典型应用题集

第一篇：典型应用题集

差倍应用题

1、一篮苹果比一篮桔子重40千克，苹果重量是桔子的5倍，苹果、桔子各有多少千克？

2、山坡上有一群羊，其中有绵羊和山羊。已知绵羊比山羊的3倍多55只，已知绵羊比山羊多345只，两种羊各有多少只？

3、育才小学参加科技小组的同学比参加合唱队的4倍少45人，参加科技小组的同学比合唱队的人数多105人，求参加科技小组同学和参加合唱队的人数各有多少人？

4、小芳课外书的本数是小强课外书本数的3倍。如果小芳借给小强10本书，小强书的本数等于小芳的3倍。小芳和小强各有课外书多少本？

5、甲仓库存大米500袋，乙仓库存大米200袋，现从两个仓库里运走同样袋数的大米，结果甲仓库剩下大米正好是乙仓库剩下大米的3倍。问从两个仓库里各运走多少袋大米？

6、一个车间，女工比男工少35人，男女工各调出17人后，男工人数是女工人数的2倍。原有男工、女工各多少人？

7、甲、乙两数的差及商都等于6，那么甲、乙两数的和等于多少？

8、某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走18个男工，那么女工人数是男工人数的两倍，这个车间有女工多少人？

9、有两缸金鱼，如果从甲缸中取出5条放入乙缸，两缸内的金鱼数相等。已知原来甲缸的金鱼数是乙缸的1又2/3倍，甲缸原有金鱼多少条？

10.两筐重量相等的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克以后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍，两筐苹果各有多少千克？

11一天，A、B、C三个钓鱼协会的会员去郊外钓鱼，已知A比B多钓6条，C钓的鱼是A的2倍，比B多钓22条，他们一共钓了多少条鱼？

12、某小队队员提一篮苹果和梨子到敬老院去慰问，每次从篮里取出2个梨子、5个苹果送给老人，最后剩下11个苹果，梨子正好分完。这时他们才想起原来苹果数是梨子的3倍。问篮内原有苹果、梨子各多少个？

13已知大小两个数的差是5.49，将较大数的小数点向左移动一位，就等于较小数。较大的数是多少？较小的数是多少？

14、已知两个数的商是4，这两个数的差是39，那么这两个数中较小的一个数是多少？

15、甲、乙两数的差是9，甲数的1/6和乙数的1/4相等，甲数是多少？乙数是多少？

16、育红小学原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内、室外活动的共有多少人？

和倍问题应用题

1、小卫家里养了20只兔子，其中大兔只数是小兔的4倍，问小卫家养的小兔和大兔各有多少只？

2、被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2，被除数和除数各是多少？

3、某校四、五年级共有学生218人，五年级学生人数比四年级的2倍少22人。问四、五年级各有学生多少人？

4、两数相除，商3余4，如果被除数、除数、商及余数相加，和是43，求被除数和除数。

5、姐姐有连环画38本，妹妹有连环画52本，姐姐要给妹妹多少本连环画，才能使妹妹的本数是姐姐的2倍？

6、两箱茶叶共176千克，从甲箱取出30千克放乙箱，乙箱的千克数就是甲箱的3倍。两箱原有茶叶多少千克？

7、甲数是乙数的3倍，丙数是乙数的4倍，丁数是丙数的一半，四个数的和是1040，丁数是多少？

8、四个数的和是408，这四个数分别能被2、3、5、7整除，而且商相同。这四个数分别是多少？

9、两个数相除商9，无余数，被除数、除数与商的和是89，除数是多少？

10、有三堆煤，甲堆比乙堆的3倍多30千克，丙堆比乙堆少15千克，三堆煤共240千克，那么，甲堆有煤多少千克？

11、分子、分母之和是23，分母增加19以后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是1/5，原来分数是几分之几？

12、甲、乙两数的和是16，甲数的3倍等于乙数的5倍，较大的数是多少？

13、商店运来桔子、苹果、香蕉共53千克，桔子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，桔子重量是多少千克？

14、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若把0去掉，则与另一个数相同，这两个数各是多少？

15、甲、乙两人共有150张画片，甲的张数比乙的2倍多30张，两人各有几张画片？

16、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而差是减数的3倍，那么差等于多少？

还原问题应用题

1、甲、乙、丙三个中队，共有图书498册，如果甲中队给乙中队4册，乙中队给丙中队10册，那么三个中队的图书册数相等。原来甲中队有图书多少册？

2、小虎做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577。这道题的正确答案是多少？

3、同学们玩扔沙袋游戏，甲、乙两班共有140只沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋数相等。两班原来各有沙袋多少只？

4、在做一道加法式题时，某学生把个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果和得123。正确的答案是多少？

5、小文在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地当作7，把另一个加数十位上的8错误地当作3，所得的和是1946，原来两数相加的正确答案是多少？

6、小马虎做一道减法题，把被减数十位的6当作9，把减数个位的3当作5，结果是217，正确的答案是多少？

7、小军在做一道减法题的时候，真粗心！把被减数个位上的3错写成8，十位上的0错写成6，这样他算得的差是199，正确的差是多少？

8、如果某数扩大5倍，再减去6得39，如果这个数先减去6，再扩大5倍得多少？

9、某数加上1，减去2，乘3，除以4得9，求这个数。

10、某数加上6，乘6，减去6，除以6，其结果等于6，求某数。

11、有一老人说：把我的年龄加上17用4除，再减去15后用10乘，恰巧是100岁。这位老人今年几岁？

12、一根绳子剪去一半多0.4米，再剪去余下的一半，还剩4.3米，这根绳子原来长多少米？

13、有一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去了剩下的一半多1米，最后还剩2.5米。这条铁丝原来长多少米？

14、甲、乙、丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送丙组5本，结果三个组所有图书刚好相等。问甲、乙、丙三个组原有图书多少本？

15、有甲、乙两堆小球，各有若干个。按下面的要求移动小球：先从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆；再从乙堆拿出和这时甲堆同样多的小球放到甲堆。这时，甲乙两堆的小球恰好都是16个。问甲、乙两堆最初各有小球多少个？

16、有一个数，除以5，乘4，减去15，再加上35等于100，这个数是多少？

17、甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这时甲、乙、丙三人的钱数恰好相等。原来甲比乙多多少元？

18、有甲、乙、丙三个数，从甲数取出15加到乙数，从乙数取出18加到丙数，从丙数取出12加到甲数，这时三个数都是180，甲、乙、丙三个数原来各是多少？

19、小明爷爷今年的年纪减去15后，缩小4倍，再减去6后，扩大10倍，恰好是100岁。请你算一算，小明爷爷今年多少岁？

20、某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多15元，第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元。他原来存款多少元？

21、书架分上、中、下三层，一共分放192本书。现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层，这时三层所放的书本数相同。试问：这个书架的上、中、下层原来各有书多少本？

22、有铅笔若干支，分给甲、乙、丙三个学生。甲得最多，乙得较少，丙得最少。后重新分配。第一次分配，甲分给乙、丙，各给乙、丙所有数多4支，结果乙得最多；第二次分配，乙给甲、丙，各给甲、丙所有数多4支，结果丙得最多；第三次分配，丙给甲、乙，各给甲、乙所有数多4支。经三次重新分配后，甲、乙、丙三个学生各得铅笔44支。最初甲、乙、丙三个学生各得铅笔多少支？

23、将八个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数都恰好等于前两个数之和。如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少？

24、一个数减去2487，小明在计算时错把被减数百位和十位上的数交换了，结果得8439，正确的结果是多少？

25、一群猴子分一堆桃子，第一个猴子取走了一半零一个，第二个猴子取走剩下的一半零一个，……直到第七个猴子按上述方式取完后恰好取尽。这堆桃子一共有多少个？

假设法应用题

1、鸡兔同笼，共100个头，320只脚，问鸡、兔各几只？

2、小明计算20道竞赛题，做对一道得5分，做错一道倒扣3分。结果小明考得60分，问他做对了几道题？

3、松鼠妈妈采松子。晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个。它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。问这几天中有几天下雨？

