研究生教学矩阵理论习题及解答

第一篇：研究生教学矩阵理论习题及解答

第七章 向量空间 §7.1 加法群与映射

1.证明：在加法群中消取律成立：若abac，则bc。

证明：若abac，在等式两边加上a，得

（a）ac（a）ab

a（a）（a）bac

0b0c，即bc。

2.证明：集合X到Y的双射的映射是由所唯一确定的。

证明：设也是的逆，则，，1（）（）1XY，即由所唯一确定。

3.设是加法群U到加法群V的保持加法的映射，证明：是单射的充要条件是：

keru（u）V，uUU 这里U，与V分别为加法群U和V的零元素，集合ker称为的核。

U 证明：必要性，设是单射，首先元uU显然在ker中，若ker中有非零，则

（u）（U）U ，这与是单射矛盾，从而ker充分性，设kerU。，则对于uv，有uvU，从而uvker，即

（u）（v）V（uv），（u）（v）得，也就是为单射。

§7.2 向量空间

（一）Vｎ1.把n元列向量空间表成它的n个子空间的直和。

a000a0P1.,P2.,....,Pn....00a，a。

解：记

显见，这些Pi都是Vn的子空间，于是

aP1P2...Pn，而且a的这种表示是唯一确定的，即

aP1P2....Pn 由a的任意性，知 VnP1P2....Pn。

2.设SS1S2....Sm，欲

SS1S2....Sm，必要且只要

(S1....Si1)Si，i2,3.....m。

必要且只要把这m个子空间分成任意两组(rtm)以后，恒有

Si1,....,Sir与

Sj1,....,Sjt，其中

(Si1....Sir)(Sj1....Sjt)()。

证明：(1)必要性，设SS1S2....Sm，则S中任意元aa1....am，其中aiSi时表法唯一。

(SS2....Si1)Sia(S1....Si1)Si对任意i2，若有1，取，则

aa1a2....ai1...aaiSi，其中，有两种不同的表法，矛盾。从而

(S1....Si1)Si 充分性，任取aS,由若a还可表成，i2,3.....m。

其中

aiSi.SS1S2....Sm，a可表成aa1a2....am,ab1b2....bm,其中

biSi,是a的另一种表达式，不妨设

btat,而当it时，atbt.则

a1....atb1....bt，(atbt)(a1b1)(a2b2)....(at1bt1)(S1S2....Si1)Si矛盾。从而a表达成S1,....Sm元素之和时，表法唯一。即SS1S2....Sm是直和。

Si1,....,Sir(2)必要性，任取S1,....,Sm的两个分组(Si1....Sir)(Sj1....Sjt)()与

Sj1,....,Sjt，若，设

(S....Si)(Sj....Sj)ai，1r1t则有

aaiai....aiajaj....aj12r12

aikSik,ajlSjlt，其中，SS1S2....Sm是a的两个不同的表达式，这就与

Si1,....,Sir矛盾。

充分性，若对任意分组与

Sj1,....,Sjt，(rtm)，都有(Si1....Sir)(Sj1....Sjt)()，特别的有

(S1....Si1)Si 于是SS1S2....Sm，i2,3.....m。

3.设V是向量空间，证明：线性变换把子空间变为子空间。

(S)(s)sS.证明：设是V的线性变换，S是V的子空间，记往证(S)是V的子空间。

(s1),(s2)(S).s1,s2S.，取其中则

(s1)(s2)(s1s2)(S)，s1s2S。再取(s)(S),a.，则

a(s)(as)(S).即(S)是子空间。

FXasS，4.设是数域上的全体一元多项式做成的向量空间，D是FX上的一个线性变换，满足

条件：

D(fg)D(f)gfD(g)。D(X)1。证明：D(f)是f的导式。

证明：取fg1，则D(1)D(11)D(1)11D(1)2D(1),得D(1)0。（D是线性变换）。

由D(x)1.用归纳法可得，对任意自然数kf(x)anx....a1xa0n，D(x)kxkk1。对任意，n

nanxn1D(f)D(anx)....D(a1x)D(a0)n2

(n1)an1x....a1，即D(f)是f的导式。

5.设V是一个非零的向量空间，证明：V不能表成它的两个真子空间的并集。证明：用反证法，不然，设VV1V2,其中V1,V2是V的两个真子空间，于是有v1V1,但v1V2，和v2V1,但v2V1,由VV1V2,于是v1v2V1V2,但若v1V1,则可得v1V1,若v1v2V2,则可得

v2V2,均矛盾，所以V不能表成它的两个真子空间的并集。

6.设V1,V2,W都是向量空间V的子空间，其中V1V2,并且有

WV1WV2,WV1WV2，V1V2.证明：

V2V1.证明：往证

V2V2(WV1)V2(WV1)V2WV1V2V1WV1V1.7.设于V1,....VsV1,....Vs是向量空间V的s个真子空间，证明V中至少有一个向量不属中的任何一个。

V1,....Vs证明：往证V不是s1成立，即V的并。用归纳法，s2的情况由题5，设命题对不能表成

s1个真子空间的并，若V能表成s个真子空间

但

uVs,V1,....Vs的并，则由

vVs,V1V2....Vs1V,有

uV1....Vs1,s另由

Vs是真子空间，又有

vVs,V....Vs1,但v1由

uvVVi1i，若

uvVs,可得

若uvV1....Vs1,可得uV1....Vs1,均不可能，故命题对s个的情况也成立。

§7.3 有限维向量空间

（一）1.设f1，....fn是n维向量空间V中的n个向量，而V中任何向量均可由它们线性表示，则它们

构成V的一个基底。

g1,....gnf1，....fn 证明：设

是V的一个基底，由可表示V中每个向量，则有n阶矩阵P，使得

(g1,....gn)(f1,....fn)P

g1,....gn。

另外由是基底，又有n阶矩阵Q，使得

(f1,....fn)(g1,....gn)Q 由此可得。

于是PQIn(f1,....fn)(g1,....gn)Q(f1,....fn)PQ，即Q是可逆矩阵，由此

f1，....fn也构成V的一个基底。

v1,....,vm 2.设Sv1,....,vm是一个s维子空间，且s0,证明：必可从

中选出s个向量，使得它们

构成V的一个基底。证明：由s0,v1,....,vm中必有非零向量，取v1,....,vm的一个极大线性无关组u1,....uk，则v1,....,vm中每

个向量均可由u1,....,uk线性表示。注意到Sv1,....,vma1v1....amvmai，于是

Sv1,....,vmu1,....uk，u,....uksu,....ukks维S维1，而u1,....,uk线性无关，从而维1，于是u1,....,us就满足条件。

u1,....,un 3.设线性无关，而v1,....,vmu1,....,unA。证明：子空间v1,....,vm的维数等于秩A。

证明：显然子空间元素的个数，设

v,....,vk秩Ak列秩A。不妨设A的前k个列线性无关，则1线性无关，它们

v1,....,vm的维数就是

v1,....,vm中每个极大线性无关组中也是v1,....,vm的一个极大

v,....,vmk线性无关组。不然秩Ak1。于是维1秩A。

4.设W是n维向量空间V的一个真子空间，证明：存在V的两个不同的子空间W1,W2，使得

VWW1WW2.v1,....vm

证明：设设为

是W的一个基底，1mn，此基底可扩充为V的基底，v1,....,vm,u1,....,unm，令W1u1,....,um，则VWW1。可以找到V中一个向量v，使得vWW1，（因为一个空间不能表成两个真子空间的并），显然向量组v1,....,vm,v和u1,....,unm,v都线性无关，把

v1,....,vm,v,v1,....,vnm1''v1,....,vm,v扩充成V的基底：

''W2v,v,....v1nm1，令，则VWW2，而W1W2,因为vW2,但vW1.5.证明：V的任意一个真子空间都是若干n1维子空间的交。

v1,....,vm 证明：设W是V的真子空间，v1,....,vm,u1,....,unm是W的基底，把它扩充成V的基底。设

2....uV2v1,....,vm,u1,unm，1,....uV1v1,....,vm,unm，nm....,Vnmv1,....,vm,u1,....,u，nmi..uv1,....,vm,u1,..unm其中

表示去掉

uiW后其余向量生成的空间。则

Vi1i。一方面显然在每个

nmnmiViW中，Vi1v。另一方面，若

Vi1i，由

v1,....,vm,u1,....,unm线性无关，有vW。

§7.4 有限维向量空间的线性变换

（一）1.设数域上的矩阵A,B相似，证明：对上任意多项式f(x)，矩阵f(A)与f(B)相似。

证明：设f(x)anx....a1xa0n是上的多项式，由A相似于B，则有

1可逆矩阵P，使得BPAP。

f(B)anB....a1Ba0Ian(PAPn1)....a1(PAPn1)a0PIP.1

anPAPn1....a1PAP1a0PIP1P(anA....a1Aa0I)P.n1

Pf(A)P即f(A)与f(B)相似。

1。

x12x1x2:x2x2x3xx1V33，求在基 2.在三维向量空间中，定义线性变换底

100u10,u21,u30,001

下对应的矩阵。

u1 解：

2100,u21,u31.100

于是

u1,u2,u3

201110021u1,u2,u3010110010，1002u10,u21,u30,0001下对应的矩阵为1在基底

110010。

3.设V是数域F上的向量空间,证明:dimV1时,V上的线性变换只有唯一的一种，即数乘变换。

证明：当dimV1时，V中任意非零向量v可构成V的基底，且V的任意向量都可表成av的形式，其中aF。设是V的任意一个线性变换，使得(v)v.则avV,(av)a(v)av(av),即

就是F中元素的数乘。

4.设是数域F上的n维向量空间V的一个线性变换，1和空间，并且有

VW1W2.V(W1)(W2).WW2是V的子证明：可逆的充要条件是

证明：必要性，假设可逆，由VW1W2.对vV,总有wV，w1W1,w2W2,使得

vw, 则有

且ww1w2.从而有

v(w)(w1)(w2)W1W2.uW1W2,VW1W2.若则有

w1W1,w2W2,使得

uw1w2,于是w1w2, 由可逆，W1W2,得w1w2，但于是

w1w2。从而u.于是V(W1)(W2).那么vV,有

w1W1,w2W2,充分性，设VW1W2W1W2,使得

vw1w2w1w2W1W2V，即是满射。由第三节习题8，知可逆

（V）k的充要条件是5.设是n维向量空间V的一个线性变换，证明：dimV中存在一个基底

(v1),....(vk)(vk1)....(vn)0v1，...vk,vk1....vn,使得线性无关,而.（V）k 证明: 必要性, 设dim,由dim(V)dim1()n,得dim1()nk.取1()的一个基底为vk1,....vn,把它扩充成V的基底v1,....vk,vk1....vn,则(v1),....(vk)必线性无关.不然,若有不全为0的a1,....akF,使得

a1(v1)....ak(vk),则

这表明a1v1....akvk1(a1v1....akvk)，().从而

a1v1....akvk可由

vk1,....vn,线性表示,这与v1，...vk,vk1....vn,线性

无关矛盾, 于是

充分性, 若有V的基底(vk1)....(vn)0v1，...vk,vk1....vn,(v1),....v(k)线性无关.使得

(v1),....(vk)线性无关, 而, 则(v1),....(vk)必可以线性表示(V)中的任意元.任取(u)(V),由是基底,有 v1，...vk,vk1....vn，a1,....akF,使得 (u)a1(u1)....an(un)a1(u1)....an(uk).v(k)而且由v1，...vk线性无关,这种表法还是唯一的,从而(v1),....构成了(V)的一个基底,于是

dim（V）k.6.设S1,S2都是空间V的关于的不变子空间,则S1S2,S1S2亦然.证明: 设S1,S2都是空间V的关于的不变子空间,即(S1)S1,(S2)S2,则由

