数学学科德育教案之椭圆的定义

第一篇：数学学科德育教案之椭圆的定义

数学学科德育教案

之椭圆的定义

知识与技能：理解椭圆的定义；理解椭圆的焦点、焦距的意义；

过程与方法：通过完成游戏“巧手折椭圆”，培养学生的发散思维和实践能力； 情感态度与价值观：通过观看FLASH《“神舟”五号太空之行》，培养学生强烈的爱国义精神和民族自豪感；通过完成游戏“百发百中”，提高学生学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心与自觉性；通过完成游戏“巧手折椭圆”，培养学生的团结协作精神与竞争意识；通过对椭圆定义的研究，进行辩证唯物主义教育；

教学过程：

一、创设情景，培养学生的团结协作精神及实践能力

上课一开始，我为了调动学生学习的积极性，激发他们学习的热情，将全班分成若干个小组，每组4人，要求每个小组在事先准备好的圆上画上圆心,然后在圆内任取一点F(不能取O),用笔在F的位置做上记号。把圆纸片翻起一角，使圆周正好通过F，再抹平纸片，得到一条折痕L（为了看得清楚，也不妨用笔把直线L描出来）。这样继续折下去，就得到折痕。看谁折得最快，而且得到的图案最漂亮。

一声令下后，每个小组的成员都忙碌起来了，有的组先围在一起商量再动手画，而有的组则是先尝试再总结。在游戏中，他们都非常地投入，非常地团结，以最快的速度、最好的质量完成了作品。当我宣布比赛结果时，获奖的小组同学异常高兴，用击掌来表示胜利。

目的：通过这个游戏，充分体现了学生合作交流、实践体验的学习方式，培养了学生间的协作精神与竞争意识。

二、观看动画，激发学生民族自豪感

在得到椭圆这个图像后，为了他们能更好地了解椭圆的形成过程及在现实生活中的应用。我自己利用FLASH设计制作了关于“神舟”五号从发射到升空，然后绕地飞行的动画片，并配上了相关的解说词。随着飞船的升空，同学们的心情也随之激动起来了。这是我国第一艘载人飞船。它的发射成功标志着我国成为继美国、俄罗斯之后的第三个有能力宇宙飞船的国家。这一刻，任何的言语都是多余的了。在场的每个人都在为自己是一个中国人而感到自豪，为我们国家的日益强大而感到骄傲。

目的：结合我国在科技、经济等各方面的最新动态，让学生增强民族自豪感，自尊心和自信心，从而转化为为祖国建设刻苦学习的责任感和自觉性，同时，也培养学生不畏艰难，艰苦奋斗，刻苦钻研的精神。

三、引出概念，利用类比进行辩证唯物主义教育

由于飞船运行的轨迹很明显就是椭圆，所以，当同学们看到FLASH动画演示时，他们感叹到：那是一个多么美丽的椭圆啊！那么这个轨迹是如何形成的呢？椭圆又是怎样定义的呢？我拿出事先准备的教具，选一个学生，让他将一段长为2a的绳子，把它的两端都固定在图板上的一点O，将笔套在绳子里拉紧绳子，使笔尖P移动一周。结果得到的轨迹就是从O为圆心，以A为半径的一个圆。这是我们已经学过的轨迹问题。我再让他将这段这段绳子的两个端点分别固定在图板上的不同两点F1，F2（<2a），将笔套在绳子里拉紧绳子，使笔尖P移动一周。这时笔尖P画出来的图形就是一个椭圆了。到此，椭圆的定义通过游戏，动画演示，教具演示等活动就形象、自然地演示出来了。它就是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞ |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）。目的：通过动手操作，利用与圆作类比，体现了数学知识间的紧密联系与相互作用，构成了物质的运动、变化与发展，能有效地进行辩证唯物主义教育。