4、个体户王小二承接了建筑公司一项运输1200块玻璃的业务，并签了合同。合同上规定：每块玻璃运费2元；如果运输过程中有损坏，每损坏一块，除了扣除一块的运费外，还要赔偿25元。王小二把这1200块玻璃运送到指定地点后，建筑公司按合同付给他2076元。问：运输过程中损坏了几块？ 5、100名师生绿化校园，老师每人栽3棵树，学生每2人栽1棵，总共栽树100棵。求老师与学生各栽树多少棵？ 6、30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？

7、某校数学竞赛，共有20道填空题。评分标准是每做对一题得5分，做错一题倒扣3分，某题没做该题得0分。小英结果得了69分，那小英有几题没做？

8、学校早晨6：00开门，晚上6：40分关门。下午有一同学问老师现在的时间。老师说：从开校门到现在的1/3，加上现在到关校门时间的1/4，就是现在的时间。那么现在的时间是下午几点？

9、大半导体25元一只，小半导体19元一只，某单位买这两种数型半导体若干只，总价为360元。问该单位买这两种半导体的总只数是多少？

10、蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和2对翅膀，蝉有6只脚和1对翅膀。现在这三种昆虫18只，共有118只脚和20对翅膀。问每种昆虫各有多少只？

11、甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发扣12分，两人各打10发，共得208分，其中甲比乙多64分，问甲、乙两人各中了多少发？

年龄问题应用题

1、小刚说：去年爸爸比妈妈大4岁，我比妈妈小26岁。请你算一算，今年小刚的爸爸比小刚大几岁？

2、老张、阿明和小红三人共91岁，已知阿明22岁，是小红年龄的2倍。问老张几岁？

3、儿子的年龄是爸爸的1/4，三年前父子年龄之和是49岁。求父子现在年龄各是几岁？

4、妈妈今年35岁，恰好是女儿年龄的7倍。多少年后，妈妈的年龄恰好是女儿的3倍？

5、小明今年8岁，他与爸爸、妈妈的年龄和是81岁，多少年后他们的平均年龄是34岁？这时小明几岁？

6、小冬今年12岁，五年前爷爷的年龄是小冬年龄的9倍，爷爷今年多少岁？

7、妈妈今年40岁，恰好是小红年龄的4倍，多少年后，妈妈的年龄是小红的2倍？

8、一家三口人，三人的年龄和是72岁。妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？

9、今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过了几年后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍，求祖父今年多少岁？

10、三年前爸爸的年龄正好是儿子小刚年龄的6倍，今年父子年龄和是55岁，小刚今年多少岁？

11、爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁？

12、甲的年龄数字颠倒过来恰好是乙的年龄，两人年龄和为99岁，甲比乙大9岁，求甲的年龄。

13、祖孙三人的年龄加在一起正好是100岁，祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数。问祖父、儿子、孙子各多少岁？

14、已知祖父和父亲、父亲和孙子的年龄的差是一样的。又知祖父和孙子的年龄之和为84岁，这个岁数再加上孙子的年龄，正好是100岁，问三人的年龄各是多少岁？

15、张强两岁时，他的父亲32岁，张强的年龄是父亲年龄的3/5的那一年，父亲去世，问他父亲活了多大岁数？

16、小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁。今年全家年龄的总和是71岁，8年前这个家庭成员的年龄总和是49岁。今年小英多少岁？父亲多少岁？母亲多少岁？

17、一个十几岁的男孩子，把自己的岁数写在父亲岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数这差，得4289，求父子的岁数各是多少？ 18、10年前田芸的年龄是她女儿的7倍，15年后田芸的年龄是她女儿的2倍，现在母女俩的年龄各是多少岁？

19、兄弟俩都有点傻，以为自己过一年长一岁而别人不会长大。有一天哥哥对弟弟说：再过5年我的年龄就是你的2倍。弟弟说：不对，再过5年我和你一样大。这时他们俩各几岁？

20、妈妈今年的年龄是女儿的3倍，5年前的年龄是女儿的4倍。今年妈妈是多少岁？女儿是多少岁？

盈亏问题应用题

1、学校有一批树苗，交给若干名少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分；如果再拿来8棵树苗，那么每个少先队员正好栽10棵。问参加栽树的少先队员有多少人？原有树苗多少棵？

2、小明一元钱买了5支铅笔和8块橡皮，余下的钱，如果买1支铅笔就不足2分，如果买一块橡皮就多出1分，每支铅笔多少分？每块橡皮多少分？

3、四（1）班同学植树，每人植1棵还剩20棵，每人植2棵差30棵。有多少个同学？多少棵树苗？

4、学雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬18块，还剩2块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？

5、老师把一些苹果分给小朋友。如果每人分一个，还剩下8个苹果；如果每人分2个，那么还少2个苹果。一共有多少个小朋友？

6、少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵。参加植树的少先队员有多少人？这批树有多少棵？

7、幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友，每人5个余10个；如果分给小班的小朋友，每人8个缺2个。已知大班比小班多3个小朋友。这一筐苹果有多少个？

8、一小包糖分给几个小朋友，如果每人分3块，则余3块；如果每人分5块，则少一块。那么小朋友有多少人？糖有多少块？

9、王华用自己仅存的漆包线在磁棒上绕线圈，当他绕了80圈时，测得余线长15.28厘米，于是想改绕90圈，却发现缺少22.4厘米的漆包线，王华的漆包线有多长？所用的磁棒的半径是多少？

10、李老师将一叠练习本分给第一小组同学，每人分7本还多7本，如果每人分9本，那么有一个同学分不到。请算一算，第一小组有几个同学？这叠练习本有多少本？

植树问题应用题

1、一条路每隔5米有电线杆一根，连两端共有20根，算一算，这条路有多长？

2、在一条长30米的走廊两边，每隔5米放一盆花，这样一共需要放多少盆花？

3、一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树，湖泊周围各栽了多少棵柳树和桃树？

4、有三根木料，打算把每根锯成三段，每锯开一处，需用3分钟，全部锯完需要多少时间？

5、有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完，钟敲12下，几秒钟敲完？

6、有一幢房高17层，相邻两层间都有17个台阶。某人从一层走到十一层，一共要登多少个台阶？

7、某人到十层大楼的第八层办事，不巧停电，电梯停开。如从一层楼走到四层楼需要48秒，请问以同样的速度往上走到八层，还需要多少时间才能到达？

8、一个老人以等速在公路上散步，从第一根电线杆走到第12根电线杆用了12分钟，这个老人用同样的速度走24分钟，应走到第几根电线杆？

9、科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？

10、有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一棵柳树，两端都种上树，共有5处杨树与柳树相对。这条道路长多少米？

11、有一根180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？

12、在一根长木棍上，有三种刻度线。第一种刻度线将木棍分成十等份，第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份。如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成多少段？

小学奥数习题荟萃

1、胜利小学开展冬季体育比赛，参加跳绳的人数是打球的人数的4倍，比打球的人多72人，参加跳绳和打球的人各是多少人？

2、生产队利用山地种了一批核桃树和红果树，核桃树的棵数是红果树的2倍多95棵，已知核桃树比红果树多1455棵，两种树各种了多少棵？、一项工程，甲、乙、丙三人合作8天可完成，已知甲的工作效率等于乙、丙两人工作效率之和，乙的工作效率相当于甲、丙两人工作效率之和的1/2。这项工作如果由丙单独完成，需要多少时间？

4、学校买来黄的和红色两中菊花，其中黄色菊花的盆数比总数的2/5多8盆，红色菊花的盆数的黄色菊花的1/2。两种菊花共有多少盆？

5、大小两筐苹果一共90千克，从大筐中取出1/5，从小筐中取出1/4，取出来的苹果合在一起是20千克。小筐原来有多少千克苹果？

6、甲、乙两捆钢丝原来是质量相差60千克，后来甲捆用去75%，乙捆用去60%，剩下的一样重，两捆钢丝原来各重多少千克？

7、把一蓝山核桃分给甲、乙、丙、丁地个小猴，已知甲分得的山核桃相当于乙、丙、丁之和的1/2，乙分得的山核桃相当于甲、丙、丁之和的1/3，丙分得的山核桃相当于甲、乙、丁之和的1/4，余下的全给丁，已知丁分到26颗。甲、乙、丙各分到几颗？