(S1S2)(S1)(S2)S1S2,(S1S2)(S1)(S2)，知S1S2,S1S2也是V的关于的不变子空间.u1,u2 7.设是数域上向量空间V上的线性变换,特征值 证明u1u2分别是的属于不同1,2的特征向量, 必不是的特征向量.证明: 反证法,若u1u2是的属于特征值的特征向量,则由(u1u2)(u1u2),得

(u1)(u2)u1u2.而(u1)1u1,(u2)2u2,得

1u12u2u1u2,于是

由与 从而

00A00***0000,10u1u2(1)u1(2)u2.u1,u2分别是属于不同特征值的特征向量,它们线性无关,可得矛盾，12.这12必不是的特征向量.6.设求所有与A可交换的矩阵，证明它们在矩阵的加法和数乘法运算下构成

一向量空间，并求此空间的维数。

B5 解：设biji,j1可与A交换，由ABBA，可知B形如 bb12b3b4b50b1b2b3b400b1b2b3000b1b2 0000b1，其中bi。

显然这种形式的矩阵关于矩阵的加法和数乘法是封闭的，即它们构成一个向量空间V，此空间的维数=5，因为

100000100000100000010000010000010000v100100,v0010,v20300001,v40000001000001000000000000100000000000000000100000v50000000000 00000就构成V的一个基底。

100100,0000 7.设是向量空间V的一个线性变换，且。证明：11V(V)().其中(V)是V在之下的像，()是V在之下的核。

1 证明：(V)和u(V)11()都是V的子空间。首先有(V)()。因为若()，则有

vV22，使得u(v),且(u).由，可得(u)(v)u.另外，uV,uu(u)(u)，1其中(u)(V),而u(u)1得V(V)().也就是

().因为

u(u)(u)(u).2所以V(V)1().8.证明：有限维向量空间V上的线性变换是单射的充要条件是是满射。

证明：必要性，假设是单射，考虑V的子空间的降链V(V)(V)....(V)....2n，由于(V)都是V的子空间，而V是有限维的，必有自然数m，使得当nm时，有

(V)mm1i

uV,m(V)....2m(V)....于是(u)m(V)2m(V),有

vV,使得

(u)m2m(v).于是

(u(v))(u)mmm2m(v).mmu(v)(由是单射，则也是单射，得到

m1(v))(V).即是满射。

充分性，假设是满射，考虑V的子空间升链1()()()....()()....，同样有自然 21n1数m，使得

m1m112m1()()(设u1)()....()()....，(),进而有u()()(mm12m)().1由是满射，则也是满射，m于是有vV,使得则有12mm(v)u.v(2m(v)(u).于是)()(1m)().1有(v)u.即

m()，从而是单射。

§7.5 对偶空间

1.如果S,T是V的子空间，则

(ST)ST.证明：设f(ST)，sS,tT,有f(st)0,特别的分别取s0,和t0,可得f(s)0，和f(t)0.从而fST。反之，若

fST,则sS,tT,有f(s)f(t)0,于是f(st)0，(ST)ST.即f(ST).从而 2.设V和W是上的有限维向量空间，是V到W的线性影射，则(W)t'1().

''t''1 证明：由定理，wW,vV,有(w),vw,(v).若v(v).则

(),则

t''' (w),vw,(v)w,0.(w)即(w)(v)0.从而t't'1().(W)由w的任意性，有

'

t'1().

3.若S是n维向量空间V的子空间，则维S+维S=n.证明：若维Sn,则显然。

mn,e1,....,eme1,....em,...,en.设维S是S的基底，把它扩充成V的基底

再取e1,....em,...,en.的对偶基

fi,eji,j'f1,....,fn,''则有，显然

fm1,....,fnS.fS,''设

f(ei)0,i1,....,m.fa1f1....anfn,ai.''

由得

fam1fm1....anfn.''

fm1,....,fn''

另外注意到



线性无关，它们构成S的一个基底，从而维Snm，于是有维S+维S=n.4.设是有限维向量空间V到W的线性映射，则的核等于像的正交集。

tW,VW.wW,vV,有(w),vw,(v)。证明：V''''t''若wker，'ww(V)0.(w)0,w,(v)0.V.反之，若即则即t''''twV.'t''wv0,(w),vw,(v)0,vV,即有则'即(w)(V)0,也即

t'(w)0，'从而wker.t' 5.设V,U,W'都是有限维向量空间，:VU,:UW,则().ttt 证明：wW,vV，()(w),vw,(v)(w),(v)(w),v.t''t'tt'

'由v的任意性，有()(w)(w),再由w的任意性，得().t'tt'ttt

第二篇：线性代数习题及解答

线性代数习题一

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a11a12a133a113a123a131．设行列式a21a22a23=2，则a31a32a33=（）

a31a32a33a21a31a22a32a23a33A．-6 B．-3 C．3

D．6 2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）A．E+A-1 B．E-A C．E+A

D．E-A-

13．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）

A．AA-1B可逆，且其逆为B-1 B．AB不可逆 C．AB-1D．B可逆，且其逆为A-1 AA-1B可逆，且其逆为B-1 4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0 C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量2(1,2,2,1)T,32(1,4,3,0)T,则=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T

D．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（）A．1

B．2）

（C．3 D．4 7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（）

A．+是Ax=0的解 C．-是Ax=b的解 8．设三阶方阵A的特征值分别为A．2,4,C．

B．+是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解

11，3，则A-1的特征值为（）24B．1 3111， 24311，3 241D．2,4,3 9．设矩阵A=21，则与矩阵A相似的矩阵是（）

1A．1123

01B．102

2C．

D．

21

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C．正定矩阵的行列式一定大于零

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det(A)=-1，det(B)=2，且A，B为同阶方阵，则det((AB))=__________．

3B．正定矩阵的行列式一定小于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

112．设3阶矩阵A=42t23，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________． 1-131k13．设方阵A满足A=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A=__________． 14．实向量空间R的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r(A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________． n17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A(32)=__________． 18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

20．二次型f(x1,x2,x3)x15x26x34x1x22x1x32x2x3的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

222121．计算行列式142126142． 114121222．设矩阵A=35，且矩阵B满足ABA=4A+BA，求矩阵B．

-1-1-123．设向量组1(3,1,2,0),2(0,7,1,3),3(1,2,0,1),4(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

124．设三阶矩阵A=24533，求矩阵A的特征值和特征向量． 4225．求下列齐次线性方程组的通解．

x1x35x40 2x1x23x40xxx2x023412242026．求矩阵A=3010360110110的秩．

1

2四、证明题（本大题共1小题，6分）

a1127．设三阶矩阵A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，证明： a33a31a13a11a121a21,2a22,3a23线性无关．

aaa313233

线性代数习题二

说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或T

*

A表示方阵A未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则

12A()A.-1 B.14 C.14 D.1 x2x1x22.设f(x)2x22x12x2,则方程f(x)0的根的个数为（）

3x23x23x5A.0 B.1 C.2

D.3 3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若AB,则必有（A.A0 B.AB0

C.A0

D.AB0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（）A.(AB)2A22ABB2

B.(AB)(AB)A2B2

C.(AE)(AE)(AE)(AE)D.(AB)2A2B2

a1ba1b2a1b35.设A1a2b1aa0,b2b22b3,其中aii0,i1,2,3,则矩阵A的秩为（a3b1a3b2a3b3A.0 B.1 C.2

D.3 6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（）A.0

B.2））C.3 D.4 7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（）A.-10 C.3

B.-4 D.10 x1x2x348.已知线性方程组x1ax2x33无解，则数a=()2x2ax421A.C.1 2B.0 D.1 1 29.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18 C.6

EA(2)(3)2,则A()

B.-6 D.18 10.若3阶实对称矩阵A(aij)是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（）A.-1，-2，-3 C.-1，2，3

B.-1，-2，3 D.1，2，3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3011.设行列式D42,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2253212.设Aaabb,B,则AB__________.aabb1032013.设A是4×3矩阵且r(A)2,B0,则r(AB)__________.10314.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.x1x2x3016.设方程组x1x2x30有非零解，且数0,则__________.xxx031217.设4元线性方程组Axb的三个解α1，α2，α3，已知1(1,2,3,4)T,23(3,5,7,9)T,r(A)3.则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且A25A0,则A的全部特征值为__________.2111a019.设矩阵A0有一个特征值2,对应的特征向量为x2,则数a=__________.413220.设实二次型f(x1,x2,x3)xTAx,已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵A(,22,33),B求

(,2,3),其中,,2,3均为3维列向量，且A18,B2.AB.111011122X101122.解矩阵方程0.110432123.设向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.T

T

T

T2x1x2x3124.设3元线性方程组x1x2x32, 4x5x5x1231（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A的特征值为1（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明

22f(x1,x2,x3)x122x22x34x1x212x2x3为标准形，并写出所作的可逆线

11及2,方阵BA2.3A0.习题一答案

习题二答案

线性代数习题三

说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8

TT

*12.设矩阵A=1,B=(1,1),则AB=()111A.0 B.(1,-1)C. D.111 3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

12*-14.设矩阵A的伴随矩阵A=34,则A=()

A.143112112142  B.C.D.3431 342122225.下列矩阵中不是初等矩阵的是()．．101001100A.010 B.010 C.030 0001000016.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有()

100 D.010

201A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则()A.α1, α2,β线性无关 B.β不能由α1, α2线性表示

C.β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一 8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为()A.0 B.1 C.2

D.3 2x1x2x309.设齐次线性方程组x1x2x30有非零解,则为()xxx0231A.-1 B.0 C.1 D.2 10.设二次型f(x)=xAx正定,则下列结论中正确的是()A.对任意n维列向量x,xAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式

TT0112的值为_________.1212.已知A=23,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.1113

313.设矩阵A=,P=,则AP=_________.012414.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|AB|=_________.15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且

-113251,13,则该线性方程组的通解是_________.37491117.已知P是3阶正交矩,向量3,0,则内积(P,P)_________.2218.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.1219.与矩阵A=03相似的对角矩阵为_________.12T

20.设矩阵A=,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.2k

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.01012022.设矩阵A=100,B210,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.001000112223.若向量组11,21,36,40的秩为2,求k的值.13k2k232224.设矩阵A110,b1.1210(1)求A;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.2-

1x12y12y2y326.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换x22y12y2y3所得的标准形.x2y3

