《一元二次方程的根与系数的关系》教学反思（共5篇）

第一篇：《一元二次方程的根与系数的关系》教学反思

1、观察、归纳、证明是研究事物的科学方法。此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明。这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值。

2、教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便些。教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功能。韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及两极之积的值。而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程。

3、本节课教学设计注重开发学生的思维能力，但是学生动手能力略显不足，在今后的教学中应注意加强。

第二篇：一元二次方程根与系数的关系的教学反思 （最终版）

一元二次方程根与系数的关系的教学反思

庐江县黄道中学 陈良俊

本节课通过情景设置（同学们，老师这里有一手绝活，你只要给出两个数，我立即就能说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们若不信，咱就试一试！）调起学生的胃口，激发起学生的好奇心和求知欲，在此推动下，引领学生展开探究活动，并将探究根与系数的关系分为初探、再探两个层次，即将二次项系数为1和非1的一元二次方程分两次出现，这样处理基于如下的原因，一元二次方程根与系数的关系的教学反思。

第一，使得每一位学生都能参与探究，学生的认知能力总是有所差异的，如果将这两类方程同时加以研究的话，有一部分同学很难参与，事实上，研究事物往往从简单到复杂，当a=1时，容易发现根与系数的关系，当a≠1时，猜想不正确，造成认知上的冲突，更能激发学生去完善第一次的猜想，培养学生勇于探究、积极思维的精神，教学反思《一元二次方程根与系数的关系的教学反思》。

第二，给予学生一个适度的梯度探究空间，在循序渐进的教学原则下，通过“特例探究——一般猜证——深化理解”的教学设计，由“实验——猜想——再实验——再猜想”的探究过程，使学生感悟认识事物的规律是由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程，学生在这样的氛围下，会感到新知是旧知的自然延伸和自然流露，对于学生而言，既经历了一次探究性学习，又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的机会。

总之，在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想，以此为载体，充分发挥其素质教育的功能，培养起学生的发散性思维和探究能力。

第三篇：《一元二次方程根与系数的关系》教案

《一元二次方程根与系数的关系》教案

教学目标：

1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。教学重点：

一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。教学难点：

一元二次方程的根与系数的关系的推导。数学思考与问题解决：

通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）

【师生活动】：

教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。【学案内容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）则X1+X2=_______，方程中 一次项系数（）

二次项系数常数项（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次项系数

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）则X1+X2=_______，方程中 一次项系数 （）二次项系数比一比，你发现了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常数项（）

二次项系数比一比，你发现了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你发现的规律可知: X1+X2=(________)

X1·X2=（）（________)(_________)（）

(_________)

二、合作求证 生成新知（每小题10分，共20分）（合作完成，交换检查）

【师生活动】：

教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；鼓励学生参与合作学习，调动学生合作交流的主动性和积极性。

学生小组合作完成导学案，通过推导证明前面的结论；实现一元二次方程的根与系数的关系感性认识到理性认识的转变；小组长检查小组成员完成情况后，两小组交换检查推导过程；分小组汇报合作学习成果。【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的证明过程，即理性认识过程。让学生自己发现问题、探求规律，两从理论角度加以验证，经历从特殊到一般的科学探索过程，培养学生科学、严谨的求学态度，团队精神和合作意识，促进学生的相互交流、学习。【学案内容】：

（1）根据以上规律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的两个根为X1和X2，则X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）这是不是一个普遍规律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？请用一元二次方程的一般形式证明：(b2-4ac≧0)∵ X1=bb24acbb24ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目标达成（每小题10分，共40分）（合作完成，分组展示）

【师生活动】：

教师巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并适时点拨、强调；充分利用现有设施设备，为学生搭建电子白板、实物投影、黑板等不同的展示自我的平台；适时评价、鼓励学生能多种方法解决问题，促进发散思维的培养。

导学案【目标1】：学生先独立完成，组长检查，后组内交流，全班汇报、评价。（学生利用一体机白板演示解题过程）

导学案【目标2】：小组合作完成，组长督促，全班汇报、评价。（学生利用实物投影展示解题过程）

导学案【目标3】：小组合作完成，组长督促，全班汇报、评价。（学生利用黑板展示解题过程）

【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的实践过程，即教学目标的达成、检测过程。设计了三个不同难度且有梯度的“目标”，让学生由易到难、由浅入深，加深对一元二次方程的根与系数的关系的理解和应用，强调学生对科学的严谨性和书写的规范性，培养学生对所学知识的应用意识和应用能力，以及合作学习意识与数学语言的表述能力。【学案内容】：

【目标1】不解方程，求下列方程的两根的和与两根的积各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目标2】已知方程X2-4X+M=0的一个根是-2，求方程的另一个根及M的值。

【目标3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的两个实数根，求

x1的值。

2x22

四、查漏补缺 总结提高（共10分）（自主完成，集体分享）

【师生活动】：

教师鼓励学生谈所学所想所获，集体分享学习成果，归纳课堂所学知识点，解决学习中仍然存在的问题和困惑。【设计意图】：

本环节为本节课的总结提高过程。目的是帮助所有学生总结回顾、查漏补缺，形成知识体系，培养学生及时小结、善于归纳梳理的学习习惯，提高学生运用数学语言的能力和口头表达能力。【学案内容】：

