九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程教案1 (新版)北师大版

第一篇：九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程教案1 (新版)北师大版

二次函数与一元二次方程

【教学内容】二次函数与一元二次方程

（一）【教学目标】

知识与技能 理解二次函数与一元二次方程的关系，会用△值判断二次函数与x轴交点个数

过程与方法 经历用二次函数图象探索一元二次方程根的过程，能够领会二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根的个数关系。

情感、态度与价值观 通过对二次函数与一元二次方程关系的探讨，培养学生勇于探索的好习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。【教学重难点】

重点：理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标 难点：利用二次函数的与x轴交点与一元二次方程根的关系 【导学过程】

【知识回顾】 一元二次方程的一般形式是什么？二次函数的一般形式是什么？ 【情景导入】

二次函数与一元二次方程有一定的相似之处，它们的表达式基本相同。其实，二次函数中的y值为零时，那么就会变成一元二次方程。那么它们之间到底有怎样的关系，本节课将给以解答。

【新知探究】 探究

一、我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？

(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.探究

二、在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：

(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？

2探究

三、【例1】已知二次函数y=kx－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为

．

2【例2】抛物线y=ax＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．

【例3】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3． 请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式

． 【知识梳理】本节课我们学习二次函数与一元二次方程的关系，能够领会二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根的个数关系。会用△值判断二次函数与x 轴交点个数，【随堂练习】

1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．

22（1）y=x－2x；（2）y=x－2x－3．

22已知二次函数y=ax+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有().2222 A.b-4ac>0 B.b-4ac=0 C.b-4ac<0 D.b-4ac≤0 3．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为

．

4．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为

．

25．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax＋bx＋c经过

象限．

26．抛物线y=x－2x＋3的顶点坐标是

．

27．若抛物线y=2x－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m=

．

28．抛物线y=2x＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．

29．已知抛物线y=ax＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．

210．二次函数y=kx＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围

．

2211．抛物线y=x－2ax＋a的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．

12．抛物线y=3x＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3个

B．2个

C．1个

D．无

abc213．如图1所示，函数y=ax－bx＋c的图象过（－1，0），则bccaab的值是（）

A．－3

B．3

1C．2

1D．－2

14．已知二次函数y=ax＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）2bbbbA．0＜－2a＜1 B．0＜－2a＜2 C．1＜－2a＜2 D．－2a=1 15．已知二次函数y=x＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

2216．已知二次函数y=x－2kx＋k＋k－2．（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

217．已知抛物线y=mx＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

218．已知二次函数y=x－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？

2（2）当m为何值时，方程x－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积． 2

19．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满12足y=－x＋10x． 5（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？

220．已知抛物线y=x－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．

第二篇：二次函数与一元二次方程教案

22.5二次函数与一元二次方程（教案）

一、教学目标

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的关系.2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时函数有两个交点、一个交点和没有没有交点.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.二、教学重点和难点

重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的情况.难点：利用图象法探究交点个数的判别方法.三、教学方法 自主探究、合作交流

四、教学设计

1.旧知回顾：（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）

一元一次方程x＋2＝0的根为________

（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________ 通过观察对比，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？

结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根 2.新课引入：

2.1问题导出：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么关系？ 动手操作：请每位同学在方格纸中画出二次函数y＝x－2x－3的图象 观察思考：你的图象与x轴的交点坐标是什么？ 解一元二次方程： x－2x－3＝0

你发现了什么？ 发现的结论：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根

（2）二次函数的问题可以转化为一元二次方程去解决 反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标

（1）y＝x＋4x－5；（2）y＝－x＋6x－9；（3）y＝2x＋3x＋5

通过计算发现问题：不是所有的二次函数与x轴都有两个交点！有的函数只有一个交点，有的没有交点（借助图象的平移说明这个事实）

2.2设想：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的个数有关系 我们在学习一元二次方程时是用什么来判断解的个数的？ 回顾判别式：对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0 b－4ac＞0 b－4ac＝0 b2－4ac＜0 22

2方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根

那么，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？学生归纳： b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b－4ac＜0 2函数与x轴有两个交点 函数与x轴有一个交点 函数与x轴没有交点

反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）

2.3联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？

例如，二次函数y＝x－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？

分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，列出方程组，消去y后再利用判别式判断即可.反馈练习3：二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋b有唯一公共点，求出b的值.3.交流总结

4.作业 2

第三篇：北师大版九年级数学下册教案§2.8 二次函数与一元二次方程

§2.8 二次函数与一元二次方程

学习目标:

体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标． 学习重点: 本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌

22握此点，关键是理解二次函数y=ax＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位． 学习难点: 应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆． 学习方法: 讨论探索法。学习过程:

一、实例讲解：

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？

(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.二、议一议：

在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

三、例题：

2【例1】已知二次函数y=kx－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为

．

2【例2】抛物线y=ax＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．

【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3． 请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式

四、随堂练习：

1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．

（1）y=x－2x；（2）y=x－2x－3．

2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？

．

五、课后练习：

1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为

－6，则它的表达式为

． ．

2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax＋bx＋c经过

4．抛物线y=x－2x＋3的顶点坐标是

2象限．

．

． 5．若抛物线y=2x－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= 6．抛物线y=2x＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=

．

．

． ． 7．已知抛物线y=ax＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 8．二次函数y=kx＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围

229．抛物线y=x－2ax＋a的顶点在直线y=2上，则a的值是 2

10．抛物线y=3x＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3个

B．2个

C．1个

D．无 2

abc211．如图1所示，函数y=ax－bx＋c的图象过（－1，0），则bccaab的值是（）

A．－3

B．3

1C．2

1D．－2

12．已知二次函数y=ax＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）

2bbbbA．0＜－2a＜1 B．0＜－2a＜2 C．1＜－2a＜2 D．－2a=1 13．已知二次函数y=x＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

14．已知二次函数y=x－2kx＋k＋k－2．（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

215．已知抛物线y=mx＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

16．已知二次函数y=x－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．

217．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关12系满足y=－x＋10x． 5（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？

18．已知抛物线y=x－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．

第四篇：二次函数与一元二次方程教案1

二次函数与一元二次方程教案1 二次函数与一元二次方程

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点

1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点

1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法

讨论探索法.教具准备

投影片二张

第一张:(记作§2.8.1A)

第二张:(记作§2.8.1B)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.Ⅱ.讲授新课

一、例题讲解

投影片:(§2.8.1A)

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示,那么

(1)h与t的关系式是什么?

(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.还可以观察图象得到.[师]很好.能写出步骤吗?

[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0，当v0=40,h0=0时，h=-5t2+40t.(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:

-5t2+40t=0，即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.二、议一议

投影片:(§2.8.1B)

二次函数①y=x2+2x, ②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

[师]还请大家先讨论后解答.[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;

二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[师]大家总结得非常棒.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想

在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?

[师]请大家讨论解决.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有

-5t2+40t=60，t2-8t+12=0，∴t=2或t=6.因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.Ⅲ.课堂练习

随堂练习(P67)

Ⅳ.课时小结

本节课学了如下内容:

1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.Ⅴ.课后作业

习题2.9

板书设计

§2.8.1二次函数与一元二次方程(一)

一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)

2.议一议(投影片§2.8.1B)

3.想一想

二、课堂练习

随堂练习

三、课时小结

四、课后作业

备课资料

思考、探索、交流

把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?

解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则

S长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.即当x=25时,S最大=625.(2)S正方形=252=625.(3)∵正三角形的边长为 m,高为 m，∴S三角形= =≈481(m2).(4)∵2πr=100,∴r=.∴S圆=πr2=π·()2=π· = ≈796(m2).所以圆的面积最大.

第五篇：九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》教案(湘教版)

九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》教案（湘教版）

【知识与技能】

掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系

2理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系

3会用二次函数图象求一元二次方程的近似根

4能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题

【过程与方法】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想

【情感态度】

通过自主学习,小组合作,探索出二次函数与一元二次方程的关系,感受数学的严谨性,激发热爱数学的情感

【教学重点】

①理解二次函数与一元二次方程的联系

②求一元二次方程的近似根

【教学难点】

一元二次方程与二次函数的综合应用

一、情境导入，初步认识

一元二次方程ax2+bx+=0的实数根，就是二次函数=ax2+bx+,当=0时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标

2抛物线=ax2+bx+与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+=0根的判别式的关系：当b2-4a＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4a=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4a＞0时，抛物线与x轴有两个交点

学生回答,教师点评

二、思考探究，获取新知

探究1

求抛物线=ax2+bx+与x轴的交点

例1求抛物线=x2-2x-3与x轴交点的横坐标

【分析】抛物线=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根

解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1,所以抛物线=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1

【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根

探究2

抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：

（1）你能说出函数=ax2+bx+的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+=0的根的个数有何关系？

一元二次方程ax2+bx+=0的根的个数由什么来判断？