3四、证明题(本题6分)27.设n阶矩阵A满足A=E,证明A的特征值只能是1.2线性代数习题三答案

第三篇：《公司法》习题及解答

《公司法》练习题

一、单项选择题

1．甲有限责任公司为本公司股东刘某提供担保的，必须经()决议。A．公司登记机关 B．股东会 C．公司上级主管部门 D．董事会

2．甲、乙、丙分别出资10万元、15万元、40万元，成立了一家有限责任公司。其中，甲、乙的出资为现金，丙的出资为房产。公司成立后，又吸收了丁出资现金12万元入股，半年后，该公司因经营不善，拖欠巨额债务。法院在执行中查明，丙作为出资的房产仅值15万元。又查明：丙现有可执行的个人财产10万元。依据《公司法》的规定，对此应如何处理()。

A．丙以现有财产补交差额，不足部分由甲、乙补足

B．丙以现有财产补交差额，不足部分待有财产时再行补足 C．丙以现有财产补交差额，不足部分由甲、乙、丁补足 D．丙无须补交差额，其他股东也不负补足的责任

3．光华股份有限公司注册资本为9 000万元，2005年末的净资产为12 000万元，法定盈余公积余额为4 500万元，2006年初，经股东大会决议通过，拟将法定盈余公积金转增股本，本次转增股本最多不得超过()万元。

A．4 500 B．4 000 C.2 250 D．1 800 4．公司章程是关于公司组织及其活动的基本规章。按照我国《公司法》的规定，下列选项中，不受公司章程约束的有()。

A.公司的经理 B．公司的职工 C．公司的董事 D．公司的股东

5．甲、乙、丙、丁四位股东共同出资设立一有限责任公司。甲以一项专利技术出资，作价40万元，乙以其注册商标出资，作价100万元，丙和丁均以货币出资。该公司的注册资本至少应为()。

A.700万元 B．850万元 C．600万元 D．200万元

6．大华有限责任公司注册资本为人民币7 000万元，净资产为人民币8 000万元，该公司经批准变更为股份有限公司时，法律允许其折合的股份总额应为人民币()。

A.8 000万元 B．7 000万元 C．3 500万元 D．4 000万元

7．根据《公司法》规定，公司合并时，应在()内通知债权人，并于30 日内在报纸上公告。A.公司主管部门批准之日起l0 日 B．签订合并协议之日起10 日

C．公司作出合并决议之日起10日 D．向工商行政管理机关申请变更登记 l0日 8．设立股份有限公司的，应由董事会于()结束后30日内向公司登记机关

申请设立登记。

A．监事会 B．创立大会 C．职工代表大会 D．股东大会

9．根据我国《公司登记管理条例》的规定，下列事项发生变更应到公司登记机关办理变更登记()。

A．法定代表人 B．公司经理 C.公司董事 D.公司监事

10．根据《公司登记管理条例》的规定，公司登记机关对公司进行检验的时间为每年3月1日至()。

A．3月31 日 B．4月30日 C．5月31 日 D．6月30日

11．根据我国《上市公司章程指引》的规定，上市公司解聘或者聘任会计师事务所应当由()作出决定。

A.股东大会 B.董事会 C.监事会 D．中国证监会

12．下列有关有限责任公司的注册资本的说法不正确的有()。A.有限责任公司的注册资本最低为三万元

B.公司全体股东的首次出资额不得低于注册资本的15％ C．投资公司的注册资本可在五年内缴足 D．其他有限公司的注册资本可在两年内缴足

二、多项选择题

1．下列关于有限责任公司监事会的说法正确的有()。A.监事会设主席一人，由全体监事过半数选举产生 B．可以向股东会会议提出提案

C．可提议召开临时股东会会议 D．监事会每年至少召开两次 2．下列选项中，在2003年不得担任公司董事、监事、经理的有()。A.李某个人所欠债500万元到期未偿还

B．孙某因犯罪被剥夺政治权利期满未逾 5年

C.杨厂长经营的工厂，2001年12月因经营管理不善，发生严重亏损，法院依法宣告破产 D．韩某因贪污受贿被判有期徒刑10年，执行期满已逾5年

3．某有限责任公司共有股东12人，股东张某拟向黄某转让出资，使黄某成为公司新的股东。股东会表决时，除张某外，6个同意，5人不同意。对该股东会决议情况的下列表述中，不正确的有()。

A.同意转让的股东超过全体股东半数，股东张某可以转让该出资 B．不同意转让的股东应当购买股东张某拟转让的出资

C．同意转让的股东未达到全体股东的2／3，股东张某不能转让该出资 D.股东会没有一致同意，股东张某不能转让该出资

4．上市公司的独立董事可以就上市公司()事项发表独立意见。A．任免董事 B．公司董事的薪酬 C．公司是否采取有效措施回收欠款

D.独立董事认为可能损害中小股东权益的事项

5．下列关于国有独资公司组织机构的表述中，不符合《公司法》规定的()。A．国有独资公司不设股东会

B．国有独资公司必须设1名董事长和1名副董事长 C．国有独资公司董事长由董事会选举产生 D．国有独资公司监事会成员由董事长任命

6．上市公司的独立董事可由该上市公司的()提名，经股东大会选举决定。A．董事会 B．监事会 C.经理 D．单独持有上市公司已发行股份1％以上的股东提名 7．下列关于上市公司的说法正确的有()。A．上市公司可以设立独立董事

B.上市公司设董事会秘书，负责公司股东大会和董事会会议的筹备，文件保管等事宜 C.上市公司在—年内购买重大资产超过公司资产总额的30％时，应由股东大会作出决定。并经出席会议的股东所持表决权的2/3以上通过

D.上市公司董事与董事会议决议事项所涉及的企业有关联关系的，不得对该决议行使表决权

8．根据《公司法》规定，有限责任公司的股东会对股权转让决议投反对票的股东，对下 列()情形可以请求公司按照合理价格收购其股权；

A．公司连续五年盈利不向股东分配利润，并且符合公司法规定的分配利润条件的 B．公司章程规定的营业期限届满，股东会会议通过决议修改章程使公司存续的 C．公司转让主要财产的 D.公司分立的

9．下列属于独立董事的职权有()。

A．重大关联交易应由独立董事认可后，才能提交董事会讨论 ． B．向董事会提请召开临时股东大会 C．提议召开董事会 D．可以在股东大会召开前向股东征集投票权

10．根据《中华人民共和国公司法》规定，有限责任公司下列人员中，可以提议召开股东会临时会议的有()A．总经理 B．监事会 C 1／3以上董事 D．代表l/10以上表决权的股东

11．某股份有限公司按规定提取一笔法定公积金。该公司可以将这笔法定公积金用于()。A．交税 B．扩大公司生产经营 C．本公司职工的集体福利 D．经股东大会决议转为增加公司资本

12．根据我国《公司登记管理条例》的规定，分公司的登记事项包括()。A．法定代表人 B．经营范围 C营业场所 D．注册资本

13．根据《中华人民共和国公司法》及有关规定，上市公司召开股东大会审议下列事项时，须以特别决议方式通过的有()。A．董事会和监事会的工作报告

B． 董事会和监事会成员的任免及其报酬和支付方法 C．发行公司债券 D．公司章程的修改

14．有限责任公司的股东会对下列哪些事项做出决议，必须经代表2／3 以上表决权的股东通过()-A．公司的增加或者减少注册资本 B．公司的分立、合并、解散或者变更公司公司的形式 C．公司修改章程 D.决定公司的经营方针和投资计划

15．设立股份有限公司，除具备发起人符合法定人数外，还应当具备()： A．发起人认缴和向社会公开募集的股本达到法定资本最低限额 B．股份的发行、筹办事项符合法律规定

C．发起人制定公司章程，采用募集方式设立的并经创立大会通过 D．有公司住所

三、判断题

1．根据公司法律制度规定，上市公司的董事会秘书不属于高级管理人员。()2．公司可以依法设立分公司和子公司，分公司具有企业法人资格，可以依法独立承担民事责任，而子公司不具有企业法人资格其民事责任由公司承担。()3.董事、经理及财务负责人不得兼任监事。()4.股份有限公司的股东大会审议有关关联交易事项时，关联股东不得参与投票表决，其所代表的有表决权的股份不计入有效表决总数。()5．公司在清算期间开展与清算无关的经营活动，由人民法院予以警告，没收违法所得。()6．依照我国《公司法》规定，有限责任公司的董事会成员人数有最低人数限制，一般最 少为3人，而无最高人数的限制。()7．股份有限公司的财务会计报告文件，应置于公司的办公住所，供股东和债权人查阅。()8．股份有限公司董事应当对董事会所作的决议承担责任，董事会决议违反法律、行政法规的规定，致使公司遭受重大损失时，参与决议的董事应对公司负赔偿责任。但经证明在表决时曾表示异议并记载于会议记录的董事可以免除责任。()9．股份有限责任公司的监事会对所议事项的决定作成会议记录，应当只由监事会主席在会议记录上签名。()10．股份有限公司股东大会选举董事，可以依照公司章程规定实行累积投票。()11．国有独资公司不设董事会。()12．股东人数较少和规模较小的有限责任公司，可以设1—2名执行董事，不设董事会。()13．根据《公司法》的有关规定，领取《营业执照》的，设立登记费为100元。()14．上市公司的独立董事任期届满，连选可以连任，但连任时间不得超过6年。()15．两个以上的国有企业或者两个以上的国有投资主体设立的有限责任公司的董事会成员中，可以有职工代表。()16．一人有限责任公司可以不编制财务报告。()

四、综合题

1．某电梯制造厂是一家国有企业，是国家授权投资的机构出资设立的国有独资公司，公司没有设立股东会，由董事会行使股东会的部分职权。监事会成员有5人，全部都是国家投资机构任命的干部，无一职工代表。该企业于2003年12月设立一个子公司，该子公司在上海为一个有限责任公司，企业对此子公司投资1000万元，该子公司自有资产2000万元，加上公司投资全部资产为3000万元。在某一大型投资活动中，该子公司投资金2000万元，再加上从银行的贷款1000万元，由于投资决策失误。最终血本无 归，全部亏损3000万元，被迫破产。该子公司在破产程序中上级主管部门申请下提出和解协议，要求进行整顿，在整顿期间，该子公司决定放弃原母公司对其的欠款50万元，并且将自己的一些设备无偿转让给母公司。债权人知道后向法院申请，要求终结该企业的整顿，宣告其破产

问：

(1)该国有独资公司在管理机构的组成方面有没有违反《公司法》的规定?(2)该国有独资公司是否应对上海子公司的全部债务承担连带责任？

2．A、B国有企业与另外9家国有企业拟联合组建设立“新星有限责任公司”(以下简称新星公司)，公司章程的部分内容为：公司股东会除召开定期会议外，还可以召开临时会议，临时会议须经代表1/2以上表决权的股东，1／2以上的董事或]／2以上的监事提议召开。在申请公司没立登记时，工商行政管理机关指出了公司章程中规定的关于召开临时股东会议方面的不合法之处。经全体股东协议后，予以纠正。

2002年3月，新星公司依法登记成立，注册资本为1亿元，其中A 以工业产权出资，协议作价金额1 200万元；B以货币出资1 400万元，是出资最多的股东。公司成立后，由A召集和主持了首次股东会会议，设立了董事会。

