积化和差教案

第一篇：积化和差教案

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三角函数的积化和差与和差化积 人教必修

一、素质教育目标(一)知识教学点

1．三角函数的积化和差．

2．三角函数的和差化积．

(二)能力训练点

1．三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的变形中是十分重要的． 2．积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环给予足够的重视．

(三)德育渗透点

数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积．在实际应用，他们又是相辅相成的，通过这一内容的教学，使学生受到一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机．

二、教学重点、难点

1．教学重点：理顺三角公式变换的相互关系，掌握积化和差与和差化积公式的推导过程，并能用它们解决一些实际问题，以及用好用活

2．教学难点：(1)公式的推导．(2)公式的应用．

(3)三角式的恒等变换的一般规律．

三、课时安排 4课时．

四、教与学过程的设计

第一课时 三角函数的积化和差(一)复习和、差角的正弦与余弦公式

师：前阶段我们已学习了和差、倍、半角的三角函数的公式，请问学生回忆一下这些三角公式的推导，变换过程．

生：所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是证明了两角和的余弦函数公式．之后，利用换元法以及诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来，他们相互之间是有紧密关系的．

师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内在联系，寻求新的关系式．

(二)引入新课

请学生说出正、余弦的和差角公式(板书)sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)cos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)cos(α-β)=cosαcosβ＋sinαsinβ(4)师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来． 生1：把(1)式与(2)式相加可得

sin(α＋β)＋sin(α-β)=αsinαcosβ． 生2：把(1)式与(2)式相减可得 sin(α＋β)-sin(α-β)=αcosαsinβ． 师：(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到： cos(α＋β)＋cos(α-β)=2cosαcosβ，cos(α＋β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ． 师：若把这四个关系式整理一下，即可得到

以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式．

积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用．现在请同学们先翻开课本p．227，先看看这段课文，特别是注意公式的函数，函数名、角的形式等特征，记好这四个公式(五分钟阅读，让学生记忆)．

师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例题．

例题 求sin75°²cos15°的值．

请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？

生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．

师：很好，用我们刚刚学过的积化和差公式可以很方便地解决这个问题，请大家想想是否还有其他解法？

生2：由于75°与15°互为余角，所以可以采用以下的解法．

生3：由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以只要用到和差角的三角函数公式就可以解决了．

师：从这个例题的几种解法，我们可以看出，三角函数求值或恒等变换，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，获得问题的解决，可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适当的方法，以求问题的解决．现在，请同学们取出课堂练习本，完成以下的几个练习．

(三)课堂练习

1．求sin20°²cos70°＋sin10°²sin50°的值，2．求cos37.5°²cos22.5°的值，学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难的学生作些提示，适当时候，安排几个学生作板演．

练习题解法：

1．sin20²cos70°＋sin10°²sin50°

2． cos37.5°²cos22.5°

而sin20°²sin40°²sin80°

(四)课堂小结

本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式

五、作业

p．231中3；p．236中1、2． 六．板书设计

第二篇：高考数学知识点和差化积公式

高考数学知识点:和差化积公式

在数学学习中户有很多概念跟公式，因此会造成公式混合之说，所以我们要好好掌握数学概念以及公式，才能将数学成绩学习到最好。下面是高考信息网为学生整理的高考数学知识点中和差化积公式，希望对学生有所帮助。

和差化积公式如下：

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

理科中最重要的就是数学，它是主科中之一。学习数学是需要我们消耗大量时间去好好学习，不能粗心，数学中最怕的就是粗心，数学中有许多繁琐的概念要我们大量掌握。

第三篇：和差问题教案

和差问题教案

教学目标

1.会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备．

2.总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题．

基本概念：已知几个数的和与差，求这几个数的应用题，叫和差问题。

基本思路：通常采用假设的方法，就是假设那个较小的数和较大的数相等或者假设那个较大的数和那个较小的数相等，这样就会引起总数（和）的变化（增加或减少），求出新的和，平均分就可得其中的一个数。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

关键问题：求出同一条件下的和与差。

基本公式：

①（和-差）÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②（和+差）÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数

知识点拨：

和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。例1：两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？

