小学数学中应用题教学方法的探讨

第一篇：小学数学中应用题教学方法的探讨

小学数学中应用题教学方法的探讨

【摘 要】小学数学中，应用题教学是一个很重要的方面。教师使学生在掌握基础知识的同时，发展智力，培养能力，激发学生学习数学的兴趣和求知欲，充分调动学生学习的积极性和主动性，这样才能在学习的过程中不断地领悟认知策略，才能逐步地掌握怎么学，才能使他们在走出学校之后，能够不断地有效地学习。从而达到小学数学教学的目标要求。

【关键词】小学数学；应用题教学；方法探讨

在小学数学教学中，应用题教学既是难点，也是重点，学生普遍感到应用题难学，教师感到应用题难教。在实际教学中,许多数学教师觉得不少学生做计算题还可以,可是一遇到应用题就不行了。长期以来，应用题教学用的时间很多，教师、学生花费大部分时间和精力，但是成绩总是不够理想。怎样改变这个现状呢?重要的问题在于改进应用题的教学方法。应用题就内容讲，可以说是千变万化，但不管怎么变化，总有规律可循。

一、抓审题

不会审题是学生存在的普遍现象。由于应用题叙述中数学语言与生活化语言的差别，加上数学抽象的特点，学生对理解题意往往产生困难。对此，笔者认为首先应该做到读准题，找准已知条件、问题和它们之间的内在联系。要让学生搞清楚题里说的是一件什么事？给了一些什么条件，要让我们干什么？其次，可以借用实物演示、学具操作、课件、画示意图等辅助手段帮助理解题意。使应用题的教学更生动、丰富。使数量关系更形象直观地显现出来，减缓思维坡度，为分析作好铺垫。

二、重分析

分析数量关系，其实就是找应用题里已知条件和问题之间的联系，这是教学中的难点。数量关系反映的是数量之间本质的、普遍的、客观存在的内在联系。小学阶段的数量关系都是根据四则运算的意义，并经过对同一类数量之间关系的分析比较、抽象概括得到的，比如速度×时间=路程，单价×数量=总价等。无论是什么时代，应用题都必须重视数量关系的教学，通过数量关系的教学，能使学生在解决问题的过程中形成自己解决问题的基本策略，而且通过分析应用题数量关系的训练，既培养了学生的解题能力，又初步发展了学生的分析、推理能力，为今后解更复杂的应用题打下基础，可以这样说，对数量关系的熟练掌握和灵活应用的程度决定着学生解决问题的水平和能力。在教学时要做到两点：

1、抓住题里的重点语句，即表示关系的话，它们有的在题目的条件中，有的则是题目的问题。

2、分析数量关系。教学时可以这样引导：题中哪句话是说数量之间关系的？这个关系用图来表示，该怎样画？用一个式子来表示该怎样写？

3、加强说理训练，以说促思，培养学生的思维能力。在教学中多采用小组合作学习方式，让学生都说说自己的解题思路和每一步列式的理由。使学生听、说、算、思都能有所提高。引导学生重视常规而又不墨守成规，寻求变异，从多角度，全方位考虑问题，可以培养学生思维的广阔性。在解题中鼓励学生主动地、独立地、别出心裁地提出新方法、新见解、不因循守旧，不迷信权威，善于联想、善于类比，可以培养学生思维的创造性。

解答应用题，特别是解答两三步以上计算的应用题，掌握一定的解题方法很重要。这就是在小学数学课本(试用本)第七册中概括指出的解答应用题的一般步骤，即(1)弄清题意，并找出已知条件和所求问题；(2)分析题里数量间的关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；(3)确定每一步该怎样算，列出式子，并且算出得数；(4)进行检查或验算，写出答案。

三、巧练习

1、设计练习要有一定的目的，排好题组，做到有的放矢。如引入练习要起桥梁作用；新授后的练习要起巩固作用；拓展练习要起培 2 养学生创新意识和实践能力的作用。使中等生和差生对所学知识得到巩固、提高。使优等生对所学知识得到思维拓展。

2、在设计练习时，要能充分发挥学生的主体作用，使学生个性得到充分的张扬，使学生思维的多向性、灵活性、敏捷性和创造性都能得到提高。所以练习设计要有坡度，由易到难，由简到繁，循序渐进，逐步加深。练习的设计应分模仿练习、变式练习、和拓展练习三个层次。同时习题既要有一定的量，又要避免机械重复和过量的现象。

3、设计练习题时应恰当运用口答、板演、书面练习和动手操作等多种练习相结合的形式，注意“质”与“量”的有机统一，发挥每种练习的独特作用，调动全体学生的积极性，培养学生的创新意识和实践能力，从而达到开发学生智力，使练习收到实效、高效。如既要设计一些选择、改编、补充条件或问题等基本形式的练习，又要适当设计一些开放性练习。如答案不唯一，一题多变、一题多解、多余条件、条件不够等。

4、设计的练习题尽量使学生能够独立完成，然后小组内互检互讲，教师精讲多数人的问题和题目之间的链接，揭示方法，讲规律，讲拓展。不能讲过程及答案。教师讲过了不等于学生会了，所以教师讲的关键题要让学生互相复述，达到完全巩固。

小学数学教学要求我们以唯物辩证法为指导，理论联系实际，使学生在掌握基础知识的同时，发展智力，培养能力，激发学生学习数学的兴趣和求知欲，充分调动学生学习的积极性和主动性。小学数学的研究性学习则是在教师的指导下，是学生自己发现问题，带着问题运用观察、比较、分析、判断、推理等研究手段自己获取新的知识，使问题得到解决的一种学习活动。这种学习能有效地提高学生学习的兴趣，提高学生数学逻辑推理的思维能力，提高学生解决问题的策略能力，使学生学会学习。学生对学习材料通过自己的研究性学习，才能在学习的过程中不断地领悟认知策略，才能逐步地掌握怎么学，才能使他们能够在走出学校之后，不断地有效地学习。从而达到小学数学教学的目标要求。

第二篇：一年级数学应用题教学方法谈

如何进行小学一年级数学应用题教学

龙山县石牌镇小学姓名 杨三军

作为一名小学一年级数学教师如何教好一年级数学应用题，我觉得应当在课改新理念的指引下，转变教学观念，正视学生的主体地位，重视学生的个性发展。一年级做起，把学习的主动权交给学生，把学生从被动地接受中解放出来，教给他们自行获取数学知识的方法，从而获得终身受用的可持续学习的解题本领和能力。

一、加强学生阅读训练，促进学生对题意的理解

为了帮助学生提高解题能力，教师要教会学生审题--读懂题目，弄清题意。数学语言比较简练，逻辑性强，对于处在农村的一年级来说，要读懂应用题，弄清题意，确实不易，教师授课起来很辛苦。又由于不少教师追求课堂教学效率，对阅读题目的本质缺乏认识，往往会对阅读（读题）教学忽略而过，课堂上以自己的分析代替学生的阅读实践，造成急功近利的短视。因此，为了让学生学会审题，我们要教给学生学会探究性阅读。

1、教师激发学生学习情趣引起知识需求。

学生拿到题目的时候，教师要巧妙地吊起学生的胃口，激发学生的求知欲。如：“这道题你能解决吗？想不想知道该怎么解决？谁能从题目中获取最多的信息？”等之类的诱导性语言，唤起学生的阅读期待，以便学生积极主动地参与读题。

2、教师引导学生初步阅读感知题意。

学生独立认真地阅读题目，读通题目，画出要求的问题，找出已知条件。然后在小组内讨论交流：我读懂了什么？不懂什么？再请小组派代表说说自己的阅读收获及不懂的问题。老师根据学生的回答板书归纳，引导学生精读领悟。

3、教师指导学生精心阅读弄清题意。

从教学经验来看，一年级学生解决应用题的第一障碍是文字障碍。会读其字，不解其意。因此教师可以引导学生熟读题目，找出重点词句说说、读读、议议并联系生活实际理解意思，或采用转译的方法进行理解。如：一个足球7元，一个排球9元，一个篮球5元；（1）篮球比足球贵多少钱？（2）排球比篮球便宜多少钱？“贵、便宜”这两个词学生较难理解。因此要求学生多读几遍后，采用换词法读读后交流、比较体会。如：把“贵”换成“多”，把“便宜”换成“少”再读，小组讨论、比较题意是否改变。接着用更具体的数学语言60比50多多少？40比60少多少？表示出来，最后转译为数学算式，这道题就解决了。又如：树上有一群小鸟，飞走了8只，现在树上还有9只，原来树上有几只小鸟？教学时在学生自读的基础上，引导学生抓住重点词“原来”进行讨论、交流，再引导学生联系生活实际进行理解。如，下课了，有15个同学出去了，班级里还剩6人，原来我们班有几人？（视班级人数编题，如果人数太多按小组编题）学生听完题目就会解决了，再利用迁移的方法解决原题，学生记忆深刻。