2002年5月，新星公司董事会发现,A作为出资的工业产权的实际价额显著低于公司章程所定的价额，为了使公司股东出资总额仍达到1亿元，董事会提出了解决方案，即：A补足差额；如果A不能补足差额，则由其他股东按出资比例分担该差额。

2003年5月，公司经过一段时间的运作后，经济效益较好，董事会制定了一个增加注册资本的方案，方案提出将公司现有的注册资本由1亿元增加到1．5亿元。增资方案提交股东会讨论表决时，有7家股东赞成增资，7家股东出资总和为5 830万元，占表决权总数的58．3％；有4家股东不赞成增资，4家股

东出资总和为4 170万元，占表决权总数的41．7％。股东会通过增资决议，并授权董事会执行。

2005年3月，新星公司因业务发展需要，依法成立了星海分公司。星海分公司在生产经营过程中，因违反了合同约定被诉至法院，对方以新星公司是星海分公司的总公司为由，要求新星公司承担违约责任。

要求：

根据上述事实及有关法律规定，回答下列问题：

(1)新星公司设立过程中订立的公司章程中关于召开临时股东会议的规定有哪些不合法之处?说明理由。

(2)新星公司的首次股东会议由A召集和主持是否合法?为什么?(3)新星公司董事会作出的关于A出资不足的解决方案的内容是否合法?说明理由。(4)新星公司股东会作出的增资决议是否合法?说明理由。(5)新星公司是否应替星海分公司承担违约责任?说明理由。

3.中国证监会的某证券监管派出机构于2006年8月在对甲上市公司进行例行检查时，发现该公司存在以下事实：

（1）2006年2月10日，经甲公司股东大会决议，甲公司为减少注册资本而收购本公司股份1000万股，甲公司于3月10日将其注销。

4（2）2006年4月1日，经甲公司股东大会决议，甲公司为奖励职工而收购本公司6％的股份，收购资金6000万元全部计入甲公司的成本费用，截止7月1日，收购的股份尚未转让给职工。

（3）2006年5月，经甲公司董事会同意，董事王某同甲公司进行了一项交易，王某从中获利20万元。

（4）甲公司董事张某在执行公司职务时违反公司章程的规定，给公司造成了100万元的经济损失。2006年5月10日，连续180日持有甲公司2％股份的A股东，书面请求甲公司监事会向人民法院提起诉讼，但监事会直至6月15日仍未对张某提起诉讼。

（5）2006年6月，乙公司严重侵犯了甲公司的专利权，给甲公司造成了重大损失，但甲公司怠于对乙公司提起诉讼。

要求：

根据公司法律制度规定，分别回答以下问题：

（1）根据本题要点（1）所提示的内容，指出甲公司的做法存在哪些不符合规定之处？并说明理由。

（2）根据本题要点（2）所提示的内容，指出甲公司的做法存在哪些不符合规定之处？并说明理由。

（3）根据本题要点（3）所提示的内容，董事王某同甲公司的交易是否符合规定？并说明理由。王某的收入应如何处理？

（4）根据本题要点（4）所提示的内容，指出A股东还可以采取什么行动？并说明理由。（5）根据本题要点（5）所提示的内容，连续180日持有甲公司2％股份的A股东可以通过哪些途径对乙公司提起诉讼？

《公司法》练习题参考答案

一、单项选择题

1．B 2．A 3． C 4．B 5． D 6． A 7． C 8． B 9．A 10．B 11． A 12．B

二、多项选择题

1．A、B、C 2． A、B、C 3． C、D 4．A、B、C、D 5．B、C、D 6．A、B、D 7．B、C、D 8．A、B、C、D 9． A、B、C、D 10． B、C、D 11．B、D 12． B、C 13． C、D 14．A、B、C 15.A、B、C、D

三、判断题

1． X 2． X 3．√ 4．√ 5． X 6．√ 7．√ 8．√ 9．X 10．√ 11． X 12． X 13．X 14．√ 15． X 16.X

四、综合题 1．[答案](1)《公司法》规定：“国有独资公司不设股东会，由国有资产监督管理机构行使股东会职权，它可以授权公司董事会行使股东会的部分职权，决定公司的重大事项，但公司的合并、分立、解散、增减资本和发行公司债券，必须由国有资产监督管理机构决定。”可见国有独资公司不设立股东会，其大部分职权交给董事会行使。其次看监事会的组成人数。《公司法》规定：国有独资公司监事会成员不得少于五名，其中职职代表的比例不得低于1／3，具体比例由公司章程规定。而本题中，监事会成员的人数符合要求，但无一职工代表不符合要求、：(2)本题考察了母公司与子公司的关系。子公司是由母公司设立的公司，两者性质可以不相同，比如母公司可以是有限公司，而子公司可以为股份公司。《公司法》规定：“公司可以设立分公司，分公司不具有企业法人资格，其民事责任由公司承担。公司可以设立子公司．子公司具有企业法人资格，依法独

立承担民事责任。”这条明确规定了子公司具有独立法人资格，依法独立承担民事责任。所以子公司自己的债务由子公司来承担，这是一般原则。在法理上，只有当母公司滥用其对于子公司的支配地位损害他人利益时才可以由母公司对于子公司的债务承担责任，但这是例外情况。本题中并没有透露出信息

让母公司对于子公司债务负责，所以应当由子公司自己承担债务。2．[答案](1)新星公司设立过程中订立的公司章程中关于召开临时股东会会议的提议权的规定不合法。根据《公司法》的规定，代表1／10以上表决权的股东，l／3以上董事或者监事会或不设监事会公司的监事，均可以提议召开临时有限责任公司股东会会议。而在新星公司的章程中却规定临时的股东会议须经1／2以上表决权的股东，1／2以上的董事或1／2以卜的监事提议召开，是不符合法律规定的。

(2)新星公司的首次股东会会议由A召集和主持不合法。根据《公司法》的规定，有限责任公司股东会的首次会议由出资最多的股东召集和主持，新星公司的股东B出资1 400万元，是出资最多的股东。因此，首次股东会会议应由B召集和主持。

(3)新星公司董事会作出的关于A出资不足的解决方案的内容不合法。根据《公司法》的规定，有限责任公司成立后，发现作为出资的实物、工业产权、非专利技术、土地使用权的实际价额显著低于公司章程所定价额时，应当由交付出资的股东补缴其差额，公司设立时的其他股东对其承担连带责任，而并非由其他股东按出资比例分担该差额。

(4)新星公司股东会作出的增资决议不合法；根据《公司法》的规定，股东会对公司增加注册资本作出决议，必须经代表2／3以上表决权的股东通过。而新星公司讨论表决时，同意的股东的出资额占表决权总数的58．3％，未达到2／3的比例。因此，增资决议不能通过．、(5)新星公司应替星海分公司承担违约责任。根据《公司法》的规定，分公司只是总公司管理的一个分支机构，不具有法人资格，但可以依法独立从事生产经营活动，其民事责任由设立该分公司的总公司承担。3．[答案]（1）甲公司注销股份的时间不符合规定。根据规定，减少公司注册资本时，公司收购本公司股份后，应当自收购之日起10日内注销。在本题中，甲公司注销股份的时间超过了10日。

（2）首先，甲公司收购股份的数量不符合规定。根据规定，将股份奖励给本公司职工时，收购的本公司股份不得超过本公司已发行股份总额的5％。其次，甲公司将收购资金全部计入成本费用不符合规定。根据规定，将股份奖励给本公司职工时，用于收购的资金应当从公司税后利润中支出。

（3）首先，董事王某同甲公司的交易不符合规定。根据规定，董事、高级管理人员未经股东大会同意，不得与本公司订立合同或者进行交易。其次，王某的收入应当归甲公司所有。

（4）A股东还可以以自己的名义直接向人民法院提起诉讼。根据规定，公司董事、高级管理人员执行公司职务时违反法律、行政法规或者公司章程的规定，给公司造成损失的，股份有限公司连续180日以上单独或者合计持有公司1％以上股份的股东，可以书面请求监事会向人民法院提起诉讼。监事会收到上述股东的书面请求后拒绝提起诉讼，或者自收到请求之日起30日内未提起诉讼，股份有限公司连续180日以上单独或者合计持有公司1％以上股份的股东，有权为了公司的利益以自己的名义直接向人民法院提起诉讼。

（5）A股东可以书面请求董事会或者监事会向人民法院提起诉讼，或者直接向人民法院提起诉讼。

第四篇：公关习题解答

公关是指社会组织运用信息传播沟通的手段处理自身的公众问题，以达到组织与公众相互了解、相互适应、优化组织的生态环境目的的管理活动。

特征；

1、维护公众利益，谋求与公众利益一致的共同发展是公关管理的伦理前提。

2、建立、维护组织的“公众关系”是组织公关管理的核心内容。

3、信息传播沟通是公关管理的基本手段。

4、公众舆论、组织的品牌、形象与信誉是公关管理的工作重点。

5、构建有利于组织生存的社会生态环境是公关管理的目标。

学科特点：

从学科的性质、学科所反映内容、所包含的知识、学科的结构体系及学科的研究倾向看，有3个特点：

1、具有突出的实践性、应用性特点；

2、具有典型的多学科交叉渗透的综合性学科特点；

3、具有内核小、外延大的学科结构特点。

其形成与公关学科的研究历史特点及公关研究对象的特点密切相关。

历史数据：

1906年，艾维·李发表《原则宣言》――最早的公关研究

1923年，爱德华·伯内斯发表《舆论明鉴》――公关学科研究的开始 1947年，波士顿大学公关专业的设置――公关学科的形成 50年代以来，公关教育在全世界普遍开展

我国现阶段发展公关的意义：

1、更好地适应我国现行的市场经济体制及商品经济社会的环境，适应全球化环境下国际竞争新形势的需要；

2、适应我国政治体制改革，促进社会主义政治文明建设的需要；贯彻“以人为本”的治国方针、构建和谐社会的需要；

3、提高我国国际地位、改善我国国际形象，优化我国发展的国际环境的需要。

公关学科的发展

公共关系学是一门以管理学、传播学等学科的理论和研究方法为基础，研究公关的社会现象和活动规律的综合性学科。

学科史不长但发展很快。是随着公关职业的兴起，为适应公关实践活动不断深化的需要，对公关研究的基础上逐步发展起来的。

1906年，艾维·李发表《原则宣言》――最早的公关研究 1923年，伯内斯发表《舆论宣言》――公关学科研究的开始

30年代以来美国大学公关教育的兴起，各类公关研究刊物、专著的出版，推动了学科研究的迅速发展。

1947年，波士顿大学公关专业的设置――公关学科的形成

50年代以来，公关教育在全世界普遍开展，数以千计的公关著作的出版，显示出这一新生

学科正从不断地自我跨越、自我完善走向成熟。

不同学术视野中的公关定义 管理学：关注公关这种管理行为在组织中所起作用及其管理职能。着眼点是揭示公关区别于其他管理职能所具有的独特性质特征。

美社会学家莱克斯·哈罗博士；公关学者卡特里普

传播学：关注公关作为一种管理行为本身区别于其他管理行为的本质特征。从公关实现管理目标的过程和手段的独特性来界定公关。公关是一个组织与其公众之间的传播沟通管理。格鲁尼格；亨特