1、读题，找出条件和问题。

2、根据条件和问题画出线段图

3、想一想假设两筐的水果一样重好求吗？（总重量÷2）

4、假设把第二筐多的10千克减掉，看成两个第一筐的重量来计算，总重量要变成多少？怎么计算？

（15010）270（千克）列式：第一筐：

第二筐：701080（千克）

5、假设把第一筐少的10千克补上，看成两个第二筐的重量来计算，总重量要变成多少？怎么计算？

（15010）280（千克）列式：第二筐：

第一筐：801070（千克）

6、小结：知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：

方法一：(和+差)÷2=大数 和-大数=小数 方法二：(和-差)÷2=小数 和-小数=大数

巩固练习：（1）甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？

问：题目中知道了什么条件？

问：“已知甲每分钟比乙多打10个字”这个条件告诉我们甲、乙两人每分钟打字的什么？

问：根据“2分钟共打了240个字”可以求出什么？（甲、乙两人一分钟就打了2402120（个））师：这实际上就知道了甲、乙两人每分钟打字的和，这样就转换成典型和差问题了．

（240210）265(个)方法一：甲： 乙：651055(个)（240210）255(个)方法二：乙： 甲：551065（个）

在研究完这两种方法以后，老师要注意引导学生来总结和差问题的解决方法．解答和差问题的应用题，可以先画出线段图，从线段图上找到大数和小数，并找到解决方法．

(两数的和－两数的差)÷2=较小的数 较小的数+两数的差=较大的数

(两数的和+两数的差)÷2=较大的数 较大的数－两数的差=较小的数

（2）果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？

（26020）2140（棵）梨树：14020120（棵）方法一：桃树：

（26020）2120（棵）桃树：12020140（棵）方法二：梨树：（3）有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？

（122）25(米)第二段：1257(米)第一段：（4）陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘

米？

陈红和李玲平均身高为130厘米，她们身高的和为：1302260(厘米)

（2608）2 134(厘米)李玲：1348126(厘米)方法一：陈红：

（2608）2 126(厘米)陈红：1268134（厘米）方法二：李玲：

第四篇：和差问题教案

和差问题教案

教学目标

1.会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备．

2.总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题． 知识点拨：

和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下： 方法一：(和+差)÷2=大数 和-大数=小数 方法二：(和-差)÷2=小数 和-小数=大数 例题精讲

板块

一、基本的和差问题

【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？

【解析】本题也是和差问题的基本题型，借助线段图来分析如下：

方法一：把第二筐多的10千克减掉，看成两个第一筐的重量来计算． 列式：第一筐：，第二筐：701080（千克）．（15010）270（千克）方法二：把第一筐少的10千克补上，看成两个第二筐的重量来计算． 列式：第二筐：，第一筐：801070（千克）（15010）280（千克）【巩固】甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？

【解析】首先要理解2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了2402120（个）．这样就转换成典型和差问题了． 方法一：甲：（240210）265(个)乙：651055(个)方法二：乙：（240210）255(个)甲：551065（个）

在研究完这两种方法以后，老师要注意引导学生来总结和差问题的解决方法．解答和差问题的应用题，可以先画出线段图，从线段图上找到大数和小数，并找到解决方法．(两数的和－两数的差)÷2=较小的数 较小的数+两数的差=较大的数(两数的和+两数的差)÷2=较大的数 较大的数－两数的差=较小的数

【巩固】果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？ 【解析】方法一：桃树：（26020）2140（棵）梨树：14020120（棵）

方法二：梨树：（26020）2120（棵）桃树：12020140（棵）

答：桃树有140棵，梨树有120棵．

【巩固】有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？ 【解析】第一段：（122）25(米)第二段：1257(米)答：第一段长5米，第二段长7米．

【巩固】陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？ 【解析】陈红和李玲平均身高为130厘米，她们身高的和为：1302260(厘米)方法一：陈红：（2608）2 134(厘米)李玲：1348126(厘米)方法二：李玲：（2608）2 126(厘米)陈红：1268134（厘米）

【例2】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？

【解析】解决和差问题的应用题，首先学会画线段图是关键，在这里借助两把尺子来进行比较分析，比较直观和形象，然后再从直观的实物图过渡到抽象的线段图学生比较容易理解．此处是本节课的难点突破所在，对于方法的研究老师要引导学生来思考．

方法一：假设跳跳多4厘米，那么就和点点一样长，这时总长增长到了16420（厘米），2个点点的长是20厘米，那么点点的长就是20210（厘米），跳跳就是1046（厘米）． 列式：点点（大数）：；跳跳（小数）：1046（164）210（厘米）（厘米）．

