尊.数学物理方程.东南大学出版社，2002 [9] Lawrence C Evans.Partial Differential Equations.American Mathematical Society, Provodence, Rhode Island，1998.十一、教学方法和教学媒体的使用

采用启发式、提问式等教学方法，辅以板书和多媒体相结合的教学手段。

十二、学习方法与建议

建议学生采取课前阅读，上课时认真听讲，课后多作练习的学习方法。

第二篇：数学物理方程小结

数学物理方程小结

第七章

数学物理定解问题

数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。

§7.1数学物理方程的导出

一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。

（一）三类典型的数学物理方程

2u2三维:2auf(r,t)t22uu2一维:2af(x,t)2（1）波动方程：

tx当无外力时:f0 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.）

u2三维:auf(r,t)t2uu2一维:af(x.t)2（2）输运方程：

tx无外源时:f0此方程 适用于热传导问题、扩散问题。

拉氏方程:u0（3）Laplace 方程：

泊松方程:uf(r.t)

f0时泊松方程退化拉程氏.方稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace 方程。§7.2定解条件

定解条件包含初始条件与边界条件。

（1）初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace 方程没有初始条件。

（2）三类边界条件

第一类边界条件： u(r ,t)|Σ = f

（1）第二类边界条件： u n|Σ = f

（2）第三类边界条件：(u+Hun)|Σ= f

（3）

其中H为常数.7.3 二阶线性偏微分方程分类

2a12a11a220,双曲型,2a11a220,椭圆型, 判别式 a122a12a11a220,抛物型,波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.7.4 达朗贝尔公式

对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为

22u2ua022txux,0xutx,0x

11xat解为:ux,txatxatdxat22a对半无界问题作延拓处理: 对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章 分离变量法

8.1 分离变量法

主要步骤:

1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.•2.分离变量 u(x,t)=X(x)T(t)（1）

[以后对三维问题也是如此] •3.将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程,(称为本征方程)而λ为本征值.•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.•6.再由初始条件确定系数.一维波动方程在第一类齐次边界条件下的

natnatnx通解:ux,tancosbnsin,1sinllln1nx代入边入边界:ux,0ansinx,2ln12nansind,3l0l2n同样:bnsind,4na0l一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:

ll

natnatnxux.tA0B0tAncosBnsin,5cosllln1 11A0d,B0d.6l0l02n2nAncosd,Bncosd.7l0lna0lllll

一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解: ux,tcnen1lnatl2nxsin,8l 2ncnsind,9l0l

一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解: ux,tcnen0lnatl2nxcos,10ll12nc0d,cncosd,11

l0l0l

对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.8.2 非齐次边界条件的处理

常用方法有 1)直线法 : 对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t).htgtx

,可把边界条件化为齐次,令

vx,tux,tgtL但一般情况下方程变为非齐次.•只有当g,h为常数时,方程才不变.2)特解法

•把 u化为两部分,令 u=v+w 使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.• 例题

求解下列定解问题

Utt－a2 Uxx

= 0

U|x=0

=0, U|x=L= ASinωt •

U|t=0

= 0 , Ut∣t=0 = 0 •(其中A、ω为常数，0＜x＜L , 0＜ t）

•解：令 u=v+w ,使w满足波动方程与非齐次边界条件, •得出

wx,tAsinxasint

sinla第九章

二阶常微分方程的级数解法

本征值问题

一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分

离变量结果.1.拉普拉斯方程在球坐标下的通解:

1ur,,AlrlBLl1Yim,,1

rl,m其中Y

lm

为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.在轴

对

称时(1)式退化为

Blur,AlrllPcos,2 1lrl02.拉普拉斯方程在柱坐标下: 6 u,,zRrZz.1acosmbsinm,m2m0,1,2222dR1dRm''ZZ0.3.22R0.4dd0,3的解为:ZzABz;4式解为:REFln,m0,今x,4式为:x2d2RdR22dx2xdxxmR0.55为m阶Bessel方程..(5)式其解为m阶Bessel函数, 解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时, μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.3）亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.在球坐标下:

ur,,RrY,

其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.在柱

坐

标

下

: u,,zRrZz.1acosmbsinm,m2m0,1,22Z''2Z0.3.d2Rd1dRdk22m222R0.4令k22;今x,4式为:x2d2RdR22dx2xdxxmR0.5(5)式其解为m阶Bessel函数，二、常微分方程的级数解法

.1.掌握常点邻域的级数解法.2.掌握正则奇点邻域的级数解法.3.知道无穷级数退化为多项式的方法.三.知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质

•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville方程共同性质为: •1)当k(x),k’(x)和q(x)连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限

123k多个本征值及对应的本征函数:

y1x,y2x,y3xykx

2)所有本征值λn≥03)对应于不同本征值的本征函数带权正交yxyxxdx0,nm4)本征函数族构成完备系mnabfxn1fnynx

第十章 球函数

1.轴对称的球函数

当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.此时球函数Y(θ,φ)就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl(cosθ)1)勒让德多项式

1.勒让德多项式级数形式: 8 Plxll1或222l2n!l2n1x.1 ln!2ln!l2n!n0n2.勒让德多项式微分形式:

l1dl2Px1.2 lxll2l!dx3.前几项为: P0(x)= 1, P1(x)=x=cosθ, •P2(x)=(3x-1)/2, ….•一般勒让德多项式的幂次取决L •当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项.对特殊点x=1,0.2Pl11,Plx1Plx,l2n1！P2n100,P2n01,2n！n•4.勒让德多项式正交关系

12P(x)PxdxNlk

(3)

lkl1•5.勒让德多项式的模 Nl22

2(4),Nl2l12l16.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.fxflPlxl1

(5)2l1flfxPlxdx,211•7.在球坐标下Laplace方程: △u= 0的通解为:

轴对称

lBlur,Alrl1Ylm,6rl0ml lBluAlrl1Plcos,7rl0(6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0，l•u有限, Bl0,uAlrPlcos

(7)

l0l•而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r→∞，两个条件确定.8.母函数

112rcosr2rlPlcos

(8)

l09.递推公式

2l1xPlxlPl1xl1Pl1x,PlPl'1Pl'12xPl'.2l1PlPl'1Pl'1.l0

二.连带勒让德函数

•在一般情况下,物理量u与φ有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.1.连带勒让德函数 1xm22Plmx

(1)

2.连带勒让德函数的微分表示

Plm1x2l!lm22dlm2l1x.(2)lmdx从(2)可得当L一定时,m的取值为

m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y（θ,φ）中,cosmφ,sinmφ为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系

mm2PxPxdxNmllk.3lk1 2lm!2模平方Nml2l1lm!4.球函数Y的两种表示形式.第十一章

柱函数

一、掌握三类柱函数的基本性质

一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数.而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数.1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.1xJmxiNmxHm1HxJmxiNmx2m

称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数

2)x0和x时的行为

limJ0x1,limJmx0.m0x0x0x0limNmx,limJmxx0limJmxx2mcosx,x242msinxx24m24x2i2,limHmxexxm24

limNmxxx2i1limHmxexx3)递推公式

m2kkdJmd112kxmdxxdxk0k!mk12m2kk12k1x2k1k0k!mk12Jm1x.1mx dxmJmxxmJm1x.2dx把1与2展开JmxJm1x.3xJmx'JmxmJm1x.4x'xmJm4）贝塞尔函数的零点

对m阶贝塞尔方程

dxdx2当0时,对柱侧面的齐次边界条件.RJJmx2d2RxdRx2m2R0.xm00.1mxnm记:xnm本征值:n（J'm00)20

对第一类齐次边界条件

得出第n个零点

对第二类齐次边界条件 二．贝塞尔函数的正交关系.• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.0J• m0mnJmm2kmd[Nn]nk.1