8、足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了1/5。门票降价了多少元？

9、甲、乙两人步行的速度比是7：5，它们分别从A、B两地同时出发，相向而行，0.5销售后相遇。如果它们分别从A，B两地同时出发，同向而行，甲追上乙需要多少小时？

10、某厂去年有职工630人，其中男工人人数是女工人数的20%，今天又招进了一批男工人，这时男、女工人人数的比是3：7。今天招进男工人多少人？

11、五（1）班原计划抽1/5的学生大扫除，后来又有2人主动要求参加，这样参加大扫除的认输是未参加的1/3。这个 班共有学生多少人？

12、工厂的27位师傅共带徒弟40名，每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅人数的2倍，那么带两名徒弟的师傅有多少人？

13、某书店出售一种挂历，每卖出一本可获得18元里云，书店卖出一部分后每本减价10元，直至全部卖完，已知出售的挂历本数的原价出售的2/3，书店卖完这种挂历伙获利润2870元，书店功卖出这种挂历多少本？ 14.（归一问题）工程队计划用60人5天修好一条长4800米的公路，实际上增加了20人，每人每天比计划多修了4米，实际修完这条路少用了几天？

15、（相遇问题）甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车距中点40千米处相遇。东西两地相距多少千米？

16、（追及问题）大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，大客车出发2小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车？

17、（过桥问题）列车通过一座长2700米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。已知列车的速度是每分钟1000米，列车车身长多少米？

18、某自然数,它可表示成9个连续自然数的和,也可表示成10个连续自然数的和,也可表示成11个连续自然数的和,符合以上条件的最小自然数是多少

19、（错车问题）一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过20秒。如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120秒。客车的速度和货车的速度分别是多少？

.20、（行船问题）客轮和货轮从甲、乙两港同时相向开出，6小时后客轮与货轮相遇，但离两港中点还有6千米。已知客轮在静水中的速度是每小时30千米，货轮在静水中的速度是每小时24千米。求水流速度是多少？

21、（和倍问题）小李有邮票30枚，小刘有邮票15枚，小刘把邮票给小李多少枚后，小李的邮票枚数是小刘的8倍？

22、（差倍问题）同学们为希望工程捐款，六年级捐款数是二年级的3倍，如果从六年级捐款钱数中取出160元放入二年级，那么六年级的捐款钱数比二年级多40元，两个年级分别捐款多少元？

23、（和差问题）一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层还比下层多4本，上下层各放书多少本？

24、（周期问题）2006年7月1日是星期六，求10月1日是星期几？

25、（鸡兔同笼问题）小丽买回0.8元一本和0.4元一本的练习本共50本，付出人民币32元。0.8元一本的练习本有多少本？

26、（年龄问题）5年前父亲的年龄是儿子的7倍。15年后父亲的年龄是儿子的二倍，父亲和儿子今年各是多少岁？

27.（还原问题）便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果。求水果店里原来一共有多少个芒果？

28.（置换问题）学校买回6张桌子和6把椅子共用去192元。已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各是多少元？

29.（最佳安排）烤面包的架子上一次最多只能烤两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？

30.（油和桶问题）一桶油连桶共重18千克，用去油的一半后，连桶还重9.75千克，原有油多少千克？桶重多少千克？

31、（盈亏问题）王老师发笔记本给学生们，每人6本则剩下41本，每人8本则差29本。求有多少个学生？有多少个笔记本？

第二篇：典型应用题

典型应用题

一、平均数问题：求几个不相等的数值的平均数值的应用题。

1、解题关键：要先确定“总数量”和“总份数”。

2、计算公式：

平均数=总数量÷总份数

总份数=总数量÷平均数

总数量=平均数×总份数

(2)先设各数中最小的一个数为基数，再用“补差”（移多补少）的方法，求平均数。

平均数=基数+各数与基数的差的和÷总份数

（3）求等差数列的平均数

等差数列各项数字之和（即总数量）=（首项+末项）×项数÷2

项数（即总份数）=(末项—首项)÷2

平均数=（首项+末项）÷2

(附：第几项=首项+（项数—1）×公差

3、类型:(1)求平均分数（2）求平均数（3）求平均原数

二 倍数问题：已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。

1、解题关键：必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即１倍数，再

根据其他几个数与这个１倍数的关系，确定“和”与“ 差”相当于这样的几倍，最后用除法求出１倍数。

2、类型：

（１）和倍问题：根据大数是小数的几倍，找出两个数之和与小数的倍数关系（ｎ

＋１），算出小数，再算出大数

小数＝两数之和÷（倍数＋１），大数＝小数×倍数

（２）差倍问题；：根据大数是小数的几倍，找出两个数之差与小数的倍数关系

（ｎ—１），算出小数，再算出大数

小数＝两数之差÷（倍数＋１），大数＝小数×倍数

（３）变倍问题：两数的倍数关系前后发生变化的应用题，解此类题，要找出倍数关系前后发生变化的原因，即与其相对应的大数与小

数也发生了变化，再按照和倍问题或差倍问题进行计算。

三 和差问题：已知两数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题 １＼解题关键：选择适当的数作为标准，设计把若干个不相等的数变成相当的数。也就是应用＂假定法＂，即先去掉或补足相差的数，再探求它们的数量关系。

某些复杂的应用题没有直接告诉我们两数的和与差，可以通过转化求它们的和与差。２＼计算公式；小数＝（两数之和－两数之差）÷2

大数＝（两数之和＋两数之差）÷2

小数＝大数—差，小数＝两数之和－大数

大数＝小数＋差，大数＝和—小数

第三篇：一元一次方程典型应用题

小学数学典型应用题分析归纳

（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。

解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。

差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数

最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数

最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。

分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1”，则汽车行驶的总路程为“ 2”，从甲地到乙地的速度为 100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为 + = ,汽车的平均速度为 2÷ =75（千米）

（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。

根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。

一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”

两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”

正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。

反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。

解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。

数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）

总数量÷单一量=份数（反归一）

例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米，需要多少天？

分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0÷（477 4÷ 31）=45（天）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。

特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。

数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 =另一个单位数量

单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。

例 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6天修完。实际 4天修完，每天修了多少米？

分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80 0× 6÷ 4=1200（米）

（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。

解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。

解题规律：（和＋差）÷2 =大数

大数－差=小数

（和－差）÷2=小数

和－小数=大数

例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94人，因工作需要临时从乙班调 46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12人，求原来甲班和乙班各有多少人？

分析：从乙班调 46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2个乙班，即 9 4－ 12，由此得到现在的乙班是（9 4－ 12）÷ 2=41（人），乙班在调出 46人之前应该为 41+46=87（人），甲班为 9 4－ 87=7（人）

（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解题规律：和÷倍数和=标准数

标准数×倍数=另一个数

例:汽车运输场有大小货车 115辆，大货车比小货车的 5倍多 7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？

分析：大货车比小货车的 5倍还多 7辆，这 7辆也在总数 115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。

列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18× 5+7=97（辆）

（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。

解题规律：两个数的差÷（倍数－1）=标准数 标准数×倍数=另一个数。

例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？

分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）„乙绳剩下的长度，17× 3=51（米）„甲绳剩下的长度，29-17=12（米）„剪去的长度。

（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：

同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

例 甲在乙的后面 28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米，乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙？

分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米，这是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程），28 千米 里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8÷（16-9）=4（小时）

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速：船在静水中航行的速度。

水速：水流动的速度。

顺水速度：船顺流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。

顺速=船速＋水速

逆速=船速－水速

解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度=（顺水速度+逆流速度）÷2 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间

路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？

分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284× 2=20（千米）2 0× 2 =40（千米）40÷（4× 2）=5（小时）28× 5=140（千米）。