方法二：假设点点少4厘米，那么就和跳跳一样长，这时总长就减少到了，2个跳跳的长是12厘米，那么跳跳的长就是16412（厘米），点点就是6410（厘米）． 1226（厘米）列式：跳跳（小数）：；点点（大数）：6410（164）26（厘米）（厘米）

【巩固】二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？

【解析】本题是和差问题的基本题型，已知两个数的和与两个数的差，然后求大小两个数各是多少．和差问题一般可以借助线段图来进行分析． 方法一：一班人数：（853）244(人)，二班人数：44341（人）方法二：二班人数：（853）241(人)，一班人数：41344（人）

【巩固】两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？ 【解析】两个连续奇数的差是2,利用和差公式解答如下．

较小数：（36-2）217 较大数：361719

【巩固】一辆公交车里有30位乘客，到大桥站有17人下车，又上来19人，现在车上和原来比，人多了还是少了，多（或少）几个人？

【解析】这道题有两种不同的思维方法．

方法一：先求出现在车上有多少人，再和原来车上30人进行比较，就知道人多了还是人少了，再用减法计算，就能求出多或少了几个人． 列式：现在车上人数：30171932（人）现在车上比原来多几人？32302（人）

方法二：聪明的学生会想到只要把下车和上车的人数进行比较，就知道答案了，因为下车17人，上车19人，上车的人比下车的多2人．这样原来车上的“30人”就是多余条件了． 列式：19172（人）

答：现在车上人多了，多2人．

【例3】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？

【解析】长方形一周的长是指两条长和两条宽的和，由条件可知一条长与一条宽的和为4002200(米)，由此我们就知道了长和宽之和是200米，又知道长和宽之差是80米，根据和差问题来解答： 方法一：长：（20080）2140(米)宽：1408060（米）方法二：宽：（20080）260(米)长：6080140（米）

【巩固】丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？

【解析】在这道题中，我们已知丁丁数学成绩比语文成绩多2分，也就是知道了数学成绩和语文成绩之差，如果找到数学成绩和语文成绩之和，就转换成和差问题来解答了．又因为知道了语文和数学的平均分是91分，那么两科成绩之和就是912182（分）． 方法一：数学：（1822）292（分）语文：92290（分）方法二：语文：（1822）290（分）语文：90292（分）

【例4】学校水果店运来苹果和梨共40千克，苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5千克，则水果店运来苹果和梨各多少袋？

【解析】方法一：题目中知道了苹果比梨多2袋，如果能求出苹果和梨一共的袋数，就可以用和差问题来解决了．而题目中只告诉我们苹果和梨共40千克，不过还告诉我们苹果和梨每袋都重5千克，那么就可以求出苹果和梨一共有4058（袋），现在就可以求出梨有，苹果有（82）23（袋）．（82）25（袋）方法二：部分学生可能根据题目中告诉的苹果和梨的总千克数，然后求出苹果比梨多2510（千克），算出苹果和梨各多少千克，最后再算出各多少袋．解答如下：

苹果比梨多：2510（千克）苹果的重量：（4010）225（千克）梨的重量：251015（千克）苹果的袋数：2555（袋）梨的袋数：1553（袋）

两种方法相比较，第一种方法更简便、直观．

【巩固】有一种小虫，每隔2秒钟分裂一次．分裂后的2只新的小虫经过2秒钟后又会分裂．如果最初瓶中只有1只小虫，那么2秒后变2只，再过2秒后就变4只„„2分钟后，正好满满一瓶小虫．现在这个瓶内最初放入2只这样的小虫．经过多长时间，正巧也是满满一瓶小虫? 【解析】如果刚开始瓶里有1只小虫，每隔2秒钟分裂一次，第一次就分裂成2个，第二次就分裂成4个„„这样2分钟就正好有了满满一瓶小虫．如果瓶里开始就放有2只小虫，那么第一次就分裂成4个，和原来比少了1个分裂成两个的2秒，直接已经有了2个．这样如果瓶里有2只小虫，就会原来的时间少2秒，需要1分钟58秒就分裂成了满满一瓶小虫．

【例5】小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只？

【解析】解决这道题的关键就是理解“如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多”，这句话的意思也就是白兔的只数比黑兔的只数少4只，或黑兔的只数比白兔多4只．只要理解了这个已知条件，我们就可以把这个题转换成典型和差问题来解决了．