弗兰克·杰弗金斯（英）：《实用公共关系学》，把公共界定为“传播方式”。

社会学：关注公共管的社会关系情况及其对组织的意义。探寻揭示公关不同于其他社会关系的独特性质特征入手，进而对这种关系的本质进行探讨。美国哈伍德教授；台湾祝振华教授

现代公共发端于有一定目标、计划和规模的经常性的公关活动的出现。萌芽标志：

1、北美独立革命活动中政治宣传运动；

2、美国近代政治竞选方式的确立；

3、企业界的新闻宣传代理活动的出现和发展。

公关的产生是人类社会的经济、制度、科技发展到一定历史阶段的必然产物。诞生标志：20世纪初，现代公关咨询代理公司在美国的产生。产生的直接原因： 1、20世纪初，爆发“扒粪运动”；

2、新闻代理业暴露出自身的严重缺陷，已不能满足社会发展需要。

产生的历史原因：

1、从经济发展看，是近代商品经济和社会化大生产的产物；

2、从人类社会制度发展看，是社会民主化发展的必然产物；

3、从科学技术的发展看，是传播科技发展的必然产物。

艾维·李的主要贡献

1、首创现代公关事业的模式；

2、改变新闻代理人只注重新闻界关系的偏颇；

3、倡导以事实为根据进行客观报道；

4、通过积极沟通，促进企业的改革，达到改善企业形象的目的；

5、提出“说真话”的思想和“公众应当被告知”的原则，奠定早期现代公关理论的基础。

二战以来国际公关的发展趋势

1、快速发展

2、确立公关管理的战略习惯地位

3、不断强化“平等、互动”的传播关系

4、公关管理日益全球化、国际化

5、强调公关管理的科学性

6、强调公关管理的伦理标准

中国大陆公关事业发展的三个阶段：

1、引进拓展阶段：1980-1985

2、蓬勃崛起阶段：1986-2000

3、持续发展阶段：2000年至今

公关的功能

1、守望：监察社会环境变化，确保组织决策适应社会变化，反映社会发展变化趋势。

依靠日常公关信息收集、舆论监测分析等日常公关工作职责来实现。

2、协调：协调各种力量，协助决策层解决经营管理中遇到的问题，消除偏见与误解，为组

织的生存与发展构建和谐的社会环境。

依靠提供公关咨询建议、传播沟通管理、关系协调管理扥更具体公关工作职责来实现。

3、教育：将组织的管理制度、行为规范、组织文化、优良传统、先进思想、科学知识贯彻

传承、发扬光大。

依靠公关传播沟通、员工公关教育、公关市场教育等具体公关工作职责来实现。

4、效益：增进组织经营管理活动的经济效益，确保组织经营管理活动的社会效益最大化。

依靠做好公关管理的每个环节，以及公关策划、形象管理、品牌管理、信誉管理等具体公关工作职责来实现。

公关的基本观念：

人们在公关实践中逐渐丰富、不断完善形成的，对社会组织如何处理与公众关系的基本认识，是如何开展公关工作的基本指导思想。

公关工作的基本原则： 在公关基本观念的指导下，根据公关活动客观规律和要求而提出的基本工作方法和准则。是公关基本观念在公关实践中具体化。

主要内容：

1、树立公开性的观念，坚持提高透明度的工作原则；

2、树立珍视信誉的观念，坚持公关传播工作的真实性原则；

3、树立制度化的观念，坚持立足平时的工作原则；

4、树立平等沟通的观念，坚持双向交流的工作原则；

5、树立注重行为的观念，坚持首先自我完善的工作原则；

6、树立科学的观念，坚持以调查研究为基础的工作原则；

7、树立公众利益的观念，坚持公关工作的互惠原则。

社会组织：

公关活动的主体，是一个群体，是人们按照一定的目标、任务和形式建立起来的协调力量和行动的合作系统。

组织的特点：

1、具有能动的目标导向特性；

2、具有与环境、目标向适应的结构特性；

3、其能量需要输入与输出，反馈是其固有的特性。

社会组织的类型：

营利性的组织：工商企业、金融机构、旅游服务业等

互利性的组织：各党派团体、职业团体、群众社会团体、宗教团体等 服务性的组织：公共学校、医院、社会福利工作机构等

公益性的组织：政府部门、公共安全机关、消防队、公共事业管理机构等

公众：

公关工作的对象，客体，“任何面临着某个问题而形成的社会群体”。同质性 群体性 可变性

初级社会群体：

人们在面对面交往中形成的具有亲密性的人际关系群体。

公众的分类

1、横向分类：按公众对象的性质特征划分

2、纵向分类：按面临某个公关问题时公众的状态及其可能的发展过程划分

非公众/潜在公众/知晓公众/行动公众

3、其他分类：

1）按公众组织构成特点划分：组织型公众/初级社会群体组合型公众/非组织的同质公众

2）按公众稳定程度的特点划分：临聚型公众/周期性公众/稳定性公众 3）按公众对解决公关问题的重要程度划分：首要公众/次要公众 4）按公众对组织的态度划分：顺意公众/逆意公众/边缘公众 5）按组织对公众的评价划分：受欢迎公众/不受欢迎公众

公众心理：

公关活动中所面对的一种普遍存在的群体或个体心理现象，是在特定环境中公众对某一对象所具有的心理反应与行为倾向。

影响公众行为的心理因素：

1、需要

2、知觉

3、价值观

4、态度

5、性格和气质

6、兴趣和能力

心理定势：

由一定的内外因素所形成的某种心理准备状态，决定着同类后继心理活动的趋势。是一种内在思维过程。深潜在人们意识中。具有一定的动力性。

公关传播的四种模式： 宣传型 公共信息型 双向非对称型 双向对称型

公关传播的目的： 在分享信息、传播沟通的基础上，促进组织与公众的相互了解，促使公众改变其原有的态度，促使公众采取与组织的公关目标一致的行动。

公关传播的原则:

1、坚持公关信息传播的真实性原则；

2、符合公众利益、注重社会效益的公关传播伦理原则；

3、符合公关活动总目标的原则；

4、自觉尊重传播的科学性原则。

组织机构的主要公众关系：

1、员工关系：组织的内部关系

2、股东关系

3、顾客关系；组织在充分尊重顾客的合法权益的前提下，以健全的管理政策、良好的服务行为、持续不断的双向沟通、建立起顾客对组织的信赖与支持的活动。

4、社区关系：组织机构在所在地的全体居民和各种社会组织、团体的关系。

5、媒介关系：组织与媒介公众的关系，是组织与新闻媒介及其工作人员的关系。

6、政府关系：组织与国家管理机构及其人员的关系。

7、国际公众关系：一个社会组织与其他国家的社会组织以及相应的公众之间利益而产生的非国家的、非官方的、民间性质的关系，是社会组织走向世界的过程中必然要遇到和处理的一种特殊的公众关系。

公关整合传播

1、横向整合：在某一阶段对各种传播工具、媒介的整合；

2、纵向整合：对不同阶段的信息主题、形式进行整合。

公关状态：

在某一时期内社会组织与公众所形成的关系情况。主要通过公众对组织整体形象和具体行为所持态度的评价不判断。

消极型公关状态：各方无意识中形成的公关状态

积极型公关状态：组织机构有目的、有计划地实施各种活动之后所形成的公关状态。

公关活动：

组织有意识策划、实施的活动，目的在于影响、改变公关状态。

公关活动类型：

1.宣传性公关活动：

2.交际性公关活动： 3.服务性公关活动： 4.公益性公关活动： 5.征询性公关活动： 6.建设型公关 7.维系型公关 8.防御型公关 9.进攻型公关 10.矫正型公关

公关活动模式：

1、轮盘模式（纳格和阿伦）

2、螺旋模式（马斯顿）

3、环状结构模式（柯特利普和森特）

公关策划类型：

1、某一时期的战略规划

2、公关工作计划

3、公关战役计划

4、公关活动项目实施的计划

公关传播的战略：

1、信息战略

2、媒介战略

公关调研的内容：

1、组织基本状况的调查

2、组织公众基本状况的调查

3、组织开展公关活动基本状况的调查

4、组织目前开展公关工作条件的调查

公关调研的程序

确定调研方案－数据收集－数据处理与分析－展示调研成果－作出判断

公关调研原则：

1、扩大看问题的视野

2、由表及里，透过表象看本质

3、分清问题的轻重缓急

制定公关策略方案：

1、确定公关活动的目标：建立起一套以公关活动的结果为标准的管理体系

2、确定与分析对象公众：直接卷入组织所面临问题，或对这一问题能产生影响，或将受到这一问题影响的公众

3、制定公关行动战略：常规/非常规策划

4、制定公关传播战略：信息战略；媒介战略

5、编制公关活动执行计划：甘特时间表；项目流程表；工作程序表

6、编制公关计划方案的预算、成本－收益分析：把公关活动的过程目标和结果目标结合起来考虑

公关实施的具体内容：

1、由经理层执行的有关加强或调整组织的政策、行为的活动；

2、有公关部门执行的公关的传播活动。

公关实施管理要则：

1、统筹管理和分权管理配合；

2、组织行为和组织传播配合；

3、注意对信息制作质量的管理；

4、注意对媒介购买的管理。

公关效果评估的5个内容：

1、组织采取的新政策、新措施的落实情况；

2、组织的新闻和传送出的信息为媒介所采用的数量；

3、调查分析接收到信息和注意到信息公众数量；

4、调查分析公众对信息的了解程度、态度变化、行为变化情况；

5、评估达到的预定目标和解决问题的水平。

组织形象：

社会公众心目中对一个社会组织机构的总印象和总评价。个人或群体对组织机构的整体观念。

良好组织形象的作用：

1、拓展市场

2、吸引更多优秀人才

3、吸引更多资金

4、有助于建立与原料供应部门及销售系统的稳定供销关系，使组织占有原料和销售渠道等

方面的优势

5、使组织受到社区邻里的支持与爱戴，减少纠纷和摩擦

6、使组织在危机中得到各方及时的帮助或谅解，顺利渡过难关

企业形象识别系统（CIS）

一种通过规范组织、企业在传播中所运用的组织形象符号显征系统，如标志、色彩、字体、口号、行为等，从而使组织、企业的信息实现统一高效的传递，并在对象公众的心目中形成对组织、企业的形象识别，进而产生心理认同的组织形象管理方法。

CIS的主要内容

1、理念识别系统（MI）：是整个CIS的核心，主要负责确立企业的定位、存在的价值等，是属于组织内在的精神实质，是“企业人生观”层面的东西，指导BI、VI两部分作业的开展。