四、利用游戏提高学生学习数学的兴趣

为了增加趣味性，激发大家对椭圆的探索，我让他们每组选出一个代表上来完成一个叫做“百发百中”的小游戏，它要求用硬纸做一个椭圆形的盒子，并且在椭圆形盒底的一个焦点上放一粒纽扣，作为子弹，在另一个焦点出竖立一个钢笔套，作为靶子。你需要瞄准，把纽扣子弹沿着盒底面内的任何方向弹射出去，经过盒壁反射后，都一定命中靶子。

结果，大家的热情一浪高过一浪，许多人进行了尝试。这时，我就提出最后一个问题：把纽扣子弹沿着盒底面内的任何方向弹射出去，经过盒壁反射后，为什么都一定命中靶子呢？课后思考。这时，正好一节课结束，学生带着这个问题，带着思考，带着探究的热忱下课了。他们在课后为解决这个问题而进行了激烈的讨论，也为后面的内容做了很好的准备。

目的：通过这个小游戏，不但大大提高了学生学习数学的兴趣，增强了学习数学的自信心与自觉性，而且又为下一节课作好了铺垫，使学生对下一节课充满了无限的期望。

第二篇：高二数学椭圆教案

1，教学目标

学习椭圆的典型例题

2，例题

例1 已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0，2）求m的值．

0，a3b，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，例3 ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

分析：（1）由已知可得GCGB20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．

例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

45和325，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

3x2y2例5 已知椭圆方程221ab0，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，Pab是椭圆上一点，A1PA2，F1PF2．求：F1PF2的面积（用a、b、表示）．

0，且在定圆B：例6 已知动圆P过定点A3，x3y264的内部与其相内切，2x211y21，（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方例7 已知椭圆222程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（3）过A2，（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ求线段PQ中点M的轨迹方程．

1，2

例8 已知椭圆4x2y21及直线yxm．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为

210，求直线的方程． 5x2y21的焦点为焦点，过直线l：xy90上一点M作椭圆，要例9 以椭圆123使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

x2y21表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程k53k解：

3，作业

例11 已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆方程．

例1

3知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．

例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为

的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 3

x2y21上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON例15 椭圆259（O为坐标原点）的值为A．B．2 C．8 D．2x2y21，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，例16 已知椭圆C：43椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．

例17 在面积为1的PMN中，tanM以M、N为焦点且过P点的椭圆方程．

1，tanN2，建立适当的坐标系，求出2x2y21所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆

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第三篇：数学学科渗透德育教案

数学学科渗透德育教案

教学内容：认识前后

石坝小学：邓贤容

教学目标

1．通过情境体验与参与，使学生感知前后的位置关系

2．通过教学，培养学生遵守公共秩序，文明守纪的良好品德。3．让学生感受到生活中处处有数学，增强学习的乐趣和自信心。教学内容

认识 “前后” 教具学具准备

主题课件，学具卡片。教学过程

1．创设动画情境，引导学生观察。

教师：暑假快要结束了，一个人在乡下姥姥家玩的聪聪就要读一年级了，为了不耽误爸爸、妈妈的工作，聪聪决定一个人从乡下乘车回家，不让大人接送，于是他一个人来到车站买票上车„„

[将数学与生活情境紧密联系，让初入学的小学生真切感受到数学就在身边，对数学学习产生亲切感。] a.教师演示“买票”课件。

b.学生观察画面，然后以小组为单位，每个人都说一说画面上有哪些人？，小聪聪后面的解放军叔叔排第几

学生说的时候教师到处各组巡视、倾听，并加以指导。c.各小组抽代表汇报交流。

d.师：看到聪聪一个人排队买票的情境，同学们除了知道一共有5个人在排队买票，以及每个人所处的位置外，你还看到了什么，想到了什么？

引导学生明白：

自己已经是小学生了，自己能做的事要自己去做，在外出的时候，要养成遵守公共秩序、文明守纪的良好品德。

[充分利用教材的可教育资源，适时对学生进行遵守社会公共秩序、文明守纪的教育，使思想品德教育做到“随风潜入夜，润物细无声”，学生易于接受。] 2．动画展示：穿红衣服的阿姨买好票走了，后面的人依次上前。a.教师提问：“这时有几个有在买票？小聪聪排第几？聪聪后面有几个人？”同样先在小组内交流，再全班交流。

