九年级数学下册《用因式分解法解一元二次方程(一)》教案 新人教版

第一篇：九年级数学下册《用因式分解法解一元二次方程(一)》教案 新人教版

《用因式分解法解一元二次方程

（一）》教案

一、素质教育目标

（一）知识教学点：1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．

（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．

（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教学疑点：理解“充要条件”、“或”、“且”的含义．

三、教学步骤

（一）明确目标

学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程．对于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，解起来就变得简单多了．即可得x1＝2，x2＝-3．这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

（二）整体感知

所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因 2式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．复习提问

零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．

“或”有下列三层含义

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1 解方程x＋2x＝0．

解：原方程可变形x（x＋2）＝0……第一步 ∴ x＝0或x＋2＝0……第二步 ∴ x1=0，x2=-2．

教师提问、板书，学生回答．

分析步骤

（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤

（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

例2 用因式分解法解方程x＋2x－15＝0． 解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．

22得，x＋5＝0或x-3＝0． ∴ x1＝-5，x2＝3．

教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：

（一）方程化为一般形式；

（二）方程左边因式分解；

（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；

（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

练习：P．22中1、2．

第一题学生口答，第二题学生笔答，板演． 体会步骤及每一步的依据．

例3 解方程3（x-2）-x（x-2）＝0． 解：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0． ∴ x-2＝0或3-x＝0． ∴ x1＝2，x2＝3． 教师板演，学生回答．

此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．练习P．22中3．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）

2.解：原式可变形为（3x＋2）2

-4（x-3）2

＝0． [（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0 即：（5x-4）（x＋8）=0． ∴ 5x-4＝0或x＋8＝0．

学生练习、板演、评价．教师引导，强化． 练习：解下列关于x的方程

6．（4x＋2）＝x（2x＋1）．

学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度． 练习P．22中4．

（四）总结、扩展

1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”

四、布置作业 教材P．21中A1、2．

教材P．23中B1、2（学有余力的学生做）． 2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．

3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

五、课后记 2 4 二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单．

第二篇：因式分解法解一元二次方程公开课教案

因式分解法解一元二次方程

备课人：张友 时间：2017.3.6 教学目标：

1.通过学生自学探究掌握运用因式分解法及其基本思想； 2.能用因式分解法解一些一元二次方程； 3.学会选择合适的方法解一元二次方程.教学重点：因式分解法解一些一元二次方程.教学难点：能够正确选择因式分解的方法.教学过程： 一.复习回顾

1.同学们，前面我们学习了一元二次方程及其解法，那么总共学习了多少种解法呢？

学生回答：直接开平方法、配方法、公式法

2.今天我们要学习因式分解法解一元二次方程，你还记得因式分解有哪几种方法吗？下面三题如何因式分解？各用了什么方法？

（1）xx（2）x9（3）x5x6

学生回答：（1）x(x1)，提公因式法；（2）(x3)(x3)，公式法；（3）(x2)(x3)，十字相乘法.二.新课学习

1.首先，我们来看这个问题x5x60，你有几种方法求解呢？

师生共同讨论：无法用直接开平方法，可以用配方法，也可以用公式法，有什么新方法吗？ 学生回答：(x2)(x3)0 ①

x20或x30 ②

x12,x23

教师提问：从①到②，依据是什么？

学生回答，教师总结：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0.化为符号语言为：AB0A0或B0

这种利用因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。

这种降次的方法体现了化归的数学思想方法.2.试试水

用因式分解法解下列方程.（1）xx（2）x90 222222三.巩固提高 1.例题解析

(x4)(x1)6 解：原方程可化为 x3x100(x5)(x2)0

x50或x20

x15,x22.2.总结因式分解的一般步骤

（1）方程化成一元二次方程一般形式； 右化零

（2）方程左边分解成两个一次因式相乘； 左分解

（3）得到两个一元一次方程； 两方程

（4）求解。各求解 四.课堂练习

1.课本第三十页练习2.解方程：x6x110

启发：如何选择合适的方法解一元二次方程？ 化为一般形式后，左边易因式分解的用因式分解法更易，配方法和公式法适用于所有一元二次方程.五.课堂小结

通过本节课的学习你有什么收获？ 六.作业

课本第三十一页习题 第五、六题

板书设计

复习回顾 新课讲解 例题解析 学生板演 小结作业 22

第三篇：数学人教版九年级上册21.2.3 解一元二次方程-----因式分解法

解一元二次方程 —— 因式分解法（教案）

南宁市邕宁区朝阳中学----曾灵芝

教学目标：

1．学会用因式分解的方法解一些一元二次方程；

2．在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想； 3．会选择合适的方法解一元二次方程；

教学重点：会用因式分解法解一些一元二次方程.教学难点：能够正确选择因式分解的方法.教学课时：1节课.教学过程：

一、复习导入新课（让学生口述回答）

问题1 我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？解一元二次方程的基本思路是什么？

答：①直接开平方法，②配方法，③求根公式法． 能用直接开平方法的方程形式是： x2=a(a≥0)配方法：要把一个方程配方成：(x+m)2=n（其中m、n是常数，n≥0）的形式；

