直线的两点式方程教学困惑解惑与感悟教育论文

第一篇：直线的两点式方程教学困惑解惑与感悟教育论文

一、问题提出

在上到必修2第三章《直线与方程》时，我们学校同年级教文科的一位新教师问我“直线的两点式方程要不要上”？对于她问这个问题的原因我可以理解，甚至有同感，教给学生干吗呢？理由一：既然已经学了点斜式方程，直接由直线上的两点、求出直线的斜率，再由直线的点斜式不就把方程求出来了嘛。理由二：两点式方程结构复杂，即使教给学生，学生也未必能记住，如果记错了还不如不教，得不偿失。理由三：两点式方程限制条件多，垂直于坐标轴的直线不能用两点式来表示。正巧，我们学校和海盐高级中学、平湖当湖中学期中考试时是三校联考的，到平湖当湖中学去商讨期中考试的范围时，借此机会我也拿这个问题请教了两所学校的备课组长，一致认为直线的两点式该弱化处理，学生容易算错。种种理由显示直线的两点式方程似乎没有“立足之地”了。在新课标下到底如何定位、把握直线的两点式方程的教学呢？

二、课前分析

1.学情分析

在初中，学生学了一点平面几何的知识，那时他们还仅限于图形的处理。到了高中从《直线与方程》、《圆与方程》到选修1-1《圆锥曲线》这三章他们开始接触解析几何。解析几何的本质就是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在《直线与方程》这一章中，以平面直角坐标系为平台，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。

从几何直观到代数表示从代数表示到几何直观

（建立直线的方程）（通过方程研究几何性质和度量）

直线的方程起了一个“桥梁”的作用。直线的方程重要性不言而喻了。

2.两点式本身的优点分析

直线的两点式体现了“两点确定一条直线”这一朴素的数学理念；斜率不存在时的直线方程可用两点式的变形写出，向直线的一般式方程完成过渡；研究两点式方程的目的不是说这种形式比较简单或是好用，两点式方程起着承上启下的作用，它保持了知识的完整性和系统性，在思想与方法层面上，对学生分析问题解决问题的能力的培养应该有好处；两点式方程的表达式工整，结构优美，如果设它等于一个参数，马上可以得到直线的参数方程，为将来选修模块中的直线的参数方程做了铺垫，这是其它方程所不能代替的。

如果按照点斜式的程度来上这节课的话，会不会真的“上了还不如不上”呢？带着这个困惑我决定进行一次“详细上这堂课”的教学尝试。

三、上课实录

因为上节课学过了直线方程的点斜式，所以我上课一开始给出了一道小练习：已知直线经过两点,求直线的方程.让学生独立当场完成。做完之后我统计了一下，用点斜式方法来求的占，还有的同学是用初中学过的待定系数设求一次函数的方法。前者用时较短，后者用时较长。看到这个结果，我基本心中有数，故意不做点评我开始了新课的教学。

师：前面我们已经探索了确定直线位置的几何要素有哪些？

生众：两点确定一条直线。

师：对。还有吗？

生：已知一个点和倾斜角。

师：很好。倾斜角和斜率都表示直线的倾斜程度，所以已知一个点和直线的斜率也可以确定一条直线。已知直线过点和它的斜率（或倾斜角）可以求出直线的方程为，我们把这个方程称为直线的点斜式，那么已知直线过了两个点怎么求直线的方程呢？比如开头那个小练习，我们可以怎么做呢？

让两个学生起立作答。对于这两种做法我都给予了肯定。那么已知直线上两点求直线方程有没有更快捷的方法呢？我们一起探讨吧。

师：已知、，如何求直线的方程？

生1：先求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程：。

师：能不能变形？上式的形式不便于记忆及应用，可以把上式进行变形，使它的形式比较对称和美观，能够体现数学之美。你认为什么形式更美观些？

生2：。

师：这是等价变形吗？两边除以时，必须。

生3：。

师：同理时才为等价变形。我们可以用方程

表示过两点、的直线方程了。这个方程形式体现了“对称美”，突出了两点的坐标，根据直线所过的两点的坐标可以立即写出直线的方程，所以我们就把这个形式的方程就叫做直线的两点式方程，简称两点式。

师：注意到方程后面的两个限制条件，两点式方程不能表示哪些直线呢？

生：当时，直线倾斜角是90°，当时，直线的倾斜角是0°。这两种直线不能用两点式方程表示。

师：真聪明。那这两种直线就没有方程吗？

生：有的。当，直线倾斜角是90°时，直线垂直于轴，直线上的每一点横坐标都是，所以可用表示。同理当，直线的倾斜角是0°时，直线可用方程表示。

师：非常好。直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，就如同直线的点斜式不能表示斜率不存在的直线一样，有点残缺美。但是有没有办法弥补这点小遗憾呢？把直线的两点式方程怎么变一变就能表示平面上的任意一条直线？ 生4：分式化成整式，去分母。没有分母它就没有限制条件了。