2、行为识别系统（BI）：建立在企业的行为规范与制度之上，以具有独特性和符号化的企业行为，动态地彰显组织、企业的理念与内涵，并由此确立区别于其他组织的行为识别。

3、视觉识别系统（VI）：整个CIS中与公众关系最为直接、接触最为普遍的部分。它是CIS作业完成后最明显的成果，也是直接帮助公众识别组织的最具体因素。

危机管理：

组织根据自身情况和外部环境，对可能发生的危机的分析预测、监控预防、干预规避，对已发生的危机的处理、控制、化解、转化等一整套系统管理机制。

危机管理的三个阶段

1、预防阶段

1）强化危机意识，落实全员危机管理 2）建立危机管理状况审查制度 3）建立危机管理组织机构 4）制订危机处理预案

5）建立危机的处理支持网络、预警机制以及风险管理

2、处理阶段

3、重建阶段

风险管理：

组织和个人在对风险进行识别、预测、评价的基础上，优化各种风险处理技术，以一定的风

险处理成本有效地控制和处理风险的过程。主要措施：

1、建立危机预警机制

2、分散转移危机风险

3、确立危机管理的伦理标准

危机处理的基本原则

1、反应迅速

2、坦诚待人

3、人道主义

4、信誉第一

危机传播的基本原则（3T原则）

1、以我为主提供信息

2、尽快提供信息

3、提供全部信息

道德：

一定社会为了调整人们之间以及个人和社会之间的关系所提倡的行为规范的总和。通过各种教育和舆论的力量，使人们具有善与恶、荣誉与耻辱、正义与非正义等概念，逐渐形成一定的习惯和传统，以指导和控制自己的行为。

道德选择的依据：

1、凭直觉：认为某些行为从本质上说是好的，存在着一种理性、抽象的“好”，因此在道德选择是可以找到确定的、绝对的标准。其理论基础是“义务论”（deontology），它认为，有些行为，无论它导致的结果如何，都是正确的和必须执行的。

2、自然主义：主张就事论事、具体情况具体分析，强调造成行为的因素和行为导致的结果。其理论基础是“目的论”（teleology），它认为，一项行为的正确性是由它的原因和结果所决定的。

影响道德选择的因素：

1、宏观的社会、行业的道德氛围；

2、规模因素：雇员数目及组织的资产；

3、不同的工艺和技术；

4、公司制度的文明程度：规章制度、奖惩制度及层级；

不道德行为的个人因素：

1、支配权

2、经济倾向

3、强烈的赚钱欲望

4、政治倾向

5、处事哲学

CIPRA的道德规范基本内容（七个方面）

1、信息传播

2、为客户提供专业服务

3、为客户保守机密

4、化解利益冲突，建立信任

5、行业竞争

6、人力资源开发、人才流动

7、维护、提升本行业职业地位

PRSA、IPRA及IABC的职业道德规范内容：

1、从业者与社会文化、价值观的关系；

2、从业者与法律、公共政策的关系；

3、从业者与处在客户控制之外的外部公众关系；

4、从业者与所属企业、客户的关系；

5、从业者与自身的关系，需要对他人及自己的诚实。

两类公关机构的利弊：

1、从看问题的客观性看：

2、从服务的专业水平看：

3、从社会联系的广泛性看：

4、从意见受重视程度看：

5、从管理的灵活性看：

6、从服务的及时性看：

7、从职工的参与感看：

延展应用设计所涉项目：

1、产品

2、办公用品

3、招牌、旗帜和标牌等指示系统

4、制服

5、建筑景观

6、交通工具

7、广告

8、展示与陈列

第五篇：电磁场习题解答

1—2—

2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。

(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（ba），每单位长度上电荷：内柱为而外柱为。

解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l半径为r（arb）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得

 DdSl

s考虑到此问题中的电通量均为er即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是

2lrDl

即 Der，Eer

20r2r由此可得 UbabEdrbererdrln

a2r20a0

1—2—

3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2cm，内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cm。内导体的半径为a，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E会超过介质的击穿场强。另一方面，由于E的最大值Em总是在内导体的表面上，当a很小时，其表面的E必定很大。试问a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。

（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够

电磁场习题解答

第 1 页

脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。

解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为

E而内外导体之间的电压为

UEdrab，Emax

2r2abdrln

a2r2ab或

UaEmaxln()

badUbEmax[ln()1]0

daabb10，a0.736cm aeb5UmaxaEmaxln0.7362101.4710(V)

a即

ln

1—3—

3、两种介质分界面为平面，已知140，220，且分界面一侧的电场强度E1100V/m，其方向与分界面的法线成450的角，求分界面另一侧的电场强度E2的值。

电磁场习题解答

第 2 页

解：E1t100sin450502，E1n100cos450502

D1n40E1n20002 根据 E1tE2t，D1nD2n得

E2t502，D2n20002，E2nD2n1002 2022(502)2(1002)25010(V/m)于是： E2E2tE2n

1—

8、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度：（1）、Ax2（2）、Azyx

（3）、Ar2sinBzr（4）、Ar2nisocs

解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。

(Ax2)（1）、E(ijk)i2Axi

xyzxExEyEzExD0()00(2Ax)2A0

xyzxx（2）、E(ijk)

xyzAxyzAxyzAxyz

(ijk)

xyzA(yzixzjxyk)

电磁场习题解答

第 3 页

D0[(Ayz)(Axz)(Axy)]0

xyz1（3）、E[erek)

rrz[1(Ar2sinBrz)er(Ar2sinBrz)err

(ArsinBrz)k)]z

[(2ArsinBz)erArcoseBrk)]

11D0[r(2ArsinBz)(Arcos)rrr

(Br)] z1 0[(4ArsinBz)Asin]

rBz0[4Asin)Asin]

r11（4）、E[eree]

rrrnis1[er(Ar2sincos)e(Ar2sincos)rre1(Ar2sincos)]

rsin11[(2Arsincos)er(Ar2coscos)e(Ar2sinsin)e]

rrsin[(2Arsincos)er(Arcoscos)e(Arsin)e]

电磁场习题解答

第 4 页

111D0[2(r2Er)(Esin)(E)]

rsinrsinrr0[113(2Arsincos)(Arcoscossin)

rsinr2r 1(Arsin)]

rsinAcosAcos(cos2sin2)]sinsin 0[6Asincos1—4—

2、两平行导体平板，相距为d，板的尺寸远大于d，一板的电位为0，另一板的电位为V0，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即。(x)0x。试求两极板之间的电位分布（注：x0处板的电位为0）解：电位满足的微分方程为

0d2x 20dx其通解为： 03xC1xC2 60定解条件为：x00； xdV0 由x00得 C20 由xdV0得 于是 03VdC1dV0，即 C100d2 60d6003V002x(d)x 60d601—4—

3、写出下列静电场的边值问题：

电磁场习题解答

第 5 页

（1）、电荷体密度为1和2（注：1和2为常数），半径分别为a与b的双层同心带电球体（如题1—4—3图（a））；

（2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为1与2的均匀介质，内球壳带总电量为Q，外球壳接地（题1—4—3图b））；（3）、半径分别为a与b的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度的电量为，外圆柱面导体接地（题1—4—3图（c））。

电磁场习题解答

第 6 页

解：（1）、设内球中的电位函数为1，介质的介电常数为1，两球表面之间的电位函数为2，介质的介电常数为2，则1，2所满足的微分方程分别为

211，222 12选球坐标系，则

111211121(r)(sin)r1r2rr2sinr2sin2221221122(r)(sin)r2r2rr2sinr2sin2由于电荷对称，所以1和2均与、无关，即1和2只是r的函数，所以

11211222，(r)(r)22rrrrrr21定解条件为：

分界面条件： 1ra

2电位参考点： 2

附加条件：1r0；

1ra1r2ra2r

rarb0；

为有限值

（2）、设介电常数为1的介质中的电位函数为1，介电常数为2的介质中的电位函数为2，则

1、2所满足的微分方程分别为

211，222 12选球坐标系，则

电磁场习题解答

第 7 页

11211121(r)2(sin)20 22rrrrsinrsin21221122(r)2(sin)20 22rrrrsinrsin由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以1和2均与、无关，即1和2只是r的函数，所以

121122(r)0(r)0，rrr2rr2r2

2分界面条件： 12

由分解面条件可知12。令 12，则在两导体球壳之间电位满足的微分方程为

12(r)0

rr2r

电位参考点： rb0；

边界条件：2a2(1Er2Er)raQ，即

2a2(12)()Q rra（3）、设内外导体之间介质的介电常数为，介质中的电位函数为，则所满足的微分方程分别为

20，选球柱坐标系，则

1122

(r)20

rrrr2z

2电磁场习题解答

第 8 页

由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位和及z无关，即只是r的函数，所以

1(r)0 rrr

电位参考点： rb0；

边界条件：2aEr

2a(

1－7－

3、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷q1和q2，与导体平板的距离均为d，求空间的电位分布。

ra，即

) rra

解：设接地平板及q1和q2如图（a）所示。选一直角坐标系，使得z轴经过q1和q2且正z轴方向由q2指向q1，而x，y轴的方向与z轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在x，y平面内。计算z0处的电场时，在（0,0,d）处放一镜像电荷q1，如图（b）所示，用其等效q1在导体平板上的感应电荷，因此

1q111()

22240x2y2(zd)2xy(zd)计算z0处的电场时，在（0,0,d）处放一镜像电荷q2如图（c）所示，用

电磁场习题解答

第 9 页

其等效q2在导体平板上的感应电荷，因此

2q211()

22222240xy(zd)xy(zd)1－7－

5、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是2厘米，轴线间距离为12厘米。若导线间加1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。

解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部的电场时可将它们看成两根无限长且平行的直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴的位置及坐标如图所示。

126cm 由于对称 h2而 bh2R2622242cm

设负电轴到点p(x,y)的距离矢量为r2，正电轴到点p(x,y)的距离矢量为r1（p点应在以R为半径的两个圆之外），则p点的电位为

r2(xb)2y2ln()ln (x,y) 2220r120(xb)y1两根导体之间的电压为U，因此右边的圆的电位为U，即

2τ(hRb)2U(hR,0)ln 2202(hRb)

电磁场习题解答

第 10 页

由此可得 20Uh-Rb2lnh-R-b25010004ln(12)250ln(12)

(xb)2y2ln于是 (x,y) 22(xb)yln(12)Egrad

(xb)[(xb)2y2](xb)[(xb)2y2]{ex2222[(xb)y][(xb)y]ln(12)250 y[(xb)y]y[(xb)y]ey}[(xb)2y2][(xb)2y2]2222

由于两根导线带的异号电荷相互吸引，因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。

max(xb)[(xb)2y2](xb)[(xb)2y2]0{ex 2222[(xb)y][(xb)y]ln(12)250( ex)xhRy0y[(xb)2y2]y[(xb)2y2] ey}2222[(xb)y][(xb)y] 011)1.770107C/m2

ln(12)hRbhRb(250min(xb)[(xb)2y2](xb)[(xb)2y2]0{ex2222[(xb)y][(xb)y]ln(12)250y[(xb)2y2]y[(xb)2y2]ey}[(xb)2y2][(xb)2y2] ex xhRy0

电磁场习题解答

第 11 页

011)8.867108C/m2

ln(12)hRbhRb(250

1—9—

4、一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a，外球壳半径为b，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是Q和Q，均匀分布在球面上。求这个同心球形电容器静电能量。

解：以球形电容器的心为心做一个半径为r的球面，并使其介于两导体球壳之间。则此球面上任意一点的电位移矢量为



DQe 2r4rDQ电场强度为

Eer

4r21Q2而电场能量密度为

weED 24232r球形电容器中储存的静电场能量为

b2Q22WewedVrsindddr

Va00322r4b2Q2sindddr a00322r2b1Q2Q2b10(cos0cos)(20)2drdr 22aa8r32rQ211Q2ba()= 8ab8ab

