§2.2等差数列1教案

第一篇：§2.2等差数列1教案

简案

§2.2等差数列1

（一）情景设置 —— 教学引入

处理方式：大屏幕显示课本四组数列，通过老师提问，学生讨论，得出这四个数列的共同特征，从而为引出等差数列的概念做铺垫

（1）0 5 10 15 20 … …（2）48 53 58 63（3）18 15.5 13 10.5 8 5.5（4）10072 10144 10216 10288 10360 教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？

（二）新知探究

（1）等差数列的定义

处理方式：老师板书给出等差数列的定义，通过几个问题的设置，同学们经过思考讨

论，更深入的体会等差数列的概念。

a)多媒体展示定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。b)设置问题，形成概念：

问题1：等差数列的概念中的几个关键点是什么？

答：第2项、每一项与它的前一项、同一个常数

问题2：如何用数学语言来描述等差数列的定义？

答：anan1d(n2,nN*)或an1and(n1,nN*)

c)即时巩固

问题3：请同学们判断一下，以上这几组数列是否为等差数列？

(1)1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10(2)5，5，5，5，5，5，…

(3)2，0，-2，-4，-6，-8,…（学生共同回答）答：（1）不是等差数列；（2）等差数列，公差为0；（3）等差数列，公差为

问题4：上述4组数列的公差各是多少？ 答：5，5，-2.5，72（2）等差数列的通项公式

处理方式： 通过问题的设置，一步步引导学生由具体到特殊，利用等差数列的定义猜想一般情况下等差数列的通项公式。在次过程中使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。同时引导学生用多种方式推导等差数列的通项公式，开阔其思维。

问题1：上述4组数列的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？（师生一起探讨）

问题 2：若一个无穷等差数列{an}，首项是a1，公差为d，怎样得到等差数列的通项公式？

a2a1d 即：a2a1d

简案

a3a2d 即：a3a2da12d a4a3d 即：a4a3da13d

… …

至此，让学生自己猜想通项公式是什么。答：ana1(n1)d

问题3：此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？

答：叠加法：｛an｝是等差数列，所以：

anan1d

an1an2dan2an3d … …

a2a1d

两边分别相加得：

ana1(n1)d（n2,nN）又当n1，符合上式 所以：ana1(n1)d

迭代法：｛an｝是等差数列，则：

anan1d=a1(n1)d

an22dan33d = … …

所以：ana1(n1)d

由以上关系还可得：ama1(m1)d 即：

a1a(m1)dm则

：

ana1(n1)dam(m1)d(n1)d

=am(nm)d 即得等差数列的第二通项公式:

anam(nm)d

简案

（三）例题讲解，规范解题

问题 1（1）求等差数列8，5，2…的第20项

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

处理方式：屏幕显示题目。（1）题目较为简单，可以由学生回答。（2）由老师分析板演，过程中要提醒学生注意解题规范。

解：（1）由a18,d58253，n=20，得

a208(201)(3)49

（2）由a15,d9(5)4，得数列通项公式为：

an54(n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

问题2 数列｛an｝满足an3n5(nN*)，问数列｛an｝是等差数列吗？ 处理方式：引导学生根据等差数列的定义求解，就是看anan1(n2)是不是一个与n无关的常数。

解：anan13n3(n1)53

故｛an｝是等差数列

问题3 已知数列｛an｝的通项公式anpnq，其中p、q为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

处理方式：问题3是问题2的引申，问题2由师生共同完成，故本题可以指定学生回答（老师可以引导），考查学生对问题2的把握程度。解：取数列｛an｝中任意两项an和an1(n2)

anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p 它是一个与n无关的常数，所以｛an｝是等差数列。

并且：a1pq dp

（四）归纳提升

处理方式：结合问题3和书本例3下面的探究，让学生从数与形上进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。

1.等差数列的图象是均匀分布在一条直线上的一群孤立的点。

2.数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数

简案

①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

第二篇：2.2等差数列第一课时教案

高中数学必修5教案第二章

§2.2等差数列

授课类型：新授课

（第1课时）

一、教学目标

知识与技能：了解公差的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列；正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。

过程与方法：了解等差数列的构造过程以及应用等差数列的基本知识解决实际问题的方法。

情感态度与价值观：通过等差数列概念的学习，培养学生的观察能力及总结归纳的意识。

二、教学重点

等差数列的概念，等差数列的通项公式。

三、教学难点

等差数列的通项公式

四、教学过程

1、课题导入

上两节课我们学习了数列的定义并给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。

下面我们看这样一些例子

①0，5，10，15，20，25，„

②48，53，58，63

③18，15.5，13，10.5，8，5.5

④10072，10144，10216，10288，10366

观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

★共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列.2、讲授新课

①等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

注：公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

对于数列an,若anan1d(与n无关的数或字母)，n2,n，则此数列是等差数列，d为公差。

思考：请写出数列①、②、③、④的通项公式。

②等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d

a4a3d即：a4a3da13d

„„

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。

由上述关系还可得：ama1(m1)d

即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d

即等差数列的第二通项公式anam(nm)d∴ d=

③例题讲解

例1求等差数列8，5，2„的第20项

解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49

例2 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

解：当n≥2时, anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为p。

注：若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

3、课堂练习

[补充练习]