公式法 ：直接利用 公式解一元二次方程

xbb24ac.b24ac02a解一元二次方程的基本思路是降次，把“二元”转变成“一元”

问题2 什么叫分解因式？（提问学生）

把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式或因式分解。

问题3 分解因式的方法有哪些?（1）提取公因式法: ma+mb+cm=m(a+b+c).（2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.（3）十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).二、新课讲解：

（引例）根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为 10x-4.9x2

根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到 0.01 s）分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0，即 10x-4.9x2 =0 让学生用所学过的解一元二次方程的方法完成解上述方程。师：①这个方程能用直接开平方法解吗？（答案：不能）②能用配方法和公式法解吗（答案：能，可是这两种方法都需要经过较烦的计算，容易出错）有没有比较简便的方法呢？

三、探究因式分解法，解上述方程。

1、由学生尝试分析10x-4.9x2=0的解题过程，引导学生观察方程的特点：这个方程的左边易于分解成x(10-4.9x)，是因式x、与(10-4.9x)的积的形式，而方程的右边为0，如果将方程变成x(10-4.9x)=0，问题是不是可以解决了呢？

2、根据如果a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0。即两个因式的积为0，至少有一个因式为0，可以把原一元二次方程10x-4.9x2=0化成两个一元一次方程x=0或(10-4.9x)=0 10x-4.9x2=0 ①

x=0或(10-4.9x)=0 ②

100解得x=0或x=492.04 解以上两个一元一次方程，这两个方程的解，就是原来这个一元二次方程的解；

3、学生把用这个方法得到的方程的与前面用公式法、配方法所得的答案比，得出结论：结果一样，方法比较简便。

4、解一元二次方程的因式分解法：.可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用直接开平方或求根公式降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.5、从而总结出因式分解法的基本思想：通过把方程化为两个一次式的积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。

6、（师）能用因式分解方法解的条件是什么？是不是所有的方程都能用因式分解法？：

（让学生思考回答，老师补充）用因式分解法解一元二次方程的条件是：方程的一边易于分解因式，方程的另一边为0。

四、例题讲解（1）x(x-2)+x-2=0（2）5x2-2x-=x2-2x+

五、归纳因式分解法解一元二次方程的解题步骤：（学生归纳，老师补充）

（1）将方程通过整理右边化为零的形式；（2）将方程的左边分解因式；

（3）根据两个因式的积为零，至少有一个因式为0。令每个因式为0，得到两个一元一次方程；

（4）解每个一元一次方程，这两个一元一次方程的解即得到一元二次方程的解。143

4六、课堂练习(一)解下列方程（课本P14 第1题）

（1）x2x0;

(2)x223x0;

(3)3x26x3;(4)4x21210;

(5)3x(2x1)4x2;

(6)(x4)2(52x)2.老师当堂检验，抽取一名学生上黑板做题，老师进行讲评，并且提问其余学生另外的解题方法。

可以看出上面各个方程都可以用因式分解法来解，其中⑴、⑵用提公因式法来分解；第⑶题把方程两边同除以

3、右边化为0之后，方程的左边是一个完全平方式，用完全平方公式分解因式；⑷可用平方差公式分解，也可以用直接开平方法来解；⑸把（4x+2）看成整体移项，把方程右边化为0之后可用提公因式法来解；⑹把方程的左右两边的式子看成整体，把方程的右边移到左边，可以用平方差公式来分解，比较简便。

注意（学生体验后，老师提醒）：

1、用因式分解法解一元二次方程，只限于把方程右边化为0之后，方程的左边能分解因式的方程；不是所有的方程都能用这个方法；

2、因式分解的方法根据方程的特征，选用合适的方法（①提公因式法、②公式法、③x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)型的因式分解法）。

七、归纳总结解一元二次方程的方法（学生完成）：①直接开平方法、②配方法、③公式法、④因式分解法）

八、课堂练习

（二）给下列方程选择合适的解一元二次方程的 较简便的方法： ⑴、5x2-32x=0（运用因式分解法）⑵、3x2-2=0（运用直接开平方法）

⑶、x2-4x=6（运用配方法）⑷、2x2-x-3=0（运用公式法）⑸、2x2+7x-7=0（运用公式法）

九、归纳总结。

1、一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法或用因式分解法（平方差公式）来解；

2、若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；

3、若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；

4、不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。

5、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

十、提问学生：这节课你学到什么？（因式分解法解一元二次方程，等等）它的解题步骤是什么？目前为止你学习了多少个方法解一元二次方程？哪种方法比较简便？是不是所有的方程都能用这个方法？