1－9－

5、板间距离为d电压为U0的两平行板电极浸于介电常数为ε的液

电磁场习题解答

第 12 页

态介质中，如图所示。已知液体介质的密度是m，问两极板间的液体将升高多少？

解：两平行板电极构成一平板电容器，取如图所示的坐标，设平板电 容器在垂直于纸面方向的深度为w，则此电容器的电容为

(Lx)w0xw C(x) dd电容中储存的电场能量为

11(Lx)w0xw2)U0

WeCU02(22dd液体表面所受的力为

2 We12 C(x)U0wU0(0)

fx x2 x2d此力应和电容器中高出电容器之外液面的液体所受的重力平衡，由此

可得

2U0w(0)mgdwh

2d2(0)U0即 h 22mgd2—

5、内外导体的半径分别为R1和R2的圆柱形电容器，中间的非理想介

电磁场习题解答

第 13 页

质的电导率为。若在内外导体间加电压为U0，求非理想介质中各点的电位和电场强度。

解：设圆柱形电容器介质中的电位为，则

20

选择圆柱坐标，使z轴和电容器的轴线重合，则有

1122

(r)0

rrrr22z2假定电容器在z方向上很长，并考虑到轴对称性，电位函数只能是r的函数，因此所满足的微分方程可以简化为

1(r)0 rrrC1 C1，rrr两边再积分得电位的通解

C1lnrC2 定解条件：rRU0，rR0 即

r12将电位函数的通解带入定解条件，得

C1lnR1C2U0 C1lnR2C20

由上述两式解得

电磁场习题解答

第 14 页

U0U0，C2U0lnR1

R1R1lnlnR2R2U0U0U0r于是

lnrlnR1U0lnU0

RRRR1ln1ln1ln1R2R2R21而

E[ereez]

rrzU0U01r(lnU0)er

er

RRrR1rln1ln1R2R2

2—

7、一导电弧片由两块不同电导率的薄片构成，如图所示。若

C116.5107西门子/米，21.2107西门子/米，R245厘米，R130厘米，钢片厚度为2毫米，电极间的电压U30V，且电极1。求：

⑴、弧片内的电位分布（设x轴上电极的电位为0）；

⑵、总电流I和弧片的电阻R；

⑶、在分界面上D，，E是否突变？ ⑷、分界面上的电荷密度。

解：（1）、设电导率为1的媒质中的电位为1，电导率为2的媒质中的电磁场习题解答

第 15 页

电位为2，选取柱坐标研究此问题。由于在柱坐标中电极上的电位和r及z无关，因而两部分弧片中的电位也只是的函数，即

1  1121 21 121 1(r)22 222r r rr  zr 21  2122 22 122 2(r)22 222r r rr  zr 2由上边两式可得

1、2的通解分别为

1C1C

22C3C4 此问题的定解条件是：

200

……（a）

1U

……（b）

212……（c）

144 1 24 2 4……（d）

根据上述四式可得

C40，C1C1C2U 2C2C3C4，1C12C3 44联立以上四式解得

C14U2U(12)，C2UC1

(12)21214U1，C40 C12(12)4U2U(12)(5.9520.65)V

(12)124U132.26 V

(12)C3于是

12

电磁场习题解答

第 16 页

（2）、根据 E得

4U25.95

E1ee

(12)rr又E，因此

4U125.953.8681087e)e

11E1e6.510(rr(12)r R23.868108而

I 1dS(e)(0.002)edr

S R1rR

7.736105ln(2)3.14105A

R1U305R9.5510 

5Ι3.1410（3）、由于电流密度的法向分量在分界面上连续，且在此题目中电流密度只有法向分量，因此 12。分界面处的电场强度等于分界面处的电流密度与电导率的比值，又12，因此 E1中的电流场，媒质的介电常数一律为0，因此D1（4）、(D10(44444E2D24。对于导电媒质。

D244) e

4U04U24U1ee) e(12)

(12)r(12)r(12)r

2—

11、以橡胶作为绝缘的电缆的漏电阻通过下属办法测定：把长度为l的电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而可测得电流。有一段3米长的电缆，浸入后加200V的电压，测得电流为2109A。已知绝缘层的厚度和中心导体的半径相等，求绝缘层的电阻率。

解： 设导体的电位高于盐水的电位，则绝缘层中的漏电流密度为：

Ier

2lr而绝缘层中的电场强度为：

I

Eer

2lr设导体的半径为R1，电缆绝缘层的外半径为R2，则导体和盐水之间的电压为：

电磁场习题解答

第 17 页

R2IIUererdrdr

R1R12lrR12lrR21R2II  drln2lR1r2lR1RI即

ln2

2UlR1将已知数据代入上式，得

2R12109109 lnln23.6771013S/m

22003R160012.7271012/m R2R2Edr3－2－

1、一半径为a长圆柱形导体，被一同样长度的同轴圆筒导体所包围，圆筒半径为b，圆柱导体和圆筒导体载有相反方向电流I。求圆筒内外的磁感应强度（导体和圆筒内外导磁媒质的磁导率均为0）。

解：求解此问题可将圆柱导体和圆筒导体视为无限长。在垂直于z的平面上以z轴和此平面的交点为心做一半径为r的圆l，设l的方向和z符合右手螺旋关系。

由安培环路定律得：

HdlI l

电磁场习题解答

第 18 页

式中I为l中包含的电流，其方向与l符合右手螺旋关系时为正，否则为负。考虑到在l上H的大小相等，方向为l的切线方向，则有

2rHI

I0IIe，Be 即

H，而 H2r2r2r当0ra时，有

Ir22I2r2I

aa0r2r2Ie02Ie

而

B2ra2a当arb时，有 II

 而

B0Ie

2r当rb时，有

I0  因而

B0

3－3－

3、在恒定磁场中，若两种不同媒质分解面为xoz平面，其上有电流线密度k2exA/m，已知H1(ex2ey3ez)A/m，求H2。

电磁场习题解答

第 19 页

解：设y0的区域中的磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为

2、H2、B2；y0的区域中的磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为

1、H1、B1。

由已知条件得：

H1z3；

H1x1；

B1yH1y1 由分解面条件得：

H2zH1z2；

H2xH1x0；B2yB1y

将已知条件代入，得：

H2z2H1z5；

H2xH1x1；

B2y1H1y21

而

H2yB2y221 2于是

H2H2xexH2yeyH2zez(ex21ey5ez)A/m

2

3－4－

3、已知电流分布为

JJ0rezra

。J0为常数，求矢量位A和磁感应强度B（注A的参考点选为rr0a处）



解：设r0的区域中的矢量磁位为A1，r0的区域的矢量磁位为A2，则A1、A2所满足的微分方程分别为：

A10J0rez

ra 2

A20

ra 2考虑到电流密度只有z分量，矢量磁位也只能有z分量，上两可改写为

2A1z0J0r

ra

电磁场习题解答

第 20 页

2A2z0

ra 选圆柱坐标系，上两式变为

A1z112A1z2A1z

(r)20J0r 22rrrrzA2z112A2z2A2z

(r)20

rrrr2z2由于电流密度不随z和变化，所以矢量磁位也不随z和变化，因此上述两式可简化为

A1z1(r)0J0r

（1）rrrA2z1(r)0

（2）rrr

（1）、（2）两式的通解分别为

A1z0J03rC1lnrC（3）9A2zC3lnrC（4）

定解条件：

附加条件：当r0时，A1z应为有限值；参考点处矢量磁位为0，即A2zrr00

分解面条件：A1zra11(A2)A2zra；(A1)rara00根据定解条件，得：

C10

（5）

C3lnr0C40

（6）

电磁场习题解答

第 21 页

0J03aC1lnaC2C3lnaC4

（7）9J111C（8）(00a2C1)03a0a即

C3lnr0C40

0J03aC2C3lnaC4

90J02C3a 3a联立上述三式解得：

C30J03Ja；

C400a3lnr0； 33C20J03ra[13ln0] 9aJJr于是

A1[00r300a3(13ln0)]ez

99a0J0r[r3a3(13ln0)]ez 9aJJA2[00a3lnr00a3lnr0]ez

33[0J03r0aln]ez 3r由柱坐标中的旋度公式

1AzAArAz1(rA)ArAer()e()er()

rzzrrr

电磁场习题解答

第 22 页

可得：

JA1zB1A1e()00r2e

r30J0a3A2zB2A2e()e

r3r

3－6－

1、在磁导率70的半无限大导磁媒质中距媒质分界面2cm有一载流为10A的长直细导线，试求媒质分界面另一侧（空气）中距分界面1cm处p点的磁感应强度B。

解：此题如图1所示，图中h2cm，h11cm，I10A（设其方向和正z轴的方向一致）求空气中的磁场的等效模型如图2所示。图中的

I而

Hp2701407III

0708047875I1iIii(A/m)2(hh1)42(0.010.02)3

42Bp0Hp1.1610i(Wb/m)

3—7－

2、有一截面为正方形的铁磁镯环，均匀绕有500匝导线，镯环内外

电磁场习题解答

第 23 页

半径分别为R16cm和R27cm，高h1cm，8000，求线圈的自感系数。

解：做一个半径为r的圆，使此圆所在的平面在正方形铁磁镯环的两个端面之间，且与端面平行，圆心在铁磁镯环的轴线上。

设线圈的匝数为n，根据安培环路定理，得



HdlnI

l对于此题，在上述所做的圆上磁场强度的大小处处相等，方向沿圆的切线方向，于是上述积分的结果为

2rHnI

nInI即

He，Be

2r2rR2nI磁通为

BdseedsSS2rR1nI02rdzdr

h

nI2R1R2h0nIhR21dzdr lnr2R1n2IhR2线圈的磁链为

n ln2R1再由LI，得

n2hR2500280000.017

Llnln

I2R126

电磁场习题解答

第 24 页

500280041070.017ln0.0616H

26

3—7－

3、如图所示，求真空中：（1）、沿Z轴放置的无限长直线电流和匝数为1000的矩形回路之间的互感；（2）、如矩形回路及其它长度所标尺寸的单位，不是米而是厘米，重新求互感。

解：(1)、在x0，y0的半平面内

B0I2y(i)

设互感磁通m的方向如图中的所示，则

 5 5I0m 2  0 2y dz dy5I02ln52 与线圈交链的总互感磁链为

2500I0mNmln52()而

MmI25000ln(52)9.163104(H)（2）、如图中的尺寸的单位为厘米时

电磁场习题解答

第 25 页

Mm2505ln()9.163106(H)I23－8－

1、求无限长同轴电缆单位长度内导体和外导体之间区域内所储存的磁场能量。设内导体半径为R1，外导体很薄，半径为R2，内导体和外导体之间媒质的磁导率为0，电缆中的电流为I。

解：设同轴电缆的横截面及内导体中电流的方向如图所示，则内外导体之间的磁场强度为（取圆柱坐标，使z轴和同轴电缆的轴线一致，其方向和I的方向相同）

0IIe，而

B0He

H2r2r0I21HB

得

wm22 由

wm28r而

Wm1002R2R1rdrddzwm2R2R11002R2R10I2drddz 28r0I2820010I21drddzr8201200I2R2R2 lnddzlnR14R13 －8－