（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.（3）－20是不是等差数列0，－3aman mn1，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2177∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222

774777令－n+=－20,解得n=因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.222274、课时小结 解：由题意可知：a1=0,d=－3

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.5、课后作业

课本P40习题2.2[A组]的第1题

第三篇：高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案

2.2等差数列

（二）一、教学目标

1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；

2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

二、教学重点、难点

重点：等差数列的通项公式、性质及应用．

难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．

三、教学过程

（一）、复习

1．等差数列的定义． 2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d

(anam(nm)d或 an=pn+q(p、q是常数))3．有几种方法可以计算公差d: ① d=an－an

1② d=

ana1aam

③ d=n

nmn14.{an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =()

A.667

B.668

C.669

D.670 5.在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是()

A.18

B.9

C.12

D.15

二、新课

1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq

特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap 例1.在等差数列{an}中

(1)若a5=a, a10=b, 求a15;

(2)若a3+a8=m, 求a5+a6;

(3)若a5=6, a8=15, 求a14;

(4)若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解:(1)2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;(2)∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m(3)a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33(4)66111, 77122,2a6a1a11, 2a7a2a12从而(a11a12a15)(a1a2a5)2(a6a7a10)a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.2．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法: 证明an-an-1=d(常数)例2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;

∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5

首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)

∴数列{an}成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.例3.已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看anan1（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an1（n＞1），求差得 anan1(pnq)[p{n1)q]pnq(pnpq]p

它是一个与n无关的数.所以{an}是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我们可以知道对于通项公式是形如anpnq的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。[探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，„„时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。

三、课堂小结：

1.等差数列的性质；

2.判断数列是否为等差数列常用的方法．

四、课外作业

1.阅读教材第110～114页；

2.教材第39页练习第4、5题． 作业：《习案》作业十二

第四篇：2.2等差数列第一课时教案

高中数学必修5教案

第二章

§2.2等差数列

授课类型：新授课

（第1课时）

一、教学目标

知识与技能：了解公差的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列；正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。

过程与方法：了解等差数列的构造过程以及应用等差数列的基本知识解决实际问题的方法。情感态度与价值观：通过等差数列概念的学习，培养学生的观察能力及总结归纳的意识。

二、教学重点

等差数列的概念，等差数列的通项公式。

三、教学难点

等差数列的通项公式

四、教学过程

1、课题导入

上两节课我们学习了数列的定义并给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。

下面我们看这样一些例子 ①0，5，10，15，20，25，„ ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

★共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列.2、讲授新课

①等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

注：公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

对于数列an,若anan1d(与n无关的数或字母)，n2,n，则此数列是等差数列，d为公差。思考：请写出数列①、②、③、④的通项公式。

②等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d a4a3d即：a4a3da13d

„„

高中数学必修5教案

第二章

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：ama1(m1)d 即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d 即等差数列的第二通项公式

anam(nm)d

∴ d=③例题讲解

例

1求等差数列8，5，2„的第20项

解：⑴由a18,d5825

3n=20，得a208(201)(3)49

例2 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

解：当n≥2时, anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数 ∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为p。

注：若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

3、课堂练习 [补充练习]（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.（3）－20是不是等差数列0，－

3aman

mn1，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.22 高中数学必修5教案

第二章

177

∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222774777令－n+=－20,解得n=

因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.22227解：由题意可知：a1=0,d=－34、课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：

anam(nm)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.5、课后作业

课本P40习题2.2[A组]的第1题

第五篇：2.2《等差数列的前n项和1》教案(苏教版必修5)

Sna1(a1d)[a1(n1)d]或利用定义可得：

Snan(and)[an(n1)d]两式相加可得：2Snn(a1即Sn

an)

n(a1an)2将ana1(n1)d代入可得：Snna1综上所述：等差数列求和公式为：

n(n1)d

2Snn(a1an)n(n1)na1d 22师：下面来看一下求和公式的简单应用

例1：一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？

解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为an，其中a11,a120120，根据等差数列前n项和的公式，得

S120120(1120)7260

2答：V形架上共放着7260支铅笔。

例2：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为an，前n项为Sn 则：a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n01)454 2解之得：n19,n23（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54（Ⅲ）课堂练习生：（书面练习）（板演练习）

师：给出答案，结合学生所做讲评练习。（Ⅳ）课时小结

师：1。等差数列前n项和公式：Snn(a1an)2Snna1n(n1)d

22．等差数列前n项和公式获取思路

高二文科数学小练(29)1.已知函数fxlog12x在其定义域上单调递减，则函数

agxloga1x2的单调减区间是__________；

2已知奇函数fx在,0上单调递减，且f20，则不等式x1fx1＞0的解集是__________；

253.函数yx23x4的定义域为0,m，值域为则实数m,4，4的取值范围是__________； 4.已知f(x)的定义域是R，且f(x2)f(x1)f(x),f(1)lg3lg2，f(2)lg3lg5，则f(2010)__________；

5.函数f(x)x3mx21(m0)在(0,2)的极大值为最大值，则m的取值范围是__________；

6.已知mR时，函数f(x)m(x21)xa的图象和x轴总有公共点，求实数a的取值范围