b.教师操作课件，出示正确答案，强调观察的顺序和方向。巩固练习，强化对自然序数的理解

1．多媒体演示：全家福照片，学生根据要求，自己思考，然后汇报结果。2．出示书上的作业，学生以小组的形式讨论，共寻规律，完成填空。[适时安排两道基础性的练习，强化和巩固了学生对“前后”的感知和认识，同时感受家庭的温暖] 动手操作，深化感知

1．学生拿出4个正方形学具片和1个圆片，先独立摆一摆，把摆的结果在小组内与同学说一说，看看圆片可以放在哪些位置上？

2．教师说要求，学生摆学具。

a.让学生试试把圆片放在第2的位置上，可以怎样放？ b.学生摆，教师观察、巡视。

c.对学生的以下两种摆法，提出讨论：为什么把○放在第2位会产生两种不同摆法？

□○□□□

□□□○□ 引导学生体会“前后”的相对性。

[“前后”是相对的。通过学生动手操作，让其在具体的操作中感知和体验“前后”的相对性，使知识得以向纵深发展，同时鼓励并肯定学生丰富多样的拼摆，活跃了学生的思维，激发了学生的创造力。] 寓教于乐，拓展应用知识

师：刚才同学们学习很认真，下面我们一起来做一个游戏──开火车。选出几名学生跟在教师身后，组成一列“火车”，围绕教室内的过道缓慢“行驶”。

1．其余学生观察组成“火车”的人数以及教师和每位同学在队列中的位置，并与同桌交流。

2．“火车”改变前进的方向，“火车头”变为“火车尾”，观察并说出这时老师和每个同学在队列中的位置。

3．引导学生明白：方向不同，其结果也就不同。

[以游戏为载体进行教育，能化抽象为具体，化枯燥为愉悦，从而实现学生在轻松快乐的氛围中深化感知。] 全课小结（略）

第四篇：椭圆的定义及其标准方程教案

§14.2椭圆的定义与标准方程

一、教材分析

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。

二、教学目标

（一）知识目标

1、理解并掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；

2、掌握椭圆的标准方程；

（二）能力目标

培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。

（三）德育目标

1、使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的；

2、使学生通过运动规律，认清事物运动的本质。

三、教学重、难点及关键

1、重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

2、难点：椭圆标准方程的推导。

3、关键：突破难点要抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。

四、教学方法

主要采用探究实践、启发与讲练相结合

五、教具

主要采用多媒体课件

六、教学过程

1、创设情景、引入概念

（多媒体演示）展示相应的图片，让学生在感受美的同时也了解到本节课所要研究的图形——椭圆。

提问：这些图片中的实物的形状是什么的图形？ 学生回答：椭圆

请同学再列举一些椭圆形的例子，教师指出椭圆在生活中很常见，今天我们就一起学习----椭圆（给出课题）。

教师指出：通过前面的学习知道，圆是平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹，那么椭圆又是满足什么条件的点的轨迹呢？我们一起来探究。

2、新知探究、形成概念

利用多媒体演示椭圆的画法。

依据多媒体演示的画法，请学生思考：图中哪些量是不变的，哪些量是可变化的，试着用自己的语言说一说怎样形成椭圆？

让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉，根据自己得出的椭圆画法，试着用手中的工具画出椭圆。让学生动手，使其尝试到成功的喜悦，同时提醒学生注意绳长要大于两图钉之间的距离。