2、在题3 －7－2的镯环线圈中，通以电流I1A。求磁场能量：

121（1）、用WmLI求解；（2）、用WmBHdV求解。

22V解： 利用题3 －7－2的一些结果，有

nIn2hR2nI

H e，Be，Lln2r2r2R

1电磁场习题解答

第 26 页

1n2hR22n2hI2R2（1）、Wm

lnIln22R14R1500280041070.01127ln3.08102(J)

4611hR22nInI（2）、WmHBdVeerddrdz

V0R01222r2rn2I21hR22n2I ddrdz20R0124r820R1hR2201ddrdz rhn2I2R2ln3.08102(J)

4R1

4—

1、长直导线中通过电流i，一矩形导线框置于其近旁，两边与直导线平行，且与直导线共面，如图所示。

（1）、设iImcos(t)，求回路中的感应电动势（设框的尺寸远小于正弦电流的波长）。

（2）、设iI0，线框环路以速度v向右平行移动，求感应电动势。（3）、设iImcos(t)，且线框又向右平行移动，再求感应电动势。

解：取电动势和磁通的方向如图所示，选柱坐标且使z轴与线电流重合，方向与电流的方向一致。

电磁场习题解答

第 27 页

（1）、线圈不动，电流随时间变化：

i0e

B2r

b0caci0ibaceedrdz0ln 2r2c由于e和符合右手螺旋关系，所以

ebImddibacca(0ln)0ln()sin(t)dtdt2c2c

（2）、电流不变，线圈运动：

取积分路径的方向和电动势的方向一致，则

evBdl

l

[(vb0b

(v0cvtaI00Ie)ezdz(v00e)erdr

cvt2(cvt)2rcvtaI00Ie)(ez)dz(v00e)(er)dr]

cvt2(cvta)2rb

(v0bI00I00e)ezdz(ve)(ez)dz

02(cvt)2(cvta)





bvI00vI00ezezdzez(ez)dz

02(cvt)02(cvta)bbvI00vI00dzdz

02(cvt)02(cvta)bvI00b11()2cvtcvta

（3）、电流和线圈的位置都随时间变化：

电磁场习题解答

第 28 页

i0Be

2r



eb0cvtacvti0ibacvteedrdz0ln 2r2cvtbdddibacvtacvt(0ln)0(iln)dtdt2cvt2dtcvt0bdacvt[Imcos(t)ln] 2dtcvt

0bImd{cos(t)ln(acvt)cos(t)ln(cvt)} 2dt0bImv{sin(t)ln(acvt)cos(t)2acvtv} cvt

(t)lnc(vt)cos(t)

sin0bImacvt11{lnsin(t)v()cos(t)} 2cvtcvtacvt

0.02sin(109t)A/m2，4—

2、已知一种有损耗媒质中的电流密度J若媒质c的103S/m，r6.5，求位移电流密度。

解：用相量表示电流密度，则

0.02/00

Jcm00.02/050电场强度为

E 210/0V/mm310JcmEE电位移相量为 Dmmr0m

电磁场习题解答

第 29 页

109132105/001014/00C/m6.53636jDj109131014/00j1.149106/00A/m2 而

Dmm36所以

D1.149106sin(109t900)A/m2

4－

5、由圆形极板构成的平板电容器如图所示，两极板之间充满电导率为、介电常数为、磁导率为0的非理想介质。把电容接到直流电源上，求该系统中的电流及电容器极板之间任意一点的坡印亭向量，并证明其中消耗的功率等于电源供给的功率。

解：忽略边缘效应后有

r2U0UrrE(ez)，H(e)e0e

d2r22d电容中任意一点的坡印亭矢量为：

2U0U0rU0rSEHezeer 2d2d2dU电流为：

I0R2

d电源提供的功率为：

2U0PsU0IR2

d电容消耗的功率为：

电磁场习题解答

第 30 页

PcSds{Sdsss1s2Sdss3Sds}

上式中的S，S1，S2和S3分别是电容器的外表面、介质与上极板的分界面、介质与下极板的分界面和电容器的外侧面。由于在介质与导体的分界面处，导体一侧的电场强度为0，所以

222U0U0U02PcSdsR(e)edsRdsR rrs32d2s3s32d2d

4—

7、已知空气中的电场强度为



E0.1sin(10x)cos(6109tz)ey

求相应的H和。

11解： v3108m/s

00109741036610920rad/ m

8v310

Em0.1sin(10x)ejzey

由

EjBjH，得

eeeeeexyzxyz111 HmjEmjj0xyzxzE0E0ymxmEymEzm

EEymymj[exez]zx1j[ex(0.1sin(10x)ejz)ez(0.1sin(10x)ejz)] zx1j[ex0.1sin(10x)(j)ejzez0.110cos(10x)ejz] 00.1[exsin(10x)ejzez10cos(10x)ejzj90] 0.1jzjzj900[esin(10x)20ee10cos(10x)e] xz97610410

1电磁场习题解答

第 31 页

1jzjzj900[exsin(10x)2eezcos(10x)e] 2410211jzjzj900exsin(10x)eecos(10x)e z22121024101H[exsin(10x)cos(6109t20z)21210190cos(10x)cos(610t20z90)]A/m

ez 22410

6－2－

3、已知自由空间中电磁场的电场分量表达式为



E37.7cos(6108t2z)eyV/m

这是一种什么性质的场？试求出其频率、波长、速度、相位常数、传播方向及H的表达式。

解：此场为一种沿负z轴方向传播的均匀平面波。

v31081m f310Hz，v310m/s，8f3100081861082rad/ m

v3108

Z00120 037.7Hcos(6108t2z)ex

120

0.1cos(6108t2z)exA/m

6－2－

4、某电台发射600kHz的电磁波，在离电台足够远处可以认为是平面波。设在某一点a，某瞬间的电场强度为10103V/m，求该点瞬间的磁场强度。若沿电磁波的传播方向前行100m，到达另一点b，问该点要迟多少时间才具有此10103V/m的电场。

电磁场习题解答

第 32 页

解：空气可以视为理想介质，设电磁波沿x方向传播，因此

EEmcos(26105tx)

设电磁波传播到a点的时间为t1，a点的x坐标为x1，则

Emcos(26105t1x1)102

102即

Em 5cos(2610t1x1)1025于是

Ecos(2610tx)5cos(2610t1x1)根据理想介质中磁场强度和电场强度的关系，有

E102Hcos(2610tx)5Z0120cos(2610t1x1)当tt1，xx1时，有

E102Hcos(26105t1x1)5Z0120cos(2610t1x1)1022.65105A/m 120设电磁波传播到b点的时间为t2，b点的x坐标为x2。依据题意可得

10252 cos(2610tx)10225cos(2610t1x1)即

cos(26105t2x2)cos(26105t1x1)将x2x1100带入上式，得

cos(26105t2(x1100))cos(26105t1x1)根据上式，可得

电磁场习题解答

第 33 页

2610510081001631010s

(t2t1)55326102610

6－3－

1、均匀平面波在海水中垂直向下传播，已知f0.5MHz，海水的r80，r1，4S/m，在x0处



H20.5107cos(t350)ey

求：（1）、海水中的波长及相位速度；（2）、x1m处，E和H的表达式；（3）、由表面到1m深处，每立方米海水中损耗的平均功率。

解：由于420.510680103691800，所以此时的海水为良导体。

（1）、22225m；

20.51064107 v22251055106m/ s724104（2）、225105410742.81m1/2



H20.5107e2.81xcos(t3502.81x)ey

2510541070

Z0/45/4500.993/450

4

E20.51070.993e2.81xcos(t3502.81x450)(ez)

20.36107e2.81xcos(t3502.81x450)(ez)

电磁场习题解答

第 34 页

在x1处



E1.226107cos(t1501)(ez)



H1.234107cos(t1960)ey

（3）、SEH20.36107e2.81xcos(t1502.81x)(ez)



20.5107e2.81xcos(t3502.81x)ey



4.171012e5.62xcos(t1502.81x)cos(t3502.81x)ex 

2.0851012e5.62x[cos(450)cos(2t2505.62x)]ex

 SavTT02.0851012e5.62x[cos(450)cos(2t2505.62x)]exdt



2.0851012e5.62xcos(450)ex



P[2.0851012cos(450)ex(ex)ds

s1

2.0851012e5.62cos(450)ex(ex)ds]

s

2s12.0851012cos(450)ds2.0851012e5.62cos(450)ds

s2s1s2

2.08510120.707[ds

e5.62ds]1.471012W/m3

6－3－

3、设一均匀平面电磁波在一良导体内传播，其传播速度为光在自由空间波速的1‰且波长为0.3mm，设煤质的磁导率为0，试决定该平面电磁波的频率及良导体的电导率。

解：

vc0.0013105m/s，而在良导体中：

2由上两式得：

223104，v3105



电磁场习题解答

第 35 页

8 9108

0

291010 0162即

2281100

0441106S/m 7900904109910100而

，29101009101041071106109Hz

f24497—

8、已知传输线在1GHz时的分布参数为：R010.4/m；C08.351012F/m；L01.33106H/m，G00.8106S/m。试求传输线的特性阻抗，衰减常数，相位常数，传输线上的波长及传播速度。

解：特性阻抗

R0jL0Z0G0jC010.4j21091.33106399.1

0.8106j21098.351012衰减常数和相位常数：

j(R0jL0)(G0jC0)

(10.4j21091.33106)(0.8106j21098.351012)

0.01315j20.93

由此可见

0.01315Np/m，20.93rad/m

电磁场习题解答

第 36 页

波速和波长：

vv3108m/, s 0.3m f7—4—

2、特性阻抗Z0100，长度为/8的无损耗传输线，输出端接有负载Zl(200j300)，输入端接有内阻为100、电压为50000V的电源。试求：（1）、传输线输入端的电压；（2）、负载吸收的平均功率；（3）、负载端的电压。

解：（1）、传输线的输入阻抗为

22Zlcos(l)jZ0sin(l)

ZinZ022Z0cos(l)jZlsin(l)

(200j300)cos()j100sin()4100100cos()j(200j300)sin()44

50(1j3)

0050005000520

I/45A 1010050j1501502/4530ZI50(1j3)52/450A372.68/-26.5V6

U1in13（2）、负载吸收的平均功率

由于传输线是无损线，所以负载吸收的平均功率等于传输线始端输入的平均功率

P2U1I1cos(26.560450)277.85W（3）、负载端的电压

Ucos2sin2cossin(l)jZI(l)U()jZI()

U210110144

电磁场习题解答

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2]2[50(1j3)52/450j10052/450] [U1jZ0I12233250250/450[1j5]5.1/45078.690425/33.690V

337—

17、长度为/4的无损耗线联接如题7—17图。其特性阻抗Z0为50。

若要使电源发出最大功率，试决定集中参数B的值及电源内阻。

Z22解：Zlcos()jZ0sin()Z2025inZ044Zcos(22Z l(14)jZj)0lsin(4)

Y1(1j)inZ in25当 YjB1inR时电源发出的功率最大，由此可得

01j25jB1R

即 B1S，R025 025

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