（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。

根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

例 某小学三年级四个班共有学生 168人，如果四班调 3人到三班，三班调 6人到二班，二班调 6人到一班，一班调 2人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？

分析：当四个班人数相等时，应为 168÷ 4，以四班为例，它调给三班 3人，又从一班调入 2人，所以四班原有的人数减去 3再加上 2等于平均数。四班原有人数列式为 168÷ 4-2+3=43（人）

一班原有人数列式为 168÷ 4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为 168÷ 4-6+6=42（人）三班原有人数列式为 168÷ 4-3+6=45（人）。

（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1

棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷（棵树-1）

总路程=株距×（棵树-1）

沿周长植树

棵树=总路程÷株距

株距=总路程÷棵树

总路程=株距×棵树

例 沿公路一旁埋电线杆 301根，每相邻的两根的间距是 50 米。后来全部改装，只埋了201根。求改装后每相邻两根的间距。

分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50×（301-1）÷（201-1）=75（米）

（11）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。

解题规律：总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足

第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足

例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10人，则多 25支，如果小组有 12人，色笔多余 5支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？

分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12人，比 10人多 2人，而色笔多出了（25-5）=20支，2个人多出 20支，一个人分得 10支。列式为（25-5）÷（12-10）=10（支）10× 12+5=125（支）。

（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。

解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。

例 父亲 48岁，儿子 21岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4倍？

分析：父子的年龄差为 48-21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4倍。列式为： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）

（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子：

鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数

例 鸡兔同笼共 50个头，170条腿。问鸡兔各有多少只？

兔子只数（170-2× 50）÷ 2 =35（只）

鸡的只数 50-35=15（只）

第四篇：小学数学典型应用题

小学数学典型应用题

01归一问题

【含义】

在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】

总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

02解题思路和方法

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1：3头牛4天吃了24千克的草料，照这样计算5头牛6天吃草

_____

千克。

解:

1.根据题意先算出1头牛1天吃草料的质量：24÷3÷4=2(千克)。

2.那么5头牛一天吃2×5=10(千克)的草料。

3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。

例2：5名同学8分钟制作了240张正方形纸片。如果每人每分钟制作的数量相同，并且又来了2位同学，那么再过15分钟他们又能做

_____

张正方形纸片？

解：

1.可以先算出5名同学1分钟能制作正方形纸片的数量，240÷8=30(张)。

2.再算出1名同学1分钟制作的数量，30÷5=6(张)。

3.现在有5+2=7(名)同学，每人每分钟做6张，要做15分钟，那么他们能做7×6×15=630(张)正方形纸片。

例3：某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样计算，增加3台同样的车床后，如果要生产6300个零件，需要

_____

小时完成？

解：

1.4台车床5小时生产零件600个，则每台车床每小时生产零件600÷4÷5=30（个）。

2.增加3台同样的车床，也就是4+3=7（台）车床，7台车床每小时生产零件7×30=210（个）。

3.如果生产6300个零件，需要6300÷210=30（小时）完成。

02归总问题

【含义】

解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价.几小时（几天）的总工作量.几公亩地上的总产量.几小时走的总路程等。

【数量关系】

1份数量×份数＝总量

总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量

解题思路和方法

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1:王大伯家的干草够8只牛吃一个星期的，照这样计算，这些草够4只牛吃（）天？

解：

1.可以算出这些草够1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。

2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。

例2小青家有个书架共5层，每层放36本书。现在要空出一层放碟片，把这层书平均放入其它4层中，每层比原来多放

（）本书。

解：

方法一：

1.根据题意可以算出书架上有5×36=180(本)书。

2.现在还剩下5-1=4(层)书架。

3.所以每层书架上有180÷4=45(本)书。比原来多45-36=9(本)书。

方法二：

也可以这样考虑，就是要把其中一层的36本书平均分到其他4层，所以每层比原来多放36÷4=9（本）书。

例3一个长方形的水槽可容水480吨，水槽装有一个进水管和一个排水管。单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可以把满水池排空，两管齐开需要多少小时把满池水排空？

解：

1.要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度，进水每小时480÷8=60（吨）；排水每小时480÷6=80（吨）。

2.当两管齐开，排水速度大于进水速度，即每小时排80-60=20（吨）。

3.再根据总水量就可以求出排空满池水所需的时间。480÷20=24（小时）。

03和差问题

【含义】

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】

大数＝(和＋差)÷2小数＝(和－差)÷2

解题思路和方法

简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1:两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重

_____

千克，第二筐水果重

_____

千克。

解：

因为第一筐比第二筐重

1.根据大大数＝(和＋差)÷2的数量关系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。

2.根据小数＝(和－差)÷2的数量关系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。

例2:登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家120名，原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，那么原来第二组有（）名专家。

解：

1.原来从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，说明原来第一组比第二组多20+20=40（人）

2.根据小数＝(和－差)÷2的数量关系，第二组人数应该为(120-40)÷2=40（人）。

例3:某工厂第一.二.三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有多少人？

解：

1.第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人；

那么第一车间就比第三车间多25人，因此第三车间的人数是（280-25-15）÷3=80（人）。

据此可得出第一.二车间的人数。

04和倍问题

【含义】

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

总和÷（几倍＋１）＝较小的数

总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

解题思路和方法

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例１：甲、乙两仓库共存粮２６４吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的１０倍。甲仓库存粮吨，乙仓库存粮＿＿＿＿＿吨。

解：

１.根据“甲仓库存粮是乙仓库存粮的１０倍”，把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”。

２.根据和倍公式总和－（几倍＋１）＝较小的数，即可求乙仓库存粮２６４＝（１０＋１）＝２４（吨）。

３.根据和倍公式较小的数×几倍＝较大的数，即可求甲仓库存粮２４×１０＝２４０（吨）。

例２：已知苹果.梨.桃子的总质量为４０千克，苹果的质量是桃子的４倍，梨的质量是桃子的３倍，求苹果.梨.桃子的质量。

解：

１.根据“苹果的质量是桃子的４倍，梨的质量是桃子的３倍”；

把桃子看成１倍数，则苹果是４倍数，梨是３倍数。

２.根据“苹果、梨、桃子的总质量为４０千克”和和倍公式：

总和＝（几倍＋１）＝较小的数

可求出桃子的质量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）

３.根据桃子质量可以求出苹果和梨的质量。

例３：欢欢、乐乐和多多一共带了1４８元去公园。

已知欢欢带的钱数比乐乐的２倍多１元，多多带的钱数比欢欢多２倍，那么多多带了（）元。

解：

１.在三个量的和倍问题中，我们可以选择其中一个标准量，然后通过三个量之间的和倍关系进行计算即可。

需要注意，多２倍就是３倍。

２.由题可知，三人里乐乐的钱数最少。

我们可以把乐乐看成标准量，那么欢欢就是２份标准量再加１元。

３.多多比欢欢多两倍，就是２×３＝６份标准量再加１×３＝３（元）。

４.那么他们三个合起来就是１＋２＋６＝９

份标准量再加１＋３＝４（元）。

５.所以标准量是

（１４８－４）÷９＝１６（元），即乐乐带了１６元。

６.根据乐乐的钱数可以求出欢欢带了

１６×２＋１＝３３（元），所以多多带了

３３×３＝９９（元）。

05差倍问题

【含义】

已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少；

这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】

两个数的差÷（几倍－1）

=较小的数较小的数×几倍

=较大的数

解题思路和方法

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1：莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有科技书（）本。

A.8

B.12

C.16

D.24

解：

1.解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。

2.把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出故事书有16÷2=8本。

3.根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出科技书有8×3=24本。

例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，则原来甲桶有油

____

千克，乙桶有油

____

千克。

解：

1.根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，说明原来甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2.根据差倍公式两个数的差÷（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3.根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例3：每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。

开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工

_____

个成品。

解：

1.加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（个）。

根据“加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90个。

2.把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多1倍，对应90个，求出乙原来有90÷（2-1）=90（个）