二、开发信息技术资源，借助信息技术创造可视问题情境

一年级的学生，天性好奇，好动，又爱表现。注意力很不稳定，对感兴趣的事物注意力较易集中，但时间不长。他们的思维以形象思维占主导地位，直观生动的形象容易引起他们的兴趣。教学中如果能借助信息技术，图文结合，把问题的情境再现出来，这样不仅可以激发学生主动参与，自主学习，还可以帮助学生更快、更好地理解题目。如：例题：一个足球50元，一个排球40元，付给售货员100元，应找回多少元？学生读了题目之后一般对“付给、找回”不能理解，但是如果借助信息技术把买卖的过程用动画的形式播放出来，再配上对话，学生很快就能被问题的情境吸引住。观看之前，老师抛

出问题：请同学们边看边想，你看到了什么？知道了什么？学生会认真主动地观看，看完请学生讨论后回答，他们就会明白“付给”就是拿给的意思，“找回”是阿姨还给小朋友的钱。最后转译成数学算式就简单了。信息技术把枯燥无味的数学课创造成生动有趣的动态数学课堂，大大提高了学生学习的兴趣和效率。

三、善用图表解题法，理清解题思路

学生的思维是由于遇到问题而产生的。但遇到问题时，他们往往不会想或者想不清楚，思维杂乱无章。因此要使学生学会思维，教学中要培养学生借助某些手段和方法进行有序地思考问题的习惯。利用画线段图的方法思考问题符合低年级学生的思维特点，通过画线段图可使较复杂的数量关系直观地反映在图上，对题目中的各个条件、问题建立起清晰的表象。如例题：松鼠妈妈说：“你们真能干，一共采了12个松果。”小松鼠说：“哥哥采得多，我只采了5个。”哥哥采了多少个？经过分析可以把已知的数量用线段画出来，剩下的用“？”表示。这样就把文字应用题转化成图形应用题，学生“按图索骥”就能寻找到解答应用题的方法。

图解法，除了画线段图，还可以根据题意画出简单的图形把题目中的条件和问题明确地表示出来。如例题：自行车和三轮车共有8辆，共有19个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？通过分析要求自行车和三轮车各有多少辆？就要知道它们各自的轮子共有几个？而题目中没有直接告诉我们，按照常规思路求解很困难。如果用○当轮子，先画8个小，在每个下面画2个轮子，这样一共画了16个轮子。比题目中的19个少3个。再把3个轮子一个一个（三轮车有3个轮子）地补上去，从图中可以看出自行车有5辆，三轮车有3辆。

总之解题之前，首先让学生认真读题，弄清题意。如果题目较复杂，一时弄不清条件和条件，条件和问题之间的关系，可以让学生动手画一画图，这样通过画图能帮助学生理清思路，找到解题办法，久而久之，还会养成习惯，终身受用！

四、结合生活实际，对知识进行拓展延伸

数学来源于生活，又解决着生活中的各种问题。教学中我们可以开放教学，建立大课堂教学观，充分利用现实生活中的题材，鼓励学生去经历、发现、提出生活中的数学问题。把数学学习与生活紧密联系起来，做一个生活的有心人，感受数学在日常生活中的作用，从而激发学生主动去学数学、做数学。如农村学生家里都有养鸡鸭等小动物，教学中我们可以鼓励一年级的学生仔细观察，然后编出加、减应用题再解答，（鸡有16只，鸭有7只，鸡比鸭多几只？等问题）配合知识章节的训练。这些都是学生身边的数学，他们会感到很亲切，做起来得心应手，又能运用所学的知识解决生活中的问题，有一种成功的满足感。因此他们会快乐地学着，如果老师再给学生一个展示的平台，学生会更积极主动地参与。

第三篇：小学数学应用题教学方法研究 结题报告

《小学数学应用题教学方法研究》结题报告

**镇腰庄小学 ****

 课题的提出：

小学数学教学是以开发学生的智力活动，特别是培养逻辑思维能力为主，而应用题教学是重中之重，它综合了学生的各种能力与素质，并不断的在训练中提高，在实践中加深，充分体现了数学的综合能力。随着新课程改革的不断深入，各种新的教学理念不断发展，数学教学的内越来越深，教师感觉到越来越不好教，学生也感觉到越来越不好学，特别在应用题教学中，教师费了很大的心血备课，认真的讲课，但收效并不明显，通过学生的作业和测试卷面来看，有的可以说是很不好。应用题教学的成否，直接关系着学生的学习效果与成绩的提高，关系着教师教学水平与教育质量的体现，因而怎样提高应用题教学，是很多教师都在思考的一个问题，在此我提出了《小学数学应用题教学方法研究》，旨在发现提高应用题教学水平的方法。

 课题的界定：

1、本课题的数学应用题是指小学3—6年级教学中的应用题，是指能比较有效让学生分析数学，应用数学，提高学生分析问题、解决问题的能力和发展学生智力的应用题。

2、教学方法是指能让学生学会解决问题或者让老师教会学生解决问题的方法和，不仅包含了教师在课堂教学中有利于学生教学的方法，也包含了课堂教学以外的有利于学生进步的方法，是将多种方法融合在一起的方法。

 课题研究的目标：

1、试图研究出教师的教与学生的学解决应用题的一般方法或有效办法，即通过课题的研究，让学生掌握解决应用题的方法步骤，逐步提高学生解答应用题的教学郊果，培养学生解决应用题的一般习惯，提高学生分析、理解等各方面的素质。

2、通过解决应用题，使学生在学生过程中培养分类、对比、联系、区别等思维方式，将所学的知识综合整理，区分联系，达到有机的统一。

 研究过程和步骤：

一、通过对学生进行问卷调查、教师座谈等多种形式全面了解掌握在教学应用题中存在的问题。通过问卷发现学生存在问题：

1、学生学习的态度不好：首先表现在学习应用题的兴趣不浓，爱学应用题的只占到30%，不爱学的占50%，害怕学习应用题的占25%，其次表现在对应用题不够重视，多属于被动的接受。在与座谈的教师中，相当多的教师反映，学习不能自觉的去分析应用题，一遇到有点难度的题，马上就放弃了，没有努力的去尝试。最后表现在解答应用题的习惯不好，一般的同学是在等老师讲析的时候才去做，完全把它当作是完成任务，而没有一点自觉性，也就没有了付出努力成功后的喜悦，更不会养成良好的习惯。

2、学生解答问题的方法简单：首先是在读题时，粗心大意，只读一两遍，不加分析，就认为自己会了，很随便的进行列式计算了，结果往往是错的次数多，在调查中发现，读题次数在1-2次的占40%，3-4次的占45%，5次以上的占15%，这更是验证了教师的判断。其次，没有养成小组合作的习惯，在调查中发现，能与其它同学合作解答题目的只占到30%，再次，没有养成分析应用题的习惯，调查中会认真分析数量关系的

只占到30%，同学们不知道怎样去分析，不能形成一个系统的分析过程，对稍微复杂一点的应用题就没有办法，严重影响成绩的提高。

3、学生解答题目技巧不够。一是不注意应用题的题型，在相当多的应用题中，有很多的的题目可以说就是考查一个知识点，那么其中的数量关系，或者说题目的结构都是相同的，学生只要会其中之一，便能融会贯通，举一反三，掌握相关的应用题，能熟练的进行解答。二是不能练习用多种方法解答，在课本中，有许多的题目是可以用多种方法解答的，教材中也有这方面的要求，但学生只是在要求进才会去做，在平时不注意，就不知道这样既能巩固学习的知识，又能多一种解题的方法。三是不会用到辅助手法，在有的应用题中，只通过读题，一时难以理解题意，我们可以通过画图来解决，如在行程问题中，更能明显的看出来各种数量之间的关系，还有在植树、打电话等数学广角中，更是让学生清清楚楚明明白白的答题。

二、认真分析影响教学效果的各种因素(一)学生是应用题教学中的关键因素。

1、学生学习兴趣是解决应用题的前提。数学产生于生产劳动，应用题更是解决生活中的数学问题，创设一定的情境呈现给学生。这种情境可以是一幅生活图景，也可以是图表、对话、文字叙述，甚至漫画等形式呈现数量关系。这样的教学可以使学生从自身的生活背景中感知数学，激发他们对应用题的学习的兴趣，增强学习的积极性，也有助于培养学生将实际问题转化为数学问题并加以解决的能力，逐步形成良好的应用意识。例如：商店里的衣服一件是29元，两件是49元，妈妈有185元，最多可以买多少件？还剩多少钱？对这道题目，学生可能有下面几种情况：第一种是用185直接除以29元（一件一件的买），第二种是用185

直接除以49元（两件两件的买），细心的同学就会发现，剩下的钱还可以再买一件，这就有了第三种方法，让学生得到了成功，体验了喜悦，增强了学习兴趣。

2、学生语言水平制约着对题意的理解。应用题的特点是用语言或文字叙述日常生活和生产中一件完整的事情，一般由已知条件和问题两部分组成，解题的过程就是理解语言中表达的意思，对其中的一些数量关系进行分析整理，把题目正确地解答出来。因此学生的言语水平就显得十分的重要，特别是在低年级应用题解答中更为明显。例如：“学校养了12只白兔，它是黑兔的2倍，黑兔有几只？” 在这道题目里面，学生往往是把黑兔看成了是白兔的2 倍，没有理解谁多谁少的问题。