•

• 2）广义傅里叶-贝塞尔级数

ffnJmn1•

fn.2 1fJd.3Nmn0mm20mnn 13 • 3）Laplace在柱坐标下的通解 • 轴对称m=0,柱内解为

• 在侧面为第一类齐次边界条件时

0xnu,zAnshRn10xnzBnchR0xnzJ0.1R1xnzJ0R.2侧面为第二类齐次边界条件时•

1xnu,zA0B0zAnchRn11xnzBnshR

• 其中系数An,Bn由上下底边界条件确定.• 在上下底为齐次边界条件时, μ 0,R的解为虚宗量贝塞尔函数.记为Im(x)• 同样可得Laplace方程在柱内解 • 当轴对称时m=0 • 上下底满足第一类齐次边界条件时解为

u,z•

nzsin.2H对第二类齐次边界条件:nAIn0Hn1nznu,zAnI0.3cosHHn0

• 输运方程与波动方程在柱坐标下的解 •

1)解的形式:

u(r,t)=T(t)v(r)• V满足亥姆霍兹方程.在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足 第一类齐次边界条件.在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解: 上下底满足第一类齐次边界条件

0xnlzu,z,tanlJ0sinHen1,l1002xna02l2tH.1

波动方程在柱内的解: • 在上下底满足第一类齐次边界条件下

u,z,tnl0xlz00n.2anlcosknlatbnlsinknlatsinJ0H0•

0xl02nknl()H02

• 二维极坐标下的解: • 侧面满足第一类齐次边界条件

000u,tccoskatdsinkatJknnnn0n

（3）•

n1• 侧面满足第二类齐次边界条件

• u,ta0b0tcncoskatdnsinkatJ0k.4

1n1n1nn1•

第十二章

积分变换法 •

一、傅里叶变换法 • 1。掌握傅里叶变换法的适用条件，即方程中的一个变量是在(-∞,∞)范围内时,可用Fourier 变换法.• 2。能用傅里叶变换法求解一些筒单的偏微分方程。•

二、Laplace变换法

• 1。掌握Laplace变换法的适用条件，即方程有初值情况,且一个变量 的变化范围在(0, ∞)

• 2。能用Laplace变换法求解一些筒单的偏微分方程。•

第十三章

格林函数法 • 1。知道格林函数的定义及物理意义 • 2。知道泊松方程解的积分形式

• 3。能用电像法求解泊松方程的格林函数。

第三篇：《数学物理方法》教学大纲

《数学物理方法》教学大纲

课程名称： 数学物理方法

英文名称：Methods of Mathematics and Physics 课程编号：09120004 学时数及学分：64 学时 4学分

教材名称及作者：《数学物理方法》（第三版）梁昆淼编 出版社、出版时间：高等教育出版社，1995年 本大纲主笔人：彭建设

一、课程的目的、要求和任务

本课程是物理系各专业的基础理论课，通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本 数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。要求学生熟悉复变函数(特别是解析函 数)的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三 类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方 法求解积分、微分方程。了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握 用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特 殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及 性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯 方程。