3.那么甲原来有90×2=180（个）零件。

4.每件成品需要5个甲零件，2个乙零件，那么加工30个成品，甲零件用了5×30=150（个），乙零件用了2×30=60（个），所以甲零件还剩180-150=30（个），乙零件还剩90-60=30（个）。

剩下的甲零件还能做30÷5=6（个）成品，剩下的乙零件还能做30÷2=15（个）成品。

因为每件成品需要甲.乙两种零件共同完成，所以剩下的零件数还可以加工6个成品。

06和倍问题

【含义】

已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄关系，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

大数＝(和＋差)÷2小数

＝(和－差)÷2总和÷(几倍+1)

＝较小的数

总和-较小的数＝较大的数较小的数×几倍

＝较大的数两个数的差÷（几倍－1）

=较小的数较小的数×几倍

=较大的数

解题思路和方法

年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。

年龄问题都可以转化为和差.和倍.差倍问题。

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1：爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，当爸爸42岁时，妈妈

_____

岁。

解：

1.本题考查的年龄差不变（简单），不管过了多少年年龄差是不变的。

2.爸爸比妈妈大2岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的，当爸爸42岁时，妈妈是40岁。

例2：姐姐今年15岁，妹妹今年12岁，当她们的年龄和是39岁时，那时妹妹

_____

岁。

解：

方法一：

1.利用年龄同增同减的思路。

2.姐妹俩今年的年龄之和是：

15+12=27（岁），年龄之和到达39岁时需要的年限是：

（39-27）÷2=6（年）。

3.那是妹妹的年龄是12+6=18（岁）。

方法二：

1.利用年龄差不变的思路。

2.两姐妹的年龄差为15-12=3（岁），再根据小数＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年龄为（39-3）÷2=18（岁）。

例3：爸爸今年50岁，哥哥今年14岁，_____

年前，爸爸的年龄是哥哥的5倍。

解：

1.不管过了多少年，年龄差是不变的，当爸爸的年龄是哥哥的5倍时，年龄差仍是50-14=36（岁）。

2.问什么时候爸爸的年龄是哥哥的5倍，实际上年龄差就是哥哥的5-1=4倍。

3.根据两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出哥哥当时的年龄是（50-14）÷4=9（岁）。

4.再根据题意可求出14-9=5（年）前。

例4：今年姐妹两人的年龄和是50岁，曾经有一年，姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，且那时姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍。

那么姐姐今年

_____

岁。

解：

1.当姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍时，我们设那时妹妹的年龄是1份，那么姐姐的年龄就是2份，那么姐姐与妹妹的年龄差就是1份。

2.因为那时姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，所有妹妹今年的年龄也是2份。

因为年龄差不变，所以今年姐姐的年龄应该是2+1=3份。

3.今年姐妹两人的年龄和是50岁，对应2+3=5份，求出1份是50÷5=10（岁），那么姐姐今年是10×3=30（岁）。

07相遇问题

【含义】

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】

相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程

＝（甲速＋乙速）×相遇时间

解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行60米，乐乐每分钟行80米，他们同时出发5分钟后相遇。这条马路长（）。

解：

根据公式总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间，可以求出这条马路长（60＋80）×5

=700（米）。

例2：甲乙两车分别以不变的速度从AB两地同时出发，相向而行。到达目的地后立即返回。

已知第一次相遇地点距离A地50千米，第二次相遇地点距离B地60千米，AB两地相距

_____

千米。

解：

1.本题考查的是二次相遇问题，灵活的运用画线段图的方法来分析是解决这类问题的关键。

2.画线段图

3.从图中可以看出，第一次相遇时甲行了50千米。甲乙合行了一个全程的路程。

从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。

由于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能50×2=100(千米)。

4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，从图中看甲所行路程刚好比AB两地相距路程还多出60千米。

所以AB两地相距150-60=90(千米)。

例3：欢欢和乐乐在相距80米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是每秒3米，欢欢的速度是每秒2米。

如果他们同时分别从跑道两端出发，当他们跑了10分钟时，在这段时间里共相遇过

_____

次。

解：

1.根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第二次开始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的两倍。（线段图参考例2。）

2.根据“相遇时间=总路程÷速度和”得到，欢欢和乐乐首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

3.因为从第一次相遇结束到第二次相遇，欢欢和乐乐要走两个全程，所以从第二次开始每相遇一次需要的时间是16秒的2倍，也就是32秒，则经过第一次相遇后，剩下的时间是600-16=584（秒），还要相遇584÷32=18.25（次），所以在这段时间里共相遇过18+1=19（次）。

追及问题（含解析）

01追及问题

【含义】

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）

作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

★

追及时间＝

追及路程÷（快速－慢速）

★

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图

分析可以让解题事半功倍。

例1：某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官赶紧以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上这个匪徒。

解：

1.从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。

根据公式：路程差÷速度差=追及时间。

2.路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差为1米/秒。

所以追及的时间为100÷1=100（秒）。

例2：甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出发。

那么甲乙二人出发后（）秒第一次相遇？

解：

1.由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相遇时，乙从后方追上甲。

所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为400米。

2.由追及时间=总路程÷速度差可得：经过400÷（8-6）=200（秒）

两人第一次相遇。

例3：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时.48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地.面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。

那么甲.乙两地相距多远？

解：

1.根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。

首先是小轿车和面包车的相遇问题；

其次是面包车和大客车的相遇问题；

然后是小轿车与大客车的追及问题。

最后通过大客车与面包车共行甲.乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲.乙两地距离。

2.画线段图，图上半部分是小轿车和面包车相遇时三车所走的路程。

图下半部分是第一次相遇30分钟之后三车所走的路程。

3.由图可知，当面包车与大客车相遇时，大客车与小轿车的路程差为小轿车与大客车30分钟所走的路程。

有小轿车与大客车的速度差，有距离，所以可以求出车辆行驶的时间。

（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小时）。

4.由于大客车与面包车相遇，共行一个行程，所以AB两地路程为

（42+48）×3=270（千米）。

01

植树问题

【含义】

按相等的距离植树，在距离.棵距.棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】

线形植树：

一端植树：棵数＝间隔数=距离÷棵距

两端植树：

棵数＝间隔数+1=距离÷棵距＋1

两端都不植树：

棵数＝间隔数-1=距离÷棵距-1

环形植树：

棵数＝间隔数=距离÷棵距

正多边形植树：

一周总棵数=每边棵数×边数-边数

每边棵树=一周总棵数÷边数+1

面积植树：

棵数＝面积÷（棵距×行距）

02解题思路和方法

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1：植树节到了，少先队员要在相距72米的两幢楼房之间种8棵杨树。

如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？

解：

1.本题考察的是植树问题中的两端都不栽的情况，解决此类问题的关键是要理解棵数比间隔数少1。

2.因为棵数比间隔数少1，所以共有8+1=9个间隔，每个间隔距离是72÷9=8米。

3.所以每两棵树之间的距离是8米。

例2：佳一小学举行运动会，在操场周围插上彩旗。

已知操场的周长是500米，每隔5米插一根红旗，每两面红旗之间插一面黄旗，那么一共插红旗多少面，一共插黄旗多少面。

解：

1.本题考查的是植树问题中封闭图形间隔问题。

本题中只要抓住棵数＝间隔数，就能求出插了多少面红旗和黄旗。

2.棵数＝间隔数，一共插红旗500÷5＝100（面），这一百面红旗中一共有100个间隔，所以一共插黄旗100面。

例3：多多从一楼爬楼梯到三楼需要6分钟，照这样计算，从三楼爬到十楼需要多少分钟？

解：

1.本题考查的是植树问题中锯木头.爬楼梯问题的情况。

需要理解爬的楼层.锯的次数与层数.段数之间的关系。

所在楼层=爬的层数+1；

木头段数=锯的次数+1。

2.从一楼爬楼梯到三楼，需要爬2层，需要6分钟，所以每层需要6÷2=3（分钟）。

因此从三楼爬到十楼，需要（10-3）×3=21（钟）。

例4：时钟敲3下要2秒钟，敲6下要多少秒？

解：

1.本题考查的是植树问题中敲钟声问题，与锯木头爬楼问题类似。

本题中只要抓住敲的次数＝间隔数+1。

2.时钟敲3下，中间有2个间隔，2个间隔需要2秒钟，那么1个间隔需要1秒钟。

时钟敲6下，中间有5个间隔，需要5秒。

01行船问题

【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度；

也就是船只在静水中航行的速度；

水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；

船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】

（顺水速度＋逆水速度）÷2

＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2

＝水速顺水速＝船速×2－逆水速

＝逆水速＋水速×2逆水速

＝船速×2－顺水速

＝顺水速－水速×2

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：某船在同一条河中顺水船速是每小时20千米，逆水船速是每小时10千米，这条河的水流速度是每小时