方法一：把黑兔多的4只减掉，看成两个白兔的数量来计算． 列式：白兔：，黑兔：22913(只)或9413(只)（224）29（只）方法二：把白兔少的4只加上，看成两个黑兔的数量来计算． 列式：黑兔：（224）213(只)，白兔：22139(只)或 1349(只)【巩固】图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求原来上、下层各存书多少本？

【解析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本，如果从上层书架中减去10220（本)，就和下层书架上的书同样多，那么上、下两层书架上书的总数减少了20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的2倍． 方法一：下层：（22020）2100(本)上层：220100120(本)方法二：上层：（22020）2120（本）下层：220120100（本）【例6】小华每天写8个大字，比小军每天多写2个．小华和小军一星期一共写多少个大字？ 【解析】方法一：要知道小华和小军一星期一共写多少个大字，就要先求出小华和小军每天共写几个大字．小华每天写8个大字，比小军每天多写2个，可以算出小军每天写6个大字，他俩每天共写14个大字．“一星期有7天”这是个隐藏条件，这个条件也是解决问题的关键，因此要认真读题才能找到这个已知条件．最后我们就可以用乘法计算出小华和小军一星期一共写多少个大字． 列式：小华和小军每天共写多少个大字？ 82814（个）小华和小军一星期一共写多少个大字？14798（个）

方法二：可以先分别求出小华一个星期写了多少个大字和小军一个星期写了多少个大字，然后把他们一共写的个数加起来．

列式：小华一星期写了多少个大字？8756（个）小军一星期一共写多少个大字？（82）742（个）

小华和小军一星期一共写多少个大字？ 564298（个）

答：小华和小军一星期一共写98个大字．

【巩固】商店里每天卖出电脑10台，卖出的彩电比电脑多5台，一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？ 【解析】方法一：每天卖出电脑和彩电多少台？1051025（台）

一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？257175（台）

方法二：电脑一个星期共卖出多少台？10770（台）

彩电一个星期共卖出多少台？（105）7105（台）

一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？70105175（台）

答：一个星期商店卖出电脑和彩电一共175台．

【例7】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？

【解析】这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于隐藏条件．由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，实际上甲校比乙校多2021050(人)，找到了隐藏的差，就转变成了典型的和差问题． 列式：乙：（105050）2500(人)甲：1050500550(人)【巩固】小华和小敏共有铅笔25枝，如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，小华和小敏原来各有多少枝铅笔？

【解析】如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3枝．找到了这个暗差，这道题就简单了． 方法一：小华：（253）214（枝）小敏：14311（枝）方法二：小敏：（253）211（枝）小华：11314（枝）

【例8】周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚的数学各考了多少分？

【解析】已知周明和王刚两人数学成绩的和是182分，根据条件“周明如果多考5分，就比王刚多3分“可知，王刚的数学成绩比周明多532（分）．转换成和差问题解答如下： 方法一：王刚：（1822）292（分）周明：92290（分）方法二：周明：（1822）290（分）王刚：90292（分）

【巩固】有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克．问：原来大、小两个油桶各装油多少千克？

【解析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，这道题就变成了典型的和差问题的应用题了． 方法一：大桶：（244）214（千克）小桶：14410（千克）方法二：小桶：（244）210（千克）大桶：10414（千克）

【例9】兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？

【解析】这道题关键也是要找到暗差，小白兔给了小黑兔5个后，小黑兔又比小白兔多出1个萝卜，画图来分析，可以得出原来小白兔比小黑兔多5219个萝卜．这时就可以根据和差问题问题来解决了．

方法一：小白兔：，小黑兔：291910（个）（299）219（个）方法二：小黑兔：，小白兔：291019（个）．（299）210（个）【巩固】甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？

【解析】乙比甲多8216（包）

甲：（5616）220（包）乙：562036（包）答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米36包．

【例10】甲校原来比乙校多48人，为方便就近入学，甲校有若干人转入乙校，这时甲校反而比乙校少12人．甲校有多少人转入乙校？

【解析】利用移多补少思想思考，48224（人），当甲校转入乙校24人时，那么甲乙两校的人数就一样多，当甲校继续有同学转入到乙校时，每转入一个同学，甲校就比乙校少2人，1226，当再从甲校转入6人到乙校时，甲校就比乙校少12人，所以甲校一共转入乙校24630（人）时，甲校就比乙校少12人．

