第24章解直角三角形教案

第一篇：第24章解直角三角形教案

第24章解直角三角形

24.1 测

量

教学目标

1、在探索基础上掌握测量。

2、掌握利用相似三角形的知识 教学重难点

重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。教学过程

当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．

图24.1.1

如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．

如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试

如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？

图24.1.2

实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容． 练习

1． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．

2． 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．1 1． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）

2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3． 如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 小结与作业: 利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边 作业:1.习题24.1；

2.练习册同步 教后反思:

（第1题）（第3题）24.2直角三角形的性质

教学目标：

1.复习“直角三角形的两个锐角互余”定理和“勾股定理”。

2.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

3.巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。教学重点与难点：

重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

难点 ：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。教学过程：

一、复习引入

（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?

①直角三角形的两个锐角互余。

②勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。

二、新授：

如图24.2.1，画Rt△ABC,并画出斜边AB上的中线CD,量一量，看看CD与AB有什么关系？ 发现：CD恰好是 AB的一半。

下面让我们用演绎推理证明这一猜想。

提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）应用定理：

例1：已知：如图24.2.3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=300。

求证：BC1AB

2∠A=30°，求BC，CD和DE的长

证明：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）

推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。例2：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC的中点。求证：DE=DF 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）

A练习变式： DO1、已知：在△ABC中，BE、CD分别是边AC、AB上的高，F是BC的中点。E求证：FD=FE 练习引申：（1）若连接DE，能得出什么结论？ BFC（2）若O是DE的中点，则DO与DE存在什么结论吗？

上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？

D2、已知：∠ABC=∠ADC=90º，E是AC中点。你能得到什么结论？

三、小结：通过今天的学习有哪些收获？

E1.直角三角形的两个锐角互余。AC2.勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。

B3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4.30°角所对的直角边为斜边的一半。

四、作业：1.习题24.2

2.练习册同步

五、教学反思：

24.3锐角三角函数

24.3.1锐角三角函数（1）

教学目标

1.正弦、余弦、正切、余切的定义。

2.正弦、余弦、正切、余切的应用 教学重难点

重点：正弦、余弦、正切、余切。

难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。教学过程

一、复习引入：

在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即

△ABC∽△A′B′C′．

1的比例，就一定有 500BCAC1，BCAC5001就是它们的相似比． 500BCBC当然也有． ACAC按我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图24.3.1）．

图24.3.1

前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值． 思考

一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

图24.3.2

观察图24.3.2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知 Rt△AB1C1∽Rt△_________∽Rt△________，所以B1C1＝_________＝____________． AC1可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的． 我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．

二、新授

因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即 sinA＝A的对边斜边，cosA＝A的邻边斜边，tanA＝A的对边A的邻边，cotA＝A的邻边A的对边．

分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．显然，锐角三角函数值都是正实数，并且 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．

根据三角函数的定义，我们还可得出

sin2Acos2A＝1，tanA·cotA＝1．

图24.3.3

例1 求出图24.3．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值． 解 ABBC2AC228917，sinA＝BCAB817，cosA＝AC15AB17，tanA＝BCAC815，cotA＝ACBC158．

练习:P107.1.2.3.三、小结: 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数

四、作业: 练习册同步

五、教后反思：

24.3.1锐角三角函数（2）

教学目标

1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

3、掌握三角函数定义式：sin A=

A的对边A的邻边，cos A=，斜边斜边tan A=A的对边A的邻边，cot A=

A的邻边A的对边教学重难点

重点：三角函数定义的理解。难点：掌握三角函数定义式。教学过程

一、探索

根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的

含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过计算，我们可以得出

sin30°＝对边1，斜边2图24.3.4

即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 思考

上述结论还可通过逻辑推理得到．如图24.3．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．

二、做一做

在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：

（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．

为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：

α sinα cosα tanα cotα

30° 12

45°1 60°

三、练习求值： 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．

四、学习小结:记忆特殊角的函数值

五、布置作业

练习册同步

六、教后反思：

24.3.1锐角三角函数（3）

教学目标

1、进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2、进一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

3、掌握三角函数定义式：sin A=

A的对边斜边，cos A=A的邻边斜边, tan A=A的对边AA的邻边，cot A= 的邻边A的对边

教学重难点

重点：三角函数定义的理解。难点：掌握三角函数定义式。教学过程

一、新授：例1

求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值． 7

（第2题）

sin30゜是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，30゜所对的直角边与斜边的长，sin30゜=对边1＝ 斜边2即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.做一做

在Rt△ABC中，∠C＝90゜，借助于你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义求出∠A的四个三角函数值：

（1）∠A＝30゜

（2）∠A＝60゜

（3）∠A＝45゜.为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）

二、课堂练习

1.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;

∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;（第1题）

（第2题）

2.求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值.3.设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求 8

∠B的四个三角函数值.（1）a=3,b=4;

（2）a=6,c=10.4.求值：2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜.三、小结: 记忆特殊角的函数值