_____

千米？

解：

顺水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，顺水船速比逆水船速多2个水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/时)。

例2：某条大河水流速度是每小时5千米，一艘静水船速是每小时20千米的货轮逆水航行5小时能到达目的地，这艘货轮原路返回到出发地需要多少小时？

解：

1.逆水速度=静水船速-水流速度，所以货轮逆水速度是20-5=15(千米/时)，行驶5小时共行了15×5=75(千米)。

2.原路返回时是顺水航行，顺水速度是静水船速+水速，即20+5=25(千米/时)，所以返回用时75÷25=3(小时)。

例3：小船在两个码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，若一只木筏顺水漂过这段距离需

_____

小时？

解：

1.我们可以假设一个路程。

假设两个码头之间的距离是200千米，顺水需4小时，则顺水的速度是每小时200÷4=50（千米），逆水需5小时，则逆水的速度是每小时200÷5=40（千米）。

2.根据“水速=（顺水行驶速度-逆水行驶速度）÷2”得到，水流速度是每小时（50-40）÷2=5（千米）。

3.一只木筏顺水漂过的速度就是水流速度，所以木筏顺水漂过这段距离需要200÷5=40（小时）。

01列车问题

【含义】

与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

★

火车过桥：

过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

★

火车追及：

追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

★

火车相遇：

相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：一列火车全长126米，全车通过611米的隧道需要67秒，火车的速度是多少米/秒？

解：

1.本题考查的是火车过桥的问题。

解决本题的关键是知道火车完全经过隧道所走的路程是一个车身长＋隧道长，进而求出车速。

2.因此火车的速度为：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。

例2：在两行轨道上有两列火车相对开来，一列火车长208米，每秒行18米，另一列火车每秒行19米，两列火车从相遇到完全错开用了12秒钟，那么另一列火车长多少

米？

解：

两列火车从相遇到完全错开，所行路程之和刚好是它们的车身长度之和。

根据“路程和=速度和×时间”

可得，另一列火车长=（18+19）×12-208=236（米）。

例3：一列火车通过一座长90米的桥需要24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。

原来火车每秒行多少米？

解：

1.根据“火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒”可知，如果火车用原来的速度通过222米的隧道，则要用18×2=36（秒）。

2.隧道比大桥长222-90=132（米），火车要多用36-24=12（秒）行驶这一段路程，根据速度=路程÷时间，可以求出原来火车每秒行132÷12=11（米）。

01时钟问题

【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合.两针垂直.两针成一线.两针夹角为60度等，这类问题可转化为行程问题中的追及问题。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

02解题思路和方法

将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角60°等为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1：钟面上从时针指向8开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合?（精确到1分）

解：

1.此类题型可以把钟面看成一个环形跑道。

那么本题就相当于行程问题中的追及问题，即分针与时针之间的路程差是240°。

2.分针每分钟比时针多转6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分钟）。

也就是从8时开始，再经过44分钟，时针正好与分针第一次重合。

例2：从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？

解：

我们可以把钟面看成一个环形跑道，这样分针和时针的转动就可以转化成追及问题。

从早晨6点到傍晚6点，一共经过了12小时，12个小时分针要跑12圈，时针只能跑1圈，分针比时针多跑12-1=11（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会追上时针一次，也就是和时针重合1次，所以12小时内两针一共重合了11次。

例3：一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时。

小明发现，纪录片播放结束时，手表上时针.分针的位置正好与开始时时针.分针的位置交换了一下。

这部纪录片时长多少分钟？（精确到1分）

解：

1.解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是1080°，进而转化成相遇问题来解决。

2.两个多小时，分针与时针位置正好交换。

所以分针与时针所走的路程和正好是三圈，也就是分针和时针合走360°×3=1080°，而分针和时针每分钟的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°

需要1080÷6.5≈166（分钟），即这部纪录片时长166分钟。

01

工程问题

【含义】

工程问题主要研究工作量.工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”.“一块土地”.“一条水渠”.“一件工作”等。

在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】

工作量＝工作效率×工作时间工作时间

＝工作量÷工作效率工作时间

＝工作总量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

02解题思路和方法

解答工程问题的关键是把工作总量看作单位“1”。

这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几）。

进而就可以根据工作量.工作效率.工作时间三者之间的关系列出算式。

例1：一项工程，甲队独做要12天完成，乙队独做要15天完成，两队合做4天可以完成这项工程的（）。

解：

1.本题考察的是两个人的工程问题，解决本题的关键是求出甲.乙两队的工作效率之和。

进而用工作效率×工作时间=工作量。

2.甲队的工作效率为:1÷12=，乙队的工作效率为:1÷15=，两队合做4天，可以完成这项工程的（+）×4=。

例2：一项工程，甲.乙两队合作30天完成。

如果甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成。

这项工程如果由甲队单独做，需要多少天完成？

解：

1.我们可以将“甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去。

由乙队继续做了15天才完成”转化为“甲.乙两队合做27天，甲再单独做9天”，由此可以求出甲9天的工作量为：，甲每天的工作效率为：，这项工程如果由甲队单独做，需要。

例3：有一项工程，甲单独做需要6小时，乙单独做需要8小时，丙单独做需要10小时，上午8时三人同时开始，中间甲有事离开，如果到中午12点工程才完工，则甲上午离开的时间是几时几分？

解：

1.根据题意，知道了甲乙丙的工作时间可求出相应的工作效率。

甲的工作量是全部工作量减去乙丙的工作量，所以甲的工作时间也可以求出来，即甲上午离开的时间也可以求出来。

2.甲的工作量=1-（+）×4=；

甲的工作效率为：1÷6=

所以甲的工作时间为：÷=（小时）

所以甲离开的时间是8时36分。

01盈亏问题

【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总量＝（盈＋亏）÷分配差如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总量＝（大盈－小盈）÷分配差参加分配总量＝（大亏－小亏）÷分配差

02解题思路和方法

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1：小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；

如果每分钟走70米，则可提前5分钟到校，小明家到学校的路程是多少米？

解：

1.分析题意，类比“盈亏问题”，我们可以把“迟到3分钟”，转化为比计划路程少行50×3=150（米），把“提前5分钟”转化为比计划路程多行70×5=350（米）

这时题目被转化成了“一盈一亏”问题。

2.根据公式，求出原计划到校的时间：（350+150）÷（70-50）=25（分钟）。

3.所以小明家到学校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。

例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块；

若每人擦6块，正好擦完。

擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少块？

解：

1.由题意可知，本题属于分配不均型的盈亏问题，需要将题目条件转化成一般盈亏问题。

“其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块”可以转化为“每人擦5块，则余10块”。

2.这样就转化为了双盈问题，擦玻璃的有：

（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60块。

例3：动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；

如果有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子。

一共有多少只猴子？

解：

1.分析题意，题中有两种分配方式。

联系“盈亏问题”，我们可以把“两只猴子没有分到”理解为桃子的数量少

2×10=20（个），再把“有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子”理解为每只猴子分9个，则还少（9-8）×2+3=5（个）。

2.这时把题目看成“双亏问题”，求出猴子的数量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。

01百分数问题

【含义】

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。

分数常常可以通分.约分，而百分数则无需；

分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只显“率”；

分数的分子.分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；

百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】

掌握“百分数”.“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量标准量＝比较量÷百分数

02解题思路和方法

一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；

（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1：在植树节里，某校六年级学生在校园内种树8棵，占全校植树数的20%，则该校在植树节里共植树多少棵？