教师启发、提问，并由学生归纳出椭圆的定义。定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c。

提问：若令M为椭圆上任意一点，可否把定义用数学表达式写出？

学生思考回答：|MF1|+|MF2|=2a 教师指出：此式称为定义式，其应用非常广泛。

3、标准方程的猜测与推导

依据多媒体的动态数据来猜测椭圆的方程

问：请你猜测一下椭圆的方程？

x2y2学生:（221，a>b>0）

ab

根据一般的求轨迹方程步骤推导椭圆的方程。

(1)建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系。

(2)设点: 设M（x，y）是椭圆上任意一点，因|F1F2|=2c，则F1(-c,0)，F2(c,0)（学生回答）

(3)列式: 让学生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a，并将其坐标化后得：xc2y2xc2y22a

(4)化简：(过程可以简略，不作要求)

x2y2教师指出：方程221ab0叫做椭圆的标准方程，其焦点

ab在x轴上，焦点坐标为F1(-c,0)，F2(c,0)且a2b2c2 启发：若把坐标系中的x轴、y轴的位置互换，椭圆的焦点位置如何？方程形式又如何？

y2x2让学生合理猜想，得出：221

ab教师指出此方程同样可用上述方法进行推导。思考：如何依据标准方程判断焦点的位置？

学生观察后可得出：含x2，y2的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。

五秒快速练习：判断下列椭圆的焦点位置？

x2y2y2x21、

12、1

152053y2x2x2y23、

14、1

111825244、知识应用

例1:已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求椭圆的标准方程.先给学生提示，再让学生自己动手做，并抽取两位同学所做的进行讲评,最后课件给出标准答案。例2:求下列椭圆的焦点和焦距

x2y2(1)1；

（2）2x2y216

54分析：解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪条坐标轴上。学生先做，然后课件给出正解。

分组练习：求椭圆的焦距与焦点坐标？

x2y2①1 156x2y21 ②251693,0，焦距2c6焦点坐标为0,12，焦距2c24焦点坐标为请学生给出结果，体会成功的喜悦。同时给出练习③9x225y2225让学生独立完成，并对学生所做的进行讲评。

5、归纳小结

（1）知识小结：引导学生归纳，最后教师给出知识结构图。（2）方法小结：（教师小结）

①用坐标法研究曲线；

②用运动、变化的观点分析问题；

6、作业：练习册相应的练习。

第五篇：第一轮复习教案之---椭圆

圆锥曲线与方程椭圆

1．椭圆定义：一个动点P，平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数

（PF1PF2=2a（a为常数）2a＞F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．

⑪若2a＞F1F2，则动点P的轨迹是椭圆

⑫若2a=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2

⑬若2a＜F1F2，则动点P无轨迹 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(0e1)的点的轨迹。2．椭圆的标准方程： 焦点在x轴上时，方程为x2y2a2b21(ab0)焦点F1(c,0)F2(c,0)

y2焦点在y轴上时，方程为a2x2b21(ab0)焦点F注:c2a2b21(0,c)F2(0,c)

椭圆的一般方程：mx2ny21(m0,n0,mn)

参数方程 xacos(为参数)ybsin

3．椭圆x2y2a2b21(ab0)的性质：

(1)范围：axa，byb(2)对称性：关于x轴、y轴、原点对称(3)顶点坐标、焦点坐标是(c，0)

(4)长轴长2a、短轴长2b、焦距2c、长半轴a、短半轴b、半焦距c 2(5)椭圆x2y2a2b21(ab0)的，准线方程是xac，准线到中心的距离为

a2c.2b22通径的长是b2a，通径的一半(半通径)：

ba，焦准距（焦点到对应准线的距离）

c． 2(6)离心率ecac2a21ba2cosB2F2O，离心率越大，椭圆越扁

22(7)焦半径：若点P(x0,y0)是椭圆

xa2yb21(ab0)上一点，F1、F2是其左、右焦点，a2PFa2焦半径的长：PF1e(x0c)aex0和2e(x0c)aex0．

4．椭圆的的内外部：

（1）点P(xx22220,y0)在椭圆a2yb21(ab0)的内部x0y0a2b21（2）点P(xx2220,y0)在椭圆a2yb21(ab0)的外部x0y20a2b21