3、学生知识储备决定了反映的速度。《数学课程标准》十分强调数学与现实生活的联系，在教学要求中增加了“使学生感受数学与现实生活的联系”，而学生在现实生活中的阅历不同，掌握知识的多少不同，对生活中的问题认识不同，在面对同一样的题目，反映自然也就不同，例如“工人要将4米长的一段木料锯成1米长的小段，要锯几次？”一般的同学想一次锯1米，4米要4次（4÷1=4），而有生活阅历的同学就知道，锯到最后只剩1米时就不用再锯了，因此只能是（4÷1－1＝3），还有旅游时买票或乘船的问题也是同样的道理，学生能理解尽可能先安排更多的人买票或乘船。

4、学生解题习惯推动解题的能力。小学生从最开始接触应用题时，就应该从认真的读题，找出已知条件和问题，分析其中的数量关系，列式解答，按正确的解题步骤解答应用题，逐步养成良好的习惯，培养良

好的推理论证的过程。时间长了，很自然的就会用一种习惯会对待应用题，联系实际，分析问题，总结各种解题方法等，对提高解决应用题是一个好的推动作用。

5、独立思考与小组合作相互促进。学生通过独立思考，借助已有的知识和经验提出了解题设想，然后组织学生进行小组讨论、交流，使学生体会到：同一个数学问题可以从不同的角度去观察，可以有不同的解决方式，相互之间受到有益的启发。这样学生既知道了不同的解题思路、策略（可以根据份总关系来思考；也可以根据分数的意义来思考；也可以根据正比例关系来思考），也进一步掌握了“转化”的数学思想方法。促使学生不仅丰富自己的理解，又有利于学习的广泛迁移。

（二）教师是解决应用题的推动因素

1、教师是课堂教学的组织者，要创设课堂氛围和教学情景。应用题来自于生活，服务于生活，学习应用题离不开生活，对于应用题的教学更要创设一种氛围，还原应用题目所述的情景，让学生开动大脑，尽可能的从实际出发，考虑问题会更直接一些，让思维在情景模式中得到锻炼。同时更有利于形成一种欢快愉乐的心理，让课堂教学更加丰富多彩。

2、教师是课堂教学的引导者，要引导教学内容和解题思路。教师调控教学内容时必须在知识的深度和广度上分层次教学，尽可能地采用多样化的教学方法和学习指导策略，让不同层次的学生都能得到成功的喜悦，让思维得到不同程度的锻炼与提高，同时对课堂的教学节奏、解题思路的引导等发挥主导作用。

3、教师是课堂教学的评价者，要注意学生个性差异的培养。教师要建立一种平等、信任、理解和相互尊重的和谐师生关系，营造民主的课堂教学环境，学生才会在此环境中大胆发表自己的见解，展示自己的个性特征，对于有困难的学生，教师要给予及时的关照与帮助，要鼓励他们主动参与数学活动，尝试用自己的方式去解决问题，发表自己的看法；教师要及时地肯定他们的点滴进步，对出现的错误要耐心地引导他们分析其产生的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。

（三）题目难易是解决应用题的决定因素。

1、要注重基础。在从低年级开始的应用题教学中，就要让学生体会到应用题中应用二字的含义，从最开始的“多少问题”（谁比谁多多少，谁比谁少多少的问题），“倍数问题”（谁是谁的几倍、几分之几倍）到后面的“行程问题”、“工程问题”还有一些特殊类型的应用题，最重要的是在开始学习的时候就要弄清楚其中内含的数量关系和解决办法，才能在较复杂的应用题中能运用自如，能在看到已知条件是能自然的就挖掘出隐藏的已知条件，以达到熟能生巧的功效。

2、要找准难点。在应用题教学的过程中，并不是每一道题目都很难，而难只是体现在某一个点上，要想正解解答，必须要弄清楚这个难点问题。例：一只长方体的玻璃缸，长8dm、宽6dm、高4dm，水深2.8dm。如果投入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？在这道题目里，学生能比较熟练的算出玻璃缸的体积、正方体铁块的体积、缸内水的体积，关键在于明白四者之间的关系：缸内水的体积+正方体铁块 的体积－玻璃缸的体积＝水溢出的体积。只要学生能想到这一步，问题也就能迎刃而解了。

三是化难为易。在解答一些应用题时，题目本身比较难，但如果将其分成若干小问题、或者分析出数量之间的某种内在联系后，就将整体的难易程度降低，以达到解决问题的目的。如：一辆长途客车3小时行了174千米。照这样的速度，它12小时可以行多少千米？一般学生的作法是先求出客车的速度，再算出路程（174÷3×12）。可有的同学就发现，后面的时间12小时刚好就是前面时间3小时的4倍，而速度不变，因此，后面的路程也就应该是前面路程的4倍（12÷3×174）。

三、研究总结应用题教学中的方法策略：

1、通过审题找准数量关系。在小学数学应用题教学中，审题是解答应用题的前提和基础。没有审清题意，就无法找准数量关系，会导致解题过程中出现疑问、错误或答非所问等情况。

例1 小红和小丽是姐妹俩，她们每个人都有一个存钱罐，妹妹小丽的存钱罐里有39元钱，姐姐小红的存钱罐里的钱比妹妹小丽存钱罐里的钱多两倍，问姐姐的存钱罐里有多少钱？

由于姐姐的存钱罐里的钱比妹妹的存钱罐里的钱多两倍，所以姐姐就比妹妹多39×2=78（元），那么姐姐就有39+78=117（元）。这道题并不难，只要审清题意，就可得出答案。但很多学生在审题过程中，误把题干中的“多两倍”看作“是两倍”，仅通过一步乘法，得出错误答案。

2、通过分析找出逻辑关系。小学数学应用题教学是培养小学生逻辑思维能力的重要渠道。在解题过程中，理清解题思路是成功解题的前提

条件，而理清解题思路的过程就是培养学生逻辑思维的过程。

例：（1）春芽鸡场星期一收160千克鸡蛋，18千克装一箱。可以装多少箱，还剩多少千克？

（2）春芽鸡场星期一收的鸡蛋，18千克装一箱。装好8箱后还剩16千克。星期一收了多少千克鸡蛋？

在这两道题目中，和学生的生活比较接近，通过学生的分析不难解答，重要的是通过这两道题目的解答，要验证一个数学关系（除数×商+余数＝被除数）。在小学数学应用题教学过程中，教师应注重对学生逻辑思维能力的培养。

3、通过辅助手段辅助巧妙解题。在小学数学应用题教学中，有些应用题的题干较为复杂、较难理解。针对这类应用题，可通过辅助解题手段解答。

例：小明和小刚分别同时从A、B两地出发相向而行，已知小明每小时走15千米，小刚每小时走13千米。经过一段时间后，两人在距离中点3千米处相遇。问两地的距离是多少？

解析“两人在距离中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知小明速度较快，小刚速度较慢，小明过了中点3千米，小刚距中点3千米，就是说小明比小刚多走的路程是（3×2）千米。因此，相遇时间=（3×2）÷（15-13）=3（小时），两地距离=（15+13）×3=84（千米）。这道应用题比较复杂，单从语言上理解较难找准数量关系，更谈不上解题思路。在这种情况下，我们可通过采用画图法解决辅助手段来解题。

4、通过变式综合加强类型训练。在小学数学应用题教学过程中，题形千变万化，但解题所用的知识均来自平常的教学。一道应用题以这种形式出现时，学生会做。稍微变换形式，学生便无所适从，不知道如何下手。其原因在于：学生对一些基础知识掌握不牢，缺乏必要的习题练习，导致变通能力差，不能灵活运用所学知识。因而要在教学中，通过变式加强训练，让学生在变化中，认识内在的联系和区别，将各种类型的应用题有机的统一。

例：动物园里有15只猴子，20只梅花鹿。问猴子比梅花鹿少几只？根据题意我们可变换出与之类似的3道题：动物园里有15只猴子，20只梅花鹿。问梅花鹿比猴子多几只？动物园里有15只猴子，20只梅花鹿。问梅花鹿比猴子多百分之几？动物园里有15只猴子，比梅花鹿少四分之一。问动物园里有多少只梅花鹿？这就是变式训练题。教师应针对学生的学情，采用“举一反三”的教学方法，加强题目的变式训练，培养学生灵活变通的解题能力。

5、综合多媒体提高教学手段。由于小学生的年龄和心理特点，他们在学习过程中，易出现注意力不集中的情况，特别是在数学课堂教学过程中，对于一些学生缺乏足够的吸引，多媒体技术的引入可较好地解决上述问题。多媒体技术在数学教学中具有较大优势，它可以播放图片、音频和视频，能够提高学生课堂学习的兴趣和热情，促进学生将注意力转移到课堂教学的内容中去。以达到辅助数学教学的目的。