【巩固】两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？ 【解析】已知甲箱借出10本图书后，比乙箱少4本，可知甲箱原来比乙箱多1046（本）图书．

方法一：甲箱：（666）236（本）乙箱：36630（本）方法二：乙箱：（666）230（本）甲箱：30636（本）

【巩固】方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆原来各有图书多少本？

【解析】方方给圆圆5本后，圆圆比方方多4本．，那么芳芳比圆圆多5246（本）图书．原来圆圆有：，圆圆有：38632（本）．（706）238（本）【例11】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米．每块布料各长多少米？

【解析】先画线段图，从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20米，第三块减少203050(米)，总和减少205070(米)，即19070120(米)．120米相当于第一块布料长的3倍，求出第一块布料的长度，第二块、第三块就可以求出． ⑴ 第一块布料长度的3倍是：190（202030）120(米)⑵ 第一块布料的长度是： 120340(米)⑶ 第二块布料的长度是： 402060(米)⑷ 第三块布料的长度是： 603090(米)【巩固】甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数． 【解析】已知甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，可求出甲数比丙数多448．如果甲数少8，乙数少4，则甲、乙、丙三数相等，105，差正好是丙的3倍，除以3便可求出丙数． ’（84）105（84）93 93331„„丙数 答：丙数是31。

【巩固】有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？

【解析】以第一条绳子为标准，变化后的绳子总长 95-7＋8=96（米）

第二条绳长： 96÷（1＋1+1）=32（米）。第一条绳长：32＋7=39（米）。第三条绳长：32-8=24（米）.【巩固】甲、乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

【解析】甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是两校人数差。①乙校原有的学生：（864-32×2-48）÷2＝376（人）②甲校原有学生：864-376=488（人）

答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。

【巩固】小猴和小熊到动物商店一共买了30块糖，小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块．小熊比小猴少买几块糖？

【解析】一共买了30块糖是一个多余的条件，小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块，说明小猴的糖比小熊一共多22块，可画图分析． 列式：1010222（块）答：小熊比小猴少买22块糖．

【巩固】学而思学校新进99本书，分给三、四、五三个年级，三年级比四年级多分了2本，四年级比五年级多分了5本，三个年级各分得多少本书? 【解析】我们用图来表示题意：

此题从两个数量扩展到三个数量．已知三年级比四 年级 多分了2本，四年级比五年级多分了5本，从线段图上可以清楚地看出：三年级比五年级多分了2＋5＝7(本)．如果三年级少拿7本，四年级少拿5本，那么书的总数就要减少7＋5＝12(本)，总共就是99－12＝87(本)．87本相当于五年级所有的书本数的3倍，由此可以算出三年级四年级五年级三人各自书本的数量． 五年级：[99－(2＋5)－5]÷3＝29(本)四年级：29＋5＝34(本)三年级：34＋2＝36(本)【巩固】甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本．问：甲、乙、丙各有多少本书？

【解析】和差问题是指两个数的和与差，现在出现了三个数，需要化为两个数的和差问题．因为“甲的书比乙多9本，比丙多2本”，说明乙的书比丙少927(本)．由“乙、丙共有书47本”，乙比丙少7本，可用和差公式求解． 乙有书（477）220(本)，丙有书 472027(本)，甲有书 20929(本)．

答：甲有29本，乙有20本，丙有27本．

【巩固】二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了80个男同学和65个女同学，请问：现在是男同学多还是女同学多？多几人？

【解析】这道题有两种思维方法：

方法一：如果原来女同学与男同学人数同样多，那么增加后的人数男同学比女同学多806515(人)，实际上“原来女同学比男同学多25人”，尽管男同学人数比女同学多增加了15人，结果还是女同学人数多，多251510(人)．

说明： 我们也可以这样思考：如果今年二年级增加的男同学人数和女同学人数同样多，都增加65人，那么女同学仍比男同学多25人，实际上男同学比女同学多增加了806515(人)，由于“原来女同学比男同学多25人”，所以，增加后的人数女同学仍比男同学多，多251510(人)． 列式：806515（人）

251510（人）

方法二：我们先不看男同学的变化，先观察女同学的变化，二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了65个女同学，如果男同学人数不增加，女同学就要比男同学增加256590（人）．而男同学又增加了80人，现在女同学就比男同学多901010人． 列式：256590（人）