解：

已知六年级学生的种树棵数以及所种棵数占全校植树数的比值，直接用除法运算即可。

所以：8÷20%=40（棵）

例2：商店新上架了一批连衣裙，第一天卖出总数的25%，第二天卖出45件，第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分一，最后剩下20件，则商店原先进了多少件连衣裙？

解：

1.把这批连衣裙的总数看作单位“1”，已知第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分之一，也就是第三天卖出了25%的和45的，由此可以求出与（45+45×+20）对应的分率。

2.根据已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数，用除法解答。

（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）

例3：一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，白子占总数的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占总数的75%，则原来这堆棋子一共有多少枚？

解：

1.本题考察的是百分数应用题的相关知识，解决本题的关键是当一种棋子变化时，抓住另一种棋子的数量不变，统一不变量的份数，进而解决问题。

2.由条件可知，当拿走49枚黑子时，此时白子的数量没有变化，那么拿走49枚黑子前，黑子与白子的数量比为（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子与白子的数量比为（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相当于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子

3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。

4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的数量没有变化，所以原来黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原来这堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

03知识补充

百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：

★ 增长率＝增长数÷原来基数×100%

★ 合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

★ 出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

★ 出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

★ 缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%

★ 发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

★ 成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

★ 出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

★ 出油率＝油的重量÷油料重量×100%

★ 废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

★ 命中率＝命中次数÷总次数×100%

★ 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

方阵问题

【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。

根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数 ＝（每边人数－1）×4

每边人数 ＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人

数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

解题思路和方法

方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有

多少人？

解：

1.要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。

2.一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。

例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？

解法1：

1.本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2.方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:

若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4。则：

（16-3）×3×4=156(枚)

例3：一个实心方阵由81人组成，这个方阵的最外层有

多少人？

解：

方阵的行数和列数相同，9×9=81，所以这是一个9行9列的方阵。

最外层人数与一边人数的关系：一边人数×4-4=一层人数。

所以最外层的人数是9×4-4=32(人)。

例4：明明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23个棋子，这样排成了一个新方阵，他又把这个新方阵改排成一个4层的空心阵，这个方阵最外层每边有

多少个棋子？

解：

1.根据题意，排成的这个新方阵的每边棋子数是（23+1）÷2=12（个）,那么这个实心方阵的棋子总数是12×12=144（个）。

2.根据空心方阵中，每相邻的两层的棋子数相差8的关系，我们可以找出等量关系，列方程解决。

设最外层有x个棋子，则从外到内每层的棋子数分别是（x-8）个.（x-16）个.（x-24）个。

则：x+

x-8+x-16+x-24=144，x=48

所以这个方阵最外层每边有48÷4+1=13（个）棋子。

01牛吃草问题

【含义】

“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。

这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】

草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

02解题思路和方法

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1：这是一片新鲜的牧场，现有400份草，每天都均匀地生长6份草。

若一开始放26头奶牛，每头奶牛每天吃1份草。

这片牧场的草够奶牛吃多少天？

解：

1.本题考查的是牛吃草的问题。

解决本题的关键是要求出每天新增加的草量，在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由题目可知：原有的草量+新长的草量=总的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新长的草。

原有的草量是不变的，每天新长的草量是匀速的，每天都长6份，每头奶牛每天吃1份，新长的草刚好够6头奶牛吃的量。

那么剩下的20头奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），够吃20天。

例2：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要求6天抽干，需要

多少台同样的抽水机？

解：

设每台抽水机每天可抽1份水。

5台抽水机20天抽水：5×20=100（份）

6台抽水机15天抽水：6×15=90（份）

每天入库的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20×2=60（份）

需抽水机台数：60÷6+2=12（台）

答：要求6天抽干，需要12台同样的抽水机。

例3：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需

多少分钟？

解：

1.本题考查的是牛吃草的问题，“旅客”相当于“草”，检票口相当于“牛”。

2.由题目可知，旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

那么4个检票口30分钟检票4×30=120（份），5个检票口20分钟检票5×20=100（份），多花了10分钟多检了120-100=20（份）

那么每分钟新增顾客数量为：20÷10=2（份）。

那么原有顾客总量为：120-30×2=60（份）。

同时打开7个检票口，我们可以让2个检票口专门通过新来的顾客，其余的5个检票口通过原来的顾客，需要60÷5=12（分钟）。

01鸡兔同笼问题

【含义】

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡.兔共有多少只头和多少只脚，求鸡.兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡.兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题：

✦ 假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

✦ 假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

第二鸡兔同笼问题：

✦ 假设全是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

✦ 假设全是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

02解题思路和方法

解此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；

如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1：鸡和兔在一个笼子里，共有35个头，94只脚，那么鸡有多少只，兔有多少只？

假设笼子里全部都是鸡，每只鸡有2只脚，那么一共应该有35×2=70（只）脚，而实际有94只脚，这多出来的脚就是把兔子当作鸡多出来的，每只兔子比鸡多2只脚，一共多了94-70=24（只），则兔子有24÷2=12（只），那么鸡有35-12=23（只）。

例2：动物园里有鸵鸟和长颈鹿共70只，其中鸵鸟的脚比长颈鹿多80只，那么鸵鸟有多少只，长颈鹿有多少只？

解：

假设全部都是鸵鸟，则一共有70×2=140（只）脚，此时长颈鹿的脚数是0，鸵鸟脚比长颈鹿脚多140只，而实际上鸵鸟的脚比长颈鹿多80只。

因此鸵鸟脚与长颈鹿脚的差数多了140-80=60（只），这是因为把其中的长颈鹿换成了鸵鸟。

把每一只长颈鹿换成鸵鸟，鸵鸟的脚数将增加2只，长颈鹿的脚数减少4只，那么鸵鸟脚数与长颈鹿脚数的差就增加了6只，所以换成鸵鸟的长颈鹿有60÷6=10（只），鸵鸟有70-10=60（只）。

例3：李阿姨的农场里养了一批鸡和兔，共有144条腿，如果鸡数和兔数互换，那么共有腿156条。鸡和兔一共有多少只？

解：

根据题意可得：前后鸡的总只数=前后兔的总只数。

把1只鸡和1只兔子看做一组，共有6条腿。

前后鸡和兔的总腿数有144+156=300（条）

所以共有300÷6=50（组），也就是鸡和兔的总只数有50只。

例4：一次数学考试，只有20道题。做对一题加5分，做错一题倒扣3分（不做算错）。

乐乐这次考试得了84分，那么乐乐做对了多少道题？

解：

如果20题全部做对，应该得20×5=100（分），而实际得了84分，少了100-84=16（分）。

做错一题和做对一题之间，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做错了16÷8=2（题）。

一共20题，所以乐乐做对了20-2=18（题）。

01抽屉问题

【含义】

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，如367个人中至少有两个人是同一天过生日，这类问题在生活中非常常见。

它所依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。

抽屉原理又名狄利克雷原则，是符合某种条件的对象存在性问题有力工具。

【数量关系】

基本的抽屉原则是：

如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：

如果有m个抽屉，元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

02

解题思路和方法

目前,处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。

例1：不透明的箱子中有红.黄.蓝.绿四种颜色的球各20个，一次至少摸出多少个球才能保证摸出两个相同颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利的情况，因为有4种颜色，想要摸出两个相同颜色的球。

那么最不利的情况就是，每种颜色的各摸出一个，这时再摸一个球，一定与前几个球有颜色相同的。

因此至少要摸4+1=5(个)球。

例2：袋子中有2个红球，3个黄球，4个蓝球，5个绿球，一次至少摸出多少个球就能保证摸到两种颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利情况，想要摸出两种颜色的球。