四、验证理论成效，将以上的各种方法用于教学实践，在教学过程中不断摸索、完善、总结、推广，逐步形成比较完善的理论。

 研究成果及成效：

通过近半年的研究与实践，认真分析研究了小学数学应用题教学中存在的问题，从教学中各个因素以及应用题教学方法中找到了提高应用题教学的方法，使我校的数学教学成绩有了明显的提高。

1、教师会教、学生爱学。

（1）教师充分分析研究学生的特点，把应用题教学趣味地带到学生的课堂，让学生在学习过程中学习解题的方法，并得到成功的体验，调动学生学习应用题的积极性，把“怕学”变为“爱学”，主动养成学习应用题的习惯。

（2）学生在快乐中学习解答应用题的方法，探索总结归类，在寓教于乐中不断提高学习水平，使应用题教学成绩不断进步，全面改进数学教学的效果。通过课题研究，使我校的数学成绩得到有效提高，我本人所带五年级数学，由上学期的全镇第6名到这学期进步为全镇第2 名。

2、理念更新、勇于探索。

（1）通过课题研究，使我校教师进一步学习、落实、研究《小学数学课程标准》的新理念。在应用题教学中能自觉地研究过程中出现的问题，采取相对的措施，逐步改进教学中存在的问题，用更高的标准来要求自己，把自己变成一个研究型的教师，为以后教学准备了更好的理论基础。

（2）让教师在教学中去发现各种问题，带着问题去实践、研究、总结，在教学过程中养成一个良好的研究习惯，以良好的学识去影响其它教师、学生，让学生从小就有一种良好的研究习惯，敢于质疑、多思善

问，让成功不仅仅体现在最后的结果，更体现在认真研究学问的过程中。

 我们的反思

1、通过这次的课题研究，使我们认识到自己的研究理论水平还太欠缺，在过去学习理论的时候，因为内容太枯燥，没有认真去学习，到现在要用的时候，却不知道怎样去做，做些什么，本身做教学研究是份内的事情，而现在却快变成门外汉，这是一野蔷薇警示，我们以后要多做此类工作，把自己变成一个研究型的教师，用更好的理论去指导教学实践。

2、在对应用题研究时，从本意上讲，很想把有拳东西都写进去，尽可能写的全面细致，但现在看来，框架还有点粗犷、系统性还不强、研究还不到位、新颖性还不够，和理想中的要求还有距离。同时深感自己能力有限、力量单薄、可参考的文献太少，今后应该多加学习，向其它同志学习，更应向专业人员学习，争取自己的教研水平更进一步。

参考文献：《课堂设计与教学策略》（北京师范大学出版社）

《教学模式的选择与运用》（北京师范大学出版社）《新课程实践》（洛南县教育局教研室编）《小学数学新课标》

第四篇：小学数学教学方法

小学数学教学方法

小学数学教学方法讲授法

讲授法是教师运用口头语言向学生描绘情境、叙述事实、解释概念、论证原理和阐明规律的一种教学方法。谈话法

谈话法，又称回答法。它是通过师生的交谈来传播和学习知识的一种方法。其特点是教师引导学生运用已有的经验和知识回答教师提出的问题，借以获得新知识或巩固、检查已学的知识。3 讨论法

讨论法是在教师指导下，由全班或小组围绕某一种中心问题通过发表各自意见和看法，共同研讨，相互启发，集思广益地进行学习的一种方法。

4、演示法

演示法是教师把实物或实物的模象展示给学生观察，或通过示范性的实验，通过现代教学手段，使学生获得知识更新的一种教学方法。它是辅助的教学方法，经常与讲授、谈话、讨论等方法配合一起使用。

5、练习法

练习法是在教师指导下学生巩固知识和培养各种学习技能垢基本方法，也是学生学习过程中的一种主要的实践活动。

6、实验法

实验法是学生在教师的指导下，使用一定的设备和材料，通过操作，引起实验对象的某些变化，并从观察这些变化中获得新知识或验证知识的一种教学方法，它也是自然科学学科常用的一种方法。

7、实习法（或称实习作业法）

实习法是学生利用一定实习场所，参加一定实习工作，以掌握一定的技能和有关的直接知识，或验证间接知识，综合运用所学知识的一种教学方法.自主探索式学习----重点在于学生亲自体验学习过程 , 其价值与其说是学生发现结论 , 不如说更看重学生的探索过程。自主探索式学习重视让每个学生根据自己的体验 , 通过观察、实验、猜想、验证、推理等方式自由地、开放地去探究、去发现、去 “ 再创造 ”。在这个过程中 , 学生不仅获得了必要的数学知识和技能 , 还对数学知识的形成过程有所了解 , 特别是体验和学习数学的思考方法和数学的价值。

合作学习----小学数学教学中经常被采用的形式。但目前小组合作学习效益高的较少 , 有的只是流于形式。有的研究者认为 , 小组学习有独立型、竞争型、依赖型、依存型等几种类型。目前我们用得较多的是学生独立学习后相互交流 , 真正意义上的合 作一一相互依存地来研究或者共同解决一个问题还太少。

“实践活动”的教学方法----通过实践活动，培养学生的创新精神和实践能力，发掘学生潜能，让学生学有用的数学知识。

第五篇：小学数学中遇到的典型的应用题

一些不等式应用题

关于不等式应用题的一些解法，往往这类题目会包含2个变量，但是2个变量之间有一定的联系，我们可以根据自己目前学习的情况，列一元一次不等式或者二元一次不等式组，解出关于变量的范围，然后根据隐含条件确定未知数的值。比如人、物不能为小数、分数，需要取正整数，这样就求出未知数的值了。

在实际意义是一样的，例如下题，可以设A型为a间，B型为80--a间，或者A型a间，B型b间，根据a+b=80把两个变量联系一起来，我个人认为要根据自己在实际学习中和个人的能力实际情况而有所区别。

一、某水产品市场管理部门规划建造面积为2400平方米的大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28平方米，月租费为400元，每间B种类型的店面的平均面积为20平方米，月租费为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的85%。

（1）试确定A种类型店面的数量？

（2）该大棚管理部门通过了解，A种类型店面的出租率为75%，B种类型店面的出租率为90%，为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？ 解：设A种类型店面为a间，B种为80-a间 根据题意

28a+20（80-a）≥2400×85% 28a+1600-20a≥2040 8a≥440 a≥55

A型店面至少55间 设月租费为y元

y=75%a×400+90%（80-a）×360 =300a+25920-324a =25920-24a 很明显，a≥55，所以当a=55时，可以获得最大月租费为25920-24x55=24600元

二、水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到情况：

1、每亩地水面组建为500元。

2、每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；

3、每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可或1400元收益；

4、每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；

问题：

1、水产养殖的成本包括水面年租金，苗种费用和饲养费用，求每亩水面虾蟹混合养殖的年利润（利润=收益—成本）；

2、李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷款不超过25000元，用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利率为10％，试问李大爷应租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润达到36600元？ 解：

1、水面年租金=500元

苗种费用=75x4+15x20=300+300=600元 饲养费=525x4+85x20=2100+1700=3800元 成本=500+600+3800=4900元

收益1400x4+160x20=5600+3200=8800元 利润（每亩的年利润）=8800-4900=3900元

2、设租a亩水面，贷款为4900a-25000元 那么收益为8800a 成本=4900a≤25000+25000 4900a≤50000

a≤50000/4900≈10.20亩

利润=3900a-（4900a-25000）×10% 3900a-（4900a-25000）×10%=36600 3900a-490a+2500=36600 3410a=34100 所以a=10亩

贷款（4900x10-25000）=49000-25000=24000元

三、某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆?

解：设还需要B型车a辆，由题意得 20×5+15a≥300 15a≥200 a≥40/3 解得a≥13又1/3 ．

由于a是车的数量，应为正整数，所以x的最小值为14． 答：至少需要14台B型车．

四、某城市平均每天产生生活垃圾700吨，全部由甲，乙两个垃圾厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时处理垃圾45吨，需费用495元。如果规定该城市处理垃圾的费用每天不超过7370元，甲厂每天至少需要处理垃圾多少小时?