四、作业：练习册同步

五、教后反思：

24.3.2.用计算器求锐角三角函数值

教学目标

学会计算器求任意角的三角函数值。教学重难点

重点：用计算器求任意角的三角函数值。难点：实际运用。教学过程

一、新授

拿出计算器，熟悉计算器的用法。

下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和三角函数值求对应的锐角.（1）求已知锐角的三角函数值.例

2、求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）

解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：

显示

再按下列顺序依次按键：

显示结果为0.897 859 012.所以

sin63゜52′41″≈0.8979 例3 求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）

解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键： 9

由

显示结果为0.349 215 633.所以

cot70゜45′≈0.3492.（2）由锐角三角函数值求锐角

例4 已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1′）

解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：

显示结果为36.538 445 77.再按键：

显示结果为36゜32′18.4.所以，x≈36゜32′.例5 已知cot x=0.1950,求锐角x.（精确到1′）分析 根据tan x＝1，可以求出tan x的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.cotx

二、课堂练习

1.使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）

sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.2.已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）（1）sin a=0.2476;

（2）cos a=0.4174;（3）tan a=0.1890;

（4）cot a=1.3773.三、小结

不同计算器操作不同，按键定义也不一样。同一锐角的正切值与余切值互为倒数。

在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。方法归纳

在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。

四、作业：1.习题24.3；

2.练习册同步。

五、教后反思：

24.4 解直角三角形(1)教学目标

1、巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。

2、学会运用三角函数解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的几种情况。教学重难点

重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。难点：运用三角函数解直角三角形。教学过程

我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.例1 如图24.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？

解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为

10224226

26＋10＝36（米）.所以，大树在折断之前高为36米.在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.例2 如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）

解 在Rt△ABC中，因为

∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，11

BC＝tan∠CAB, AB所以

BC＝AB•tan∠CAB

=2000×tan50゜≈2384(米).ABcos50，ACAB20003111(米)所以

AC＝cos50cos50又因为

答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；

（2）已知一条边和一个锐角 课堂练习

1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？

2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）

学习小结：这节课你有什么收获？

布置作业1.习题24.4第1题；；

2.练习册同步 教后反思：

24.2 解直角三角形(2)教学目标

1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。

2、学会运用三角函数解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的几种情况。

4、学习仰角与俯角。教学重难点：

重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

难点：运用三角函数解直角三角形。

教学过程

一、情境导入 读一读

如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.图

二、合作探究

例3 如图4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）

解

在Rt△BDE中，BE＝DE×tan a ＝AC×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17，所以AB＝BE＋AE

＝BE＋CD

＝9.17＋1.20≈10.4（米）．

答： 电线杆的高度约为10.4米．

三、课堂练习

1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角a＝16゜31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）

（第2题）（第1题）

2.两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25゜，测得其底部C的俯角a＝50゜，求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）

四、学习小结 内容总结

仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。

梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。方法归纳

认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。

五、布置作业 1.习题24.4第2，3题；

2.练习册同步

六、教后反思：

24.3 解直角三角形（3）

教学目标

1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。

2、学会运用三角函数解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的几种情况。

4、学习仰角与俯角。教学重难点

重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

难点：灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。教学过程

一、情境导入 读一读

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有

i＝

h.lh=tan a l显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.图5

二、课前热身

分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。

三、合作探究

例4 如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到

0.1米）

解 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）．

在Rt△ADE中，因为

i所以 DE4.2tan32 AEAEAE4.26.72(米)tan32

图6 在Rt△BCF中，同理可得

BF4.27.90(米)

tan28因此

AB＝AE＋EF＋BF

≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．

答： 路基下底的宽约为27.13米．

四、课堂练习

一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）

五、学习小结 内容总结

坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。

坡角与坡度之间的关系是：i＝

h=tan a。l坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。方法归纳

在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。

六、布置作业：1.习题24.4第4题；

2.练习册

七、教后反思：

第24章

小结

教学目标：

1、了解本章的知识结构；

2、通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。

3、通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。

4、学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。教学重难点：

重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。难点：选择恰当知识解决具体问题。教学过程

一、情境导入

通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？

二、课前热身

同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。

三、合作探究知识结构

概括

1.了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程； 2.理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；

3.能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．

四、课堂练习

1.求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆

（第1题）

2.如图，以Rt△ABC的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．（第2题）

3.已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 4.求下列各式的值．

（1）2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°;（2）sin2 45°＋cos2 60°;（3）sin230cos230tan260cot260.5.求下列各直角三角形中字母的值．

（第5题）

6.小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）

7.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC是直角边BC的2倍，求∠B的四个三角函数

值．

8.如图，在直角坐标平面中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是（1）y的值；

4，求：

3（2）角a的正弦值．

（第8题）

9.如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）

（第9题）（第10题）

10.如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）

五、学习小结

本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。

方法归纳：在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。

六、布置作业：

1.复习题1--17题；

2.练习册同步

七、教后反思：

第二篇：28.2.1解直角三角形教案

28.2.1解直角三角形

西湖中学 黄 勇

一、内容和内容解析

1、内容：解直角三角形的意义，直角三角形的解法。

2、内容解析：本节是学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题。本课内容既能加深对锐角三角函数的理解，又能为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下的作用。