5．椭圆系方程：

2222与椭圆xa2yb21(ab0)共焦点的椭圆系方程可设为：是

xa2yb21（b20）．22与椭圆xyx22y22a2b21(ab0)有相同离心率的椭圆系方程可设为：a2yb2或a2xb2.补充性质：

1.若Px2y2x0xy0y0(x0,y0)在椭圆a2b21上，则过P0的椭圆的切线方程是

a2b21.222.若P0(x0,y0)在椭圆xa2yPb21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、2，则切点弦Px1P2的直线方程是0xa2y0yb21.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.225.椭圆xa2yb21(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S2F1PF2btan2.26.AB是椭圆xy2a2b21的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，22则kOMkb0ABa2，即KABbxa2y。

0

7.若P0(x0,y0)在椭圆

8.若P0(x0,y0)在椭圆xa22xa22yb221内，则被Po所平分的中点弦的方程是

x0xa2y0yb2x0a22y0b22.yb221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

xa22yb22x0xa2y0yb2.9.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.10.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.11.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.12.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.13.已知椭圆（1）1|OP|2xa22yb1221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.1a2xa22|OQ|yb2221b2;（2）|OP|+|OQ|的最大值为

24ab2222ab;（3）SOPQ的最小值是

ab2222ab.14.P为椭圆1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.例 题 分 析

例1 已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0，2）求m的值．（故m5．）

例 2（1）已知方程x2k5y23k1表示椭圆，求k的取值范围．

（2）已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．

(2,34解：（1）满足条件的k的取值范围是3k5，且k4．（2）

1)．

说明：(1)由椭圆的标准方程知sin201cosb20，1，这是容易忽视的地方．

1cos，sin．(2)由焦点在y轴上，知

(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0

a

例3（1）已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，0，a3b，求椭圆的标准方程．

453253（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

（3）已知动圆P过定点A3，x3y264的内部与其相内切，0，且在定圆B：2求动圆圆心P的轨迹方程．

（4）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆方程．

x215y251

（5）知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．4x2y21．

x2解：（1）故椭圆的方程为9y12y2 或 81x291x2（2）所求椭圆方程为53y10213x或102y251

（3）分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点即A3，0和定圆圆心B3，0距离之和恰好等于定圆半径，．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，PAPBPMPBBM8x半长轴为4，半短轴长为b2．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程． 这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

43227的椭圆的方程：16y271

例4 ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

x分析：（1）由已知可得

2GCGB20，再利用椭圆定义求解．故其方程为100y2361y0

x2（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．A的轨迹方程为900y23241y0，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．

2例5 已知椭圆xy21，（1）求过点P1，1且被2P平分的弦所在直线的方程； 22（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足k1OPkOQ2，求线段PQ中点M的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为Mx1，y1，Nx2，y2，线段MN的中点Rx，y，则

x212y212，①①－②得

x1x2x1x22y1y2y1y20．

x22y2222，②x2由题意知

x1x2，则上式两端同除以

x1，有x1x22x，③x1x22y1y2y1y2y1y22y，④x01x2，x2yy1y2将③④代入得

xx012．⑤

x11y1y21（1）将2y，2代入⑤，得x1x22，故所求直线方程为：

2x4y30． ⑥

2y122036461将⑥代入椭圆方程x2y26y6得

4，40符合题意，2x4y30为所求．

y1y22（2）将x1x2代入⑤得所求轨迹方程为：

x4y0．（椭圆内部分）

y1y2xy122（3）将1x2x2代入⑤得所求轨迹方程为：

x2y2x2y0．（椭圆内部分）

x1x2（4）由①＋②得

：

21222222y1y2222，⑦，将③④平方并整理得

222xx4x2x1x2，⑧，y1y24y2y1y2，⑨

4x2x1x2将⑧⑨代入⑦得：

244y2y1y222，⑩

12xx1x24y2x1x22y1y2x1x222再将代入⑩式得：

，即

122x2y2121．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

xy例6已知椭圆C：1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，椭圆C上有不同的两点4322关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线ABl；(2)弦AB的中点M在l上．利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．