解：设甲场应至少处理垃圾a小时

550a+（700-55a）÷45×495≤7370 550a+（700-55a）×11≤7370 550a+7700-605a≤7370 330≤55a a≥6

甲场应至少处理垃圾6小时

五、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处可住；若每个房间住8人，则空出一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少名女生？

解：设有宿舍a间，则女生人数为5a+5人 根据题意 a>0(1)0<5a+5<35（2）0<5a+5-[8（a-2）]<8(3)由（2）得-5<5a<30-1

0<5a+5-8a+16<8-21<-3a<-13 13/3

六、某手机生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每部2000元出售的一款彩屏手机进行调价，并按新单价的八折优惠出售，结果每部手机仍可获得实际销售价的20%的利润（利润=销售价—成本价）.已知该款手机每部成本价是原销售单价的60%。

（1）求调整后这款彩屏手机的新单价是每部多少元？让利后的实际销售价是每部多少元？

解：手机原来的售价=2000元/部

每部手机的成本=2000×60%=1200元 设每部手机的新单价为a元 a×80%-1200=a×80%×20% 0.8a-1200=0.16a 0.64a=1200 a=1875元

让利后的实际销售价是每部1875×80%=1500元

（2）为使今年按新单价让利销售的利润不低于20万元，今年至少应销售这款彩屏手机多少部？ 20万元=200000元 设至少销售b部

利润=1500×20%=300元 根据题意

300b≥200000 b≥2000/3≈667部

至少生产这种手机667部。

七、我市某村计划建造A,B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号的沼气池的占地面积，使用农户数以及造价如下表： 型号

占地面积（平方米/个）

使用农户数（户/个）

造价（万元/个）A

B

已知可供建造的沼气池占地面积不超过365平方米，该村共有492户.（1）.满足条件的方法有几种？写出解答过程.（2）.通过计算判断哪种建造方案最省钱？ 解:(1)设建造A型沼气池 x 个，则建造B 型沼气池(20－x)个 18x+30(20-x)≥492 18x+600-30x≥492 12x≤108 x≤9

15x+20(20-x)≤365

15x+400-20x≤365 5x≥35 x≤7

解得：7≤ x ≤ 9

∵ x为整数 ∴ x = 7，8，9，∴满足条件的方案有三种．(2)设建造A型沼气池 x 个时，总费用为y万元，则： y = 2x + 3(20－x)= －x+ 60 ∵－1< 0，∴y 随x 增大而减小，当x=9 时，y的值最小，此时y= 51(万元)

∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个 解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：

方案一: 建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，总费用为:7×2 + 13×3 = 53(万元)

方案二: 建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个，总费用为:8×2 + 12×3 = 52(万元)

方案三: 建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个，总费用为:9×2 + 11×3 = 51(万元)∴方案三最省钱.八、把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本?学生有多少个? 解：设学生有a人 根据题意

3a+8-5(a-1)<3(1)3a+8-5(a-1)>0(2)由（1）

3a+8-5a+5<3 2a>10 a>5 由（2）

3a+8-5a+5>0 2a<13 a<6.5 那么a的取值范围为5

九、某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m²的集贸大棚。大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间。每间A种类型的店面的平均面积为28m²月租费为400元；每间B种类型的店面的平均面积为20m²月租费为360元。全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80％，又不能超过大棚总面积的85％。试确定有几种建造A,B两种类型店面的方案。解：设A种类型店面为a间，B种为80-a间 根据题意

28a+20（80-a）≥2400×80%(1)28a+20（80-a）≤2400×85%(2)由（1）

28a+1600-20a≥1920 8a≥320 a≥40 由（2）

28a+1600-20a≤2040 8a≤440 a≤55 40≤a≤55

方案：

A

B

……

一共是55-40+1=16种方案

十、某家具店出售桌子和椅子，单价分别为300元一张和60元一把，该家具店制定了两种优惠方案：（1）买一张桌子赠送两把椅子；（2）按总价的87.5%付款。某单位需购买5张桌子和若干把椅子（不少于10把）。如果已知要购买X把椅子，讨论该单位购买同样多的椅子时，选择哪一种方案更省钱？ 设需要买x（x≥10）把椅子，需要花费的总前数为y 第一种方案：

y=300x5+60×（x-10）=1500+60x-600=900+60x 第二种方案：

y=（300x5+60x）×87.5%=1312.5+52.5x 若两种方案花钱数相等时 900+60x=1312.5+52.5x 7.5x=412.5 x=55 当买55把椅子时，两种方案花钱数相等 大于55把时，选择第二种方案 小于55把时，选择第一种方案

十一、某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：

甲

乙 A

20G 40G B

30G 20G（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；

（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？

解：（1）设生产A型饮料需要x瓶，则B型饮料需要100-x瓶 根据题意

20x+30（100-x）≤2800（1）40x+20（100-x）≤2800（2）由（1）

20x+3000-30x≤2800 10x≥200 x≥20 由（2）

40x+2000-20x≤2800 20x≤800 x≤40

所以x的取值范围为20≤x≤40 因此方案有

生产

A

B

……

一共是40-20+1=21种方案

（2）y=2.6x+2.8×（100-x）=2.6x+280-2.8x=280-0.2x 此时y为一次函数，因为20≤x≤40

那么当x=40时，成本最低，此时成本y=272元

小学中经常遇到的行程问题

行程问题是小学数学中经常遇到的，解决起来往往有些困难，因为还没有学习方程，所以有些题目很不好理解，利用单位1解决问题，这里举一些例子，由浅入深，结合方程的解法，同学们自己比较一下。我们先来了解一下，关于行程问题的公式：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

基本公式：路程＝速度×时间；

路程÷时间＝速度；

路程÷速度＝时间

关键问题：确定行程过程中的位置

相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程

相遇路程÷速度和=相遇时间

相遇路程÷相遇时间= 速度和

相遇问题：（直线）：甲的路程+乙的路程=总路程

相遇问题：（环形）：甲的路程 +乙的路程=环形周长

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

追及时间×速度差＝路程差

追及问题：（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间

追及问题：（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长

流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间

顺水速度=船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

流水速度＋流水速度÷2 水速：流水速度－流水速度÷2

关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

列车过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。我们由浅入深看一些题目：

一、相遇问题

1、一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七分之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七。甲乙两地相距多少千米？ 解：

把全部路程看作单位1 那么客车到达终点行了全程，也就是单位1 当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七 相同的时间，路程比就是速度比

由此我们可以知道客车货车的速度比=1：7/8=8：7 所以客车行的路程是货车的8/7倍 所以当客车行了全程的4/7时

货车行了全程的（4/7）/（8/7）=1/2 那么甲乙两地相距180/（1/2）=360千米

1/2就是180千米的对应分率

分析：此题中运用了单位1，用到了比例问题，我们要熟练掌握比例，对于路程、速度和时间之间的关系，一定要清楚，在速度或时间一定时，路程都和另外一个量成正比例，当路程一定时，速度和时间成反比例，这个是基本常识。

2、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前行，当甲车到达B地时，乙车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:2。求甲乙两车的速度。

解：将全部路程看作单位1 速度比=路程比=3：2，也就是说乙行的路程是甲的2/3 那么甲到达B地时，行了全部路程，乙行了1×2/3=2/3 此时距离终点A还有1-2/3=1/3 那么全程=60/（1/3）=180千米 速度和=180/2=90千米/小时

甲的速度=90×3/（3+2）=54千米/小时 乙的速度=90-54=36千米/小时

3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城，每小时行8千米，当甲车距A城260千米时，乙车距B地320千米。A、B两成之间的路程有多少千米？ 解：这个问题可以看作相遇问题，因为是相向而行 乙车还要行驶320/8=4小时

4个小时甲车行驶全程的10%×4=40%=2/5 那么甲车还要行驶全程的2/5，也就是剩下的260千米 AB距离=260/（2/5）=650千米

4、一客车和一货车同时从甲乙两地相对开出,经过3小时相遇,相遇后仍以原速继续行驶，客车行驶2小时到达乙地，此时货车距离甲地150千米，求甲乙两地距离？

解：解此题的关键是把甲乙看成一个整体，问题就迎刃而解了。甲乙每小时行驶全程的1/3 那么2小时行驶2x1/3=2/3 甲乙相距=150/（1-2/3）=450千米

5、甲乙两车同时分别从两地相对开出，5小时正好行了全程的2/3，甲乙两车的速度比是5：3。余下的路程由乙车单独走完，还要多少小时？ 解：将全部路程看作单位1 那么每小时甲乙行驶全程的（2/3）/5=2/15 乙车的速度=（2/15）×（3/8）=1/20 乙5小时行驶1/20×5=1/4 还剩下1-1/4=3/4没有行驶

那么乙还要（3/4）/（1/20）=15个小时到达终点

分析：此题和上一例题有异曲同工之处，都是把甲乙每小时行的路程看作一个整体，然后根据比例分别求出甲乙的速度（用份数表示），从而解决问题，关键之处就是把甲乙看作一个整体，这和工作问题，甲乙的工作效率和是一个道理。

6、甲，乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶4.5小时到达西站后没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米和乙车相遇。甲车每小时行多少千米？

解：设甲车速度为a小时/千米。则乙的速度为a-12千米/小时 甲车比乙车多行31.5x2=63千米 用的时间=63/12=5.25小时 所以

（a-12）×5.25+31.5=4.5a 0.75a=31.5 a=42千米/小时 或者

a（5.25-4.5）=31.5 a=42千米/小时

算术法：

相遇时甲比乙多行了31.5×2=63（千米）相遇时走了 63/12=5.25小时

走31.5千米的路程用了 5.25-4.5=0.75小时 甲每小时行31.5/0.75=42千米

7、从甲地去乙地，如车速比原来提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，再将车速比原来提高1/3，就比预定时间提前30分钟赶到。甲，乙两地相距多少千米？ 解：20分钟=1/3小时。30分钟=1/2小时 因为路程一定，时间和速度成反比