师：真的太棒了。对角相乘把方程化为就可以了。

书上之所以不化成这种形式，是为了讲究和谐美和对称美。以后大家在直接使用两点式求直线方程时，可要看清楚两个点的坐标哟，能不能用两点式表示才是关键。

（后面就是例题讲解和练习的巩固，在此省略。）

通过课堂上学生热烈的讨论探究以及例题讲解、课后练习的巩固，我发现教学前的困惑，基本消除了。上完了《直线的一般式》之后，我观察学生的作业，再碰到已知两点求直线的方程时，他们用的多的还是直线方程的两点式。不用担心学生会算错，要算错的话不管什么方法都会算错。结构复杂也不是问题，一节课的探究下来，对结构也是理解的比较清楚了。通过这节课的备课、教学，我发现教科书给了我们一个新观念、新方法，也为数学教学提供了新思路。

四、课后反思

1、研读课标，准确定位教学目标

新课标准提出：“高中数学应该返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念的逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法；教学中要注意沟通各个部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。”

课程标准是教学的依据，务必认真、反复地研读，深刻领会、把握课程标准的精神，领悟新课改的理念。教学必须以课程标准为“纲”，孰轻孰重，清清楚楚，才能切实地贯彻新课改的精神和课标的理念。

通过两点式方程的教学，使学生认识到“两点确定一条直线”这一朴素的数学文化理念；让学生知道直线的方程有五种形式，增强了知识的系统性，扩大了学生的视野。教学中让学生分析方程的不同，以便于学生形成批判性的思维习惯；通过分析两点式方程的结构，让学生体会到数学的对称美。达成以上目标只需十几分钟，如果放弃这么好的一个教学时机，对学生的终生发展会留有遗憾。

2、研读教材，准确把握教学目标

教科书是解读课程标准的范本。它凝聚着编者对课标的准确理解的心血，蕴藏着丰富的数学教育内涵，体现着数学的科学性和编排的合理性、艺术性。作为一线教师只有研读教科书，才能准确把握教学目标，悟出教科书的精髓，发挥教科书的教育作用。

在人教A版中，直线的斜截式和截距式是通过两道例题的形式给出的，在课标中明确提到“根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。”教材的编写者在编写教材时的良苦用心可见一斑。我们只有不断对教材中的每个细节深入研究，领悟教材编写者的意图，才是真正的“用教材”，才能提高个人的教学水平，才能真正把课堂教学落到实处。

3、研究学法，提高效率、贯彻理念

对于高中生来说，多进行一些学法指导，在教学时尽可能遵循方法和知识双重走向，让学生体验教科书分段设计、分层推进的策略，学会自主探究、合作交流的学习方式，为后续学习提出一个模式，学生自然而然地适应高中数学的学习。

在这节直线的两点式教学课中，老师着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来，采用探究、讨论的教学方式，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与直线的两点式方程的探索、应用活动。

通过这一节“直线的两点式”的教学前的课前困惑、上课解惑、课后反思。笔者深刻地感悟到：教学就是一种过程的经历、一种过程的体验、一种过程的感悟。

第二篇：直线的两点式方程教学设计

3.2.2

直线的两点式方程

三维目标

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。教学过程：

一、复习准备：

1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y轴上的截距.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点C2,2,倾斜角是60；



二、讲授新课：

1.直线两点式方程的教学:

① 探讨:已知直线l经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点,如何求直线的点斜式方程?

yy1y2y1(xx1)x2x1两点式方程:由上述知, 经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点的直线方程为yy1xx⑴，我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式.y2y1x2x1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1若点P12．举例

x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？

例1:求过A(2,1),B(3,3)两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.练习：教材P97面1题 例2：已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，b≠0

求l的方程

② 当直线l不经过原点时,其方程可以化为其中

直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b.xy1 ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,abx2x1x2③ 中点:线段AB的两端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x,y),其中

yy1y22例2:已知直线经过A(2,0),B(0,3)两点,则AB中点坐标为______,此直线截距式方程为______、与x轴y轴的截距分别为多少？

练习：教材P97面2题、3题

例

3、已知ABC的三个顶点是A(0,7)B(5,3)C(5,-3)，求

（1）三边所在直线的方程；（2）中线AD所在直线的方程；（3）高AE所在直线的方程。3．小结:（1）、两点式.截距式.中点坐标.（2）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？

（3）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

4．作业：《习案》第二十课时。.5．板书设计

直线的两点式方程

一． 复习准备

三。应用示例 二． 公式的教学

四。练习与小结

6．教学反思：本节课的内容学生学起来还是比较容易接受的，课后注意巩固与练习，部分太差的学生才用个别辅导。

第三篇：直线的两点式方程教案

直线的两点式方程教案

一、教学目标

1、知识与技能

（1）握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。

三、教学设想

问

题

1、利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。

设计意图

遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。师生活动

教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）y232(x1)y2y1x2x1（2）yy1(xx1)