十一、（师）总结补充：

1、我们这节课学习了用因式分解法来解一元二次方程，到现在为止我们可以用①直接开平方法、②配方法、③公式法、④因式分解法来解一元二次方程；

2、做题时，如果题目没有要求，具体用哪一种方法注意观察整个方程，要根据方程的特点来分析，选择合适的方法来解；

3、无论用哪一种方法解一元二次方程的基本思想方法都是“降次”，将一元“二次”方程转化为一元“一次”方程来解决；

4、数学思想方法有很多，这种转化思想是常用的数学思想方法之一．它是指在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决，因此转化思想在初中的代数、几何中成为一个重要的数学思想。数学问题中，很多问题都可以用转化的方法来解决，比如；在解二元一次方程组时，通过消元把“二元”转变成“一元”，解分式方程时，去分母把“分式”方程转变成“整式”方程，求几何图形线段长时，通常通过设未知数，列方程把“几何问题”转变成“代数问题”来解。转化思想方法贯穿整个初中乃至高中等阶段，今后在学习中同学们会体会到，也希望同学们能熟练掌握这种方法来解决数学中的许多问题，这对你们今后的成长有着深远的影响。

十二、布置课后作业：

1、教科书习题 21.2 第 6，10 题．

教学后语： 本节课内容较多，由于安排得当，再加上学生先做预习，课堂完成情况还好；但是，学生作业中，仍然存在着

1、书写过程不规范、计算出错的问题，2、部分学生没有养成课后复习的习惯，所以，今后在教学中这方面的教学还是不能简略，特别是学了新知识之后。强调学生课后复习要时常挂在嘴边，指导学生养成良好的学习习惯，另外，利用因式分解法解一元二次方程，以及根据方程的特点选择合适的方法解方程内容比较重要，是解一元二次方程中，最简便、最省时、最有效的方法，打算需要半节课来巩固这方面的知识，估计这样学生对这个内容就能熟练掌握了。

第四篇：因式分解法解一元二次方程教案

2.4分解因式法解一元二次方程教案

本课的教学目标是：

1、知识与技能目标 ：

1、会应用分解因式的方法求一元二次方程的解。

2、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。

1、方法与过程目标：

1、理解分解因式法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程;

2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法。

3、情感与态度目标： 通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。再之，体会“降次”化归的思想。从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。

教学重点与难点

教学重点：运用分解因式法解一些能分解因式的一元二次方程。教学难点：发现与理解分解因式的方法。1．复习提问

如果AB=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．

“至少”有下列三层含义

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

三、教学过程设计

1：复习：将下列各式分解因式（为新知识学习做铺垫）将下列各式分解因式：(1)5X-4X(2)X-4X+4(3)4X(X-1)-2+2X 222(4)X-4(5)(2X-1)-X

理由是：通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度。

2．新课讲解 引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法

2例1 解方程5x＝4x．

解：原方程可变形x（5x-4）＝0„„第一步 ∴

x＝0或5x-4＝0„„第二步 ∴

x1=0，x2=-4/5．

教师提问、板书，学生回答．

分析步骤

（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤

（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

例2 用分解因式法解方程解方程x-2＝x（x-2）解：原方程可变形为x-2-x（x-2）＝0．

（x-2）（1-x）＝0 得，∴

x-2＝0或1-x＝0． ∴

x1＝2，x2＝1．

教师板演，学生回答，总结分解因式的步骤：

（一）方程化为一般形式；

（二）方程左边因式分解；

（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；

（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

练习：P．69想一想

22你能用分解因式法解方程(1)x-4=0（x＋1）-25＝0．吗？ 练习P．69T1．T2 学生练习、板演、评价．教师引导，强化． 当堂演练P42 例

3、解下列方程

222

1、(x-4)=(5-2x)

2、x－6x+9=0

3、(x+3)(x+1)=-1

（四）总结、扩展

引导学生从以下2个方面进行小结，（1）本节课我们学习了哪些知识？（2）因式分解法解一元二次方程的步骤是（3）学习过程中用了哪些数学方法？ 整个过程让学生自己进行，以培养学生的归纳、概括的能力。

1．分解因式法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．” 2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．

3．分解因式的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

（五）布置作业教材P69 T1、2． 教材P70 T3（学有余力的学生做）．

第五篇：因式分解法解一元二次方程教学反思

因式分解法解一元二次方程教学反思

大布苏中学：杨慧敏

在学习了一元二次方程的四种基本解法后，由于在实际运用中十字相乘法解方程运用确实很广，而且用处之大不可忽视。在解题过程中实际用起来带来很大的方便，也能提高解题效率，所以加上些节课。

在介绍十字相乘法时，先从一元二次方程一般式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字相乘。在对系数的处理上，学生搭配较简单的数时很快，但对系数较大的十字分解还缺乏经验。所以介绍了小学学过的短除法，对常数项进行因式分解，再合理尝试十字交*相乘。学生经过理解后，感觉十分好用，且在经过多个方程的十字相乘后，学生积累了一定的经验对符号的处理上能找到巧妙方法，通过先考虑合系数的绝对值，再确定符号所处位置。

最后出现的问题在交*相乘以后对分解式的书写，部分学生习惯前面的交*相乘从而导致了书写分解式时也交*书写造成错误。正确的应是横向书写，所以要多强调、多指导、多个别指出学生的错误。问题二出现在“历史”遗留问题上：一元一次方程的解法中的最后一个步骤。所以还要用课外时间对这部份知识以前掌握不是很好的学生加以辅导。