二、大纲的基本内容及学时分配

第一部分：复变函数论

（一）复变函数（5学时）

复数与复数运算，复变函数，导数，解析函数 重点：解析函数

（二）复变函数的积分（4学时）

复变函数的积分，柯西定理，不定积分，柯西公式 重点：柯西定理

（三）幂级数展开（7学时）

复数项级数，幂级数，泰勒级数展开，解析延拓，洛朗级数展开，孤立奇点的分类 重点：泰勒级数展开和洛朗级数展开

（四）留数定理（5学时）

留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分 重点：应用留数定理计算实变函数定积分

（五）傅里叶变换（6学时）

傅里叶级数，傅里叶积分与傅里叶变换，函数 难点：函数

（六）拉普拉斯变换（5学时）

拉普拉斯变换，拉普拉斯变换的反演，应用例 重点：拉普拉斯变换的应用 第二部分：数学物理方程

（七）数学物理定解问题（7学时）

数学物理方程的导出，定解条件，达朗贝尔公式 重点：写出定解问题

（八）分离变数法（12学时）

齐次方程的分离变数法，非齐次振动方程和输运方程，非齐次边界条件的处理，泊松方程 难点：非齐次方程及非齐次边界条件的处理

（九）二阶常微分方程的级数解法本征值问题（7学时）

特殊函数常微分方程，常点邻域上的级数解法，正则奇点邻域上的级数解法，施图姆-刘维尔本 征值问题

难点：施图姆-刘维尔本征值问题

（十）球函数（4学时）轴对称球函数

重点：利用勒让德多项式求解球坐标系下的拉普拉斯方程

（十一）柱函数（2学时）

三类柱函数，贝塞尔方程(简介)

三、与其它课程的关系 先修课程：《高等数学》、《大学物理》

四、考核方式

1．期末闭卷笔试 占总成绩的80％

2．平时成绩(作业、课堂讨论和小论文等)占20％

五、参考书目

《数学物理方法》梁昆淼编 高等教育出版社出版 1995(第三版)

第四篇：2018年安徽师范大学数学系数学物理方程本科教学大纲

数学系《数学物理方程》教学大纲

学

时：51 适用专业：师范类本科数学专业 大纲执笔人：刘树德

大纲审定人：鲁世平学

分：

一、说

明

1、课程的性质：地位和任务

《数学物理方程》作为高等学校数学专业与应用数学专业方向课程，主要讲叙波动方程，热传导方程和调和方程这三类曲型的二阶线性偏微分方程的基本理论与求解方法，同时也注意突出处理问题的思想方法。本课程直接联系着众多自然现象和实际问题，所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。因此，数学物理方程又是纯粹数学的许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁。

2、课程教学的基本要求

（1）了解将实际总是的归结为数学模型的一般步骤，学会利用数学手段抓住问题的最本质的特征，作出一些理想化的假设等，掌握按规律列方程的基本方法。

（2）了解波动方程。热传导方程和调和方程所反映的三类不同的自然现象及其典型意义，理解、掌握这三类方程的基本定解问题的适定性、求解方法及解的性质，初步领会一些处理问题的思想方法。

3、课程教学改革

（1）加强教学内容的整合力度，以社会发展的新科技、新成果充实教学内容，通过课程教学不断提出或产生需要解决的新课题和新方法。注重知识内容的相互渗透生配合，注重课程之间的衔接，提高课程综合化程度。

（2）深入进行教学方法的改革

彻底改变“一差堂”、“满堂灌”的传统教学方法，多用启发式、讨论式、研究式的教学方法。特别重视对学生创新精神和创新能力的培养。

（3）运用现代化教育技术手段提升教学水平。鼓励教师制作CAI课件，使用多媒体授课，加快计算机辅助教学软件的开发。

二、大纲内容

第一章

波动方程（18课时）

[内容要点]

弦振动方程的导出

定解条件

达朗贝尔公式

波的传播

齐次化原理

边界条件齐次化

分离变量法

球平均法

降维法

能量不等式 [教学要求]

1、了解弦振动方程、膜振动方程的导出过程，理解偏微分方程及其解、定解条件、定解问题及定解问题适定性的概念。

2、掌握弦振动方程的达朗贝尔解法，理解应用齐次化原理处理非齐次方程的情形。

3、熟练掌握运用分离变量法求解弦振动方程的初边值问题，了解处理非齐次方程及非齐次边界条件的方法。

4、会用三维或二维波动方程的泊松公式求解相应的初值问题。

第二章

热传导方程（12课时）

[内容要点]

热传导方程的导出

定解问题的提法

扩散方程

初边值问题的分离变量法

傅里叶变换及其基本性质

热传导方程柯西问题的求解极值

解的渐近性态 [教学要求]