908010（人）

答：现在女同学多，多10人．

【巩固】草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？

【解析】画图分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把黑兔比白兔多的，补到灰兔比白免少的部分，这样黑兔、白兔、灰兔共27只也可以看成是3倍白兔这么多，因此可以先求出白兔的只数． 列式：白兔：2739（只）黑兔：9211（只）灰兔：927（只）

【例12】大象、老虎、猴子三只动物的年龄中，大象和老虎共90岁，大象和猴子共70岁，老虎和猴子共40岁，请你算一算，三只动物各多少岁？

【解析】大象、老虎、猴子三只动物的年龄和：（907040）2100（只）

大象的年龄：1004060（岁）老虎的年龄：1007030（岁）猴子的年龄：1009010（岁）答：大象60岁，老虎30岁，猴子10岁．

【巩固】小强、中强、大强去称体重，大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克，三个人一起称是76千克．三人的体重各是多少千克？

【解析】解答这道题，要用比较的方法，要抓住“三个人一起称76千克”这个重要条件．又知“大强和小强一起称50千克”，这样就可先求出中强的体重，或者根据“小强和中强一起称是49千克”可求出小强的体重．

方法一：中强的体重：765026（千克）

小强的体重：492623（千克）大强的体重：502327（千克）

方法二：大强的体重：764927（千克）

小强的体重：502723（千克）中强的体重：492326（千克）

答：小强23千克，大强27千克，中强26千克．

【例13】四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共多少人？

【解析】乙+丙+丁=131 甲+乙+丙=134，两式相加（甲+丁）+2（乙+丙）=265，而甲+丁=（乙+丙）+1 所以 3（乙+丙）=265-1，乙+丙=88，甲+丁=89 这四个班共有88+89=177人。

【巩固】甲乙共储蓄32元，乙丙共储蓄30元，甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元? 【解析】甲乙+乙丙+甲丙=32+22+30=84(元)即2倍的(甲+乙+丙)等于84元

甲+乙+丙=84÷2=42(元)丙:42—32=10(元)甲:42—30=12(元)乙:42—22=20(元)【巩固】大明、小荣、豆豆三个小朋友去称体重，大明和小荣一起称是55千克，大明和豆豆一起称是49千克，小荣和豆豆一起称是 56千克．三人的体重各是多少千克？

【解析】这道题是上一题的拓展，看起来无从下手，但是把50千克、49千克、61千克加起来，其实就是三个人体重的2倍，这样我们就可以先求出三个人的总重量，接下来的思路就跟例10一样了． 列式：三个人的总重量：（554956）280（千克）豆豆的体重：805525（千克）小荣的体重：804931（千克）大明的体重：805624（千克）

答：大明24千克，小荣31千克，豆豆25千克．

【例14】地震灾区希望小学正筹备建设图书馆，春蕾小学发动全校同学给山区的学生捐书，二（1）班、二（2）班、二（3）班三个班共捐书300本，二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本，如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．求三个班各捐了多少本书？

【解析】方法一：如图,二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本，又知道三个班一共有300本，这样可以先求出二（3）班的本数． 二(3)班有书：（30060）2120(本)，二(3)班比二(2)班多20240(本)书，二(2)班有书：1204080(本)，二(1)班有书：30012080100(本)．

方法二：如图，如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．那么二（3）班比二（2）班多20240（本），把这多的40本和二（1）班的其中40本抵消，那么二（1）班剩下的本数比二（3）班多60本，这样就可以先求出二（1）班的本数． 二(3)班比二(2)班多20240(本)书，二（1）班有书：4060100（本）书，二（2）班和二（3）班一共有书：300100200（本）二（2）班有书：（20040）280（本）书，二（3）班有书：8040120（本）书．

【例15】哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？

【解析】由于“年龄差”不随年份的推移而变化，所以，兄妹的年龄差始终是1486(岁)．当兄妹的岁数和是42岁时，由和差公式可以求解． 哥哥为（426）224(岁)，妹妹为422418(岁)．

答：那时哥哥24岁，妹妹18岁．

【巩固】兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【解析】3年前哥哥比弟弟大2岁，现在哥哥仍比弟弟大2岁，他们的年龄差不变．