那么原来的车速和提高1/9后的车速之比为1：（1+1/9）=9：10 那么时间比为10：9 将原来的时间看作单位1，那么提速1/9后的时间为1x9/10=9/10 所以原来需要的时间为（1/3）/（1-9/10）=10/3小时

第二次行驶完72千米后，原来的速度和提高后的速度比为1：（1+1/3）=3：4 那么时间比为4：3 将行驶完72千米后的时间看作单位1，那么这一段用的时间为（1/2）/（1-3/4）=2小时

那么原来行驶72千米用的时间=10/3-2=4/3小时 原来的速度=72/（4/3）=54千米/小时 甲乙两地相距=54×10/3=180千米

8、清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙车因故停在中途C地，甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60千米的速度向A地开去。问：乙车几点才能到达A地？

解：原来的相遇时间=10-4=6小时 乙的速度=60千米/小时

BC距离=60×2.5=150千米（从凌晨4时到6时30分是2.5小时）原来相遇时乙应该走的距离=60×6=360千米 甲比原来夺走360-150-210千米

那么甲行驶6-2.5=3.5小时应该行驶的距离=350-210=140千米 所以甲的速度=140/3.5=40千米/小时 那么AB距离=（40+60）×6=600千米 AC距离=600-150=450千米 实际相遇的时间=450/40=11.25小时=11小时15分钟 那么相遇时的时间是15小时15分

乙到达A地需要的时间=450/60=7.5小时=7小时30分

所以乙到达A地时间为15小时15分+7小时30分=22时45分

9、AB两地相距60千米，甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B地，甲乙两车的速度比是2:5，求乙车的速度。

如果甲不比乙车先行1小时，那么乙车要比甲车早1+30/60=1.5小时到达B地 甲乙的速度比=2：5 那么他们用的时间比为5：2 将甲用的时间看作单位1 那么乙用的时间是甲的2/5 甲比乙多用1-2/5=3/5 所以甲行完全程用的时间为1.5/（3/5）=2.5小时 乙行完全程用的时间=2.5-1.5=1小时 那么乙车的速度=60/1=60千米/小时

10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处相遇。若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小刚和小明两人的家相距多少米？

解：

两次相遇小明走的路程一样，那么两次相遇小明的速度比=70：90=7：9 时间比就是速度比的反比，所以两次相遇的时间比为9：7 将第一次相遇的时间看做单位1 那么第二次相遇小明用的时间为7/9 第一次比第二次多用的时间为1-7/9=2/9 那么第一次用的时间为4/（2/9）=18分钟

所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米

方程：设第一次相遇时间为t分 90×[（52t-52x4）/52]=70a t=18分钟（过程从略）

所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米

11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全程的80%，问货车行完全程用多少小时 ？ 解：将全部路程看作单位1 那么相距196千米时，客车行驶了全程的1×2/3=2/3，距离目的地还有1-2/3=1/3 货车行驶了全程的1×80%=4/5 那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420千米 客车和货车的速度比=2/3：4/5=5：6 客车和货车的速度和=420/5=84千米/小时 货车的速度=84×6/11=504/11千米/小时

那么货车行完全程需要420/（504/11）=55/6小时=9小时10分钟 客货两车分别从甲乙两地相对开出，相遇后两车继续到达对方终点后，两车立即返回，又在途中相遇，两次相遇的地点相距3000米。已知货车的速度是客车速度三分之二，求甲乙两地距离是多少米？（要算式和解题过程）

解：将全部的路程看作单位1 货车和客车的速度比=2：3 第一次相遇货车行了全程的2/5，客车行了全程的3/5 因为是2次相遇，所以两车走的路程一共是3倍甲乙两地距离，也就是1x3=3 货车行了整个过程的3x2/5=6/5 因此第二次相遇是在距离甲地6/5-1=1/5处 第一次相遇是在距离甲地3/5处 那么两处相距3/5-1/5=2/5 甲乙两地距离3000/（2/5）=7500米

12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，这时甲车与乙车所行的路程之比是2：3.求甲乙两车的速度各是多少？

设甲的速度为2a千米/小时，乙的速度为3a千米/小时 总路程=（2a+3a）×3=15a千米 甲行的路程=15a×2/5=6a 15a/2-6a=18 15a-12a=36 3a=36 a=12 甲的速度=12x2=24千米/小时 乙的速度=12x3=36千米/小时 或者

将全部路程看作单位1 那么相遇时甲行了2/5 乙行了1-2/5=3/5 全程=（1/2-2/5）=1/10 全程=18/（1/10）=180千米

甲乙的速度和=180/3=60千米/小时 甲的速度=60x2/5=24千米/小时

乙的速度=60-24=36千米/小时

13、甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，甲与乙的速度比是4：5。两车第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，两车分别到达BA两地后立即返回。这样，第二次相遇点距第一次相遇点48KM，AB两地相距多少千米？ 解： 将全部的路程看作单位1 因为时间一样，路程比就是速度比

所以相遇时，甲行了全程的1x4/（5+4）=4/9 乙行了1-4/9=5/9 此时甲乙提速，速度比由4：5变为4（1+1/4）：5（1+1/3）=5：10/3=3:4 甲乙再次相遇路程和是两倍的AB距离，也就是2 此时第二次相遇，乙行了全程的2x4/（3+4）=8/7 第二次相遇点的距离占全部路程的8/7-4/9=44/63 距离第一次相遇点44/63-4/9=16/63

AB距离=48/（16/63）=189千米

14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同时出发。甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。问AB两地距离、解：乙丙的速度差=60-50=10米/分

那么甲乙相遇时，距离丙的距离=（70+50）×15=1800米 那么甲乙相遇时用的时间=1800/10=180分钟 那么AB距离=（70+60）×180=23400米

15、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有500米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。解：下山速度是上山的2倍，那就假设一下，把下山路也看做上山路，长度为上山路的1/2 速度都是上山的速度。

那么，原来上山的路程，占总路程的2/3，下山路程占总路程的1/3

甲返回山脚，乙一共行了全程的： 2/3+1/3×1/2=5/6 乙的速度是甲的5/6

甲到达山顶，即行了全程的2/3，乙应该行了全程的：2/3×5/6=5/9 实际上乙行了全程的2/3减去500米 所以全程为：500÷（2/3-5/9）=4500米 从山脚到山顶的距离为：4500×2/3=3000米

16、汽车从A地到B地，如果速度比预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多1/8，如果速度比预定的增加1/3，到达时间将比预定的早1小时。求A,B两地间的路程？

解：将原来的时间看到单位1 那么每小时慢5千米，用的时间是1×（1+1/8）=9/8 那么实际用的时间和原来的时间之比为9/8：1=9：8 那么原来速度和实际速度之比为8：9 那么实际速度是原来速度的8/9 那么原来的速度=5/（1-8/9）=45千米/小时 第二次速度增加1/3，实际速度与原来的速度之比为为（1+1/3）：1=4：3 实际用的时间和原来的时间之比为3：4 那么实际用的时间是原来的3/4 原来所用的时间为1/（1-3/4）=4小时 AB距离=45×4=180千米

简析：此题反复利用路程一定，时间和速度成反比，这一点在学习中要注意。

17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？ 解：我们拿从东站出来的车考虑

在整个相遇过程中，两车一共走了3个全程 第一次相遇时，从东站出来的车走了45千米 那么整个过程走了45×3=135千米

此时这辆车走了1.5倍的全程还多9千米 所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84千米

将全部路程看作单位1，第二次相遇时这辆车走了1又1/2还多9千米

18、一只小船顺流航行56千米，逆流航行20千米用12小时；第二次顺流航行40千米，逆流航行28千米也用时12小时，求水流速度？ 解：

顺水速度=船速+水流速度 逆水速度=船速-水流速度

水流速度=（顺水速度-逆水速度）/2 船速=（顺水速度+逆水速度）/2

设顺流速度为a千米/小时，逆水速度=b千米/小时 56/a+20/b=40/a+28/b 16/a=8/b a：b=2：1 a=2b 那么

根据题意

56/2b+20/b=12 56+40=24b 24b=96 b=4千米/小时

a=4×2=8千米/小时

水流速度=（8-4）/2=2千米/小时

算术法： 根据题意

第一次：顺流行驶56千米，逆水20千米 第二次：顺流行驶40千米，逆水28千米

那么顺流行驶16千米和逆水8千米用的时间一样，及顺水速度和逆水速度之比为16：8=2：1 第一次逆水20千米用的时间相当于顺水行驶20×2=40千米的时间 那么顺水速度=（56+40）/12=8千米/小时 逆水速度=8/2=4千米/小时

水流速度=（8-4）/2=2千米/小时

二、追及问题

1、已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时，两船同时到达目的地A，问两地距离？ 解：距离差=20×1=20千米 速度差24-20=4千米/小时 甲追上乙需要20÷4=5小时 两地距离=24×5=120千米