1、了解热传导方程的导出过程，熟练掌握运用分离变量法求解热传导方程的初边值问题。

2、熟记傅里叶变换及逆变换的表达式，理解并掌握傅里叶变换的基本性质，并能在变换运算中熟练运用。

3、了解极值原理，它描述了扩散、传导等现象的热传导方程的重要特性。

调和方程（6课时）

[内容要点]

导致调和方程和泊松方程的实例

格林公式

平均值定理

极值原理

格林函数及其性质

静电源象法

调和函数的基本性质

球的泊松公式 [教学要求]

1、了解几个导致调和方程和泊松方程的实例，如引力位势，静电场的电位势等。

2、理解格林公式及其应用，熟记调和函数的基本积分公式。

3、掌握运静电源象法构造格林函数的方法，熟记球域、圆域、上半空间、上半平面等几种特殊区域上的格林函数，进而利用它求解相应区域的第一边值问题。

第四章

二阶线性偏微分方程和分类与总结（6课时）

[内容要点]

二阶线性方程

两个自变量的方程

方程的分类

特征概念

特征方程

三类方程的比较

线性方程的叠加原理

解的性质的比较

定解问题提法的比较

先验估计 [教学要求]

1、了解两个自变量的二阶线性方程的化简理解二阶线性方程的特征概念及特征理论。

2、熟练掌握两个自变量的二阶线性方程的分类，并以前三章对三类典型方程的研究为基础，就双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程这三种不同类型的方程的解的性质、定解问题的提法等方向能进行正确的分析和总结，比较它们确实存在的一些本质的差别。

参考教材

[1]谷超豪等编，数学物理方程，高等教育出版社，2002年7月第2版。[2]陈昌平等编，数学物理方程，高等教育出版社，1989年2月第1版。

第五篇：《 数学物理方法 》课程教学大纲

《 数学物理方法 》课程教学大纲

（供物理专业试用）

课程编码：140612090

学时：64

学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课

先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演）

一、课程性质、任务

1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。

2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。

3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。

二、课程基本内容及课时分配 第一篇 复数函数论 第一章 复变函数（10）教学内容：

§1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。

§1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。

§1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。

§1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。§1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。第二章 复变函数的积分（7）

教学内容：

§2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。

§2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。

§2.3．不定积分*。原函数。

§2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求）

第三章 幂级数展开（9）

教学内容： §3.1．复数项级数，复数项无穷级数，收敛性，科西判据，绝对收敛，一致收敛。§3.2．幂级数、幂级数的概念，比值判别法，根值判别法，收敛圆，收敛半径，幂级数的性质。

§3.3．泰勒级数。泰勒级数的系数计算公式。§3.4．解析延拓*。解析延拓的基本思想。

§3.5．罗朗级数。广义幂级数，收敛环，罗朗展开。

§3.6．奇点分类。罗朗级数的解吸部分、主要部分，留数，极点，极点的阶，单极点，本性极点，无穷远点为奇点的情况。（支点不作要求）。第四章 留数定理（7）教学内容：

§4.1．留数定理。留数定理概念，计算留数的一般方法，判断极点的阶，极点留数的计算方法，例1—3。

§4.2．应用留数定理计算实变函数的定积分。类型一，类型二。第五章 傅立叶变换（8）

教学内容：

§5.2．非周期函数的傅里叶积分，傅里叶积分的导出，傅立叶变换式，奇函数的傅里叶正弦积分，偶函数的傅立叶余弦积分。

§5.3．狄拉克函数，广义函数的提出，狄拉克函数的定义、表达式和性质。

第六章 拉普拉斯变换（6）

教学内容：

§6.2．拉普拉斯变换 §6.3拉普拉斯变换的反演 第七章 数学物理定解问题（9）

教学内容：

定解问题。定解条件，边界条件，初始条件，泛定方程，定解问题。§7.1．数学物理方程的导出*。均匀弦的微小横振动，均匀杆的纵振动*，均匀薄膜的微小振动*，扩散方程，热传导方程，稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场，(其他物理模型的方程的导出不作要求)。