哥哥：（282）215(岁)弟弟：281513(岁)答：哥哥现在15岁，弟弟现在13岁．

【巩固】今年小玲6岁,她父亲34岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁? 【解析】题中没有给出小玲和父亲的年龄之差,但是已知两人今年的年龄,那么两人的年龄差是34-6=28(岁),不论再过多少年,两人的年龄差是保持不变的,所以当两人年龄和为58岁时,他们的年龄差仍是28岁,根据和差问题就可解此题。解: 1.父亲的年龄：〔58+(34-6)〕÷2=〔58+28〕÷2=86÷2=43(岁)2.小玲的年龄：58-43=15(岁)答:当两人年龄和为58岁时,父亲的年龄是43岁,小玲的年龄是15岁。

【巩固】今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

【解析】题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.爸爸的年龄：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（岁）小强的年龄：58-43＝15（岁）

答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

【例16】小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁．三人的年龄各是几岁？

【解析】以小静为标准，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁，把小琴比小静大的1岁，补给小莲，那么小琴现在和小静一样大，而小莲比小静就只小1岁，如果再加上1岁，也和小静一样大．那么现在小静年龄的3倍就应该是．接下来就可以分别求出三人的年龄． 20121（岁）⑴ 小静年龄的3倍是：20（21）21（岁）⑵ 小静现在的年龄是：2137（岁）⑶ 小琴现在的年龄是：718（岁）⑷ 小莲现在的年龄是：725（岁）

【巩固】甲、乙两个笼子里共有小鸡20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只,求甲、乙两笼原来各有鸡多少只? 【解析】这样想:已知甲、乙两个笼子里小鸡的和是20只,根据甲笼里放入4只,乙笼里取1只,还剩1只可知,甲、乙两个笼里小鸡只数相差:4+1+1=6(只)解: 1.乙笼比甲笼多多少只？4+1+1=6(只)2.甲笼原来有小鸡多少只?(20-6)÷2=14÷2=7(只)3.乙笼里原来有小鸡多少只? 20-7=13(只)或(20+6)÷2=13(只)答:甲笼里原有小鸡7只;乙笼里原有小鸡13只。

【例17】四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？

【解析】小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：

可以先求出小玲获票张数，再求出另外两个人的获票张数。观察线段图，把小玲获票张数看作1份，把小华获票张数去掉8张，把小明获票张数去掉（8+14）张，都凑成1份，总张数减少为：54-8-（8+14）=24（张）。所以小玲获票张数：24÷3=8（张）；小华获票张数：8+8=16（张）； 小明获票张数：16+14=30（张）。

【例18】一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒钟。问在无风的时候他跑80米要用多少秒？

【解析】如果我们以无风时少年跑步速度为标准，在同样的风速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，相当与风速。所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。

解法一：先求出无风时少年速度：（90÷10+70÷10）÷2=8（米）。

再求出无风的时候该少年跑80米需要的时间：80÷8=10（秒）。

解法二：以10秒跑步路程为标准，该少年无风时10秒跑步路程为：

（90+70）÷2=80（米）。

所以，在无风的时候该跑80米要用10秒。

【例19】如右图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。大正方形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平方分米，问长方形的宽是几分米？

【解析】对64和4进行拆分：64=8×8；4=2×2。所以，大正方形的边长为8，即长方形长与宽的和为8；小正方形的边长为2，即长方形长和宽的差为2。所以，长方形的宽为：（8-2）÷2=3（分米）。

【例20】姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？ 【解析】“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用时间：48-42=6（分钟）。所以妹妹做英语练习的时间为：（44+6）÷2=25（分钟）。

【巩固】三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。

【解析】先将一、二两个小组作为一个整体，这样就可以利用基本和差问题公式得出第一、二两个小组的人数和，然后对第一、二两个组再作一次和差基本问题计算，就可以得出第一小组的人数。一、二两个小组人数之和=（180+20）/2=100人，第一小组的人数=（100-2）/2=49人。

【巩固】甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克？

【解析】从甲筐取出放入乙筐，总数不变。甲筐原来比乙筐多19千克，后来比乙筐少3千克，也即对19千克进行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。于是，问题就变成最基本的和差问题：和19千克，差3千克。（19+3）/2=11千克，从甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克。

【巩固】一个三层书架共放书108本．上层比中层多放11本，下层比中层少放5本，上、中、下三层各放书多少本? 【解析】 中：（108-11+5）÷3=34（本），上：34+11=45（本），下：34－5=29（本）。评析：（1）此题用画线段图的方法会更直观，易懂。

