教案：22.2降次——解一元二次方程

第一篇：教案：22.2降次——解一元二次方程

12999数学网 www.xiexiebang.com 22.2降次——解一元二次方程（5）

教学内容

本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。教学目标

知识技能

1．应用分解因式法解一些一元二次方程．

2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．

数学思考

体会“降次”化归的思想。解决问题

能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．

情感态度

使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．

重难点、关键

重点：应用分解因式法解一元二次方程．

难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便． 教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

一、复习引入 解下列方程．

（1）2x2+x=0（用配方法）

（2）3x2+6x=0（用公式法）

老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为应加上（111，的一半应为，因此，224121），同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 44【设计意图】

复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。

二、探索新知 【问题】

仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？

（2）等式左边的各项有没有共同因式？ 【活动方略】

在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）

因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0

（2）3x（x+2）=0 12999数学网 www.xiexiebang.com

12999数学网 www.xiexiebang.com

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-1．

2（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

【设计意图】

引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据． 【探究】

通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）x(x2)x20；

2（2）5x2x13x22x； 44（3）3x(2x1)4x2；（4）(x4)2(52x)2．

【活动方略】

学生活动：

四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．

对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0；

方程（2）经过整理得到4x10，然后利用平方差公式分解因式；

方程（3）的右边分解因式后变为3x(2x1)2(2x1)，然后整体移项得到

23x(2x1)2x(21)，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；

22方程（4）把方程右边移到左边(x4)(52x)0，利用平方差公式分解即可．

教师活动：

在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．

在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：

（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．

（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 【设计意图】

12999数学网 www.xiexiebang.com

12999数学网 www.xiexiebang.com 主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性． 【应用】

例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为

10x4.9x2．

你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？ 【活动方略】 学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流 教师活动：

在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．

【设计意图】 应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．

三、反馈练习

教材P45 练习

2212999数学网 www.xiexiebang.com

∴x1=-5，x2=1

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

aba2b2例2．已知9a-4b=0，求代数式的值．

baab22aba2b2

分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的baab关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．

a2b2a2b22b

解：原式=aba

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，22b或a=b 3322b

当a=-b时，原式=-=3 23b32

当a=b时，原式=-3．

3a=-例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．

∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

a<-2

∵ax+3>0即ax>-3

∴x<-3 a3 a

∴所求不等式的解集为x<-【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。【设计意图】

应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．

五、小结作业

1．问题：本节课学到了哪些知识？有什么体会？ 本节课应掌握：

（1）用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

12999数学网 www.xiexiebang.com

12999数学网 www.xiexiebang.com 联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．

②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：①配方法要先配方，再开方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0。2.作业：课本P45习题22．2

第二篇：降次——解一元二次方程的教案.

22.2降次——解一元二次方程（教师用）

一、教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

二、教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

三、重难点关键

1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

四、教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ C Q A 老师点评：

问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得：

x2=8 根据平方根的意义，得x=±

即x1

x2=

可以验证，PBwww.xiexiebang.comp2p）． 221x²2x=8 21x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 2 所以

PBQ的面积等于8cm2．

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±

即

方程的两根为t1

例题示范一：

变式1：解方程x-25=0 变式2：解方程4x-100=0 变式3：解方程4x-7=0 变式4：解方程(2x-1)2-25=0 总结：如果方程能转化成形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0），那么可得x=±p或mx+n=±p 注：（1）直接降次实际上就是直接开平方，方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数时，可以运用此方法。

（2）直接开平方降次后，右边的非负数开平方时必须取正负两个平方根，解出两个一元二次方程后，得到一元二次方程的两个根。

拓展：解方程(2x-1)2=(3-x)2 分析：可以将（3-x）当作一个整体或一个数来处理。【活动二】跟踪训练：

课本P31练习（1）～（6）

【活动三】由以上学习可知：如果一个一元二次方程不是直接开平方的两种形式之一，也可以设法转化为两种形式之一，再运用直接开平方法求出方程的解。问题：要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16m，场地的长和宽各是多少？

设场地宽为xm,长为（x+6）m，根据相等关系：长³宽=16 可得方程：x(x+6)=16 2化为一般形式为：x+6x-16=0，能否将该方程也化为(mx+n)=p的形式呢？ 2222211，t2

=-22 移项，得：x+6x=16 两边同时加上9，得：x+6x+9=16+9（这样左边就化成了一个完全平方式，右边是一个非负数）变形为：(x+3)=25 两边直接开平方，得：x+3=±5 x=-3±5 222 ∴x1=2,x2=-8 可以验证x=-8不符合题意，所以场地的宽为2m，长为8m.概括以上解题步骤：

（1）移项：将常数项移到右边

（2）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方

（3）写成直接开平方的形式（简称配方）（4）直接开平方，化成两个一元一次方程（5）求出两个一元一次方程的解（6）写出答案 例题示范二：

变式1：解方程：2x+12x-32=0 分析：这个方程与上述方程相比，系数都是刚才的2倍，所以必须先将方程两边同除以2，将系数化简后的步骤与上同。变式2：解方程：2x+12x-31=0 分析：与上题类似，同样要按照移项、将二次项系数化为

1、配方、降次为两个一元一次方程、解两个方程、写答案。变式3：2x-31=-12x 分析：首先要将二次项、一次项移到方程的一边，常数项移到另一边，再按几个步骤进行计算。变式4：3x-6x+4=0 【活动四】跟踪训练 课本P34练习1、2.五、课堂总结：