二、目标和目标解析

1．了解解直角三角形的意义和条件．

2．能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．

目标解析：达成目标1的标志是，知道解直角三角形的内涵，能根据直角三角形中已知元素，明确所有要求的未知元素。达成目标2的标志是根据元素的关系，选择适当关系式，求出未知元素。

三、学情分析

在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，学生通过学习锐角三角函数，有了一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有些困难，且解直角三角形往往需要综合运用勾股定理及三角函数的知识，具有一定的综合性。

CB

四、教学过程

1、实例引入，初步体验

本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题。设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引 垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数。

sinA=BC5.2≈0.0954 AB54.5A一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个角，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；

222边边关系：勾股定理，即abc；

边角关系：锐角三角函数，即：

a,cosAcbsinB,cosBcsinAb,tanAca,tanBca,cotAbb,cotBabaab

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

例1 在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． AC2,BC6解这个直角三角形。

思路与技巧

求解直角三角形的方法多种多样，可以先求AB，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据． 解答

tanABC63AC2

A60o

B90oA90o60o30o AB2AC22A

C B 例2 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，BC23，CD22,求AC，AB，∠A，∠B(精确到1′)．

思路与技巧 在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形．

解答 在Rt△BCD中

BDBC2CD21282

sinBcosBCD226BC323BD23BC323

用计算器求得 ∠B＝54°44′ 于是∠A＝90°-∠B＝35°16′ 在Rt△ABC中，ABBC3236cosB36263 ACABsinB6

五、课堂小结

1、直角三角形中，除直角外，五个元素之间的关系。

2、什么是解直角三角形。

六、课堂练习

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形。

（1）C＝20，b=20;（2）∠B＝72°，c=14；（3）∠B＝30°，a=7

第三篇：解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案

教学目标：1.使学生能运用解直角三角形模型，将斜三角形问题转化为解直角三角形。

2.通过对比练习，使学生体会到用斜三角形构造直角三角形，要构造为可解(含特殊角)的直角三角形。及方程思想的运用。

教学重点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形和实际问题转化为数学模型。

教学难点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形及方程思想的运用 教学过程：

一、让学生回忆解直角三角形的依据和哪两种情形？

依据：1.边的关系（勾股定理）2.锐角的关系（互余）3.边角关系（锐角三角函数关系式）情形有：1.已知两边，2，已知一边一锐角，二、练习直接解直角三角形

试一试：如图，在RtΔABC中，已知∠C=90°，(1)若AC=3,AB=5,求 sinA ；（已知两边）

A

(2)若AC=3, ∠A=60°,求BC；（已知一条直角边和一个锐角）

C

(3)若AB=5，∠A=60°,求BC.（已知斜边和一个锐角）

三、解斜三角形

变式：1）如图1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=4，求AB。2）图2 中，∠B=135°，∠C=30°，AC=4，求AB。

BA

BB

图1

CC图2

A

四、用解斜三角形解决实际问题

典型中考题赏析：

将实际问题化为解斜三角形

例：（2013遂宁）如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，船B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少?（结果保留根号）

方程思想的渗透

变式训练：如果将上题中“C在B的北偏东15°方向”改为“C在B的北偏东30°方向”,其它条件不变，你能解吗？

小结：解决与斜三角形有关的实际问题

北450AC北300B的方东

法是构造可解的直角三角形（1）形内构造（2）形外构造

练习：如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？

教学反思：

第四篇：28.2 解直角三角形 教案5

课题

28.2解直角三角形

一、教学目标

1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．

二、教学重点、难点

重点：解决有关坡度的实际问题． 难点：理解坡度的有关术语．

三、教学过程

（一）复习引入

1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评． 2．创设情境，导入新课．

例

同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．

（二）教学互动

通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义． 1． 坡度与坡角

结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常i=1：m的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

答：i＝hl＝tan

这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．

练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度．

为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：

(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．

答：(1)

如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为 tan＝ABBC，AB不变，tan随BC增大而减小

（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα

AB 也随之增大，因为tan=BC不变时，tan随AB的增大而增大 2．讲授新课

引导学生回头分析引题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．

以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．

坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

因为斜坡AB的坡度i＝tan＝α≈18°26′

13≈0.3333，答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。

（三）巩固再现

1、习题

2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

四、布置作业习题

第五篇：(教案2)28.2解直角三角形

课题

28.2解直角三角形

一、教学目标

1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识

二、教学重点、难点

重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 难点：实际问题转化成数学模型

三、教学过程

（一）复习引入

1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．

2、在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。

（二）实践探索

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角，(如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角能够安全使用这个梯子

引导学生先把实际问题转化成数学模型 然后分析提出的问题是数学模型中的什么量 在这个数学模型中可用学到的什么知识来求 未知量？

几分钟后，让一个完成较好的同学示范。

（三）教学互动

例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0.1 km)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船

观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)

等于多少(精确到1o)这时人是否

一般要满足 1

解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，弧PQ的长为

由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离 P点约2 009.6 km.（四）巩固再现 练习1,习题 1

四、布置作业习题 2,3