2、某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1米，队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用10秒,求队伍的长度是多少米?、解：速度差=2.5-1=1.5米/秒 速度和=1+2.5=3.5米/秒 设队伍长度为a米 a/1.5+a/3.5=10 5a=3.5x1.5x10 a=10.5米

或者这样做

第一次追及问题，第二次相遇问题 速度比=1.5：3.5=3：7 我们知道，路程一样，速度比=时间的反比 因此整个过程，追及用的时间=10x7/10=7秒

那么队伍长度=1.5x7=10.5米

3、在一个圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过8分钟两人再次相遇,甲、乙环形一周各需多少分钟？ 解：解：

将全部路程看作单位1 第一次相遇后，再一次相遇，行驶的路程是1 那么相遇时间=4+8=12分钟 甲乙的速度和=1/12 也就是每分钟甲乙行驶全程的1/12 6分钟行驶全程的1/12×6=1/2 也就是说AB的距离是1/2 那么6+4=10分钟甲到达B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20 甲环形一周需要1/（1/20）=20分钟 乙的速度=1/12-1/20=1/30 乙行驶全程需要1/（1/30）=30分钟

4、甲乙两人环湖同向竞走,环湖一周是400米,乙每分钟走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，问甲什么时候追上乙？ 解：设甲用a分钟追上乙（80×5/4-80）×a=400（100-80）×a=400 a=400/20 a=20分 算术法

速度差=80×（5/4-1）=20米/分 追及时间=400/20=20分 甲用20分钟追上乙

5、猎犬发现距它8米远的地方有只奔跑的野兔，立刻追。猎犬跑6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的时间猎犬只能奔跑3步。猎犬至少要跑多少米才能追上野兔？

解：将猎犬跑一步的距离看作单位1（或者设一步的距离为a米）那么野兔跑一步的距离为6/11 根据题意

兔子跑4步的距离=4×6/11=24/11 猎犬跑3步的距离=1×3=3 那么猎犬和野兔的速度比=3：24/11=33：24=11：8 兔子在相同时间内跑的距离是猎犬的8/11 所以猎犬追上野兔要多跑的距离=8/（1-8/11）=88/3米

6、一只野兔跑出85步猎犬才开始追它，兔子跑8步的路程猎犬只需跑3步，猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。问猎犬至少要跑多少步才能追上兔子？ 解：将猎犬一步的距离看作单位1（或者设猎犬一步距离为a）那么兔子一步的距离=3/8（3/8a）

二者的速度速度比=1×4：3/8×9=4：27/8=32：27 兔子在相同时间内跑的距离是猎犬的27/32 那么猎犬需要跑(85×3/8)/（1-27/32）= 204步

7、AC两站相距10千米,AB两站相距2千米,甲车从A站,乙车从B站同时向C站开去,当甲车到达C站时，乙车距C站还有0.5千米，甲车是在离C站多远的地方追上乙的？

解：将全部路程看作单位1 那么甲到达C站时，行驶10千米 乙行驶10-2-0.5=7.5千米

那么甲乙两车的速度比=10：7.5=4：3 在相同时间内，乙行驶的距离是甲的3/4 那么甲车行驶2/（1-3/4）=2/（1/4)=8千米

那么甲是在离C站10-8=2千米的地方追上乙的。

三、特殊的追及问题

我们在日常做题的过程中，经常会遇到求几点几分时针和分针所称的角度，还有时针和分针所成多少度角时，是几点几分。解此类题，似乎与追及问题格格不入，但是我们恰恰可以看作是追及问题的一个变形。首先我们对钟面熟悉以后，知道钟面被分作60个小格，每个小格所对的圆心角的度数=360/60=6度，分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格，由此我们在解题之前就知道了这些隐含条件，就可以把钟面看作是环形跑道，时针速度慢，分针速度快，在解题之前，大致画一个图形，就知道大概角度，然后判断路程差为多少，因为速度差我们已经知道了，是1-1/12=11/12格，将来我们学会了相对运动，就可以把时针看作参照物，分针的速度变为11/12格/分，问题变得更加简单。看下面的例题： 1、7点与8点之间,时针与分针成30度角的时刻? 钟面一共60格，一定要对钟面熟悉 每一格对应的度数360/60=5度

分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格 此时我们就把分针和时针的运动看作追及问题

分针的速度快，是1格/分，时针的速度慢是1/12格/分 速度差=1-1/12=11/12格/分

此时如果看作相对运动，时针静止，那么分针的速度就是11/12格/分

此题中，7点时，分针和时针相差35格，题目要求成30度角及相差30/6=5格时钟表的时间，那就是分针以11/12格/分的速度追赶时针，相差5格，也就是路程上追上了30格，求的就是分针以11/12格/分走30格的时间，第二次成30度就是分针超过时针5格即分针以11/12格/分的速度走的35+5=40格的时间 算术式如下：

第一次成30度时，时针和分针的路程差=60×30/360=5格 7点时时针和分针的距离是35格

第一次（35-5）/（1-1/12）=30x12/11=360/11分≈32分44秒 第二次（35+5）/（1-1/12）=40x12/11=480/11分≈43分38秒

方程：举一例

设a分钟分针和时针第一次成30度 分针a分走a格，时针a分走a/12格 开始时的路程差=35格 那么

a/12+35=a+5 a=360/11分≈32分44秒 第二次成30度的时候 分针走a格

时针走a/12格，加上开始的路程差=35格 那么此时时针的位置是a/12+35格 分针此时超过时针5格 那么

a-5=a/12+35 a=480/11分≈43分38秒

也就是在7点32分44秒和7点43分38秒的时候分针和时针成30度

2、张华出去办事两个多小时，出门时他看了看钟，到家时又看了看钟，发现时针和分针互相换了位置，他离家多长时间？

此问题关键在于求具体多少分钟，因为肯定是超过2个小时

我们把表盘看作一个环形路，那么每一格就是距离单位，一圈是60格 分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格 钟表按照顺时针转动，此题出门时时针在分针之后 时针和分针的路程差不变 整个过程分针走的路程是2x60+60-路程差，时针走的路程是路程差 所以时针和分针走过的路程和=3x60=180格 二者的速度和=1+1/12=13/12格/分

那么经过的时间=180/（13/12）=2160/13分=36/13小时≈2小时46分 离家时间为2小时46分

或者列方程

我们设时针和分针之间距离为a格（120+60-a）/1=a/（1/12）13a=180 a=180/13格

那么离家时间=（180/13）/（1/12）=2160/13分=36/13小时≈2小时46分

小学比较典型的工程问题

工程问题是我们在小学学习过程中必不可少的，这里通过实践总结出了一些工程实际问题和变形的工程问题，解此类问题的关键在于设好单位1，其次要把握住最基本的运算公式工程总量=工作效率×工作时间，万变不离其宗。

1、王师傅加工一批零件，计划在六月份每天都能超额完成当天任务的15%，后来因机器维修，最后的5天每天只完成当天任务的八成，就这样，六月份共超额加工660个零件，王师傅原来的任务是每天加工多少个零件？ 解：首先我们知道6月有30天 将额定每天完成的任务看作单位1 每天超额15%，一共工作30-5=25（天）

每天超额完成15%，25天共超额 25×15%＝375% 每天完成八成，5天少完成 5×(1-80%)=100% 这个月共超额完成 375%-100%=275% 660÷275%=240(个）

2、一堆饲料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃几天

解：将这堆饲料的总量看作单位1 那么

3牛和5羊可以吃15天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/15 5牛和6羊可以吃10天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/10 我们此时把3牛5羊看作一个整体，5牛6羊看作1个整体，每天吃饲料的 1/15+1/10=1/6 那么这堆饲料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天

分析：此题看作是和工程问题无关，可是当我们把3牛和5羊看作1个整体，5牛和6羊看作1个整体以后，就相当于把题目变为甲乙完成1项工程，甲单独做需要15天，乙单独做需要10天，甲乙合作需要多少天？是不是这个意思。如果我们把此题认为8牛和11羊吃25天吃的是2倍的饲料，然后除以2，得出12.5天，就不对了，这一点要在学习中注意。

3、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比独做时提高了十分之一，乙的工作效率比独做时提高了五分之一，甲、乙两人合作4小时，完成全部工作的五分之二。第二天乙又独做了4小时，还剩下这件工作的三十分之十三没完成。这项工作甲独做需要几个小时才能完成？

解：乙独做4小时完成全部工程的1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6 乙的工作效率=（1/6）/4==1/24 乙独做需要1/（1/24）=24小时

乙工作效率提高1/5后为（1/24）x（1+1/5）=1/20 甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10 那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20 甲原来的工作效率=（1/20）/（1+1/10）=1/22 甲单独做需要1/（1/22）=22小时

4、一项工程A、B两人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接着做7天，可以完成，B单独完成这项工程需要多少天？ AB合作，每天可以完成1/6 A先做3天，B再做7天，可以看做AB合作3天，B再单独做7-3=4天 AB合作3天，可以完成：1/6×3=1/2 B单独做4天，完成了1-1/2=1/2 B单独做，每天完成：1/2÷4=1/8 B单独完成，需要：1÷1/8=8天