（2）这道题原题的解法是先求中层的书，这样比较简单.为了更好的锻炼学生对这道题的理解，建议老师可以让学生自己练习先求上层的书的数量，或者先求下层书的数量。

第五篇：三年级和差教案

一． 课题

已知两个数的和与两个数的差，求这两个数。公式：大数=（和+差）÷2

小数=和-大数

小数=（和-差）÷2

大数=和-小数 二． 教学要求 熟练掌握和运用和差。三． 教学过程 ①引入方式

②新概念如何讲 ③例题

1。甲乙两数和是100，甲比乙多20，求甲乙两数各是多少。乙数是：（100-20）÷2=40

或甲数是：(100+20)÷2=60

甲数是：100-40=60

乙数是: 100-60=40

答：甲数是60，乙数是40。

2．甲乙两数和是100，如果甲数拿出20给乙数，则甲乙两数相等，求甲乙两数。差：20×2=40 乙数是：（100-40）÷2=30

或甲数是(100+40)÷2=70

甲数是：100-30=70 乙数是：100-70=30 答：甲数是70，乙数是30。

3。小虎语文数学两科的平均分是96，已知数学比语文多4分，求这两门功课各得了多少分。96×2=192（分）语文是：（192-4）÷2=94（分）

或数学是：（192+4）÷2=98（分）数学是：192-94=98 语文是：192-98=94 答：语文是94，数学是98。

4。甲乙两筐水果共重58千克，如果从甲筐中取出10千克放入乙筐后，甲筐还比乙筐多4千克，求甲乙两筐原来各有多少千克。差：10×2+4=24（千克）甲筐有：（58+24）÷2=41（千克）乙筐有：58-41=17（千克）

答：甲筐有41千克，乙筐有17千克。

5。小磊三天读一本90页的书，第二天比第三天多读5页，第一天比第二天多读5页，求小磊每天个多多少页。第一天：（90+5+5+5）÷3=35（页）第二天：35-5=30（页）第三天：30-5=25（页）

答：小磊第一天读35页，第二天读30页，第三天读25页。④随堂练习

1。一个长方形的周长是50厘米，长比宽长3厘米，求长和宽各是多少厘米。

2。两个连续偶数的和是90，求这两个数分比是多少。

3．师徒二人一共生产180个零件，师傅比徒弟多生产30个零件，求他们各生产多少个零件。

4。华华的语文和数学平均分是92，数学比语文多4分，求语文数学各是多少分。

5。甲乙两数和是40，甲数比乙数多12，求甲乙两数各是多少。

6。某校五年级和六年级共有330人，五年级比六年级多24人，五年级六年级个有多少人。

7。两根绳子共长36米，第一根比第二根长4米，求两根绳子各长多少米。

8。甲乙两个书架共有图书600本，如果从甲书架拿25本到乙书架，两个书架相等，甲乙两

书架各有图书多少本。

9。今年弟弟8岁，姐姐12岁，当两人年龄和是48岁时，他们各有几岁。

10。妈妈今年46岁，女儿今年18岁，当两人年龄和是70岁时，母女各有多少岁。

11。甲乙两桶油共重80千克，如果把甲桶的油倒8千克乙桶中，那么两桶油重量相等，求

甲乙两桶原来各有多少千克油。

12。两筐桃子共有150个，如果从甲筐拿出15个到乙筐中，两筐数量相等，求甲乙两筐原

来各有多少个桃子。

13。有一个人用220元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋，外衣比帽子贵110元，外衣和帽

子比鞋贵160元，那么一双鞋多少钱。

14。甲乙两个修路队5天修了275米，甲队每天比乙队多修5米，求甲乙两个修路队每天各

修多少米。

15。甲乙两桶油共重70千克，如果把甲桶油倒入乙桶中6千克还比乙桶多4千克，求甲乙

两桶各有油多少千克。

16。甲乙两个班级共有学生98人，如果从甲班调5人到乙班后，甲班还比乙班多8人，两

个班原来各有多少人。

17。某校一二三年级共有共有学生800人，其中三年级比二年级多45人，二年级又比一年级多25人，求三年级有多少人。

18。甲仓库存粮比乙仓库少300吨，比丙仓库多100吨，乙丙仓库共存粮4000吨，三个仓

库各存粮多少吨。

19。一根长108米的绳子剪成3段，第一段比第二段长8米，第二段比第三段长27米，三

段绳子歌唱多少米。

20．小红和爸爸妈妈的年龄和是88岁，已知爸爸比妈妈大4岁，妈妈比小红大24岁，求他

们各自多少岁。