在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：

在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。

因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。

六、课后作业

P31.练习P34.练习

七、课后思考

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半． 2222 A

P CQ www.xiexiebang.com 分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得：111（8-x）（6-x）=³³8³6 222 整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

第三篇：22.2二次函数与一元二次方程配套教案

22.2二次函数与一元二次方程

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

【知识与能力目标】

掌握二次函数与一元二次方程的联系。【过程与方法目标】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。【情感态度价值观目标】

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力。

2、培养学生团结合作学习的良好意识和积极进取的精神。

3、培养学生用联系的观点看问题。

【教学重点】

二次函数的图象和一元二次方程的联系。【教学难点】

培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。

课前准备

多媒体课件等。

教学过程

一、导入新课

我们以前学习了一次函数，并从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系。今天节我们学习二次函数，并从二次函数的角度看一元二次方程，从而认识二次函数与一元二次方程的联系。

二、新课教学

问题如图（见教材图22.2-1），以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系

h＝20t－5t2。

考虑以下问题：

（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．师生互动，完成上面4个问题。

（1）当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。（2）当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m。

（3）方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m。

（4）当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m。这表明小球从飞行到落地要用4 s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面。

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切。一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。

问题2 观察下列函数图像回答下列问题：

（1）y＝x2＋x－1；（2）y＝x2－4x＋4；（3）y＝x2－x＋2．

① 二次函数 y＝x2＋x－1 的图象与 x 轴有______个交点，则一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的判别式Δ______0。

②二次函数 y＝x2－4x＋4 的图像与 x 轴有______个交点，则一元二次方程 x2－4x＋4＝0 的根的判别式Δ______0。

3二次函数 y＝x2－x＋2 的图象与 x 轴________公共点，则一元二次方程 x2－x○＋2＝0 的根的判别式Δ______0。

三、归纳总结

从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

（3）利用函数图象求一元二次方程的根步骤：（1）作函数图象；（2）确定根所在的范围；

（3）通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直至符合题目要求。

四、巩固练习

1.不与x轴相交的抛物线是（）

A.y = 2x2 – 3

B.y=－2 x2 + 3

C.y= －x2 – 3x

D.y=－2(x+1)2－3 2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（）A.无交点

B.只有一个交点 C.有两个交点

D.不能确定

3.利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）。

解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7。

所以方程x2－2x－2＝0的实数根为

x1≈－0.7，x2≈2.7．

我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。

五、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？

第四篇：22.2 二次函数与一元二次方程 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知识与技能

1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．

2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 情感态度价值观

通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．

2.教学重点/难点

重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.3.教学用具 4.标签

教学过程

教学过程设计

（一）问题的提出与解决

问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系

考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？

（二）问题的讨论

二次函数 的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：

（三）归纳 一般地，从二次函数（1）如果抛物线的图象可知，与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x的一个根.＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题

播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结 总结本节的知识点.（六）作业: 板书

第五篇：因式分解法解一元二次方程公开课教案

因式分解法解一元二次方程

备课人：张友 时间：2017.3.6 教学目标：

1.通过学生自学探究掌握运用因式分解法及其基本思想； 2.能用因式分解法解一些一元二次方程； 3.学会选择合适的方法解一元二次方程.教学重点：因式分解法解一些一元二次方程.教学难点：能够正确选择因式分解的方法.教学过程： 一.复习回顾

1.同学们，前面我们学习了一元二次方程及其解法，那么总共学习了多少种解法呢？

学生回答：直接开平方法、配方法、公式法

2.今天我们要学习因式分解法解一元二次方程，你还记得因式分解有哪几种方法吗？下面三题如何因式分解？各用了什么方法？

（1）xx（2）x9（3）x5x6

学生回答：（1）x(x1)，提公因式法；（2）(x3)(x3)，公式法；（3）(x2)(x3)，十字相乘法.二.新课学习

1.首先，我们来看这个问题x5x60，你有几种方法求解呢？

师生共同讨论：无法用直接开平方法，可以用配方法，也可以用公式法，有什么新方法吗？ 学生回答：(x2)(x3)0 ①

x20或x30 ②

x12,x23

教师提问：从①到②，依据是什么？

学生回答，教师总结：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0.化为符号语言为：AB0A0或B0

这种利用因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。

这种降次的方法体现了化归的数学思想方法.2.试试水

用因式分解法解下列方程.（1）xx（2）x90 222222三.巩固提高 1.例题解析

(x4)(x1)6 解：原方程可化为 x3x100(x5)(x2)0

x50或x20

x15,x22.2.总结因式分解的一般步骤

（1）方程化成一元二次方程一般形式； 右化零

（2）方程左边分解成两个一次因式相乘； 左分解

（3）得到两个一元一次方程； 两方程

（4）求解。各求解 四.课堂练习

1.课本第三十页练习2.解方程：x6x110

启发：如何选择合适的方法解一元二次方程？ 化为一般形式后，左边易因式分解的用因式分解法更易，配方法和公式法适用于所有一元二次方程.五.课堂小结

通过本节课的学习你有什么收获？ 六.作业

课本第三十一页习题 第五、六题

板书设计

复习回顾 新课讲解 例题解析 学生板演 小结作业 22