5、某工程，由甲乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙两队承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙两队承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？

甲乙工效和：1/(2又5分之2)=5/12 乙丙工效和：1/(3又4分之3）=4/15 甲丙工效和：1/(2又7分之6）=7/20 甲乙丙工效和：(5/12+4/15+7/20)/2=31/60 甲工效：31/60-4/15=1/4 乙工效：31/60-7/20=1/6 丙工效：31/60-5/12=1/10 能在一星期内完成的为甲和乙

甲乙每天工程款：1800/（2又5分之2）=750元 乙丙每天工程款：1500/（3又4分之3）=400元 甲丙每天工程款：1600/（2又7分之6）=560元 甲乙丙每天工程款：（750+400+560）/2=855元 甲每天工程款：855-400=455元 乙每天工程款：855-560=295元 甲总费用：455×4=1820元 乙总费用：295×6=1770元 所以应将工程承包给乙。

6、甲、乙二人同时开始加工一批零件，加单独做要20小时，乙单独做30小时。现在两人合作，工作了15小时后完成任务。已知甲休息了4小时，则乙休息了几小时？

总的工作量为单位1 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=1/30 甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12 甲休息4小时，那么甲工作15-4=11小时，甲完成1/20×11=11/20 乙完成1-11/20=9/20 完成这些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2小时

那么乙休息15-27/2=3/2小时=1.5小时

7、一间教室如果让甲打扫需要10分钟，乙打扫需要12分钟。丙打扫需要15分钟。有同样的两间教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同时开始打扫，丙先帮助甲打扫，中途又去帮助乙打扫教室，最后两个教室同时打扫完，丙帮助甲打扫了多长时间？（中途丙去乙教室的时间不计）将工作量看作单位1 甲的工作效率=1/10 乙的工作效率=1/12 丙的工作效率=1/15 甲乙丙合干完成1间教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分钟 设丙帮甲a分钟

a分钟甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6 那么剩下的1-a/6需要甲独自完成 乙a分钟完成a/12 那么剩下的1-a/12需要乙丙完成

需要的时间=（1-a/12）/（1/12+1/15）=（1-a/12）/（3/20）根据题意

（a/6）/（1/10）=（1-a/12）/（3/20）10a/6=20/3-5/9a 30a=120-10a 40a=120 a=3分钟

丙帮乙3分钟

算术法解

两间教室都是一样的工作量，那么实际就是甲乙丙三人共同完成，上面已经解出完成1间需要4分钟，那么完成2间需要4×2=8分钟，甲8分钟完成1/10×8=4/5，那么丙需要完成1-4/5=1/5 所以丙帮甲（1/5）/（1/15）=3分钟 那么丙帮乙8-3=5分钟

8、装配自行车3个工人2小时装配车架10个，4个工人3小时装配车轮21个。现有工人244人，为使车架和车轮装配成整车出厂怎安排244名工人最合适？ 解：

装配车架的工作效率=10/（3×2）=5/3个/人×小时 装配车轮的工作效率=21/（4×3）=7/4个/人×小时 设a个工人装配车架，则有244-a人装配车轮 a×5/3：（244-a）×7/4=1：2 427-7/4a=10a/3 40a/12+21/12a=427 61a/12=427 a=84人

装配车架84人

装配车轮244-84=160人

简析：我们要知道在实际生活中，一辆自行车需要一个车架和二个车轮，那么车架和车轮比为1：2，可以称为隐含条件，大家要注意。

9、光明村计划修一条公路，有甲、乙两个工程队共同承包，甲工程队先修完公路的1/2后，乙工程队再接着修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程队每天比甲工程队多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程队共修路多少天？

解：因为乙的工作效率高于甲，所以前20天里乙没有修 实际乙工作了120/8=15天

此题问题不难，但是关键在于处理前20天内是否有乙工作，如果乙在前20天工作，那么工期肯定少于40天，所以借助画图会更好的理解。

10、张师傅计划加工一批零件，如果每小时比计划少加工2个，那么所用的时间是原来的3分之4；如果每小时比计划多加工10个，那么所用的时间比原来少1小时，这批零件共有多少个？

解：张师傅比计划少加工2个，那么所用的时间是原来的3分之4，也就是原计划用的时间和实际用的时间之比为1：4/3=3：4 那么原来的工作效率和实际的工作效率之比为4：3 实际工作效率是原来的3/4 那么原计划每小时加工2/（1-3/4）=8个

如果每小时多加工10个，那么实际每小时加工8+10=18个 原计划的工作效率和实际工作效率之比=8：18=4：9 那么原计划与实际所用时间之比为9：4 实际用的时间是原来的4/9 那么原计划用的时间=1/（1-4/9）=9/5=1.8小时 那么这批零件有8×1.8=14.4个

11、一项工程，乙先独做4天，继而甲、丙合作6天，剩下工程甲又独做9天才全部完成。已知乙完成的是甲的三分之一，丙完成的是乙的2倍。如果甲乙丙单独做，各需多少天？

甲工作了6+9=15天，乙工作了4天。丙工作了6天

乙完成的是甲的1/3，也就是相当于甲工作了15×1/3=5天 丙完成的是乙的2倍，相当于甲工作了5×2=10天 所以甲完成全部工作需要15+5+10=30天 甲15天完成全部的1/30×15=1/2 那么乙4天完成全部的1/2×1/3=1/6 乙完成全部需要4/（1/6）=24天 丙6天完成全部的1/6×2=1/3 丙完成全部需要6/（1/3）=18天

12、甲、乙两人每小时打印文件的页数比是3:4，两人同时和打一份文件，和打一段时间后，乙因故停打，余下的文件甲单独打完。这时甲、乙各自打印的文件页数之比是11:10。甲单独打印的页数和两人合作时共打印的页数比是多少？ 解：将全部文件的页数看作单位1 那么结束后，甲乙打印的页数分别为 甲打印了1×11/（11+10）=11/21 乙打印了1-11/21=10/21 因为甲乙每小时打印的页数比为3：4 也就是说每小时甲打印的页数是乙打印的3/4 那么乙打印了10/21这段时间内，甲打印了10/21×3/4=5/14 甲单独打印的页数=11/21-5/14=22/42-15/42=1/6 甲乙合作打印的页数=1-1/6=5/6 那么甲单独打印的页数和甲乙合作共打印的页数之比为1/6：5/6=1：5

13、一项工程,甲、乙两队合作,需12天完成;乙、丙两队合作,需15天合作.现在甲、乙、丙合作4天后,余下的工程再由乙独做16天完成.问乙单独完成这项工程需要多少天? 解：将全部工程看作单位1 根据题意

整个工程甲乙合作4天，乙丙合作4天，乙独做16-4=12天 要把整个过程拆开

所以乙独做的部分是1-1/12×4-1/15×4=1-1/3-4/15=2/3-4/15=6/15=2/5 乙单独完成需要12/（2/5）=30天

14、例如：一项工程，乙队先独做6天，然后甲、丙两队合作8天，剩下的工程由甲队又单独做了12天才完成。已知乙队完成的是甲队的1/3，丙队完成的是乙队完成的2倍，如果甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？ 解：此处我们把甲完成的工程量看作单位1 那么乙完成1×1/3=1/3 丙完成1/3×2=2/3 全部工程的数量为1+1/3+2/3=2 甲一共做了8+12=20天 乙一共做了6天 丙一共做了8天 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=（1/3）/6=1/18 丙的工作效率=（2/3）/8=1/12 甲单独做需要2/（1/20）=40天 乙单独做需要2/（1/18）=36天 丙单独做需要2/（1/12）=24天 附：解答应用题的一点心得：

1、读懂题意，把不相关的语言精简掉，现在应用题考得不是数学，而是语文的阅读能力，还要有转化问题的能力。

2、巧设未知数。一道应用题中可以把几个量都设为未知数，但是哪一个更为简便，要仔细斟酌。例如：甲乙二人速度之比为3：2，在求甲乙的速度时，我们可以设甲的速度为a千米/小时，乙为b千米/小时，这就是二元一次方程组；或者设甲的速度为a千米/小时，则乙为2/3a千米/小时，这样虽然是一元一次方程，但是有分数；或者设甲的速度为3a千米/小时，乙的速度为2a千米/小时 可见最后的设法最好。根据不同的题目设出未知数。

3、根据等量关系列出方程

4、解方程。此时我们可能会遇到二个未知数，而只能列出一个方程，我们就要看看是不是还有隐含条件，比如人数、物体的个数，都要是正整数，这就是隐含条件，尤其在不等式方程中要用到。还有就是分式方程要验根

5、写清单位和答话。这一步往往被忽视，其实这一步恰恰反映出你是否读懂了题目，是否知道题目要求的是什么，在考试中是要站分数的。

6、勤加练习，熟能生巧。触类旁通，举一反三。

这是我个人对接应用题的一点心得，希望对你有所帮助。一点心得

此问题多见于平日练习之中，比较有代表性，总结给大家，希望有所帮助，时间紧迫，难免有纰漏之处，还望批评指正。