教师指出：当y1y2时，方程可以写成

yy1y2y1 xx1x2x1(x1x2,y1y2)

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式 问

题

2、若点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？

设计意图

使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

师生活动

教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1。

问

题

3、例题教学

已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

设计意图

使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

师生活动

教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：

xayb1

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

问

题

4、例题教学

已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

设计意图

让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。

师生活动

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

5、课堂练习

学生独立完成，教师检查、反馈。

6、小结

增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。

教师提出：

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

7、布置作业

巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。学生课后完成

第四篇：3.2.2《直线的两点式方程》教案

3.2.2 直线的两点式方程

教学目标

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。教学过程：

一、复习准备：

1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②已知直线经过两点程.设计意图：遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。,求直线的方

二、讲授新课：

1.直线两点式方程的教学:

① 探讨:已知直线l经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点,如何求直线的点斜式方程?

yy1y2y1(xx1)x2x1两点式方程:由上述知, 经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点的直线方程为yy1xx1

⑴，我们称⑴为直线的两点式方程,简称两y2y1x2x1-1

（3）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

4．布置作业：①课本100页A组第9题，101页第11题，B组第1题（通用）

②课时作业A组1-9(通用)，10（985，实验班）

课时作业B组（985，实验班）

第五篇：3.2.2直线的两点式与截距式方程(教学设计)

3.2.2 直线的两点式与截距式方程（复习设计）

教学目标

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.2、过程与方法

让学生掌握直线的两点式方程的推导过程，学会分析、比较，有特殊情况特殊处理的意识.3、情态与价值观

感受两点确定一条直线这一几何意义的代数转化，体验解析几何的代数美感.教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解及截据式方程.教学过程

（一）复习回顾，新课导入

复习：已经学过的点斜式方程和斜截式方程及其特点

思考：已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1x2 ,y1y2),如何求出这两个点的直线方程呢？

生：经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程.可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.（二）师生互动，讲解新课 例1：利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P1,2),P2(3,5),求直线l的方程.1(（2）已知两点P其中(x11(x1,x2),P2(x2,y2)x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

3（1）y2(x1)

2（2）y y1y2y1(xx1)

x2x1教师指出：当y1y2时，方程可以写成

yy1xx1(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.若点P中有x11(x1,x2),P2(x2,y2)x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？

直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2x2时，教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1.变式训练1：（课本P97练习NO：1）例2： 已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程.教师引导学生分析题目中所给法更为简捷？然后由求出直线方程：

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念.变式训练2：（课本P97练习NO：2）

例3：（课本P96例4）已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.引入中点坐标公式：

若点P1，P2的坐标分别为P1（x1,y1），P2(x2,y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为M(x,y)，则：

xy1ab的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方x1x2x2 yy2y12解:直线AB过A(-5,0)、B（3，-3）两点，由两点式得

y0x(5) 303(5)整理得：3x8y150，即直线AB的方程.2(3)5, 直线BC过C(0,2),斜率是k0335由点斜式得:y2(x0)

3整理得:5x3y60,即直线BC的方程.y0x(5)直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由两点式得: 200(5)整理得：2x5y100，即直线AC的方程.说明：例3中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起注意.变式训练3：（课本P97练习NO：3）

(三)课堂小结，巩固反思

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

（四）课时必记：

yy1xx1(x1x2,y1y2)，y2y1x2x1其中x1,y1,x2,y2是直线两点(x1,y1),(x2,y2)的坐标.xy2、直线方程的截距式:1,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距，a为横截距，b为纵截ab距.1、直线方程的两点式:

3、中点坐标公式：

x1x2x2若点P1，P2的坐标分别为P1（x1,y1），P2(x2,y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为M(x,y)，则：

yy2y12

（五）布置作业

A组：

1、（课本P100习题3.2 A组：NO：1（4）（5）（6））

2、（课本P100习题3.2 A组：NO：4）

3、（课本P100习题3.2 A组：NO：7）

4、（课本P100习题3.2 A组：NO：8）

5、（课本P100习题3.2 A组：NO：9）

6、(tb1706703)已知ABC的三个顶点坐标为：A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2)，D是BC边的中点，求中线AD所在的直线的方程。

（答：10x+11y+8=0）

B组：

1、（课本P100习题3.2 B组：NO：1）

2、(tb2507202)过点(4,-3)的直线L在两坐标轴上截距相等，求L的方程。（答：x+y-1=0或3x+4y=0）

C组：

1、(tb2507303)已知直线L过点M(0,2)，且与以两点A(1,4)、B(3,1)为端点的线段AB相交，求直线L的斜率的取值范围。（答： 1k2）3 3