解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0,y0)点．

1yxn,4221xy1,yxnk4y43∵l的斜率l，∴设直线AB的方程为．由方程组4消去得

13．于是213，413，13x8nx16n480

①。∴4n12n4n13(,)n4mnmy4xm1313134MM即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得． ②

将式②代入式①得13x26mx169m480

③ 2222x1x28nx0x1x24ny01x0n12n(26m)413(169m48)0∵A，B是椭圆上的两点，∴．解得n(法2)同解法1得出

2221313m21313．

13414m，∴

x0134413(134m)m，即M点坐标为y014x0134m(m)m3m(m,3m)．

2(m)∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴(法3)设

24(3m)31．解得

21313m21313．

A(x1,y1)，B(x2,y2)x12(x,y0)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为0．

x2，42∵A，B在椭圆上，∴4y1321y2321．两式相减得

3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，y1y2即32x0(x1x2)42y0(y1y2)0kABkl1．∴

x1x2413x04y0(x1x2)．

，∴

3x04y0又∵直线ABl，∴，即

y03x0 ①。又M点在直线l上，∴y04x0m

②。由①，②得M点的坐标为(m,3m)．以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程．

x0(2)利用弦AB的中点

2M(x0,y0)在椭圆内部，满足ay0b21，将

x0，y0利用参数表示，建立参数不等式．

补充练习

1.求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点2，6；

x2222148y371或

y52x13x1．

2（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

18y291

（3）椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

x2分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．4y2161x2或4y211

（4）

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

x24y1

2（5）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆方程．1

155

x2y22.一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．e135433

3.已知椭圆x2k8x22y29yb221的离心率e12，求k的值．k4或k．

4.已知椭圆4b1上一点P到右焦点F2的距离为b(b1)，求P到左准线的距离．23b．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

5.已知椭圆 x29y251内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．(1)求PAPF1的最大值、最小值及对应的点P坐标 ；

6(2)求PA22．62

32PF2的最小值及对应的点P的坐标．

P坐标(655,1)

6.(1)写出椭圆x9y241的参数方程；

2(2)求椭圆内接矩形的最大面积．S43cos2sin12sin212(0x2)

7.求椭圆3y1上的点到直线xy60的距离的最小值． 2分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．d最小值22

8.已知椭圆4x2y21及直线yxm．

5252（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？m

（2）若直线被椭圆截得的弦长为

2105，求直线的方程．方程为yx

9.以椭圆x212y231的焦点为焦点，过直线l：xy90上一点M作椭圆，要

使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

x245y2361

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

10.椭圆x225y9291上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，0的距离成等差数列．

5（1）求证x1x28；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 证明：（1）由椭圆方程知a5，b3，c4． 由圆锥曲线的统一定义知：

AFa2ca，∴

AFaex1545x1．同理

CF545x2．

cx195∵

AFCF2BF，且BF，∴

5418，即

x1x28． x15x25554 8（2）因为线段AC的中点为4，1yy2，所以它的垂直平分线方程为 2

yy1y22x1x2y1y2x4．

y1y222又∵点T在x轴上，设其坐标为x0，0，代入上式，得 x04又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，∴ y129252x1x2

25x

21y2292525x∴

22y1y222925x1x2x1x2．

将此式代入①，并利用x1x28的结论得

x04362∴ kBT055．

4x04911.椭圆xa22yb221(ab0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OPAP

(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OPAP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是xacosybsin(ab0)，则椭圆上的点P(acos,bsin)，A(a,0)，bsinacosbsinacosa∵OPAP，∴1，即(ab)cosacosb0，解得cos1或cos22222b222ab，∵1cos1 ∴cos1（舍去），1b222ab221，又bac