最不利的情况应该是将一种颜色的球都拿出来时，不论接下来摸的球是什么颜色都与之前颜色不同。

因为4种球的个数各不相同。

所以最不利的情况应该是先将个数最多的球都拿出来，接下来摸的球都一定与之前颜色不同。

因此至少摸出5+1=6(个)球

例3：一次数学竞赛共5道选择题，评分标准为：基础分5分，答对一题得3分，答错扣1分，不答不得分。

要保证至少有4人得分相同，最少需要多少人参加竞赛？

解：

1.本题考察的是抽屉原理的相关知识，解决本题的关键是要知道得分一共有多少种不同的情况。

进而从最坏的情况开始考虑解决问题。

2.一共有5题，且有5分的基础分，那么每道题就有1分的基础分。

也就相当于答对一题得4分，答错不得分，不答得1分。

这次数学竞赛的得分情况有以下几种：

5题全对的只有1种情况：得20分；

对4题的有2种情况：1题答错得16分，1题没答得17分；

对3题的有3种情况：2题全错得12分，只错1题得13分，2题不做得14分；

对2题的有4种情况：3题全错得8分，只错2题得9分，只错1题得10分；3题全不答得11分；

对1题的有5种情况：4题全错得4分，只错3题得5分，只错2题得6分，只错1题得7分，4题全不答得8分；

答对0题有6

种情况：5题全错得0分；错4题得1分，错3题得2分，错2题得3分，错1题得4分，5题全不答得5分。

我们发现从0分到20分，只有19分.18分.15分这三个分数没有，其它都有。

所以一共有20+1-3=18（种）不同的得分，要保证有四人得分相同。

最少需要18×3+1

=

55（人）参加竞赛。

01浓度问题【含义】

在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。

这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）.溶质.溶液.浓度这几个量的关系。

例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。

溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

【数量关系】

溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%

02解题思路和方法

找出不变量，简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。

例1：要将浓度为25％的酒精溶液1020克，配制成浓度为17％的酒精溶液，需加水多少克？

解：

1.根据题意可知，配制前后酒精溶液的质量和浓度发生了改变，但纯酒精的质量并没有发生改变。

2.纯酒精的质量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液质量的17%。

所以配制后酒精溶液的质量：255÷17%=1500（克）。

加入的水的质量：1500-1020=480（克）。

例2：有浓度为30%的盐水溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24%的盐水溶液。

如果再加入同样多的水，那么盐水溶液的浓度变为多少？

解：

1.分析题意，假设浓度为30%的盐水溶液有100克，则100克溶液中有100×30%=30（克）的盐，加入水后，盐占盐水的24%。

此时盐水的质量为：30÷24%=125（克），加入的水的质量为：125-100=25（克）。

2.再加入相同多的水后，盐水溶液的浓度为：30÷（125+25）=20%。

例3：两个杯中分别装有浓度为45%与15%的盐水，倒在一起后混合盐水的浓度为35%。

若再加入300克浓度为20%的盐水，则变成浓度为30%的盐水，则原来浓度为45%的盐水有多少克？

解：

1.本题考察的是浓度和配比问题的相关知识。

解决本题的关键是先求出原溶液与混合后的溶液浓度差的比。

从而求出所需溶液质量的比，并解决问题。

2.根据题意可知，浓度为35%的盐水和浓度为20%的盐水混合成浓度为30%的盐水，因为浓度为35%的盐水比混合后的浓度多35%-30%=5%，浓度为20%的盐水比混合后的浓度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合时，2份浓度为35%的盐水才能补1份浓度为20%的盐水。

故浓度为35%的盐水与浓度为20%的盐水所需质量比为2:1

所以浓度为35%的盐水一共300÷1×2=600（克）。

3.同理，浓度为45%和15%的盐水溶液与混合后浓度为35%的盐水溶液差的比为（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么浓度为45%和15%的盐水溶液所需要的质量比为2:1，即2份浓度为45%的盐水才能补上1份浓度为15%的盐水。

故原来浓度为45%的盐水有600÷（1+2）×2=400（克）。

01利润问题【含义】

这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本.利润.利润率和亏损.亏损率等方面的问题。

【数量关系】

利润＝售价－进货价利润率

＝（售价－进货价）÷进货价×100%售价

＝进货价×（1＋利润率）亏损

＝进货价－售价亏损率

＝（进货价－售价）÷进货价×100%

02解题思路和方法

简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。

例1：某服装店从韩国代购100件羽绒服，每件进价300元，另外还需要付10元/件的代购费和200元的国际快递费。

该服装店要想每件羽绒服获得75%的利润率，则每件定价为多少元？

解：

由题意可知，每件羽绒服实际总成本包括每件羽绒服的进价.代购费和运费，总成本为300+10+200÷100=312（元），要想每件获得75%的利润，那么每件定价应该是成本的1+75%=175%，故每件定价为312×175%=546（元）。

例2：一件上衣打七折后的售价是140元，老板说：“如果这件上衣打对折就不赚也不亏”。

这件上衣成本是多少元？

解：

1.本题关键是理解打折的含义，打几折后现价就是原价的百分之几十，打对折就是指现价是原价的50%。

2.打七折是指现价是原价的70%，若把原价看成单位“1”，它的70%对应的数量是140元，所以原价是140÷70%=200（元）。

打对折是指打折后的价格是原价的50%，再用原价乘50%就是这件上衣的成本价。

所以这件上衣成本价：200×50%=100（元）。

第五篇：典型应用题.还原问题

典型应用题—还原问题

11例题:一根绳子，第一次剪去又2分米，第二次剪去余下的 又2分米，最后剩下6分米。这根绳子3

3原来有多长?

分析：这类问题可以从“最后余下多少”这个问题出发，到回头来想想，如果上一次没有剪去这时应该余下多少，再想想如果上上一次没有剪去，余下的应该又是多少、、、、、、。这样一直想下去直到还原这根

1绳子没有剪。例如这道题，我们就可以从“第二次剪去余下的又2分米，最后剩下6分米。”出发去

31想，先求出如果这次没有剪，该余下多少？可以这样想，假设2分米没有剪，那么第二次剪去余下的 3

11后，剩下(2+6)分米,正好就是余下的),.这样用(2+6)÷(1-)=12(米),就求出了如果这次没有剪，该余33

11下12米。这样就还原到“一根绳子，第一次剪去 又2分米后余下12米。”同样用（12+2）÷（1-）33

=21（米），就求得这根绳子原来的长度。

练习：

1、一筐苹果，第一次吃去一半零3个，第二次吃去余下的一半零2个，第三次吃去余下的一半零4个，最后还有12个苹果，求原来共有多少个苹果？

2、篮子中有一些桔子，如果将其中的一半又一个给第一个人，将余下的一半给又2个给第二个人，然后将剩下的一半又3个给第三个人，蓝中刚好一个也不剩。蓝中原有多少个桔子？

3、大娘院子里有群鸡，鸡的只数加上七，乘以七，减去七，除以七，再减去七，其结果等于七，大娘院子里有多少只鸡？

4、姐姐买了一些桃子，第一天吃了这些桃子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。那么姐姐买了多少个桃子？

5、王老师拿着一批书送给30位学生，每到一位学生家里，王老师就将所有书的一半给他，每位学生也都还他一本，最后王老师还剩2本书。那么王老师原来拿了几本书？

6、一堆煤，先运走12又1吨，再运走余下的又1吨，这时还剩下2吨。原来这堆煤有多少吨？ 357、一根绳子第一次剪去全长的一半差1米，第二次剪去余下的一半差1米，第三次又剪去剩下的一半差1米，最后还剩下3米。这根绳子原来有多少米？

8、一根绳子第一次剪去全长的一半多1米，第二次剪去余下的米，最后还剩下2米。这根绳子原来有多少米？

9、一根绳子剪去全长的11多2米，第三次又剪去剩下的多134111，再剪去余下的，又剪去余下的，还剩下4米。这根绳子原来有多少米？ 33310、某新华书店运进一批故事书，第一周售出总数的一半还多40本，第二周售出剩下的一半少5本，还剩下35本，新华书店运进故事书多少本？

11、一堆煤，先运走12又2吨，再运走的是余下的少2吨，还剩下8吨。原来这堆煤有多少吨？ 35