§7.2．定解条件。初始条件，边界条件（非线性边界条件不作要求）。

§7.3．二阶线性偏微分方程的分类。二阶线性偏微分方程的一般形式，线性齐次和非齐次方程，叠加原理。两个自变数的方程分类（多个自变数的方程分类不作要求），双曲型，抛物型，椭圆型方程，方程的标准形式。常系数线性方程。

§7.4．行波法。达朗伯公式，行波，求解公式。端点的反射*（固定端的情形）。定解问题，适定性。

第八章 分离变数（傅里叶级数）法（9）

教学内容：

§8.1．齐次方程的分离变数法。分离变数法，驻波，本征值，本征函数，本征值问题，分离变数法的方法步骤。

§8.2．非齐次振动方程和输运方程。傅立叶级数法，冲量定理法。§8.3．非齐次边界条件的处理。一般处理方法，特殊处理方法。§8.4．泊松方程。

三、课程教学要求 第一章 复变函数（9）基本要求：

1．熟悉复数的基本概念和基本运算； 2．了解复变函数的定义，连续性； 3．了解多值函数的概念；

4．掌握复变函数的求导方法及科希—里曼方程；

5．了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式。6．了解从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想与方法。第二章 复变函数的积分（7）基本要求：

1．正确理解复变数函数路积分的概念； 2．深透理解科希定理及孤立奇点的定义； 3．理解并会熟练运用科希公式。第三章 幂级数展开（10）

基本要求：

1．理解复数项级数概念；

2．了解幂级数的敛散性的判别法及收敛半径的计算方法； 3．会对一些简单的解析函数进行泰勒级数展开； 4．了解解析延拓的含义*；

5．会对一些简单的函数在孤立奇点邻域内进行罗朗级数展开； 6．熟悉孤立奇点的三种类型，了解极点的阶； 第四章 留数定理（7）

基本要求：

1．掌握留数定理，了解留数的计算方法； 2．应用留数定理计算实变函数的定积分。第五章 傅立叶变换（9）

基本要求：

1．了解非周期函数的傅里叶积分表达式和傅立叶变换的概念。2．掌握傅立叶变换的基本性质与方法。3．了解提出狄拉克函数过程中的创造性思想。4．掌握狄拉克函数的定义、基本性质和常用表达式。

第六章 拉普拉斯变换（5）

基本要求：

1．了解拉普拉斯变换的概念。2．掌握拉普拉斯变换的基本性质与方法。第七章 数学物理定解问题（11）

基本要求：

1．了解定解问题的提法；

2．了解几种常见的数学物理方程的导出；

3．熟悉几种常见的边界条件和初始条件的表示形式； 4．能对两个自变数的线性偏微分方程进行分类；

5．了解行波法的意义，行波的物理意义，熟练运用达朗伯公式。第八章 分离变数（傅里叶级数）法（14）

基本要求：

1．掌握分离变数法，理解本征值问题与本征函数的联系，会灵活处理较简单的非齐次边界条件的情况；

2．熟悉并掌握齐次泛定方程的定解问题的求解方法； 3．能对简单非齐次泛定方程的定解问题求解。

四、课程习题要求

为达到课程教学目的要求，较好地完成教学任务，根据各章节课程的基本内容和教学要求，完成相应的思考题、练习题等。

五、教材及教学参考书

教科书：梁昆淼编，数学物理方法，北京：人民教育出版社，1998年第三版。参考书：

四川大学编，高等数学第四册，北京：高等教育出版社，1996年第三版； 刘连寿、王正清编，数学物理方法，北京：高等教育出版社，1991年； 严镇军编，数学物理方法，合肥：中国科学技术大学出版社，1999年。执笔人：封素芹 审核人：