222∴0ac222，∴e22，又0e1，∴e1．

说明：若已知椭圆离心率范围（22,1)，求证在椭圆上总存在点P使OPAP．如何证明？ 12.已知椭圆x24y321，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN

是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M存在，设Mx1，y1，由已知条件得

a2，b3，∴c1，e12．

∵左准线l的方程是x4，∴MN4x1． 又由焦半径公式知：MF1aex12∵MN212x1，MF2aex1212x1．

1122MF1MF2，∴x142x12x1．整理得5x132x1480．

22125解之得x14或x1．

①

另一方面2x12．

② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．

说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 13.已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为B两点，求弦AB的长． 3的直线交椭圆于A，分析：可以利用弦长公式AB1k2x1x2(1k)[(x1x2)4x1x2]求得，22也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． AB1k2x1x222(1k)[(x1x2)4x1x2]．因为a6，b3，所以c33．因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为x236y291，左焦点F(33,0)，从而直线方程为y3x9．

由直线方程与椭圆方程联立得：13x723x3680．设x1，x2为方程两根，所以x1x2x1x236813272313，k3，从而AB1k2x1x2(1k)[(x1x2)4x1x2]224813．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为2x236y2921，设AF1m，BF1n，则AF212m，BF212n．

F1F22在AF1F2中，AF2所以m643AF12AF1F1F2cos3，即(12m)2m23632m636481312；

．同理在BF1F2中，用余弦定理得n43，所以ABmn．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程13x723x3680求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标．再根据焦半径AF1aex1，BF1aex2，从而求出ABAF1BF1．

14.已知P(4,2)是直线l被椭圆

x2236y291所截得的线段的中点，求直线l的方程．

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为y2k(x4)．代入椭圆方程，整理得

(4k1)x8k(4k2)x4(4k2)360 ①

222 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴x1x2∵P(4,2)为AB中点，∴4x1x224k(4k2)4k128k(4k2)4k12，k12．∴所求直线方程为x2y80．

方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1x28，y1y24． 又∵A，B在椭圆上，∴x14y136，x24y236两式相减得(x1x2)4(y1y2)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0．∴

y1y2x1x2(x1x2)4(y1y2)1222222222．∴直线方程为x2y80．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8x,4y)．

∵A、B在椭圆上，∴x4y36

①。

(8x)4(4y)36

②

B的直线只有一条，从而A，B在方程①－②的图形x2y80上，而过A、∴直线方程为x2y80． 2222说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是(33,0)、(33,0)的椭圆截直线x2y80所得弦中点的横坐标是4，则 如何求椭圆方程？

xy15.已知椭圆C：221ab0，A、B是其长轴的两个端点．

ab22（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP，求证：不论a、b如何变化，APB120．（2）如果椭圆上存在一个点Q，使AQB120，求C的离心率e的取值范围．

分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：xa，yb，根据AQB120得到

2ayxya2223，将xa22ab22y代入，消去x，2用a、b、c表示y，以便利用yb列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成． xcb2P解：（1）设Fc，0，Aa，0，Ba，0．

222222c，abxayab 于是kAPb2aca，kBPb2aca．

22b∵APB是AP到BP的角．∴tanAPBaca12b4aca22b2ac22

aca∵a2c2∴tanAPB2

故tanAPB3

∴APB120．

（2）设Qx，y，则kQAyxa，kQByxa．

由于对称性，不妨设y0，于是AQB是QA到QB的角．

yy2ayxa 2222yxya2∴tanAQBxa1xa2∵AQB120，∴2ayxya2223

整理得3xya2222ay0∵xa22ab22y 12 ∴3a21b22y2ay0

2∵y0，∴y2ab2

3c2∵yb，∴2ab3c2b

2ab3c2，4a2a2c23c2

∴4c44a2c24a40，3e44e240∴e232或e22（舍），∴

63e1．