请你谈谈本节课的收获或存在的问题。__________________

第四篇：复习教案 一元二次方程根与系数关系

第十三课时 一元二次方程根与系数关系

一、复习目标：掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.二、复习重点和难点：

（一）复习重点： 一元二次方程根的韦达定理.（二）复习难点：灵活运用韦达定理解决问题.三、复习过程：

（一）知识梳理：

1、根与系数的关系（韦达定理）

一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果有实数根（即b4ac0），设两实数根为x1，x2，则x1x2

2、常见的含两根的对称式：

（1）x1x2(x1x2)22x1x2（2）222bc，x1x2 aaxx211 1x1x2x1x2（3）(x1x2)2(x1x2)24x1x2 ； x1x2(x1x2)24x1x2

x2x1x1x2(x1x2)22x1x2（4）； x1x2x1x2x1x2

3、利用根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号： 22c可判断两根符号之间的关系： acc 若x1x20，则x1，x2同号； 若x1x20，则x1，x2异号，即一正一负

aab 再由x1x2可判断两根大小的关系。

a由x1x2

4、由x1，x2两根可构造的一元二次方程 以x1，x2为根的一个一元二次方程为x2(x1x2)xx1x20；

5、一元二次方程与二次函数的联系：

若二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两交点，分别设为A（x1，0），B（x2，0），则x1、x2就是一元二次方程axbxc0(a0)的根，因此，求二次函数y=ax+bx+c

22的图象与x轴有交点坐标，只要令y=0，解axbxc0(a0)的根，就可得到二次函

2数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点坐标的横坐标。

强调：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ①根的判别式b24ac0 ②二次项系数a0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根。

例

1、已知方程x6xm2m50的一个根为2，求另一个根及

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解：设方程的另一个根为x1，根据题意，利用韦达定理得：

x126x14x14，解得：或 2m3m12xm2m51∴方程

二、不解方程，判断两根的情况。

例

2、不解方程，试判断方程x3x60两根的符号；

分析：要判断方程根的符号，可以根据根的定义，这样的方法显得很笨拙，而我们如果利用根与系数的关系就显得非常巧妙。

解：由34(6)330，方程有两个不相等的实数根。设这两根为x1,x2，得x1x260，易得方程两根一正一负。

如果得出x1x20，需考虑x1x2的正负，从而判断方程有两个正根还是两个负根。

三、求作新的方程；

例

3、作一个一元二次方程，使它的两个根为一元二次方程x3x10的两根的平方． 解：设方程x3x10的两根为x1,x2，那么所求的方程的根为x1,x2，由根与系数关系可得：x1x23,x1.x21，∴x1x2(x1x2)22x1x2322(1)11，22222的另一个根为4，的值为3或—1。

222 x1x2(x1x2)2(1)21，∴所求作的方程为x11x10．

四、不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值，这种应用与根的判别结合在一起。例4（1）已知关于x的方程3x+6x-2=0的两根为x1，x2，求

222211的值.x1x2 分析：已知方程，求两根组成代数式的值。这里主要说明解题格式，学生完成过程.（2）已知关于x的方程3x-mx-2=0的两根为x1，x2，且2

22113，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）题是已知方程，求两根组成代数式的值，而第（2）题的第一问就反来了，也就是已知代数式的值求方程。第②问，再进一步，已知代数式的值，求另一个代数式的值.但是，无论是哪一个问题，所要用到的都是根与系数的关系.小结：1.求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.例

5、（2000年四川省中考试题）若关于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.“存在性”问题）

分析：（１）提问：此题与哪些知识有关？（勾股道理、解直角三角形、根与系数的关系、根的判别式）

（２）如何利用条件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方”通过这句话，你能明白什么？你先必须求什么？

（４）然后按照解决“存在性”问题的过程去解题.（５）求出m后，要考虑它是否符合题意.通过此题，使学生明白解决这类问题，一般遵循“三步曲”，即假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情况）.五、利用根与系数关系解决一元二次方程与二次函数的综合题： 例

6、已抛物线y(m1)x2(m2)x1（m为实数）。

（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。

m10略解：（1）由已知有，解得m0且m1 2m0（2）由x0得C（0，－1）

又∵ABm am1∴SABC∴m11mABOC12 22m144或m 35122126∴yxx1或yxx1

3355

第五篇：一元二次方程根与系数的关系试题

1．已知方程x2-2x-m=0有两个正的实数根，求m的取值范围．

2．已知m、n是方程x2－2002x+1=0的两个实数根，求代数式mn2+m2n－mn+1的值．

3.已知关于x的方程x-92x+m=0有两个实数根x1、x2，且丨x1-x2丨=22, 求m的值.4．若实数x1≠x2，且x1－3x1+1=0，x2－3x2+1=0，求

5．已知关于x的方程2(x-1)(x-3t)=x(t-4)的两个实数根的和与积相等，求t的值。

6.是否存在整数m，使关于x的方程x2-4(m-2)x+4m2=0的两个实数根的平方和为224?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

7．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线相交于O，并且AO、BO的长是关于x的方程x2+(2m－

1)x+m2+3=0的两个根，求m的值。

8.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知a=3,b和c是关于x的方程x2+mx+2-

12222+的值． m=0的两个实数根，求ΔABC的周长。